1. ความน่าจะเป็น โดย ครูสุจินต์ เย้าดุสิต โรงเรียนกัลยาณีศรีธรรมราช

2. 1. กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ กฎข้อที่ 1 ในการทำงานสองอย่างโดยที่งานอย่างแรกทำได้ n 1 วิธี และในแต่ละวิธีที่ทำงานอย่างแรกนี้ มีวิธีที่ทำงานอย่างที่สองได้ n 2 วิธี จำนวนวิธีที่ทำงานทั้งสองอย่างนี้เท่ากับ n 1 n 2 วิธี ตัวอย่าง ห้องประชุมมีประตู 6 ประตู จงหาจำนวนวิธีที่ชายคนหนึ่งจะเดินเข้าและเดินออกจากห้องประชุม โดยที่ 1) จะเข้าหรือออกประตูใดก็ได้ 2) ห้ามเข้าและออกประตูเดียวกัน วิธีทำ 1) จำนวนวิธีที่เดินเข้า 6 วิธี จำนวนวิธีที่เดินออก 6 วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีที่เดินเข้าและออกเท่ากับ 6 x 6 = 36 วิธี  2 ) จำนวนวิธีที่เดินเข้า 6 วิธี จำนวนวิธีที่เดินออก 5 วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีที่เดินเข้าและออกไม่ซ้ำประตูเดิมเท่ากับ 6 x 5 = 3 0 วิธี 

3. กฎข้อที่ 2 ในการทำงานซึ่งมี k ขั้นตอนโดยขั้นตอนที่หนึ่งเลือกทำได้ n 1 วิธี ในแต่ละวิธีของขั้นตอนที่หนึ่งเลือกทำขั้นตอนที่สองได้ n 2 วิธี ในแต่ละวิธีที่ทำขั้นตอนที่หนึ่งและขั้นตอนที่สองเลือกทำขั้นตอนที่สามได้ n 3 วิธี ฯลฯ จำนวนวิธีที่จะเลือกทำงาน k อย่างเท่ากับ n 1 n 2 n 3 …n k วิธี ตัวอย่าง มีเลขโดดอยู่ 6 ตัว คือ 0,1,2,3,4,5 นำมาสร้างเป็นจำนวนตัวเลข 3 หลักที่มีค่าน้อยกว่า 400 ได้กี่จำนวน เมื่อ 1) แต่ละหลักใช้เลขซ้ำกันได้ 2) แต่ละหลักใช้เลข ซ้ำกันไม่ได้ 3) เป็นจำนวนคู่และแต่ละหลักใช้เลข ซ้ำกันไม่ได้ วิธีทำ 1) หลักร้อย เลือกตัวเลขได้ 3 วิธี (1,2,3) หลักสิบ เลือกตัวเลขได้ 6 วิธี (0,1,2,3,4,5) หลักหน่วย เลือกตัวเลขได้ 6 วิธี (0,1,2,3,4,5) ดังนั้น จำนวนเลขสามหลัก ที่น้อยกว่า 400 มี 3 x6x6 = 108 วิธี 

4. 2) หลักร้อย เลือกตัวเลขได้ 3 วิธี (1,2,3) หลักสิบ เลือกตัวเลขได้ 5 วิธี ( หลักร้อยเลือกไปแล้ว 1 ตัว ) หลักหน่วย เลือกตัวเลขได้ 4 วิธี ดังนั้น จำนวนเลขสามหลักที่น้อยกว่า 400 มี 3x5x4 = 60 จำนวน  3) หลักหน่วย เลือกตัวเลขได้ 2 วิธี (0,4) หลักร้อย เลือกตัวเลขได้ 3 วิธี (1,2,3) หลักสิบ เลือกตัวเลขได้ 4 วิธี และ หลักหน่วย เลือกตัวเลขได้ 1 วิธี (2) หลักร้อย เลือกตัวเลขได้ 2 วิธี (1,3) หลักสิบ เลือกตัวเลขได้ 4 วิธี ดังนั้น จำนวนคู่สามหลักที่น้อยกว่า 400 มี (2x3x4)+(1x2x4) = 32 จำนวน 

5. 2. แฟกทอเรียล n (n-Factorial) บทนิยาม เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก แฟกทอเรียล n หมายถึงผลคูณของจำนวนเต็มบวกตั้งแต่ 1 ถึง n แทนด้วย n! จากบทนิยาม n! = 1.2.3….(n-1).n หรือ n! = n.(n-1).(n-2)….3.2.1 0! = 1 ตัวอย่าง จงหาค่าของ วิธีทำ

6. ตัวอย่าง จงเขียน 504 ให้เป็นแฟกทอเรียล วิธีทำ 504 = 9.8.7 ตัวอย่าง จงหาค่า n จาก วิธีทำ n-8 = 10 n = 18

7. 3. วิธีเรียงสับเปลี่ยน (Permutation) 1) วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้น กฎข้อที่ 3 จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของ n สิ่งซึ่งแตกต่างกันทั้งหมด เท่ากับ n! วิธี ตัวอย่าง จะมีวิธีจัดรูปภาพต่างๆกัน 7 รูป แขวนไว้ที่ผนังเป็นแถวได้กี่วิธี ถ้า 1) ไม่มีข้อกำหนดเพิ่มเติม 2) รูปภาพรูปหนึ่งที่กำหนดให้อยู่ตรงกลาง วิธีทำ 1) จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนรูปภาพ 7 รูป ได้ 7! = 5,040 วิธี  2) เพราะว่ารูปภาพที่กำหนดให้อยู่ตรงกลาง เท่ากับจัดรูปภาพ 6 รูป ดังนั้น จำนวนวิธีจัดรูปภาพ 7 รูปโดยให้รูปหนึ่งอยู่กลางได้ 6! = 720 วิธี  กฎข้อที่ 4 จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของ n สิ่งซึ่งแตกต่างกันทั้งหมด โดยจัดคราวละ r สิ่ง เท่ากับ P n,r วิธี โดย ,

8. ตัวอย่าง จะมีวิธีจัดคน 7 คน ยืนเข้าแถว 2 แถว เพื่อถ่ายรูปได้กี่วิธี ถ้าให้แถวหน้ามี 4 คน และแถวหลังมี 3 คน วิธีทำ แถวหน้าเลือก 4 คน จาก 7 คน จัดได้ วิธี เมื่อจัดแถวหน้าแล้วแถวหลัง 3 คน จัดได้ 3! = 6 วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีจัดคน 7 คน เข้าแถวได้ = 840 x 6 = 5,040 วิธี  ตัวอย่าง มีหนังสือคณิตศาสตร์ต่างกัน 5 เล่ม และหนังสือฟิสิกส์ต่างกัน 4 เล่ม จะมีวิธีจัดหนังสือเหล่านี้บนชั้นหนังสือได้กี่วิธี โดยที่หนังสือวิชาเดียวกันอยู่ติดกัน วิธีทำ การจัดหนังสือวิชาเดียวกันติดกันคิดเป็นของ 1 สิ่ง จัดได้ 2! วิธี หนังสือคณิตศาสตร์จัดได้ 5! วิธี และหนังสือฟิสิกส์จัดได้ 4! วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีจัดเรียงหนังสือทั้งหมดเท่ากับ 2!5!4! = 5,760 วิธี 

9. 2) วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของที่ไม่แตกต่างกันทั้งหมด กฎข้อที่ 5 ถ้ามีของอยู่ n สิ่ง ในจำนวนนี้มี n 1 สิ่งเหมือนกันเป็นกลุ่มที่หนึ่ง มี n 2 สิ่งเหมือนกันเป็นกลุ่มที่สอง .... มี n k สิ่งเหมือนกันเป็นกลุ่มที่ k โดยที่ n 1 +n 2 +n 3 +…+n k = n จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของสิ่งของ n สิ่ง เท่ากับ วิธี ตัวอย่าง จงหาจำนวนวิธีการจัดเรียงจาน 8 ใบขนาดเดียวกัน ซึ่งมีจานสีขาว 3 ใบ สีเขียว 3 ใบและสีแดง 2 ใบ วิธีทำ จำนวนวิธีเรียงจานทั้ง 8 ใบ วิธี ตัวอย่าง มีหนังสือคณิตศาสตร์เหมือนกัน 6 เล่ม และหนังสือภาษาอังกฤษเหมือนกัน 4 เล่ม จงหาจำนวนวิธีจัดหนังสือทั้ง 10 เล่ม วางบนชั้นหนังสือโดยให้หนังสือที่อยู่หัวแถวและท้ายแถวเหมือนกัน วิธีทำ 1) ให้หนังสือคณิตศาสตร์ อยู่หัวแถวและท้ายแถว วิธี 2) ให้หนังสือภาษาอังกฤษ อยู่หัวแถวและท้ายแถว วิธี

10. 3) วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม กฎข้อที่ 6 จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมของสิ่งของ n สิ่งซึ่งแตกต่างกันทั้งหมด เท่ากับ (n-1)! วิธี ตัวอย่าง ครอบครัว ครอบครัว หนึ่งมีสมาชิก 6 คน จะจัดให้นั่งรับประทานอาหารรอบโต๊ะกลมซึ่งมี 6 ที่นั่ง ได้ทั้งหมดกี่วิธี วิธีทำ จำนวนวิธีจัดคน 6 คน นั่งรอบโต๊ะกลมเท่ากับ (6-1)! = 5! = 120 วิธี  ตัวอย่าง จะจัดนักเรียนชาย 4 คน และหญิง 4 คน ยืนสลับกันเป็นวงกลมได้กี่วิธี วิธีทำ จัดนักเรียนชาย 4 คนให้ยืนเป็นวงกลมได้เท่ากับ (4-1)! = 3! วิธี จัดนักเรียนหญิง 4 คน ให้ยืนระหว่างนักเรียนชายได้เท่ากับ 4! วิธี ดังนั้น จะจัดนักเรียนชาย 4 คน และหญิง 4 คน ยืนสลับกันเป็นวงกลมได้เท่ากับ 3!.4! = 144 วิธี 

11. 4. วิธีจัดหมู่ (Combination) วิธีจัดหมู่ต่างกับวิธีเรียงสับเปลี่ยนตรงที่เราไม่ถืออันดับหรือตำแหน่งเป็นสำคัญ กล่าวคือการสลับที่กันไม่มีความหมาย เช่น มีตัวอักษร 2 ตัว คือ A , B ถ้าเรียงสับเปลี่ยนจะได้ AB และ BA แต่วิธีจัดหมู่ ถือว่า AB และ BA เหมือนกัน กฎข้อที่ 7 จำนวนวิธีจัดหมู่ของสิ่งของที่แตกต่างกัน n สิ่ง ให้มีหมู่ละ r สิ่ง เท่ากับ C n,r โดย , ตัวอย่าง ชายคนหนึ่งมีเสื้อที่แตกต่างกัน 10 ตัว ต้องการนำติดตัวไปต่างจังหวัด 4 ตัว จะจัดได้ทั้งหมดกี่วิธี 1) ไม่มีเงื่อนไขใดเพิ่มเติม 2) ต้องมีเสื้อสีเหลืองอยู่ด้วย วิธีทำ 1) จะจัดเสื้อ 4 ตัว จากเสื้อที่ต่างกัน 10 ตัว ได้เท่ากับ วิธี 2) จะต้องจัดเสื้ออื่นอีก 3 ตัว จาก 9 ตัว จะจัดได้เท่ากับ วิธี

12. 5. ทฤษฎีบททวินาม (Binomial Theorem) ทฤษฎีบททวินามเป็นทฤษฎีบทเกี่ยวกับการนำ (a+b) n มากระจายให้อยู่ในรูปของการบวก พิจารณาการกระจาย (a+b) n สัมประสิทธิ์ (a+b) 0 = 1 1 (a+b) 1 = a+b 1 1 (a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2 1 2 1 (a+b) 3 = a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 1 3 3 1 (a+b) 4 = a 4 +4a 3 b+6a 2 b 2 +4ab 3 +b 4 1 4 6 4 1 (a+b) 5 = a 5 +5a 4 b+10a 3 b 2 +10a 2 b 3 +5ab 4 +b 5 ......................................... จะพบว่าผลการกระจายมี n+1 พจน์ และมีสัมประสิทธิ์เป็น C n,0 , C n,1 , C n,2 ,….,C n,n

13. ทฤษฎีบททวินาม เมื่อ a , b เป็นจำนวนจริง n , r เป็นจำนวนเต็มบวก และ (a+b) n = C n,0 a n +C n,1 a n-1 b+C n,2 a n-2 b 2 +….+C n,r a n-r b r +….+C n,n b n หมายเหตุ 1) C n,r ที่ปรากฎในทฤษฎีบททวินาม เรียกว่า สัมประสิทธิ์ทวินาม 2) พจน์ที่ r+1 หรือ T r+1 = C n,r a n-r b r ตัวอย่าง จงหาพจน์ที่ 6 ในการกระจาย (2x-y) 8 วิธีทำ พจน์ที่ 6 คือ T 5+1 = C 8,5 (2x) 8-5 (-y) 5 = 56(2 3 x 3 )(-y 5 ) = -448x 3 y 5  ตัวอย่าง จงหาพจน์ที่มี x 9 จากการกระจาย

14. 6. ความน่าจะเป็น (Probability) 1) การทดลองสุ่ม (Random Experiment) บทนิยาม การทดลองสุ่ม คือการทดลองซึ่งทราบว่าผลลัพธ์มีอะไรบ้างแต่ไม่สามารถบอกได้อย่างถูกต้องแน่นอนว่าในแต่ละครั้งที่ทดลองจะเกิดผลลัพธ์อะไร เช่น ๏ การโยนเหรียญ 1 อัน 1 ครั้ง ๏ การทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง 2) ปริภูมิตัวอย่าง (Sample Space) บทนิยาม ปริภูมิตัวอย่าง คือเซตของผลลัพธ์ที่อาจเป็นไปได้ทั้งหมดของการทดลองสุ่ม เช่น ๏ ในการทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง ถ้าสนใจแต้มของลูกเต๋า ปริภูมิตัวอย่าง คือ S = {1,2,3,4,5,6}

15. ๏ ในการโยนเหรียญ 2 อัน 1 ครั้ง ปริภูมิตัวอย่าง คือ S = {HH,HT,TH,TT} 3) เหตุการณ์ (Event) บทนิยาม เหตุการณ์ คือ สับเซตของปริภูมิตัวอย่าง เช่น ๏ ในการทอดลูกเต๋า 2 ลูก 1 ครั้ง S = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),…,(6,5),(6,6)} * เหตุการณ์ที่ได้ผลรวมของแต้มเป็น 5 คือ E = {(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)} * เหตุการณ์ที่ได้แต้มต่างกัน 2 คือ E = {(1,3),(2,4),(3,1),(3,5),(4,2),(4,6),(5,3),(6,4)}

16. 4) ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ บทนิยาม ถ้า S แทนปริภูมิตัวอย่างของการทดลองสุ่มอย่างหนึ่ง ซึ่งแต่ละจุดตัวอย่างมีโอกาสเกิดขึ้นเท่าๆกัน และ E แทนเหตุการณ์ แล้ว สมบัติของความน่าจะเป็น 1) 2) 3 ) หมายเหตุ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใด คือตัวเลขที่บอกให้ทราบว่าเหตุการณ์นั้นมีโอกาสเกิดขึ้นมากน้อยเพียงใด

17. ตัวอย่าง ในการทอดลูกเต๋า 2 ลูก 1 ครั้ง จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ 1) ได้ผลรวมของแต้มมากกว่า 9 2) ได้ผลรวมของแต้มหารด้วย 3 ลงตัว วิธีทำ S = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),…,(6,5),(6,6)} , n(S) = 36 1 ) เหตุการณ์ที่ได้ผลรวมของแต้มมากกว่า 9 คือ E 1 = {(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6)} , n(E 1 ) = 6 ดังนั้น  2) เหตุการณ์ที่ได้ผลรวมของแต้มหารด้วย 3 ลงตัว คือ E 2 = {(1,2),(1,5),(2,1),(2,4),(3,3),(3,6),(4,2),(4,5),(5,1),(5,4),(6,3),(6,6)} ดังนั้น 

18. ตัวอย่าง สุ่มหยิบไพ่ 3 ใบ จากไพ่สำรับหนึ่ง จงหาความน่าจะเป็นที่ได้ไพ่โพดำทั้ง 3 ใบ วิธีทำ n(S) = C 52,3 = 22,100 ให้ E เป็นเหตุการณ์ที่ได้ไพ่โพดำทั้ง 3 ใบ คือ n(E) = C 13,3 = 286 ดังนั้น 5) กฎที่สำคัญบางประการของความน่าจะเป็น ให้ S เป็นปริภูมิตัวอย่าง ซึ่งเป็นเซตจำกัด และ A , B เป็นเหตุการณ์ใดๆ กฎข้อที่ 1 กฎข้อที่ 2 , กฎข้อที่ 3 กฎข้อที่ 4

19. ตัวอย่าง ถุงใบหนึ่งมีลูกแก้วสีแ ดง 3 ลูก สีขาว 2 ลูก และสีฟ้า 4 ลูก ถ้าสุ่มหยิบลูกแก้วขึ้นมา 1 ลูก จงหาความน่าจะเป็นที่ได้ลูกแก้วเป็นสีแดงหรือสีฟ้า วิธีทำ ให้ A เป็นเหตุการณ์ที่หยิบได้ลูกแก้วสีแดง B เป็นเหตุการณ์ที่หยิบได้ลูกแก้วสีฟ้า เป็นเหตุการณ์ที่หยิบได้ลูกแก้วสีแดงหรือสีฟ้า จะได้ , ดังนั้น นั่นคือ ความน่าจะเป็นที่หยิบได้ลูกแก้วเป็นสีแดงหรือสีฟ้าเท่ากับ