[Www.toan trunghoccoso.toancapba.net] các pp giai toan lop 9

WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net
----------------------------------
?
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net Trang 1

Chuyªn ®Ò 1:
BiÕn ®æi ®¼ng thøc - Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
A. biÕn ®æi ®¼ng thøc
I. C¸c h»ng ®¼ng thøc c¬ b¶n vµ më réng
(a ± b)2
= a2
± 2ab + b2
a2
- b2
= (a + b)(a - b)
(a ± b)3
= a3
± 3a2
b + 3ab2
± b3
a3
- b3
= (a - b)(a2
+ ab + b2
)
a3
+ b3
= (a + b)(a2
- ab +b2
)
(a + b + c)2
= a2
+ b2
+ c2
+ 2ab + 2ac + 2bc
(a - b - c)2
= a2
+ b2
+ c2
- 2ab - 2ac + 2bc
an
- bn
= (a - b)(an-1
+ an-2
b + ... + abn-2
+ bn-1
), mäi n lµ sè tù nhiªn
an
+ bn
= (a + b)(an-1
- an-2
b + ... - abn-2
+ bn-1
), mäi n lÎ
II. Bµi tËp
Bµi 1
So s¸nh hai sè A vµ B biÕt: A = 2004.2006 vµ B = 20052
Gi¶i
Ta cã A = (2005 - 1)(2005 + 1) = 20052
- 1 < 20052
=B. VËy A < B.
Bµi 2
So s¸nh hai sè A vµ B biÕt: A = (2 + 1)(22
+1)(24
+ 1)(28
+ 1)(216
+ 1) vµ B = 232
Gi¶i
Ta cã A = (2 - 1)(2 + 1)(22
+1)(24
+ 1)(28
+ 1)(216
+ 1) = 232
-1 < 232
= B. VËy A < B.
Bµi 3
So s¸nh hai sè A vµ B biÕt: A =(3 + 1)(32
+1)(34
+ 1)(38
+ 1)(316
+1) vµ B =332
-1
Gi¶i
Ta cã 2A = (3 - 1)(3 + 1)(32
+1)(34
+ 1)(38
+ 1)(316
+1) = 332
- 1 = B. VËy A < B.
Bµi 4
Chøng minh r»ng: (m2
+ m - 1)2
+ 4m2
+ 4m = (m2
+ m + 1)2
, víi mäi m.
Gi¶i
VT: (m2
+ m - 1)2
+ 4m2
+ 4m = m4
+ m2
+ 1 + 2m3
- 2m2
- 2m + 4m2
+ 4m = m4
+ 2m3
+ 3m2
+
4m + 1.
VP: (m2
+ m + 1)2
= m4
+ m2
+ 1 +2m3
+ 2m2
+ 2m = m4
+ 2m3
+ 3m2
+ 2m +1.
Bµi 5
WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.NetTrang 2

Chøng minh r»ng: a3
+ b3
+ c3
-3abc = (a + b + c)(a2
+ b2
+ c2
- ab -ac -bc).
Gi¶i
Ta cã a3
+ b3
= (a + b)3
- 3ab(a + b) thay vµo VT
VT = (a + b)3
- 3ab(a + b) + c3
-3abc = [(a + b)3
+ c3
] - 3ab(a + b +c) = (a + b +c)[(a + b)2
+ c2
-
c(a + b) -3ab] = (a + b +c)(a2
+ b2
+ c2
+ 2ab - ac - bc - 3ab) = (a + b + c)(a2
+ b2
+ c2
- ab - ac
- bc) = VP.
Bµi 6
Cho ab = 1. Chøng minh r»ng: a5
+ b5
= (a3
+ b3
)(a2
+ b2
) - (a + b)
Gi¶i
(a3
+ b3
)(a2
+ b2
) - (a + b) = a5
+ a3
b2
+ a2
b3
+ b5
- (a - b)= a5
+ b5
+a2
b2
(a + b) - (a - b) = a5
+ b5
Bµi 7
Cho a2
+ b2
+ c2
- ab - ac - bc = 0. Chøng minh r»ng: a = b = c
Hìng dÉn
Tõ: a2
+ b2
+ c2
- ab - ac - bc = 0 ⇔ 2a2
+ 2b2
+ 2c2
- 2ab - 2ac - 2bc = 0 ⇔ (a - b)2
+(a - c)2
+
(b - c)2
= 0 ⇔ a = b = c.(®pcm)
Bµi 8
Cho a, b, c ®«i mét kh¸c nhau, tho¶ m·n: ab + bc + ca = 1. CMR
+ + +
=
+ + +
2 2 2
2 2 2
(a b) (b c) (c a)
1
(1 a )(1 b )(1 c )
Hìng dÉn
Ta cã: 1 + a2
= ab + bc + ca +a2
= b(a + c) + a(a + c) = (a + c)(a + b).
T¬ng tù: 1 + b2
= (b + a)(b + c).
1 + c2
= (c +a)(c + b). Thay vµo trªn suy ra (®pcm).
Bµi 9
Cho a > b > 0, tho¶ m·n: 3a2
+ 3b2
=10ab. Chøng minh r»ng:
−
=
+
a b 1
a b 2
.
Gi¶i
§Æt P =
ba
ba
+
−
th× P > 0 nªn P = 2
P .
Ta cã P2
=
+ − + − −
= = =
+ + + − +
2 2 2 2
2 2 2 2
a b 2ab 3a 3b 6ab 10ab 6ab 1
a b 2ab 3a 3b 6ab 10ab 6ab 4
. VËy P = 1/2.
Bµi 10
Cho a + b + c = 1 vµ + + =
1 1 1
0
a b c
. Chøng minh r»ng: a2
+ b2
+ c2
=1.
Gi¶i

Tõ: a + b + c = 1 ⇔ a2
+ b2
+ c2
+ 2(ab + ac + bc) = 1 ⇔ a2
+ b2
+ c2
= 1- 2(ab + ac + bc) .
MÆt kh¸c:
+ +
+ + = ⇔ = ⇔ + + =
1 1 1 ab ac bc
0 0 ab ac bc 0
a b c abc
. VËy: a2
+ b2
+ c2
=1.
Bµi 11
Cho + + =
1 1 1
2
a b c
(1)
vµ a + b + c = abc. Chøng minh r»ng: + + =2 2 2
1 1 1
2
a b c
Gi¶i
(1)
⇔
+ +
+ + + + + = ⇔ + + + =2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 a b c
2( ) 4 2( ) 4
a b c ab ac bc a b c abc
.
Thay a + b + c = abc vµo ta cã + + + = ⇔ + + =2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
2 4 2
a b c a b c
.
Bµi 12
Cho + + =
x y z
1
a b c
(1)
, vµ + + =
a b c
1
x y z
(2)
. CMR: = + + =
2 2 2
2 2 2
x y z
A 1
a b c
Gi¶i
+ +
+ + + + + = ⇔ = − + + = −
2 2 2
2 2 2
x y z xy xz yz xy xz yz cxy bxz ayz
2( ) 1 A 1 2( ) 1 2( )
a b c ab ac bc ab ac bc abc
(2)
:
+ +
=
cxy bxz ayz
0
xyz
. VËy A = 1.
Bµi 13
Cho + + =
1 1 1
0
a b c
.(1)
Chøng minh r»ng: + + =3 3 3
1 1 1 3
a b c abc
.
Gi¶i .
(1)
⇔ = − + ⇔ = − + + + ⇔ = − + + −3 3 3 3 3 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
( ) ( 3 ( ) [ 3 ( )]
a b c a b c bc b c a b c bc a
VËy + + =3 3 3
1 1 1 3
a b c abc
.
Bµi 14
Cho a + b + c = 0 vµ a2
+ b2
+ c2
=14. Chøng minh r»ng: a4
+ b4
+ c4
= 98.
Gi¶i
Tõ: a + b + c = 0 ⇔ a = -(b + c) ⇔ a2
= (b + c)2
⇔ a2
= b2
+ c2
+2bc
⇔ a2
- b2
- c2
= 2bc ⇔ (a2
- b2
- c2
)2
= 4b2
c2
⇔ a4
+ b4
+ c4
- 2a2
b2
- 2a2
c2
+ 2b2
c2
= 4b2
c2
⇔ a4
+ b4
+ c4
= 2a2
b2
+ 2b2
c2
+ 2a2
c2
⇔ 2(a4
+ b4
+ c4
) = a4
+ b4
+ c4
+ 2a2
b2
- 2b2
c2
+ 2a2
c2
⇔2(a4
+ b4
+ c4
) = (a2
+ b2
+ c2
)2
= 142
=196.
VËy a4
+ b4
+ c4
= 98.

Bµi 15
Cho xyz = 1, Chøng minh r»ng: + + =
+ + + + + +
1 1 1
1.
1 x xy 1 y yz 1 z zx
Gi¶i
Ta cã: + + = + + =
+ + + + + + + + + + + +
1 1 1 z x 1
1 x xy 1 y yz 1 z zx z xz xyz x yx xyz 1 z zx
=
+ +
+ + = + = +
+ + + + + + + + + + + + + +
z x 1 z 1 x z 1 xz
z xz 1 x yx 1 1 z zx 1 x xz x xy 1 1 x xz xz xyz z
+ + +
= + = =
+ + + + + +
z 1 xz z 1 xz
1.
1 x xz xz 1 z 1 x xz
B. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
Bµi 1
Ph©n tÝch tam thøc bËc hai x2
- 6x + 8 thµnh nh©n tö.
Gi¶i
Çch 1: T¸ch h¹ng tö kh«ng ®æi thµnh hai h¹ng tö råi ®a ®a thøc vÒ d¹ng hiÖu cña hai b×nh
ph¬ng.
x2
- 6x + 8 =(x - 3)2
- 1 = (x - 3 - 1)(x - 3 + 1) = (x - 4)(x - 2).
Çch 2: T¸ch h¹ng tö bËc nhÊt thµnh hai h¹ng tö råi dïng ph¬ng ph¸p nhãm çc h¹ng tö vµ
®Æt nh©n tö chung.
x2
- 6x + 8 = x2
- 2x - 4x + 8 = x(x - 2) - 4(x - 2) = (x - 2)(x - 4).
Bµi 2
Ph©n tÝch ®a thøc x3
+ 3x2
- 4 thµnh nh©n tö.
Gi¶i
NhÈm thÊy x = 1 lµ nghiÖm ⇒ ®a thøc chøa nh©n tö x - 1 ⇒ ta t¸ch çc h¹ng tö cña ®a thøc
lµm xuÊt hiÖn nh©n tö x - 1.
C1: x3
+ 3x2
- 4 =x3
-x2
+4x2
- 4=x2
(x - 1)+4(x2
-1)=(x-1)(x2
+ 4x + 4)=(x-1)(x+2)2
.
C2: x3
+3x2
- 4 =x3
-1+3x2
- 3 = (x-1)(x2
+x+1)+ 3(x-1)(x+1) = (x-1)(x2
+ 4x + 4).
Bµi 3
Ph©n tÝch ®a thøc (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15 thµnh nh©n tö.
Gi¶i
(x +1)(x +3)(x +5)(x +7) +15 = [(x +1)(x +7)][(x +3)(x +5)] +15 = (x2
+8x+7)(x2
+8x +15) +15
§Æt: t = x2
+8x+7 ⇒ x2
+8x+15 = t + 8 ⇒ ta cã: t(t + 8) +15 = t2
+ 8t +15 =(t + 4)2
- 1 = (t + 4 +
1)(t + 4 - 1) = (t + 5)(t + 3).

VËy: (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 = (x2
+ 8x + 12)(x2
+ 8x + 10) = (x2
+ 6x + 2x + 12)(x2
+
8x +10) = (x + 6)(x + 2)(x2
+ 8x + 10).
BTVN.
Bµi 1
Cho x > y > 0 vµ 2x2
+ 2y2
= 5xy, TÝnh:
x y
P
x y
+
=
−
. (t¬ng tù bµi 9)
Bµi 2
Cho x + y + z = 0, Chøng minh r»ng: x3
+ y3
+ z3
= 3xyz. (t¬ng tù bµi 13)
Bµi 3
Cho a + b + c = 0, Chøng minh r»ng: a4
+ b4
+ c4
=
2
1
(a2
+ b2
+ c2
)2
. (t¬ng tù bµi 14)
Bµi 4
Cho a, b, c kh¸c kh«ng vµ a + b + c = 0.
Chøng minh r»ng: + + =
+ − + − + −2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1
0.
a b c b c a a c b
Tõ: a + b + c = 0 ⇔ a = - (b + c) ⇒ a2
= (b + c)2
⇔ a2
=b2
+ c2
+ 2bc ⇔ b2
+ c2
- a2
= - 2bc
Bµi 5
Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö.
a/ 4x2
- 3x - 1
b/ x3
+ 6x2
+ 11x +6
c/ (x-y)3
+ (y-z)3
+ (z-x)3
Hìng dÉn: x + y + z = 0 ⇒ x3
+ y3
+ z3
= 3xyz

Chuyªn ®Ò 2:
BÊt ®¼ng thøc - Gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt
A. BÊt ®¼ng thøc
I. Mét sè tÝnh chÊt cña bÊt ®¼ng thøc
1/ a > b vµ b > c ⇒ a > c (t/c b¾c cÇu)
2/ a > b ⇔ a + c > b + c (t/c céng vµo hai vÕ cïng mét sè)
3/ a > b ⇔
> >

< <
ac bc nÕu c 0
ac bc nÕu c 0
(t/c nh©n hai b®t víi mét sè ©m, d¬ng)
4/ a > b vµ c > d ⇔ a + c > b + d (t/c céng hai bÊt ®¼ng thøc cïng chiÒu)
5/
> >
⇒ >
> >
a b 0
ac bd
c d 0
(t/c nh©n hai bÊt ®¼ng thøc d¬ng cïng chiÒu)
6/ a > b > 0 ⇒
 >

>
n n
n n
a b
a b
(n nguyªn d¬ng)
7/
+
> ∀ ∈
+ + +
a a
a,b,c R
a b a b c
8/
++
> ⇔ > > ∀ ∈
+
a c a a c c
a,b,c,d R
b d b b d d
9/ NÕu a, b, c lµ 3 c¹nh cña tam gi¸c th× ta cã:
*/ a > 0, b > 0, c > 0.
*/ b - c < a < b + c; a - c < b < a + c; a - b < c < a + b
*/ NÕu a > b > c th× A > B > C
II. Bµi tËp
Bµi 1
Cho 5 sè a, b, c, d, e bÊt kú. CMR: a2
+ b2
+ c2
+ d2
+ e2
≥ a( b + c + d + e)(1)
.
Gi¶i
(1)
⇔ 4a2
+ 4b2
+ 4c2
+ 4d2
+ 4e2
- 4ab - 4ac - 4ad - 4ae ≥ 0
⇔ (a - 2b)2
+ (a - 2c)2
+ (a - 2d)2
+ (a - 2e)2
≥ 0. (®pcm)
Bµi 2
Cho a + b = 1,Chøng minh r»ng: a/ a2
+ b2
≥ 1/2, b/ a3
+ b3
≥ 1/4, c/ a4
+ b4
≥ 1/8
Gi¶i
a/ Tõ (a - b)2
≥ 0 ⇔ a2
+ b2
≥ 2ab ⇔ 2(a2
+ b2
) ≥ a2
+ b2
+ 2ab = (a + b)2
= 1.
VËy a2
+ b2
≥ 1/2.
b/ Ta cã a3
+ b3
= (a + b)(a2
- ab + b2
) = a2
- ab + b2
⇔

⇔ 2(a3
+ b3
) = 2a2
- 2ab + 2b2
= (a - b)2
+ a2
+ b2
≥ a2
+ b2
mµ a2
+ b2
≥ 1/2 ⇒ 2(a3
+ b3
) ≥ 1/2 ⇔ a3
+ b3
≥ 1/4. (®pcm)
c/ Tõ (a2
- b2
)2
≥ 0 ⇔ a4
+ b4
≥ 2a2
b2
⇔ 2(a4
+ b4
) ≥ a4
+ b4
+ 2a2
b2
= (a2
+ b2
)2
⇒ a4
+ b4
≥
1
2
(a2
+ b2
)2 (1)
.
MÆt kh¸c: (a - b)2
≥ 0 ⇔ a2
+ b2
≥ 2ab ⇔ 2(a2
+ b2
) ≥ a2
+ b2
+ 2ab = (a + b)2
= 1
⇒ a2
+ b2
≥ 1/2 ⇔ (a2
+ b2
)2
≥ 1/4 thay vµo (1)
ta cã a4
+ b4
≥
1
8
.
Bµi 3
Cho a,b > 0, vµ a + b = 1. Chøng minh r»ng:
a/ + + ≥
1 1
(1 )(1 ) 9
a b
; b/ + ≥
+ +
1 1 4
a 1 b 1 3
Gi¶i
a/
+ + + + +
+ + ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔ + ≥ ⇔
1 1 a 1 b 1 ab a b 1 2
(1 )(1 ) 9 ( )( ) 9 9 1 9
a b a b ab ab
⇔1 ≥ 4ab ⇔ (a + b)2
≥ 4ab ®óng ⇒ (®pcm).
b/ + ≥
+ +
1 1 4
a 1 b 1 3
⇔3(a + 1 + b +1) ≥ 4(a + 1)(b + 1) ⇔ 9 ≥ 4(ab + a + b + 1)
⇔ 9 ≥ 4ab + 8 ⇔ 1 ≥ 4ab ⇔ (a + b)2
≥ 4ab ®óng ⇒ (®pcm)
Bµi 4
Cho a, b, c ∈ R+
. Chøng minh r»ng: < + + <
+ + +
a b c
1 2
a b b c c a
Gi¶i

> + + +


>
+ + +

> + + +
a a
a b a b c
b b
b c a b c
c c
c a a b c
⇒ + + >
+ + +
a b c
1
a b b c c a
.
MÆt kh¸c:
+
< ⇔ < + + + +

+
< ⇔ <
+ + + +
+
< ⇔ < + + + +
a c a a c
a b c a b a b c
b a b b a
b c a b c a b c
c b c b c
c a b c a a b c
⇒ + + <
+ + +
a b c
2
a b b c c a
.

VËy: < + + <
+ + +
a b c
1 2
a b b c c a
Bµi 5
Cho a, b, c, d ∈ R+
. CMR: < + + + <
+ + + + + + + +
a b c d
1 2
a b c b c d c d a d a b
Gi¶i

< < + + + + + +

 < <
 + + + + + +

 < <
 + + + + + +

 < <
 + + + + + +
a a a
a b c d a b c a c
c c c
1a b c d c d a c a
b b b 2
a b c d b c d b d
d d d
a b c d d a b d b
⇒ < + + + <
+ + + + + + + +
a b c d
1 2
Bµi 6
Cho a,b,c lµ 3 c¹nh tam gi¸c, CMR: ab + bc + ca ≤ a2
+ b2
+ c2
< 2(ab + bc + ca)
Gi¶i
*/ CM: ab + bc + ca ≤ a2
+ b2
+ c2
, nh©n c¶ hai vÕ víi 2 ta cã:
2ab + 2bc + 2ca ≤ 2a2
+ 2b2
+ 2c2
⇔ (a-b)2
+ (a-c)2
+ (b-c)2
≥ 0, ®óng ⇒ (®pcm)
*/ CM: a2
+ b2
+ c2
< 2(ab + bc + ca), Do a, b, c lµ ba c¹nh tam gi¸c nªn ta cã:
a < b + c ⇔ a2
< ab + ac
b < a + c ⇔ b2
< ab + bc
c < a + b ⇔ c2
< ac + bc
⇔ a2
+ b2
+ c2
< 2(ab + bc + ca).
VËy: ab + bc + ca ≤ a2
+ b2
+ c2
< 2(ab + bc + ca).
Bµi 7
Chøng minh r»ng: ≤
+
42 ab
ab
a b
víi a > 0, b > 0.
Gi¶i
( )− ≥ ⇔ + ≥ ⇔ ≤ ⇔ ≤
+ +
2
4 4 4 4
4
2 1 2 ab
a b 0 a b 2 ab ab
a b ab a b
.
III/ BÊt ®¼ng thøc C«si (trung b×nh céng lín h¬n hoÆc b»ng trung b×nh nh©n)
*/ Víi 2 sè thùc a, b kh«ng ©m ta cã:
+
≥
a b
ab
2
, dÊu b»ng x¶y ra ⇔ a = b.

*/ Víi 3 sè thùc a, b, c kh«ng ©m ta cã:
+ +
≥ 3a b c
abc
3
, dÊu b»ng x¶y ra ⇔ a = b = c.
*/ Víi n sè thùc a1, a2, ... an kh«ng ©m ta cã:
+ + +
≥1 2 n n
1 2 n
a a ... a
a a ...a
n
, dÊu b»ng x¶y ra ⇔ a1 = a2 = ... = an .
IV/ BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pxki
*/ víi 4 sè thùc a, b, c, d ta cã:
(ab + cd)2
≤ (a2
+ c2
)(b2
+ d2
), dÊu b»ng x¶y ra ⇔ =
a c
b d
.
*/ Víi 6 sè thùc a, b, c, d, e, f ta cã:
(ab + cd + ef)2
≤ (a2
+ c2
+ e2
)(b2
+ d2
+ f2
), dÊu b»ng x¶y ra ⇔ = =
a c e
b d f
.
*/ víi n cÆp sè thùc a1, a2, ... an, b1, b2, ... bn ta cã:
(a1b1 +a2b2 + ... + anbn)2
≤ (a1
2
+ a2
2
+ ... + an
n
)(b1
2
+ b2
2
+ ... + bn
n
).
DÊu b»ng x¶y ra ⇔ = = =1 2 n
1 2 n
a a a
...
b b b
.
Bµi 8
Cho x, y, z lµ c¸c sè d¬ng, Chøng minh r»ng:
a/ (x + y)(y + z)(z + x) ≥ 8xyz.
b/ + ≥
+
1 1 4
x y x y
.
c/ + + ≥
+ +
1 1 1 9
x y z x y z
.
Gi¶i
a/
 + ≥

+ ≥

+ ≥
x y 2 xy
y z 2 yz
z x 2 xz
⇒ (x + y)(y + z)(z + x) ≥ 8xyz.
b/ + ≥ ⇔ + + ≥
+
1 1 4 1 1
(x y)( ) 4
x y x y x y
mµ
 + ≥


+ ≥

x y 2 xy
1 1 2
x y xy
⇒ + + ≥
1 1
(x y)( ) 4
x y
.
c/ + + ≥ ⇔ + + + + ≥
+ +
1 1 1 9 1 1 1
(x y z)( ) 9
x y z x y z x y z
. (lµm t¬ng tù)
B/ Gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt

Bµi 1
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña: P =
− +
− +
2
2
2x 4x 5
x 2x 2
Gi¶i
Ta cã:
P =
− + − + +
= = + = +
− + − + − + − +
2 2
2 2 2 2
2x 4x 5 2(x 2x 2) 1 1 1
2 2
x 2x 2 x 2x 2 x 2x 2 (x 1) 1
P lín nhÊt ⇔ +
− +2
1
2
(x 1) 1
lín nhÊt, muèn vËy (x - 1)2
+ 1 ph¶i nhá nhÊt
mµ (x - 1)2
+ 1 ≥ 1 ⇒ (x - 1)2
+ 1 nhá nhÊt b»ng 1 ⇔ x = 1. Khi ®ã P = 3
VËy Pmax = 3 ⇔ x = 1.
Bµi 2
Cho x2
+ y2
= 1, t×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: p = x + y
Gi¶i
Tõ (x - y)2
≥ 0 ⇔ x2
+ y2
≥ 2xy ⇔ 2(x2
+ y2
) ≥ x2
+ 2xy + y2
= (x + y)2
VËy 2 ≥ (x + y)2
⇔ − ≤ + ≤2 x y 2 ⇒
Pmax= 2 ⇔ x = y =
2
2
; Pmin= - 2 ⇔ x = y = -
2
2
Bµi 3
Cho x, y > 0 vµ x + y = 1, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña: P = − −2 2
1 1
(1 )(1 )
x y
Gi¶i
P =
− − − + − + + +
− − = = =
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 (x 1)(y 1) (x 1)(x 1)(y 1)(y 1) xy(x 1)(y 1)
(1 )(1 )
x y x y x y x y
=
+ + + + + + +
= = = +2 2
xy(x 1)(y 1) (x 1)(y 1) x y xy 1 2
1
x y xy xy xy
. (thay x - 1 = - y, y - 1 = - x) ⇒ ta cã
P nhá nhÊt ⇔ xy
2
nhá nhÊt ⇔ xy lín nhÊt.
Mµ xy = x(1 - x) = - x2
+ x = -(x - 1/2)2
+ 1/4 ≤ 1/4 ⇒ xy lín nhÊt = 1/4 khi x = 1/2 ⇒ y = 1/2
VËy Pmin =
+ =
2
1 9
1 1
.
2 2
khi x = y = 1/2.
Bµi 4

T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña: P =
+
+
2 2
4
(x 1)
x 1
Gi¶i
P =
+ + +
= = +
+ + +
2 2 4 2 2
4 4 4
(x 1) x 2x 1 2x
1
x 1 x 1 x 1
Do (x2
- 1)2
≥ 0 ⇒ x4
+ 1 ≥ 2x2
⇒ ≤
+
2
4
2x
1
x 1
⇒ P ≤ 2 ⇒ Pmax= 2 ⇔ x = ± 1.
Do 2x2
≥ 0, x4
+ 1 ≥ 1 ⇒ ≥
+
2
4
2x
0
x 1
⇒ P ≥ 1 ⇒ Pmin = 1 ⇔ =
+
2
4
2x
0
x 1
⇔ x = 0.
Bµi 5
Cho a, b > 0. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña; P =
+ +(x a)(x b)
x
, víi x > 0.
Gi¶i
Ta cã:
P =
+ + + + +
= = = + + ⇒ ≥ + +
2
(x a)(x b) x ax bx ab ab
a b x P a b 2 ab
x x x
.
VËy Pmin = + +a b 2 ab , dÊu b»n x¶y ra ⇔ = ⇔ =
ab
x x ab
x
.
Bµi 6
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña: P = + + + − +2 2
1 4x 4x 4x 12x 9
Gi¶i
Ta cã:
P = ( ) ( )+ + + − + = + + − = + + −
2 22 2
1 4x 4x 4x 12x 9 1 2x 3 2x 1 2x 3 2x
≥(1 + 2x) + (3 - 2x) = 4
¸p dông a + b = a + b ⇔ ab ≥ 0. VËy Pmin = 4 ⇔ (1 + 2x)(3 - 2x) ≥ 0 ⇔
⇔ -1/2 ≤ x ≤ 3/2.
BTVN
Bµi 1
a/ T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña: P = 5 - 8x - x2
.
b/ T×m gi¸ tÞ nhá nhÊt cña: P = 4x2
- 4x + 11.
c/ T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña: P = x - 5 + x- 10.
Hìng dÉn
Ta cã: P = x - 5 + x - 10 = x - 5 + 10 - x≥ (x - 5) + (10 - x) = 5
¸p dông a + b = a + b ⇔ ab ≥ 0. VËy Pmin = 5 ⇔ (x - 5)(10 - x) ≥ 0 ⇔

⇔ 5 ≤ x ≤ 10.
Bµi 2
Cho x, y ∈ R, Chøng minh r»ng: x2
+ y2
+ 1 ≥ xy + x + y.
Bµi 3
Cho a, b, c, d ∈ R+
.
Ch÷ng minh r»ng :
+ + + +
< + + + <
+ + + + + + + +
a b b c c d d a
2 3
.

Chuyªn ®Ò 3:
BiÕn ®æi c¨n thøc
A/ BiÕn ®æi c¨n thøc
I/ KiÕn thøc c¬ b¶n
*/
≥
= = 
− <
2 A nÕu A 0
A A
A nÕu A 0
*/ = ≥ ≥ =1 2 n 1 2 nab a. b (a 0,b 0) / a a ...a a a ... a
*/ = ≥ >
a a
(a 0,b 0)
b b
*/ = ≥2
a b a b (b 0)
Trôc c¨n thøc ë mÉu
*/ =
a a b
bb
, (b > 0).
*/
− +
= =
− −+ −
m m( a b) m m( a b)
,
a b a ba b a b
II/ Bµi tËp
Bµi 1
TÝnh gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc sau:
a/ A = − −6 48 2 27 4 75 b/ B =
− + −
1
48 2 75 108 147
7
Gi¶i
a/ Ta cã: A = − − = − − = − − = −6 48 2 27 4 75 6 16.3 2 9.3 4 25.3 24 3 6 3 20 3 2 3
b/ Ta cã: B = − + − = − + − = −
1 1
48 2 75 108 147 4 3 2.5 3 6 3 .7 3 3
7 7
Bµi 2
Trôc c¨n thøc ë mÉu:
a/ A = +
− +
1 1
5 2 5 2
b/ B =
+ + +
4
3 5 2 2 5
c/ C =
+ +3 3
2
2 2 2 4
Gi¶i

a/ A =
+ −
+ = + =
− +
1 1 5 2 5 2 2 5
3 3 35 2 5 2
b/ B =
+ − + + − +
= = =
+ − + ++ + +
2
4 4(3 5 2 2 5) 3 5 2 2 5
(3 5) (2 2 5) 3 53 5 2 2 5
− + − + − − +
= =
2
(3 5)(3 5 2 2 5) 4 (3 5) (2 2 5)
4 4
c/ §Æt =3
2 a⇒ C =
− −
= = = = = −
+ + + + − −+ +
3 2
3 3
4 3 2 2 33 3
2 a a a(a 1) a a
4 2
a a a a a 1 a 1 2 12 2 2 4
Bµi 3
Rót gän biÓu thøc chøa c¨n:
a/ A = − + −15 6 6 33 12 6
b/ B = − − +8 2 15 8 2 15
c/ C = + − −4 7 4 7
d/ D = + + + − +4 10 2 5 4 10 2 5
e/ E = + + −4 4
49 20 6 49 20 6
f/ F = + + + +
+ + + +
1 1 1 1
...
1 5 5 9 9 13 2001 2005
Gi¶i
a/ A = − + − = − + + − + =15 6 6 33 12 6 9 6 6 6 9 12 6 24
= + + − = + + − =2 2
(3 6) (3 2 6) 3 6 2 6 3 3 6.
b/ B = − − + = − + − + + =8 2 15 8 2 15 5 2 15 3 5 2 15 3
− − + = − − + = −2 2
( 5 3) ( 5 3) 5 3 ( 5 3) 2 3.
c/ C =
+ − + + − +
+ − − = − = −
8 2 7 8 2 7 7 2 7 1 7 2 7 1
4 7 4 7
2 2 2 2
+ − + −
= − = − =
2 2
( 7 1) ( 7 1) 7 1 7 1
2.
2 2 2 2
d/ Do D > 0 nªn D = 2
D
D2
=
 
+ + + − + = + + + − + ÷
 
2
4 10 2 5 4 10 2 5 8 2 (4 10 2 5)(4 10 2 5)

= + − = + − + = + − = + − = +2
8 2 6 2 5 8 2 5 2 5 1 8 2 ( 5 1) 8 2 5 2 6 2 5
VËy: D = + = + = +2
6 2 5 ( 5 1) 5 1
e/ Ta cã: + = + + = + = + = +2 2 2 4
49 20 6 25 20 6 24 (5 2 6) [( 3 2) ] ( 3 2)
− = − + = − = − = −2 2 2 4
49 20 6 25 20 6 24 (5 2 6) [( 3 2) ] ( 3 2)
VËy E = + + − =3 2 3 2 2 3.
f/ F =
− − − − −
+ + + + =
5 1 9 5 13 9 2005 2001 2005 1
...
4 4 4 4 4
.
Bµi 4
Rót gän c¸c biÓu thøc sau:
a/ A = + − + − −x 4 x 4 x 4 x 4
b/ B = + − − − −2 2 2 2
x 2 x 1 x 2 x 1
c/ C = − + − + − − −2 2
2x 1 2 x x 2x 1 2 x x
Gi¶i
a/ A = + − + − − = − + − + + − − − +x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 4 x 4 4 x 4 4 x 4 4
= − + + − − = − + + − −2 2
( x 4 2) ( x 4 2) x 4 2 x 4 2
NÕu − ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≥x 4 2 x 4 4 x 8 th× A = − +x 4 2 + − − = −x 4 2 2. x 4 .
NÕu < − < ⇔ < − < ⇔ < <0 x 4 2 0 x 4 4 0 x 8 th× A = − +x 4 2 - − + =x 4 2 4.
VËy: A =
 − ≥

< <
2. x 4 nÕu x 8
4 nÕu 0 x 8
.
b/ B = + − − − − = − + − + −2 2 2 2 2 2
x 2 x 1 x 2 x 1 x 1 2 x 1 1
- − − − +2 2
x 1 2 x 1 1 - − + − − − = − + − − −2 2 2 2 2 2
( x 1 1) ( x 1 1) x 1 1 x 1 1
NÕu − − ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ∪ ≤ −2 2
x 1 1 0 x 2 x 2 x 2 th× B = 2.
NÕu − − < ⇔ < ⇔ − < <2 2
x 1 1 0 x 2 2 x 2 th× B = 2. −2
x 1.
VËy: B =
 ≥ ∪ ≤ −

− − < <
2
2 nÕu x 2 x 2
2. x 1 nÕu 2 x 2
.
c/ C = − + − + − − −2 2
2x 1 2 x x 2x 1 2 x x = − + − + + − − − +2 2
x 1 2 x x x x 1 2 x x x
= − + + − − = − + + − − =2 2
( x 1 x) ( x 1 x) x 1 x x x 1 2 x.

Bµi 5
T×m ®iÒu kiÖn ®Ó c¸c biÓu thøc sau cã nghÜa vµ rót gän:
a/
− − + + −
−
−− −2
x 2 x 1 x 2 x 1 1
(1 )
x 1x 4(x 1)
b/
−
− −
+ − − − −
3
1 1 x x
x x 1 x x 1 1 x
c/
+
− + +2
1 x 1
:
x x x x x x
d/
+ +
−
− − + +
2 x x 1 x 2
( ) :
x x 1 x 1 x x 1
e/
+ −
+ +
− + + −
x 2 x 1 x 1
( ) :
2x x 1 x x 1 1 x
Gi¶i
a/ §K:
> >  >
⇔ ⇔  
≠− + > − >  
2 2
x 1 x 1 x 1
x 2x 4x 4 0 (x 2) 0
.
A =
− − + + − − − + − + −
− =
− −− − −
2 2
2 2
x 2 x 1 x 2 x 1 1 ( x 1 1) ( x 1 1) x 2
(1 ) .
x 1 x 1x 4(x 1) (x 2)
−
=
−− 2
2 x 2
.
x 1(x 2)
.
NÕu x > 2 ⇒ A = =
−
2
x 1
NÕu 1< x < 2 ⇒ A = =
−
2
1 x
VËy: A =

> −

 < <
 −
2
nÕu x 2
x 1
2
nÕu 1 x 2
1 x
b/ §K:
≠
⇔ >
− ≥
x 1
x 1
x 1 0
.
B =
− − − + − −
− − = − −
+ − − − − −
3
1 1 x x x x 1 x x 1 x( x 1)
1 1x x 1 x x 1 1 x 1 x
= − − + = − −2 x 1 x x 2 x 1 .

c/
≥

− ≠ >
⇔ 
≠+ + ≠ 

+ ≠
2
x 0
x x 0 x 0
x 1x x x x 0
x 1 0
.
§Æt = ⇒ = 2
x a x a
⇒ C =
+ + + + +
= =
− + − +− + +
3 2 2
4 32
1 x 1 1 a a a a(a a 1)
:
a a a 1 a(a 1)(a 1)x x x x x x
=
+ +
= =
+ + + − − −
2
2 2
a a 1 1 1
(a 1)(a a 1)(a 1) a 1 x 1
.
d/ §K:
≥
≥ 
− ≠ ⇔ 
≠
− ≠
x 0
x 0
x 1 0
x 1
x x 1 0
.
§Æt = ⇒ = 2
x a x a
⇒ D =
+ + + + +
− = −
− − +− − + +
2 2
3
2 x x 1 x 2 2a a 1 a a 1
( ) : ( )( )
a 1 a 1 a 2x x 1 x 1 x x 1
=
+ − + + + + +
= = =
− + + + − + + +
2 2
2
a(a 2) (a a 1) a a 1 a 1 1 1
.
(a 1)(a a 1) a 2 (a 1)(a 2) a 2 x 2
.
e/ §K:
≥
≥ 
− ≠ ⇔ 
≠
− ≠
x 0
x 0
x x 1 0
x 1
1 x 0
§Æt = ⇒ = 2
x a x a ⇒
E =
+ − +
+ + = + −
− + + − −− + + −
2
3 2
x 2 x 1 x 1 a 2 a 1 2
( ): ( )
2 a 1 a a 1 a 1 a 1x x 1 x x 1 1 x
=
+ + − − + + − +
= = =
− + + − − + + − + + + +
2 2 2
2 2 2
a 2 a(a 1) (a a 1) 2 a 2a 1 2 2 2
(a 1)(a a 1) a 1 (a 1)(a a 1) a 1 a a 1 x x 1
.
Bµi 6
Chøng minh r»ng c¸c biÓu thøc sau lµ mét sè nguyªn.
a/ A = + + − +4 5 3 5 48 10 7 4 3
b/ B = − + − + + −( 3 1) 6 2 2 3 2 12 18 128

c/ C = + − +
−
2 3 5 13 48
6 2
Gi¶i
a/ Ta cã: + = + ⇒ − + = − + = − − ⇒2
7 4 3 (2 3) 10 7 4 3 10(2 3) 20 10 3
− + = − − = − = − ⇒
− + = − = −
2
48 10 7 4 3 48 20 10 3 28 10 3 (5 3)
5 48 10 7 4 3 5(5 3) 25 5 3
VËy A = + =4 5 3.
b/ Ta cã: − = − = − ⇒2
18 128 18 8 2 (4 2)
⇒ + + − = + + − = + = + ⇒2
2 12 18 128 2 12 4 2 4 2 3 ( 3 1)
⇒ + − + = + − = + − = + = +6 2 2 3 ( 3 1) 6 2 4 2 3 6 2( 3 1) 4 2 3 3 1
VËy: B = + − = − =( 3 1)( 3 1) 3 1 2.
c/ Ta cã: + = + = + + = + ⇒ + = + ⇒2
13 48 13 4 3 12 4 3 1 (2 3 1) 13 4 3 2 3 1
⇒ − + = − − = − = − ⇒ − + = − ⇒2
5 13 48 5 2 3 1 4 2 3 ( 3 1) 5 13 48 3 1
⇒ + − + = + + = + ⇒ + − + =3 5 13 48 3 3 1 2 3 2 3 5 13 48
+ = + = + ⇒ =2
2 2 3 8 4 3 ( 6 2) C 1.
BTVN
Bµi 1
Rót gän biÓu thøc chøa c¨n.
a/ A = + − − − −4 15 4 15 2 3 5 b/ B = − − −5 3 29 12 5
c/ C =
+ − −
−
(5 2 6)(49 20 6) 5 2 6
9 3 11 2
d/ D = + + +
+ + +
1 1 1
...
2 3 3 4 1998 1999
Bµi 2
Trôc c¨n thøc ë mÉu.
a/ A =
− +3 3
6
2 2 2 4
b/ B =
+ +3 3
2
4 2 2

Chuyªn ®Ò 4
Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt - §å thÞ hµm sè bËc nhÊt - HÖ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt
I/ Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt
§N: Lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng: ax + b = 0, trong ®ã a, b lµ çc sè thùc, x lµ Èn.
Çch gi¶i:
Ph¬ng tr×nh ⇔ ax = -b.
NÕu a ≠ 0 ⇒ x = -b/a
NÕu a = 0 ⇒ 0x = -b
NÕu b = 0 ⇒ PT v« sè nghiÖm
NÕu b ≠ 0 ⇒ PT v« nghiÖm
II/ Bµi tËp
Bµi 1
Gi¶i vµ biÖn luËn çc ph¬ng tr×nh sau:
a/ mx + 2(x - m) = (m + 1)2
+ 3 (1) b/ 3(m + 1)x + 4 = 2x + 5(m +
1) (2)
c/ m2
(x + 1) = x + m (3) d/
− −
+ =
−
x m x 3
2
x 2 x
(4)
Gi¶i
a/ (1) ⇔ (m + 2)x = m2
+ 4m + 4 ⇔ (m + 2)x = (m + 2)2
NÕu m + 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ -2 ⇒ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm: x = m + 2.
NÕu m + 2 = 0 ⇔ m = -2 ⇒ 0x = 0 ⇒ 0 ph¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm x∈ R.
b/ (2) ⇔ (3m + 1)x = 5m + 1
NÕu 3m + 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ -1/3 ⇒ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm:
+
=
+
5m 1
x
3m 1
NÕu 3m + 1 = 0 ⇔ m = -1/3 ⇒ ph¬ng tr×nh cã d¹ng: 0x = -2/3 ⇒ PTVN.
c/ (3) ⇔ (m2
- 1)x = m - m2
⇔ (m2
- 1)x = m(1 - m).
NÕu m2
- 1 ≠ 0 ⇒ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm: = −
+
m
x
m 1
NÕu m2
- 1 = 0 ⇔ m = ± 1.
NÕu m = 1 ⇒ PT cã d¹ng: 0x = 0 ⇒ PT cã VSN
NÕu m = -1 ⇒ PT cã d¹ng: 0x = -2 ⇒ PTVN
d/ §K: x ≠ 0 vµ x ≠ 2.

(4) ⇔ x(x - m) + (x - 2)(x - 3) = 2x(x - 2) ⇔ (m + 1)x = 6
NÕu m + 1 = 0 ⇔ m = -1 ⇒ (4) cã d¹ng: 0x = 6 ⇒ PTVN
NÕu m + 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ -1 ⇒ (4) ⇔ = ≠
+
6
x 0
m 1
(Do §K m ≠ 2 ⇒ ≠ ⇔ ≠
+
6
2 m 2
m 1
)
KÕt luËn: NÕu m ≠ -1 ∩ m ≠ 2 ⇒ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm: =
+
6
x
m 1
NÕu m = -1 ∪ m = 2 ⇒ ph¬ng tr×nh v« nghiÖm.
Bµi 2
Cho ph¬ng tr×nh: (m + 1)2
x + 1 - m = (7m - 5)x. (1)
a/ T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh v« nghiÖm b/ T×m m ®Ó ph ¬ng tr×nh
cã nghiÖm
Gi¶i
(1) ⇔ ( m2
- 5m + 6)x = m - 1 ⇔ (m - 2)(m + 3)x = m - 1.
a/ Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm ⇔
− + =
⇔ = ∪ =
− ≠
(m 2)(m 3) 0
m 2 m 3.
m 1 0
b/ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm ⇔ (m - 2)(m + 3) ≠ 0 ⇔ m ≠ 2 ∩ m ≠ -3.
III/ HÖ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt
Bµi 3
Cho hÖ ph¬ng r×nh:
+ =

+ =
2x my 1 (1)
mx 2y 1 (2)
.
a/ Gi¶i hÖ khi m = 1
b/ Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh
c/ T×m çc sè nguyªn m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt (x ; y) víi x, y lµ çc sè nguyªn
d/ T×m çc sè nguyªn m ®Ó hÖ cã nghiÖm (x ; y) víi x, y lµ çc sè nguyªn d¬ng
Gi¶i
a/ khi m = 1 ta cã hÖ ⇔
+ = + = = =   
⇔ ⇔ ⇔   
+ = + = + = =   
2x y 1 4x 2y 2 3x 1 x 1 3
x 2y 1 x 2y 1 x 2y 1 y 1 3
b/ Tõ (1) vµ (2) ⇒ 2x + my = mx + 2y ⇔ (m - 2)(x - y) = 0.
NÕu m = 2 ⇒ hÖ v« sè nghiÖm
NÕu m ≠ 2 ⇒ x = y thay vµo ph¬ng tr×nh (1) ta cã: (m + 2)x = 1.
NÕu m = -2 ⇒ hÖ v« nghiÖm
NÕu m ≠ -2 ⇒ hÖ cã nghiÖm duy nhÊt: x = y = 1/(m + 2)

c/ khi m ≠ 2 vµ m ≠ -2 th× hÖ cã nghiÖm duy nhÊt: x = y = 1/(m + 2). NghiÖm nµy lµ sè
nguyªn ⇔ 1/(m + 2) lµ sè nguyªn ⇔
+ = = − 
⇔ + = − = − 
m 2 1 m 1
m 2 1 m 3
.
d/ / khi m ≠ 2 vµ m ≠ -2 th× hÖ cã nghiÖm duy nhÊt: x = y = 1/(m + 2). NghiÖm nµy lµ sè
nguyªn d¬ng ⇔ 1/(m + 2) lµ sè nguyªn d¬ng ⇔ m + 2 lµ íc sè nguyªn d¬ng cña 1 ⇔ m + 2 =
1 ⇔ m = -1.
Bµi 4
Cho hÖ ph¬ng r×nh:
− − = −

− = +
(m 1)x my 3m 1 (1)
2x y m 5 (2)
a/ T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt (x ; y) mµ S = x2
+ y2
®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.
b/ T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt (x ; y) mµ P = xy ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt.
Gi¶i
Tõ (2) ⇒ y = 2x - m - 5 thay vµo (1) ⇒ (m - 1)x - 2mx + m2
+ 5m = 3m -1
(m + 1)x = m2
+ 2m + 1 ⇔ (m + 1)x = (m + 1)2
.
HÖ cã nghiÖm duy nhÊt ⇔ m ≠ -1, khi ®ã: x = m + 1, y = m - 3.
a/ S = x2
+ y2
= (m+1)2
+ (m-3)2
= 2m2
- 4m + 10 = 2(m - 1)2
+ 8. ⇒ Smin = 8 ⇔ m = 1.
b/ P = xy = (m + 1)(m - 3) = m2
-2m -3 = (m - 1)2
- 4.⇒ Pmin = -4 ⇔ m = 1.
Bµi 5
Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:
− +
+ =

+ − + =

x y 2x y
7 (1)
7 17
4x y y 7
15 (2)
5 19
Gi¶i
(1) ⇔ 17(x - y) + 7(2x + y) = 7.7.17 ⇔ 31x - 10y =833.
(2) ⇔ 19(4x + y) + 5(y - 7) = 19.5.15 ⇔ 19x + 6y = 365.
VËy hÖ ph¬ng tr×nh ⇔
− = − = =  
⇔ ⇔  
+ = + = = −  
31x 10y 833 93x 30y 2499 x 23
19x 6y 365 95x 30y 1825 y 12
.
Bµi 6
Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:
+ + =

+ + =
 + + =
x y z 1 (1)
x 2y 4z 8 (2)
x 3y 9z 27 (3)
Gi¶i

HÖ:
+ + = + + = + + = =   
   
+ + = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = −   
   + + = + = = =   
x y z 1 x y z 1 x y z 1 x 6
x 2y 4z 8 y 3z 7 y 3z 7 y 11
x 3y 9z 27 y 5z 19 2z 12 z 6
IV/ §å thÞ hµm sè bËc nhÊt
§å thÞ hµm sè y = ax + b (a ≠ 0) lµ ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm A(0;b) vµ B(-b/a; 0).
Bµi 7
VÏ ®å thÞ çc hµm sè sau:
a/ y = 2x - 1 b/ y = −x 1 c/ y = − − +2
2 x 2x 1 d/ y = + + −x 1 x 2 e/
+ =x y 1
BTVN
Bµi 1 Gi¶i vµ biÖn luËn çc ph¬ng tr×nh sau:
a/ m2
x = 9x + m2
- 4m + 3 b/
+ −
+ =
+
x m x 2
2
x 1 x
Bµi 2 Cho hÖ ph¬ng tr×nh:
+ =

− =
x my 2
mx 2y 1
.
a/ Gi¶i hÖ khi m = 2
b/ T×m sè nguyªn m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt (x ; y) víi x, y lµ çc sè nguyªn
c/ T×m sè nguyªn m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt (x ; y) mµ x > 0 vµ y < 0
Bµi 3 VÏ ®å thÞ çc hµm sè: a/ y = 2x - x + 3  b/ y = x - 1 - x + 2 
Bµi 4 Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:
+ + =

+ + = −
 + + =
x 2y 3z 11
2x 3y z 2
3x y 2z 3
Hìng dÉn Céng 3 ph¬ng tr×nh ta cã: x + y + z = 2. ⇒ x = -2, y = -1, z = 5.
Bµi 5 Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:

+ = +

− =

 − =
+
3
z 2 (1)
2x y
2y 3z 4 (2)
2 3
y (3)
2x y 2
Hìng dÉn §Æt t =
+
1
2x y
thay vµo (1) vµ (3) ta cã:
+ =


− =
3t z 2
3
2t y
2
⇒ 2z + 3y = -1/2 (4).
Tõ (2) vµ (4) ta ®ùc: x = 1/4, y = 1/2, z = -1.

Chuyªn ®Ò 5
Ph¬ng tr×nh bËc 2, ®Þnh lý viÐt - Ph¬ng tr×nh bËc cao
I/ Ph¬ng tr×nh bËc 2
§N: Ph¬ng tr×nh bËc 2 lµ ph¬ng r×nh cã d¹ng: ax2
+ bx + c = 0. (a ≠ 0)
Trong ®ã: a, b, c lµ c¸c sè thùc, x lµ Èn.
C¸ch gi¶i:
TÝnh biÖt thøc ∆ = b2
- 4ac
NÕu ∆ < 0 ⇒ ph¬ng tr×nh v« nghiÖm.
NÕu ∆ = 0 ⇒ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp: x = -b/2a.
NÕu ∆ > 0 ⇒ ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt:
− − ∆ − + ∆
= =1 2
b b
x ; x
4a 4a
Chó ý: NÕu b = 2b'
th× cã thÓ tÝnh ∆'
= b'2
- ac
NÕu ∆'
< 0 ⇒ ph¬ng tr×nh v« nghiÖm.
NÕu ∆'
= 0 ⇒ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp: x = -b'
/a.
NÕu ∆'
> 0 ⇒ ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt: − − ∆ − + ∆
= =
' ' ' '
1 2
b b
x ; x
2a 2a
II/ §Þnh lý ViÐt
NÕu ph¬ng tr×nh bËc 2 cã hai nghiÖm ph©n biÖt hoÆc kh«ng th× ta cã:
S = x1 + x2 = -b/a; P = x1x2 = c/a.
Chó ý:
NÕu ph¬ng tr×nh bËc 2 cã a + b + c = 0 th× x1 = 1; x2 = c/a.
NÕu ph¬ng tr×nh bËc 2 cã a - b + c = 0 th× x1 =-1; x2 = -c/a.
III/ Bµi tËp
Bµi 1
Cho ph¬ng tr×nh: x2
- 4x + m + 1 = 0.
a/ Gi¶i phng tr×nh khi m = 2
b/ T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm
c/ T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n: x1
2
+ x2
2
= 10
d/ T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n: x1
3
+ x2
3
= 34
Gi¶i
a/ Khi m = 2 PT ⇔ x2
- 4x + 3 = 0 do a + b + c = 0 ⇒ x1 = 1, x2 = 3.
b/ ∆'
= 4 - m - 1 = 3 - m, ph¬ng tr×nh cã nghiÖm ⇔ 3 - m ≥ 0 ⇔ m ≤ 3.
c/ §Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm th× ph¶i cã ∆ ≥ 0 ⇔ m ≤ 3.

Khi ®ã: x1
2
+ x2
2
= 10 ⇔ (x1 + x2)2
- 2x1x2 = 10 ⇔ 16 - 2(m + 1) = 10 ⇔ m = 2
d/ §Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm th× ph¶i cã ∆ ≥ 0 ⇔ m ≤ 3.
x1
3
+ x2
3
= 34 ⇔ (x1 + x2)[(x1 + x2)2
-3x1x2] =34 ⇔ 4[16 -3(m + 1)] =34 ⇔ m +1 =10 ⇔ m = 9
Bµi 2
- 2(m - 1)x - 3 - m = 0.
a/ Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m.
b/ T×m ®Ó ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x = 2, t×m nghiÖm kia
c/ T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x1 , x2 tho¶ m·n x1
2
+ x2
2
≥ 10
d/ T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 , x2 sao cho P = x1
2
+ x2
2
®¹t gi¸ trÞ nhá
nhÊt
Gi¶i
a/ ∆'
= m2
- 2m + 1 + m + 3 = m2
- m + 4 = (m- 1/2)2
+ 15/4 > 0 ⇒ víi mäi m th× ph¬ng tr×nh
lu«n cã nghiÖm.
b/ x = 2 thay vµo ph¬ng tr×nh ta cã: 5m = 5 ⇔ m = 1. Khi ®ã ph¬ng tr×nh cã d¹ng: x2
- 4 =
0 ⇔ x = 2 ∪ x = -2.
c/ x1
2
+ x2
2
≥ 10 ⇔ (x1 + x2)2
- 2x1x2 ≥ 10 ⇔ [2(m - 1)]2
+ 2(m + 3) ≥ 10 ⇔
⇔ 4m2
-8m + 4 + 2m + 6 ≥ 10 ⇔ 4m2
- 6m ≥ 0 ⇔ m(2m - 3) ≥ 0 ⇔ m ≥ 3/2 ∪ m ≤ 0.
d/ P = x1
2
+ x2
2
= (x1 + x2)2
- 2x1x2 = [2(m - 1)]2
+ 2(m + 3) = 4m2
- 6m + 10 =
(2m - 3/2)2
+ 31/4 ⇒ Pmin = 31/4 ⇔ m = 3/4.
Bµi 3
- 2mx + 2m -1 = 0.
a/ Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m.
b/ T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x1 , x2 tho¶ m·n 2x1
2
+ 2x2
2
- 5x1x2 = 27.
c/ T×m m sao cho ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nµy b»ng hai nghiÖm kia.
d/ T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x1 , x2 tho¶ m·n: x1 = x2
2
Gi¶i
a/ ∆'
= m2
- 2m + 1 = (m + 1)2
≥ 0 ⇒ víi mäi m ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm.
b/ 2x1
2
+ 2x2
2
- 5x1x2 = 27 ⇔ 2[(x1 + x2)2
- 2x1x2] - 5x1x2 = 27 ⇔ 2(x1 + x2)2
- 9x1x2 = 27 ⇔ 8m2
-
9(2m + 1) = 27 ⇔ 8m2
- 18m - 18 = 0 ⇔ 4m2
- 9m - 9 = 0
⇔ m = 3 ∪ m = -3/4.
c/ Gi¶ sö ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm: x1 = 2x2 ⇒ ta cã:
x1 + x2 = 3x2 =2m ⇔ x2 =2m/3 (1) vµ x1x2 = 2x2
2
= 2m - 1⇔x2
2
= (2m - 1)/2 (2).

Tõ (1) vµ (2) ⇒ 4m2
/9 = (2m - 1)/2 ⇔ 8m2
- 18m + 9 = 0 ⇔ m = 3/4 ∪ m = 3/2
d/ Ta cã: x = m + m + 1 = 2m + 1 ∪ x = m - m - 1 = -1
NÕu x1 = 2m + 1, x2 = -1 th× ta cã: 2m + 1 = 1 ⇔ m = 0
NÕu x1 = -1, x2 = 2m + 1 th× ta cã: -1 = (2m + 1)2
v« lý. VËy m = 0.
Bµi 4
Cho ph¬ng tr×nh: (m - 1)x2
+ 2(m - 1)x - m = 0.
a/ T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp, t×m nghiÖm kÐp nµy
b/ T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt tr¸i dÊu
c/ T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt ®Òu ©m
d/ T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt ®Òu d¬ng
Gi¶i
a/ Ph¬ng r×nh cã nghiÖm kÐp ⇔ m ≠ 1 vµ ∆'
= 0 ⇔ m2
- 2m + 1 + m2
- m = 0
⇔ 2m2
- 3m + 1 = 0 ⇔ (m - 1)(2m - 1) = 0 ⇔ m = 1 ∪ m = 1/2
VËy m = 1/2 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp: x = 1.
b/ Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt tr¸i dÊu ⇔
  >
≠  ≠  < < 
∆ > ⇔ − − > ⇔ ⇔    ><   <   − < > −
'
1 2
m 1
m 1 m 1
m 1/ 2 m 0
0 (m 1)(2m 1) 0
m 1m 0
x x 0 m
0 m 1
m 1
.
c/ Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt ®Òu ©m ⇔
≠
≠ − − >  > 
∆ >  ⇔ ⇔ ⇔ < <<  − > 
> −   < <  −+ < − <
 −
'
1 2
1 2
m 1
m 1 (m 1)(2m 1) 0 m 1
0 m 0 m 1/ 2m 1/ 20
x x 0 m 1
0 m 1
2(m 1)x x 0
0
m 1
.
d/ Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt ®Òu d¬ng ⇔
≠  >
≠ − − > <  ∆ >  
⇔ ⇔ < < ⇔  − >
> −  − >
  −+ > − >  −
'
1 2
1 2
m 1 m 1
m 1 (m 1)(2m 1) 0 m 1/ 2
0 m 0 m 10
x x 0 m 1
2 0
2(m 1)x x 0
0
m 1
Lo¹i
VËy kh«ng tån t¹i m ®Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt ®Òu d¬ng.
Bµi 5

- (2m - 3)x + m2
- 3m = 0.
a/ Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã 2 nghiÖm khi m thay ®æi.
b/ T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n: 1 < x1 < x2 < 6.
Gi¶i
a/ ∆ = 4m2
- 12m + 9 - 4m2
+ 12m = 9 > 0 ⇒ ph¬ng tr×nh lu«n cã 2 nghiÖm.
b/ x1 =
− −
= −
2m 3 3
m 3
2
; x2 =
− +
=
2m 3 3
m
2
Víi mäi m ta lu«n cã: m - 3 < m ⇒ 1 < m - 3 < m < 6 ⇔ 4 < m < 6.
Bµi 6
Cho ph¬ng tr×nh: 3x2
- mx + 2 = 0. T×m m ®Ó pt cã 2 nghiÖm tho¶ m·n: 3x1x2 = 2x2
- 2.
Gi¶i
§K:
 ∆ = − ≥ ≥ ∪ ≤ − ≥ ∪ ≤ −
 
= − = − =  
⇔ ⇔  
= = =  
  + = + = = 
2
1 2 2 2 2
1 2 1 2 1
1 2 1 2
m 24 0 m 2 6 m 2 6 m 2 6 m 2 6
3x x 2x 2 2 2x 2 x 2
x x 2/ 3 x x 2/3 x 1/3
x x m/3 x x m/3 m 7
Bµi 7
Gäi a, b lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: x2
+ px + 1 = 0
c, d lµ nghiÖm cña ph¬gn tr×nh: x2
+ qx + 1 = 0
a/ Chøng minh r»ng: (a - c)(a - d)(b - c)(b - d) = (p - q)2
b/ Chøng minh r»ng: (a - c)(b - c)(a + d)(b + d) = q2
- p2
Gi¶i
Theo ®Þnh lý ViÐt ta cã:
+ = − + = − 
 
= = 
a b p c d q
ab 1 cd 1
.
a/ VT = (a - c)(a - d)(b - c)(b - d) = (a2
- ad - ac + cd)(b2
- bc - bd + cd) =
[a2
- a(c + d) + cd][b2
- b(c + d) + cd] = (a2
+ aq + 1)(b2
+ bq + 1) =
a2
b2
+ a2
bq + a2
+ab2
q + abq2
+ aq + b2
+ bq + 1 =
1 + aq + bq + q(a + b) + [(a + b)2
- 2ab] + q2
+ 1 =
2 + q(a + b) - pq + p2
- 2 + q2
+ 1 = p2
- 2pq + q2
= (p - q)2
= VP.
b/ VT = (a - c)(b - c)(a + d)(b + d) = [ab - c(a + b) + c2
][ab + d(a + b) + d2
] = (1 + cp + c2
)(1- dp
+ d2
) = 1- dp + d2
+ cp - cdp2
+ cd2
p + c2
- c2
dp + c2
d2
=
= 1- dp + d2
+ cp - p2
+ dp + c2
- cp + 1 = (c + d)2
- 2cd - p2
+ 2 = q2
- p2
= VP.
IV/ Ph¬ng tr×nh bËc cao
Bµi 8

Gi¶i çc ph¬ng tr×nh sau:
a/ x3
- 2x2
- x + 2 = 0
b/ x4
- 3x3
+ 6x2
+ 3x + 1 = 0
c/ x4
+ 2x3
- 6x2
+ 2x + 1 = 0
d/ (x2
- 3x + 1)(x2
- 3x + 2) = 2
e/ (x + 9)(x + 10) (x + 11) - 8x = 0
f/ (x + 2)2
+ (x + 3)3
+ (x + 4)4
= 2
Gi¶i
a/ NhÈm thÊy x = 2 lµ nghiÖm ⇒ ph©n tÝch VT lµm xuÊt hiÖn x - 2
x3
- 2x2
- x + 2 = 0 ⇔ x2
(x- 2)- (x- 2) = 0 ⇔ (x- 2)(x2
- 1) = 0 ⇔ x = 0 ∪ x = ±1.
Çch kh¸c:
x3
- 2x2
- x + 2 = 0 ⇔ x3
- 8 - (2x2
- 8) - (x - 2) = 0 ⇔ (x - 2)(x2
+ 2x + 4 - 2x - 4 - 1) ⇔ (x - 2)
(x2
- 1) = 0 ⇔ x = 0 ∪ x = ±1.
b/ Do x = 0 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm ⇒ chia c¶ hai vÕ cho x2
≠ 0 ta cã:
   
− − + + = ⇔ + − − − = ÷  ÷
   
2 2
2 2
3 1 1 1
x 3x 6 0 x 3 x 6 0
x x x x
§Æt: − = ⇒ + = +2 2
2
1 1
x t x t 2
x x
, thay vµo ph¬ng tr×nh ta cã:
t2
- 3t - 4 = 0 ⇔ (t + 1)(t - 4) = 0 ⇔ t = -1 ∪ t = 4.
Víi : t = -1 ⇔
 − −
=
− = − ⇒ + − = ⇔
 − +
=

1
2
2
1 5
x
1 2
x 1 x x 1 0
x 1 5
x
2
.
Víi : t = 4 ⇔
 = −
− = ⇒ − − = ⇔ 
 = +
12
2
x 2 51
x 4 x 4x 1 0
x x 2 5
.
c/ Do x = 0 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm ⇒ chia c¶ hai vÕ cho x2
≠ 0 ta cã:
   
− − + + = ⇔ + − − − = ÷  ÷
   
2 2
2 2
2 1 1 1
x 2x 6 0 x 2 x 6 0
x x x x
§Æt: − = ⇒ + = +2 2
2
1 1
x t x t 2
x x
t2
- 2t - 4 = 0 ⇔ = + ∪ = −t 1 5 t 1 5 (kh«ng t×m ®îc x)
Çch kh¸c:
x4
+ 2x3
- 6x2
+ 2x + 1 = 0 ⇔ (x4
- 2x2
+ 1) + (2x3
- 4x2
+ 2x) = 0 ⇔

(x2
- 1)2
+ 2x(x - 1)2
= 0 ⇔ (x - 1)2
[(x + 1)2
+ 2x] = 0 ⇔
=

+ + =
2
x 1
x 4x 1 0
e/ §Æt t = x2
- 3x + 1 ⇒ ph¬ng tr×nh cã d¹ng: t(t + 1) = 2 ⇔ t2
+ t - 2 = 0 ⇔ t = 1 ∪ t = -2.
Víi: t = 1 ⇔ x2
- 3x = 0 ⇔ x = 0 ∪ x = 3.
Víi: t = -2 ⇔ x2
- 3x + 3 = 0, VN
f/ §Æt: x+ 10 = t ⇒ (t - 1) t (t + 1) - 8(t - 10) = 0 ⇔ t3
- 9t + 80 = 0 ⇔
⇔ (t + 5)(t2
- 5t + 16) = 0 ⇔ t = -5 ⇔ x = -15.
g/ §Æt: x + 4 = t ⇒ (t - 2)2
+ (t - 1)3
+ t4
= 2 ⇔
(t2
- 4t + 4) + (t3
- 3t2
+ 3t - 1) + t4
= 2 ⇔ (t2
-1)(t2
+ t - 1 = 0 ⇔




=−+
=−
01
01
2
2
tt
t
.
Bµi 9
- 2x2
+ (m + 1)x - m = 0.
a/ Chøng minh r»ng: ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm x = 1 víi mäi m
b/ T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã ®óng 2 nghiÖm
c/ Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh theo m
Gi¶i
a/ Thay x = 1 vµo ph¬ng tr×nh ta thÊy lu«n ®óng ⇒ x = 1 lµ nghiÖm víi mäi m
b/ Pt ⇔ (x - 1)( x2
- x + m) = 0
§Æt: f(x) = x2
- x + m ⇒ PT cã ®óng 2 nghiÖm ⇔
TH1: f(x) = 0 cã nghiÖm kÐp x ≠ 1 ⇔
4
1
0
041
0)1(
0
=⇔



≠
=−
⇔



≠
=∆
m
m
m
f
.
TH2: f(x) = 0 cã 2 nghiÖm ph©n biÖt trong ®ã mét nghiÖm ph¶i b»ng 1 ⇔
∆ > − > <  
⇔ ⇔ ⇔ =  
= = =  
0 1 4m 0 m 1/ 4
m 0
f(1) 0 m 0 m 0
. VËy: m = 0 ∪ m = 1/4.
c/ XÐt PT x2
- x + m ta cã: ∆ =1 - 4m.
NÕu ∆ < 0 ⇔ 1- 4m < 0 ⇔ m > 1/4 ⇒ PT cã mét nghiÖm x = 1.
NÕu
∆ = − = 
⇔ ⇔ = 
≠ ≠ 
0 1 4m 0 1
m
f(1) 0 m 0 4
⇒ PT cã hai nghiÖm x = 1∪ x = 1/2.

NÕu
∆ > − > <  
⇔ ⇔ ⇔ =  
= = =  
0 1 4m 0 m 1/ 4
m 0
f(1) 0 m 0 m 0
⇒ PT cã hai nghiÖm x= 1 ∪ x = 0.
NÕu
∆ > − > <  
⇔ ⇔  
≠ ≠ ≠  
0 1 4m 0 m 1/ 4
f(1) 0 m 0 m 0
⇒ PT cã 3 nghiÖm x = 1∪
± −
=
1 1 4m
x
2
.
BTVN
Bµi 1 Cho ph¬ng tr×nh: 3x2
- 5x + m = 0.
a/ T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x1 , x2 tho¶ m·n: x1
2
- x2
2
= 5/9
b/ T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x1 , x2 tho¶ m·n: x1
3
+ x2
3
= 72
Bµi 2 Cho ph¬ng tr×nh: x2
- 2mx + m + 2 = 0.
X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm kh«ng ©m. Khi ®ã h·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:
P = +1 2x x theo m.
Bµi 3 Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh:
a/ x3
- 2x2
-11x +12 b/ (x + 1)(x + 3) (x + 5)(x + 7) + 15 = 0
c/ x4
+ 5x3
- 12x2
+ 5x + 1 = 0 d/ x4
+ 6x3
+ 7x2
- 6x + 1 = 0 e/ 2x4
- x3
- 5x2
+ x + 2 = 0
Hìng dÉn
Do x = 0 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm ⇒ chia c¶ hai vÕ cho x2
≠ 0 ta cã:
   
− − + + = ⇔ + − − − = ÷  ÷
   
2 2
2 2
1 2 1 1
2x x 5 0 2 x x 5 0
x x x x
§Æt: − = ⇒ + = +2 2
2
1 1
x t x t 2
x x
2t2
- t - 1 = 0 ⇔ (t - 1)(2t +1) = 0 ⇔ t = -1 ∪ t = -1/2.
Víi : t = 1 ⇔
 −
=
− = ⇒ − − = ⇔
 +
=

1
2
2
1 5
x
1 2
x 1 x x 1 0
x 1 5
x
2
.
Víi : t = -1/2 ⇔
 − −
=− − = ⇒ + − = ⇔
 − +
=

1
2
2
1 17
x
1 1 4
x 2x x 2 0
x 2 1 17
x
4
.

Chuyªn ®Ò 6
Gi¶i ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh chøa gtt® vµ c¨n thøc
I/ Gi¶i ph¬ng tr×nh chøa GTT§
*/ D¹ng c¬ b¶n.
A= B ⇔
≥ ≥
⇔ 
= ±= 
2 2
B 0 B 0
A BA B
A= B ⇔ A2
= B2
⇔ A = ±B
*/ D¹ng kh«ng c¬ b¶n
- Dïng ®Þnh nghÜa: A=
≥

− <
A nÕu A 0
A nÕu A 0
- Dïng c¸c tÝnh chÊt cña gi¸ trÞ tuyÖt ®èi:
a = a ⇔ a ≥ 0
a = -a ⇔ a ≤ 0
a + b = a + b ⇔ a.b ≥ 0
a + b = a + b ⇔ a ≥ 0 vµ b ≥ 0
Bµi 1
a/ x + 1= x(x + 1)
b/ 7 - 2x= 5 - 3x+ x + 2
c/ x2
- 1+ x2
- 4=3
d/ x2
- 5x + 5= -2x2
+ 10x -11
Gi¶i
a/ x + 1 = x(x + 1) ⇔ x + 1 = x . x + 1 ⇔ x + 1( x - 1) = 0 ⇔
 + = = −
⇔ ⇔ = ±  = ±= 
x 1 0 x 1
x 1
x 1x 1
.
C¸ch kh¸c:
x+1= x(x+ 1)⇔ x + 1= x2
+ x ⇔
( )
 = + = +
⇔ ⇔ = ±
+ = − − − = 
22
22
x 1x x x 1
x 1
x x x 1 x 1 0
b/ 7 - 2x= 5 - 3x+ x + 27⇔ 5 - 3x+ x + 2= - 2x ⇔
5 - 3x+ x + 2= (5 - 3x) + (x + 2) , ¸p dông: a + b = a + b ⇔ ab ≥ 0
⇒ (5 - 3x)(x + 2) ≥ 0 ⇔ -2 ≤ x ≤ 5/3.

c/ §Æt: t = x2
- 1 ⇒ x2
- 4 = t - 3
⇒ x2
- 1+ x2
- 4 = 3 ⇔ t + t - 3 =3 (*)
NÕu: t ≥ 3 ⇒ (*) ⇔ 2t = 6 ⇔ t = 3 ⇒ x2
= 4 ⇔ x = ±2
NÕu: 0 ≤ t < 3 ⇒ (*) ⇔ 3 = 3 ⇒ PT cã v« sè nghiÖm 0 ≤ t < 3 ⇔ 0 ≤ x2
-1 < 3
⇔ 1 ≤ x2
< 4 ⇔
 ≥
≤ < ⇔≤ − − < ≤ −− < <
x 1
1 x 2
x 1
2 x 1
2 x 2
NÕu: 0 < t ⇒ (*) ⇔ 2t = 0 ⇔ t = 0 lo¹i.
VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm:
≤ ≤
− ≤ ≤ −
1 x 2
2 x 1
.
d/ x2
- 5x + 5= -2x2
+ 10x -11 ⇔ / x2
- 5x + 5= -2(x2
- 5x + 5) -1
§Æt: t = x2
- 5x + 5 ⇒ ta cã: t = -2t -1 ⇔
− − ≥ ≤ − 
 
⇔ ⇔ = −= − − = −  
  = + = −  
2t 1 0 t 1/ 2
t 1t 2t 1 t 1/ 3
t 2t 1 t 1
⇔-1 = x2
- 5x + 5 ⇔ x2
- 5x + 6 =0 ⇔ x = 2 ∪ x = 3.
II/ Gi¶i ph¬ng tr×nh chøa c¨n thøc
*/ D¹ng c¬ b¶n.
≥
= ⇔ 
=
2
B 0
A B
A B
≥
= ⇔ 
=
B 0
A B
A B
*/ D¹ng kh«ng c¬ b¶n
- N©ng luü thõa hai vÕ (hai vÕ cïng dÊu, tèt nhÊt lµ kh«ng ©m)
- §a vÒ h»ng ®¼ng thøc vµ ®a ra ngoµi c¨n råi dïng tÝnh chÊt cña GTT§
- §Æt Èn phô hoÆc ®¸nh gi¸ gi¸ trÞ cña hai vÕ
Bµi 2
a/ + = −x 1 x 1
b/ − + + =1 x 4 x 3
c/ − − + =1 x 2 x 1
d/ − + + + + =2 2
x 2x 1 x 4x 4 3
e/ + + − + + − − =x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 5

f/
+
+ − + − − =
x 3
x 2 x 1 x 2 x 1
2
g/ + + − + − − − =x 2 3 2x 5 x 2 2x 5 2 2
Gi¶i
a/
≥
− ≥ ≥  
+ = − ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ==  
+ = − − =    =
2 2
x 1
x 1 0 x 1
x 1 x 1 x 3x 0
x 1 (x 1) x 3x 0
x 3
b/ §K:
− ≥ ≤ 
⇔ ⇔ − ≤ ≤ 
+ ≥ ≥ − 
1 x 0 x 1
4 x 1
4 x 0 x 4
− + + = ⇔ + − + = ⇔ − + = ⇔1 x 4 x 3 5 2 (1 x)(4 x) 9 (1 x)(4 x) 2
⇔ + = ⇔ = ∪ = −2
x 3x 0 x 0 x 3
c/ §K:
− ≥ ≤ 
⇔ ⇔ − ≤ ≤ 
+ ≥ ≥ − 
1 x 0 x 1
2 x 1
2 x 0 x 2
− − + = ⇔ − = + + ⇔ − = + + + ⇔1 x 2 x 1 1 x 1 2 x 1 x 3 x 2 2 x
⇔ + = − +2 x (x 1)
⇔
≤ −

 − −+ ≤ ≤ −  − − =⇔ ⇔ ⇔ =  + = + + + − =   − + =

2 2
x 1
1 5x 1 0 x 1 1 5x
x2
22 x x 2x 1 x x 1 0
1 5
x
2
d/ − + + + + = ⇔ − + + = ⇔ − + + =2 2 2 2
x 2x 1 x 4x 4 3 (x 1) (x 2) 3 x 1 x 2 3
⇔ − + + = ⇔ − + + = − + +1 x x 2 3 1 x x 2 (1 x) (x 2)
¸p dông: + = + ⇔ ≥a b a b a.b 0⇒ ta cã: (1 - x)(x + 2) ≥ 0 ⇔ -2 ≤ x ≤ 1
e/ + + − + + − − =x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 5
§K: x ≥ 1
+ + − + + − − = ⇔ − + − + + − − − + =x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 5 x 1 4 x 1 4 x 1 6 x 1 9 5
− + + − − = ⇔ − + + − − = ⇔2 2
( x 1 2) ( x 1 3) 5 x 1 2 x 1 3 5
− + + − − = ⇔ − + + − − = − + + − −x 1 2 3 x 1 5 x 1 2 3 x 1 ( x 1 2) (3 x 1)
¸p dông: + = + ⇔ ≥a b a b a.b 0 ⇒ ta cã:
− + − − ≥ ⇔ ≤ − ≤ ⇔ ≤ ≤( x 1 2)(3 x 1) 0 2 x 1 3 5 x 10.

f/
+
+ − + − − =
x 3
x 2 x 1 x 2 x 1
2
§K: x ≥ 1
+ +
+ − + − − = ⇔ − + − + + − − − + =
x 3 x 3
x 2 x 1 x 2 x 1 x 1 2 x 1 1 x 1 2 x 1 1
2 2
+ +
⇔ − + + − − = ⇔ − + + − − =2 2 x 3 x 3
( x 1 1) ( x 1 1) x 1 1 x 1 1
2 2
(*)
NÕu:
+
− ≥ ⇔ ≥ ⇒ ⇔ − = ⇔ − = + + ⇔2x 3
x 1 1 x 2 (*) 2 x 1 16x 16 x 6x 9
2
⇔ − + = ⇔ − = ⇔ =2 2
x 10x 25 0 (x 5) 0 x 5.
NÕu:
+
− < ⇔ < ⇒ ⇔ = ⇔ =
x 3
x 1 1 x 2 (*) 2 x 1.
2
g/ + + − + − − − =x 2 3 2x 5 x 2 2x 5 2 2
§K: x ≥ 5/2.
+ + − + − − − = ⇔x 2 3 2x 5 x 2 2x 5 2 2
⇔ + + − + − − − =2x 4 6 2x 5 2x 4 2 2x 5 4
− + − + + − − − + = ⇔2x 5 6 2x 5 9 2x 5 2 2x 5 1 4
⇔ − + + − − =2 2
( 2x 5 3) ( 2x 5 1) 4
⇔ − + + − − = ⇔ − + + − − = ⇔2x 5 3 2x 5 1 4 2x 5 3 1 2x 5 4
⇔ − + + − − = − + + − −2x 5 3 1 2x 5 ( 2x 5 3) (1 2x 5)
¸p dông: + = + ⇔ ≥a b a b a.b 0⇒ ta cã:
− + − − ≥ ⇔ − − ≥ ⇔ − ≤ ⇔ ≤( 2x 5 3)(1 2x 5) 0 1 2x 5 0 2x 5 1 x 3.
VËy: 5/2 ≤ x ≤ 3
Bµi 3
a/ + = + + −2 2
3x 2x 2 x x 1 x
b/ − + + =x x
(5 2 6) (5 2 6) 10
Gi¶i
a/ + = + + −2 2
3x 2x 2 x x 1 x
§K: x2
+ x ≥ 0 ⇔ x ≥ 0 ∪ x ≤ -1

PT ⇔ + − = + ⇔ + − = +2 2 2 2
3x 3x 1 2 x x 3(x x) 1 2 x x
§Æt: + = ≥2
x x t (t 0) ⇒ ta cã: 3t2
- 2t - 1 = 0 ⇔ t = 1∪ t = -1/3 (lo¹i)
t = 1 ⇔
− ±
+ = ⇔ + − = ⇔ =2 2 1 5
x x 1 x x 1 0 x
2
b/ Do: − + =(5 2 6)(5 2 6) 1 ⇒ ®Æt: − = >x
(5 2 6) t (t 0) ⇒ PT ⇔ + =
1
t 10
t
⇔
 = −
− + = ⇔ 
= +
2 t 5 2 6
t 10t 1 0
t 5 2 6
Víi = − ⇔ − = − ⇔ =x
t 5 2 6 (5 2 6) 5 2 6 x 2
Víi −
= + ⇔ − = + ⇔ − = − ⇔ = −x x 1
t 5 2 6 (5 2 6) 5 2 6 (5 2 6) (5 2 6) x 2
VËy ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm: x = ± 2.
Bµi 4
Gi¶i ph¬ng tr×nh:
a/ + = + + −2 2
3x 2x 2 x x 1 x
b/ + + = +2
x 4x 5 2 2x 3
c/ + + = + + + −2
x 10x 21 3 x 3 2 x 7 6
d/ − + + − + =2 2
3x 12x 16 y 4y 13 5
e/ + + + + + = − −2 2 2
3x 6x 7 5x 10x 14 4 2x x
f/ ( )( )− + = − + − +2 2 27
x 3x x 2x 2 x 4x 5
2
g/ − + − = − +2
2x 3 5 2x 3x 12x 14
Gi¶i
a/ §K: x2
+ x ≥ 0 ⇔ x ≥ 0 ∪ x ≤ -1
+ = + + − ⇔ + = + +2 2 2 2
3x 2x 2 x x 1 x 3(x x) 2 x x 1
§Æt + = ≥2
x x t (t 0) ⇒ PT ⇔ 3t2
- 2t - 1 = 0 ⇔ t = 1∪ t = -1/3 (lo¹i)
− ±
= ⇔ + = ⇔ + − = ⇔ =2 2 1 5
t 1 x x 1 x x 1 0 x
2
b/ §K: 2x + 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ -3/2

+ + = + ⇔ + + + + − + + ⇔2 2
x 4x 5 2 2x 3 (x 2x 1) (2x 3) 2 2x 3 1
 + =
⇔ + + + − = ⇔ ⇔ = −
+ − =
2
2 2
2
(x 1) 0
(x 1) ( 2x 3 1) 0 x 1
( 2x 3 1) 0
.
c/ §K:
+ ≥
⇔ ≥ −
+ ≥
x 3 0
x 3
x 7 0
+ + = + + + − ⇔ + + − + − + + =2
x 10x 21 3 x 3 2 x 7 6 (x 3)(x 7) 3 x 3 2 x 7 6 0
( ) ( ) ( )( )⇔ + + − − + − = ⇔ + − + − = ⇔x 3 x 7 3 2 x 7 3 0 x 7 3 x 3 2 0
 + − = + =
⇔ ⇔ ⇔ =  + =+ − = 
x 7 3 0 x 7 9
x 2
x 3 4x 3 2 0
.
d/ Do: 3x2
-12x + 16 = 3(x - 2)2
+ 4 ≥ 4 ⇒ − + ≥2
3x 12x 16 2
y2
- 4y + 13 =(y - 2)2
+ 9 ≥ 9 ⇒
⇒ − + + − + ≥2 2
3x 12x 16 y 4y 13 5 ⇒ PT ⇔
 − = =
⇔ 
=− = 
2
2
3(x 2) 0 x 2
y 2(y 2) 0
e/ + + + + + = − − ⇔2 2 2
3x 6x 7 5x 10x 14 4 2x x
( ) ( ) ( )⇔ + + + + + = − +
2 2 2
3 x 1 4 5 x 1 9 5 x 1
Mµ: ( ) ( )+ + + + + ≥ + =
2 2
3 x 1 4 5 x 1 9 4 9 5 cßn 5 - (x+1)2
≤ 5
nªn ta cã: (x+1)2
= 0 ⇔ x = -1.
f/ Ta cã:
x2
- 2x + 2 = (x- 1)2
+ 1 > 0
x2
- 4x + 5 = (x- 2)2
+ 1 > 0
( ) ( )
( )( )
− + + − +
− + = ≥ − + − +
2 2
2 2 2
x 2x 2 x 4x 57
x 3x x 2x 2 x 4x 5
2 2
⇒ PT ⇔ x2
- 2x + 2 = x2
- 4x + 5 ⇔ x = 3/2.
g/ §K: 3/2 ≤ x ≤ 5/2
VP = 3 x2
- 12x + 14 = 3(x - 2)2
+ 2 ≥ 2, dÊu b»ng x¶y ra ⇔ x = 2.
VT2
= − + − ≤ − + − + ⇔ − + − ≤2 2 2 2
( 2x 3 5 2x) (2x 3 5 2x)(1 1 ) ( 2x 3 5 2x) 4
⇔ − + − ≤2x 3 5 2x 2, dÊu b»ng x¶y ra ⇔ 2x - 3 = 5 - 2x ⇔ x = 2.
VËy: Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm ⇔ VT = VP = 2 ⇔ x = 2.

Bµi 5
Gi¶i çc bÊt ph¬ng tr×nh sau:
a/ x - 4  < x2
+ x + 1
b/ − + ≥2
x 2x 1 1
Gi¶i
a/ NÕu: x ≥ 4 ⇒ PT ⇔ x - 4 < x2
+ x + 1 ⇔ x2
> - 5 ⇒ BPT cã v« sè nghiÖm
x ≥ 4(1)
NÕu: x < 4 ⇒ PT ⇔ 4 - x < x2
+ x + 1 ⇔ x2
+ 2x - 3 > 0 ⇔ x > 1∪ x < -3 ⇔
x < -3 ∪ 1 < x < 4 (2)
Tõ (1)
vµ (2)
⇒ x < -3 ∪ x > 1.
b/
− ≥ ≥ 
− + ≥ ⇔ − ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ⇔ − ≤ − ≤ 
2 2 x 1 1 x 2
x 2x 1 1 (x 1) 1 x 1 1
x 1 1 x 0
.
BTVN
Bµi 1 Gi¶i çc ph¬ng tr×nh: a/ x2
+ 2x - 2 x + 1= 0 b/ x - 1 - x - 2  = 1
Bµi 2Gi¶i çc ph¬ng tr×nh sau:
a/ − = −3 x 3x 5 b/ − = −2
1 2x x 1
c/ + + − = −x 3 7 x 2x 8 (x = 5, x = 6) d/ − − + + − − =x 2 x 1 x 3 4 x 1 1
e/ + + − = − −3 x 2 x 1 2 x 2 x 1 f/ + + − =x x
(7 48) (7 48) 14
g/ − + − = − +2
x 94 96 x x 190x 9027 h/ − + + = − +2
6 x x 2 x 6x 13
Hìng dÉn §K: -2 ≤ x ≤ 6
VP = x2
- 6x + 13 = (x - 3)2
+ 4 ≥ 4. dÊu b»ng x¶y ra ⇔ x = 3.
VT2
= − + + ≤ − + + + ⇔ − + + ≤2 2 2 2
( 6 x x 2) (6 x x 2)(1 1 ) ( 6 x x 2) 16
− + + ≤2
( 6 x x 2) 4. DÊu b»ng x¶y ra ⇔ − = + ⇔ =6 x x 2 x 4 .
VËy: Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm.

Chuyªn ®Ò 7
Gi¶i bµi to¸n b»ng çch lËp ph¬ng tr×nh, hÖ ph¬ng tr×nh
I/ Çc bíc ®Ó gi¶i mét bµi to¸n b»ng çch lËp ph¬ng tr×nh, HÖ ph¬ng tr×nh
B1: LËp ph¬ng tr×nh.
- Chän Èn vµ x¸c ®Þnh ®iÒu kiÖn cho Èn
- BiÓu thÞ çc sè liÖu cha biÕt qua Èn
- T×m mèi liªn hÖ gi÷a çc sè liÖu ®Ó lËp ph¬ng tr×nh hoÆc hÖ ph¬ng tr×nh
B2: Gi¶i ph¬ng tr×nh hoÆc gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh.
B3: Chän kÕt qu¶ thÝch hîp vµ tr¶ lêi.
Chó ý:
- Qu¶ng ®êng = vËn tèc x thêi gian (to¸n chuyÓn ®éng)
- S¶n lîng = n¨ng suÊt x thêi gian (to¸n n¨ng suÊt)
- Ngoµi çch chän Èn trùc tiÕp ®«i khi ta cÇn chän Èn gi¸n tiÕp ®Ó ®îc ph¬ng tr×nh ®¬n
gi¶n h¬n.
II/ Bµi tËp.
*/ To¸n chuyÓn ®éng
Bµi 1
Mét ca n« xu«i dßng tõ A ®Õn B víi vËn tèc trung b×nh lµ 30 km/h, sau ®ã l¹i ngîc tõ
B ®Õn A. thêi gian ®i xu«i Ýt h¬n thêi gian ®i ngîc 40 phót. TÝnh ®é dµi khóc s«ng
AB biÕt vËn tèc dßng níc 3 km/h vµ vËn tèc cña ca n« kh«ng ®æi.
Gi¶i
Gäi ®é dµi khóc s«ng AB lµ s (km) ⇒
thêi gian ca n« xu«i dßng lµ: s/30 (giê)
thêi gian ca n« ngîc dßng lµ: s/(30 - 6) (giê)
Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh:
− = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = ⇔ =
−
s s 2 s s 2 s s
2 2s 160 s 80(km)
30 6 30 3 24 30 3 8 10
Bµi 2
Mét ca n« dù ®Þnh ®i tõ A ®Õn B trong thêi gian ®· ®Þnh. NÕu vËn tèc ca n« t¨ng
3 km/h th× ®Õn n¬i sím 2 giê. NÕu vËn tèc ca n« gi¶m 3 km/h th× ®Õn n¬i chËm 3
giê. TÝnh chiÒu dµi khóc s«ng.
Gi¶i
Gäi vËn tèc dù ®Þnh cña ca n« lµ v (km/h) (v > 3), thêi gian dù ®Þnh lµ t (giê) (t > 2), th×
chiÒu dµi khóc s«ng AB lµ v.t (km)

NÕu vËn tèc ca n« t¨ng 3 km/h th× ®Õn n¬i sím 2 giê ⇒ ta cã: (v + 3)(y - 2) = v.t
NÕu vËn tèc ca n« gi¶m 3 km/h th× ®Õn n¬i chËm 3 giê ⇒ ta cã: (v-3)(y+3) = v.t
VËy ta cã hÖ ph¬ng tr×nh:
+ − = − + − = − + = =   
⇔ ⇔ ⇔   
− + = + − − = − = =   
(v 3)(t 2) vt vt 2v 3t 6 vt 2v 3t 6 v 15
(v 3)(t 3) vt vt 3v 3t 9 vt 3v 3t 9 t 12
VËy khóc s«ng AB dµi 12.15 = 180 (km).
Bµi 3
Mét ca n« xu«i khóc s«ng dµi 40 km råi ngîc khóc s«ng Êy hÕt 4 giê rìi. BiÕt thêi
gian ca n« xu«i 5 km b»ng thêi gian ca n« ngîc 4 km. TÝnh vËn tèc dßng níc.
Gi¶i
Gäi vËn tèc cña dßng níc lµ x (km.h) vµ vËn tè cña ca n« lµ y (km/h),(x >y >0)
Do ca n« xu«i khóc s«ng dµi 40 km råi ngîc khóc s«ng Êy hÕt 4 giê rìi ⇒ ta cã:
+ =
+ −
40 40 9
(1)
x y x y 2
Do thêi gian ca n« xu«i 5 km b»ng thêi gian ca n« ngîc 4 km ⇒ ta cã:
)2(
45
yxyx −
=
+
Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ ph¬ng trinh:
  
+ = + = =  + − + − +  
⇔ ⇔ ⇔  
  − = − = − =
  + − + − + −  
40 40 9 40 40 9 90 9
x y x y 2 x y x y 2 x y 2
5 4 50 40 5 4
0 0 0
x y x y x y x y x y x y
+ = = 
⇔ ⇔ 
− = = 
x y 20 x 18
x y 16 y 2
. VËy: vËn tèc dßng níc lµ y = 2 km/h.
Bµi 4
Mét ca n« xu«i dßng 45 km råi ngîc dßng 18 km. BiÕt r»ng thêi gian xu«i l©u h¬n
thêi gian ngîc lµ 1 giê vµ vËn tèc xu«i lín h¬n vËn tèc ngîc lµ 6 km/h. tÝnh vËn tèc
cña ca n« lóc ngîc dßng.
Gi¶i
Gäi v (km/h) lµ vËn tèc cña ca n« lóc ngîc dßng (v > 0) th× thêi gian xu«i dßng 45 km lµ 45/
(v+6) vµ thêi gian ngîc dßng 18 km lµ 18/v. Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh:
=
− = ⇔ − − = + ⇔ − + = ⇔ + =
2 2 v 1245 18
1 45v 18v 108 v 6v v 21v 108 0
v 6 v v 9
.
VËy vËn tèc ca n« lóc ngîc dßng lµ: v = 12 hoÆc v = 9.

Bµi 5*
Mét bÌ nøa tr«i tù do vµ mét ca n« cïng rêi bÕn A ®Ó xu«i dßng s«ng. Ca n« xu«i
dßng ®îc 96 km th× trë vÒ A, c¶ ®i lÉn vÒ mÊt 14 giê trªn ®êng vÒ khi cßn çch A
24 km th× ca n« gÆp bÌ nøa tr«i. T×m vËn tèc riªng cña ca n« vµ vËn tèc cña dßng
níc.
Gi¶i
Gäi vËn tèc cña ca n« lµ x (km/h) vµ vËn tèc cña dßng níc lµ y (km/h) (x>y>0)
Do Ca n« xu«i dßng ®îc 96 km th× trë vÒ A, c¶ ®i lÉn vÒ mÊt 14 giê nªn ta cã:
+ =
+ −
96 96
14 (1)
x y x y
Do trªn ®êng vÒ khi cßn çch A 24 km th× ca n« gÆp bÌ nøa tr«i nªn ta cã:
+ =
+ −
96 72 24
(2)
x y x y y
Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ ph¬ng tr×nh:

+ = + −

 + =
 + −
96 96
14(1)
x y x y
96 72 24
(2)
x y x y y
Tõ (2) ⇒ + = ⇔ + = ⇔
+ − + −
96 72 24 4 3 1
x y x y y x y x y y
⇔ − + + = − ⇔ =2 2 2 2 '
4xy 4y 3y 3xy x y x 7y (2 )
Tõ (1) ⇒ + = ⇔ + = ⇔ = −
+ − + −
2 2 '96 96 48 48
14 7 96x 7(x y ) (1)
x y x y x y x y
Thay (2'
) vµo (1'
) ta ®îc: 96y = 48y2
⇔ y = 2 ⇒ x = 14
VËy v©n tèc riªng cña ca n« lµ x = 14 vµ vËn tèc cña dßng níc lµ y = 2.
Bµi 6*
Mét chiÕc tµu thuû xu«i tõ bÕn A ®Õn bÕn B hÕt 5 giê vµ ngîc tõ bÕn B vÒ bÕn A
hÕt 7 giê. Hái mét chiÕc bÌ ®îc th¶ tr«i theo dßng níc th× sÏ ®i tõ bÕn A ®Õn bÕn B
hÕt bao l©u? BiÕt r»ng ë lît ®i còng nh ë lît vÒ, tµu thuû kh«ng dõng l¹i ë chç nµo vµ
vÉn gi÷ nguyªn vËn tèc riªng cña nã (vËn tèc riªng lµ vËn tèc khi níc yªn lÆng).
Gi¶i
Gäi kho¶ng çch AB lµ s ⇒
VËn tèc tµu thuû khi xu«i dßng lµ: vx = s/5
VËn tèc tµu thuû khi ngîc dßng lµ: vn = s/7

Ta cã:
vx= vtµu + vníc, vn = vtµu - vníc ⇒ vx- vn = 2vníc ⇔ s/5 - s/7 = 2vníc ⇒ vníc = s/35
VËy: Mét chiÕc bÌ tr«i tõ A ®Õn B hÕt 35 giê.
Bµi 7
Qu¶ng ®êng AB gåm mét ®o¹n lªn dèc dµi 4 km vµ mét ®o¹n xuèng dèc dµi 5 km.
Mét ngêi ®i xe ®¹p tõ A ®Õn B hÕt 40 phót vµ ®i tõ B vÒ A hÕt 41 phót (vËn tèc lªn
dèc lóc ®i vµ vÒ nh nhau, vËn tèc xuèng dèc lóc ®i vµ vÒ nh nhau). TÝnh vËn tèc
lóc lªn dèc vµ lóc xuèng dèc.
Gi¶i
Gäi vËn tèc lóc lªn dèc lµ x (km/h), vËn tèc lóc xuèng dèc lµ y (km/h)
Theo bµi ra ta cã hÖ ph¬ng tr×nh:
  
+ = + = =   =  
⇔ ⇔ ⇔   
=  + = + = + =
    
4 5 40 20 25 200 9 36
x y 60 x y 60 y 60 y 15
5 4 41 20 16 164 5 4 41 x 12
x y 60 x y 60 x y 60
.
VËy: vËn tèc lóc lªndèc lµ x = 12 km/h, vËn tèc lóc xuèng xèclµ y = 15 km/h.
Bµi 8
Mét ngêi ®i xe ®¹p tõ A ®Õn B gåm mét ®o¹n lªn dèc AC vµ mét ®o¹n xuèng dèc
CB. Thêi gian ®i AB lµ 2 giê, thêi gian vÒ BA lµ 1 giê 45 phót. TÝnh chiÒu dµi
qu¶ng ®êng AB? BiÕt r»ng cø lªn dèc th× ngêi ®ã ®i víi vËn tèc 10 km/h vµ cø
xuèng dèc th× ngêi ®ã ®i víi vËn tèc 15 km/h.
Gi¶i
Gäi qu¶ng ®êng AB lµ s (km) ⇒ ta cã:

+ = + +
⇔ + = ⇔ + = ⇔
 + =

AC CB
2
AC BC CB CA 15 s s 1510 15
BC CA 7 10 15 4 10 15 4
10 15 4
⇔ + = ⇔ =6s 4s 225 s 22,5km
Bµi 9
Mét ngêi ®i xe ®¹p tõ A ®Õn B ®êng dµi 78 km. Sau ®ã mét giê ngêi thø hai ®i tõ B
®Õn A. hai ngêi gÆp nhau t¹i C c¸ch B lµ 36 km. TÝnh thêi gian mçi ngêi ®· ®i tõ
lóc khëi hµnh ®Õn lóc gÆp nhau biÕt r»ng vËn tèc ngêi thø hai lín h¬n vËn tèc ngêi
thø nhÊt lµ 4 km/h.
Gi¶i
Gäi vËn tèc ngêi thø nhÊt lµ v (km/h), (v > 0) th× vËn tèc ngêi thø hai lµ v + 4.

Thêi gian ngêi thø nhÊt ®i lµ: 42/ v
Thêi gian ngêi thø hai ®i lµ: 36/(v+4)
− = ⇔ + = + ⇔ − − = ⇔ =
+
2 242 36
1 6v 168 v 4v v 2v 168 0 v 14.
v v 4
VËy: Thêi gian ngêi thø nhÊt ®i lµ: 42/ 14 = 3 giê
Thêi gian ngêi thø hai ®i lµ: 36/ 18 = 2 giê.
Bµi 10
Hai ®¬n vÞ bé ®éi ë hai ®Þa ®iÓm A vµ B c¸ch nhau 39,5 km. Lóc 6 giê ®¬nvÞ A
®i vÒ phÝa B víi vËn tèc 6 km/h. Sau ®ã 2 giê ®¬n vÞ B míi ®i vÒ phÝa A víi vËn
tèc 5 km/h. Hái hai ®¬n vÞ gÆp nhau lóc mÊy giê.
Gi¶i
Gäi qu¶ng ®êng ®¬n vÞ thø nhÊt ®i ®îc cho ®Õn khi gÆp nhau lµ s1
Gäi qu¶ng ®êng ®¬n vÞ thø hai ®i ®îc cho ®Õn khi gÆp nhau lµ s2
Thêi gian ®¬n vÞ thø nhÊt ®i ®îc cho ®Õn khi gÆp nhau lµ s1/6
Thêi gian ®¬n vÞ thø hai ®i ®îc cho ®Õn khi gÆp nhau lµ s2/5

− = = =  − =
⇔ ⇔ ⇔   
+ = + = =   + =
1 2
1 2 1 1
1 2 1 2 2
1 2
s s
5s 6s 60 11s 297 s 272
6 5
6s 6s 237 6s 6s 237 s 12,5
s s 39,5
.
VËy: Thêi gian ®¬n vÞ thø nhÊt ®i ®îc cho ®Õn khi gÆp nhau lµ 27/6 = 4,5 giê ⇒ hai ®éi
gÆp nhau lóc 10giê 30 phót.
Bµi 11*
Mét « t« t¶i ®i tõ A ®Õn B víi vËn tèc 30 km/h. Sau ®ã mét thêi gian, mét xe con
còng xuÊt ph¸t tõ A víi vËn tèc 40km/h vµ nÕu kh«ng cã g× thay ®æi th× ®uæi kÞp
«t« t¶i t¹i B. Nhng sau khi ®i ®îc nöa qu¶ng ®êng AB th× xe con t¨ng vËn tèc lªn
thµnh 45 km/h. nªn sau ®ã 1 giê th× ®uæi kÞp « t« t¶i. TÝnh qu¶ng ®êng AB
Gi¶i
Gäi qu¶ng ®êng AB lµ s (km)
Thêi gian «t« t¶i ®i b×nh thêng lµ s/30 vµ thêi gian xe con ®i b×nh thêng lµ s/40
Xe con xuÊt ph¸t sau « t« t¶i mét thêi gian lµ: − =
s s s
30 40 120
.
Qu¶ng ®êng mµ xe con ®i sau mét giê kÓ tõ lóc t¨ng tèc gÆp xe t¶i lµ 45 km
Nh vËy thêi gian mµ «t« t¶i ®· ®i tõ A cho ®Õn khi gÆp xe con lµ: +
s 45
2.30 30

Thêi gian ®ã ®óng b»ng thêi gian ®i cña xe con ®· lµ: + +
s s
1
2.40 120
.
VËy ta cã ph¬ng tr×nh:
+ + = + ⇔ + − = ⇔ =
s s s 45 3s 2s 4s 120
1 s 120
2.40 120 2.30 30 240 240 240 240
VËy: Qu¶ng ®êng AB = 120 km.
Bµi 12*
Hai ®¬n vÞ bé ®éi cïng mét lóc ®i tõ hai ®Þa ®iÓm A vµ B ®Ó gÆp nhau. §¬n vÞ
®i tõ A mçi giê ®i ®îc 4 km. §¬n vÞ ®i tõ B mçi giê ®i ®îc 5 km. Mét ngêi liªn l¹c ®i
xe ®¹p víi v©n tèc 12 km/h lªn ®êng cïng mét lóc víi c¸c ®¬n vÞ bé ®éi, b¾t ®Çu tõ
A ®Ó gÆp ®¬n vÞ ®i tõ B. Khi gÆp ®¬n vÞ nµy råi, ngêi liªn l¹c lËp tøc quay vÒ
g¨pkj ®¬n vÞ ®i tõ A vµ khi gÆp ®¬n vÞ nµy råi l¹i lËp tøcquay vÒ ®Ó gÆp ®¬n vÞ
®i tõ B vµ cønh thÕ cho ®Õn khi hai ®¬n vÞ gÆp nhau. BiÕt rÇngB dµi 27 km.
TÝnh qu¶ng ®êng ngêi liªn l¹c ®· ®i.
Gi¶i
Ta cã thêi gian mµ ngêi liªn l¹c ch¹y ®i ch¹y l¹i ®óng b»ng thêi gian mµ hai ®¬n vÞ bé ®éi
gÆp nhau. Gäi thêi gian ®ã lµ t (giê).
Qu¶ng ®êng mµ ®¬nvÞ ®i tõ A ®i ®îc lµ: 4t
Qu¶ng ®êng mµ ®¬nvÞ ®i tõ B ®i ®îc lµ: 5t
Theo bµi ra ta cã: 4t + 5t = 27 ⇔ t = 3.
VËy: Qu¶ng ®êng mµ ngêi liªn l¹c ®· ®i lµ: 12.3 = 36 km
*/ To¸n vßi níc, to¸n n¨ng suÊt ...
Bµi 13
Ngêi ta më ®ång thêi hai vßi níc cïng ch¶y vµo mét bÓ c¹n. Sau 4 giê bÓ ®Çy níc.
Hái nÕu ch¶y mét m×nh, ®Ó ®Çy bÓ mçi vßi cÇn bao nhiªu thêi gian? BiÕt r»ng l-
îng níc ch¶y cña vßi thø nhÊt trong 2 giê 20 phót b»ng lîng níc ch¶y cña vßi thø hai
trong 1 giê 45 phót.
Gi¶i
Gäi t1 lµ thêi gian vßi mét ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ ⇒ 1giê vßi mét ch¶y ®îc 1/t1 bÓ
Gäi t2 lµ thêi gian vßi hai ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ ⇒ 1giê vßi©hi ch¶y ®îc 1/t2 bÓ
⇒ ta cã: 4/t1 + 4/t2 = 1 (1)
MÆt kh¸c:
Trong 2 giê 20 phót = 7/3 giê vßi mét ch¶y ®îc 7/3t1 bÓ
Trong 1 giê 45 phót = 7/4 giê vßi hai ch¶y ®îc 7/4t2 bÓ

⇒ ta cã: 7/3t1 = 7/4t2
(2)
Tõ (1)
vµ (2)
ta cã hÖ ph¬ng tr×nh:

+ = + = = =  
⇔ ⇔ ⇔   
− = − = =   =

1 2 1 2 1 2 1 1 2 1
2 1 2 1 2
1 2
4 4
1
t t 4t 4t t t 7t t t t 28/ 3
7 7 4t 3t 0 4t 3t 0 t 7
3t 4t
VËy: Vßi mét ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ ph¶i mÊt 28/3 giê
Vßi hai ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ ph¶i mÊt 7 giê.
Bµi 14*
Ngêi ta ®Æt mét vßi níc ch¶y vµo mét bÓ níc vµ mét vßi níc ch¶y ra lng chõng bÓ.
Khi bÓ c¹n, nÕu më c¶ hai vßi th× sau 2 giê 42 phót bÓ ®Çy níc. Cßn nÕu ®ãng vßi
ch¶y ra, më vßi ch¶y vµo th× sau 1giê 30 phót ®Çy bÓ. BiÕt vßi ch¶y vµo m¹nh gÊp
2 lÇn vßi ch¶y ra.
a/ TÝnh thêi gian níc ch¶y vµo tõ lóc bÓ c¹n ®Õn lóc níc ngang chç ®Æt vßi ch¶y
ra.
b/ NÕu chiÒu cao bÓ lµ 2m th× kho¶ng c¸ch tõ chç ®Æt vßi ch¶y ra ®Õn ®¸y bÓ lµ
bao nhiªu.
Gi¶i
a/ Gäi t (giê) lµ thêi gian vßi níc ch¶y vµo tõ khi bÓ c¹n cho ®Õn khi møc níc ngang chç ®Æt
vßi ch¶y ra.
Trong 1 giê vßi ch¶y vµo ch¶y ®îc 1/1,5 = 2/3 bÓ
Trong 1 giê vßi ch¶y ra ch¶y ®îc 2/3 : 2 = 1/3 bÓ
NÕu më c¶ hai vßi th× trong 1 giê lîng níc ch¶y vµo bÓ lµ: 2/3 - 1/3 = 1/3
Nhng trong t giê ®Çu chØ cã vßi ch¶y vµo lµm viÖc nªn lîng níc ch¶y vµo bÓ lµ 2t/3 bÓ
Thêi gian c¶ hai vßi lµm viÖc lµ 2 giê 42 phót - t giê = (27/10 - t) giê lîng níc ch¶y vµo bÓ lµ
(27/10 - t)/3 bÓ
⇒ ta cã ph¬ng tr×nh:
−
−
+ = ⇔ + = ⇔ =
27
t
2t 20t 27 10t 30 310 1 t
3 3 30 30 30 10
.
VËy: thêi gian níc ch¶y vµo tõ lóc bÓ c¹n ®Õn lóc níc ngang chç ®Æt vßi ch¶y ra lµ 0,3 giê.
b/ NÕu chiÒu cao bÓ lµ 2m th× riªng vßi ch¶y vµo lµm viÖc trong 1,5 giê th× mùc níc cao 2
m ⇒ riªng vßi ch¶y vµo lµm viÖc trong 0,3 giê th× mùc níc cao 2.0,3/1,5 = 0,4 m
VËy: kho¶ng c¸ch tõ chç ®Æt vßich¶y ra ®Õn ®¸y bÓ lµ 0,4 m.
Bµi 15
Mét phßng häp cã mét sè d·y ghÕ, tæng céng 40 chç. Do ph¶i xÕp 55 chç nªn ngêi

ta kª thªm mét d·y ghÕ vµ mçi d·y xÕp thªm mét chç. Hái lóc ®Çu cã mÊy d·y ghÕ
trong phßng?
Gi¶i
Gäi sè d·y ghÕ trong phßng lóc ®Çu lµ x (x nguyªn d¬ng)⇒ mçi d·y cã 40/x chç
Lóc sau cã x + 1d·y mçi d·y cã 40/x + 1 ghÕ ⇒ ta cã ph¬ng tr×nh:
+ + = ⇔ − + = ⇔ = ∪ =240
(x 1)( 1) 55 x 14x 40 0 x 4 x 10
x
vËy lóc ®Çu trong phßng cã 4 d·y, mçi d·y 10 chç hoÆc cã 10 d·y mçi d·y 4 chç.
Bµi 16
Mét xÝ nghiÖp dù ®Þnh ®iÒu mét sè xe ®Ó chuyÓn 120 t¹ hµng. NÕu mçi xe chë
thªm 1 t¹ so víi dù ®Þnh th× sè xe gi¶m ®i 4 chiÕc. TÝnh sè xe dù ®Þnh ®iÒu
®éng.
Gi¶i
Gäi sè xe dù ®Þnh ®iÒu ®éng lµ x ( x nguyªn d¬ng) ⇒ mçi xe chë 120/x t¹. Theo bµi ra ta cã
ph¬ng tr×nh:
+ = ⇔ − − = ⇔ =
−
2120 120
1 x 4x 480 0 x 24
x x 4
VËy sè xe dù ®Þnh ®iÒu ®éng lµ 24 xe.
Bµi 17
Cã hai ®éi c«ng nh©n, mçi ®éi ph¶i söa 10 km ®êng. Thêi gian ®«i 1 lµm nhiÒu h¬n
®éi 2 lµ 1 ngµy. Trong mét ngµy, mçi ®éi lµm ®îc bao nhiªu km biÕt r»ng c¶ hai ®éi
lµm ®îc 4,5 km trong mét ngµy.
Gi¶i
Gäi qu¶ng ®êng ®éi 1 lµm trong mét ngµy lµ x (km), (0<x<4,5) th× qu¶ng ®êng ®éi 2 lµm
trong mét ngµy lµ 4,5 - x
− = ⇔ − + = ⇔ = ∪ =
−
210 10
1 x 24,5x 45 0 x 2 x 22,5
x 4,5 x
(lo¹i)
VËy: Trong mét ngµy ®éi 1 lµm®îc 2 km, ®éi 2 lµm ®îc 2,5 km.
Bµi 18
Hai m¸y cµy cïng lµm viÖc trªn mét c¸nh ®ång. NÕu c¶ hai m¸y th× 10 ngµy xong
c«ng viÖc. Nhng thùc tÕ hai m¸y chØ cïng lµm viÖc 7 ngµy ®Çu, sau ®ã m¸y thø
nhÊt ®i cµy n¬i kh¸c, m¸y thø hai lµm tiÕp 9 ngµy n÷a th× xong. Hái mçi m¸y lµm
viÖc mét m×nh th× trong bao l©u cµy xong c¶ c¸nh ®ång.
Gi¶i

Gäi x lµ sè ngµy m¸y 1 cµy mét m×nh xong c¶ çnh ®ång
y lµ sè ngµy m¸y 2 cµy mét m×nh xong c¶ çnh ®ång
Do c¶ hai m¸y cµy th× 10 ngµy xong viÖc nªn ta cã: 10/x + 10/y = 1 (1)
Nhng thùc tÕ hai m¸y chØ cïng lµm viÖc 7 ngµy ®Çu, sau ®ã m¸y thø hai lµm tiÕp 9 ngµy
n÷a th× xong nªn ta cã: 7/x + 7/y + 9/y = 1 (2)
Tõ (1)
vµ (2)
ta cã: x = 15, y = 30.
Bµi 19
Mét cöa hµng b¸n trøng trong mét sè ngµy. Ngµy thø nhÊt cöa hµng b¸n 150 qu¶ vµ
1/9 sè cßn l¹i, ngµy thø hai l¹i b¸n 200 qu¶ vµ 1/9 sè cßn l¹i, ngµy thø ba b¸n 250 qu¶
vµ 1/9 sè cßn l¹i ...
Cø b¸n nh vËy cho ®Õn hÕt th× sè trøng mçi ngµy b¸n nh nhau. Hái sè trøng cã t¸t
c¶ lµ bao nhiªu?
Gi¶i
Gi¶ sö sè trøng cã tÊt c¶ lµ x qu¶ ( x > 0)
Ngµy thø nhÊt b¸n: + −
1
150 (x 150)
9
(1)
Ngµy thø hai b¸n:
 
+ − − − − 
 
1 1
200 x 200 150 (x 150)
9 9
(2)
Do sè trøng b¸n mçi ngµy nh nhau nªn ta cã:
 
+ − = + − − − − ⇔ 
 
1 1 1
150 (x 150) 200 x 200 150 (x 150)
9 9 9
− = + − − − − ⇔ − = ⇔ =
1
x 150 450 x 200 150 (x 150) x 150 250.9 x 2400
9
V©y: Sè trøngcã tÊt c¶ lµ 2400 vµ mçi ngµy b¸n ®îc 400 qu¶.
BTVN
Bµi 1
Mét ngêi ®i xe m¸y tõ A ®Õn B vËn tèc 40 km/h. §i ®îc 15 phót ngêi ®ã gÆp «t« tõ B ®Õn
víi vËn tèc 50 km/h. ¤t« ®Õn A nghØ 15 phót råi trë vÒ B vµ gÆp ngêi ®i xe m¸y çch B 20
km. TÝnh qu¶ng ®êng AB.
Hìng dÉn
Gäi C, D lµ n¬i mµ «t« gÆp ngêi ®i xe m¸y lµn thø 1 vµ lÇn thø 2. Qu¶ng ®êng CD lµ s (km).
⇒ ta cã qu¶ng ®êng AC dµi 40.1/4 = 10 (km) thêi gian ngêi ®i xe m¸y ®i tõ C ®Õn D lµ s/40.
Trong thêi gian ®ã «t« ®i tõ C ®Õn A råi nghØ 15 phót vµ ®i ®o¹n AD víi tæng thêi gian lµ
(10+10+s)/50 + 1/4

VËy ta cã ph¬ng tr×nh:
+ + +
= + ⇔ = + ⇔ =
s 10 10 s 1 5s 80 4s 50
s 130
40 50 4 200 200 200
VËy: Qu¶ng ®êng AB dµi: 10 + 130 + 20 = 160.
Bµi 2
Hai vßi níc ch¶y vµo mét bÓ th× bÓ sÔ ®Çy trong 3 giê 20 phót. Ngêi ta cho vßi thø nhÊt
ch¶y 3 giê, vßithø hai ch¶y 2 giê th× c¶ hai vßi ch¶y ®îc 4/5 bÓ. TÝnh thêi gian mçi vßi ch¶y
mét m×nh ®Çy bÓ.
Hìng dÉn
Gäi t1 lµ thêi gian vßi mét ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ ⇒ 1giê vßi mét ch¶y ®îc 1/t1 bÓ
Gäi t2 lµ thêi gian vßi hai ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ ⇒ 1giê vßi©hi ch¶y ®îc 1/t2 bÓ
⇒ ta cã: 10/3t1 + 10/3t2 = 1 (1)
MÆt kh¸c:
Trong 3 giê vßi mét ch¶y ®îc 3/t1 bÓ
Trong 2 giê vßi hai ch¶y ®îc 2/t2 bÓ
⇒ ta cã: 3/t1 + 2/t2 = 4/5 (2)
Tõ (1)
vµ (2)
⇒ t1 = 5 giê, t2 = 10 giê.
Bµi 3
Trong mét líp häc nÕu bè trÝ 4 em ngåi mét ghÕ th× cßn thiÕu mét ghÕ. NÕu bè trÝ 3 em
ngåi mét ghÕ th× cßn thõa 2 ghÕ. TÝnh sØ sè líp vµ sè ghÕ ®ang cã trong líp.
Hìng dÉn
Gäi sØ sè líp lµ s ⇒ s/4 + 1 s/3 - 2 ⇔ s/3 - s/4 = 3 ⇔ s = 36 ⇒ sè ghÕ = 10.
Bµi 4
Mét vên h×nh ch÷ nhËt cã chu vi 450 m. NÕu gi¶m chiÒu dµi ®i 1/5 chiÒu dµi cò, t¨ng chiÒu
réng thªm 1/4 chiÒu réng cò th× chu vi h×nh ch÷ nhËt kh«ng ®æi. TÝnh chiÒu dµi vµ chiÒu
réng cña vêng.
Bµi 5
Mét s©n h×nh ch÷ nh¹t cã diÖ tÝch 720 m2
. NÕu t¨ng chiÒu dµi 6m, gi¶m chiÒu réng 4m th×
diÖn tÝch kh«ng ®æi. TÝnh c¸c kÝch thíc cña s©n.

Chuyªn ®Ò 8
HÖ thøc lîng trong tam gi¸c
I/ Lý thuyÕt
1/ §Þnh lý TalÐt trong tam gi¸c: DE // BC ⇒ = =
AD AE DE
AB AC BC
§Þnh lý TalÐt tæng qu¸t: AA1 // BB1 // CC1 ⇒ = =
1 1 1 1 1 1
AB BC AC
A B B C A C
2/ TÝnh chÊt ®êng ph©n gi¸c cña tam gi¸c:
∆ ABC cã AD lµ ®êng ph©n gi¸c ⇔ =
DB AB
DC AC
3/ Tam gi¸c ®ång gi¹ng:
∆ ABC ∼ ∆ A1B1C1 ⇔
=

=
 =
1
1
1
A A
B B
C C
hoÆc
= =
1 1 1 1 1 1
AB AC BC
A B A C B C
hoÆc
=


=

1
1 1 1 1
A A
AB AC
A B A C
NÕu: ∆ ABC ∼ ∆ A1B1C1 mµ =
1 1
AB
k
A B
th× =
1 1
AH
k
A H
vµ
∆
∆
=
1 1 1
2ABC
A B C
S
k
S
4/ HÖ thøc lîng trong tam gi¸c vu«ng:
-/ a2
= b2
+ c2
-/ c2
= ac,
, b2
= ab,
-/ h2
= b,
c,
-/ ah = bc
-/ = +2 2 2
1 1 1
h b c
II/ Bµi tËp
Bµi 1
Cho tam gi¸c ABC, ®êng th¼ng d// BC c¾t AB t¹i M, c¾t AC t¹i N. Gäi I, J lÇn lît lµ
trung ®iÓm cña MN vµ BC.
a/ Chøng minh r»ng: A, I, J th¼ng hµng.
b/ Gäi P, Q, H lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña M, N, A lªn BC, O = MP ∩ NQ, R lµ trung
®iÓm cña AH. Chøng minh r»ng: J, O, R th¼ng hµng.
Gi¶i
A
B
D
C
A
B
C C1
B1
A1
A
C
H
B
c b
a
c,
b,
h
A
B E

a/ ¸p dông ®Þnh lý TalÐt cho tam gi¸c ABC ta cã:
= ⇔ = ⇔ =
MN AN MN / 2 AN IN AN
BC AC BC/ 2 AC JC AC
⇒
A, I, J th¼ng hµng.
b/ Gäi S lµ trung ®iÓm cña PQ ⇒ I, O, S th¼ng hµng
vµ O lµ trung ®iÓm cña IS, AH // IS ⇒ theo c©u a th× ta cã J, O, R th¼ng hµng.
Bµi 2
Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, ph©n gi¸c trong AD, ph©n gi¸c ngoµi AE. Cho biÕt AB
< AC. Chøng minh c¸c hÖ thøc sau:
a/ + =
1 1 2
AB AC AD
b/ − =
1 1 2
AB AC AE
Gi¶i
VÏ DH ⊥ AB, DK ⊥ AC ⇒ DH = DK =
AD
2
a/ ¸p dông ®Þnh lý TalÐt cho ∆ABC ta cã:
= = ⇔ = ⇔ =
DK CD 1 AD 1 1 1
AB CB 2 2 AB2AB 2AD
= = ⇔ = ⇔ =
HD CD 1 AD 1 1 1
AC CB 2 2 AC2AC 2AD
⇒ + = =
1 1 2 2
AB AC AD2AD
.
C¸ch kh¸c:
Chó ý: SABC =
2
1
AB.ADsin∠(AB;AC)
a/ Ta cã: SABC =
1
2
AB.AC = SABD + SACD =
1
2
AB.ADsin450
+
1
2
AC.ADsin450
⇒
2
AB.AC = (AB+AC)AD
2
⇒
+
= ⇔ = ⇔
+
AB.AC 2AD AB AC 2
AB AC 2 AB.AC AD
⇔ + =
1 1 2
AB AC AD
b/ Ta cã: SABC =
1
2
AB.AC = SAEC - SABE =
1
2
AE.ACsin1350
-
1
2
AB.AEsin450
⇒ ⇒ AB.AC =
AE
2
(AC - AB) ⇒
−
= ⇔ = ⇔
−
AB.AC AE AC AB 2
AC AB AB.AC AE2
⇔ − =
1 1 2
AB AC AE
.
Bµi 3
B
A
CE
D
K
H
B J C
NIM
P QH
O
R
S
A

Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, ®êngcao AH, trung tuyÕn AM. Chøng minh c¸c hÖ
thøc sau:
a/
 
= − ÷
 
2
MH BM
2 1
BH AB
b/ + = +
2
2 2 2 BC
AB AC 2AM
2
Gi¶i
a/ Do tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A nªn ta cã:
= =
2 2
AB AB
BH
BC 2BM
−
= − = − =
2 2 2
AB 2BM AB
MH MB BH BM
2BM 2BM
⇒
− −  
= = = − ÷
 
22 2 2 2
2 2
MH 2BM AB 2BM 2BM AB BM
. 2 1
BH 2BM AB AB AB
.
b/ Ta cã: AB2
= AH2
+ HB2
, AC2
= AH2
+ HC2
⇒ AB2
+ AC2
= 2AH2
+ HB2
+ HC2
= 2AH2
+ (BM - HM)2
+ (MC + HM)2
= 2AH2
+ BM2
+
MC2
+2HM2
- 2BM.HM + 2MC.HM = 2(AH2
+ HM2
) + (BC/2)2
+ (BC/2)2
= 2AM2
+ BC2
/2.
Bµi 4
Cho tam gi¸c ®Òu ABC, O lµ trung ®iÓm cña BC, mét gãc xOy = 600
cã c¹nh Ox, Oy
lu«n c¾t AB, AC t¹i M vµ N.
a/ Chøng minh r»ng OB2
= BM.CN
b/ Chøng minh r»ng tia MO, NO lu«n lµ ph©n gi¸c cña gãc BMN vµ CMN
c/ Chøng minh r»ng ®êng th¼ng MN lu«n tiÕp xóc víi mét ®êng trßn cè ®Þnh khi
gãc xOy quay quanh O nhng hai c¹nh Ox, Oy vÉn c¾t hai c¹nh AB vµ AC cña tam
gi¸c ABC.
Gi¶i
a/ Ta cã: ∠B = ∠C = 600
∠O1 + ∠O2 = 1200
; ∠O1 + ∠M1 = 1200
⇒ ∠M1= ∠O2 ⇒ ∠N1 = ∠O1 ⇒ ∆BOM ∼ ∆CNO ⇒
BO/CN = BM/CO ⇔ BO.CO = BM.CN ⇔ BO2
= BM.CN
b/ Tõ (a) ta cã: = ⇔ = ⇔ =
OM BM OM ON OM ON
NO CO BM CO BM OB
MÆt kh¸c: ∠MBO = ∠MON = 600
⇔ ∆BOM ∼ ∆ONM ⇔ ∠M1 = ∠M2 ⇒ OM lµ tia ph©n gi¸c
cña ∠BMN .
c/ Do O lµ giao ®iÓm cña hai tia ph©n gi¸c cña ∠BMN vµ ∠MNC ⇒ O c¸ch ®Òu AB, MN vµ
AC.
B
A
C
MH
A
B C
N
M
O
H

Gäi H lµ h×nh chiÕu cña O lªn AB ⇒ OH = OB.sinB = =
a 3 a 3
.
2 2 4
⇒ MN lu«n tiÕp xóc víi ®-
êng trßn cè ®Þnh cã t©m O b¸n kÝnh
a 3
4
.
Bµi 5
Cho tam gi¸c ®Òu ABC, trªn c¸c c¹nh BC, AB, AC lÊy ba ®iÓm bÊt kú O, M, N sao
cho O kh¸c B, C vµ ∠MON = 600
.
Chøng minh r»ng: BM.CN ≤ BC2
/4. DÊu b»ng x¶y ra khi nµo?
Gi¶i
Ta cã: ∠BOM =1800
- ∠B - ∠BMO = 1200
- ∠BMO
Mµ: ∠BOM = 1800
- ∠MON - ∠CON = 1200
- ∠CON
⇒ ∠BMO = ∠ CON ⇒ ∆BOM ∼ ∆CNO ⇒
BM/CO = BO/CN ⇔ BM.CN = BO.CO ≤
+ 
= ÷
 
2 2
BO CO BC
2 4
Bµi 6
Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän. Gäi H lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABC, K lµ ch©n
®êng cao vÏ tõ A cña ∆ABC. Chøng minh r»ng: ≤
2
BC
KH.KA
4
.
Gi¶i
XÐt ∆AKB vµ ∆CKH cã: ∠AKB = ∠CKH = 900
∠BAK = ∠HCK (hai gãc nhän c¹nh t¬ng øng vu«ng gãc)
⇒ ∆AKB ∼ ∆CKH ⇒ =
KA KC
KB KH
⇒
⇒
+ 
= ≤ = ÷
 
2 2
KB KC BC
KA.KH KB.KC
2 4
⇒ ≤
2
BC
KH.KA
4
Bµi 7
Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A. Chøng minh r»ng:
∠
=
+
ABC AC
tg
2 AB BC
Gi¶i
a/ XÐt ∆ABD cã ∠A = 900
⇒
∠
∠ = ⇔ =
AD ABC AD
tg ABD tg
AB 2 AB
B
A
C
O
D
E
A
B C
K
H
A
B C
M
O
N

VÏ ®êng ph©n gi¸c BD ta cã:
+
= ⇔ = = =
+ +
DA BA DA DC DA DC AC
DC BC BA BC AB BC AB BC
⇒
∠
=
+
ABC AC
tg
2 AB BC
.
Bµi 8
Cho h×nh thoi ABCD. Gäi R1, R2 lÇn lît lµ b¸n kÝnh c¸c ®êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ABD
vµ ∆ABC. Gäi a lµ ®é dµi c¹nh h×nh thoi.
a/ Chøng minh r»ng: + =2 2 2
1 2
1 1 4
R R a
.
b/ TÝnh diÖn tÝch h×nh thoi theo R1 vµ R2.
Gi¶i
a/ Gi¶ sö trung trùc c¹nh AB c¾t AC t¹i O1 vµ c¾t BD t¹i O2 ⇒ O1 vµ O2 lµ t©m c¸c ®êng trßn
ngo¹i tiÕp ∆ABD vµ ∆ABC ⇒ O1A = R1 vµ O2B = R2.
∆O1AK ∼ ∆ABO ⇒ = ⇒ =1 1O A RAK a
AB AO a 2AO
(1)
∆O2BK ∼ ∆ABO ⇒ = ⇒ =2 2O A RBK a
AB BO a 2BO
(2)
Tõ (1)
vµ (2)
⇒ = =
4 4
2 2
2 2
1 2
a a
4AO , 4BO
R R
⇒ ( )
   
+ = + ⇔ = + ⇔ + = ÷  ÷
   
2 2 4 2 4
2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
1 1 1 1 1 1 4
4 AO BO a 4a a
R R R R R R a
.
b/ Ta cã: SABCD = 2OA.OB
∆AOB ∼ ∆AKO2 ⇒ = ⇒ =
2
2 2
OA AB AB
OA
AK AO 2R
∆AOB ∼ ∆O1KB ⇒ = ⇒ =
2
1 1
OB AB AB
OB
KB O B 2R
⇒ =
4
1 2
AB
OA.OB
4R R
XÐt ∆AOB ta cã: AB2
= OA2
+ OB2
 
⇔ = + = + ÷
 
4 4
2 4
2 2 2 2
2 1 1 2
AB AB 1 1
AB AB
4R 4R 4R 4R
+
⇒ = ⇔ =
+
2 2 2 2
2 21 2 1 2
2 2 2 2
1 2 1 2
(R R ) 4R R
1 AB AB
4R R R R
.
VËy: = ⇒ =
+ +
4 4 3 3
1 2 1 2
ABCD2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
16R R 8R R1
OA.OB . S
4R R (R R ) (R R )
.
C
B
A
D
K
O2
O1
O
a

Bµi 9
Chøng minh r»ng trong mét tam gi¸c bÊt kú ta cã:
+ − +
< <a
b c a b c
m
2 2
Gi¶i
XÐt ∆ABC cã: AM > AB - BM
XÐt ∆ACM cã: AM > AC - MC
Céng tõng vÕ ta cã: 2AM > AB + AC - BC ⇔
+ −
>a
b c a
m
2
.
Trªn tia ®èi cña tia MA lÊy ®iÓm D sao cho MA = MD ⇒ AB = CD
XÐt ∆ACD cã: AD < AC + CD = AC + AB ⇒ 2AM < AC + AB ⇒
+
<a
b c
m
2
.
Bµi 10
CMR trong tø gi¸c låi ABCD ta cã bÊt ®¼ng thøc: AB + CD < AC + BD
Gi¶i
Gäi O lµ giao ®iÓm cña hai ®êng chÐo ⇒ ta cã:
AC + BD = (AO + OC) + (BO + OD) =
= (OA + OB) + (OC + OD)⇒ AC + BD > AB + CD.
BTVN
Bµi 1
Cho tam gi¸c ABC, kÎ ®êng cao AH, gäi C1 lµ ®iÓm ®èi xøng cña H qua AB, B1 lµ ®iÓm ®èi
xøng cña H qua AC. Gäi giao ®iÓm cña B1C1 víi AC vµ AB lµ I vµ K. Chøng minh r»ng ®êng
BI, CK lµ ®êng cao cña tam gi¸c ABC.
Bµi 2
Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A vµ H lµ trung ®iÓm cña c¹nh BC. Gäi I lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc
cña H lªn c¹nh AC vµ O lµ trung ®iÓm cña HI. Chøng minh r»ng hai tam gi¸c BIC vµ AOH
®ång d¹ng víi nhau vµ AO vu«ng gãc víi BI.
A
D
CB
M
B
D
CA
O

Chuyªn ®Ò 9
HÖ thøc lîng trong ®êng trßn
I/ Lý ThuyÕt
1/ §Þnh nghÜa vµ sù x¸c ®Þnh ®êng trßn
*/ §N. TËp hîp çc ®iÓm çch ®iÓm O cho tríc mét kho¶ng kh«ng ®æi R > 0 gäi lµ ®êng rßn
t©m O b¸n kÝnh R, ký hiÖu: (O; R).
*/ Cho (O; R) vµ ®iÓm M bÊt kú. §Æt d = OM ⇒ ta cã:
d < R ⇔ M ë bªn trong (O; R)
d = R ⇔ M thuéc (O; R)
d > R ⇔ M ë bªn ngoµi (O; R)
*/ H×nh trßn lµ t¹p hîp çc ®iÓm ë bªn trong mét ®êng trßn vµ çc ®iÓmcña chÝnh ®êng trßn
®ã.
M yhuéc h×nh trßn (O; R) ⇔ d ≤ R
*/ Cung trßn lµ mét phÇn cña ®êng trßn ®îc giíi h¹n bëi hai ®iÓm gäi lµ mót cña cung.
- §o¹n th¼ng nèi hai mót cña cung gäi lµ d©y tr¬ng cung ®ã
- D©y ®i qua t©m gäi lµ ®êng kÝnh
- §êng kÝnh lµ d©y cung lín nhÊt cña ®êng trßn
*/ Quü tÝch çc ®iÓm M nh×n ®o¹n AB cho tríc díi mét gãc vu«ng lµ ®êng trßn t©m I b¸n
kÝnh AB/2, ký hiÖu (I; AB/2).
2/ VÞ trÝ t¬ng ®èi gi÷a ®êng th¼ng vµ ®êng trßn.
Cho ®êng trßn (O; R) vµ ®êng th¼ng ∆, gäi H lµ h×nh chiÕu cña O lªn ®êng th¼ng ∆ ⇒ ta
cã:
OH > R ⇔ ∆ kh«ng c¾t ®êng trßn (O; R)
OH = R ⇔ ∆ c¾t ®êng trßn (O; R) t¹i ®iÓm H, ∆ gäi lµ tiÕp tuyÕn, H gäi lµ tiÕp ®iÓm
OH < R ⇔ ∆ c¾t ®êng trßn (O; R) t¹i 2 ®iÓm.
3/ VÞ trÝ t¬ng ®èi gi÷a hai ®êng trßn.
Cho hai ®êng trßn (O; R) vµ (O'; R')
OO' > R + R' ⇔ Hai ®êng trßn ngoµi nhau
OO' = R + R' ⇔ Hai ®êng trßn tiÕp xóc ngoµi
R - R'< OO' < R + R' ⇔ Hai ®êng trßn c¾t nhau
R - R'= OO' ⇔ Hai ®êng trßn tiÕp xóc trong
R - R'> OO' ⇔ Hai ®êng trßn ®ùng nhau.

4/ TiÕp tuyÕn cña ®êng trßn, d©y cung cña ®êng trßn
*/ Qua mét ®iÓm n»m trªn ®êng trßn cã mét vµ chØ mét tiÕp tuyÕn víi ®êng trßn ®ã ®êng
th¼ng nµy vu«ng gãc víi ®êng th¼ng nãi t©m víi tiÕp ®iÓm.
*/ Qua mét ®iÓm n»m ngoµi ®êng trßn cã hai tiÕp tuyÕn víi ®êng trßn ®ã, kho¶ng çch tõ
®iÓm ®ã tíi çc tiÕp ®iÓm th× b»ng nhau.
*/ Trong mét ®êng trßn hai d©y cung b»ng nhau ⇔ nã çch ®Òu t©m.
*/ Trong mét ®êng trßn hai d©y cung kh¸c nhau, d©y lín h¬n ⇔ nã gÇn t©m h¬n.
II/ Bµi tËp
Bµi 1
Cho tam gi¸c ABC vµ M lµ mét ®iÓm thuéc ®¸y BC vÏ MD ⊥ AB vµ ME ⊥ AC. Trªn tia
BD vµ CE lÇn lît lÊy çc ®iÓm I, K sao cho D lµ trung ®iÓm cña BI, E lµ trung ®iÓm
cña CK.
a/ Chøng minh r»ng bèn ®iÓm A, D, M, E cïng thuéc mét ®êng trßn.
b/ Víi vÞ trÝ nµo cña M trªn ®¸y BC th× 4 ®iÓm B, I, K ,C cïng thuéc mét ®êng trßn.
Gi¶i
a/ Ta cã D vµ E nh×n®o¹n AM díi mét gãc
vu«ng nªn bèn ®iÓm A, D, M, E cïng thuéc
mét ®êng trßn ®êng kÝnh AM.
b/ MD lµ trung trùc cña BI nªn MB = MI
ME lµ trung trùc cña CK nªn MC = MK
§Ó 4 ®iÓm B, I, K ,C cïng thuéc mét ®êng
trßn th× ph¶i cã MB = MI = MK = MC ⇒ M lµ trung ®iÓm cña BC.
Bµi 2
Cho h×nh vu«ng ABCD, gäi O lµ giao ®iÓm cña hai ®êng chÐo AC vµ BD, M lµ
trung ®iÓm cña ®o¹ OA, N lµ trung ®iÓm cña c¹nh BC. Chøng minh r»ng bèn ®iÓm
C, M, N, D thuéc mét ®êng trßn vµ DN > MC.
Gi¶i
Gäi H lµ trung ®iÓm cña OC ⇒ ta cã NH ⊥OC
NH lµ ®êng trung b×nh cña ∆OBC ⇒ NH =
1
2
OB
vµ NH = OM =
1
2
OA (v× OA = OB).
VËy ∆OMD = ∆HNM (v× MH = OD =
1
2
AC
A
B C
M
E
K
I
D
A
D C
N
B
M
H
O

∠O = ∠H = 900
, NH = OM) ⇒ ∠HMN = ∠ODM ⇒ ∠DMN = 900
⇒ C, M nh×n DN díi mét gãc
vu«ng ⇒ bèn ®iÓm C, M, N, D thuéc mét ®êng trßn ®êng kÝnh DN.
DN > MC v× DN lµ ®êng kÝnh cßn MC lµ d©y cung cña ®êng trßn ®i qua bèn ®iÓm
C, M, N, D.
Bµi 3
Cho ®êng trßn t©m O ®êng kÝnh AB, ®iÓm P di ®éng trªn ®êng trßn sao cho PA <
PB. Dùng h×nh vu«ng APQR phÝa trong ®êng trßn, tia PR c¾t ®êng trßn t¹i C.
a/ Chøng minh r»ng cung AC = cung CB
b/ Chøng minh r»ng C lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AQB
c/ Gäi O'
lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c APB. Chøng minh r»ng O'
còng thuéc ®-
êng trßn qua A, Q, B.
Gi¶i
a/ Ta cã: ∠ABC = ∠APC = 450
( cïng ch¾n cung AC )
⇒ ∆ACB vu«ng t¹i C cã ∠B = 450
⇒ ∆ACB c©n t¹i C
⇒ CA = CB ⇒ cung AC = cung CB.
b/ Ta cã: PC lµ ®êng trung trùc cña AQ ⇒ CA = CQ
kÕt hîp víi c©u (a) ⇒ CA = CQ = CB ⇒ C lµ t©m
®êng trßn ngo¹i tiÕp ∆AQB.
c/ O' lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp ∆APB ⇒ O' thuéc ®êng ph©n gi¸c PC, vÏ ®êng ph©n gi¸c BO'
⇒ ta cã: ∠BO'C = ∠O'BP + ∠O'PB (gãc ngoµi cña ∆ b»ng tæng hai gãc trong kh«ng kÒ víi
nã) mµ ∠O'BP = ∠O'BA, ∠O'PB = ∠ABC = 450
⇒ ∠BO'C = ∠O'BA + ∠ABC = ∠O'BC ⇒
∆O'CB lµ tam gi¸c c©n ⇒ CB = CO' ⇒ O' thuéc ®êng trßn ®i qua A, Q, B.
Bµi 4
Cho nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AB. Trªn nöa mÆt ph¼ng cã bê lµ ®êng th¼ng AB
chøa nöa ®êng trßn ngêi ta kÎ tiÕp tuyÕn Ax vµ mét d©y AC bÊt kú, tia ph©n gi¸c
gãc CAx c¾t nöa ®êng trßn t¹i D. C¸c tia AD vµ BC c¾t nhau t¹i E.
a/ Chøng minh r»ng ∆ABE c©n t¹i B
b/ C¸c d©y AC vµ BD c¾t nhau t¹i K. Chøng minh r»ng EK ⊥ AB
c/ Tia BD c¾t tia Ax t¹i F. Chøng minh r»ng tø gi¸c AKEF lµ h×nh thoi
d/ Cho ∠BAC = 300
. Chøng minh r»ng AK = 2KC
Gi¶i
a/ Ta cã: ∆ABE c©n t¹i B tõ ∠A1 =∠A2
A
P
R
C
B
QO'

⇒ cung AD = cung DC ⇒ ∠B1 = ∠B2
⇒ ∆ABE c©n t¹i E.
b/ ∆ABC cã hai ®êng cao AC vµ BD c¾t
nhau t¹i K ⇒ K lµ trùc t©m ⇒ EK ⊥ AB.
c/ Ta cã:
FK ⊥ AE, ∆AFK c©n t¹i A ⇒ AF = AC.
FB lµ ®êng trung trùc cña AE ⇒
AK = KE, EF = FA ⇒ AKEF lµ h×nh thoi.
d/ ∠BAC = 300
⇒ ∠ABC = 600
⇒ ∆ABE ®Òu ⇒ K lµ träng t©m ⇒ AK = 2KC.
C2: ∆ABC cã BK lµ ®êng ph©n gi¸c ⇒ = = ∠ = ⇒ =
KC BC 1
sin BAC AK 2KC
KA BA 2
Bµi 5
Tõ mét ®iÓm ë ngoµi ®êng trßn (O; R) vÏ hai tiÕp tuyÕn AB, AC vµ c¸t tuyÕn AMN
cña ®êng trßn ®ã, gäi I lµ trung ®iÓm cña MN.
a/ Chøng minh r»ng 5 ®iÓm A, B, I, O, C thuéc mét ®êng trßn.
b/ NÕu AB = OB th× tø gi¸c ABOC lµ h×nh g×? TÝnh c¹nh BC.
c/ TÝnh diÖn tÝch h×nh trßn vµ ®é dµi ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c ABOC theo R.
Gi¶i
a/ ta cã: B, I, C nh×n AO díi mét gãc vu«ng ⇒ 5 ®iÓm A, B, I, O,C thuéc mét ®êng trßn.
b/ NÕu AB = OB th× AB = AC = OB = OC ⇒ tø gi¸c ABOC lµ h×nh thoi.
MÆt kh¸c: ∠ABO = 900
⇒ ABOC lµ h×nh
vu«ng ⇒ BC = OB 2 =R 2 .
c/
  π 
= π = π = ÷ ÷  ÷   
22 2
1 2 R
S BC R
2 2 2
;
 
= π = π ÷
 
2
1
C 2 BC R 2
2
.
Bµi 6
Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, gäi I lµ trung ®iÓm cña BC. VÏ hai ®êng trßn (O) vµ
(O1) qua A sao cho chóng tiÕp xóc BC t¹i B vµ C.
a/ Chøng minh r»ng IA lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai ®êng trßn trªn vµ hai ®êng trßn
nµy tiÕp xóc víi nhau.
b/ CMR: ∠OIO1 = 900
vµ ®êng trßn ngo¹i tiÕp ∆OIO1 tiÕp xóc víi c¹nh BC.
Gi¶i
a/ ∆IAO = ∆ICO (v× OA = OC, IO chung, IA = IC = BC/2).
E
F
A B
C
K
D
1
2 2
1
A
B
O
N
C
I
M

Do: IA = IC = BC/2 mµ IC lµ tiÕp tuyÕn
⇒ IA còng lµ tiÕp tuyÕn cña (O).
T¬ng tù: IA còng lµ tiÕp tuyÕn cña (O1)
⇒ IA lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai ®êng trßn
trªn vµ hai ®êng trßn nµy tiÕp xóc víi nhau.
b/ Ta cã: OA = OC, IA = IC ⇒ O thuéc ®êng trung trùc AC ⇒ IO ⊥ AC
O1A = O1B, IA = IB ⇒ O1 thuéc ®êng trung trùc AB ⇒ IO1 ⊥ AB
mµ ∠BAC = 900
⇒ ∠OIO1 = 900
.
Bµi 7
Cho nöa ®êng trßn (O) ®êng kÝnh CD = 2R. Dùng Cx vµ Dy vu«ng gãc víi CD tõ
®iÓm E bÊt kú trªn nöa ®êng trßn dùng tiÕp tuyÕn víi ®êng trßn c¾t Cx t¹i P vµ c¾t
Dy t¹i Q
a/ Chøng minh r»ng ∆POQ vu«ng, ∆POQ ∼ ∆CED, tÝnh tÝch CP.PQ theo R
b/ Khi PC = R/2 h·y chøng minh tØ sè diÖn tÝch cña ∆POQ/∆CED = 25/16
Gi¶i
a/ Ta cã: QE = QD, OE = OD ⇒ QO lµ ®êng trung trùc cña DE ⇒ QO ⊥ DE ⇒ PE = PC, OE
= OC ⇒ PO lµ ®êng trung trùc cña CE ⇒ PO ⊥ CE mµ ∠CED = 900
⇒ ∠POQ = 900
⇒
∆POQ vu«ng.
Ta cã: ∠ODE = ∠OED = ∠EQO ⇒
∠ECD = ∠OPQ ⇒ ∆POQ ∼ ∆CED ⇒
CP.DQ = PE.QE = OE2
= R2
.
b/ Khi = ⇒ = =
2
R R
PC DQ 2R
2 R/ 2
⇒ = ⇒ = ⇒ =
R 5 5R
PO QO R 5 PQ
2 2
. Do ∆POQ ∼ ∆CED ⇒ tØ sè diÖn tÝch b»ng b×nh ph-
¬ng tØ sè ®ång d¹ng
∆
∆
   
⇒ = = = ÷  ÷
   
2 2
POQ
CED
S PQ 5R/ 2 25
S CD 2R 16
.
Bµi 8
Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp ®êng trßn (O) cã ∠A = 450
, BC = a. VÏ c¸c ®êng cao BB1
vµ CC1, gäi O1 lµ ®iÓm ®èi xøng víi O qua ®êng th¼ng B1C1.
a/ Chøng minh r»ng tø gi¸c AB1O1C1 néi tiÕp ®êng trßn
A
B CI
O
O1
Q
P
C
DO
E
y
x
I

b/ TÝnh B1C1 theo a
Gi¶i
a/ Ta cã: ∠BOC = 2∠BAC = 900
⇒ ∠BC1C = ∠BOC = ∠BB1C = 900
⇒ 5 ®iÓm B, C1, O, B1,
C ∈ ®êng trßn
⇒ ∠C1OB1 = 1800
- ∠C1CB1 = 1800
- 450
= 1350
⇒ ∠C1O1B1 = ∠C1OB1 = 135
⇒ Tø gi¸c AB1O1C1 cã ∠C1O1B1 + ∠B1AC1 = 1800
⇒ Tø gi¸c AB1O1C1 néi tiÕp ®êng trßn.
b/ ∆ABB1 vu«ng c©n t¹i B1 ⇒ B1A = B1B mµ OB = OA ⇒ OB1 lµ ®êng trung trùc cña AB ⇒
OB1 ⊥ AB ⇒ OB1 // CC1 ⇒ tø gi¸c CC1OB1 lµ h×nh thang mµ néi tiÕp ®îc ®êng trßn ⇒ tø gi¸c
CC1OB1 lµ h×nh thang c©n ⇒ B1C1 = OC.
XÐt ∆BOC vu«ng c©n t¹i O ⇒ BC 2
= OB2
+ OC 2
⇒ OC = ⇒ =1 1
a a
B C
2 2
.
Bµi 9
Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A cã ®êng cao AH. Gäi I, J, K lÇn lît lµ t©m ®êng trßn
néi tiÕp çc tam gi¸c ABC, AHB, AHC.
a/ Chøng minh r»ng AI ⊥ JK
b/ Chøng minh r»ng tø gi¸c BJKC néi tiÕp ®êng trßn
Gi¶i
a/ XÐt ∆AEC, gãc ngoµi ∠AEB = ∠EAC + ∠ACB
Ta cã: ∠BAE = ∠BAH + ∠EAH. Mµ ∠EAC = ∠EAH, ∠ACB = ∠BAH ⇒ ∠AEB = ∠BAE ⇒
∆ABE c©n t¹i B cã BJ lµ tia ph©n gi¸c ⇒ BJ ⊥ AE.
T¬ng tù ta cã: CI ⊥ AD.
XÐt ∆AJK ta cã I lµ trùc t©m ⇒ AI ⊥JK
b/ Céng gãc ⇒ ∠IKJ = ∠CBI ⇒ ∠CBJ + ∠JKC = 1800
⇒ tø gi¸c BJKC néi tiÕp.
Bµi 10
Cho ®êng trßn (O1; R1) vµ ®êng trßn (O2; R2) tiÕp xóc ngoµi nhau t¹i D, tõ mét ®iÓm
A thuéc (O1; R1) kÎ tiÕp tuyÕn víi (O1; R1) c¾t ®êng trßn (O2; R2) t¹i B vµ C. Chøng
minh r»ng A çch ®Òu çc ®êng th¼ng BD vµ CD.
Gi¶i
Gi¶ sö tiÕp tuyÕn t¹i D cña
hai ®êng trßn c¾t AB t¹i F
A
B
C
B1
C1
O
O1
A
B CED H
K
I
J
D
E
C
O2
O1
A
F
B
C

⇒ ∠BCD = ∠BDF (cïng ch¾n cung BD)
MÆt kh¸c: FA = FD ⇒ ∠FDA = ∠FAD
⇒ ∠BDA = ∠BDF + ∠FDA = ∠BDF +
+ ∠BAD = ∠BCD + ∠BAD = ∠ADE
⇒ DA lµ tia ph©n gi¸c cña ∠BDE ⇒ A c¸ch ®Òu BD vµ CD.

[Www.toan trunghoccoso.toancapba.net] các pp giai toan lop 9

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (18)

Viewers also liked

Viewers also liked (7)

Similar to [Www.toan trunghoccoso.toancapba.net] các pp giai toan lop 9

Similar to [Www.toan trunghoccoso.toancapba.net] các pp giai toan lop 9 (20)

More from Tam Vu Minh

More from Tam Vu Minh (20)

[Www.toan trunghoccoso.toancapba.net] các pp giai toan lop 9