1. คู่มือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร์
บทนา
เรื่อง เซต
โดย
อาจารย์ ดร.จิณดิษฐ์ ละออปักษิณ
อาจารย์ ดร.รตินันท์ บุญเคลือบ
สื่อการสอนชุดนี้ เป็นความร่วมมือระหว่าง
คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย กับ
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.)
กระทรวงศึกษาธิการ

2. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สื่อการสอน เรื่อง เซต
สื่อการสอน เรื่อง เซต มีจานวนตอนทั้งหมดรวม 7 ตอน ซึ่งประกอบด้วย
1. บทนา เรื่อง เซต
2. เนื้อหาตอนที่ 1 ความหมายของเซต
- ความหมายของเซต
- การเขียนเซต
- เซตจากัดและเซตอนันต์
3. เนื้อหาตอนที่ 2 เซตกาลังและการดาเนินการบนเซต
- แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
- สับเซตและเซตกาลัง
- การเท่ากันของเซต
- การดาเนินการบนเซต
4. เนื้อหาตอนที่ 3 เอกลักษณ์ของการดาเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
- เอกลักษณ์การดาเนินการบนเซต
- การหาจานวนสมาชิกของเซตและการแก้ปัญหาโดยใช้แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
5. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน)
6. แบบฝึกหัด (ขั้นสูง)
7. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
คณะผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า สื่อการสอนชุดนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนการสอนสาหรับครู
และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใช้สื่อชุดนี้ร่วมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง เซต นอกจากนี้หาก
ท่านสนใจสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ในเรื่องอื่นๆที่คณะผู้จัดทาได้ดาเนินการไปแล้ว ท่านสามารถดูชื่อ
เรื่อง และชื่อตอนได้จากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ทั้งหมดในตอนท้ายของคู่มือฉบับนี้
1

3. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง เซต
หมวด บทนา
จุดประสงค์การเรียนรู้
เพื่อให้ผู้เรียนเข้าใจที่มา เกิดความซาบซึ้ง เห็นคุณค่าของคณิตศาสตร์เรื่อง เซต ตระหนักถึงความสาคัญ
และประโยชน์ ตลอดจนบทประยุกต์ของเซต
วัตถุประสงค์หลักของการจัดทาสื่อบทนา: เพื่อให้ผู้เรียนเกิดแรงบันดาลใจในการเรียน
ได้เห็นถึงที่มาและประโยชน์ของเนื้อหาที่จะได้เรียนต่อไป โดยมิได้มุ่งเน้นที่การท่องจา
เนื้อหาหรือเรื่องราวตามที่ปรากฏในสื่อบทนา การใช้สื่อบทนาจึงควรใช้เพียงประกอบ
ในขั้นการนาเข้าสู่บทเรียน หรือนาเสนอผู้เรียนก่อนการจัดการเรียนรู้ในเนื้อหานั้นๆ และ
ไม่ควรนาเนื้อหาในสื่อบทนาไปใช้วัดผลการศึกษาหรือใช้ในการสอบ เพราะอาจทาให้
การใช้สื่อไม่บรรลุวัตถุประสงค์ที่แท้จริงตามที่มาดหมายไว้
2

4. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
บทสารคดีและข้อมูลเพิ่มเติม
มนุษย์ใช้ประโยชน์จากคณิตศาสตร์ทั้งในเชิงรูปธรรม คือเป็นเครื่องมือที่ช่วยอานวยความสะดวกสบายใน
การดารงชีวิต เช่น การวัด การนับ การคานวณ ตลอดจนใช้เป็นฐานรากที่นาไปสู่การสร้างสรรค์เทคโนโลยีใหม่ๆ
ให้เกิดขึ้น
3

5. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
อีกทั้งประโยชน์ในเชิงนามธรรม เพื่อตอบสนองความกระหายใคร่รู้ ซึ่งเป็นเสมือนเครื่องประดับทาง
สติปัญญาอย่างหนึ่งและเป็นคลังความรู้เพื่อรอการสานต่อจากนักคิดรุ่นต่อมา ที่มองเห็นความสอดคล้องของความรู้
เรื่องนั้นๆ กับ ศาสตร์อื่นๆ จนสามารถนาไปปรับใช้ ตลอดจนรังสรรค์ผลงานในด้านต่างๆ ต่อไป
ในแง่มุมนี้คณิตศาสตร์ถูกมองในลักษณะของระบบที่ตั้งอยู่บนองค์ประกอบสี่ประการ คือ อนิยาม นิยาม สัจพจน์
และทฤษฎีบท ซึ่งรวมเรียกว่าระบบสัจพจน์ แนวคิดที่พิจารณาคณิตศาสตร์ในลักษณะนี้ มีเค้าลางมาแต่ครั้งบุราณ
การ สะท้อนผ่านงานของ ยุคลิด (Euclid, 276-194 ก่อนคริสต์ศักราช) เมื่อราว 300 ปีก่อนคริสตกาล และยังคงมี
อิทธิพลต่อความคิดของมนุษย์ต่อเนื่องมายาวนานกว่า 2,000 ปีจวบจนกระทั่งถึงปัจจุบัน
4

6. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ระบบสัจพจน์ ประกอบด้วย อนิยาม นิยาม สัจพจน์ และทฤษฎีบท
คาอนิยาม คือ คาที่ไม่มีการกาหนดความหมายชัดเจน หากแต่เป็นที่เข้าใจกันโดยทั่วไปว่าหมายถึง
อะไร เพราะหากมีการให้ความหมายคาเหล่านี้ ก็จาเป็นต้องมีการให้ความหมายของคาที่ใช้อธิบาย
คาเหล่านี้ด้วย ดังนั้นจึงจาเป็นต้องมีการกาหนดคามูลฐานขึ้น นักคณิตศาสตร์เริ่มเห็นความสาคัญกับ
คาอนิยาม เมื่อราวต้นคริสต์วรรษที่ 20 โดยอาศัยคาอนิยาม จะสามารถกาหนดความหมายของคาใหม่
ให้เป็นที่เข้าใจตรงกันได้ เรียกว่า คานิยาม ซึ่งลักษณะของคานิยามที่ดี ควรประกอบด้วย
1. คาที่ใช้ในบทนิยามและคานิยาม ควรเป็นคาที่อยู่ในกลุ่มเดียวกันหรือมีสมบัติใกล้เคียงกัน
2. บทนิยามควรย้อนกลับได้
3. ควรมีคาที่สามารถแยกแยะคาที่จะนิยามจากคาอื่นๆ
4. คาที่ใช้ในบทนิยามควรเข้าใจได้ง่ายกว่าคาที่จะนิยาม
สัจพจน์ คือ ข้อความที่จะถือว่าเป็นจริงโดยไม่ต้องพิสูจน์ และนาไปใช้ในการพิสูจน์ข้อความอื่นๆได้
ข้อความที่พิสูจน์ได้อย่างสมเหตุสมผล โดยอาศัย อนิยาม นิยาม และสัจพจน์นั้น เรียกว่า ทฤษฎีบท
5

7. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ต่อมาเมื่อราวศตวรรษที่ 19 เกอร์ก คันทอร์ (Georg Cantor, ค.ศ. 1845-1918) ได้นาเสนอ “ทฤษฎีเซต” ซึ่งเป็น
แนวคิดในระบบสัจพจน์ เพื่อหวังที่จะตอบปัญหาเกี่ยวกับที่มาของจานวนต่างๆ ซึ่งเป็นสิ่งที่นักคณิตศาสตร์สมัยนั้น
กาลังให้ความสนใจ “ทฤษฎีเซต” ของคันทอร์ สามารถนาไปใช้ในการอธิบายสิ่งต่างๆ ทางคณิตศาสตร์ได้อย่าง
รัดกุม สามารถนาไปใช้สร้างจานวนนับ จานวนเต็ม จานวนตรรกยะ และจานวนจริง
แต่ต่อมา “ทฤษฎีเซต” ดูเหมือนจะถูกท้าทายครั้งสาคัญ จนสรรพสิ่งที่สร้างมาต้องสูญสลายไปทั้งหมด เมื่อต้อง
เผชิญกับปฏิทรรศน์หรือ paradox ซึ่งเป็นข้อความที่มีความขัดแย้งในตัวเอง
เบอร์นาด รัสเซลตั้งคาถามขึ้นมาว่า “ณ หมู่บ้านแห่งหนึ่ง มีชายช่างตัดผมคนหนึ่งที่จะคอยทาหน้าที่โกนหนวด
ให้กับชายทุกคนในหมู่บ้านที่ไม่ได้โกนหนวดด้วยตนเอง...... ลองคิดดูเล่นๆ สิว่า ใครจะเป็นคนโกนหนวดให้กับ
ชายช่างตัดผมผู้นั้น”
6

8. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
หากชายช่างตัดผมเป็นผู้โกนหนวดของตนเอง ก็จะขัดแย้งกับที่ว่าเขาจะโกนหนวดให้เฉพาะกับคนที่ไม่ได้โกน
หนวดด้วยตนเองเท่านั้น หรือชายช่างตัดผมไม่ได้เป็นผู้โกนหนวดของตนเอง แต่ชายทุกคนที่ไม่ได้โกนหนวดเอง
ช่างตัดผมจะเป็นผู้โกนให้ ดังนั้นไม่ว่าใครจะเป็นผู้ทาหน้าที่โกนหนวดให้กับชายช่างตัดผมผู้นั้น ก็ล้วนแต่เกิดข้อ
ขัดแย้งในตัวเองทั้งสิ้น
7

9. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ฉับพลันทันใดนั้นเอง ปฏิทรรศน์ก็บังเกิดขึ้นและทาให้ทฤษฎีเซตของคันทอร์สั่นคลอน ภายหลัง แอนสท์ แซร์เมโล
(Ernst Zermelo, ค.ศ. 1871 - 1953) ได้เสนอแนวทางแก้ปัญหานี้ โดยเสนอให้มีการกาหนดเซตที่เรียกว่าเอกภพ
สัมพัทธ์ขึ้นมา
เมื่อคณิตศาสตร์ถูกนาเสนอในลักษณะที่มีรากฐานเป็นทฤษฎีเซต นอกจากจะทาให้การศึกษาทางคณิตศาสตร์เป็น
ระบบอย่างในปัจจุบันแล้ว ยังก่อให้เกิดแนวคิดที่คาดไม่ถึงขึ้นอีก หนึ่งในนั้นคือ โรงแรมมหัศจรรย์ของฮิลแบร์ท
ซึ่งทาให้สัจพจน์ของยุคลิดที่ว่า “ส่วนรวมย่อมมากกว่าส่วนย่อย” ซึ่งควรจะเป็นจริงอย่างไม่มีข้อกังขานั้น กลับ
กลายเป็นสิ่งที่ไม่จริงภายใต้ระบบที่อธิบายด้วยทฤษฎีเซต
โรงแรมมหัศจรรย์ของฮิลแบร์ทมีห้องพักตั้งแต่หมายเลข 1, 2, 3,… ไม่มีที่สิ้นสุด และที่สาคัญคือ ทุกห้องมี
แขกเข้าพักหมดแล้ว หากมีแขกรายใหม่ต้องการเข้าพักเพิ่มขึ้นอีกสักคน จะทาอย่างไร
8

10. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แน่นอนว่าสาหรับโรงแรมทั่วไปย่อมไม่สามารถทาได้ แต่สาหรับโรงแรมของฮิลแบร์ทล่ะ? เหตุการณ์นี้ไม่เป็น
ปัญหาสาหรับโรงแรมของฮิลแบร์ท เพราะโรงแรมจะขอให้แขกที่พักห้องหมายเลข 1 ย้ายไปพักห้องหมายเลข 2
และขอให้แขกที่พักห้องหมายเลข 2 ย้ายไปพักห้องหมายเลข 3 อย่างนี้ไปเรื่อยๆ กล่าวคือขอให้แขกที่พักห้อง
หมายเลข n ย้ายไปพักห้องหมายเลข n+1 ซึ่งจะทาให้แขกทุกคนยังมีที่พักและโรงแรมมีห้องพักหมายเลข 1 สาหรับ
แขกผู้มาใหม่
ด้วยวิธีการข้างต้น หากมีแขกใหม่เข้ามาพักจานวนหนึ่งร้อยคน หนึ่งล้านคน หรือแม้กระทั่งหนึ่งพันล้านคน ก็คงไม่
เป็นปัญหากระไร หากมองในเชิงคณิตศาสตร์ สมมติว่าย้ายแขกชุดเดิมที่พักในห้องหมายเลข 1, 2, 3, … ไปพักใน
ห้องหมายเลข 6, 7, 8, … เนื่องจากเป็นแขกชุดเดิม ดังนั้นเมื่อนับห้องทั้งหมดก่อนการย้ายซึ่งก็คือห้องหมายเลข 1,
2, 3, … กับจานวนห้องหมายเลข 6, 7, 8 … หลังจากย้ายแล้ว มีจานวนเท่ากัน แต่ !!! 6, 7, 8, … เป็นส่วนย่อยของ 1,
2, 3, … และนี่เองที่ทาให้สิ่งที่ไม่น่าเชื่อได้บังเกิดขึ้น
9

11. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
คาถามอภิปราย
จากปัญหาข้างต้น หากมีแขกใหม่เข้ามาพักจานวนอนันต์คน โรงแรมฮิลแบร์ทจะยังสามารถจัดให้ทุก
คนเข้าพักได้หรือไม่ เพราะอะไร
แนวคาตอบ
โรงแรมฮิลแบร์ทสามารถจัดการปัญหาดังกล่าวได้ ถ้าแขกจานวนอนันต์คนนั้น เป็นอนันต์คนแบบนับ
ได้ สมมติให้แขกใหม่มีหมายเลขประจาตัวเป็น 1, 3, 5, 7,… ซึ่งมีจานวนเป็นอนันต์คน โดย ฮิล
แบร์ทจะย้ายแขกชุดเดิมที่พักในห้องหมายเลข 1, 2, 3, 4, … ไปพักในห้องหมายเลข 2, 4, 6, 8, … และ
ให้แขกใหม่เข้าพักตามห้องที่ตรงกับหมายเลขของตน ดังนี้ แขกชุดเดิมอนันต์คนที่เคยพักก็ยังคงมีที่พกั
และแขกชุดใหม่อนันต์คน ก็ยังคงได้เข้าพัก
หลังจากย้ายแล้ว มีจานวนเท่ากัน แต่ !!! 6, 7,10 … เป็นส่วนย่อยของ 1, 2, 3, … และนี่เองที่ทาให้สิ่งที่
8,
ไม่น่าเชื่อได้บังเกิดขึ้น

12. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่องมหัศจรรย์เกี่ยวกับเซตยังมีมากกว่านี้ ทั้งๆที่ทฤษฎีเซตเป็นทฤษฎีที่สร้างขึ้นมาเพื่อรองรับระบบทางคณิตศาสตร์
แต่แนวคิดทางทฤษฎีเซตก็มีประโยชน์มากในการวิเคราะห์และประพันธ์ดนตรีไร้กุญแจเสียงแบบอิสระในแง่ของ
การวิเคราะห์ ซึ่งจะช่วยทาให้เข้าใจได้ถึงโครงสร้างและความสัมพันธ์ของกลุ่มโน้ต ส่วนในแง่ของการประพันธ์จะ
ทาให้ผู้ประพันธ์มั่นใจว่า กลุ่มโน้ตที่ใช้ในบทเพลงไร้กุญแจเสียงไม่ได้รวมกลุ่มกันโดยบังเอิญหากแต่เกิดขึ้นอย่างมี
เหตุผลและมีทิศทางที่ชัดเจน
นอกจากนี้ความรู้เกี่ยวกับเรื่องเซต ยังสามารถนามาช่วยในการแก้ปัญหาที่มีความซับซ้อนได้ ซึ่งสะท้อนได้จาก
เหตุการณ์ดังตัวอย่างต่อไปนี้
หน่วยงานท้องถิ่นแห่งหนึ่งต้องการช่วยเหลือผู้ตกงาน จึงขอข้อมูลผู้ว่างงานของหมู่บ้านต่างๆ จากนาย
อาเภอ ให้ส่งข้อมูลของผู้ว่างงานในแต่ละหมู่บ้านมา ซึ่งมีนายอาเภอของหมู่บ้านแห่งหนึ่ง ได้ส่งรายละเอียดข้อมูล
มาให้ดังนี้
“ลูกบ้านวัยทางานของผมมีทั้งหมด 52 คน มีอาชีพ ทาไร่ข้าวโพดกับเลี้ยงแกะ เมื่อวานกระผมลองไปนับ
จานวนดู พบว่ามีคนที่ไม่ได้ทาไร่ข้าวโพด 30 คน พวกที่เลี้ยงแกะอย่างเดียว 15 คน ส่วนพวกขยันที่ทาทั้ง
สองอย่างมีอยู่ 5 คน… แล้วตกลงว่า มีคนตกงานกี่คนกัน ? จะได้ช่วยเหลือได้ถูก”
11

13. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
หากมองเพียงผิวเผินแล้ว ดูเหมือนกับว่านายอาเภอจะไม่ได้ให้ข้อมูลที่เจ้าหน้าที่ต้องการ หากแต่ถ้าเราใช้ความรู้
เรื่องเซตที่แทนข้อมูลที่นายอาเภอให้มาด้วยแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์แล้ว เราก็จะพบว่า ข้อมูลที่เจ้าหน้าที่ต้องการ
ถูกซ่อนอยู่แล้วในจดหมายของนายอาเภอ ดังนี้
12

14. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ในช่วงนี้ ผู้สอนควรพิจารณาอธิบายเพิ่มเติม โดยอาจแทรกระหว่างการนาเสนอสื่อบทนา หรือหลังจาก
นาเสนอจบแล้ว ทั้งนี้ไม่ควรอ้างอิงทฤษฎีบทตามบทเรียน หากแต่สะท้อนให้เห็นถึงประโยชน์ของการ
นาแผนภาพมาใช้เพื่อให้เกิดความเข้าใจที่ง่ายและตรงกัน สังเกตว่า ข้อมูลบางอย่างของนายอาเภอไม่ได้
ถูกนามาใช้งาน และอาจมีวิธีแก้ปัญหาได้หลายวิธี ทั้งนี้ผู้สอนอาจยกตัวอย่างอื่น หรือตัวอย่างที่
ซับซ้อนขึ้นเพิ่มเติมได้
13

15. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
นอกจากนั้น ในชีวิตจริงเราอาจจะพบปัญหาในลักษณะเดียวกันที่มีความซับซ้อนมากกว่าปัญหาข้างต้น
เช่น มีอาชีพมากกว่าสองอาชีพ ซึ่งเราก็ยังสามารถใช้ความรู้ในเรื่องเซตมาช่วยแก้ปัญหาเหล่านี้ได้เช่นกัน
14

16. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ภาคผนวกที่ 1
แผนภาพแสดงความสัมพันธ์
เรื่อง เซต
15

17. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เซต
แจกแจงสมาชิก
ความหมาย
บอกเงื่อนไข
ความรู้พื้นฐาน การเขียนเซต
ประเภทของเซตที่สาคัญ เซตจากัด
เซตอนันต์
การเปรียบเทียบ
เซตว่าง
การเท่ากัน
เอกภพสัมพัทธ์
การเทียบเท่า
สับเซต เซตกาลัง
การดาเนินการบนเซต ยูเนียน
อินเตอร์เซกชัน
ผลต่าง
คอมพลีเมนต์
การใช้แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ ในการแก้ปัญหาทั่วไป และปัญหาเกี่ยวกับจานวนสมาชิก
16

18. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์
จานวน 92 ตอน
17

19. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ จานวน 92 ตอน
เรื่อง ตอน
เซต บทนา เรื่อง เซต
ความหมายของเซต
เซตกาลังและการดาเนินการบนเซต
เอกลักษณ์ของการดาเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ บทนา เรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์
การให้เหตุผล
ประพจน์และการสมมูล
สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล
ประโยคเปิดและวลีบงปริมาณ
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องหอคอยฮานอย
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องตารางค่าความจริง
จานวนจริง บทนา เรื่อง จานวนจริง
สมบัติของจานวนจริง
การแยกตัวประกอบ
ทฤษฏีบทตัวประกอบ
สมการพหุนาม
อสมการ
เทคนิคการแก้อสมการ
ค่าสัมบูรณ์
การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์
กราฟค่าสัมบูรณ์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องช่วงบนเส้นจานวน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องสมการและอสมการพหุนาม
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟค่าสัมบูรณ์
ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น บทนา เรื่อง ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น
การหารลงตัวและจานวนเฉพาะ
(การหารลงตัวและตัววคูณร่วมมาก)
ตัวหารร่วมมากและตั หารร่ มน้อย
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน บทนา เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
ความสัมพันธ์
18

20. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน โดเมนและเรนจ์
อินเวอร์สของความสัมพันธ์และบทนิยามของฟังก์ชัน
ฟังก์ชันเบื้องต้น
พีชคณิตของฟังก์ชัน
อินเวอร์สของฟังก์ชันและฟังก์ชันอินเวอร์ส
ฟังก์ชันประกอบ
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
้ บทนา เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
เลขยกกาลัง
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
้
ลอการิทึม
อสมการเลขชี้กาลัง
อสมการลอการิทึม
ตรีโกณมิติ บทนา เรื่อง ตรีโกณมิติ
อัตราส่วนตรีโกณมิติ
เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหน่วย
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 1
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 2
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 3
กฎของไซน์และโคไซน์
กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องมุมบนวงกลมหนึงหน่วย
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกฎของไซน์และกฎของโคไซน์
กาหนดการเชิงเส้น บทนา เรื่อง กาหนดการเชิงเส้น
การสร้างแบบจาลองทางคณิตศาสตร์
การหาค่าสุดขีด
ลาดับและอนุกรม บทนา เรื่อง ลาดับและอนุกรม
ลาดับ
การประยุกต์ลาดับเลขคณิตและเรขาคณิต
ลิมิตของลาดับ
ผลบวกย่อย
อนุกรม
ทฤษฎีบทการลู่เข้าของอนุกรม
19

21. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
การนับและความน่าจะเป็น บทนา เรื่อง การนับและความน่าจะเป็น
. การนับเบื้องต้น
การเรียงสับเปลี่ยน
การจัดหมู่
ทฤษฎีบททวินาม
การทดลองสุ่ม
ความน่าจะเป็น 1
ความน่าจะเป็น 2
สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล บทนา เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล
บทนา เนื้อหา
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 1
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 2
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 3
การกระจายของข้อมูล
การกระจายสัมบูรณ์ 1
การกระจายสัมบูรณ์ 2
การกระจายสัมบูรณ์ 3
การกระจายสัมพัทธ์
คะแนนมาตรฐาน
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 1
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 2
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 1
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 2
โครงงานคณิตศาสตร์ การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย
ปัญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส
การถอดรากที่สาม
เส้นตรงล้อมเส้นโค้ง
กระเบื้องที่ยืดหดได้
20