1. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.8311
3) Các công thức về logarith (tiếp theo)
Công thức 5: log .log=m
a ab m b , (5)
Chứng minh:
Theo công thức (2) ta có ( )log log .log
= ⇒ = =a a a
mb b m bm
b a b a a
Khi đó .log
log log .log= = ⇒am bm
a a ab a m b dpcm
Ví dụ 1:
( )
3 2
2 2 2 5 5 5
1
4 4
2 2 2
log 27 log 3 3log 3; log 36 log 6 2log 6
1 5
log 32 log 32 log 32
4 4
= = = =
= = =
Ví dụ 2:
42
23
1 1 1 1 1 1 1 1 1
3 3 3 3 3 3 3 3 3
1 6 .45 1
2log 6 log 400 3log 45 log 6 log 400 log 45 log log 81 log 4.
2 20 3
−
 
− + = − + = = = = − 
 
Ví dụ 3: 5 5 5 5 5 5 5 5
1 50 3
log 3 log 12 log 50 log 3 log 12 log 50 log log 25 2.
2 2 3
− + = − + = = =
Ví dụ 4: Cho biết
1 3
log ;log
2 4
a ab c= = Tính giá trị của loga x với
a)
3 2
2 34
a b c
x
a bc
= ...............................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
b)
3 3
3
ab a bc
x
bc
= .....................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
Công thức 6:
1
log log=n aa
b b
n
, (6)
Chứng minh:
Đặt ( )log = ⇒ = ⇔ =n
y
n ny
a
b y a b a b
Lấy logarith cơ số a cả hai vế ta được :
1
log log log log= ⇔ = ⇒ =ny
a a a aa b ny b y b
n
hay
1
log log= ⇒n aa
b b dpcm
n
Ví dụ 1 :
1
2
5 1
5
22
2
22
2
1
log 16 log 16 log 16 2.4 8.
1
2
1
log 64 log 64 log 64 5.6 30.
1
5
= = = =
= = = =
Hệ quả: Từ các công thức (5) và (6) ta có : log log=n
m
aa
m
b b
n
Ví dụ 2: ( ) ( ) ( )
( )3 1 3
3
1 11
34 4
5 2 2 25 2
5
3
9 11 114log 125 log 5 log 5 ; log 32 2 log 2 log 2 .
1 4 3 3
3
= = = = = =
Tài liệu bài giảng:
02. CÔNG THỨC LOGARITH – P2
Thầy Đặng Việt Hùng

2. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.8312
Ví dụ 3: Tính giá trị biểu thức
13 3 5
3
4
13
3
27
log 27 log
9
.
1 1
log log
81 3
 
+  
 
=
 
+  
 
A
Hướng dẫn giải:
( )
2
3 3 3 3
log 27 log 3 3 2= =
1
2
133
5
1 325
33 5
27 3 1 13 26
log log log 3 2. .
1 5 59
3
2
−
 
   = = = − = −     − 
1
2
13 3 5
4 3
3 43
3
13
3
27 26log 27 log 291 45log log 3 4.2log 3 8 .
81 8 4 51 1
log log
81 3
−
 
+   −
 
= = − = − → = = =
− + 
+  
 
A
Công thức 7: (Công thức đổi cơ số)
log
log
log
= c
a
c
b
b
a
, (7)
Chứng minh:
Theo công thức (2) ta có ( )log log log
log log log .log log
log
= ⇒ = = ⇒ = ⇒a ab b c
c c a c a
c
b
b a b a b a b dpcm
a
Nhận xét :
+ Để cho dễ nhớ thì đôi khi (7) còn được gọi là công thức “chồng” cơ số viết theo dạng dễ nhận biết như sau
log log .log=a a cb c b
+ Khi cho b = c thì (7) có dạng
log 1
log .
log log
= =b
a
b b
b
b
a a
Ví dụ 1: Tính các biểu thức sau theo ẩn số đã cho:
a) Cho 2 2log 14 log 49 ?= → = =a A
b) Cho 15 25log 3 log 15 ?= → = =a B
Hướng dẫn giải:
a) Ta có ( )2 2 2 2log 14 log 2.7 1 log 7 log 7 1.= ⇔ = = + ⇒ = −a a a
Khi đó ( )2 2log 49 2log 7 2 1 .= = = −A a
b) Ta có
3
15
3 3
5
1 1
log 5 1
1 1
log 3
log 15 1 log 5
log 3
1
−
= − =
= ⇔ = = →
+  =
 −
a
a a
a a
a
a
( ) ( )
3
25
3 3
1 1
log 15 1 1
log 15 .
1log 25 2log 5 2 1 2 12
= = = = = → =
− − −
a aB B
a a a
a
Ví dụ 2: Cho log 3.a b = Tính
a) log .= b
a
b
A
a
b) log .= ab
b
B
a
Hướng dẫn giải:
Từ giả thiết ta có
1
log 3 log .
3
= ⇒ =a bb a
a)
1 1 1 1
log log log
log log log log
log log
= = − = − = − =
    − −
      
   
b b b
b b a aa a a
b a
b
A b a
a b a b ab b
a a

3. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.8313
1 1 1 1 3 1 3 1
.
21 2log log 2 3 2 3 2 3 21
3
− −
= − = − = → =
− − − − −−b a
A
a b
Cách khác: Ta có được 2
2
2
2
log
log 1 3 1
log log log
log 2 3 2log
a
a
bb b
aaa a a
b
bb b b aA
ba ba a
a
 
  
 
  − −
= = = = = =   − − 
b)
1 1 1 1
log . log log
log log log log log log
= = − = − = − =
+ +ab ab ab
b b ba a a
b
B b a
a ab ab a b a b
1 1 1 1 2 3 1 2 3 1
.
1 1 1 11 log 1 3 3 1 3 1log
2 2 22 3
− −
= − = − = → =
+ + + ++ +a
b
B
ba
Cách khác: Ta có
( )
2
2
2 2 log
2log 1 2 3 1
log log log .
log 1 log 1 3
a
a
abab ab
a a
b
bb b b aB
a ab ba a
−  −
= = = = = = 
+ + 
Ví dụ 3: Tính giá trị của các biểu thức sau :
a)
9
125 7
1 1
log 4
log 8 log 24 2
81 25 .49
− 
+ 
 
b)
2 5
4
1
log 3 3log 5
1 log 5 2
16 4
+
+
+
c)
7 7
3
1
log 9 log 6 log 42
72 49 5
− − 
+ 
 
d) 6 9log 5 log 361 lg 2
36 10 3−
+ −
Hướng dẫn giải:
a) ( )
3
9 39125 7 5 7
1 1 1 1log 4 2log 24 log 4log 8 log 2 2log 24 2 4 281 25 .49 3 5 7
 − − 
 
   
+ = +   
  
5
3 7
1
2 .3log 2
1 log 4 log 43
3
3 5 7 4 4 19
4
−   
= + = + =   
  
b) ( )2 5
4 2 54
1
log 3 3log 5 2 1 log 5 log 3 6log 51 log 5 62
16 4 4 2 16.25 3.2 592
+ + ++
+ = + = + =
c) ( )7 7
5 7 7 5
1
log 9 log 6 log 4 log 9 2log 6 2log 42
9 1
72 49 5 72 7 5 72 18
36 16
− − − −   
+ = + = + = +   
  
4,5=22,5
d) 6 9 6log 5 log 36 log 251 lg2 log5
36 10 3 6 10 25 5 30−
+ − = + = + =
Ví dụ 4: Tính giá trị của các biểu thức sau :
a) 9 9 9log 15 log 18 log 10A = + − b) 3
1 1 1
3 3 3
1
2log 6 log 400 3log 45
2
B = − +
c) 36 1
6
1
log 2 log 3
2
C = − d) ( )1 3 2
4
log log 4.log 3D =
Hướng dẫn giải:
a) 3 3
9 9 9 9 9 3
15.18 1 3
log 15 log 18 log 10 log log 3 log 3
10 2 2
A = + − = = = =
b) 2 43
1 1 1 1 1 3
3 3 3 3 3
1 36.45
2log 6 log 400 3log 45 log log 9 log 3 4
2 20
B
 
= − + = = = − = − 
 
c) 36 1 6 6 6
6
1 1 1 1 1
log 2 log 3 log 2 log 3 log 2.3
2 2 2 2 2
C = − = + = =
d) ( ) ( ) ( )1 3 2 4 2 3 4 2 2
4
1 1
log log 4.log 3 log log 3.log 4 log log 4 log 2
2 2
D = = − = − = − = −
Ví dụ 5: Hãy tính :
a. ( )
2 3 4 2011
1 1 1 1
.......... 2011!
log log log log
A x
x x x x
= + + + + =
b. Chứng minh :
+ ( )ax
log log
log
1 log
a a
a
b x
bx
x
+
=
+

4. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.8314
+
( )
2
11 1 1
.........
log log log 2logka aa a
k k
x x x x
+
+ + + =
Hướng dẫn giải:
a)
2 3 4 2011
1 1 1 1
.......... log 2 log 3 ... log 2011 log 1.2.3...2011 log 2011!
log log log log
x x x x xA
x x x x
= + + + + = + + + = =
Nếu x = 2011! Thì A= ( )2011!log 2011! 1=
b) Chứng minh : ( )ax
log log
log
1 log
a a
a
b x
bx
x
+
=
+
Ta có ax
log log log
log
log ax 1 log
a a a
a a
bx b x
bx
x
+
= = ⇒
+
đpcm.
Chứng minh :
( )
2
11 1 1
.........
log log log 2logka aa a
k k
x x x x
+
+ + + =
( )
( )2 1
log log ...log 1 2 3 ... log
2log
k
x x x x
a
k k
VT a a a k a VP
x
+
= + + = + + + + = =
Ví dụ 6: Chứng minh rằng :
a) Nếu : 2 2 2
; 0, 0, 0, 1a b c a b c c b+ = > > > ± ≠ , thì log log 2log .logc b c b c b c ba a a a+ − + −+ =
b) Nếu 0<N 1≠ thì điều kiện ắt có và đủ để ba số dương a,b,c tạo thành một cấp số nhân ( theo thứ tự đó ) là :
( )
log log log
, , 1
log log log
a a b
c b c
N N N
a b c
N N N
−
= ≠
−
c) Nếu log ,log ,logx y za b c tạo thành cấp số cộng (theo thứ tự đó) thì
2log .log
log
log log
a c
b
a c
x z
y
x z
=
+
d) Giả sử a, b là hai số dương thỏa mãn : 2 2
7a b ab+ = . Chứng minh :
ln ln
ln
3 2
a b a b+ +
=
Hướng dẫn giải:
a) Từ giả thiết ( )( ) ( ) ( )2 2 2
2 log loga aa c b c b c b c b c b= − = − + ⇒ = − + +
1 1
2 2log .log log log
log log
c b c b c b c b
c b c b
a a a a
a a
− + + −
− +
⇔ = + ⇔ = +
b) Nếu 3 số a,b,c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân thì ta có : 2
b ac=
Lấy logarith cơ số N hai vế ta được
1 1 1 1
2log log log
log log log log
N N N
b a c b
b a c
N N N N
= + ⇔ − = −
log log log log log log log
log .log log .log log log log
a b b c a a b
a b c b c b c
N N N N N N N
N N N N N N N
− − −
⇔ = ⇔ =
−
. ( đpcm )
c) Nếu log ,log ,logx y za b c tạo thành cấp số cộng thì log log 2logx z ya c b+ =
2log .log1 1 2
log
log log log log log
a c
b
a c b a c
x z
y
x z y x z
⇔ + = ⇔ =
+
d) Nếu : ( )
2
22 2 ln ln
7 9 ln
3 3 2
a b a b a b
a b ab a b ab ab
+ + + 
+ = ⇒ + = ⇔ = ⇒ = 
 
.
Ví dụ 7: Tính
a. 6log 16A = . Biết : 12log 27 x=
b. 125log 30B = . Biết : lg3 ;lg2a b= =
c. 3log 135C = . Biết: 2 2log 5 ;log 3a b= =
d. 6log 35D = . Biết : 27 8 2log 5 ;log 7 ;log 3a b c= = =
e. Tính : 49log 32 . Biết : 2log 14 a=
Hướng dẫn giải:
a) 6log 16A = . Từ : 3
12 3 3
3 3
log 27 3 3 3 3
log 27 log 4 1 log 2
log 12 1 log 4 2
x x
x x
x x x
− −
= ⇔ = = ⇒ = − = ⇔ =
+
(*)

5. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.8315
Do đó :
4
3 3
6
3 3
log 2 4log 2
log 16
log 6 1 log 2
A = = =
+
. Thay từ (*) vào ta có : A=
( )
( )
2 3 .2 12 4
3 3
x x x
x x x
− −
=
+ +
c) Từ : 3 2
3 3 3
2
log 5 3
log 135 log 5.3 log 5 3 3 3
log 3
a a b
C
b b
+
= = = + = + = + =
d) Ta có : 27 3 3 8 2 2
1 1
log 5 log 5 log 5 3 ; log 7 log 7 log 7 3
3 3
a a b b= = ⇒ = = = → = (*)
Suy ra :
( )2 3 22 2 2
6
2 2 2
3 1log 3.log 5 log 7log 5.7 log 5 log 7 .3 3
log 35
log 2.3 1 log 3 1 log 3 1 1
b ab a b
D
b b
+++ +
= = = = = =
+ + + +
e) Ta có : 2 2 2log 14 1 log 7 log 7 1a a a= ⇔ + = ⇒ = −
Vậy :
( )
5
2
49 2
2 2
log 2 5 5
log 32
log 7 2log 7 2 1a
= = =
−
Ví dụ 8: Rút gọn các biểu thức
a) ( )( )log log 2 log log log 1a b a ab bA b a b b a= + + − −
b) ( ) ( )2log log 12 2 4
2 2 2
1
log 2 log log
2
x x
B x x x x+
= + +
c) ( )log log 2 log log loga p a ap aC p a p p p= + + −
Hướng dẫn giải:
a) ( )( ) ( )
2
log 1
log log 2 log log log 1 1 log 1
log
a
a b a ab b ab
a
b
A b a b b a a
b
 +
= + + − − = − − = 
 
2 2 2
log 1 log log 1 log 1 log1
1 1 1 1 1
log log log 1 log log 1 log
a a a a a
a a a a a a
b a b b b
b ab b b b b
           + + +
− − = − − = −           
+ +           
log 1 1
1 log
log log
a
b
a a
b
a
b b
+
= − = =
b) ( ) ( )
( )( ) ( )2
2log log 12 2 4
2 2 2 2 2 2 2
1 1
log 2 log log 1 2log log log 1 4log
2 2
x x
B x x x x x x x x+
= + + = + + + + =
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2 2 21 3log log 8 log 9 log 3log 1x x x x x= + + + = + +
c) ( ) ( )
2
2
log 1 log
log log 2 log log log log log
log 1 log
a a
a p a ap a a a
a a
p p
C p a p p p p p
p p
+  
= + + − = − = 
+ 
( )
( )
2 3log 1 log
log log
log 1 log
a a
a a
a a
p p
p p
p p
+  
= = 
+ 
Ví dụ 9: Chứng minh rằng
a) ( ) ( )
1
log 3 log2 log log
2
a b a b− − = + với : 2 2
3 0; 9 10a b a b ab> > + =
b) Cho a, b, c đôi một khác nhau và khác 1, ta có :
+ 2 2
log loga a
b c
c b
=
+ log .log .log 1a b cb c a =
+ Trong ba số : 2 2 2
log ;log ;loga b c
b c a
c a b
b c a
luôn có ít nhất một số lớn hơn 1
Hướng dẫn giải:
a) Từ giả thiết ( )
22 2 2 2
3 0; 9 10 6 9 4 3 4a b a b ab a ab b ab a b ab> > + = ⇔ − + = ⇔ − =
Ta lấy log 2 vế : ( ) ( ) ( )
1
2log 3 2log2 log log log 3 log2 log log
2
a b a b a b a b− = + + ⇔ − − = +
b) Chứng minh : 2 2
log loga a
b c
c b
= .
* Thật vậy :
1 2
2 2
log log log log log loga a a a a a
b c c b c c
c b b c b b
−
   
= = − ⇒ = − =   
   

6. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.8316
* log .log .log 1 log .log log 1a b c a b ab c a b a a= ⇔ = =
* Từ 2 kết quả trên ta có
2
2 2 2
log log log log .log log 1a b c a b c
b c a b c a
c a b b c a
b c a c a b
 
= = 
 
Chứng tỏ trong 3 số luôn có ít nhất một số lớn hơn 1
Ví dụ 10: Tính giá trị các biểu thức sau:
a) 36
log 3.log 36 ......................................................................=
b) 43
log 8.log 81 ......................................................................=
c) 3
2 25
1
log .log 2 .................................................................
5
=
Ví dụ 11: Cho log 7.a b = Tính
a)
3
log .= a b
a
A
b
b) 3 2
log .= b
a
B ab
Ví dụ 12: Tính các biểu thức sau theo ẩn số đã cho:
a) Cho 325 2 5
49
log 7 ; log 5 log ?
8
= = → = =a b P
b) Cho log 2 log ?= → = =ab ab
b
a Q
a
Công thức 8: log log
=b bc a
a c , (8)
Chứng minh:
Theo công thức (7): ( )
loglog log .log log log log
log log .log= ⇒ = ⇔ = = ⇒
b
b b a b a b
ac a c c c a
b b ac a c a a a a c dpcm
Ví dụ 1: ( ) 2
7 7 2
1
log 27
log 2 log 49 log 22 2
49 2 2 4; 2 27 27 3 3...= = = = = =
Ví dụ 2: Tính giá trị các biểu thức sau:
a)
3
6 9
log 4log 5 log 36
36 3 3 ..........................................................................................................A = + − =
b)
23
3
log 32 log 2
log 4
3 .4
.............................................................................................................................
27
B
−
= =
c) 3 9 9log 5 log 36 4log 7
81 27 3 .........................................................................................................C = + + =