Tugas Mata Kuliah Kalkulus Integral

1. Kelompok 4
Firza Eka Febrianto 152151025 2015D
Indah Amelia 152151088 2015D
Hanhan Mustakimah 152151098 2015E
Rida Nur’Azizah 152151115 2015D
Iip Muzdalipah 152151123 2015D
Jajang Nur’alim 152151129 2015D
Fahmi Mi’raj Nurhakim 152151151 2015D
Volume Benda Putar

2. Pendahuluan
Suatu daerah jika di putar mengelilingi garis
tertentu sejauh 360º, maka akan terbentuk
suatu benda putar.

3. Dalam menentukan volume benda putar yang harus diperhatikan
adalah bagaimana bentuk sebuah partisi jika diputar. Berdasarkan
bentuk partisi tersebut, maka metode yang digunakan untuk
menentukan volume benda putar dibagi menjadi :
1. Metode cakram
2. Metode cincin
3. Metode kulit tabung

4. Perlu di ingat !!!!! rumus dasar
tabung :
luas permukaan tabung
l = 2 x π x jari-jari x tinggi
l = 2 π r t
volume tabung
v = luas alas x tinggi
v = π x (jari-jari) 2 x tinggi
v = π r 2 t

5. Metode Cakram
Metode cakram yang digunakan dalam menentukan volume
benda putar dapat dianalogikan seperti menentukan volume mentimun
dengan memotong-motongnya sehingga tiap potongan berbentuk
cakram.

6. Bentuk cakram di samping dapat
dianggap sebagai tabung dengan jari-
jari
r = f(x), tinggi .
Sehingga volumenya dapat diperoleh
sebagai
atau
Dengan cara jumlahkan, ambil
limitnya, dan nyatakan dalam integral
diperoleh:
xh 
hrV 2
 xxfV  2
)(
xxfV  2
)(
xxfV  2
)(lim 

a
dxxfV
0
2
))((

a
dxyV
0
2


8. Contoh :
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang
dibatasi kurva y = x2 + 1,sumbu x, sumbu y, garis x = 2 diputar
mengelilingi sumbu x sejauh 360º.

9. Contoh :
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi
kurva y = x2,sumbu y, garis y = 2 diputar mengelilingi sumbu y
sejauh 360º.

10. Metode cincin yang digunakan dalam menentukan volume benda
putar dapat dianalogikan seperti menentukan volume bawang
bombay dengan memotong motongnya yang potongannya berbentuk
cincin.
Metode Cincin

11. Menghitung volume benda putar dengan menggunakan metode
cincin dilakukan dengan memanfaatkan rumus volume cincin
seperti gambar di samping,yaitu hrRV )( 22
 

12. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang
dibatasi kurva y = x2 dan garis y = 2x diputar mengelilingi sumbu
x sejauh 360º.

13. Metode kulit tabung yang digunakan untuk menentukan volume benda
putar dapat dianalogikan seperti menentukan volume roti pada
gambar disamping.
Metode Kulit Tabung

14. Ketika persegi panjang tersebut diputar menurut sumbu putarannya
maka akan dihasilkan kulit tabung dengan ketebalan l. Untuk
menentukan volume kulit tabung tersebut, perhatikan dua tabung
(tabung luar dan dalam) yang nampak pada gambar di bawah ini.
Jari-jari tabung yang lebih besar merupakan jari-jari luar dari kulit
tabung, dan jari-jari dari tabung yang lebih kecil merupakan jari-
jari dalam dari kulit tabung. Karena p adalah rata-rata dari jari-
jari kulit tabung, dan diketahui bahwa jari-jari luarnya p + l/2 dan
jari-jari dalamnya p – l/2.

15. Maka, volume dari kulit tabung adalah

16. Rumus di atas dapat digunakan untuk menentukan volume dari benda
putar. Anggap bidang datar pada gambar di bawah diputar menurut
sumbu putarnya sehingga dihasilkan suatu benda putar.
Apabila diperhatikan lebar dari persegi panjang tersebut adalah Δy,
maka persegi panjang yang diputar terhadap garis yang sejajar
dengan sumbu-x akan menghasilkan suatu kulit tabung yang
volumenya

17. Volume dari benda putar di atas dapat didekati dengan
menggunakan volume n kulit tabung yang tebalnya Δy, tinggi t(yi)
dan rata-rata jari-jarinya p(yi).
Pendekatan ini akan semakin baik dan semakin baik jika ||Δ|| →
0 atau n → ∞. Sehingga, volume benda putar tersebut adalah
Jadi, dari perhitungan di atas telah ditemukan rumus alternatif
yang dapat digunakan untuk menentukan volume benda putar.
Perhatikan kesimpulan berikut.

18. Untuk menentukan volume benda putar dengan metode kulit tabung,
gunakan salah satu dari rumus berikut, seperti yang ditunjukkan
oleh gambar di bawahnya.
Sumbu putarnya horizontal,
Sumbu putarnya vertikal,

19. Contoh I: Penggunaan Metode Kulit Tabung untuk Menentukan Volume
Tentukan volume benda putar yang dibentuk oleh putaran daerah
yang dibatasi oleh
dan sumbu-x (0 ≤ x ≤ 1) dengan sumbu putarannya adalah sumbu-y.
Pembahasan Karena sumbu putarannya vertikal, gunakan persegi
panjang vertikal, seperti yang ditunjukkan oleh gambar di bawah.

20. Ketebalan Δx mengindikasikan bahwa x merupakan variabel dalam
proses integrasi yang akan dilakukan. Jarak antara pusat persegi
panjang dengan sumbu putaran adalah p(x) = x, dan tingginya adalah
Karena rangenya antara 0 sampai 1, maka volume benda putar
yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut.

21. Contoh II: Penggunaan Metode Kulit Tabung untuk Menentukan
Volume
Tentukan volume benda putar yang dibentuk oleh putaran daerah
yang dibatasi oleh
dan sumbu-y (0 ≤ y ≤ 1) dengan sumbu-x sebagai sumbu putarnya.
Pembahasan Karena sumbu putarannya horizontal, gunakanlah
persegi panjang horizontal, seperti yang ditunjukkan gambar di
bawah ini.

22. Jarak antara pusat persegi panjang dan sumbu putarannya adalah
p(y) = y, dan panjang dari persegi panjangnya adalah
Karena range dari y dari 0 sampai 1, maka volume benda putarnya
dapat ditentukan sebagai berikut.

23. Mencari volume benda yang diketahui luas penampang benda