BEBERAPA BANGUN YANG TERMASUK BANGUN RUAN SISI LENGKUNG

1. BANGUN RUANG SISI LENGKUNG
Disusun untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Geometri Ruang
Dosen Pengampu: Drs. Suhito, M.Pd.
Disusun oleh:
1. Muhamad Odi Nurdianto 4101412135
2. Yossy Syaekhul Mukhlisin 4101412166
3. Maitsaa Kaamiliaa 4101414011
4. Yupita Sara Harnantya 4101414060
5. Putri Ambar Nastiti 4101414073
6. Yuli Istikomah 4101415001
7. Puji Lestari 4101415105
8. Ratna Riandhina 4101415133
9. Sheila Rosita Elmagustilla 4101415136

2. No Item Keterangan
1 Nama Bangun Silinder Tegak (Tabung)
Gambar
Definisi Bangun ruang yang terbentuk jika melukis sebuah bidang putar sejajar dengan
sumbunya dan ditutup dengan dua buah bidang yang sejajar satu dengan yang
lain. (A cylinder is one of the most basic curvilinear geometric shapes, the
surface formed by the points at a fixed distance from a given line segment, the
axis of the cylinder. The solid enclosed by this surface and by two planes
perpendicular to the axis is also called a cylinder. The surface area and the
volume of a cylinder have been known since deep antiquity).
Luas Permukaan Lsilinder = 2 .L alas + L selimut
Lsilinder = 2π R + 2π R t
= 2π R
Bukti Untuk mencari luas permukaan tabung dapat menggunakan jaring-jaring
tabung. Jaring-jaring tersebut terdiri dari :
 Selimut tabung yang berupa persegi panjang dengan panjang = keliling
alas tabung = 2πr dan lebar = tinggi tabung = t, Luas = 2πrt.
 Dua buah lingkaran (alas dan tutup) berjari-jari r. Luas =2πr²
Dengan demikian, luas selimut tabung dapat ditentukan dengan cara berikut :
Luas selimut tabung = keliling alas (p) x tinggi tabung (l) = 2πr x t
= 2πrt
Luas alas dan tutup tabung = πr² + πr² = 2πr²

3. Luas permukaan =Luas alas + tutup + luas selimut tabung
Luas permukaan tabung = 2πr²+2πrt = 2πr(r+t)
Volume = Lalas . tinggi
=
Bukti Misal kita punya suatu fungsi ( ) = untuk 0 < < , maka akan
membentuk kurva seperti dibawah ini.
Jika kurva diatas diputar terhadap sumbu-x, maka akan membentuk tabung
[lihat gambar dibawah ini].
Untuk mencari volume benda putar ini yaitu tabung, langsung dimanfaatkan
integral volume benda putar terhadap sumbu-x dengan batas bawah = 0 dan
batas atas = , yaitu
Volume =
=
=
0
= − 0
=
2 Nama Bangun Silinder Condong

4. Gambar
Definisi Definition: An oblique cylinder is one that 'leans over' - where the sides are not
perpendicular to the bases. Opposite of a 'right cylinder'.
Sebuah silinder miring adalah salah satu yang 'mencondongkan' - di mana sisi
tidak tegak lurus ke dasar. Kebalikan dari 'silinder yang tepat'.
Luas Permukaan Lselimut = 2π R h
Lsilinder = 2 .L alas + L selimut
Lsilinder = 2π R + 2π R t
= 2π R
Bukti Untuk mencari luas permukaan silinder condong sama dengan luas permukaan
silinder tegak (tabung) yaitu dengan menggunakan jaring-jaring tabung. Jaring-
jaring tersebut terdiri dari :
 Selimut tabung yang berupa persegi panjang dengan panjang = keliling
alas tabung = 2πr dan lebar = tinggi tabung = t, Luas = 2πrt.
 Dua buah lingkaran (alas dan tutup) berjari-jari r. Luas =2πr²
Dengan demikian, luas selimut tabung dapat ditentukan dengan cara berikut :
Luas selimut tabung = keliling alas (p) x tinggi tabung (l)
= 2πr x t
= 2πrt
Luas alas dan tutup tabung = πr² + πr² = 2πr²
Luas permukaan tabung =Luas alas + tutup + luas selimut tabung
Luas permukaan tabung = 2πr²+2πrt = 2πr(r+t)
Volume Lalas . tinggi

5. =
Bukti Rumus volume silinder condong sama dengan rumus volume silinder tegak
(tabung) yaitu sama dengan luas alas dikalikan tinggi. Karena tabung memiliki
alas berupa lingkaran maka volume tabung sama dengan luas alas lingkaran
dikalikan tinggi. Sehingga rumus volume tabung adalah sebagai berikut :
Volume Tabung = πr²t
3 Nama Bangun Silinder Lingkaran
Definisi Silinder adalah sebuah bidang putar sejajar dengan sumbunya yang di tutup
dengan dua buah bidang yang sejajar satu dengan yang lain. Jika dua buah
bidang yang sejajar itu tegak lurus pada sumbu dan semua garis pelukisnya
maka disebut silinder tegak / silinder beraturan.
Luas Permukaan L= 2π R ( + )
Bukti Luas selimut sebuah silinder condong sama dengan hasil kali dari rusuk alas
dan apotema.
Lselimut = 2π R t
Lsilinder = 2 .L alas + L selimut
Lsilinder = 2π R + 2π R t
= 2π R ( + )
Volume = ᴁ
Bukti Isi silinder lingkaran sama dengan silinder tegak. Isi silinder sama dengan
hasil kali bidang alas dan tinggi.
= Lalas . tinggi
= ᴁ
4 Nama Bangun Kerucut
Gambar
Definisi Kerucut adalah sebuah limas istimewa yang beralaskan lingkaran.
Luas Permukaan L=π R ( s + R )
Volume =
Bukti Rumus volume ini kita buktikan melalui integral volume benda putar, dengan
memandang garis linier dengan gradien 0, kemudian dengan memutar
persamaan garis tersebut terhadap sumbu-x maka akan terbentuk kerucut
dengan jari-jari r dan tinggi t. Bagaimana persamaan garis yang digunakan?
Perhatikan gambar dibawah ini,

6. garis tersebut melalui titik ( , ) dengan gradient , maka dari persamaan garis
umum ( – 1) = ( – 1) diperoleh ( – ) = ( – ) atau = .
Karena dibuthkan batas atas dan batas bawah, maka dari gambar terlihat jelas
bahwa batas bawahnya adalah 0 dan batas atasnya adalah .Sehingga diperoleh:
Volume =
=
=
=
0
= −
=
5 Nama Bangun Kerucut Sama Sisi
Definisi Kerucut adalah sebuah limas istimewa yang beralaskan lingkaran
dengan tinggi dua kkali panjang jari-jari lingkaran.
Volume =
Bukti Rumus volume ini kita buktikan melalui integral volume benda putar, dengan
memandang garis linier dengan gradien 0, kemudian dengan memutar
persamaan garis tersebut terhadap sumbu-x maka akan terbentuk kerucut
dengan jari-jari r dan tinggi 2 ( = 2 ). Bagaimana persamaan garis yang
digunakan? Perhatikan gambar dibawah ini,

7. garis tersebut melalui titik (2 , ) dengan gradient , maka dari persamaan
garis umum ( – 1) = ( – 1) diperoleh ( – ) = ( – 2 ) atau =
. Karena dibuthkan batas atas dan batas bawah, maka dari gambar terlihat
jelas bahwa batas bawahnya adalah 0 dan batas atasnya adalah .Sehingga
diperoleh:
Volume =
=
=
=
2
0
=
( )
−
= 2
=
6 Nama Bangun Kerucut Terpancung
Gambar

8. Definisi Kerucut terpancung (ember) secara matematis di dapat dari kerucut lingkaran
tegak yang dipancung (dipotong) bagian atasnya oleh sebuah bidang yang
sejajar dengan bidang alas kerucut.
Luas Permukaan = +
Bukti Luas kerucut terpancung = Luas selimut Kerucut Besar – Luas selimut Kerucut
Kecil
= −
= −
= −
= −
=
=
= +
Volume = ( + + )
Bukti Dapat dilihat bahwa Δ TMC sebangun dengan Δ TNB. Akibatnya
=
+
=
= +
= +
− =
( − ) =
=
−
=
= = = = = =
Dari uraian diatas didapatkan:
=
=
ℎ= ×
ℎ= t ×
ℎ= t ×

9. ℎ= ×
ℎ= t ×
ℎ= t ( + + )
= =
( + + )
7 Nama Bangun Bola
Gambar
Definisi Bola adalah tempat kedudukan titik titik dalam ruang yang sama jauhnya dari
suatu titik M . Dimana M adalah pusat bola . Bola adalah bidang yang jika garis
melukis sebuah bidang putar adalah setengah keliling lingkaran , yang ujung –
ujungnya terletak pada sumbunya.
A sphere (from Greek σφαῖρα—sphaira, "globe, ball") is a perfectly round
geometrical object in three-dimensional space, such as the shape of a round
ball. Like a circle in two dimensions, a perfect sphere is completely symmetrical
around its center, with all points on the surface lying the same distance r from
the center point
Luas Permukaan L=4π
Volume =
Bukti Diketahui persamaan lingkaran dengan jari-jari dengan titik pusat berada di
titik asal pada kordinat kartesius adalah
+ =
solusi untuk :
= ± −
Sekarang perhatikan setengah lingkaran bagian atas
= −

10. fungsi √ kontinyu pada interval , . Jika setengah lingkaran
tersebut diputar, kita akan mendapatkan bola. Gunakan metode cakram untuk
memperoleh volumenya.
V=
V= √
v=
v=
2
8 Nama Bangun Tembereng Bola
Gambar
Definisi A spherical segment is the solid defined by cutting a sphere with a pair of
parallel planes. It can be thought of as a spherical cap with the top truncated,

11. and so it corresponds to a spherical frustum. The surface of the spherical
segment (excluding the bases) is called a zone.
Bagian yang terjadi jika sebuah bola dipotong oleh sebuah bidang sedemikian
sehingga terbagi dalam dua bagian yang merupakan tembereng bola.
Luas Permukaan L 2πRt
Bukti Luas tembereng bola sama dengan hasil kali keliling lingkaran besar dan anak
panah tembereng (AP), sehingga Luasnya adalah :
L 2πRt
Volume
V =
atau
Bukti V
a
b
d
R
V
9 Nama Bangun Keratan Bola

12. Gambar
Definisi Keratan bola adalah bagian dari bola yang dibatasi oleh dua bidang sejajar.
Bidang-bidang sejajar tadi disebut bidang alas dan bidang atas, sedang jarak
antara kedua bidang itu disebut tinggi dari keratan bola.
Luas Permukaan Luas keratan bola = Luas tembereng bola 1 - luas tembereng bola 2
2 . . 2 . .
10 Nama Bangun Juring Bola
Gambar
Definisi Jika juring lingkaran yang terdapat di dalam bola diputarkan mengelilingi satu
dari garis – garis pembatasan yang lurus sehingga didapatkan sebuah benda
putar yang disebut juring bola.
Jumlah bola adalah jumlah dari sebuah kerucut dan tembereng bola
Luas Permukaan L = 2Rt + Rr
Volume . 2
 2
Bukti Isi juring bola sama dengan sepertiga dari hasil kali dari jari-jari bola dan
bidang Juring yang berbentuk bola sehingga didapat:
. 2
 2
Dimana h adalah jarak vertical antara jari-jari dan bagian atas dan bawah yang
memotong bola dan R adalah jari-jari bola.
11 Nama Bangun Kulit Bola
Definisi Sebuah kulit bola adalah selisih dari sebuah kerataan bola dan sebuah kerucut
terpancung
Luas Permukaan
Volume
12 Nama Bangun Torus
M
A
M
A B

13. Gambar
Definisi In geometry, a torus (plural tori) is a surface of revolution generated by
revolving a circle in three-dimensional space about an axis coplanar with the
circle
Torus (Tori dalam bentuk jamak) dalam ilmu geometri adalah suatu
permukaan yang tercipta akibat gerakan rotasi atau revolusi dari suatu
lingkaran yang berputar dalam ruang tiga dimensi (dengan sumbu putar yang
berada secara koplanar/se-bidang dengan lingkaran itu sendiri).
https://en.wikipedia.org
https://id.wikipedia.org
Luas Permukaan
. 2 2 2 2
Bukti
Menggunakan hibrida sistem bola dan koordinat silinder.

14. Misalkan jari-jari mahkota adalah r, R adalah jari-jari tabung, r variabel radius
silinder sistem koordinat, dan lintang sistem bola.
Let radius at crown be r, R tube radius, r variable radius of cyl coordinate
system, and the latitude of spherical system.
= . 2 = 2 − = 2 (2 )
Volume = 2
Bukti Menggunakan koordinat tabung
Dalam koordinat silinder, titik terletak pada triple (r, θ, z) dimana z adalah
umumnya persegi panjang koordinat z dan (r, θ) adalah koordinat polar dalam
bidang xy, θ diukur berlawanan arah jarum jam dari sumbu x positif. Untuk
sewenang-wenang θ digambar pada sumbu r dalam bidang xy pada berlawanan
arah jarum jam sudut θ dari sumbu x positif. Penampang dari torus di bidang rz
adalah sebagai berikut.
Penampang ini adalah sama untuk semua nilai θ. Properti ini mengisyaratkan
bahwa solusi dengan koordinat silinder cenderung efisien. Kebetulan, itu juga
berarti gambar di atas terlihat identik dengan penampang di bidang xz.ketika
menggambar penampang, hanya mempertimbangkan nilai-nilai positif dari
r.membiarkan θ untuk berlari dari 0 ke 2π menghasilkan seluruh torus, sehingga
tidak ada perlu mempertimbangkan nilai-nilai negatif r.
Lingkaran yang ditunjukkan di atas adalah − + = .Bagian atas
setengah lingkaran dapat dinyatakan dengan memungkinkan dari − ke
+ dan memungkinkan z dari 0 ke − − . Dengan demikian,
R+aR-a R
r
z

15. penggunaan integral lipat tiga dalam koordinat tabung untuk volume torus
adalah
2
disebutkan bahwa penampang adalah independen dari θ. Sebagai hasil dari ini
dalam dua integral yang konstan terhadap θ, dan sehingga mereka dapat
mengambil di luar dari integral luar sebagai faktor umum, memberikan
2
2 2
Jadi, diperoleh
2
13 Nama Bangun Ellipsoida
Gambar
Definisi Ellipsoida adalah dimensi analog dari sebuah elips. Persamaan badan standart
elipsoida sumbu-blok dalam xyz-sistem koordinat kartesius adalah
1
Dimana a dan b adalah jari jari ekuator (sepanjang sumbu x dan y ) dan c adalah
jari jari kutub (sepanjang sumbu ). Yang semuanya merupakan bilangan real
positif yang meentukan bentuk ellipsoida.
Luas Permukaan 2 √ , √
,
Dimana :
cos
, ,

16. Volume
=
4
3
Bukti PEMBUKTIAN SECARA TIDAK LANGSUNG.
Tanpa mengurangi keumuman.
Misalkan elipsoida berpusat di titik 0(0,0,0). Maka persamaan elipsoida adalah
Karena elipsoida berpusat di titik 0(0,0,0) maka elipsoida terbagi menjadi 8
bagian yang sama di setiap oktan.
Sehingga dapat ditulis :
Dimana
Sekarang akan ditentukan volume elipsoida pada oktan 1.
Batas – batas integral z pada oktan 1
Batas bawah daerah integral z pada oktan 1 adalah bidang XOY(z = 0) nilai.
Untuk batas atas daerah integral z diperoleh sebagai berikut:
Diambil nilai z positif karena di oktan 1.
Batas – batas integral y pada oktan 1
Pada bidang X0Y(z=0), maka persamaan (1) dapat ditulis
Dan batas bawah z adalah sumbu-x(y=0,z=0)
Batas – batas integral x pada oktan 1
Pada sumbu-x (y=0,z=0), maka persamaan (1) dapat ditulis
Dan batas bawah x adalah sumbu-y(x=0,z=0).
Selanjutnya akan ditentukan volume elipsoida pada oktan satu (V1).

17. Dengan metode integral subsitusi trigonometri :

18. PEMBUKTIAN SECARA LANGSUNG.
Tanpa mengurangi keumuman.
Misalkan elipsoida berpusat di titik 0(0,0,0). Maka persamaan elipsoida adalah
Dengan a, b, dan c adalah masing – masing jarak antara titik pusat dan puncak
pada sumbu-x, sumbu-y, sumbu-z.
Batas – batas integral z pada oktan 1
Untuk batas atas daerah integral z diperoleh sebagai berikut.
Batas – batas integral y pada oktan 1
Batas – batas integral x pada oktan 1

19. Dengan metode integral subsitusi trigonometri:

20. 14 Nama Bangun Paraboloida

21. Gambar
Definisi Diberikan suatu titik tertentu f dan garis tertentu D dalam bidang, suatu
parabola adalah himpunan semua titik (x, y) sedemikian sehingga jarak antara
f dan (x, y) sama dengan jarak antara D dan (x, y). Titik f disebut sebagai fokus
parabola dan garis D disebut sebagai direktriks.
Luas Permukaan
Untuk grafik diatas, luasnya :
Untuk grafik diatas, luasnya :

22. Volume
Untuk grafik diatas, volumenya :
Untuk grafik diatas, volumenya : 2 2
Bukti Persamaan umum dari suatu parabola dapat diperoleh dengan
mengkombinasikan definisi di atas dan rumus jarak. Dengan tidak mengurangi
keumuman, kita dapat menganggap parabola yang ditunjukkan pada gambar di
atas memiliki titik puncak di (0, 0) dan memiliki titik fokus di (0, p). Seperti
yang ditunjukkan oleh gambar di bawah, parabola yang dimaksud memiliki
direktriks dengan persamaan y = –p , sehingga semua titik pada D dapat
dituliskan sebagai (x, –p).
Dengan menggunakan rumus jarak dan menerapkan definisi bahwa d1
= d2, kita mendapatkan,
0 =
(definisi)
↔ 0 = (kedua
ruas dikuadratkan)
↔ 2 = 0 2 (sederhanakan)
↔ 2 = 2 (kurangi
dengan p2
dan y2
)
↔ = 4 (pisahkan x2
)
Persamaan terakhir di atas disebut persamaan bentuk fokus-direktriks dari
suatu parabola vertikal dengan titik puncak di (0, 0). Jika parabola di atas
diputar sehingga terbuka ke kanan, maka kita akan mendapatkan suatu parabola
horizontal dengan titik puncak di (0, 0), dan persamaannya adalah y² = 4px.
Persamaan Parabola dalam Bentuk Fokus-Direktriks
Suatu parabola vertikal memiliki persamaan dalam bentuk fokus-direktriks: x²
= 4py, yang memiliki fokus di (0, p) dan dengan direktriks: y = –p. Jika p > 0,

23. parabola tersebut akan terbuka ke atas. Jika p < 0, parabola tersebut akan
terbuka ke bawah.
Suatu parabola horizontal memiliki persamaan dalam bentuk fokus-direktriks:
y² = 4px, yang memiliki fokus di (p, 0) dan dengan direktriks: x = –p. Jika p >
0, parabola tersebut akan terbuka ke kanan. Jika p < 0, parabola tersebut akan
terbuka ke kiri.
15 Nama Bangun Hiperboloida
Gambar
Definisi Hyperboloid adalah permukaan kuadrat yang mungkin satu-atau dua-
lembaran. Hyperboloid satu lembaran adalah permukaan
revolusi diperoleh dengan memutar hiperbola tentang garis-berat ke garis
antara fokus, sedangkan dua lembaran hyperboloid adalah
permukaan revolusi yang diperoleh dengan memutar hiperbola tentang garis
yang menghubungkan fokus (Hilbert dan Cohn-Vossen1991, hal 11).
Hyperboloid adalah quadric - sebuah jenis permukaan dalam tiga dimensi -
dijelaskan oleh persamaan
x
a
+
y
b
−
z
c
= 1
Atau
−
x
a
−
y
b
+
z
c
= 1
Luas Permukaan
= +
Volume = +