En la siguiente diapositiva encontraran información sobre el algebra y como resolver cada uno de ellos

1. Universidad PolitécnicaTerritorial Andrés Eloy Blanco
ESTUDIANTE: KEYLIMAR GÓMEZ
C.I: 29.778.296
SECCIÓN: HS0101
EL MUNDO DEL
ALGEBRA

2. Expresiones algebraicas
Una expresión algebraica es una
combinación de letras y números unidos
por medio de las operaciones: suma, resta,
multiplicación, división, potenciación o
radicación, de manera finita.
Usualmente las primeras letras de nuestro
alfabeto: a, b, c, d, etc. si no se dice otra
cosa, representan valores fijos en la
expresión. Estas letras también se pueden
llamar parámetros.
Las últimas letras de nuestro alfabeto: x, y,
z, u otros símbolos, representan variables
que pueden tomar valores dentro de un
subconjunto de números reales.

3. Suma de expresiones algebraicas
Para sumar dos o más
expresiones algebraicas con
uno o más términos, se
deben reunir todos los
términos semejantes que
existan, en uno sólo. Se
puede aplicar la propiedad
distributiva de la
multiplicación con respecto
de la suma.
Ejemplo: realice las operaciones indicadas y
simplifique.
(𝟑𝒙𝟐
− 𝒙𝒚) + (𝟓𝒙𝒚 − 𝒚𝟐
) − (𝟐𝒙𝟐
+ 𝟐𝒚𝟐
)
Solución:
(𝟑𝐱𝟐 − 𝐱𝐲) + (𝟓𝐱𝐲 − 𝐲𝟐) − (𝟐𝐱𝟐 + 𝟐𝐲𝟐)
= 𝟑𝒙𝟐
− 𝐱𝐲 + 𝟓𝐱𝐲 − 𝐲𝟐
− 𝟐𝐱𝟐
− 𝟐𝐲𝟐
= (3𝑥2
− 2𝑥2
) + (𝑥𝑦 + 5𝑥𝑦) + (−𝑦2
−2𝑦2
)
= (3 − 2)𝑥2
+ (1 + 5)𝑥𝑦 + (−1 − 2)𝑦2
= 𝑥2 +6𝑥𝑦 − 3𝑦2

4. Resta de expresiones algebraicas
La resta algebraica es una de las
operaciones fundamentales en
el estudio del álgebra. Sirve para
restar monomios y polinomios.
Con la resta algebraica
sustraemos el valor de una
expresión algebraica de otra.
Por ser expresiones que están
compuestas por términos
numéricos, literales, y
exponentes.

5. Resta de monomios
La resta de dos monomios puede dar como resultado un monomio o un
polinomio.
Cuando los factores son iguales, por ejemplo, la resta 2x – 4x, el
resultado será un monomio, ya que la literal es la misma y tiene el
mismo grado (en este caso, 1, o sea, sin exponente). Restaremos solo
los términos numéricos, ya que, en ambos casos, es lo mismo que
multiplicar por x:
Cuando las expresiones tienen signos diferentes, el signo del factor que
restamos cambiará, aplicando la ley de los signos: al restar una
expresión, si tiene signo negativo, cambiará a positivo, y si tiene signo
positivo, cambiará a negativo. Para no tener confusión, escribimos los
números con signo negativo, o incluso todas las expresiones, entre
paréntesis: (4x) – (–2x).:
Debemos recordar además, que en la resta, el orden de los factores se
debe de tener en cuenta:
En el caso de que los monomios tengan literales diferentes, o en caso de
tener la misma literal, pero con diferente grado (exponente), entonces
el resultado de la resta algebraica es un polinomio, formado por el
minuendo, menos el sustraendo. Para distinguir la resta de su
resultado, escribimos minuendo y sustraendo entre paréntesis:
Cuando en la resta hay dos o más términos comunes, es decir, con las
mismas literales y del mismo grado, se restan entre sí, y se escribe la
resta con los demás términos:
2x – 4x = (2 – 4)x = –2x
(4x) – (–2x) = 4x + 2x = 6x.
(4x) – (–2x) = 4x + 2x = 6x.
(–2x) – (4x) = –2x – 4x = –6x.
(4x) – (3y) = 4x – 3y
(a) – (2a2) – (3b) = a – 2a2 – 3b
(3m) – (–6n) = 3m + 6n
(2a) – (–6b2) – (–3a2) – (–4b2) – (7a) – (9a2)= [(2a) –
(7a)] – [(–3a2) – (9a2)] – [(–6b2) – (–4b2)] = [–5a]–[
–12a2]–[ –2b2] = –5a + 12a2 +2b2

6. Resta de polinomios
Restaremos c + 6b2 –3a + 5b de 3a2 + 4a + 6b –5c – 8b2
Un polinomio es una expresión algebraica que está formada
por sumas y restas de los términos con diferentes literales y
exponentes que conforman el polinomio. Para restar dos
polinomios, podemos seguir los siguientes pasos:
 Ordenamos los polinomios en relación a sus letras y sus
grados, respetando el signo de cada término:
 Agrupamos las restas de los términos comunes, en el
orden minuendo–sustraendo:
 Efectuamos las restas de los términos comunes que
pusimos entre paréntesis o corchetes. Recordemos que al
ser resta, los términos del sustraendo cambian de signo:
Para comprender mejor el cambio de signos en la resta,
podemos hacerla en forma vertical, colocando el minuendo
en la parte de arriba, y el sustraendo en la parte de abajo:
Como estamos realizando una resta, los signos del
sustraendo cambiarán, por lo que si lo expresamos como
una suma en la que todos los signos del sustraendo se
invierten, entonces quedará así y resolvemos:
4a +3a2 + 6b – 8b2 –3a + 5b + 6b2 + c
[(4a) –(–3a)] + 3a2 + [(6b) – (5b)] + [(– 8b2) – (6b2)] – c
[4a + 3a] + 3a2 + [6b – 5b] + [– 8b2 – 6b2] – c =
7a + 3a2 + b – 14b2 – c
𝟒𝐚 + 𝟑𝐚𝟐
+ 𝟔𝐛 − 𝟖𝐛𝟐
−𝟑𝒂 + 𝟎 + 𝟓𝒃 + 𝟔𝒃𝟐 + 𝒄
𝟒𝒂 + 𝟑𝒂𝟐 + 𝟔𝒃 − 𝟖𝒃𝟐
𝟑𝒂 + 𝟎 − 𝟓𝒃 − 𝟔𝒃𝟐
− 𝒄
𝟕𝒂 + 𝟑𝒂𝟐
+ 𝒃 − 𝟏𝟒𝒃𝟐
− 𝒄

7. Valor numérico de expresiones algebraicas
Calcular el valor
numérico de una
expresión algebraica es
obtener la cifra que
resultaría después de
realizar todas las
operaciones indicadas
en la expresión
cuando damos un valor
a la variable o
variables.
Ejemplo: calcular el valor numérico del monomio 𝟕𝒙𝟑
para
x= 5
En este monomio el coeficiente es 7 y la variable tiene como
exponente 3,
resolvemos primero el exponente
𝐱𝟑 = (𝟑)𝟑 = 𝟑 × 𝟑 × 𝟑 = 𝟐𝟕
Ahora que sabemos el valor de 𝒙𝟑
, lo multiplicamos por el
coeficiente:
𝟕𝒙𝟑
= 𝟕 × 𝟑𝟑
= 𝟕 × 𝟐𝟕 = 𝟏𝟖𝟗
El valor numérico del monomio 𝟕𝐱𝟑
para x=5 es 189

8. Por tratarse de un curso
elemental de álgebra,
necesitaremos las propiedades
de teoría de exponentes ya
anteriormente estudiadas. Por
tratarse de multiplicación
entre polinomios, usaremos
las 3 principales leyes de la
potenciación para la
multiplicación y son:
Multiplicación de expresiones algebraicas
Multiplicación de potencias iguales:
𝐚𝐧 ⋅ 𝐚𝐦 = 𝐚𝐧+𝐦
Potencia de un producto:
(𝒂𝒃)𝒏 = 𝒂𝒏 ⋅ 𝒃𝒏
Potencia de potencia:
𝐚𝐧 𝐦 = 𝐚𝐧⋅𝐦

9. Multiplicación de monomios
La multiplicación entre monomios es
muy sencilla:
• Primero multiplicamos los
coeficientes de cada monomio
• Luego multiplicamos la parte literal,
esto es, las variables según las leyes
de los exponentes.
• Aplicamos las ley distributiva
• Por ultimo aplicamos finalmente la
leyes de los signos.
Ejemplo:
Multiplicar 𝟓𝒙𝒚𝟐 𝒚 𝟑𝒙𝟐𝒚
Solución:
(𝟓𝒙𝒚𝟐) 𝟑𝒙𝟐𝒚 = 𝟓 ⋅ 𝟑 𝒙𝒚𝟐 ⋅ 𝒙𝟐𝒚
= (𝟏𝟓)(𝒙𝟏+𝟐𝒚𝟐+𝟏)
= 𝟏𝟓𝒙𝟑𝒚𝟑

10. División de expresiones algebraicas
La división algebraica es una operación
entre dos expresiones algebraicas
llamadas dividendo y divisor para obtener
otra expresión llamado cociente por
medio de un algoritmo.
Clases de división:
• División exacta: Esta división se define cuando
el residuo R es cero.
• División inexacta: Esta división se define
cuando el residuo R es diferente de cero

11. Divisiones de expresiones algebraicas
División entre monomios:
Las reglas que debemos seguir para dividir dos
monomios son las siguientes:
• Primero se divide los coeficientes aplicando
la ley de los signos.
• Luego dividimos las partes literales
(variables) de los monomios según la ley de
exponentes.
División entre un polinomio y un monomio:
Esta es una división muy sencilla, su residuo es
siempre cero, simplemente tenemos que usar la
propiedad distributiva para realizar esta
división. Simplemente dividimos a cada termino
del polinomio por el monomio.
Ejemplo de división entre monomios:
𝟏𝟖𝒙𝟒
𝟔𝒙𝟐 =
𝟏𝟖
𝟔
𝒙𝟒
𝒙𝟐 = 𝟑𝒙𝟒−𝟐 = 𝟑𝒙𝟐
Ejemplo de división de polinomio entre monomio:
14𝑥20+21𝑥16+28𝑥10
7𝑥8 =
14𝑥2
7𝑥8 +
21𝑥16
7𝑥8 +
28𝑥10
7𝑥8
=
14
7
𝑥20−8 +
21
7−
𝑥16−8 +
28
7
𝑥10−8
= 2𝑥12
+ 3𝑥8
+ 4𝑥2

12. Productos notables
Es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas
cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar
la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica
y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.
FactorComún
El resultado de multiplicar un binomio a+b por un término c se obtiene
aplicando la propiedad distributiva:
c (a + b) = (c a) + (c b)
BinomioAl Cuadrado O Cuadrado De Un Binomio
Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo),
se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de
ellos.Así:
(𝒂 + 𝒃)𝟐
= 𝒂𝟐
+ 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐
Producto De Dos BinomiosCon UnTerminoComún
Cuando se multiplican dos binomios que tienen un término común, el
cuadrado del término común se suma con el producto del término común
por la suma de los otros, y al resultado se añade el producto de los
términos diferentes.
Producto notable
Ejemplo de factor común:
𝟑𝒙(𝟒𝒙 + 𝟔𝒚) = 𝟏𝟐𝒙𝟐 + 𝟏𝟖𝒙
Ejemplo de binomio al cuadrado:
(𝟐𝒙 − 𝟑𝒚)𝟐
= (𝟐𝒙)𝟐
+ 𝟐 𝟐𝒙 −𝟑𝒚 + (−𝟑𝒚)𝟐
Simplificando
(𝟐𝒙 − 𝟑𝒚)𝟐
= 𝟒𝒙𝟐
+ 𝟏𝟐𝒙𝒚 + 𝟗𝒚𝟐
Ejemplo de dos binomios con un termino común:
(𝟑𝒙 + 𝟒) 𝟑𝒙 − 𝟕 =
(𝟑𝒙)(𝟑𝒙) + (𝟑𝒙)(−𝟕) + (𝟑𝒙)(𝟒) + (𝟒)(−𝟕)
Agrupando términos
(𝟑𝒙 + 𝟒)(𝟑𝒙 − 𝟕) = 𝟗𝒙𝟐
− 𝟐𝟏𝒙 + 𝟏𝟐𝒙 − 𝟐𝟖
Luego
(𝟑𝒙 + 𝟒)(𝟑𝒙 − 𝟕) = 𝟗𝒙𝟐
− 𝟗𝒙 − 𝟐𝟖

13. Producto notable
PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CONJUGADOS
Dos binomios conjugados se diferencian sólo en el signo de la
operación. Para su multiplicación basta elevar los monomios al
cuadrado y restarlos (obviamente, un término conserva el signo
negativo), con lo cual se obtiene una diferencia de cuadrados.
POLINOMIO AL CUADRADO
Para elevar un polinomio de cualquier cantidad de términos se
suman los cuadrados de cada término individual y luego se añade el
doble de la suma de los productos de cada posible par de términos.
(𝒂 + 𝒃 + 𝒄)𝟐
= 𝒂𝟐
+ 𝒃𝟐
+ 𝒄𝟐
(𝒂𝒃 + 𝒂𝒄 + 𝒃𝒄)
BINOMIO AL CUBO
Para calcular el cubo de un binomio se suman, sucesivamente:
• El cubo del primer término con el triple producto del cuadrado del
primero por el segundo.
• El triple producto del primero por el cuadrado del segundo.
• El cubo del segundo término.
(𝒂 + 𝒃)𝟑 = 𝒂𝟑 + 𝟑𝒂𝟐𝒃 + 𝟑𝒂𝒃𝟐 + 𝒃𝟑
(𝐚 + 𝐛)(𝐚 − 𝐛) = 𝐚𝟐
− 𝐛𝟐
Ejemplo de binomios conjugados:
(𝟑𝒙 + 𝟓𝒚)(𝟑𝒙 − 𝟓𝒚) =
(𝟑𝒙)(𝟑𝒙) + (𝟑𝒙)(−𝟓𝐲) + 𝟓𝒚 (𝟑𝒙) + (𝟓𝒚)(−𝟓𝒚)
Agrupando términos
(𝟑𝒙 + 𝟓𝒚)(𝟑𝒙 − 𝟓𝒚) = 𝟗𝒙𝟐
− 𝟐𝟓𝒚𝟐
Ejemplo de polinomio al cuadrado:
(𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟓𝒛)𝟐 = (𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟓𝒛)(𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟓𝒛)
Multiplicando los monomios
(𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟓𝒛)𝟐
= 𝟑𝒙 ⋅ 𝟑𝒙 + 𝟑𝒙 ⋅ 𝟐𝒚 + 𝟑𝒙 ⋅ (−𝟓𝒛) + 𝟐𝒚 ⋅ 𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 ⋅ 𝟐𝒚 + 𝟐𝒚
⋅ (−𝟓𝒛) + (−𝟓𝒛) + (−𝟓𝒛) ⋅ 𝟑𝒙 + (−𝟓𝒛) ⋅ 𝟐𝒚 + (−𝟓𝒛) ⋅ (−𝟓𝒛)
Agrupando términos
(𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟓𝒛)𝟐
= 𝟗𝒙𝟐
+ 𝟒𝒚𝟐
+ 𝟐𝟓𝒛𝟐
+ 𝟐(𝟔𝒙𝒚 − 𝟏𝟓𝒙𝒛 −
𝟏𝟎𝐲𝐳)
Luego
(3𝑥 + 2𝑦 + 5𝑧)2
= 9𝑥2
+ 4𝑦2
+ 25𝑧2
+ 12𝑥𝑦 − 30𝑥𝑧 − 20𝑦𝑧
Ejemplo de binomio al cubo:
𝒙 + 𝟐𝒚𝟑
= 𝒙𝟑
+ 𝟑 𝒙 𝟐
(𝟐𝒚) + 𝟑(𝒙)(𝟐𝒚)𝟐
+ 𝟐𝒚𝟑
Agrupando términos
(𝒙 + 𝟐𝒚)𝟑
= 𝒙𝟑
+ 𝟔𝒙𝟐
𝒚 + 𝟔𝒙𝒚𝟐
+ 𝟖𝒚𝟑

14. Factorización por productos notables
La factorización se considera la operación inversa a la
multiplicación, pues el propósito de esta ultima es
hallar el producto de dos o mas factores y mientras
que en la factorización, se buscan los factores de un
producto dado.
Factorización de un trinomio cuadrado perfecto:
-Es una expresión algebraica de la forma 𝒂𝟐
+ 𝟐𝒂𝒃 +
𝒃𝟐
Trinomio de segundo grado:
-Es una expresión algebraica de la forma 𝒂𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄
Factorización de una diferencia de cuadrados:
- Se le llama diferencia de cuadrados a un binomio de
la forma 𝒂𝟐
− 𝒃𝟐
Ejemplo de factorización de un trinomio perfecto:
𝒙𝟐
+ 𝟐𝟎𝒙 + 𝟏𝟎𝟎
Se le saca la raíz a
𝒙𝟐
= 𝒙
100=10
Por lo tanto
𝒙𝟐
+ 𝟐𝟎𝒙 + 𝟏𝟎𝟎 es un trinomio cuadrado perfecto
Ejemplo de trinomio de segundo grado:
𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟒𝟖
Sacando raíz
𝒙𝟐
= 𝒙
Sacar raíz cuadrada exacta
𝟒𝟖 = 𝟔, 𝟗𝟐 no tiene
Por tanto es trinomio de segundo grado
Ejemplo de factorización de una diferencia de cuadrados:
𝒙𝟐
− 𝒚𝟐
Se saca raíz cuadrada
𝒙𝟐
= 𝒙 como tienen raíz cuadrada exacta son una
𝒚𝟐
= 𝐲 diferencia de cuadrados

15. Bibliografía
Expresiones algebraicas (2015). Javevirtual. Pontificia Universidad
Javeriana Cali.
http://proyectos.javerianacali.edu.co/cursos_virtuales/pregrado/m
atematicas_fundamentales/Expresiones/Cap2/
Ejemplos de restas algebraicas (2013). Ejemplode.com.
https://www.ejemplode.com/5-matematicas/4671-
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Valor numérico de expresiones algebraicas (2014). Valor-Numerico-
de-Expresiones-Algebraicas.pdf.
https://www.soydeciencias.com/wp-
content/uploads/2017/02/Valor-Numerico-de-Expresiones-
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Sergio C. (sin fecha). Ciencias básicas. https://ciencias-
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Algebra (sin fecha).
https://sites.google.com/site/algebra2611/unidad-2/productos-
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Carlos H. H (2014). Slideshare.
https://es.slideshare.net/JuanCHdez1/factorizacin-41129598