aplikasi integral volume benda berputar

1. MATEMATIKA 2
MODUL
APLIKASI INTEGRAL- VOLUME
BENDA PUTAR
Fakultas : FTI
Program studi : TEKNIK SIPIL
Tatap Muka
Kode Matakuliah : 32352T6BA
Disusun oleh : Riko Haerumansyah,M.Pd
05

2. 2022
2
Matematika 2 Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Riko Haerumansy ah M.Pd. http://www.undira.ac.id
ABSTRAK
Aplikasi integral tertentu sering kita gunakan untuk menyelesaikan berbagai
macam permasalahan. Salah satu penggunaan integral adalah dalam menentukan
volume benda ruang yang memiliki dua sisi yang sama, apabila kita
memotongnya menurut sembarang garis yang melalui pusat bidang alasnya.
Bangun ruang seperti ini sering disebut bendaputar. Benda putar tersebut sering
dijumpai di mesin ataupun pabrik. Beberapa contohnya adalah corong minyak,
pil, botol, piston, dan as sepeda.
TUJUAN
Mahasiswa dapat memahami penggunaan integral untuk menghitung volume
benda putar, metode cakram, metode cincin silinder dan metode kulit tabung

3. 2022
3
Matematika 2 Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Riko Haerumansy ah M.Pd. http://www.undira.ac.id
APLIKASI INTEGRAL – VOLUME BENDA PUTAR
A. METODE CAKRAM
Apabila suatu daerah pada bidang diputar menurut garis tertentu, maka akan
menghasilkan benda ruang, dan garis tersebut disebut sebagai pusat putaran. Benda ruang
hasil putaran yang paling sederhana adalah tabung tegak atau bisa kita sebut sebagai cakram,
yang dapat dibentuk dengan memutar persegi panjang menurut suatu garis yang berimpit
dengan salah satu sisinya, seperti yang terlihat pada gambar berikut.
Sehingga, volume dari cakram tersebut dapat ditentukan sebagai berikut.
Dengan R dan t secara berturut-turut adalah jari-jari dan tinggi cakram.
Untuk melihat bagaimana penggunaan volume cakram dalam menentukan volume benda
putar yang lebih umum, perhatikan gambar berikut.
PEMBAHASAN

4. 2022
4
Matematika 2 Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Riko Haerumansy ah M.Pd. http://www.undira.ac.id
Untuk menentukan volume benda putar, perhatikan persegi panjang yang terletak pada bidang
datar. Apabila persegi panjang tersebut diputar dengan pusat pada suatu garis, akan terbentuk
salah satu cakram dalam benda putar yang volumenya,
Sehingga volume benda putar tersebut dapat didekati dengan menggunakan n buah cakram
yang
memiliki tinggi Δx dan jari-jari R(xi) yang menghasilkan,
Pendekatan volume benda putar tersebut akan semakin baik apabila banyak cakramnya
mendekati tak hingga, n → ∞ atau ||Δ|| → 0. Sehingga, kita dapat mendefinisikan volume
benda putar sebagai berikut.
Secara sistematis, menentukan volume benda putar dengan metode cakram dapat dilihat
seperti berikut.
Rumus yang serupa juga dapat diturunkan apabila sumbu putarannya vertikal. Apabila sumbu
putarannya adalah vertikal (sumbu-y), maka rumus volume benda putarnya adalah sebagai
berikut.
Untuk membedakan antara volume benda putar dengan pusat di garis horizontal ataupun
vertikal, perhatikan gambar berikut.

5. 2022
5
Matematika 2 Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Riko Haerumansy ah M.Pd. http://www.undira.ac.id
Aplikasi paling sederhana dari metode cakram adalah menentukan volume benda putar hasil
putaran daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi f dan sumbu-x. Jika sumbu putarannya adalah
sumbu-x, maka dengan mudah dapat ditentukan bahwa R(x) sama dengan f(x).
Contoh: Penggunaan Metode Cakram
Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang dibatasi oleh
grafik,
Dan sumbu-x (0 ≤ x ≤ π) dengan pusat putaran sumbu-x.
Pembahasan Dari persegi panjang biru di atas, dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari
dari bangun ruang adalah, Jari-jari Benda Putar
Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut.

6. 2022
6
Matematika 2 Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Riko Haerumansy ah M.Pd. http://www.undira.ac.id
Jadi, volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume.
B. METODE CINCIN SILINDER
Menurut pengertian bahwa jika suatu luasan diputar terhadap sumbu tertentu, akan
terbentuk suatu benda putar dengan volume sebesar luasan tersebut dikalikan dengan keliling
putaran.
Dikarenakan keliling lingkaran = 2πr, jika luas bidang yang diputar = A, maka volume = 2πr
× A digunakan jika batang potongan sejajar dengan sumbu putar
Contoh Soal :
1. Carilah volume benda putar yang terbentuk dari daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2,
sumbu x, dan 0 ≤ x ≤ 2 jika diputar terhadap sumbu x?
Jawab :

7. 2022
7
Matematika 2 Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Riko Haerumansy ah M.Pd. http://www.undira.ac.id
Menggunakan Metode Cincin Silinder
2. Carilah volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan
garis y = 2x diputar mengelilingi sumbu y?

8. 2022
8
Matematika 2 Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Riko Haerumansy ah M.Pd. http://www.undira.ac.id
Perpotongan kurva dan garis:
x2 = 2x
x2 – 2x = 0
x(x – 2) = 0
x = 0 atau x = 2
x = 0 → y = 02 = 0
x = 2 → y = 22 = 4
Jadi titik potong kurva dan garis adalah (0, 0) dan (2, 4)
Menggunakan metode cincin silinder:

9. 2022
9
Matematika 2 Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Riko Haerumansy ah M.Pd. http://www.undira.ac.id
C. METODE KULIT TABUNG
Pada bagian ini akan dibahas mengenai metode alternatif dalam menentukan volume
benda putar. Metode ini disebut metode kulit tabung (shell method) karena metode ini
menggunakan volume dari kulit tabung. Perhatikan persegi panjang di bawah ini dengan t
adalah panjang dari persegi panjang, l adalah lebar persegi panjang, dan p adalah jarak antara
sumbu putaran dengan pusat dari persegi panjang.
Ketika persegi panjang tersebut diputar menurut sumbu putarannya maka akan dihasilkan
kulit tabung dengan ketebalan l. Untuk menentukan volume kulit tabung tersebut, perhatikan
dua tabung (tabung luar dan dalam) yang nampak pada gambar di atas. Jari-jari tabung yang
lebih besar merupakan jari-jari luar dari kulit tabung, dan jari-jari dari tabung yang lebih kecil

10. 2022
10
Matematika 2 Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Riko Haerumansy ah M.Pd. http://www.undira.ac.id
merupakan jari-jari dalam dari kulit tabung. Karena p adalah rata-rata dari jari-jari kulit
tabung, dan diketahui bahwa jari-jari luarnya p + l/2 dan jari-jari dalamnya p – l/2.
Rumus di atas dapat digunakan untuk menentukan volume dari benda putar. Anggap bidang
datar pada gambar di bawah diputar menurut sumbu putarnya sehingga dihasilkan suatu
benda putar.
Apabila diperhatikan lebar dari persegi panjang tersebut adalah Δy, maka persegi panjang
yang diputar terhadap garis yang sejajar dengan sumbu-x akan menghasilkan suatu kulit
tabung yang volumenya.
Volume dari benda putar di atas dapat didekati dengan menggunakan volume n kulit tabung
yang tebalnya Δy, tinggi t(yi) dan rata-rata jari-jarinya p(yi).

11. 2022
11
Matematika 2 Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Riko Haerumansy ah M.Pd. http://www.undira.ac.id
Pendekatan ini akan semakin baik dan semakin baik jika ||Δ|| → 0 atau n → ∞. Sehingga,
volume benda putar tersebut adalah
Jadi, dari perhitungan di atas telah ditemukan rumus alternatif yang dapat digunakan untuk
menentukan volume benda putar. Perhatikan kesimpulan berikut.
Untuk menentukan volume benda putar dengan metode kulit tabung, gunakan salah satu dari
rumus berikut, seperti yang ditunjukkan oleh gambar di bawahnya.
Sumbu putarnya horizontal,
Sumbu putarnya vertikal,
Untuk lebih memahami dalam menentukan volume benda putar dengan menggunakan metode
kulit tabung, perhatikan beberapa contoh berikut.

12. 2022
12
Matematika 2 Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Riko Haerumansy ah M.Pd. http://www.undira.ac.id
Contoh I: Penggunaan Metode Kulit Tabung untuk Menentukan Volume
Tentukan volume benda putar yang dibentuk oleh putaran daerah yang dibatasi oleh
dan sumbu-x (0 ≤ x ≤ 1) dengan sumbu putarannya adalah sumbu-y.
Pembahasan Karena sumbu putarannya vertikal, gunakan persegi panjang vertikal, seperti
yang ditunjukkan oleh gambar di bawah.
Ketebalan Δx mengindikasikan bahwa x merupakan variabel dalam proses integrasi yang
akan dilakukan. Jarak antara pusat persegi panjang dengan sumbu putaran adalah p(x) = x,
dan tingginya adalah
Karena rangenya antara 0 sampai 1, maka volume benda putar yang terbentuk dapat
ditentukan sebagai berikut.

13. 2022
13
Matematika 2 Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Riko Haerumansy ah M.Pd. http://www.undira.ac.id
Contoh II: Penggunaan Metode Kulit Tabung untuk Menentukan Volume
Tentukan volume benda putar yang dibentuk oleh putaran daerah yang dibatasi oleh
dan sumbu-y (0 ≤ y ≤ 1) dengan sumbu-x sebagai sumbu putarnya.
Pembahasan Karena sumbu putarannya horizontal, gunakanlah persegi panjang horizontal,
seperti yang ditunjukkan gambar di bawah ini.
Jarak antara pusat persegi panjang dan sumbu putarannya adalah p(y) = y, dan panjang dari
persegi panjangnya adalah

14. 2022
14
Matematika 2 Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Riko Haerumansy ah M.Pd. http://www.undira.ac.id
Karena range dari y dari 0 sampai 1, maka volume benda putarnya dapat ditentukan sebagai
berikut.

15. 2022
15
Matematika 2 Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Riko Haerumansy ah M.Pd. http://www.undira.ac.id
d
https://yos3prens.wordpress.com/2013/08/03/aplikasi-integral-menentukan-volume-
dengan-metode-cakram/
https://yos3prens.wordpress.com/2013/08/27/aplikasi-integral-menentukan-volume-
dengan-metode-kulit-tabung/
http://rumus-matematika.com/metode-menghitung-volume-benda-putar/
DAFTAR PUSTAKA