Desigualdades

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA
EDUCACION UNIVERSITARIA
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA TERRITORIAL
ANDRÉS ELOY BLANCO
ESTADO LARA
Integrante
Cesar Amaro
Cedula
23837078
BARQUISIMETO, FEBRERO 2021

2. Conjuntos
Toda agrupación o colección de objetos es considerada como conjunto,
siempre que exista un criterio preciso que nos permita afirmar que un
objeto pertenece o no, a dicha agrupación.
Elementos
A los objetos que forman un conjunto los llamaremos “elementos”, de ese
Conjunto, por ejemplo Miranda y Guárico son “elementos” del conjunto de los estados de Venezuela.
Pera y manzana son elementos del conjunto de las frutas.
Notación
A los conjuntos los denotaremos con las letras mayúsculas cualesquiera, así: podríamos llamar A al
Conjunto cuyos elementos son los días de la semana, pero también hubiésemos podido llamarlo B, C,
D,….M,…
Los elementos dentro del conjunto se determinan con letras minúsculas,

3. Determinación de un conjunto
Diremos que un conjunto está bien determinado cuando se puede decidir, sin lugar a dudas,
si un elemento cualquiera está o no está en ese conjunto. Ejemplo: El conjunto A, cuyos elementos
son “las vocales del alfabeto castellano”, está bien determinado porque sabemos cuales son sus
elementos.
Formas de determinar un conjunto
a) Por extensión
Un conjunto esta determinado por extensión, cuando se nombran cada uno de sus elementos.
Ejemplo: B es el conjunto cuyos elementos son: norte, sur, este, oeste.
C es el conjunto cuyos elementos son: tacto, gusto, olfato, vista, oído.
b) Por compresión
Un conjunto está determinado por compresión cuando se da mediante una propiedad
que cumplen sus elementos.
Ejemplo: A es el conjunto cuyos elementos son los colores de la bandera nacional.
D es el conjunto cuyos elementos son los días de la semana.

4. Operaciones con conjuntos
a) Intersección de conjuntos.
La intersección de dos conjuntos cualesquiera A y B, es otro conjunto formado por los
elementos que pertenecen, simultáneamente, al conjunto A y al conjunto B.
Ejemplo: La intersección de los conjuntos 𝐴 = 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 y 𝐵 = {𝑎, 𝑥, 𝑦, 𝑏}
es el conjunto {𝑎, 𝑏} porque: 𝑎 ∈ 𝐴 y 𝑎 ∈ 𝐵
𝑏 ∈ 𝐴 y 𝑏 ∈ 𝐵
Simbólicamente podemos escribir: 𝐴⋂𝐵 = {𝑥 /𝑥 ∈ 𝐴 y 𝑥 ∈ 𝐵}
b) Unión de conjuntos.
La Unión de dos conjuntos cualesquiera A y B es otro conjunto
Formado por los elementos que pertenecen a A, o a B, o ambos.
Ejemplo: La unión de los conjuntos 𝐴 = 𝑥, 𝑡, 𝑢, 𝑣 y 𝐵 = {𝑑, 𝑡, 𝑣} es el conjunto
𝑥, 𝑡, 𝑢, 𝑣, 𝑑 porque: 𝑥 ∈ 𝐴, 𝑡 ∈ 𝐴, 𝑡 ∈ 𝐵, 𝑢 ∈ 𝐴 𝑣 ∈ 𝐴, 𝑣 ∈ 𝐵, 𝑑 ∈ 𝐴
Simbólicamente podemos escribir:
𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥/𝑥 ∈ 𝐴 ó 𝑥 ∈ 𝐵}

5. c) Diferencia de conjuntos
La diferencia de dos conjuntos A y B, es otro conjunto formado por los elementos que
pertenecen a A y no pertenecen a B.
Ejemplo: La diferencia de los conjuntos 𝐴 = {1,6, 𝑝, 4} y 𝐵 = {1,5, 𝑥, 𝑝}
es el conjunto {6,4} porque: 6 ∈ 𝐴 y 6 ∈ 𝐵
4 ∈ 𝐴 y 4 ∈ 𝐵
Simbólicamente podemos escribir: 𝐴 − 𝐵 = {𝑥/𝑥 ∈ 𝐴 y 𝑥 ∉ 𝐵}
Números Reales
A la unión del conjunto 𝐼 de los números irracionales con el conjunto 𝑄 de los números
racionales se le llama conjunto de los números reales, y se denota con la letra 𝑅.
En símbolos, 𝑅 = 𝑄⋂𝐼. En otras palabras un número real
es aquel que se puede representar mediante una
expresión decimal, ya ésta limitada, ilimitada periódica o ilimitada no periódica.
Todo número natural es un número entero, todo número entero es un número
racional y todo número racional es un número real: 𝑁 ⊂ 𝑍 ⊂ 𝑄 ⊂ 𝑅

6. Desigualdades
Son inecuaciones que involucran números reales y una sola variable elevada al exponente uno.
el valor de la incógnita que convierte a la inecuación en una desigualdad verdadera se denomina
solución de la inecuación. El conjunto de todas las soluciones de la inecuación se llama conjunto
solución y se denota por la letra S.
Propiedades básicas de las desigualdades
a) Ley de tricotomía: Todo par de números reales 𝑎 y 𝑏 cumple una y solo una de las tres relaciones
siguientes: 𝑎 = 𝑏, 𝑎 < 𝑏, 𝑎 > 𝑏
b) Ley de transitividad: 𝑎 < 𝑏 y 𝑏 < 𝑐 ⟹ 𝑎 < 𝑐
c) Ley aditiva: 𝑎 < 𝑏 ⟹ 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑐, para todo 𝑐 ∈ 𝑅
d) Ley multiplicativa: 𝑎 < 𝑏 ⟺ 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐, para todo 𝑐 > 0
𝑎 < 𝑏 ⇔ 𝑎𝑐 > 𝑏𝑐, para todo 𝑐 < 0
0 < 𝑎 < 𝑏 ó 𝑎 < 𝑏 < 0 ⇒
1
𝑎
>
1
𝑏

7. Resolución de inecuaciones
Para resolver una inecuación de primer grado de una incógnita bastará aplicar las propiedades
de las desigualdades.
1) 5𝑥 + 2 ≤ 32
Al restar 2 a ambos miembros, se obtiene 5𝑥 + 2 − 2 ≤ 32 − 2, es decir 5𝑥 ≤ 30 y al dividir
ambos miembros de esta última inecuación entre 5 se obtiene
5𝑥
5
≤
30
5
, o sea, 𝑥 ≤ 6.
Luego, 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅 /𝑥 ≤ 6}= −∞, 6 , graficamente se expresa:
2) −
1
3
𝑥 + 2 + 5x ≥
1
2
−
1
3
𝑥 + 5𝑥 + 2 ≥
1
2
Se agrupan las 𝑥
−
1
3
𝑥 + 5𝑥 + 2 − 2 ≥
1
2
− 2 se resta 2 a ambos miembros
−
1
3
𝑥 + 5𝑥 ≥ −
3
2
se resuelven las operaciones que se presentan
−1𝑥+15𝑥
3
≥ −
3
2
⇒
14𝑥
3
≥ −
3
2
⇒ 3
14
3
𝑥 ≥ −
9
2
⇒ 14𝑥 ≥ −
9
2

8. 14
14
𝑥 ≥
−
9
2
14
Se dividen ambos miembros entre 14
𝑥 ≥ −
9
28
Entonces, 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅/𝑥 ≥ −
9
28
}
Gráficamente la solución se expresa así:
Definición de Valor absoluto
El valor absoluto de un número se define real 𝑎 se denota 𝑎 , se define como:
𝑎 =
𝑎, 𝑎 ≥ 0
−𝑎, 𝑎 < 0
O sea, el valor absoluto de un número real es igual al mismo número si éste es 0 ó positivo

9. Desigualdades con valor absoluto
1) 𝑥 − 3 < 10 ⟺ −10 < 𝑥 − 3 < 10 Aplicando la propiedad 1)
⇔ −10 + 3 < 𝑥 − 3 + 3 < 10 + 3 Sumando 3 a toda la desigualdad
⇔ −7 < x < 13
La solución es el intervalo abierto (−7, 13). Gráficamente:
2) 2𝑥 + 3 ≤ 5 ⇔ −5 ≤ 2𝑥 + 3 ≤ 5 Aplicando la propiedad 1)
⇔ −5 − 3 ≤ 2𝑥 + 3 − 3 ≤ 5 − 3 Restando -3 a toda la desigualdad
⇔ −8 ≤ 2𝑥 ≤ 2
⇔ −8(
1
2
) ≤ 2𝑥(
1
2
) ≤ 2(
1
2
) Dividiendo entre 2
⇔ −4 ≤ 𝑥 ≤ 1
La solución es el intervalo cerrado −4,1 . Gráficamente:
3) 𝑥 + 3 ≥ 12 ⇔ 𝑥 + 3 ≥ 12 𝑦 𝑥 + 3 ≤ −12 Aplicando la propiedad 4)
⇔ 𝑥 + 3 − 3 ≥ 12 − 3 𝑦 𝑥 + 3 − 3 ≤ −12 − 3
⇔ 𝑥 ≥ 9 𝑦 𝑥 ≤ −15
La solución es el intervalo −∞, −15 ∪ 9, +∞ . Gráficamente:

10. Bibliografía
Estrella Suárez y Darío Duran. (2006). Matemática 9. Caracas. Santillana.
José Sarabia. (1972). Matemática Primer Año. Caracas. Ediciones Co-Bo.
Jorge Sáenz. (2005). Calculo Diferencial con trascendentes tempranas para ciencias e ingeniería.
Barquisimeto. Editorial Hipotenusa.