Số phức-3-Căn bậc hai của số phức-Phương trình bậc hai trên tập hợp số phức-pages 26-35

1. 3 CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC. PHƯƠNG TRÌNH
BẬC HAI TRÊN TẬP HỢP SỐ PHỨC
3.1 LÝ THUYẾT
3.1.1 Căn bậc hai của số phức
Định nghĩa Căn bậc hai của số phức z = a + bi là số phức z1 = a1 + b1i thỏa mãn z2
1 = z.
Phương pháp tìm căn bậc hai của số phức z = a + bi
• Gọi căn bậc hai của số phức z = a + bi là z1 = a1 + b1i (a1, b1 ∈ R).
• Tính z2
1 = a2
1 − b2
1 + 2a1b1i.
• Từ z2
1 = z ta có hệ phương trình:
a2
1 − b2
1 = a
2a1b1 = b
Giải hệ phương trình trên tìm được a1, b1.
Chú ý Mỗi số phức đều có 2 căn bậc hai đối nhau.
Một số ví dụ
Câu 1. Tìm căn bậc hai của số phức z = −3 + 4i.
A. 1 + 2i, −1 − 2i. B. 1 − 2i, −1 + 2i. C. 2 + i, 2 − i. D. 2i, −2i.
Lời giải. Chọn đáp án A
Gọi căn bậc hai của z là z1 = a + bi (a, b ∈ R).
z2
1 = a2
− b2
+ 2abi.
z2
1 = z ⇔
a2
− b2
= −3
2ab = 4
⇔



a2
− b2
= −3 (1)
a =
2
b
(2)
.
Thay (2) vào (1) ta có:
4
b2
− b2
= −3 ⇔ b4
− 3b2
− 4 = 0 ⇔
b2
= 4
b2
= −1(L)
⇔
b = 2 ⇒ a = 1
b = −2 ⇒ a = −1
Vậy z có hai căn bậc hai là 1 + 2i, −1 − 2i.
Câu 2. Số phức liên hợp của căn bậc hai của số phức z = −41 + 12
√
5i là:
A. 2 + 3
√
5i. B. −2 − 3
√
5i.
C. 2 + 3
√
5i, −2 − 3
√
5i. D. 2 − 3
√
5i, −2 + 3
√
5i.
Lời giải. Chọn đáp án D
Gọi căn bậc hai của z là z1 = a + bi (a, b ∈ R).
z2
1 = a2
− b2
+ 2abi.
z2
1 = z ⇔
a2
− b2
= −41
2ab = 12
√
5
⇔



a2
− b2
= −41 (1)
a =
6
√
5
b
(2)
.
Thay (2) vào (1) ta có:
180
b2
− b2
= −41 ⇔ b4
− 41b2
− 180 = 0 ⇔
b2
= 45
b2
= −4(L)
⇔
b = 3
√
5 ⇒ a = 2
b = −3
√
5 ⇒ a = −2
⇒ z có hai căn bậc hai là 2 + 3
√
5i, −2 − 3
√
5i.
Vậy số phức liên hợp của các căn bậc hai của z là 2 − 3
√
5i, −2 + 3
√
5i.
26
lovestem
.edu.vn

2. 3.1.2 Phương trình bậc hai trên tập hợp số phức
Phương trình có hệ số là số thực ax2
+ bx + c = 0 (a, b, c ∈ R, a = 0).
• ∆ ≥ 0: Phương trình có 2 nghiệm thực x1,2 =
−b ± |∆|
2a
.
• ∆ < 0: Phương trình có 2 nghiệm phức x1,2 =
−b ± i |∆|
2a
.
Phương trình có hệ số là số phức ax2
+ bx + c = 0 (a, b, c ∈ C, a = 0).
Phương pháp giải:
• Bước 1. Tính ∆ = b2
− 4ac.
• Bước 2.Đặt
√
∆ = ±k (k là số phức). Khi đó 2 nghiệm của phương trình là x =
−b + k
2a
và x =
−b − k
2a
.
Chú ý: Nếu b = 2b ta tính ∆ . Gọi
√
∆ = ±k . Khi đó 2 nghiệm của phương trình là
x =
−b + k
a
và x =
−b − k
a
.
Một số ví dụ
Câu 3. Nghiệm của phương trình x2
− 4x + 9 = 0 là:
A. 2 +
√
5. B. 2 +
√
5i. C. 2 +
√
5i, 2 −
√
5i. D. 2 +
√
5, 2 −
√
5.
Lời giải. Chọn đáp án C
∆ = −5.
⇒
√
∆ = ±i
√
5.
⇒ Nghiệm của phương trình là: x1 = 2 +
√
5i và x2 = 2 −
√
5i.
Câu 4. Giải phương trình x2
− (1 − i)x + 2 + i = 0.
A. ±(1 + 3i). B. −2i. C. −2i, 1 + i. D. 1 − 2i, i.
Lời giải. Chọn đáp án D
∆ = (1 − i)2
− 4(2 + i) = −8 − 6i.
Gọi
√
∆ = a + bi ⇔ ∆ = a2
− b2
+ 2abi ⇔
a2
− b2
= −8
2ab = −6
⇔



a2
− b2
= −8 (1)
a = −
3
b
(2)
Thay (2) vào (1) ta có:
9
b2
−b2
= −8 ⇔ b4
−8b2
−9 = 0 ⇔
b2
= 9
b2
= −1(L)
⇔
b = 3 ⇒ a = −1
b = −3 ⇒ a = 1
⇒
√
∆ = ±(1 − 3i).
Vậy phương trình có 2 nghiệm: x1 =
1 − i + 1 − 3i
2
= 1 − 2i và x2 =
1 − i − 1 + 3i
2
= i.
3.2 BÀI TẬP
3.2.1 CÂU HỎI Ở MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT
Câu 1. Căn bậc hai của số phức −117 + 44i là:
A. ±(2 + 11i). B. ±(2 − 11i). C. ±(7 + 4i). D. ±(7 − 4i).
Câu 2. Các căn bậc hai của 8 + 6i là:
A. Đáp án khác. B. ±(3 + i). C. 3 ± i. D. −3 ± i.
27
lovestem
.edu.vn

3. Câu 3. Tìm các căn bậc hai của −9.
A. 3. B. −3. C. 3i. D. 3i, −3i.
Câu 4. Cho hai số phức z = a + bi và u = m + ni. Nếu z2
= u thì hệ thức nào sau đây là
đúng?
A.
m2
+ n2
= a
2mn = b
. B.
m2
− n2
= a
2mn = b
. C.
a2
+ b2
= m
2ab = m
. D.
a2
− b2
= m
2ab = n
.
Câu 5. Phương trình 8z2
− 4z + 1 = 0 có nghiệm trên tập số phức là:
A. z1 =
1
4
+
1
4
i và z2 =
5
4
−
1
4
i. B. z1 =
1
4
+
1
4
i và z2 =
1
4
−
3
4
i.
C. z1 =
1
4
+
1
4
i và z2 =
1
4
−
1
4
i. D. z1 =
2
4
+
1
4
i và z2 =
1
4
−
1
4
i.
Câu 6. Giải phương trình sau trên tập số phức: z2
+ (1 − i)z − 18 + 13i = 0.
A. z1 = 4 − i, z2 = −5 + 2i. B. z1 = 4 − i, z2 = −5 − 2i.
C. z1 = 4 + i, z2 = −5 − 2i. D. z1 = 4 + i, z2 = −5 + 2i.
Câu 7. Tập các căn bậc hai của số phức z = −48 + 14i là:
A. {1 − 7i, −1 + 7i}. B. {1 + 7i, −1 − 7i}. C. {7 + i, −7 − i}. D. {7 − i, 7 + i}.
Câu 8. Tập các căn bậc hai của số phức z = −4 − 2
√
5i là:
A. 1 −
√
5i, −1 +
√
5i . B. 1 +
√
5i, −1 − 7i .
C.
√
5 + i, −
√
5 − i . D.
√
5 − i,
√
5 + i .
Câu 9. Tập các căn bậc hai của số phức z = 8 + 6
√
17i là:
A. 3 −
√
17i, −3 +
√
17i . B. 3 +
√
17i, −3 −
√
17i .
C.
√
17 + 3i, −
√
17 − 3i . D.
√
17 − 3i, −
√
17 + 3i .
Câu 10. Cho số phức u = 17 + 20
√
2i. Nếu z2
= u thì ta có khẳng định đúng là:
A.
z = 5 + 2
√
2i
z = −5 − 2
√
2i
. B.
z = −5 + 2
√
2i
z = 5 − 2
√
2i
. C.
z = 2
√
2 + 5i
z = −2
√
2 − 5i
. D.
z = 2
√
2 − 5i
z = −2
√
2 + 5i
.
Câu 11. Cho số phức u =
√
7 − i. Nếu u2
= z thì ta có khẳng định đúng là:
A.
z = 2
√
7 − 6i
z = −2
√
2 + 6i
. B. z = 2
√
7 + 6i. C.
z = 6 + 2
√
7i
z = −6 − 2
√
7i
. D. z = 6 − 2
√
7i.
Câu 12. Hai số phức 4 + i và 2 − 3i là nghiệm của phương trình:
A. x2
− (6 − 2i)x + 11 − 10i = 0. B. x2
+ (11 − 10i)x + 6 − 2i = 0.
C. x2
+ (6 − 2i)x + 11 − 10i = 0. D. x2
− (11 − 10i)x + 6 − 2i = 0.
Câu 13. Nghiệm của phương trình z2
− z + 1 = 0 trên tập số phức là:
A.
√
3 ± i
2
. B.
√
3 ± i. C. 1 ±
√
3i. D.
1 ±
√
3i
2
.
Câu 14. Tìm nghiệm phức của phương trình z2
+ 2z + 2 = 0.
A. z1 = 1 − i, z2 = 1 + i. B. z1 = −2 − i, z2 = −2 + i.
C. z1 = −1 − i, z2 = −1 + i. D. z1 = 2 − i, z2 = 2 + i.
Câu 15. Giải phương trình z2
− 2z + 7 = 0 trên tập số phức.
A. 1 ± 2
√
2i. B. 1 ±
√
7i. C. 1 ±
√
6i. D. 1 ±
√
2i.
Câu 16. Cho số phức u = 3 + 4i. Nếu z2
= u, ta có:
A.
z = 1 + i
z = 1 − i
. B.
z = 2 + i
z = −2 − i
. C.
z = 4 + i
z = −4 − i
. D.
z = 1 + 2i
z = 2 − i
.
Câu 17. Trong C phương trình z2
+ 4 = 0 có nghiệm là:
A.
z = 2i
z = −2i
. B.
z = 1 + 2i
z = 1 − 2i
. C.
z = 1 + i
z = 3 − 2i
. D.
z = 1 + i
z = −2i
.
28
lovestem
.edu.vn

4. Câu 18. Cho số phức z = 118 + 22
√
3i. u = a + bi là căn bậc hai của z có phần thực dương.
Phần ảo của u là:
A. 11i. B.
√
3i. C. −
√
3i. D. −11i.
Câu 19. Số phức z = 66 − 2
√
355i có một căn bậc hai là u = a + bi (b < 0). Khi đó a =?
A. −
√
71. B.
√
71 −
√
5. C.
√
71. D. −
√
5.
Câu 20. Số phức 6 − i là nghiệm của phương trình nào?
A. x2
+ (13 + 2i)x + 45 + 11i = 0. B. x2
+ (13 + 2i)x + 45 − 11i = 0.
C. x2
− (13 + 2i)x + 45 + 11i. D. x2
− (13 + 2i)x + 45 + 11i = 0.
Câu 21. z là nghiệm phức của phương trình 5x2
+ 6x + 9 = 0 có phần ảo âm. Phần thực của
z là:
A.
3
5
. B. −
3
5
. C.
6
5
. D. −
6
5
.
Câu 22. Cho phương trình x2
+ (5i − 3)x + 26 − 13i = 0. Tổng hai nghiệm của phương trình
là:
A. 1 − 8i. B. 2 + 3i. C. −3 + 5i. D. 3 − 5i.
Câu 23. Cho phương trình x2
+ (i − 14)x + 47 − i = 0. Tích hai nghiệm của phương trình là:
A. 5 + i. B. 9 − 2i. C. 47 − i. D. i − 47.
Câu 24. Cho phương trình x2
−3
√
3x+7+
√
3i = 0. Tổng phần ảo của hai nghiệm của phương
trình trên là:
A. 0. B. 2. C. 3
√
3. D.
√
3.
Câu 25. Cho phương trình x2
− (3 + 4
√
2i)x + 9
√
2i − 6 = 0. Tích phần thực của hai nghiệm
của phương trình trên là:
A. 3. B. 6. C. 0. D. 9
√
2.
3.2.2 CÂU HỎI Ở MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU
Câu 26. Số phức nào sau đây có các căn bậc hai là số thuần ảo?
A. 10. B. −9. C. 1 + i. D. 3i.
Câu 27. Giải phương trình
4z − 3 − 7i
z − i
= z − 2i trên tập số phức.
A. z = 1 + 2i và z = 3 − i. B. z = 1 − 2i và z = 3 + i.
C. z = 1 − 2i và z = 3 − i. D. z = 1 + 2i và z = 3 + i.
Câu 28. Các căn bậc hai của số phức z = 12
√
21i − 15 có dạng a + bi. Khi đó a2
+ b2
=?
A. 57. B. 27. C. 15. D. -15.
Câu 29. Phương trình z6
− 9z3
+ 8 = 0 trên tập số phức có bao nhiêu nghiệm phân biệt?
A. 4. B. 2. C. 8. D. 6.
Câu 30. Tìm các căn bậc hai của phần thực số phức z =
1 + 9i
1 − i
− 6i.
A. ±4i. B. ±2i. C. ±2. D. ±4.
Câu 31. Cho phương trình z2
+ mz − 6i = 0. Để phương trình có tổng hai nghiệm bằng 5 thì
m có dạng m = a + bi. Giá trị của a + 2b là:
A. -1. B. 1. C. -5. D. 0.
Lời giải. Chọn đáp án C
Theo định lý Viete, hai nghiệm của phương trình có tổng bằng 5 nên m = −5 ⇒ a = −5,
b = 0.
Câu 32. Phương trình z2
+ az + b = 0 hệ số thực có một nghiệm phức là z = 1 + 2i. Tổng 2
số a và b bằng:
A. 0. B. -4. C. -3. D. 3.
29
lovestem
.edu.vn

5. Câu 33. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Hai số phức liên hợp có bình phương bằng nhau.
B. Hai số phức liên hợp có căn bậc hai bằng nhau.
C. Hai số phức liên hợp có mođun bằng nhau.
D. Hai số phức liên hợp có phần ảo bằng nhau.
Câu 34. Tích hai căn bậc hai của số phức z = 42i − 40 là:
A. 40 − 42i. B. 58. C. −40 + 42i. D. -40.
Câu 35. Tổng phần thực của hai căn bậc hai của số phức z = −21 + 20i là:
A. 4. B. 10. C. 0. D. -4.
Câu 36. Gọi z là nghiệm phức có phần thực dương của phương trình:
z2
+ (1 + 2i)z − 17 + 19i = 0
.Khi đó, giả sử z2
= a + bi thì tích của a và b là:
A. -168. B. -12. C. -240. D. -5.
Câu 37. Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2
+ 2z + 4 = 0 thì A = |z1|2
+ |z2|2
có giá trị là:
A. 2. B. -7. C. 8. D. 4.
Câu 38. Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình 2z2
+ 4z + 3 = 0. Giá trị của biểu
thức |z1| + |z2| là:
A.
√
2. B. 3. C. 2
√
3. D.
√
6.
Câu 39. Phương trình (2 + i)z2
+ az + b = 0 có hai nghiệm là 3 + i và 1 − 2i. Khi đó giá trị
của a bằng bao nhiêu?
A. −9 − 2i. B. 15 + 5i. C. 9 + 2i. D. 15 − 5i.
Câu 40. Trong C cho phương trình bậc hai az2
+ bz + c = 0(∗)(a = 0). Gọi ∆ = b2
− 4ac, ta
xét các mệnh đề:
(1) Nếu ∆ là số thực âm thì phương trình (∗) vô nghiệm.
(2) Nếu ∆ = 0 thì phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt.
(3) Nếu ∆ = 0 thì phương trình có một nghiệm kép.
Trong các mệnh đề trên:
A. Không có mệnh đề nào đúng. B. Có một mệnh đề đúng.
C. Có hai mệnh đề đúng. D. Cả ba mệnh đề đều đúng.
Câu 41. Phương trình z3
= 8 có bao nhiêu nghiệm phức với phần ảo âm?
A. 3. B. 1. C. 2. D. 4.
Câu 42. Cho (x + 2i)2
= yi (x, y ∈ R). Giá trị của x, y bằng:
A.
x = 2
y = 8
hoặc
x = −2
y = −8
. B.
x = 3
y = 12
hoặc
x = −3
y = −12
.
C.
x = 1
y = 4
hoặc
x = −1
y = −4
. D.
x = 4
y = 16
hoặc
x = −4
y = −16
.
Câu 43. Gọi z1, z2 là hai nghiệm của phương trình z2
+ 2z + 10 = 0. Tính M = |z1|2
+ |z2|2
A. 2
√
10. B.
√
10. C. 20. D. 10.
Câu 44. Hai số phức 4 + i; 2 − 3i là nghiệm của phương trình:
A. x2
− (6 − 2i)x + 11 − 10i = 0. B. x2
− (11 − 10i)x + 6 − 2i = 0.
C. x2
+ (6 − 2i)x + 11 − 10i = 0. D. x2
+ (11 − 10i)x + 11 − 10i = 0.
Câu 45. Tìm hai số phức biết rằng tổng của chúng bằng 4−i và tích của chúng bằng 5(1−i).
Đáp số của bài toán là:
A.
z = 3 + i
z = 1 − 2i
. B.
z = 3 + 2i
z = 5 − 2i
. C.
z = 1 + i
z = 2 − 3i
. D.
z = 3 + 2i
z = 1 + i
.
30
lovestem
.edu.vn

6. Câu 46. Gọi z là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z2
−2(10+i)z+99+28i = 0.
Khi đó, giả sử z2
= a + bi thì tích của a + 1 và b − 3 là:
A. 2640. B. 2548. C. 2520. D. −3888.
Câu 47. Nếu phương trình z2
+ 2z + m = 0 có một nghiệm là −1 + 2i thì nghiệm còn lại là:
A. 2i. B. −1 − 2i. C. 1 − 2i. D. 1 + 2i.
Câu 48. Gọi z1, z2 là hai nghiệm của phương trình 2z2
− 6z + 5 = 0. Khẳng định nào sau đây
đúng?
A. z1
2
+ z2
2
=
9
2
. B. z1
2
− z2
2
=
7
4
. C. z1
2
.z2
2
=
25
4
. D.
z1
2
z2
2
=
1
4
.
Câu 49. Cho a, b ∈ R. Biểu thức 4a2
+ 9b2
phân tích thành thừa số phức là:
A. (4a − 9i)(4a + 9i).
B. (2a − 3bi)(2a + 3bi).
C. (4a − 9bi)(4a + 9bi).
D. Không thể phân tích được thành thừa số phức.
Câu 50. Phát biểu nào sau đây đúng?
A. Mọi số phức bình phương đều không âm.
B. Hai số phức có mô đun bằng nhau thì bằng nhau.
C. Hiệu của hai số phức z và số phức liên hợp z là số ảo.
D. Hai số phức z và số phức liên hợp z có bình phương bằng nhau.
3.2.3 CÂU HỎI Ở MỨC ĐỘ VẬN DỤNG THẤP
Câu 51. Cho số phức z = −14
√
6i + 43. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Một căn bậc hai của z là w = 7 −
√
6i.
B. Mođun của z là 55.
C. Biểu diễn hình học của z là điểm M(43; −14
√
6).
D. Số phức liên hợp của z là u = −14
√
6i − 43.
Câu 52. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình z4
−4z3
+14z2
−36z +45 = 0, biết z = 2+i
là một nghiệm.
A. z = 2 + i; z = 3i; z = −3i. B. z = 2 + i; z = 2 − 3i; z = 3i; z = −3i.
C. z = 2 + i; z = 2 − i; z = 3i; z = −3i. D. z = 2 + i; z = 2 − i; z = 3i.
Câu 53. Giả sử z1, z2 là hai nghiệm của phương trình z2
− 2z + 5 = 0 và A, B là các điểm
biểu diễn của z1, z2. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là:
A. (0; 1). B. (0; −1). C. (1; 1). D. (1; 0).
Câu 54. Số phức z =
1 + i
1 − i
− 3i + 2 có một căn bậc hai là w = a + bi (b > 0). Khi đó a2
=?
A.
√
2 − 1. B. 1 +
√
2. C. −1 −
√
2. D. 1 −
√
2.
Câu 55. Bộ số thực (a; b; c) để phương trình z3
+ az2
+ bz + c = 0 nhận z = 1 + i và z = 2
làm nghiệm là:
A. (−4; 6; −4). B. (4; −6; −4). C. (−4; −6; −4). D. (4; 6; 4).
Lời giải. Chọn đáp án A
Phương trình bậc 3 hệ số thực nếu có 1 nghiệm là nghiệm thực thì hai nghiệm còn lại phải là
liên hợp phức của nhau nên nghiệm còn lại là z = 1 − i.
Phương trình trên sẽ là: (z − 2)(z − 1 + i)(z − 1 − i) = 0 hay z3
− 4z2
+ 6z − 4 = 0.
Câu 56. Phương trình (2 + i)z2
+ az + b = 0 có hai nghiệm là 3 + i và 1 − 2i. Khi đó giá trị
của a bằng bao nhiêu?
A. −9 − 2i. B. 15 + 5i. C. 9 + 2i. D. 15 − 5i.
31
lovestem
.edu.vn

7. Câu 57. Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2
− 2iz − 4 = 0. Khi đó module của
số phức w = (z1 − 2)(z2 − 2) là:
A. 4. B. 5. C. 7. D. 6.
Câu 58. Gọi z1 là một nghiệm phức của phương trình z2
+ (1 − 3i)z − 2(1 + i) = 0. Khi đó
|z1|2
2
có thể nhận giá trị nào dưới đây?
A. 2
√
13. B.
√
20. C. 2. D. 2
√
13.
Câu 59. Gọi z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình z2
+
√
3z +7 = 0. Khi đó A = z4
1 +z4
2
có giá trị là:
A.
√
23. B. 23. C. 13. D.
√
13.
Lời giải. Chọn đáp án B
z4
1 + z4
2 = (z1 + z2)4
− 4z1z2[(z1 + z2)2
− 2z1z2] − 6(z1z2)2
.
Theo định lí Viete:
z1 + z2 = −
√
3
z1z2 = 7
.
Thay vào phương trình, ta được đáp án cần tìm.
Câu 60. Tìm số nguyên x và y sao cho số phức z = x + yi thỏa mãn z3
= 18 − 26i.
A.
x = 3
y = −1
.
B.
x = −3
y = 1
.
C.
x = 3
y = 1
.
D.
x = −3
y = −1
.
Câu 61. Cho phương trình: (z + i)4
+ 4z2
= 0.
Có bao nhiêu nhận xét đúng trong số các nhận xét sau:
1. Phương trình vô nghiệm trên tập hợp số thực R.
2. Phương trình vô nghiệm trên tập hợp số phức C.
3. Phương trình có bốn nghiệm thuộc tập hợp số thực R.
4. Phương trình có bốn nghiệm thuộc tập hợp số phức C.
5. Phương trình chỉ có hai nghiệm là số phức.
6. Phương trình có hai nghiệm là số thực.
A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 5 .
Lời giải. (z + i)4
+ 4z2
= 0 ⇔ (z + i)2
= −4z2
⇔ (z + i)4
= (2zi)2
⇔
(z + i)2
= 2zi
(z + i)2
= −2zi
Giải 2 phương trình trên rồi kết hợp nghiệm lại ta được 4 nghiệm là ±1, (
√
3−2)i, −(
√
3+2)i.
Vậy có 2 nhận xét đúng là 4 và 6.
Câu 62. Số nghiệm phức không thực của phương trình z4
+ z2
− 6 = 0 là:
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 63. Có bao nhiêu số phức thỏa mãn phương trình z2
= |z|2
+ z?
A. 0. B. 1. C. 3. D. 2.
Câu 64. Giả sử A, B theo thứ tự là điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình z2
+4z+7 = 0.
Khi đó, độ dài đoạn AB là:
A. 4. B. 4
√
3. C. 2
√
3. D.
√
3.
Câu 65. Gọi z1, z2 là hai nghiệm của phương trình z2
+ 1 = 0. Tính M = z1
4
+ z2
4
.
A. 2i. B. −2i. C. 2. D. 0.
Câu 66. Hệ phương trình
z1 + z2 = 6
z1.z2 = 10
có bao nhiêu nghiệm phức phân biệt?
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 67. Phương trình (z2
+ i)(z2
− 2iz − 1) = 0 có mấy nghiệm phức?
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
32
lovestem
.edu.vn

8. Câu 68. Gọi z1, z2 là hai nghiệm của phương trình z +
1
z
= −1. Giá trị của P = z1
3
+ z2
3
là:
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 69. Với giá trị nào của tham số m thì phương trình z2
− 3z + 2m = 0 không có nghiệm
thực?
A. m >
9
8
. B. m ≤
9
8
. C. m <
9
8
. D. m ≥
9
8
.
Câu 70. Nghiệm của phương trình z2
+ 2z = 0 là:
A. −2; 0. B. 1 +
√
3i; 1 −
√
3i.
C. 0; 1. D. 1 +
√
3i; 1 −
√
3i; 0; −2.
Câu 71. Tham số phức m bằng bao nhiêu để phương trình z2
+ mz + 3i = 0 có tổng bình
phương hai nghiệm bằng 8?
A. m = −4i, m = −2i. B. m = 4i; m = 2i.
C. m = 3 + i; m = −3 − i. D. m = 3 + i; m = −3 + i.
Câu 72. Biết phương trình z2
+ mz + n = 0 ( với m, n là các tham số thực) có một nghiệm
là: z = 1 + i. Module của số phức w = m + ni bằng:
A. 8. B. 4. C. 2
√
2. D. 16.
Câu 73. Nghiệm phức của phương trình z2
+ |z| = 0 là:
A. 0; i; −i. B. 0; 1; −1. C. 0; 1; i. D. 0; −i; −1.
Câu 74. Cho phương trình (z2
− 4z)2
− 3(z2
− 4z) − 40 = 0. Gọi z1, z2, z3, z4 là 4 nghiệm phức
của phương trình đã cho. Giá trị biểu thức P = |z1|2
+ |z2|2
+ |z3|2
+ |z4|2
bằng?
A. 4. B. 42. C. 16. D. 24.
Câu 75. Cho phương trình z3
− (2i − 1)z2
+ (3 − 2i)z + 3 = 0. Trong số các nhận xét:
(1) Phương trình chỉ có một nghiệm thuộc tập số thực.
(2) Phương trình có hai nghiệm không thuộc tập hợp số thực.
(3) Phương trình có hai nghiệm có phần thực bằng không.
(4) Phương trình có hai nghiệm là số thuần ảo.
(5) Phương trình có ba nghiệm trong đó có hai nghiệm là hai số phức liên hợp.
Số nhận xét sai là:
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 76. Số nghiệm phân biệt của phương trình 4z2
+ 8 |z|2
− 3 = 0 trên tập số phức là:
A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.
Lời giải. Chọn đáp án A
Từ phương trình trên ta có z là căn bậc hai của một số thực. Từ đó có 2 trường hợp:
Nếu z là số thuần ảo: 4z2
− 8z2
− 3 = 0 ⇔



z =
√
3i
2
z = −
√
3i
2
Nếu z là số thực: 4z2
+ 8z2
− 3 = 0 ⇔



z =
1
2
z = −
1
2
Câu 77. Cho các mệnh đề sau:
(1) Nếu z là một căn bậc hai của số phức w thì |z| = |w|.
(2) Gọi z1, z2 là hai nghiệm của phương trình z2
+ az + b = 0. Thì ta luôn có:
z1 + z2 = a, z1z2 = −b
33
lovestem
.edu.vn

9. .
(3) Cho z1 = 2 + i, z2 =
i + z1
z1
. Phương trình chứa hai nghiệm z1, z2 là:
5z2
− (4i + 17)z + 3i + 15 = 0
.
Số các phát biểu đúng là:
A. 3. B. 2. C. 1. D. 0.
3.2.4 CÂU HỎI Ở MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO
Câu 78. Cho z = 3 + mi, trong đó m thỏa mãn phương trình log4(m + 4) − log4(m − 2) = 1.
Các căn bậc hai của số phức w = z − 8(1 − i) là:
A. 2 + i; −2 − i. B. 2 − i; −2 + i. C. 2 + 3i; −2 − 3i. D. 2 − 3i; −2 + 3i.
Câu 79. Gọi z1, z2, z3, z4 là bốn nghiệm của phương trình z4
− z3
+
z2
2
+ z + 1 = 0 trên tập số
phức. Tính tổng S =
1
z2
1
+
1
z2
2
+
1
z2
3
+
1
z2
4
.
A.
1
2
. B. 1. C. 0. D. 2.
Câu 80. Gọi z1, z2 là hai nghiệm của phương trình z +
1
z
= 1. Giá trị của P = z1
2017
+ z2
2017
là:
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Lời giải. Chọn đáp án B
z +
1
z
= 1 ⇔ z2
− z + 1 = 0 ⇔ z =
1
2
±
√
3
2
i ⇒ z3
= −1
⇒ P = ((z1)3
)672
z1 + ((z2)3
)672
z2 = z1 + z2 = 1.
Câu 81. Cho phương trình z2
+ mz + 2 = 0(1) trên trường số phức và m là tham số thực. Giá
trị của m để (1) có hai nghiệm ảo z1, z2, trong đó z1 có phần ảo âm và phần thực của số phức
w = z1 + iz2 bằng
1
2
là:
A. Không tồn tại m. B. m = −2. C. m = 1. D. m = −5.
Câu 82. Giả sử phương trình z2
+ z + 22017
= 0 có hai nghiệm phức phân biệt z1, z2. Tính giá
trị của biểu thức P = log2 |z1|2017
+ |z2|2017
.
A. 20172
. B.
20172
2
+ 2
20172
2 . C.
20172
2
. D. 1 +
20172
2
.
Câu 83. Gọi z0 là một nghiệm của phương trình z2
− 2z + 20162017
= 0. Số phức
w =
z0 + 20162017
z0 + 1
có phần thực bằng bao nhiêu?
A. 20162017
. B. 1. C. 2. D.
√
20162017.
Lời giải. Chọn đáp án B
Với phương trình bậc hai hệ số thực, nếu z1 là một nghiệm phức thì nghiệm z2 còn lại là số
phức liên hợp của z1.
Áp dụng Định lý Viete ta có:



w =
z1 + 20162017
z2 + 1
=
z1 + z1z2
z2 + 1
= z1
w =
z2 + 20162017
z1 + 1
=
z2 + z1z2
z1 + 1
= z2
34
lovestem
.edu.vn

10. Vì z1, z2 là hai số phức liên hợp của nhau nên có phần thực như nhau.
Do đó Re(w) =
z1 + z2
2
= 1.
35
lovestem
.edu.vn