ระบบจำนวนจริง 1.  จำนวนตรรกยะ  คือ  จำนวนที่เขียนในรูป 1.1  จำนวนเต็ม  เช่น  0  , 1 , - 1 ,  2 , -2 ,  3 , -3 , . .  .  1....
แผนผังแสดงความสัมพันธ์ของจำนวน จำนวนเชิงซ้อน จำนวนจริง จำนวนเชิงซ้อน ที่ไม่ใช่จำนวนจริง จำนวนอตรรกยะ จำนวนตรรกยะ จำนวนตรรก...
ตัวอย่าง  จงหาผลหารและเศษ เมื่อหาร  2 x 2  -   7 x  + 3   ด้วย  x  + 2 วิธีทำ ใช้วิธีการหารสังเคราะห์ 2 - 7 3 -2 2 -  4 + ...
การเท่ากันในระบบจำนวน 1.  สมบัติการสะท้อน เช่น  a  =  a 2.  สมบัติการสมมาตร เช่น  ถ้า  a  =  b   แล้ว  b  =  a 3.  สมบัติก...
การบวกและการคูณในระบบจำนวนจริง บทนิยาม  ในระบบจำนวนจริง  เรียกจำนวนจริงที่บวกกับจำนวนจริง   จำนวนใดก็ตามได้ผลลัพธ์เป็นจำนว...
สมบัติของระบบจำนวนจริงเกี่ยวกับการบวก 1.  สมบัติปิดของการบวก 2.  สมบัติการสลับที่ของการบวก 3.  สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการ...
การลบและการหารจำนวนจริง บทนิยาม   เมื่อ  a  และ  b  เป็นจำนวนจริงใดๆ  a - b  =  a + (-b) ทฤษฎีบทที่  1   ถ้า  a ,  b  และ ...
การแก้สมการตัวแปรเดียว ตัวอย่าง จงแก้สมการ  3x 3  + 2x 2  - 12x  -  8  =  0 วิธีทำ จะได้  (3 x 3  + 2x 2  )  -  (12x  +  8...
ทฤษฎีบทเศษเหลือ  (remainder theorem) เมื่อ  p(x)   คือพหุนาม  โดยที่  n  เป็นจำนวนเต็มบวก    เป็นจำนวนจริงซึ่ง  ถ้าหารพหุน...
ทฤษฎีบทตัวประกอบ  (factor  theorem) เมื่อ  p(x)   คือพหุนาม  โดยที่  n  เป็นจำนวนเต็มบวก   เป็นจำนวนจริงซึ่ง  พหุนาม  p (x...
ทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนตรรกยะ เมื่อ  p(x)   คือพหุนาม  โดยที่  n  เป็นจำนวนเต็มบวก    เป็นจำนวนจริงซึ่ง   ถ้า  เป็นตัวประกอบ...
สมบัติการไม่เท่ากัน บทนิยาม   สมาชิกของ  R +   เรียกว่า  จำนวนจริงบวก และ ถ้า  เราเรียก  a  ว่า จำนวนลบ บทนิยาม  a  <  b  ...
ทฤษฎีบทที่  1   สมบัติการถ่ายทอด   ถ้า  a > b  และ  b > c  แล้ว  a > c ทฤษฎีบทที่  2  สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน   ถ้...
ทฤษฏีบทที่  4   สมบัติของการคูณด้วยจำนวนเท่ากันที่ไม่เป็นศูนย์   กรณี  1  ถ้า  a > b  และ  c > 0  แล้ว  ac  >  bc   กรณี  ...
ตัวอย่างที่ 1  จงหาเซตคำตอบของอสมการ วิธีทำ แยกตัวประกอบจะได้ ( x - 4 ) (x + 2)  >  0 x = 4  หรือ  x  =  -2 จะได้  (x - 4 ...
ตัวอย่างที่  2 จงหาเซต คำตอบ วิธีทํา + - + เซตคำตอบคือ นำ  -1  คูณทั้งสองข้าง เปลี่ยนเครื่อง    หมาย จะได้
ตัวอย่างที่  3 จงหาเซต คำตอบ วิธีทํา + - + เซตคำตอบคือ 2 1  4 5
ตัวอย่างที่  4 จงหาเซต คำตอบ วิธีทํา + - + เซตคำตอบคือ ดังนั้น  -
ตัวอย่างที่  5 จงหาเซต คำตอบ วิธีทํา + + เซตคำตอบคือ ดังนั้น  นำ  หารจะได้ -
ตัวอย่างที่  6 จงหาเซต คำตอบ วิธีทํา เซตคำตอบคือ นำ  คูณจะได้
ตัวอย่างที่  7 จงหาเซต คำตอบ วิธีทํา เซตคำตอบคือ เนื่องแทนค่า  x  ด้วย จำนวนจริงใดๆ แล้วได้ จำนวนทั้งสามวงเล็บเป็นจำนวนบวก...
ตัวอย่างที่  8  จงหาเซตคำตอบอสมการ วิธีทำ จะได้ จะเห็นว่าเป็นจริงทุกค่า  x   ดังนั้นเซตคำตอบคือ
ตัวอย่างที่  9  จงหาเซต คำตอบอสมการ วิธีทำ จะได้ ดังนั้นเซตคำตอบคือ  จะเห็นว่าไม่มีจำนวนจริงใดที่ทำให้อสมการเป็นจริง
ตัวอย่างที่  10 จงหาเซตคำตอบอสมการ วิธีทำ -5 +  2   <  3x - 2  +  2   <  10 +  2 - 3  <  3x  <  12 ดังนั้น เซตคำตอบ คือ ( ...
ตัวอย่างที่  11 จงหาคำตอบอสมการ วิธีทำ แยกเป็นกรณี และ ( หาค่า  x  ที่สอดคล้องทั้งสองกรณี ) จะได้ 2  + 6  <  x + 3x -6 + 4...
ตัวอย่างที่  12  จงหาเซตคำตอบอสมการ วิธีทำ
นำ  -1  คูณ จะได้ 0 1 + - + - นำ จำนวนลบคูณเปลี่ยนเครื่องหมายจาก  >  เป็น  < เซตคำตอบคือ
ทดสอบ  1 จงหาเซตคำตอบต่อไปนี้ 1. 2. 3. ตอบ ตอบ ตอบ
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Real (1)

7,578 views

Published on

Published in: Technology, Business
1 Comment
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
7,578
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
3
Actions
Shares
0
Downloads
45
Comments
1
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Real (1)

  1. 1. ระบบจำนวนจริง 1. จำนวนตรรกยะ คือ จำนวนที่เขียนในรูป 1.1 จำนวนเต็ม เช่น 0 , 1 , - 1 , 2 , -2 , 3 , -3 , . . . 1.2 จำนวนที่เขียนในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็ม เช่น 1.3 จำนวนที่เขียนในรูปทศนิยมซ้ำ เช่น 4.14 , 2. จำนวนอตรรกยะ คือ จำนวนที่ไม่สามารถเขียนในรูปเศษส่วนของ จำนวนเต็มที่ตัวส่วนไม่เป็นศูนย์ แต่เขียนได้ในรูปทศนิยมไม่ซ้ำ เช่น , 0.353353335...
  2. 2. แผนผังแสดงความสัมพันธ์ของจำนวน จำนวนเชิงซ้อน จำนวนจริง จำนวนเชิงซ้อน ที่ไม่ใช่จำนวนจริง จำนวนอตรรกยะ จำนวนตรรกยะ จำนวนตรรกยะ ที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม จำนวนเต็ม จำนวนเต็มลบ ศูนย์ จำนวนเต็มบวก หรือ จำนวนนับ
  3. 3. ตัวอย่าง จงหาผลหารและเศษ เมื่อหาร 2 x 2 - 7 x + 3 ด้วย x + 2 วิธีทำ ใช้วิธีการหารสังเคราะห์ 2 - 7 3 -2 2 - 4 + - 11 22 25 ผลหาร 2 x - 11 เศษ 25
  4. 4. การเท่ากันในระบบจำนวน 1. สมบัติการสะท้อน เช่น a = a 2. สมบัติการสมมาตร เช่น ถ้า a = b แล้ว b = a 3. สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c 4. สมบัติของการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c 5. สมบัติการคูณด้วยจำนวนเท่ากัน ถ้า a = b แล้ว a c = b c
  5. 5. การบวกและการคูณในระบบจำนวนจริง บทนิยาม ในระบบจำนวนจริง เรียกจำนวนจริงที่บวกกับจำนวนจริง จำนวนใดก็ตามได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนจริงจำนวนนั้นว่า เอกลักษณ์การบวก ถ้า z เป็นเอกลักการบวกแล้ว z + a = a = a + z โดยที่ a เป็นจำนวนจริงใดๆ บทนิยาม ในระบบจำนวนจริง อินเวอร์สการบวก ของจำนวนจริง a ( ใช้แทนด้วยสัญลักษณ์ - a ) หมายถึงจำนวนจริงที่บวกกับ a แล้วได้ ศูนย์ กล่าวคือ a + (-a) = 0 = (-a) + a
  6. 6. สมบัติของระบบจำนวนจริงเกี่ยวกับการบวก 1. สมบัติปิดของการบวก 2. สมบัติการสลับที่ของการบวก 3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการบวก 4. เอกลักษณ์การบวก 5. อินเวอร์สการบวก
  7. 7. การลบและการหารจำนวนจริง บทนิยาม เมื่อ a และ b เป็นจำนวนจริงใดๆ a - b = a + (-b) ทฤษฎีบทที่ 1 ถ้า a , b และ c เป็นจำนวนจริง 1. a (b - c) = ab - ac 2. (a - b)c = ac - bc 3. (- a) (b - c) = - ab + ac บทนิยาม เมื่อ a และ b เป็นจำนวนจริงใดๆ ทฤษฎีบทที่ 2 ถ้า จะได้
  8. 8. การแก้สมการตัวแปรเดียว ตัวอย่าง จงแก้สมการ 3x 3 + 2x 2 - 12x - 8 = 0 วิธีทำ จะได้ (3 x 3 + 2x 2 ) - (12x + 8) = 0 x 2 (3x + 2) - 4 (3x + 2) = 0 (3x + 2) (x 2 - 4) = 0 (3x + 2) (x + 2) (x - 2) = 0 นั่นคือ 3 x + 2 = 0 หรือ x + 2 = 0 หรือ x - 2 = 0 จะได้ x = -2 3 หรือ x = -2 หรือ x = 2 ดังนั้น เซตคำตอบคือ
  9. 9. ทฤษฎีบทเศษเหลือ (remainder theorem) เมื่อ p(x) คือพหุนาม โดยที่ n เป็นจำนวนเต็มบวก เป็นจำนวนจริงซึ่ง ถ้าหารพหุนาม p (x) ด้วยพหุนาม x - c เมื่อ c เป็นจำนวนจริง แล้วเศษจะเท่ากับ p(c) ตัวอย่าง จงหาเศษ เมื่อหาร x 3 - 4x 2 + 3x + 2 ด้วย x - 1 วิธีทำ เศษ คือ p( 1 ) = ( 1 ) 3 - 4( 1 ) 2 + 3( 1 ) + 2 = 2 , x + 2 เศษ คือ p( -2 ) = ( -2 ) 3 - 4( -2 ) 2 + 3( -2 ) + 2 = -28
  10. 10. ทฤษฎีบทตัวประกอบ (factor theorem) เมื่อ p(x) คือพหุนาม โดยที่ n เป็นจำนวนเต็มบวก เป็นจำนวนจริงซึ่ง พหุนาม p (x) นี้จะมี x - c เป็นตัวประกอบ ก็ต่อเมื่อ p ( c) = 0 ตัวอย่าง จงแสดงว่า x - 2 เป็นตัวประกอบ x 3 - 5x 2 + 2x + 8 วิธีทำ จะได้ p( 2 ) = ( 2 ) 3 - 5( 2 ) 2 + 2( 2 ) + 8 = 0 ให้ p(x) = x 3 - 5x 2 + 2x + 8 ดังนั้น x - 2 เป็นตัวประกอบของ x 3 - 5x 2 + 2x + 8
  11. 11. ทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนตรรกยะ เมื่อ p(x) คือพหุนาม โดยที่ n เป็นจำนวนเต็มบวก เป็นจำนวนจริงซึ่ง ถ้า เป็นตัวประกอบของพหุนาม p(x) โดยที่ m และ k เป็นจำนวนเต็มซึ่ง และ ห . ร . ม . ของ m และ k เท่ากับ 1 แล้ว m จะเป็นตัวประกอบของ k จะเป็นตัวประกอบของ
  12. 12. สมบัติการไม่เท่ากัน บทนิยาม สมาชิกของ R + เรียกว่า จำนวนจริงบวก และ ถ้า เราเรียก a ว่า จำนวนลบ บทนิยาม a < b หมายความว่า a > b หมายความว่า สมบัติไตรวิภาค ( trichotomy property) ถ้า a และ b เป็นจำนวนจริงแล้ว a = b , a < b และ a > b จะเป็นเพียงอย่างใดอย่างหนึ่ง
  13. 13. ทฤษฎีบทที่ 1 สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a > b และ b > c แล้ว a > c ทฤษฎีบทที่ 2 สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a > b แล้ว a + c > b + c c เป็นจำนวนใดๆ ทฤษฎีบท 3 จำนวนบวกและจำนวนลบเปรียบเทียบกับ 0 a เป็นจำนวนบวก ก็ต่อเมื่อ a > 0 a เป็นจำนวนลบ ก็ต่อเมื่อ a < 0
  14. 14. ทฤษฏีบทที่ 4 สมบัติของการคูณด้วยจำนวนเท่ากันที่ไม่เป็นศูนย์ กรณี 1 ถ้า a > b และ c > 0 แล้ว ac > bc กรณี 2 ถ้า a > b และ c < 0 แล้ว ac < bc ทฤษฏีบทที่ 5 สมบัติการตัดออกสำหรับการบวก ถ้า a + c > b + c แล้ว a > b ทฤษฏีบทที่ 6 สมบัติการตัดออกสำหรับการคูณ กรณี 1 ac > bc และ c > 0 แล้ว a > b กรณี 2 ac > bc และ c < 0 แล้ว a < b
  15. 15. ตัวอย่างที่ 1 จงหาเซตคำตอบของอสมการ วิธีทำ แยกตัวประกอบจะได้ ( x - 4 ) (x + 2) > 0 x = 4 หรือ x = -2 จะได้ (x - 4 ) (x + 2) = 0 พิจารณาช่วงคำตอบ -2 4 + - + ( เริ่มที่ช่วงขวาสุดเป็น + และสลับกับ - ) เซตคำตอบที่สอดคล้องอสมการคือ
  16. 16. ตัวอย่างที่ 2 จงหาเซต คำตอบ วิธีทํา + - + เซตคำตอบคือ นำ -1 คูณทั้งสองข้าง เปลี่ยนเครื่อง หมาย จะได้
  17. 17. ตัวอย่างที่ 3 จงหาเซต คำตอบ วิธีทํา + - + เซตคำตอบคือ 2 1  4 5
  18. 18. ตัวอย่างที่ 4 จงหาเซต คำตอบ วิธีทํา + - + เซตคำตอบคือ ดังนั้น -
  19. 19. ตัวอย่างที่ 5 จงหาเซต คำตอบ วิธีทํา + + เซตคำตอบคือ ดังนั้น นำ หารจะได้ -
  20. 20. ตัวอย่างที่ 6 จงหาเซต คำตอบ วิธีทํา เซตคำตอบคือ นำ คูณจะได้
  21. 21. ตัวอย่างที่ 7 จงหาเซต คำตอบ วิธีทํา เซตคำตอบคือ เนื่องแทนค่า x ด้วย จำนวนจริงใดๆ แล้วได้ จำนวนทั้งสามวงเล็บเป็นจำนวนบวก หรือ ศูนย์ ดังนั้นไม่มีจำนวนจริงใดเป็นคำตอบ
  22. 22. ตัวอย่างที่ 8 จงหาเซตคำตอบอสมการ วิธีทำ จะได้ จะเห็นว่าเป็นจริงทุกค่า x ดังนั้นเซตคำตอบคือ
  23. 23. ตัวอย่างที่ 9 จงหาเซต คำตอบอสมการ วิธีทำ จะได้ ดังนั้นเซตคำตอบคือ จะเห็นว่าไม่มีจำนวนจริงใดที่ทำให้อสมการเป็นจริง
  24. 24. ตัวอย่างที่ 10 จงหาเซตคำตอบอสมการ วิธีทำ -5 + 2 < 3x - 2 + 2 < 10 + 2 - 3 < 3x < 12 ดังนั้น เซตคำตอบ คือ ( -1 , 4 )
  25. 25. ตัวอย่างที่ 11 จงหาคำตอบอสมการ วิธีทำ แยกเป็นกรณี และ ( หาค่า x ที่สอดคล้องทั้งสองกรณี ) จะได้ 2 + 6 < x + 3x -6 + 4 < 2x - x 8 < 4x 2 < x - 2 < x คำตอบกรณีนี้ คือ คำตอบกรณีนี้ คือ ดังนั้น เซตคำตอบอสมการคือ =
  26. 26. ตัวอย่างที่ 12 จงหาเซตคำตอบอสมการ วิธีทำ
  27. 27. นำ -1 คูณ จะได้ 0 1 + - + - นำ จำนวนลบคูณเปลี่ยนเครื่องหมายจาก > เป็น < เซตคำตอบคือ
  28. 28. ทดสอบ 1 จงหาเซตคำตอบต่อไปนี้ 1. 2. 3. ตอบ ตอบ ตอบ

×