1. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn
Dạng 5. Nguyên hàm dùng biến đổi vi phân
( )
 →± ± ←

→+ − ←
∓2 2
4 4
d( Asin x Bcos x C ) ( A B )sin2xdx
d sin x cos x sin4xdx
Cách giải:
Ta có ( )
24 4 2 2 2 2 21 1 1 cos4 3 1
sin cos sin cos 2sin .cos 1 sin 2 1 . cos4 .
2 2 2 4 4
x
x x x x x x x x
−
+ = + − = − = − = +
Từ đó ( )4 4 3 1
sin os os4 sin 4 .
4 4
d x c x d c x xdx
 
+ = + = − 
 
Dạng nguyên hàm này thường được “ngụy trang” vào các hàm số có vẻ phức tạp, nên các bạn hãy cố gắng nhớ được
vi phân của nó.
Với các nguyên hàm lượng giác mà mẫu số có vẻ “dài dòng” thì một kinh nghiệm là các em hãy lấy vi phân của
mẫu số xem tử số có quan hệ gì với vi phân đó hay không ?
Chú ý: Ngoài hai công thức trên, dạng nguyên hàm này cũng có thể chứa + = −6 6 23
sin x cos x 1 sin 2x.
4
Ví dụ 1. Tính các nguyên hàm sau:
a) 1
2 2
sin 2
cos 4sin
x
I dx
x x
=
+
∫ b) 2 2 2
sin 2
2sin 4cos2 5cos
xdx
I
x x x
=
− +∫
Hướng dẫn giải:
a) Ta có ( ) ( )2 2
cos 4sin 2sin .cos 8sin .cos 6sin .cos 3sin 2d x x x x x x dx x xdx xdx+ = − + = =
( )2 21
sin 2 cos 4sin .
3
xdx d x x→ = +
Từ đó
( ) ( )2 2 2 2
2 2
1 2 2 2 2 2 2
cos 4sin cos 4sinsin 2 1 2 2
cos 4sin .
3 3 3cos 4sin cos 4sin 2 cos 4sin
d x x d x xx
I dx x x C
x x x x x x
+ +
= = = = + +
+ + +
∫ ∫ ∫
Bình luận:
Ngoài cách giải như trên, chúng ta có thể mạnh dạn vận dụng kiến thức lượng giác để biến đổi mẫu số gọn gàng hơn
như sau
+ −
+ = + = − +2 2 1 cos2x 1 cos2x 3 5
cos x 4 sin x 4. cos2x
2 2 2 2
Khi đó
   
− + − +   
   = = = = − + +
− + − + − +
∫ ∫ ∫1
3 5 3 5
d cos2x d cos2x
sin2xdx 1 2 2 3 52 2 2 2
I cos2x C.
3 3 3 2 23 5 3 5 3 5
cos2x cos2x 2 cos2x
2 2 2 2 2 2
Rõ ràng hai kết quả thu được hoàn toàn giống nhau!
b) Ta có ( ) ( )2 2 5 5 7
2sin 4cos2 5cos 1 cos2 4cos2 1 cos2 cos2
2 2 2
x x x x x x x− + = − − + + = − +
Khi đó
( )
2
5cos2 7sin 2 sin 2 2 2
2 ln 5cos2 7 .
5 7 5cos2 7 5 5cos2 7 5cos2
2 2
d xxdx xdx
I x C
x xx
−
= = − = = − +
− −− +
∫ ∫ ∫
Ví dụ 2. Tính các nguyên hàm sau:
a) 1
4 4
2sin 4
sin cos
xdx
I
x x
=
+
∫ b)
( )
2 20104 4
sin 4
sin cos
xdx
I
x x
=
+
∫
c) 3 4 4
sin 2 2cos2
sin cos
x x
I dx
x x
+
=
+∫ d) 4 6 6
sin cos
sin cos
x x
I dx
x x
=
+∫
Hướng dẫn giải:
Tài liệu bài giảng:
07. NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC – P5
Thầy Đặng Việt Hùng

2. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn
Bình luận:
Ngoài cách giải truyền thống cho loại nguyên hàm này bằng cách lấy vi phân trực tiếp cho biểu thức ở mẫu số, ở đây
thầy giới thiệu cách làm thiên về biến đối lượng giác kết hợp với vi phân.
a) Ta có 4 4 2
1
1 1 1 cos4 3 1 2sin 4 4sin 4
sin cos 1 sin 2 1 . cos4
2 2 2 4 4 3 1 3 cos4
cos4
4 4
x xdx xdx
x x x x I
x
x
−
+ = − = − = + → = = =
+
+
∫ ∫
1
(cos4 ) (3 cos4 )
2 2 3 cos4 2 3 cos4 .
3 cos4 2 3 cos4
d x d x
x C I x C
x x
+
= − = − = − + + → = − + +
+ +
∫ ∫
b) Tương tự, thay
( )4 4
2 2010 2010
cos43 1 sin 4 1
sin cos cos4
4 4 43 1 3 1
cos4 cos4
4 4 4 4
d xxdx
x x x I
x x
+ = + → = = − =
   
+ +   
   
∫ ∫
( )
2010 2009 20094 4
1 3
cos4
1 14 4
.
3 1 3 1 2009 sin coscos4 2009 cos4
4 4 4 4
d x
C C
x xx x
 
+ 
 = − = + = +
    ++ +   
   
∫
c) 3 4 4 2 2 2
2
sin 2 2cos2 sin 2 2cos2 2sin 2 4cos2 2sin 2 4cos2
1sin cos 2 sin 2 2 sin 2 2 sin 21 sin 2
2
x x x x x x x x
I dx dx dx dx dx
x x x x xx
+ + +
= = = = +
+ − − −−
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( )
( ) 12 2 22
2sin 2 2sin 2 2sin 2 (cos2 )
arctan cos2 .
2 sin 2 1 cos 2 1 cos 22 1 cos 2
x x x d x
dx dx dx x C
x x xx
= = = − = +
− + +− −
∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( )
( )( )2 2 2
2 24cos2 (sin 2 ) 2 1 1 1
2 2
2 sin 2 2 sin 2 2 2 2 2 2 22 2
t tx d x dt
dx dt dt
x x t t tt t
+ − −− −  
= = = = − = − − − − + − +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
2 2
1 2 1 sin 2 2
ln ln .
2 2 2 sin 2 2
t x
C C
t x
− − − −
= + = +
+ +
Từ đó ta được ( ) ( )3 1 2
1 sin 2 2 1 sin 2 2
arctan os2 ln arctan os2 ln .
2 sin 2 2 2 sin 2 2
x x
I c x C C c x C
x x
− − −
= + + + = − +
+ +
d) Ta có 4 2 2
26 6 2
1 1sin cos sin 2 sin 2
2sin 2 (cos2 )2 2 .
33 4 3sin 2 4 3 3cos 21 sin 2sin cos 1 sin 2
44
x x x x
x d x
I dx dx
x xxx x x

= −
→ = = =
− − + −+ = −

∫ ∫ ∫
Đặt
( )
( )
( )
( ) ( )4 2 2 2
31 1 1
cos2 arctan 3 arctan 3cos2
1 3 3 3 33 1 3 1
d tdt dt
t x I t C x C
t t t
−
= → = = − = − = − + = − +
+ + +
∫ ∫ ∫
Ví dụ 3. Tính các nguyên hàm sau:
a) 1 2 2
sin 2
3sin x cos
xdx
I
x
=
+∫ b) 2
2 2 2 2
cos sin
sin cos
x xdx
I
a x b x
=
+
∫
c) 3 4 4
sin 4
sin cos
=
+∫
xdx
I
x x
d)
( )4 2 4 4
sin 4
cos sin cos
=
+
∫
xdx
I
x x
e)
( )5 4 4
sin 4
tan sin cos
=
+
∫
xdx
I
x x
Dạng 6. Nguyên hàm lượng giác mẫu số có dạng sina.sinb; cosa.cosb; sina.cosb
Cách giải:
Nếu mẫu số có chứa sina.sinb thì ta phân tích tử số theo sin(a – b)
Nếu mẫu số có chứa cosa.cosb thì ta phân tích tử số theo sin(a – b)
Nếu mẫu số có chứa sina.cosb thì ta phân tích tử số theo cos(a – b)

3. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn
Ví dụ. Tính các nguyên hàm sau:
a) 1
π
sin .cos
4
=
 
+ 
 
∫
dx
I
x x
b) 2
π π
cos .cos
6 3
=
   
+ +   
   
∫
dx
I
x x
c) 3
π
cos .sin
6
=
 
+ 
 
∫
dx
I
x x
d) 4
π
sin .sin
6
=
 
+ 
 
∫
dx
I
x x