1. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.8311
DẠNG 2. TIẾP TUYẾN BIẾT HỆ SỐ GÓC
Hệ số góc của một đường thẳng là tang (tan) của góc hợp bởi đường thẳng đó và chiều dương trục Ox.
Kí hiệu k = tanα.
Nếu đường thẳng d hợp với trục Ox (không nói rõ chiều dương của trục Ox) thì k = ± tanα.
Đường thẳng d đi qua hai điểm M, N thì hệ số góc của đường d được tính bởi
−
=
−
M N
d
M N
y y
k
x x
Đường thẳng d đi qua điểm M(x1 ; y1) và có hệ số góc k thì có phương trình ( )1 1: .= − +d y k x x y
Trong trường hợp tổng quát, đường thẳng d có hệ số góc k thì luôn viết ở dạng d: y = kx + m.
Cho hai đường thẳng
1 1 1
2 2 2
:
:
d y k x m
d y k x m
= +

= +
+ d1 và d2 song song với nhau thì có cùng hệ số góc : 1 2
1 2
d dk k
m m
=

≠
+ d1 và d2 vuông góc với nhau thì có tích hệ số góc bằng −1 : 1 2 2
1
1
. 1 .= − ⇔ = −d d d
d
k k k
k
Đạo hàm tại một điểm xo thuộc đồ thị hàm số y = f(x) chính là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm đó.
Tức là ( ).′=tt ok y x
Ví dụ 1: Xác định hệ số góc k của các đường cho dưới đây ?
a)
2 1 2
2 3 1 0 3 2 1 .
3 3 3
−
+ − = ←→ = − + ⇔ = + → = −x y y x y x k
b)
1 3 1
5 3 0 5 3 .
5 5 5
− + + = ←→ = − ⇔ = − → =x y y x y x k
c) 2 3 0 2 3 2.+ + = ←→ = − → =x y y x k
Ví dụ 2: Cho hàm số 3 2
( 1) 2 3y x m x mx= + − + +
Tìm m để tiếp tuyến
a) tại điểm có hoành độ x = –3 song song với đường thẳng d : 5x – y + 3 = 0
b) tại điểm có hoành độ x = 1 vuông góc với đường thẳng d’ : x – 2y + 3 = 0
Ví dụ 3: Cho hàm số 4 2
2( 1) 8 2y x m x m= + − − −
Tìm m để tiếp tuyến tại các điểm cố định của đồ thị hàm số vuông góc với nhau.
Ví dụ 4: Cho hàm số
3x m
y
x m
+
=
−
Tìm m để tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị và trục Oy vuông góc với đường thẳng d : x – 2y + 1 = 0
Ví dụ 5: Cho hàm số 3 2
1y x x x= + − +
Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(1 ; 2) và có hệ số góc k. Tìm k để d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao
cho tiếp tuyến với đồ thị tại B, C vuông góc với nhau.
Ví dụ 6: Cho hàm số 3 2
3 3.y x x x= − + + Một đường thẳng d đi qua A(2 ; 1) và có hệ số góc k.
Tài liệu bài giảng:
01. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ – P3
Thầy Đặng Việt Hùng

2. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.8312
Tìm k để đường thẳng d và đồ thị hàm số đã cho
a) cắt nhau tại duy nhất một điểm.
b) cắt nhau tại ba điểm phân biệt.
c) cắt nhau tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương.
Hướng dẫn giải :
Đường thẳng d qua A(2 ; 1) và có hệ số góc k nên có dạng d : y = k(x − 2) + 1.
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị : 3 2 3 2
3 3 ( 2) 1 3 2 ( 2)− + + = − + ⇔ − + + = −x x x k x x x x k x
2
2
2
( 2)( 1) ( 2)
( ) 1 0, (1)
=
⇔ − − − = − ⇔ 
= − − − =
x
x x x k x
g x x x k
a) Hai đồ thị cắt nhau tại duy nhất một điểm khi (1) vô nghiệm
5
0 1 4(1 ) 0 .
4
⇔ ∆ < ⇔ + + < ⇔ < −k k
Vậy với
4
5
< −k thì hai đồ thị đã cho cắt nhau tại duy nhất một điểm.
b) Hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm phân biệt khi (1) có hai nghiệm phân biệt và khác 2.
Điều đó xảy ra khi
5
0 1 4(1 ) 0
4
(2) 0 (2) 1 0
1

∆ > + + > > −  
⇔ ⇔  
≠ = − ≠   ≠
k k
g g k
k
Vậy với
4
5
1

> −

 ≠
k
k
thì hai đồ thị đã cho cắt nhau tại ba điểm phân biệt.
c) Do nghiệm x = 2 > 0 nên để ba giao điểm có hoành đô dương thì (1) phải có hai nghiệm dương phân biệt và khác 2.
Gọi hai nghiệm đó là x1 ; x2. Khi đó ta có
1 2
1 2
0 1 0
1
0 1 0
+ > > 
⇔ ⇔ < − 
> − − >
x x
k
x x k
Kết hợp với diều kiện tồn tại ba giao điểm ở câu b ta dược
4
1
5
− < < −k là giá trị cần tim.
Ví dụ 7: Cho hàm số 3 2
2 3 1.y x mx mx= − + +
a) Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại điểm uốn song song với đường thẳng ∆: 4x + y + 1= 0.
b) Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại điểm x = −2 vuông góc với đường thẳng ∆′: 2x + 3y + 2= 0.
Hướng dẫn giải :
a) Ta có
2
3 2
6 6
2 3 1
12 6 0
2
 ′ = − +

= − + + →
′′ ′′= − → = ⇔ =

y x mx m
y x mx mx m
y x m y x
Tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc là
2 2
3
6. 6 .
2 4 2 2
 ′= = − + = − + 
 
u
m m m m
k y m m m
Đường thẳng ∆ có hệ số góc xác định bởi :4 1 0 4 1 4.∆∆ + + = ⇔ = − − → = −x y y x k
Tiếp tuyến tại điểm uốn song song với ∆ nên
2
2
2
3
4 3 2 8 0 4
2
3
∆
=
= ⇔ − + = − ⇔ − − = ⇔
 = −

u
m
m
k k m m m
m
Vậy, với
4
2;
3
= = −m m thì tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị song song với đường thẳng ∆.

3. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.8313
b) Tiếp tuyến tại x = −2 có hệ số góc là ( )2 24 12 13 24′= − = + + = +ttk y m m m
Đường thẳng ∆′ có hệ số góc xác định bởi
2 2 2
:2 3 2 0 3 2 2 .
3 3 3
′∆
′∆ + + = ⇔ = − − ⇔ = − − → = −x y y x y x k
Tiếp tuyến tại điểm x = −2 vuông góc với ∆′ nên ( )
2 45
. 1 13 24 1 26 48 3
3 26
′∆ = − ⇔ − + = − ⇔ + = ⇔ = −ttk k m m m
Vậy, với
45
26
= −m thì tiếp tuyến tại x = −2 vuông góc với ∆′.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Cho hàm số 3 2
( 2) 3.= − − + +y x m x mx
a) Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có hoành độ x = 1 song song với đường (d): y = 2x – 1.
b) Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có hoành độ x = 0 vuông góc với đường (d): 4x – 3y = 0.
Bài 2. đồ thị hàm số y = –x4
+ 2mx2
– 2m + 1
Tìm m để các tiếp tuyến với đồ thị tại A(1; 0), B(–1; 0) vuông góc với nhau.
Bài 3. Cho hàm số 3 2
3 2,y x x x= + + + có đồ thị là (C) và một đường thẳng d đi qua A(−1; 3) có hệ số góc k.
a) Tìm k để đường thẳng d cắt (C) tại ba điểm phân biệt cùng có hoành độ âm.
b) Tìm k để d cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho tiếp tuyến với (C) tại hai điểm B, C vuông góc với nhau.
Bài 4. Cho hàm số y = x4
+ mx2
– m – 1.
Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại A song song với đường thẳng (d): y = 2x, với A là điểm cố định có hoành độ dương
của đồ thị hàm số.
Bài 5. Cho hàm số
( )3 1
.
+ −
=
+
m x m
y
x m
Tìm m để tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục Ox song song với đường thẳng (d): y = –x –5.