Luận văn: Ứng dụng của định lý minimax, HAY, 9đ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
-------------------------
Nguyễn Thị Tuyết Mai
ĐỊNH LÝ MINIMAX VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
TRONG NGHIÊN CỨU SỰ TỒN TẠI NGHIỆM
CỦA BÀI TOÁN BIÊN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2012

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
-------------------------
ĐỊNH LÝ MINIMAX VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
TRONG NGHIÊN CỨU SỰ TỒN TẠI NGHIỆM
CỦA BÀI TOÁN BIÊN
Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số: 60 46 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS LÊ HOÀN HÓA
Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2012

LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS Lê
Hoàn Hóa - giảng viên khoa Toán -Tin - Đại học Sư phạm TP HCM. Tôi xin
được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc với thầy vì thầy đã hướng dẫn, chỉ bảo, giúp
đỡ tận tình trong suốt quá trình làm luận văn.
Tôi xin cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán - Tin -Trường Đại học Sư
phạm TPHCM, những người đã cung cấp kiến thức cần thiết trong quá trình
học tập.
Tôi xin cảm ơn các thầy cô trong phòng Sau đại học - Đại học Sư phạm
TP HCM đã giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành khóa
học này.
Cuối cùng, Luận văn sẽ không thể hoàn thành nếu không có sự ủng hộ,
động viên rất lớn của gia đình và bạn bè. Tôi xin gởi lời cảm ơn đến gia đình
và các bạn Trần Văn Ly, Nguyễn Ngọc Tú,…đã luôn quan tâm, góp ý, giúp
đỡ tôi trong quá trình hoàn thành luận văn.
Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2012.
Học viên

MỤC LỤC
Trang
Trang phụ bìa ..................................................Error! Bookmark not defined.
LỜI CẢM ƠN ...................................................................................................3
MỤC LỤC.........................................................................................................4
CÁC KÝ HIỆU .................................................................................................5
MỞ ĐẦU...........................................................................................................6
CHƯƠNG 0 : CÁC ĐỊNH NGHĨA. ................................................................8
0.1 TÔPÔ YẾU.............................................................................................8
0.2 ÁNH XẠ LIPSCHITZ ............................................................................9
0.3 BẤT ĐẲNG THỨC HOLDER...............................................................9
0.4 ĐIỀU KIỆN PALAIS-SMALE ..............................................................9
0.5 SỰ KHẢ VI CỦA PHIẾM HÀM.........................................................11
0.6 KHÔNG GIAN HÀM...........................................................................13
CHƯƠNG 1 : ĐỊNH LÝ MINIMAX. ...........................................................20
1.1 ĐỊNH LÝ ĐƯỜNG ĐÈO .....................................................................20
1.2 NGUYÊN LÝ MINIMAX TỔNG QUÁT............................................24
CHƯƠNG 2 : MỘT SỐ ỨNG DỤNG............................................................31
2.1 BÀI TOÁN DIRICHLET NỬA TUYẾN TÍNH ..................................32
2.2 TỚI HẠN PHI TUYẾN ........................................................................35
2.3 BÀI TOÁN DIRICHLET NỬA TUYẾN TÍNH ..................................41
KẾT LUẬN.....................................................................................................48
TÀI LIỆU THAM KHẢO...............................................................................49

CÁC KÝ HIỆU
Ω: miền của ,N

( ) ( ) {, :p p
L L fµΩ= Ω = Ω →  đo được, }, 1
p
f d pµ
Ω
< ∞ ≤ < ∞∫
( )( )
1/
: ,
pp
p
u u x dx
Ω
= ∫
( ) ( ){: :D u C∞
Ω = ∈ Ω suppu là tập compắc của }Ω .
( ) ( ) ( ) ( )1 1,2 1 1,2
0 0, , ,N N N N
H D H D    : không gian Sobolev.
*
2 : , 1,2,N=∞ =
( ): 2 / 2 , 3.N N N= − ≥
o
A: tập mở của A.
A: tập đóng của A.
( ),B x r : quả cầu mở với tâm x và bán kính r .
[ ],B x r : quả cầu đóng với tâm x và bán kính r .
Ta định nghĩa: → là hội tụ mạnh; ⇀ là hội tụ yếu.
Cho hàm : Xϕ →  và S là tập con của X ta có:
( ){ }
( ){ }
( ) { }
: : ,
: : , ,
, inf , .
d
u X u d
S u X dist u S
dist u S u v v S
δ
ϕ ϕ
δ
=∈ ≤
=∈ ≤
= − ∈

MỞ ĐẦU
Toán học là một trong những ngành khoa học cơ bản cổ xưa nhất của nhân
loại. Nó có sức cuốn hút mãnh liệt, đã và đang là niềm đam mê của rất nhiều
thế hệ các nhà khoa học, chứa đựng trong nó là cả một kho tàng vô tận những
bí ẩn cũng như khả năng ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau của
cuộc sống. Toán học sử dụng những học thuyết toán, kỹ thuật tính toán, thuật
toán, với sự hỗ trợ của công nghệ thông tin để giải quyết mọi vấn đề từ kinh
tế, khoa học, kỹ thuật, vật lý đến những vấn đề thuộc về khoa học xã hội và
nhân văn.
Phương trình vi phân phi tuyến cũng góp phần tạo nên những bí ẩn và ứng
dụng đó. Vậy tại sao chúng ta không thử tìm hiểu để thấy được vẻ đẹp của
nó?
Có thể có người nghĩ giải bài toán tuyến tính thì dễ hơn bài toán phi tuyến.
Nhưng dễ hay khó không là vấn đề nếu ta nắm được chìa khóa của bài toán.
Nhiều bài toán phi tuyến trong vật lý và khoa học xã hội đều có thể quy về
tìm những điểm tới hạn của những hàm số (những hàm số thực trên những
không gian khác nhau). Có nhiều điểm mà tại đó một người đi bộ đi xuyên
qua những dãy núi sẽ nhìn về chiều ngang, không thể trèo lên mà cũng không
tụt xuống. Những điểm tới hạn đầu tiên được học là điểm cực đại và điểm cực
tiểu và nhiều hoạt động trong giải tích được dành để tìm những điểm này.
Một bài toán khó hơn là tìm những điểm mà chúng không phải là điểm cực
đại hay cực tiểu. Cho nên từ khi định lý minimax ra đời, nó đã là một công cụ
quan trọng cho những bài toán như vậy và những ứng dụng của nó bao trùm
nhiều lĩnh vực như cơ học, vật lý học, hình học vi phân, kỹ thuật xây dựng, lý
thuyết điều khiển, sinh vật học và kinh tế học.

Mục đích của luận văn là trình bày các bổ đề, định lý quan trọng và một số
ứng dụng của định lý minimax trong sự nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài
toán biên ( tham khảo trong [8] ).
Luận văn gồm 3 chương
Chương 0 gồm các khái niệm cơ bản như tôpô yếu, điều kiện Palais-
Smale, đạo hàm Gateaux, đạo hàm Fréchet, không gian hàm, định lý nhúng
Sobolev, định lý nhúng Rellich, bất đẳng thức Poincaré.
Chương 1 gồm định lý đường đèo cho không gian Hilbert, nguyên lý
minimax tổng quát, định lý đường đèo cho không gian Banach, định lý điểm
yên ngựa và định lý liên kết.
Chương 2 gồm ứng dụng định lý đường đèo và định lý liên kết để chứng
minh sự tồn tại nghiệm của 3 bài toán.

CHƯƠNG 0 : CÁC ĐỊNH NGHĨA.
0.1 TÔPÔ YẾU
Giả sử X là không gian tuyến tính, X′ là không gian liên hợp đại số của ,X
F là không gian con tuyến tính của X .
Tôpô đầu xác định bởi họ ánh xạ F được kí hiệu là ( ),X Fσ . Đó là tôpô yếu
nhất trên X sao cho các phiếm hàm f F∈ liên tục.
Giả sử X là không gian định chuẩn, *
X là không gian liên hợp của .X Tôpô
( )*
,X Xσ gọi là tôpô yếu trên .X
Họ các tập hợp có dạng
( ) ( ) ( ){ }0 1 0
1
; ,..., , : ,
n
n k k
k
U x f f x X f x f xε ε
=
= ∈ − <
(trong đó { }0 1, ,..., nx X f f∈ là một họ hữu hạn những phần tử của *
,X ε là
một số dương) là một cơ sở của tôpô yếu trên .X
Tôpô yếu trên không gian định chuẩn yếu hơn tôpô xác định bởi chuẩn (được
gọi là tôpô mạnh).
Các khái niệm: tập hợp đóng yếu, compắc yếu,…được hiểu là tập hợp đóng,
compắc,…đối với tôpô yếu. Các khái niệm: tập hợp đóng mạnh, compắc
mạnh,…được hiểu là tập hợp đóng, compắc,…đối với tôpô mạnh.
Dãy phần tử { }nx của X gọi là hội tụ yếu đến phần tử 0x X∈ nếu { }nx hội
tụ đến 0x đối với tôpô yếu ( )*
,X Xσ . Khi đó, ta viết nx ⇀ 0x .
Dãy phần tử { }nx của X gọi là hội tụ mạnh đến 0x X∈ nếu { }nx hội tụ đến
0x đối với tôpô mạnh. Khi đó, ta viết nx ⟶ 0x hoặc 0lim 0n
n
x x
→∞
− =.
Định lý 0.1

Giả sử { }nx là dãy phần tử của không gian định chuẩn ,X 0x X∈ . Khi đó:
1) nx ⇀ 0x ⇔ ( ) ( )0lim n
n
f x f x
→∞
= với mọi *
f X∈ .
2) nx ⇀ 0x ⇒ { }nx bị chặn và 0 lim nx x≤ .
Định lý 0.2
Cho các không gian Banach ,X Y và ánh xạ tuyến tính : .A X Y→ Khi đó:
A liên tục ⇔ A liên tục đối với ( ) ( )* *
, , ,X X Y Yσ σ .
0.2 ÁNH XẠ LIPSCHITZ
Cho ( ) ( ), , ,X YX d Y d là hai không gian mêtric. Ánh xạ :A X Y→ được gọi
là ánh xạ Lipschitz nếu tồn tại hằng số thực 0k ≥ sao cho với mọi 1 2,x x X∈
thì ( ) ( )1 2 1 2, . ,Y Xd Ax Ax k d x x< . (*)
- Số ( )k A bé nhất thỏa (*) được gọi là hệ số Lipschitz của A.
- Nếu ( ) 1k A < ta nói A là ánh xạ co hệ số ( )k k A= hay A là k -co.
Ánh xạ :A X Y→ được gọi là ánh xạ Lipschitz địa phương nếu với mỗi x
trong X tồn tại một lân cận U của x sao cho A bị thu hẹp đến U là ánh xạ
Lipschitz.
0.3 BẤT ĐẲNG THỨC HOLDER
Cho
1 1
, , 1p q
f L g L
p q
∈ ∈ + =thì 1
fg L∈ , ta có
.p q
fg d f gµ
Ω
≤∫ với 1 p≤ < ∞.
0.4 ĐIỀU KIỆN PALAIS-SMALE

Nhiều bài toán biên tương đương với phương trình
0Au = (1)
trong đó :A X Y→ là ánh xạ giữa hai không gian Banach.
Trong bài toán biến phân, tồn tại hàm số : Xϕ →  sao cho A ϕ′= (đạo hàm
Gateaux của ϕ ), nghĩa là
( ) ( )
0
, lim
t
u tv u
Au v
t
ϕ ϕ
→
+ −
= .
Không gian Y tương ứng chính là không gian đối ngẫu X′ của X và phương
trình (1) tương đương với ( ) 0uϕ′ = , nghĩa là
( ), 0u vϕ′ = , v X∀ ∈ . (2)
Một điểm tới hạn của ϕ là một nghiệm u của (2) và giá trị của ϕ tại u là
một giá trị tới hạn của ϕ . Làm thế nào để tìm những giá trị tới hạn?
Khi ϕ bị chặn dưới, cận dưới đúng
: inf
X
c ϕ=
là một ứng cử tự nhiên. Nguyên lý biến phân Ekeland [4] dẫn đến sự tồn tại
của một dãy ( )nu sao cho
( )nu cϕ → , ( ) 0nuϕ′ → .
Một dãy như vậy được gọi là một dãy Palais-Smale tại mức .c Phiếm hàm ϕ
được gọi là thỏa điều kiện ( )c
PS nếu mọi dãy Palais-Smale tại mức c chứa
một dãy con hội tụ. Nếu ϕ bị chặn dưới và thỏa điều kiện ( )c
PS tại mức
: inf
X
c ϕ= thì c là một giá trị tới hạn của ϕ .
Theo Ambrosetti và Rabinowitz, ta xét trường hợp khi ϕ có cực tiểu địa
phương tại 0 nhưng không là cực tiểu toàn cục. Khi đó tồn tại 0r > và e X∈
sao cho e r> và

( ) ( ) ( )inf 0
u r
u eϕ ϕ ϕ
=
> ≥ .
Điểm ( )( )0, 0ϕ tách biệt ( )( ),e eϕ bởi một “vòng núi”. Nếu ta xét tập hợp Γ
các đường nối 0 và e thì
[ ]
( )( )0,1
: inf max
t
c t
γ
ϕ γ
∈Γ ∈
=
cũng là một ứng cử tự nhiên. Lần nữa nguyên lý biến phân Ekeland dẫn đến
sự tồn tại của một dãy ( )nu sao cho
( )nu cϕ → , ( ) 0nuϕ′ → ,
Nhưng c tổng quát không là một giá trị tới hạn của ϕ .
0.5 SỰ KHẢ VI CỦA PHIẾM HÀM
Định nghĩa 0.1
Cho U là một tập con mở trong không gian Banach .X Phiếm hàm
: Xϕ →  có đạo hàm Gateaux f X′∈ tại u U∈ nếu với mọi ,h X∈
( ) ( )0
1
lim , 0
t
u th u f th
t
ϕ ϕ
→
 + − −  =  .
Ký hiệu: ( ),f th f th=
Đạo hàm Gateaux của ϕ tại u ghi là ( ).uϕ′
Phiếm hàm ϕ có đạo hàm Fréchet f X′∈ tại u U∈ nếu
( ) ( )0
1
lim , 0
h
u h u f h
h
ϕ ϕ
→
 + − −  =  .
Phiếm hàm ϕ thuộc ( )1
,C U  nếu đạo hàm Fréchet của ϕ tồn tại và liên tục
trên .U
Nếu X là không gian Hilbert và phiếm hàm ϕ có đạo hàm Gateaux tại
,u U∈ gradient của ϕ tại u được định bởi

( )( ) ( ), : ,u h u hϕ ϕ′∇ =
Ghi chú 0.1
a) Đạo hàm Gateaux được cho bởi
( ) ( ) ( )0
1
, : lim
t
u h u th u
t
ϕ ϕ ϕ
→
′ = + −  
b) Đạo hàm Frechet là đạo hàm Gateaux.
c) Nếu phiếm hàm ϕ có đạo hàm Gateaux liên tục thì ( )1
,C Uϕ ∈  .
Định nghĩa 0.2
Cho ( )1
, .C Uϕ ∈  Phiếm hàm ϕ có đạo hàm Gateaux bậc hai ( ),L X X′∈
tại u U∈ nếu với mọi , ,h v X∈
( ) ( )0
1
lim , 0
t
u th u Lth v
t
ϕ ϕ
→
′ ′+ − − =.
Đạo hàm Gateaux bậc hai tại u ghi là ( ).uϕ′′
Phiếm hàm ϕ có đạo hàm Fréchet bậc hai ( ),L X X′∈ tại u U∈ nếu
( ) ( )0
1
lim 0
h
u h u Lh
h
ϕ ϕ
→
′ ′+ − − =   .
Phiếm hàm ϕ thuộc ( )2
,C U  nếu đạo hàm Fréchet bậc hai của ϕ tồn tại và
liên tục trên U .
Ghi chú 0.2
a) Đạo hàm Gateaux bậc hai được cho bởi
( ) ( ) ( )0
1
, : lim ,
t
u h v u th u v
t
ϕ ϕ ϕ
→
′′ ′ ′= + −
b) Đạo hàm Fréchet bậc hai cũng là đạo hàm Gateaux bậc hai.
c) Nếu phiếm hàm ϕ có đạo hàm Gateaux bậc hai liên tục thì
( )2
,C Uϕ ∈  .

0.6 KHÔNG GIAN HÀM
Định nghĩa 0.3
Không gian ( ) ( ) ( ){ }1 2 2
: :N N N
H u L u L= ∈ ∇ ∈   .
Với tích vô hướng
( ) [ ]1
, : .
N
u v u v uv= ∇ ∇ +∫

và chuẩn tương ứng
1
2
2 2
1
N
u u u
 
= ∇ +  
 
∫

là một không gian Hilbert.
Cho Ω là tập mở trong .N
 Không gian ( )1
0H Ω là bao đóng của ( )D Ω trong
( )1
.N
H 
Cho 3N ≥ và ( )*
2 : 2 / 2N N= − .
Không gian ( ) ( ) ( ){ }*
1,2 2 2
: : .N N N
D u L u L= ∈ ∇ ∈  
Với tích vô hướng
( )2
, : .
N
u v u v= ∇ ∇∫

và chuẩn tương ứng
1
2
2
2
N
u u
 
= ∇  
 
∫

là một không gian Hilbert. Không gian ( )1,2
0D Ω là bao đóng của ( )D Ω trong
( )1,2
.N
D 
Ta có kết quả sau

Định lý 0.3 (Định lý nhúng Sobolev)
Các phép nhúng sau đây liên tục:
( ) ( )1 N p N
H L⊂  , 2 , 1,2p N≤ < ∞ = ,
( ) ( )1 N p N
H L⊂  , *
2 2 , 3p N≤ ≤ ≥ ,
( ) ( )
*
1,2 2N N
D L⊂  , 3N ≥ .
Đặc biệt, bất đẳng thức Sobolev thỏa mãn
( )1,2
*2
2
2
1
: inf 0N
u D
u
S u
∈
=
= ∇ >

.
Định lý 0.4 (Định lý nhúng Rellich)
Nếu Ω bị chặn, phép nhúng sau compắc
( ) ( )1
0
p
H LΩ ⊂ Ω , *
1 2p≤ < .
Hệ quả 0.1 (Bất đẳng thức Poincaré)
Nếu Ω bị chặn thì bất đẳng thức sau thỏa mãn
( ) ( )1
0
2
2
1 2
1
: inf 0
u H
u
uλ
∈ Ω
=
Ω= ∇ > .
Bổ đề
Giả sử Ω bị chặn, 1 , ,p r≤ < ∞ ( )f C∈ Ω×  và ( ) ( )/
, 1
p r
f x u c u≤ + .
Khi đó, với mọi ( )p
u L∈ Ω thì ( ) ( )., r
f u L∈ Ω và toán tử
( ) ( ) ( ): : ,p r
A L L u f x uΩ → Ω  liên tục.
Chứng minh bổ đề
1) Giả sử ( )p
u L∈ Ω .
Do ( ) ( ) ( )
/ 1
, 1
rr p rr
f x u c u L≤ + ∈ Ω nên suy ra ( ) ( )., r
f u L∈ Ω .

2) Giả sử nu u→ trong ( )P
L Ω . Xét dãy con ( )nv của ( )nu . Khi đó, giả sử
( ) ( )nv x u x→ hầu khắp nơi trên Ω . Tồn tại dãy con ( )nω của ( )nv sao cho:
1
1
, 1
2
j j jp
jω ω+ − ≤ ∀ ≥ .
Xác định ( ) ( ) ( ) ( )1 1
1
: j j
j
g x x x xω ω ω
∞
+
=
= + −∑ .
Khi đó, g hầu khắp nơi trên Ω, ( ) ( )n x g xω ≤ và như vậy ( ) ( )u x g x≤ .
Do ( ) ( ) ( ) ( )( ), , , ,
rr
n nf x f x u f x f x uω ω− ≤ +
( ) ( ) ( ) ( )
/ / / 1
1 1 2 1 .
r rp r p r p rr r
nc c u c g Lω ≤ + + + ≤ + ∈ Ω
 
Từ định lý hội tụ bị chặn Lebesgue suy ra: nA Auω → trong ( )r
L Ω .
Vậy nAu Au→ trong ( )r
L Ω .
Bổ đề được chứng minh.
Mệnh đề
Cho Ω là tập mở trong N
 và 2 p< < ∞ .
Phiếm hàm
( ):
p
u uψ
Ω
= ∫ , ( ):
p
u uχ +
Ω
= ∫ thuộc lớp ( )( )2
,p
C L Ω  và
( )
2
,
p
u h p u uhψ
−
Ω
′ = ∫ , ( ) ( )
1
,
p
u h p u hχ
−
+
Ω
′ = ∫ .
Chứng minh
Xác định ( )
2
:
p
f u p u u
−
= . Giả sử nu u→ trong p
L . Theo bổ đề trên suy ra
( ) ( )nf u f u→ trong ( )q
L Ω với ( ): / 1q p p= − .
* Tồn tại đạo hàm Gateaux
Ta chỉ xét hàm ψ , hàm χ được chứng minh tương tự.

Cho , p
u h L∈ . Với x∈Ω và 0 1t< < . Do định lý giá trị trung bình trong
tích phân cho hàm số ( ) ( ) ( ) ( )
1
1 : . .
p
g s p u x s h x h x
−
= + liên tục trên [ ]0,t , tồn
tại ( )0,1λ ∈ sao cho
( ) ( )1 1
0
.
t
g s ds t g λ=∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
. .
p p p
u x t h x u x tp u x h x h xλ
−
⇒ + − = +
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1.
.
p p
pu x t h x u x
p u x h x h x
t
λ
−+ −
⇒ =+
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
.
.
p p
p
u x t h x u x
p u x h x h x
t
λ
−
+ −
⇒ =+
( ) ( ) ( )
1p
p u x h x h x
−
 ≤ + 
Bất đẳng thức Holder suy ra
( ) ( ) ( ) ( )
1
1
p
u x h x h x L
−
 + ∈ Ω 
Từ định lý Lebesgue suy ra
( )
2
,
p
u h p u uhψ
−
Ω
′ = ∫ .
* Tính liên tục của đạo hàm Gateaux
Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ), , ,n nu u h u h u hψ ψ ψ ψ′ ′ ′ ′− = −
2 2p p
n np u u h p u uh
− −
Ω Ω
= −∫ ∫
( )2 2p p
n np u u p u u h
− −
Ω
= −∫
( ) ( )nf u f u h
Ω
 = − ∫
Do đó ta có:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),n n nu u h f u f u h f u f u hψ ψ
Ω Ω
′ ′    − ≤ − ≤ −   ∫ ∫
Áp dụng bất đẳng thức Holder với ( ), / 1p q p p= − ta được:
( ) ( ) ( ) ( ), .n n pq
u u h f u f u hψ ψ′ ′− ≤ −
Và như vậy:
( ) ( ) ( ) ( ) 0, .n n q
u u f u f u nψ ψ′ ′− ≤ − → → ∞
* Tồn tại đạo hàm Gateaux bậc hai
Cho ( ), , p
u h v L∈ Ω . Với x∈Ω và 0 1t< < .
Ta có:
( ) ( ) ( )0
1
, lim ,
t
u h v u th u v
t
ϕ ϕ ϕ
→
′′ ′ ′= + −
Xét ( ) ( ) ( ) ( ), , ,u th u v u th v u vϕ ϕ ϕ ϕ′ ′ ′ ′+ − = + −
( )
2 2p p
p u th u th v p u uv
− −
Ω Ω
= + + −∫ ∫
( )
2 2p p
p u th u th p u u v
− −
Ω
 = + + −
 ∫
( ) ( )f u th f u v
Ω
= + −  ∫
Do định lý giá trị trung bình trong tích phân cho hàm số
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2 : 1 . .
p
g s p p u x s h x v x
−
= − + liên tục trên [ ]0,t , tồn tại ( )0,1λ ∈
sao cho
Do đó
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
1
pf u x th x f u x v x
p p u x h x v x
t
λ
−
 + − 
= − +
( ) ( )2 2
0
. .
t
g s ds t g λ=∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
1
p
p p u x h x h x v x
−
 ≤ − + 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
1
p
u x h x h x v x L
−
 + ∈ Ω  .
( ) ( )
2
, 1
p
u h v p p u hvψ
−
Ω
′′ = − ∫ .
* Tính liên tục của đạo hàm Gateaux bậc hai
Xác định ( ) ( )
2
: 1
p
g u p p u
−
= − .
Giả sử nu u→ trong p
L . Từ bổ đề trên ta có: ( ) ( )ng u g u→ trong r
L với
( ): / 2r p p= − .
Ta có: ( ) ( )( ) ( ) ( ), , ,n nu u h v u h v u h vψ ψ ψ ψ′′ ′′ ′′ ′′− = −
( ) ( )
2 2
1 1
p p
np p u hv p p u hv
− −
Ω Ω
= − − −∫ ∫
( ) ( )( )2 2
1 1
p p
np p u p p u hv
− −
Ω
= − − −∫
( ) ( )ng u g u hv
Ω
 = − ∫
Do đó ta có
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ),n n nu u h v g u g u hv g u g u hvψ ψ
Ω Ω
′′ ′′    − = − ≤ −   ∫ ∫
Áp dụng bất đẳng thức Holder với ( ), / 2p r p p= − ta được:
( ) ( )( ) ( ) ( ),n n p pr
u u h v g u g u h vψ ψ′′ ′′− ≤ − ,
Và như vậy
( ) ( ) ( ) ( ) 0, .n n r
u u g u g u nψ ψ′′ ′′− ≤ − → → ∞
Mệnh đề được chứng minh.

Hệ quả 0.2
a) Cho 2 p< < ∞ nếu 1,2N = và *
2 2p< ≤ nếu 3N ≥ . Phiếm hàm ψ và
χ thuộc lớp ( )( )2 1
0 ,C H Ω  .
b) Cho 3N ≥ và *
2p = . Phiếm hàm ψ và χ thuộc lớp ( )( )2 1,2
0 ,C D Ω  .
Chứng minh
Kết quả suy trực tiếp từ định lý Sobolev.

CHƯƠNG 1 : ĐỊNH LÝ MINIMAX.
1.1 ĐỊNH LÝ ĐƯỜNG ĐÈO
1.1.1 Bổ đề biến đổi số lượng
Ta sẽ chứng minh trường hợp đơn giản của bổ đề biến đổi số lượng. Trường
hợp tổng quát sẽ chứng minh sau.
Ta định nghĩa: ](( )1
,d
dϕ ϕ−
= −∞ .
Bổ đề 1.1
Cho X là không gian Hilbert, ( )2
, , , 0C X cϕ ε∈ ∈ >  . Giả sử
[ ]( )( ) ( )1
2 , 2 : 2 .u c c uϕ ε ε ϕ ε−
′∀ ∈ − + ≥
Khi đó, tồn tại ( ),C X Xη ∈ sao cho
(i) ( ) [ ]( )1
, 2 , 2u u u c cη ϕ ε ε−
= ∀ ∉ − + ,
(ii) ( )c cε ε
η ϕ ϕ+ −
⊂ .
Chứng minh
Ta định nghĩa:
[ ]( )1
: 2 , 2A c cϕ ε ε−
= − + ,
[ ]( )1
: ,B c cϕ ε ε−
= − + ,
( ) ( ) ( ) ( )( )
1
: , , ,u dist u X A dist u X A dist u Bψ
−
= + .
Như vậy ψ liên tục Lipschitz địa phương, 1ψ = trên B và 0ψ = trên X A.
Ta định nghĩa trường vectơ liên tục Lipschitz địa phương
( ) ( ) ( ) ( )
2
:f u u u uψ ϕ ϕ
−
=− ∇ ∇ , u A∈ ,
: 0= , u X A∈ ,
Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
2f u u u uψ ϕ ϕ ε
− − −
= ∇ ≤ ∇ ≤ trên X .

Với mỗi u X∈ , bài toán Cauchy
( ) ( )( )
( )
, ,
0,
d
t u f t u
dt
u u
σ σ
σ

=

 =
có duy nhất nghiệm ( ).,uσ xác định trên . Hơn nữa, σ liên tục trên .X×
Ánh xạ η xác định trên X bởi ( ) ( ): 2 ,u uη σ ε= thỏa (i) vì
( )( ) ( )( ) ( ), , , ,
d d
t u t u t u
dt dt
ϕ σ ϕ σ σ
 
= ∇ 
 
(3)
( )( ) ( )( )( ), , ,t u f t uϕ σ σ= ∇
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )2
, , , , ,t u t u t u t uϕ σ ψ σ ϕ σ ϕ σ
−
=∇ − ∇ ∇
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )
2
, , , , ,t u t u t u t uψ σ ϕ σ ϕ σ ϕ σ
−
=− ∇ ∇ ∇
( )( ) ( )( ) ( )( )
2 2
, , . ,t u t u t uψ σ ϕ σ ϕ σ
−
=− ∇ ∇
( )( ),t uψ σ= −
( )( ).,uϕ σ không giảm. Lấy c
u ε
ϕ +
∈ . Nếu tồn tại [ ]0,2t ε∈ sao cho
( )( ),t u cϕ σ ε< − thì ( )( )2 ,u cϕ σ ε ε< − và (ii) được thỏa mãn. Nếu
( ) [ ]( ) [ ]1
, , , 0,2t u c c tσ ϕ ε ε ε−
∈ − + ∀ ∈ ,
Từ (3) ta được
( )( ) ( ) ( )( )
2
0
2 , ,
d
u u t u dt
dt
ε
ϕ σ ε ϕ ϕ σ= + ∫
( ) ( )( )
2
0
,u t u dt
ε
ϕ ψ σ= − ∫
2c cε ε ε≤ + − = −

1.1.2 Định lý đường đèo
Định lý đường đèo là định lý đơn giản nhất và thường dùng nhất trong định lý
minimax.
Định lý 1.1
Cho X là không gian Hilbert, ( )2
, ,C X e Xϕ ∈ ∈ và 0r > sao cho e r>
và
( ) ( ) ( ): inf 0
u r
b u eϕ ϕ ϕ
=
= > ≥ . (4)
Khi đó, với mỗi 0ε > , tồn tại u X∈ sao cho
a) ( )2 2c u cε ϕ ε− ≤ ≤ + ,
b) ( ) 2uϕ ε′ < ,
trong đó
[ ]
( )( )0,1
: inf max
t
c t
γ
ϕ γ
∈Γ ∈
= và [ ]( ) ( ) ( ){ }: 0,1 , : 0 0, 1C X eγ γ γΓ= ∈ = = .
Chứng minh
Từ giả thiết (4) suy ra
[ ]
( )( )0,1
max
t
b tϕ γ
∈
≤ .
Và như vậy
[ ]
( )0,1
max
t
b c teϕ
∈
≤ ≤ .
Giả sử với 0ε > , kết luận của định lý không thỏa mãn là ( ) 2 .uϕ ε′ ≥ Ta có
thể giả sử:
( ) ( )2 0c eε ϕ ϕ− > ≥ (5)
Từ định nghĩa của c , tồn tại γ ∈Γ sao cho
[ ]
( )( )0,1
max
t
t cϕ γ ε
∈
≤ + .(6)
Xét : ,β η γ=  trong đó η cho bởi bổ đề 1.1.
Dùng (i) trong bổ đề 1.1 và (5), ta có:

( ) ( )( ) ( )0 0 0 0β η γ η= = = .
Và tương tự ( ) ( )( ) ( )1 1 e eβ η γ η= = = , như vậy β ∈Γ .
Dùng (ii) trong bổ đề 1.1 và (6), ta có:
[ ]
( )( )0,1
max
t
c t cϕ β ε
∈
≤ ≤ − .
Mâu thuẫn.
Định lý được chứng minh.
Để chứng minh c là giá trị tới hạn của ,ϕ ta cần điều kiện compắc sau
Định nghĩa 1.1 (Brezis-Coron-Nirenberg, 1980)
Cho X là không gian Banach, ( )1
,C Xϕ ∈  và c∈ . Hàm số ϕ thỏa mãn
điều kiện ( )c
PS nếu với mọi dãy ( )nu X⊂ sao cho
( ) ( ), 0n nu c uϕ ϕ′→ → (7)
có một dãy con hội tụ.
Định lý 1.2 (Ambrosetti-Rabinowitz, 1973)
Với các giả thiết trong Định lý 1.1, nếu ϕ thỏa mãn điều kiện ( )c
PS thì c là
giá trị tới hạn của ϕ .
Chứng minh
Từ Định lý 1.1 suy ra tồn tại dãy ( )nu X⊂ sao cho
( ) ( ), 0n nu c uϕ ϕ′→ →
Từ điều kiện ( )c
PS , ( )nu có một dãy con hội tụ về u X∈ .
Khi đó, ( )u cϕ = và ( ) 0uϕ′ = .
Vậy c là giá trị tới hạn của ϕ .
Thí dụ (Brezis-Nirenberg, 1991)
Với các giả thiết trong Định lý 1.1 tổng quát, c không là giá trị tới hạn của ϕ .
Ta định nghĩa ( )2
,Cϕ ∞
∈   bởi

( ) ( )
32 2
, : 1x y x x yϕ = + −
Khi đó, ϕ thỏa mãn các giả thiết trong Định lý 1.1. Nhưng chỉ có 0 là giá trị
tới hạn của ϕ .
1.2 NGUYÊN LÝ MINIMAX TỔNG QUÁT
Phần này ta chỉ chứng minh nguyên lý Minimax tổng quát.
1.2.1 Bổ đề biến đổi số lượng
Định nghĩa 1.2
Cho M là không gian Mêtric, X là không gian định chuẩn và
{ }: 0h M X′→ là ánh xạ liên tục. Một trường vectơ giả gradient
(pseudogradient) của h trên M là một trường vectơ liên tục Lipschitz địa
phương :g M X→ sao cho với mọi u M∈ ,
( ) ( )2g u h u≤ , ( ) ( ) ( )
2
,h u g u h u≥ .
Bổ đề 1.2
Với các giả thiết của định nghĩa trên, tồn tại một trường vectơ giả gradient
của h trên M .
Chứng minh
Với mỗi v M∈ , tồn tại x X∈ sao cho 1x = và ( ) ( )
2
,
3
h v x h v> .
Xác định ( )
3
:
2
y h v x= do đó
( ) ( ) ( )
3 3
. 2
2 2
y h v x h v h v= = < và
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
23 3 3 2
, , , .
2 2 2 3
h v y h v h v x h v h v x h v h v h v= = > =
Vì h liên tục nên tồn tại lân cận mở vN của v sao cho
( )2y h u≤ , ( ) ( )
2
,h u y h u≥ , (8)

với mọi vu N∈ . Họ 𝒩 { }: :vN v X= ∈ là một phủ mở của M . Vì M là không
gian Mêtric, do đó paracompắc, tồn tại một phủ mở hữu hạn địa phương ℳ
{ }: :iM i I= ∈ của M mịn hơn 𝒩. Với mỗi i I∈ , tồn tại v M∈ sao cho
i vM N⊂ . Do đó tồn tại iy y= sao cho (8) thỏa mãn với mọi iu M∈ . Định
nghĩa trên ,M
( ) ( )
( )
( )
( )
: ,
:
i i
i
i
i I j
j I
u dist u X M
u
g u y
u
ρ
ρ
ρ∈
∈
=
= ∑
∑
Khi đó, kiểm tra được g là trường vectơ giả gradient của h trên .M
Vì ( )
( )
( )
( )
( )
( )2i i
i i i
i I i Ij j
j I j I
u u
g u y y y h u
u u
ρ ρ
ρ ρ∈ ∈
∈ ∈
= = ≤ ≤∑ ∑
∑ ∑
và
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2
, , ,i i
i i
i I i Ij j
j I j I
u u
h u g u h u y h u y h u
u u
ρ ρ
ρ ρ∈ ∈
∈ ∈
= = ≥∑ ∑
∑ ∑
Bổ đề 1.3
, , , , , 0C X S X cϕ ε δ∈ ⊂ ∈ >  sao
cho
[ ]( )( ) ( )1
2
8
2 , 2 :u c c S uδ
ε
ϕ ε ε ϕ
δ
−
′∀ ∈ − + ∩ ≥ . (9)
Khi đó, tồn tại [ ]( )0,1 ,C X Xη ∈ × sao cho
(i) ( ),t u uη = nếu 0t = hoặc nếu [ ]( )1
22 , 2u c c S δϕ ε ε−
∉ − + ∩ ,
(ii) ( )1, c c
Sε ε
η ϕ ϕ+ −
∩ ⊂ ,
(iii) ( ),.tη là đồng phôi của X , [ ]0,1t∀ ∈ ,

(iv) ( ) [ ], , , 0,1t u u u X tη δ− ≤ ∀ ∈ ∀ ∈ ,
(v) ( )( ).,uϕ η không giãn, u X∀ ∈ ,
(vi) ( )( ) [ ], , , 0,1c
t u c u S tδϕ η ϕ< ∀ ∈ ∩ ∀ ∈ .
trong đó ( ){ } ](1
: , , ,r
S x X dist x S rδ δ ϕ ϕ−
= ∈ < = −∞ .
Chứng minh
Do bổ đề 1.2, tồn tại một trường vectơ giả gradient g của ϕ′ trên
( ){ }: : 0M u X uϕ′=∈ ≠ .
Ta định nghĩa
[ ]( )1
2: 2 , 2A c c S δϕ ε ε−
= − + ∩ ,
[ ]( )1
: ,B c c Sδϕ ε ε−
= − + ∩ ,
( ) ( ) ( ) ( )( )
1
: , , ,u dist u X A dist u X A dist u Bψ
−
= +
Như vậy ψ là hàm liên tục Lipschitz địa phương, 1ψ = trên B và 0ψ = trên
X A.
Ta định nghĩa trường vectơ liên tục Lipschitz địa phương
( ) ( ) ( ) ( )
2
:f u u g u g uψ
−
= − , u A∈ ,
: 0= , u X A∈ ,
Theo định nghĩa và giả thiết (9), ( ) / 8f u δ ε≤ trên X .
Với mỗi ,u X∈ bài toán Cauchy
( ) ( )( )
( )
, ,
0,
d
t u f t u
dt
u u
σ σ
σ

=

 =
có duy nhất nghiệm ( ).,uσ xác định trên . Hơn nữa, σ liên tục trên X× .
Ánh xạ η xác định trên [ ]0,1 X× bởi ( ) ( ), : 8 , .t u t uη σ ε=

Suy từ định nghĩa và giả thiết (9), 0t ≥ ,
( ) ( )( ) ( )( )
0 0
, , ,
8
t t
t
t u u f u d f u d
δ
σ σ τ τ σ τ τ
ε
−= ≤ ≤∫ ∫ (10)
( )( ) ( )( ) ( ), , , ,
d d
t u t u t u
dt dt
ϕ σ ϕ σ σ′= (11)
( )( ) ( )( ), , ,t u f t uϕ σ σ′=
( )( ),
4
t uψ σ
≤ −
Vậy ta kiểm tra được (i), (iii), (v) và (vi).
Cho c
u Sε
ϕ +
∈ ∩ . Nếu tồn tại [ ]0,8t ε∈ sao cho ( )( ),t u cϕ σ ε< − thì
( )( )8 ,u cϕ σ ε ε< − và (ii) được thỏa mãn. Nếu
( ) [ ]( ) [ ]1
, , , 0,8t u c c tσ ϕ ε ε ε−
∈ − + ∀ ∈ ,
Từ (10) và (11) ta được
( )( ) ( ) ( )( )
8
0
8 , ,
d
u u t u dt
dt
ε
ϕ σ ε ϕ ϕ σ= + ∫
( ) ( )( )
8
0
1
,
4
u t u dt
ε
ϕ ψ σ= − ∫
2c cε ε ε≤ + − = −
và (ii) cũng được thỏa mãn.
1.2.2 Nguyên lý minimax tổng quát
Định lý 1.3
Cho X là không gian Banach. Cho 0M là không gian con đóng của không gian
Mêtric M và ( )0 0,C M XΓ ⊂ . Định nghĩa
( ){ }0
0: , : M
C M Xγ γΓ= ∈ ∈Γ .

Nếu ( )1
,C Xϕ ∈  thỏa mãn
( )( ) ( )( )
0 0 0
0: inf sup : sup sup
u M u M
c u a u
γ γ
ϕ γ ϕ γ
∈Γ ∈ ∈Γ ∈
∞ >= >= (12)
Khi đó, với mỗi ( )( )0, / 2 , 0c aε δ∈ − > và γ ∈Γ sao cho
sup
M
cϕ γ ε≤ + , (13)
tồn tại u X∈ sao cho
a) ( )2 2c u cε ϕ ε− ≤ ≤ + ,
b) ( )( ), 2dist u Mγ δ≤ ,
c) ( )
8
u
ε
ϕ
δ
′ ≤ .
Chứng minh
Giả sử giả thiết sai. Tức là ( )
8
.u
ε
ϕ
δ
′ > Áp dụng bổ đề 1.3 với ( ):S Mγ=
Ta thừa nhận:
2c aε− > (14)
Xác định ( ) ( )( ): 1,u uβ η γ= . Với mỗi 0u M∈ , từ (14) ta được :
( ) ( )( ) ( )0 01,u u uβ η γ γ= = .
Do đó: β ∈Γ .
Theo đó từ (13) ta có:
( )( ) ( )( )( )sup sup 1,
u M u M
u u cϕ β ϕ η γ ε
∈ ∈
= ≤ − ,
Mâu thuẫn với định nghĩa của c .
Định lý 1.4
Với điều kiện (12) trong định lý 1.3, thì tồn tại một dãy con ( )nu X⊂ thỏa
mãn

( ) ( ), 0n nu c uϕ ϕ′→ → .
Đặc biệt, nếu ϕ thỏa mãn điều kiện ( )c
PS thì c là giá trị tới hạn của ϕ .
Ta cho 3 thí dụ trong đó điều kiện (12) được thỏa mãn.
Định lý đường đèo (Mountain pass Theorem, Ambrosetti-Rabinowitz,
1973)
, ,C X e Xϕ ∈ ∈ và 0r > sao cho e r>
và
( ) ( ) ( ): inf 0
u r
b u eϕ ϕ ϕ
=
= > ≥ .
Nếu ϕ thỏa mãn điều kiện ( )c
PS với
[ ]
( )( )0,1
: inf max ,
t
c t
γ
ϕ γ
∈Γ ∈
=
[ ]( ) ( ) ( ){ }: 0,1 , : 0 0, 1C X eγ γ γΓ= ∈ = = ,
thì c là giá trị tới hạn của ϕ .
Chứng minh
Áp dụng định lý 1.3 với [ ] { } { } ( )0 0 0 00,1 , 0,1 , , 0 0M M γ γ= = Γ= = và
( )0 1 eγ = .
Định lý điểm yên ngựa (hay điểm đèo) (Saddle-point Theorem,
Rabinowitz, 1978)
Cho X Y Z= ⊕ là không gian Banach với dimY < ∞.
Với 0ρ > , định nghĩa
{ } { }0: : , : :M u Y u M u Y uρ ρ=∈ ≤ =∈ =.
Cho ( )1
,C Xϕ ∈  sao cho
0
: inf : max
Z M
b aϕ ϕ= > = .
PS với

( )( ): inf max ,
u M
c u
γ
ϕ γ
∈Γ ∈
=
( ){ }0
: , : ,M
C M X idγ γΓ= ∈ =
thì c là giá trị tới hạn củaϕ .
Chứng minh
Để áp dụng định lý 1.4, ta chỉ cần kiểm tra c b≥ . Ta khẳng định rằng, với
mỗi ( ), M Zγ γ φ∈Γ ∩ ≠ . Thật vậy, đặt P là phép chiếu trên Y sao cho
{ }0PZ = . Nếu ( )M Zγ φ∩ =thì ánh xạ biến
( )
( )
P u
u
P u
ρ γ
γ

là phép co rút từ quả cầu M trên biên 0M . Điều này không thể vì dimY < ∞
(do tính bất biến qua đồng luân của bậc tôpô trên không gian hữu hạn chiều).
Như vậy, với mọi ,γ ∈Γ ta được :
max inf
ZM
bϕ γ ϕ≥ = .
Suy ra: c b≥ .
Định lý liên kết ( Linking Theorem, Rabinowitz, 1978)
Cho X Y Z= ⊕ là không gian Banach với dimY < ∞. Cho 0rρ > > và cho
z Z∈ sao cho z r= . Định nghĩa:
{ }: : , 0, ,M u y z u y Yλ ρ λ= =+ ≤ ≥ ∈
{0 : : ,M u y z y Y uλ ρ==+ ∈ =và 0λ ≥ hoặc u ρ≤ và }0λ = .
{ }: :N u Z u r=∈ =.
Cho ( )1
,C Xϕ ∈  sao cho
0
: inf : max
N M
b aϕ ϕ= > = .

PS với
( )( ): inf max ,
u M
c u
γ
ϕ γ
∈Γ ∈
=
( ){ }0
: , : ,M
C M X idγ γΓ= ∈ =
thì c là giá trị tới hạn của ϕ .
Chứng minh
Để áp dụng định lý 1.4, ta chỉ cần kiểm tra c b≥ . Ta khẳng định rằng, với
mỗi ( ), M Nγ γ φ∈Γ ∩ ≠ . Thật vậy, đặt P là phép chiếu trên Y sao cho
{ }0PZ = và R là phép co rút từ { }Y z z⊕  trên 0M . Nếu ( )M Nγ φ∩ =
thì ánh xạ biến
( ) ( ) ( )( )1
1u R P u P u r zγ γ −
+ −
là phép co rút từ quả cầu M vào 0M . Điều này không thể do M đồng phôi
với quả cầu mở trong không gian hữu hạn chiều.
Như vậy, với mọi ,γ ∈Γ ta được:
max inf
NM
bϕ γ ϕ≥ = .
Suy ra : c b≥ .
CHƯƠNG 2 : MỘT SỐ ỨNG DỤNG.
Ta áp dụng một số định lý minimax cơ bản với bài toán mẫu
( )
( )
2
1
0
p
u u u u
P
u H
λ
−
−∆ + =

∈ Ω
hoặc với một số biến thể.

Cho ( )1
0: Hϕ Ω →  xác định bởi
( )
2 2
:
2 2
p
u uu
u dx
p
λ
ϕ
Ω
 ∇
= + − 
  
∫ .
Vì ( ), .
p
u v u v uv u uv dxϕ λ
Ω
 ′ = ∇ ∇ + −
 ∫ nên điểm tới hạn của ϕ là nghiệm
yếu của ( )P .
2.1 BÀI TOÁN DIRICHLET NỬA TUYẾN TÍNH
Ta khảo sát lớp bài toán
( )
( )
2
1 1
00,
p
u u u u
P
u u H
λ
−
−∆ + =

≥ ∈ Ω
trong đó Ω là một miền của N
 .
Kết quả như sau:
Định lý 2.1
Giả sử Ω bị chặn và *
2 2p< < . Khi đó bài toán ( )1P có một nghiệm không
tầm thường nếu và chỉ nếu ( )1λ λ> − Ω (trong đó ( )1 0λ Ω > là giá trị riêng bé
nhất của −∆ trong ( )1
0H Ω ).
Chứng minh
* Điều kiện cần:
Giả sử u là một nghiệm không tầm thường của ( )1P . Đặt 1
1 0e H∈ là một vectơ
riêng của −∆ ứng với ( )1 1λ λ= Ω với 1 0e > trên Ω. Ta có:
( )1
1 1 1 1 1
p
ue u u e ue ueλ λ−
Ω Ω Ω Ω
= + ∆ > ∆ = −∫ ∫ ∫ ∫ .
Như vậy : 1.λ λ> −
* Điều kiện đủ:

Giả sử 1λ λ> − . Như vậy { }1 1: 1 min 0, / 0c λ λ=+ > . Trên 1
0H , do bất đẳng
thức Poincaré, ta có
2 2 2
12 2 2
u u c uλ∇ + ≥ ∇
Trên 1
0H ta chọn chuẩn
2 2
2 2
u u uλ= ∇ + .
Định nghĩa: ( ) ( )
1
:
p
f u u
−+
= và ( )
( ):
p
u
F u
p
+
= .
Do hệ quả, ta có phiếm hàm
( ) ( )
2 2
:
2 2
u u
u F uϕ λ
Ω
 ∇
= + − 
  
∫
thuộc lớp ( )2 1
0,C H  . Ta sẽ kiểm tra các giả thiết của định lý đường đèo.
Điều kiện ( )c
PS suy ra từ bổ đề sau:
Bổ đề 2.1
Với giả thiết *
2 2p< < như trong định lý 2.1, nếu 1λ λ> − , mọi dãy
( ) 1
0nu H⊂ sao cho
( ) ( ): sup , 0,n n
n
d u uϕ ϕ′= < ∞ →
thì dãy ( )nu chứa một dãy con hội tụ.
Chứng minh
1) Với n đủ lớn, ta có:
( ) ( )
1
1 ,n n n nd u u u u
p
ϕ ϕ′+ + ≥ −
( )2 2 2
2 2
1 1 1 1
2 2
n n nu u u
p p
λ
   
= − ∇ + = −   
   

Suy ra ( )nu bị chặn.
2) Nếu cần ta sẽ dùng dãy con, ta có thể giả sử nu ⇀u trong 1
0H . Do định lý
Rellich, nu u→ trong p
L . Từ bổ đề (chương 0) suy ra: ( ) ( )nf u f u→ trong
q
L với ( ): / 1q p p= − . Nhận xét rằng
( ) ( )( )2 2
,
p
u u u u uϕ λ +
Ω
′ = ∇ + −∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
,n n n n nu u u u u u f u f u u uϕ ϕ
Ω
′ ′  −= − − + − − ∫
Rõ ràng
( ) ( ), 0,n nu u u u nϕ ϕ′ ′− − → → ∞.
Từ bất đẳng thức Holder suy ra
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . 0,n n n n pq
f u f u u u f u f u u u n
Ω
 − − ≤ − − → → ∞ ∫ .
Như vậy, ta chứng minh được: 0,nu u n− → → ∞ .
Chứng minh điều kiện đủ:
Do định Sobolev, tồn tại 2 0c > sao cho, trên 1
0H ,
2p
u c u≤ .
Như vậy ta được
( )
2 2 21 1 1
2 2
p
p p
p
c
u u u u u
p p
ϕ ≥ − ≥ − .
Và tồn tại 0r > sao cho
( ) ( ): inf 0 0
u r
b uϕ ϕ
=
= >= .
Cho 1
0u H∈ với 0u > trên Ω. Với 0t ≥ , ta có:
( ) ( )
2
2 2
2 2
2
p
p
p
t t
tu u u u
p
ϕ λ= ∇ + − ,

Do 2p > , tồn tại :e tu= sao cho e r> và ( ) 0eϕ ≤ .
Do định lý đường đèo nên ϕ có một giá trị tới hạn dương và bài toán:
( )
( )1
0
u u f u
u H
λ−∆ + =

∈ Ω
có một nghiệm không tầm thường u . Nhân phương trình với u−
và tích phân
trên Ω ta được:
2 2 2
2 2
0 u u uλ− − −
=∇ + = .
Như vậy, 0u−
= và u là một nghiệm của bài toán ( )1P .
2.2 TỚI HẠN PHI TUYẾN
Lần này đề cập đến bài toán:
( )
( )
*
2 2
2
1
00,
u u u u
P
u u H
λ
−−∆ + =

≥ ∈ Ω
trong đó Ω là một miền bị chặn của N
 , 3N ≥ và ( ) ( )1 1( 0λ λ λ≥ − Ω Ω > là
giá trị riêng bé nhất của −∆ trong ( )1
0H Ω ).
Định nghĩa: ( ) ( )
*
2 1
:f u u
−+
= và ( )
( )
*
2
*
:
2
u
F u
+
= .
Do hệ quả, ta có phiếm hàm :
( ) ( )
2 2
:
2 2
u u
u F u dxϕ λ
Ω
 ∇
= + − 
  
∫
thuộc lớp ( )( )2 1
0 ,C H Ω  .
Trên ( )1
0 ,H Ω ta chọn chuẩn

2 2
2 2
:u u uλ= ∇ + .
Bổ đề 2.2 (Brézis-Lieb, 1983)
Cho Ω là tập mở của N
 và ( ) ( ), 1p
nu L p⊂ Ω ≤ < ∞. Giả sử :
a) ( )nu bị chặn trong ( )p
L Ω ,
b) nu u→ hầu khắp nơi trênΩ,
Khi đó: ( )lim
p p p
n n pp pn
u u u u
→∞
− − = .
Chứng minh
Bổ đề Fatou’s đưa đến:
lim np p
u u≤ < ∞.
Cố định 0ε > . Tồn tại ( )c ε sao cho, với mọi ,a b∈có:
( )
p p p p
a b a a c bε ε+ − ≤ + .
Như vậy ta được:
( ) ( )( ): 1
p p pp p
n n n nf u u u u u u c uε
ε ε
+
= − − − − − ≤ + .
Do định lý Lebesgue,
0,nf nε
Ω
→ → ∞∫ .
Do
p p pp
n n n nu u u u f u uε
ε− − − ≤ + − nên ta được:
lim
p p p
n n
n
u u u u cε
Ω→∞
− − − ≤∫
trong đó : sup
p
n p
n
c u u= − < ∞ .
Cho 0ε → .
Bổ đề 2.3

Cho dãy ( ) ( )1
0nu H⊂ Ω sao cho
( ) ( )
/2
*
: sup : , 0,
N
n n
n
S
d u c u
N
ϕ ϕ′= <= →
trong đó do bất đẳng thức Sobolev có
( )1,2
*2
2
2
1
: inf N
u D
u
S u
∈
=
= ∇

.
Khi đó, dãy ( )nu chứa dãy con hội tụ.
Chứng minh
Như trong chứng minh bổ đề 2.1, dãy ( )nu bị chặn. Để thiết lập dãy con hội
tụ, ta giả sử
nu ⇀u trong ( )1
0H Ω ,
nu u→ trong ( )2
L Ω ,
nu u→ hầu khắp nơi trên Ω .
Do ( )nu bị chặn trong ( )
*
2
,L Ω ( )( )nf u bị chặn trong ( )
( )2 / 2N N
L
+
Ω và như
vậy
( )nf u ⇀ ( )f u trong ( )
( )2 / 2N N
L
+
Ω .
Suy ra: ( )u u f uλ−∆ + = và
( ) ( )
*
*
2
2
* 2
1 1
0.
2 2 2
u
u F u uϕ +
Ω
 
=− =− ≥ 
 
∫ (15)
Đặt :n nv u u= − . Bổ đề Brezis-Lieb dẫn đến:
( ) ( ) ( ) ( )1n nF u F u F v o
Ω Ω Ω
= + +∫ ∫ ∫ .
Giả sử ( )nu c dϕ → ≤ , ta được:
( ) ( )
2
2
n
n
v
u F v cϕ
Ω
+ − →∫ . (16)
Do ( ), 0n nu uϕ′ → , ta nhận được:

( ) ( ) ( )
2 2* *
2 2 , 0n nv F v F u u u uϕ
Ω Ω
′− → − =− =∫ ∫ .
Hơn nữa, ta có thể giả sử:
( )
2 *
, 2n nv b F v b
Ω
→ →∫ ,
Do 0nv → trong ( )2
L Ω suy ra:
2
2nv b∇ → . Do bất đẳng thức Sobolev ta có:
*
22
2 2n nv S v+
∇ ≥ .
Và như vậy
*
2/2
b Sb≥ .
Suy ra: 0b = hoặc /2N
b S≥ .
Nếu 0b = phần chứng minh hoàn tất.
Giả sử /2N
b S≥ , từ (15) và (16) suy ra:
* /2 *
* *
1 1 1 1
2 2 2 2
N
c S b c d c
   
= − ≤ − ≤ ≤ <   
   
.
Mâu thuẫn.
Định lý 2.2 (Brézis-Nirenberg, 1983)
Cho Ω là miền bị chặn của , 4N
N ≥ . Nếu ( )1 0λ λ− Ω < < thì bài toán ( )2P
có một nghiệm không tầm thường.
Chứng minh
1)Áp dụng định lý đường đèo với một giá trị *
c c< .
Theo bổ đề tiếp sau, tồn tại hàm không âm { }1
0 0v H∈ sao cho
*
2
2
2
v
S
v
< .
Ta được: ( )
( )*
**
/22 2
2 2 /2
2 22 *
*0 0
/
0 max max
2 2
N
N
t t
v vt t S
tv v v c
N N
ϕ
≥ ≥
 
< = − = <=  
 
∫

2) Do ( )
* *
* *
2 2
2 2
* 2 2* 2 /2
1 1
2 2 2 2
u u
u u u
S
ϕ ≥ − ≥ − ∇ ,
Tồn tại 0r > sao cho
( ) ( )inf 0 0
u r
b uϕ ϕ
=
= >= .
Tồn tại 0 0t > sao cho 0t v r> và ( )0 0t vϕ < . Từ bước 1 suy ra
[ ]
( ) *
0
0,1
max .
t
tt v cϕ
∈
<
Theo bổ đề 2.3 và định lý đường đèo, ϕ có một giá trị tới hạn ( )*
,c b c∈ và
bài toán
( )
( )1
0
u u f u
u H
λ−∆ + =

∈ Ω
có một nghiệm không tầm thường u . Nhân phương trình với u−
và tích phân
trên Ω ta được
2 2 2
2 2
0 u u uλ− − −
=∇ + = .
Như vậy, 0u−
= và u là một nghiệm của bài toán ( )2P .
Bổ đề 2.4
Với các điều kiện của định lý 2.2, tồn tại một hàm không âm { }1
0 0v H∈ sao
cho
*
2
2
2
v
S
v
< .
Chứng minh
Ta có thể giả sử 0∈Ω. Lấy ( )Dψ ∈ Ω là một hàm không âm sao cho 1ψ ≡
trên ( )0, , 0B ρ ρ > và 0ε > , định nghĩa

( ) ( )
( )2 /2
: / ,
N
U x U xε ε ε−
=
( ) ( ) ( ):u x x U xε εψ= .
Định lý Aubin-Talenti khẳng định:
( )
( )
( )
( )
2 /4
2 /22
2
:
1
N
N
N N
U x
x
−
−
−  =
 +
 
là đánh giá tốt nhất choS .
Suy ra:
*
*
2 2 /2
2 2
N
U U Sε ε∇ = = .
Cho 0 ,ε +
→ ta có:
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
* *
2 2 2 /2 2
2 2 /2
2 2 2
0,
,
,
N
N
N N N
N N N
N
B
u U O S O
u U O S O
u U O
ε ε
ε ε
ε ε
ρ
ε ε
ε ε
ε
− −
Ω
Ω
−
Ω
∇ = ∇ + = +
= + = +
= +
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫


( )
( )( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
2 22 2
2
2 22 2
0,
2 2
2 2
2 2
2 2
ln , 4
, 5
N N
N
N N
B x
N
N N N N
O
x
d O N
d O N
ε ε ρ
ε ε
ε
ε
ε ε ε
ε ε
− −
−
− −
< <
−
   − −   ≥ + +
 + =
= 
+ ≥
∫ ∫
trong đó d là hằng số dương. Nếu 4N = , ta được
( )
( )
( )
*
2 2 2 2
2 1 2
2 1/2
2 4
2
ln
ln ,
S d Ou
S d S O S
u S O
ε
λ ε ε ε
λ ε ε ε
ε
−
+ +
≤ =+ + <
 + 
với 0ε > đủ nhỏ.
Tương tự, nếu 5N ≥ , ta được
( )
( )
( )
( )*
*
2 /2 2 2
2 /22 2
2 2/2
/2
2
,
N N
N N
N N
S d Ou
S d S O S
u S O
ε
ε
λ ε ε
λ ε ε
ε
−
− −
+ +
≤ =+ + <
 + 

với 0ε > đủ nhỏ.
Cho 0ε → , bổ đề được chứng minh.
2.3 BÀI TOÁN DIRICHLET NỬA TUYẾN TÍNH
Định lý liên kết được áp dụng cho bài toán:
( )
( ) ( )
( )
3 1
0
,u a x u f x u
P
u H
−∆ + =

∈ Ω
trong đó Ω là một miền của N
 và ( )/2N
a L∈ Ω nếu 3N ≥ .
Bổ đề 2.5
Nếu 3N ≥ và ( )/2N
a L∈ Ω , phiếm hàm
( ) ( )1,2 2
0: :D u a x u dxχ
Ω
Ω → → ∫ liên tục yếu.
Chứng minh
Phiếm hàm χ được xác định bởi bất đẳng thức Sobolev và Holder.
Giả sử nu ⇀u trong 1,2
0D và xét dãy con bất kỳ ( )nv của ( )nu .
Do nv u→ trong 2
locL . Ta có thể giả sử nv u→ hầu khắp nơi trên Ω.
Do ( )nv bị chặn trong
*
2
,L ( )2
n
v bị chặn trong ( )/ 2N N
L
−
.
Như vậy 2
n
v ⇀ 2
u trong ( )/ 2N N
L
−
và như vậy :
( ) ( )2 2
na x v dx a x u dx
Ω Ω
→∫ ∫ .
Như vậy χ liên tục yếu.
Bổ đề 2.6
Nếu Ω bị chặn, 3N ≥ và ( )/2N
a L∈ Ω thì
( )
( )( )1
0
2
2 2
1
1
: inf
u H
u
u a x u dxλ
∈ Ω
Ω=
= ∇ + > −∞∫ .

Chứng minh
Xét dãy cực tiểu ( ) 1
0nu H⊂ thỏa mãn
( )
122
2
1
1, n
n
n
u
u
u
χ
λ
+
∇= → .
Ta có thể giả sử nu ⇀u trong 1
0H . Từ định lý Rellich và bổ đề 2.5 suy ra
( ) ( )
2 2
22
,n nu u u uχ χ→ → .
Do 1 , 0uλ < +∞ ≠ . Ta được:
( )
2
2
1 2
2
u u
u
χ
λ
∇ +
≥ .
Vậy 1λ > −∞.
Cho 1 2 1.... 0 ...n nλ λ λ λ +< ≤ ≤ ≤ < ≤ là dãy các giá trị riêng của
( )
( )1
0
u a x u u
u H
λ−∆ + =

∈ Ω
trong đó mỗi giá trị riêng được lập lại ứng với số bội của nó.
Cho 1 2 3, , ,...e e e là những vectơ riêng trực chuẩn tương ứng trong ( )2
L Ω .
Bổ đề 2.7
Dưới các giả thiết của bổ đề 2.6, nếu:
( )
( ){ }
1
1
0
: ,..., ,
: : 0, ,
nY span e e
Z u H uv v Y
Ω
=
= ∈ Ω = ∈∫
thì ( )( )
2
2 2
1
: inf 0
u Z
u
u a x u dxδ
∈
Ω∇ =
= ∇ + >∫ .
Chứng minh

Từ định nghĩa, trên Z , ta có:
( )2 2 2
1nu au uλ +∇ + ≥∫ ∫ .
Xem dãy làm cực tiểu ( )nu Z⊂ sao cho
2
1nu∇ =, ( )1 nuχ δ+ → .
Ta có thể giả sử nu ⇀u trong 1
0H . Theo bổ đề 2.5 suy ra
( ) ( )
2
2
11 nu u u uδ χ χ λ +=+ ≥ ∇ + ≥∫ ∫ .
Nếu 0, 1u δ= = và nếu 2
10, 0nu uδ λ +
Ω
≠ ≥ >∫ .
Bây giờ xét phiếm hàm
( ) ( ): ,u F x u dxψ
Ω
= ∫ ,
trong đó ( ) ( )
0
, : ,
u
F x u f x s ds= ∫ .
Bổ đề 2.8
Giả sử Ω bị chặn, ( )f C∈ Ω×  và ( ) ( )1
, 1
p
f x u c u
−
≤ + với 1 p< < ∞ nếu
1,2N = và *
1 2p< ≤ nếu 3N ≥ . Khi đó phiếm hàm ψ thuộc lớp
( )( )1 1
0 ,C H Ω  và ( ) ( ), ,u h f x u hdxψ
Ω
′ = ∫ .
Chứng minh
* Tồn tại đạo hàm Gateaux
Cho 1
0,u h H∈ . Với x∈Ω và 0 1t< < . Do định lý giá trị trung bình trong
tích phân, tồn tại ( )0,1λ ∈ sao cho

( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )
, ,
,
F x u x th x F x u x
f x u x h x h x
t
λ
+ −
= +
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )
1 1 11
1 1 2
p p pp
c u x h x h x c u x h x h x
− − −−
≤ + + ≤ + +
( ) ( )( )( ) ( ) ( )
1 11 1
1 2
p pp
u x h x h x L
− −−
+ + ∈ Ω .
( ) ( ), ,u h f x u hdxψ
Ω
′ = ∫ .
* Tính liên tục của đạo hàm Gateaux
Giả sử nu u→ trong 1
0H . Do định lý nhúng Sobolev, nu u→ trong p
L .
Từ bổ đề suy ra: ( ) ( ), ,nf x u f x u→ trong q
L với ( ): / 1q p p= − .
Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ), , ,n nu u h u h u hψ ψ ψ ψ′ ′ ′ ′− = −
( ) ( ), ,nf x u hdx f x u hdx
Ω Ω
= −∫ ∫
( ) ( )( ), ,nf x u f x u hdx
Ω
= −∫
Do đó ta có
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ), , , , ,n n nu u h f x u f x u hdx f x u f x u hdxψ ψ
Ω Ω
′ ′− = − ≤ −∫ ∫
Áp dụng bất đẳng thức Holder với ( ), / 1p q p p= − ta được
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1
, , , . , ,n n p npq q
u u h f x u f x u h c f x u f x u hψ ψ′ ′− ≤ − ≤ −
Và như vậy: ( ) ( ) ( ) ( ), , 0, .n p n q
u u c f x u f x u nψ ψ′ ′− ≤ − → → ∞
Ta sẽ chứng minh dưới điều kiện hạn chế hơn, phiếm hàm

( )
( )
( )
2 2
: ,
2 2
u a x u
u F x u dxϕ
Ω
 ∇
= + − 
 
 
∫
thỏa mãn điều kiện ( )c
PS với mọi c∈.
Bổ đề 2.9
Giả sử Ω bị chặn và
( )1f ( )/2N
a L∈ Ω nếu ( )3, , 1q
N a L q≥ ∈ Ω > nếu 2N = và ( )1
a L∈ Ω nếu
1N = , ( )f C∈ Ω×  và với ( ) ( )1*
1 2 , 0, , 1
p
p c f x u c u
−
< < > ≤ + .
( )2f tồn tại 2α > và 0R > sao cho ( ) ( )0 , ,u R F x u uf x uα≥ ⇒ < ≤ .
Khi đó, mọi dãy ( ) ( )1
0nu H⊂ Ω sao cho ( ) ( ): sup , 0n n
n
d u uϕ ϕ′= < ∞ → đều
chứa một dãy con hội tụ.
Chứng minh
1) Xét trường hợp 3N ≥ . Trên 1
0H , chọn chuẩn 2
:u u= ∇ .
Sau khi lấy tích phân, từ ( )2f tồn tại 1 0c > sao cho
( ) ( )1 1 ,c u F x u
α
− ≤ . (17)
Cho
1 1
,
2
β
α
 
∈ 
 
. Với n đủ lớn và 2 3, 0c c > ta có:
( ) ( )1 ,n n n nd u u u uϕ β ϕ′+ + ≥ −
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
1 22
2 2 2
1 1 32 2
1
, ,
2
1
1 ,
2
1
1
2
n n n n n
n n n
n n n
u au f x u u F x u dx
z y F x u dx c
z y c u c
β β
β δ λ αβ
β δ λ αβ
  
= − ∇ + + −  
  
 
≥ − + + − − 
 
 
≥ − + + − − 
 
∫
∫
trong đó, kết hợp bổ đề 2.7, , ,n n n n nu y z y Y z Z= + ∈ ∈ .

Khi đó kiểm tra được ( )nu bị chặn trong 1
0H bằng cách dùng sự kiện dimY
hữu hạn.
2) Ta có thể giả sử nu ⇀u trong 1
0H . Do định lý Rellich, nu u→ trong p
L .
Từ bổ đề (chương 0) suy ra: ( ) ( ), ,nf x u f x u→ trong q
L với ( ): / 1q p p= − .
Nhận xét rằng
( ) ( ) ( )
2 2
, ,u u u a x u f x u u dxϕ  ′ = ∇ + −
 ∫
( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )
22
, , ,n n n n n nu u u u u u f x u f x u u u a u u dxϕ ϕ  ′ ′−= − − + − − − −
 ∫
Rõ ràng rằng
( ) ( ), 0n nu u u uϕ ϕ′ ′− − → .
Theo bổ đề 2.5 ta có
( )
2
0na u u dx
Ω
− →∫ .
Áp dụng bất đẳng thức Holder với ( ), / 1p q p p= − ta được
( ) ( )( )( ) ( ) ( ), , , , . 0, .n n n n pq
f x u f x u u u dx f x u f x u u u n− − ≤ − − → → ∞∫
Ta chứng minh được: 0,nu u n− → → ∞ .
Định lý 2. 3
Giả sử Ω bị chặn, ( )1f , ( )2f và
( )3f ( ) ( ), , 0f x u o u u= → đều trên Ω,
( )4f ( )
2
,
2
n
u
F x uλ ≤ ,
Khi đó, bài toán ( )3P có một nghiệm không tầm thường.
Chứng minh

1) Xét trường hợp 3N ≥ .
Ta kiểm tra các giả thiết của định lý liên kết.
Điều kiện ( )c
PS được suy ra từ bổ đề 2.9. Như trước đây, chọn 2
:u u= ∇
2) Dùng ( )1f và ( )3f , ta được:
( )( ) ( )
2
0 0 : ,
p
c F x u u c uε εε ε∀ > ∃ > ≤ + .
Từ bổ đề 2.7 suy ra, trênZ
( ) ( )2 2 2 2
2
2 2
p p
p
u u u c u u u c uε ε
δ δ
ϕ ε ε≥ − + = − −∫ .
Do định lý nhúng Sobolev, tồn tại 0r > sao cho:
( ): inf 0
u r
u Z
b uϕ
=
∈
= > .
3) Do giả thiết ( )4f , trên ,Y ta có: ( ) ( )
2
, 0
2
n
u
u F x u dxϕ λ
 
≤ − ≤ 
 
∫ .
Định nghĩa 1
1
: n
n
re
z
e
+
+
= . Từ (17) suy ra:
( )
*
22
2
1 1/2
2 2N
uu
u a c u c
α
α
ϕ ≤ + − + Ω . ( Ω là thể tích của Ω)
Do trên không gian hữu hạn chiều Y z⊕  , mọi chuẩn đều tương đương, ta
có:
( ) , ,u u u Y zϕ → −∞ → ∞ ∈ ⊕  .
Như vậy tồn tại rρ > sao cho:
0
0 max
M
ϕ= , trong đó
{0 : : ,M u y z y Y uλ ρ==+ ∈ =và 0λ ≥ hoặc u ρ≤ và }0λ = .
4) Nếu 1 0λ > , ta dùng định lý đường đèo thay vì định lý liên kết.
Hệ quả

Giả sử Ω bị chặn và *
2 2p< < . Khi đó, với mọi λ ∈ bài toán
( )
( )
2
1
0
*
p
u u u u
u H
λ
−
−∆ + =

∈ Ω
có một nghiệm không tầm thường.
Chứng minh
Ta áp dụng định lý 2.3 cho bài toán ( )* với ( )a x λ= và ( )
2
, .
p
f x u u u
−
=
Kiểm tra bài toán (*) thỏa các điều kiện ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4, , ,f f f f .
Vậy (*) có một nghiệm không tầm thường.
KẾT LUẬN
Nội dung của Luận văn trình bày một số kết quả về phép tính vi phân trên
không gian Banach, định lý Minimax và một số ứng dụng để chứng minh sự
tồn tại nghiệm của các phương trình vật lý.
Luận văn gồm 3 chương
- Chương 0 trình bày một số định nghĩa cơ bản về hội tụ yếu, điều kiện
Palais-Smale, đạo hàm Gateaux, không gian hàm và kết quả định lý nhúng
Sobolev, định lý nhúng Rellich.
- Chương 1 trình bày các định lý quan trọng: định lý đường đèo cho
không gian Hilbert, định lý minimax, định lý đường đèo cho không gian
Banach, định lý điểm yên ngựa và định lý liên kết.
- Chương 2 trình bày ứng dụng của định lý đường đèo, định lý liên kết để
chứng minh sự tồn tại nghiệm của 3 bài toán.

Cuối cùng, vì thời gian thực hiện luận văn có hạn nên không tránh khỏi
thiếu sót. Do đó, tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp của Quý thầy cô và
các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
[1] Lê Hoàn Hóa (2012), Phép tính vi phân trên không gian Banach, Đề tài
nghiên cứu khoa học cấp cơ sở.
[2] Lê Hoàn Hóa, Giải tích phi tuyến 1.
[3] Nguyễn Xuân Liêm (1994), Giải tích hàm, Nhà xuất bản giáo dục.
Tiếng Anh
[4] Ekeland I. (1990), Convexity methods in Hamiltonian mechanics,
Springer, Berlin.
[5] Rabinowitz P.H (1978), Some critical point theorems and applications to
seminlinear elliptic partial differential equations, Ann. Scuola Normale
Sup.Pisa, Classe Scienza 4, page 215-223.
[6] Schwartz L. ( 1991-1994), Cours d’analyse, Hermann, Paris.
[7] Willem M. (1995), Analyse harmonique réelle, Hermann, Paris.

[8] Willem M. (1996), Minimax Theorems, Birkhauser.

Luận văn: Ứng dụng của định lý minimax, HAY, 9đ

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (19)

Similar to Luận văn: Ứng dụng của định lý minimax, HAY, 9đ

Similar to Luận văn: Ứng dụng của định lý minimax, HAY, 9đ (20)

More from Dịch vụ viết bài trọn gói ZALO 0917193864

More from Dịch vụ viết bài trọn gói ZALO 0917193864 (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Luận văn: Ứng dụng của định lý minimax, HAY, 9đ