แผนลำดับ

แผนการจัดการเรียนรู้
รหัสวิชา ค42101 ชื่อรายวิชา คณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้น มัธยมศึกษาปีที่ 5
เรื่อง ลาดับ เวลา 3 ชั่วโมง
หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 ชื่อหน่วย ลาดับ

1. สาระที่ 4 : พีชคณิต
2. มาตรฐาน
ค 4.1 อธิบายและวิเคราะห์รูปแบบ (pattern) ความสัมพันธ์และฟังก์ชันต่าง ๆ ได้
3. มาตรฐานช่วงชั้นที่ 4
ค 4.1.5 เข้าใจความหมายของลาดับเลขคณิต และลาดับเรขาคณิต หาพจน์ต่าง ๆ ของ
ลาดับเลขคณิตและลาดับเรขาคณิตได้
4. ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง
เข้าใจความหมายของลาดับและหาพจน์ทั่วไปของลาดับจากัดที่กาหนดให้ได้
5. สาระสาคัญ
ลาดับ คือฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นจานวนเต็มบวก n ตัวแรก หรือลาดับ คือฟังก์ชันที่มี
โดเมนเป็นจานวนเต็มบวก
การเขียนลาดับในรูปแจงพจน์ คือ การเขียนลาดับเรียงจากพจน์ที่ 1 พจน์ที่ 2 พจน์ที่ 3
ไปเรื่อย ๆ แล้วคั่นแต่ละพจน์ด้วยเครื่องหมายจุลภาค เช่น 3, 5, 7, . . .
พจน์ทั่วไปของลาดับจากัดหรือพจน์ที่ n เขียนแทนด้วย an เช่น an = 4n + 2 เมื่อ
n = 1, 2, 3
6. จุดประสงค์การเรียนรู้
6.1 บอกความหมายของลาดับได้
6.2 บอกความหมายของลาดับจากัดหรือลาดับอนันต์ได้
6.3 เขียนลาดับในรูปแจงพจน์ได้
6.4 หาพจน์ทั่วไปของลาดับที่กาหนดให้ได้
7. สาระการเรียนรู้/เนื้อหา
ความหมายของลาดับ
ลาดับจากัด คือฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตของจานวนเต็มบวก n ตัวแรก
ลาดับอนันต์ คือฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตของจานวนเต็มบวก

การเขียนลาดับในรูปแจงพจน์
พิจารณา f(n) = n + 3 เมื่อ n  {1, 2, 3, 4}
ถ้า n = 1 จะได้ f(1) = 1 + 3 = 4
n = 2 จะได้ f(2) = 2 + 3 = 5
n = 3 จะได้ f(3) = 3 + 3 = 6
n = 4 จะได้ f(4) = 4 + 3 = 7
เมื่อนาค่าเหล่านี้มาเขียนเรียงกันจะได้ f(1), f(2), f(3), f(4) ซึ่งเป็นอีกรูปแบบหนึ่งของ
ลาดับ
จะเห็นว่า โดเมน คือ {1, 2, 3, 4}
เรนจ์ คือ {4, 5, 6, 7}
เรียกลาดับข้างต้นนี้ว่า ลาดับจากัด
และเรียก f(1) ว่าพจน์ที่ 1 ของลาดับ แทนด้วย a1
f(2) ว่าพจน์ที่ 2 ของลาดับ แทนด้วย a2
แต่ f(1) = 4
f(2) = 5
f(3) = 6
f(4) = 7
ดังนั้น 4, 5, 6, 7 จึงเรียกว่า ลาดับเช่นเดียวกัน
ซึ่งการเรียงลาดับในลักษณะนี้เรียกว่า การเขียนลาดับในรูปแจงพจน์
และเรียก 4 ว่า พจน์ที่ 1 ของลาดับ (a1)
5 ว่า พจน์ที่ 2 ของลาดับ (a2)

การหาพจน์ทั่วไปของลาดับจากัด
n = 1, 2, 3 ซึ่งในการหาพจน์ทั่วไปของลาดับจะต้องพิจารณาความสัมพันธ์ระหว่าง an กับ n
แล้วจึงสรุปเป็นกฎเกณฑ์

8. กิจกรรมการเรียนรู้
8.1 ขั้นนาเข้าสู่การเรียนรู้
1. ให้นักเรียนทาแบบทดสอบก่อนเรียน เรื่อง ลาดับ
2. ครูและนักเรียนร่วมกันสนทนาทบทวนเกี่ยวกับความรู้เดิมเรื่องฟังก์ชัน โดยครูกาหนด
ฟังก์ชัน y = f(x) โดยที่ฟังก์ชันมีโดเมนเป็นจานวนเต็มบวก แล้วตั้งคาถามกระตุ้นความคิด
นักเรียนว่าฟังก์ชันซึ่งมีโดเมนเป็นเซตของจานวนเต็ม เช่น f(1), f(2), f(3), …, f(n), … เรียกว่า
อะไร
8.2 ขั้นดาเนินการเรียนรู้
กิจกรรมการเรียนรู้ ทักษะการคิด ตัวบ่งชี้ทักษะ
1. นักเรียนทาเอกสารแนะแนวที่ 1.1.1 แล้ว การให้คา - สามารถเรียบเรียงสมบัติ
ช่วยกันเฉลยและตรวจสอบความถูกต้อง พร้อม จากัดความ เฉพาะของสิ่งนั้นเป็น
ทั้งสรุปความหมายของโดเมนและเรนจ์ของ ข้อความได้กะทัดรัด ชัดเจน
ฟังก์ชัน สละสลวย
2. นักเรียนทาเอกสารแนะแนวทางที่ 1.1.2 การให้คา - สามารถเรียบเรียงสมบัติ
โดยครูใช้การถาม- ตอบ พร้อมเฉลย และ จากัดความ เฉพาะของสิ่งนั้นเป็น
นักเรียนทุกคนร่วมกันสรุปความหมายของลาดับ ข้อความได้กะทัดรัด ชัดเจน
ซึ่งครูคอยแนะแนวทางจนกว่านักเรียนจะเข้าใจ สละสลวย
และสรุปได้ ดังนี้ “ ลาดับ คือฟังก์ชันที่มี
โดเมนเป็นจานวนเต็มบวก n ตัวแรก หรือ
ลาดับ คือฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นจานวนเต็มบวก”
3. นักเรียนทาเอกสารฝึกทักษะที่ 1.1.1 เสร็จ การนาความรู้ - สามารถใช้ความรู้ที่ได้เรียนรู้
แล้วครูและนักเรียนร่วมกันตรวจสอบความ ไปใช้ มาแล้วในสถานการณ์ที่
ถูกต้อง ใกล้เคียงกับที่ได้เคยเรียนรู้
4. นักเรียนทาเอกสารแนะแนวทางที่ 1.1.3 โดย การให้คา - สามารถเรียบเรียงสมบัติ
ครูใช้การถาม- ตอบ พร้อมเฉลยคาตอบที่ถูกต้อง จากัดความ เฉพาะของสิ่งนั้นเป็น
หลังจากนั้นให้นักเรียนพิจารณาลักษณะร่วม ข้อความได้กะทัดรัด ชัดเจน
สังเกตรูปทั่วไป เพื่อนาไปสู่ข้อสรุปความหมาย สละสลวย
ของลาดับจากัดหรือลาดับอนันต์ โดยครูคอย
แนะนาจนกว่านักเรียนเข้าใจและสรุปได้ ดังนี้ “
ลาดับจากัด คือฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตของ
จานวนเต็มบวก n ตัวแรก และลาดับอนันต์
คือฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตของจานวนเต็ม

บวก ”
5. นักเรียนทาแบบฝึกทักษะที่ 1.1.2 เสร็จแล้ว การนาความรู้ - สามารถใช้ความรู้ที่ได้เรียนรู้
ครูและนักเรียนร่วมกันตรวจสอบความถูกต้อง ไปใช้ มาแล้วในสถานการณ์ที่
ใกล้เคียงกับที่ได้เคยเรียนรู้
6. นักเรียนศึกษาใบความรู้ที่ 1 พร้อมทั้งศึกษา การสรุปลง - สามารถอธิบายเหตุผล
ตัวอย่าง แนวคิดทุกขั้นตอนให้ละเอียดจนเข้าใจ ความเห็น ประกอบความคิดเห็นที่ให้
หากมีข้อสงสัยให้ถามครูผู้สอน แล้วร่วมกันสรุป
วิธีเขียนลาดับในรูปแจงพจน์
7. นักเรียนทาแบบฝึกทักษะที่ 1.1.3 เพือ ่ การนาความรู้ - สามารถใช้ความรู้ที่ได้เรียนรู้
ตรวจสอบ ความเข้าใจการเขียนลาดับในรูปแจง ไปใช้ มาแล้วในสถานการณ์ที่
พจน์ เสร็จแล้วครูสุ่มเรียกตัวแทนนักเรียน ใกล้เคียงกับที่ได้เคยเรียนรู้
ออกมาเฉลยบนกระดานดา และให้นักเรียน การสรุปลง - สามารถอธิบายเหตุผล
ร่วมกันอภิปรายคาตอบที่ได้ว่าถูกต้องหรือไม่ ความเห็น ประกอบความคิดเห็นที่ให้
อย่างไร
8. นักเรียนศึกษาใบความรู้ที่ 2 โดยศึกษา การสรุปลง - สามารถอธิบายเหตุผล
ตัวอย่าง แนวคิดทุกขั้นตอนให้ละเอียดจนเข้าใจ ความเห็น ประกอบความคิดเห็นที่ให้
หากมีข้อสงสัยให้ถามครูผู้สอน แล้วร่วมกันสรุป
การหาพจน์ทั่วไปของลาดับจากัด โดยครูคอย
แนะแนวทางจนกว่านักเรียนจะเข้าใจ
9. นักเรียนทาแบบฝึกทักษะที่ 1.2 เสร็จแล้วครู การนาความรู้ - สามารถใช้ความรู้ที่ได้เรียนรู้
สุ่มเรียกตัวแทนนักเรียนออกมาเฉลยบนกระดาน ไปใช้ มาแล้วในสถานการณ์ที่
ดา และให้นักเรียนร่วมกันอภิปรายคาตอบที่ได้ ใกล้เคียงกับที่ได้เคยเรียนรู้
ว่าถูกต้องหรือไม่อย่างไร การสรุปลง - สามารถอธิบายเหตุผล
ความเห็น ประกอบความคิดเห็นที่ให้
10. ครูเขียนลาดับอนันต์ แล้วให้นักเรียนช่วยกัน การสรุปลง - สามารถอธิบายเหตุผล
หาพจน์ทั่วไป (an) เช่น 3, 5, 7, 9, . . . ซึ่ง ความเห็น ประกอบความคิดเห็นที่ให้
คาตอบของนักเรียนอาจมีมากกว่าหนึ่งคาตอบ
11. นักเรียนทาแบบฝึกหัดที่ 1.1.1 และ 1.1.2 การนาความรู้ - สามารถใช้ความรู้ที่ได้เรียนรู้
ในหนังสือเรียน เพื่อเสริมทักษะและความ ไปใช้ มาแล้วในสถานการณ์ที่
แม่นยาในการเรียนรู้ ใกล้เคียงกับที่ได้เคยเรียนรู้

8.3 ขั้นสรุปผลการเรียนรู้
1. ครูและนักเรียนช่วยกันสรุปการหาพจน์ทั่วไปของลาดับ พร้อมทั้งอภิปรายในประเด็น
การหาพจน์ทั่วไปของลาดับอนันต์ถ้ากาหนดเพียงพจน์แรก ๆ จานวนหนึ่ง (กี่พจน์ก็ตาม) พจน์
ทั่วไปจะมีได้หลายคาตอบ ยกเว้นจะทราบชนิดของลาดับนั้น
2. ให้นักเรียนทาแบบทดสอบหลังเรียน เรื่อง ลาดับ เพื่อประเมินความก้าวหน้าของ
นักเรียน
9. สื่อ/แหล่งเรียนรู้
1. แบบทดสอบก่อน/หลังเรียน เรื่อง ลาดับ
2. ใบความรู้ที่ 1 และ 2
3. เอกสารแนะแนวทางที่ 1.1.1-1.1.3
4. แบบฝึกทักษะที่ 1.1.1-1.1.3 และ 1.2
5. หนังสือเรียนสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์พื้นฐาน ม.5 เล่ม 1
6. ห้องสมุดโรงเรียน / ห้องสมุดกล่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์
10. การวัดและประเมินผล
10.1 วิธีวัดและประเมินผล
10.1.1 สังเกตจากการตอบคาถามของนักเรียน การสรุป การอภิปราย
10.1.2 การตรวจแบบฝึกหัด
10.2 เครื่องมือวัดและประเมินผล
10.2.1 แบบสังเกตพฤติกรรม
10.2.2 แบบทดสอบ
10.3 ประเด็นที่วัดและประเมินผล
10.3.1 นักเรียนสามารถเขียนลาดับในรูปแจกแจงพจน์ได้
10.3.2 นักเรียนสามารถหาพจน์ทั่วไปของลาดับจากัดได้
10.4 เกณฑ์การตัดสินผลการวัดและการประเมิน
10.4.1 การตอบคาถาม
- ตอบคาถามได้ถูกต้อง ให้ผ่าน
- ตอบคาถามไม่ถูกต้องชัดเจน ไม่ผ่าน
10.4.2 การสรุป/ การอภิปราย
- สรุป/ อภิปรายได้ตรงประเด็นอย่างมีเหตุผล ให้ผ่าน
- สรุป/ อภิปรายไม่ตรงประเด็น ไม่มีเหตุผล ไม่ผ่าน
10.4.3 แบบฝึกหัด
ดี หมายถึง นักเรียนทาได้ถูกต้อง 76-100% ของจานวนแบบฝึกหัดที่ให้ทา

พอใช้ หมายถึง นักเรียนทาได้ถูกต้อง 50-75% ของจานวนแบบฝึกหัดที่ให้ทา
ควรปรับปรุง หมายถึง นักเรียนทาได้ถูกต้อง 0-49%ของจานวนแบบฝึกหัดที่ให้ทา
10.4.4 แบบทดสอบ
ได้ 5-10 คะแนน ผ่านเกณฑ์
ได้ ต่ากว่า 5 คะแนน ไม่ผ่านเกณฑ์

เอกสารแนะแนวทางที่ 1.1.1
คาชี้แจง ให้นักเรียนเติมคาตอบลงในช่องว่างแต่ละข้อต่อไปนี้ให้ถูกต้องสมบูรณ์

ข้อที่ ฟังก์ชัน โดเมนของฟังก์ชัน เรนจ์ของฟังก์ชัน

1 f1 = {(3, 1), (4, 2), (5, 3)} {3, 4, 5} {1, 2, 3}

2 f2 = {(1, x), (2, y), (3, z)} {1, 2, 3} {x, y, z}

3 f3 = {(1, 2), (2, 4), (3, 5), . . . , (8, 10)}

4 f4 = {(1, 6), (2, 7), (3, 8), . . . }

5 f5 = {(1, a), (2, b), (3, c), . . . }

6 f6 = {(2, 3), (4, 6), (8, 12)}

7 f7 = {(5, 7), (7, 9), (9, 11), . . ., (15, 17)}

8 f8 = {(1, 3), (2, 4), (3, 5), . . . }

สรุป โดเมนของฟังก์ชัน คือ ………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
เรนจ์ของฟังก์ชัน คือ …………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….


ลาดับ
ข้อที่ ฟังก์ชัน โดเมนของฟังก์ชัน
เป็น ไม่เป็น
1 f1 = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)} {1, 2, 3, 4}  -
2 f2 = {(2, 4), (4, 6), (6, 8), . . . } {2, 4, 6, . . . } - 
3 f3 = {(1, 5), (2, 7), (3, 12), (4, 17), (5, 22)}
4 f4 = {(1, 5), (2, 7), (3, 9)}
5 f5 = {(1, 2), (2, 4), (3, 8), (4, 16)}
6 f6 = {(2, 1), (4, 2), (8, 3), (16, 4)}
7 f7 = {(1, 1), (2, -1), (3, 1), (4, -1)}
8 f8 = {( 1 , 1), ( 2 , 3), ( 4 , 3)}
3
2 3
9 f9 = {(x, y) | y = 3x + 1 , x I- }
10 f10 = {(a, b) | b = 2a + 2 , a I+}

สรุป ลาดับ คือ …………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………


ข้อที่ ฟังก์ชัน โดเมนของฟังก์ชัน ลาดับ ลาดับ
จากัด อนันต์
1 f1 = {(1, -1), (2, 5), (3, 11), (4, 17)} {1, 2, 3, 4}  -
2 f2 = {(1, 0), (2, 1), (3, 2), . . . } {1, 2, 3, . . . } - 
3 f3 = {(1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16), (5, 25)}
4 f4 = {(1, 1), (2, 1 ), (3, 1 9), (4, 1 )}
2 3 4
5 f5 = {(1, 4), (2, 6), (3, 8), . . . , (7, 16)}
6 f6 = {(1, 3), (2, 12), (3, 27), (4, 48), . . . }
7 f7 = {(x, y) | y = 4x เมื่อ x = 1, 2, 3, . . ., 10}
8 f8 = {(x, y) | y = x2 + 2 เมื่อ x = 1, 2, 3, 4}
9 f9 = {(x, y) | y = x + 2 เมื่อ x I+ }
10 f10 = {(x, y) | y = x2 - 1 เมื่อ x I+}

สรุป ลาดับจากัด คือ ………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
ลาดับอนันต์ คือ ……………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………

แบบฝึกทักษะที่ 1.1.1

จุดประสงค์การเรียนรู้ บอกความหมายของลาดับได้
คาชี้แจง ให้นักเรียนพิจารณาฟังก์ชันแต่ละข้อต่อไปนี้ว่าเป็นหรือไม่เป็นลาดับ แล้วเติมคาตอบ
ลงในช่องว่างให้ถูกต้องสมบูรณ์

ข้อที่ ฟังก์ชัน คาตอบ
1 f1 = {(1, 4), (2, 8), (3, 12), . . . }
2 f2 = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)}
3 f3 = {(2, 1), (3, 2), (4, 3)}
4 f4 = {(1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6), . . . , (7, 9)}
5 f5 = {(3, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 7), (7, 8)}
6 f6 = {(1, 5), (2, 8), (3, 11), (4, 14)}
7 f7 = {(x, y) | y = 2x – 3 เมื่อ x = 1, 2, 3 }
8 f8 = {(x, y) | y = 3x2 – 1 เมื่อ x  I+ }
9 f9 = {(a, b) | b = 4a2 – 5 เมื่อ a = 1, 2, 3, 4 }
10 f10 = {(x, y) | y = x3 เมื่อ x = 1, 2, 3, . . . }


จุดประสงค์การเรียนรู้ บอกความหมายของลาดับจากัดหรือลาดับอนันต์ได้
คาชี้แจง ให้นักเรียนพิจารณาลาดับแต่ละข้อต่อไปนี้ว่าเป็นลาดับจากัดหรือลาดับอนันต์แล้วเติม
คาตอบลงในช่องว่างให้ถูกต้องสมบูรณ์

ข้อที่ ลาดับที่กาหนดให้ คาตอบ
1 4, 7, 10, 13, 16, . . .
2 2, 5, 8, 11, 14
3 1, 4, 9, 16, 25, . . .
4 6, 10, 14, 18, 22, 26
5 2, 8, 14, 20, 26, 32, 38
6 an = 8n เมื่อ n = 1, 2, 3, 4
7 an = 3n + 7 เมื่อ n  I+
8 an = 2n2 – 1 เมื่อ n = 1, 2, 3
9 an = n3 เมื่อ n  I+
10 an = 2n – 10 เมื่อ n = 1, 2, 3, . . .

ใบความรู้ที่ 1

1. ลาดับ
1.1 ความหมายของลาดับ
ลาดับจากัด คือฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตของจานวนเต็มบวก n ตัวแรก
ลาดับอนันต์ คือฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตของจานวนเต็มบวก

การเขียนลาดับในรูปแจงพจน์
พิจารณา f(n) = n + 3 เมื่อ n  {1, 2, 3, 4}
ถ้า n = 1 จะได้ f(1) = 1 + 3 = 4
n = 2 จะได้ f(2) = 2 + 3 = 5
n = 3 จะได้ f(3) = 3 + 3 = 6
n = 4 จะได้ f(4) = 4 + 3 = 7
เมื่อนาค่าเหล่านี้มาเขียนเรียงกันจะได้ f(1), f(2), f(3), f(4) ซึ่งเป็นอีกรูปแบบหนึ่งของ
ลาดับ
จะเห็นว่า โดเมน คือ {1, 2, 3, 4}
เรนจ์ คือ {4, 5, 6, 7}
เรียกลาดับข้างต้นนี้ว่า ลาดับจากัด
และเรียก f(1) ว่าพจน์ที่ 1 ของลาดับ แทนด้วย a1
แต่ f(1) = 4
f(2) = 5
f(3) = 6
f(4) = 7
ดังนั้น 4, 5, 6, 7 จึงเรียกว่า ลาดับเช่นเดียวกัน
ซึ่งการเรียงลาดับในลักษณะนี้เรียกว่า การเขียนลาดับในรูปแจงพจน์
และเรียก 4 ว่า พจน์ที่ 1 ของลาดับ (a1)

ตัวอย่างที่ 1 กาหนด f(n) = 2n – 1 เมื่อ n  {1, 2, 3, 4, 5} จงเขียนลาดับในรูปแจงพจน์
วิธีทา จาก f(n) = 2n – 1
f(1) = 2(1) – 1 = 1
f(2) = 2(2) – 1 = 3
f(3) = 2(3) – 1 = 5
f(4) = 2(4) – 1 = 7
f(5) = 2(5) – 1 = 9
 ลาดับในรูปแจงพจน์ คือ 1, 3, 5, 7, 9
ตัวอย่างที่ 2 กาหนด an = 10 – 2n เมื่อ n  {1, 2, 3, . . ., 9} จงเขียนลาดับในรูปแจงพจน์
วิธีทา จาก an = 10 – 2n
a1 = 10 – 2(1) = 8
a2 = 10 – 2(2) = 6
a3 = 10 – 2(3) = 4
. . .
. . .
. . .
a9 = 10 – 2(9) = -8
 ลาดับในรูปแจงพจน์ คือ 8, 6, 4, . . . , -8


จุดประสงค์การเรียนรู้ เขียนลาดับในรูปแจงพจน์ได้
คาชี้แจง ให้นักเรียนเขียนลาดับในรูปแจงพจน์ โดยการเติมคาตอบลงในช่องว่างแต่ละข้อ
ต่อไปนี้ให้สมบูรณ์

1. an = 2n – 1 3. an = 1  2n
1 - 3n
a1 = 2(1) – 1 = 1 a1 = ……………………………..
a2 = 2(2) – 1 = 3 a2 = ……………………………..
a3 = …………………………….. a3 = ……………………………..
a4 = …………………………….. a4 = ……………………………..
a5 = …………………………….. เขียนลาดับในรูปแจงพจน์ จะได้ลาดับ คือ
เขียนลาดับในรูปแจงพจน์ จะได้ลาดับ คือ ……………………………………………
…………………………………………..

2. an = 2n2 – 2 4. an = 2n2
a1 = 2(12) – 2 = ……………… a1 = ……………………………..
a2 = …………………………….. a2 = ……………………………..
a3 = …………………………….. a3 = ……………………………..
..
a4 = …………………………….. .
เขียนลาดับในรูปแจงพจน์ จะได้ลาดับ คือ a10 = ……………………………..
…………………………………………… เขียนลาดับในรูปแจงพจน์ จะได้ลาดับ คือ
……………………………………………

ใบความรู้ที่ 2

1.2 การหาพจน์ทั่วไปของลาดับ
n = 1, 2, 3 ซึ่งในการหาพจน์ทั่วไปของลาดับ โดยทั่วไปใช้การสังเกตความสัมพันธ์ของพจน์ต่างๆ
และจะต้องพิจารณาความสัมพันธ์ระหว่าง an กับ n แล้วจึงสรุปเป็นกฎเกณฑ์ ดังตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่างที่ 1 จงหาพจน์ถัดไปสองพจน์ของลาดับที่กาหนดให้ต่อไปนี้
1 ) 1, 3, 7, 13, …
จะเห็นว่า พจน์ที่อยู่ถัดไปจะเพิ่มขึ้น 2, 4 และ 6 ตามลาดับ
ดังนั้นพจน์สองพจน์ถัดไปของลาดับนี้จะเพิ่มขึ้น 8 และ 10 ตามลาดับ
จะได้ 21 และ 31 เป็นพจน์ถัดไปของลาดับที่กาหนดให้
1 3 7 13 21 31

+2 +4 +6 +8 +10
2) 100, 99, 97, 94, …
จะเห็นว่า พจน์ที่อยู่ถัดไปจะลดลง -1, -2 และ -3 ตามลาดับ
ดังนั้นพจน์สองพจน์ถัดไปของลาดับนี้จะลดลง -4 และ -5 ตามลาดับ
จะได้ 90 และ 85 เป็นพจน์ถัดไปของลาดับที่กาหนดให้
100 99 97 94 90 85

-1 -2 -3 -4 -5
3) 16, 8, 4, 2, …
1
จะเห็นว่า พจน์ที่อยู่ถัดไปจะเป็น ของพจน์ที่อยู่ข้างหน้า
2
1
ดังนั้นพจน์สองพจน์ถัดไปของลาดับนี้คือ 1 และ ตามลาดับ
2
1
16 8 4 2 1
2

2 2 2 2 2
4) 2, 20, 200, 2000, …
จะเห็นว่า พจน์ที่อยู่ถัดไปจะเพิ่มขึ้นเป็น 10 เท่าของพจน์ที่อยู่ข้างหน้า
ดังนั้นพจน์สองพจน์ถัดไปของลาดับนี้คือ 20000 และ 200000 ตามลาดับ
2 20 200 2000 20000 200000

x 10 x 10 x 10 x 10 x 10

ตัวอย่างที่ 2 จงหาพจน์ทั่วไปของลาดับ 3, 5, 7, 9, 11
วิธีทา จากลาดับจากัด 3, 5, 7, 9, 11
จะได้ a1 = 3 = (2  1) + 1
a2 = 5 = (2  2) + 1
a3 = 7 = (2  3) + 1
a4 = 9 = (2  4) + 1
a5 = 11 = (2  5) + 1
 พจน์ทั่วไปของลาดับนี้คือ 2n + 1 เมื่อ n = 1, 2, 3, 4, 5

ตัวอย่างที่ 3 จงหาพจน์ทั่วไปของลาดับ 15, 18, 21, 24, 27, 30
วิธีทา จากลาดับจากัด 15, 18, 21, 24, 27, 30
จะได้ a1 = 15 = 3 + 12 = 3(1) + 12
a2 = 18 = 6 + 12 = 3(2) + 12
a3 = 21 = 9 + 12 = 3(3) + 12
a4 = 24 = 12 + 12 = 3(4) + 12
a5 = 27 = 15 + 12 = 3(5) + 12
a6 = 30 = 18 + 12 = 3(6) + 12
 พจน์ทั่วไปของลาดับจากัดนี้คือ 3n + 12 เมื่อ n = 1, 2, 3, 4, 5, 6

แบบฝึกทักษะที่ 1.2

จุดประสงค์การเรียนรู้ หาพจน์ทั่วไปของลาดับได้
คาชี้แจง ให้นักเรียนหาพจน์ถัดไปสองพจน์ของลาดับที่กาหนดให้ต่อไปนี้
(1) 2 , 6, 10, 14, ………., ………. (2) 200 , 195, 190, 185, ………., ……….

(3) 1 , 4, 16, 64, ………., ………. (4) 729 , 243, 81, 27, ………., ……….

(5) 2 , 7, 17, 32, ………., ………. (6) 5 , 4, 1, -4, ………., ……….

(7) 729 , 243, 81, 27, ………., ………. (8) 100 , 98, 94, 88, ………., ……….

คาชี้แจง ให้นักเรียนเขียนลาดับที่กาหนดให้แต่ละข้อต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปพจน์ทั่วไปหรือพจน์ที่ n

(1) 4, 7, 10, 13, … (2) 1, 1 , 1 1
, , …
2 3 4
a1 = 4 = (3 x 1) + 1
a1 = 1
a 2 = 7 = (3 x 2) + 1 1
a2 =
a 3 = 10 = (3 x 3) + 1 2
a 4 = 13 = (3 x 2) + 1
1
a3 =
3
a n = ………………………………………… 1
a4 =
4
= …………………………………………
an
(3) -2, 3, 8, 13, … (4) 2, 5, 8, 11, …
a1 = -2 = 5 – 7 = 5(1) – 7 a1 = 2 = 3 – 1 = ……………………
a 2 = 3 = 10 – 7 = 5(2) – 7 a 2 = 5 = 6 – 1 = ……………………
a 3 = 8 = 15 – 7 = …………………… a 3 = 8 = 9 – 1 = ……………………
a 4 = 13 = 20 – 7 = …………………… a 4 = 11 = 12 – 1 = ……………………
a n = ………………………………………… a n = …………………………………………

(5) 7, 9, 11, 13, … (6) sin , sin 2 , sin 3 , sin 4 ,... …
a1 = 7 = 2 + 5 = …………………… a1 = …………………………………………
a 2 = 9 = 4 + 5 = …………………… a 2 = …………………………………………
a 3 = 11 = 6 + 5 = …………………… a 3 = …………………………………………
a 4 = 13 = 8 + 5 = …………………… a 4 = …………………………………………
a n = ………………………………………… a n = …………………………………………
(7) 16, 8, 4, 2, ... (8) 3, 5, 9, 17, ....
a1 = ………………………………………… a1 = …………………………………………
a 2 = ………………………………………… a 2 = …………………………………………
a 3 = ………………………………………… a 3 = …………………………………………
a 4 = ………………………………………… a 4 = …………………………………………
a n = ………………………………………… a n = …………………………………………

1 2 3 4 3 2 5
(9) , , , ,... (10) 0, , , ,...
2 3 4 5 2 3 4
a1 = ………………………………………… a1 = …………………………………………
a2 = ………………………………………… a2 = …………………………………………
a3 = ………………………………………… a3 = …………………………………………
a4 = ………………………………………… a4 = …………………………………………
an = ………………………………………… an = …………………………………………

แผนลำดับ

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Similar to แผนลำดับ

Similar to แผนลำดับ (20)

แผนลำดับ