Cm bat dang thuc bang pp tiep tuyen

1. Chuyên ñ s dng tip tuyn ñ tìm li gii
trong ch ng minh b
t ñng th c
S DNG TIÊP TUYÊN ðE TÌM LI GII TRONG
CHNG MINH BÂT ðANG THC
Ta biêt tiêp tuyên ca ñô th hàm sô y=f(x) ti mi ñiem bât kì trên khong lôi luôn nam
phía trên ñô th và tiêp tuyên ti mi ñiem trên khong lõm luôn nam phía dưi ñô th,
còn ti ñiem uôn ca ñô th thì tiêp tuyên xuyên qua nên ta có nhan xét sau.
Nhan xét. Nêu y=ax+b là tiêp tuyên ca ñô th hàm sô y = f (x) ti ñiem A(x0; y0)
( A không phi là ñiem uôn), khi ñó tôn ti mot khong (a;b) cha ñiem x0 sao cho
f (x) ³ ax + b xÎ(a ;b ) hoac f (x) £ ax + b xÎ(a ;b ) . ðang thc xy ra khi x=x0
T ñây ta có: + + + ³ + + + + ( 1) ( 2 ) ... ( ) ( 1 2 ... ) f x f x f xn a x x xn nb (hoac
f ( x 1) + f ( x ) + ... + f ( xn ) £ a ( x + x + ... + xn ) + 3 n ) (*) vi mi x 1, x Î a 2 1 2 2 ,..., xn ( ; b
) và ñang thc xy ra khi x1 = x2 = ... = xn = x0 .
n
Nêu các biên
Σ =
1
x coù toång x k (k khoâng ñoåi)
thì (*) ñưc viêt li dưi dng sau
i i
=
i
+ + + ³ + ( 1) ( 2 ) ... ( ) f x f x f xn ak nb ( hoac + + + £ + ( 1) ( 2 ) ... ( ) f x f x f xn ak nb )(**).
Bây gi ta van dng nhan xét này ñe chng minh mot sô bât ñang thc.
Bài toán 1. Cho a,b,cÎR và a + b + c = 6 . Cmr : a4 + b4 + c4 ³ 2(a3 + b3 + c3)
Nhan xét. Ta thây ñang thc xy ra khi a = b = c = 2 và Bñt cân chng minh có dng
(a4 - 2a3 )+ (b4 - 2b3 )+ (c4 - 2c3 )³ 0Û f (a) + f (b) + f (c) ³ 0
Trong ñó f (x) = x4 - 2x3 . Ta có tiêp tuyên ca ñô th hàm sô ti y = f (x) ñiem có
hoành ño x = 2 là: y = 8x -16 . Ta hy vng có s ñánh giá: f (x) ³ 8x -16 vôùi xÎR
Ta có: f (x) - (8x -16) = x4 - 2x3 - 8x +16 = (x - 2)2(x2 - 2x + 4) ³ 0 x . Vay ta có li
gii như sau.
Li gi

2. i. Ta có: a4 - 2a3 - (8a -16) = (a - 2)2 (a2 - 2a + 4) ³ 0 aÎR
⇒a4 - 2a3 ³ 8a -16 aÎR. Tương t ta cũng có
b4 - 2b3 ³ 8b -16 ; c4 - 2c3 ³ 8c -16 . Cong 3 bât ñang thc này li vi nhau ta có
a4 + b4 + c4 - 2(a3 + b3 + c3) ³ 8(a + b + c) - 48 = 0 (ñpcm).
Chú ý. Vì y = 8x -16 là tiêp tuyên ca ñô th hàm sô y=x4-2x3 ti ñiem có hoành ño
x=2 nên ta có s phân tích f(x)-(8x-16)=(x-2)kg(x) vi k ³2 và g(2)≠ 0.
GV: Nguyeãn GGGVVV::: NNNggguuuyyyeeeããnnãn TTTTaaaaááttáátt TTTThhhhuuuu NNNNaaaaêêmmêêmm hhhhooooïïccïïcc 2222000000005555 – 2222000000006666 1

3. Chuyên ñ s dng tip tuyn ñ tìm li gii
trong ch ng minh b
t ñng th c
Bài toán 2. Cho
3
a b c
a b c
a , b ,
c ³ - và a + b + c =1. Cmr: 2 2 2
4
9
+ + £
+ + +
1 1 1 10
.
( Vô ñch Toán Ba Lan 1996)
Nhan xét. Ta thây ñang thc xy ra khi
1
3
a = b = c = và Bñt ñã cho có dng
9
f ( a ) + f ( b ) + f ( c )
£ trong ñó ( )
2 10
1
x
f x
x
=
+
vi
3 5
[- ; ]
4 2
xÎ . Tiêp tuyên ca ñô th
hàm sô y = f (x) ti ñiem có hoành ño
1
3
x = là :
y = +
36 x
3
50
Xét
2
+ - = + - = - + ³ Î
36 x 3 36 x 3 x (3 x 1) (4 x
3) 3 5
( ) 0 [- ; ]
f x x
2 2
+ +
50 50 x 1 50( x
1) 4 2
Vay ta có li gii như sau .
Li gi

4. i. Ta có
2
+ - = - + ³ ³ - ⇒ £ + ³ -
36 a 3 a (3 a 1) (4 a 3) 3 a 36 a
3 3
0
a a
2 2 2
+ + +
50 a 1 50( a 1) 4 a
1 50 4
Vay : + + £ + + + =
a b c a b c
a b c
2 + 2 + 2 +
36( ) 9 9
1 1 1 50 10
.
ðây là mot bài toán hay và tương ñôi khó, thông thưng chúng ta ch gap nhng bât
ñang thc ñôi xng ba biên vi ñiêu kien các biên không âm. T li gii trên ta thây
ñiêu kien ca bài toán là rât chat và cân thiêt.
Trong hai bài toán trên Bñt cân chng minh là các Bñt có ñiêu kien và ñêu có dng (**).
Vay dâu hieu ñe chúng ta có liên tư!ng ñên phương pháp này là bât ñang thc cân
chng minh có dng (*) hoac (**), tuy nhiên có nhiêu trưng hp Bñr cân chng minh
chưa xuât rien dng (*) hay (**) nhưng qua mot sô bưc biên ñoi hoac ñánh giá ta
chuyen Bñt ñã cho vê (*) hay (**). Ta xét bài toán sau.
Bài toán 3. Cho a, b, c0 và a+b+c=3. Cmr: a + b + c ³ ab + bc + ca .
(Vô ñch Toán Nga 2002)
Nhan xét. Mi ñâu nhìn vào Bñt ta chưa thây xuât hien dng (*) hay (**), tuy nhiên
chúng ta lưu ý ñên ñang thc (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+ca thì Bñt ñã cho có the viêt
li như sau : a2 + 2 a + b2 + 2 b + c2 + 2 c ³ 9Û f (a) + f (b) + f (c) ³ 9 trong ñó
f (x) = x2 + 2 x vi 0x 3. Ta có ñang thc xy ra khi a=b=c=1 và tiêp tuyên ca ñô
th hàm sô y= f (x) = x2 + 2 x ti ñiem có hoành ño x=1 là y=3x.
Xét: f (x) - 3x = ( x -1)2 (x + 2 x) ³ 0 xÎ(0;3) . Vay ta có li gii như sau.
GV: Nguyeãn GGGVVV::: NNNggguuuyyyeeeããnnãn TTTTaaaaááttáátt TTTThhhhuuuu NNNNaaaaêêmmêêmm hhhhooooïïccïïcc 2222000000005555 – 2222000000006666 2

5. Chuyên ñ s dng tip tuyn ñ tìm li gii
trong ch ng minh b
t ñng th c
Li gii. Bñt ñã cho tương ñương vi: a2 + 2 a + b2 + 2 b + c2 + 2 c ³ 9
Ta có: a2 + 2 a - 3a = ( a -1)2 (a + 2 a) ³ 0⇒a2+2 a ³ 3a .
Tương t: b2 + 2 b ³ 3b; c2+2 c ³ 3c . Cong ba Bñt trên ta có ñpcm.
Chú ý:Vi bài toán trên ta có the s# dng BðT Cô si ñe chng minh
Bài toán 4. Cho các sô thc a,b,c0 tho mãn a+b+c=1. Cmr :
9
a b c
bc ac ab
+ + ³
+ + +
1 1 1 10
.
bc ca ab
£ + = - £ + = - £ + = -
1 Li gii. b c 2 a 2 a c 2 1 b 2 b a 2 1
c
Ta có ( ) ( ) ; ( ) ( ) ; ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2
4 4 4
a + b + c ³ a + b +
c
bc ac ab a a b b c c
nên 2 2 2
+ + + - + - + - +
1 1 1 2 5 2 5 2 5
(Nhan xét : ðang thc xy ra khi a=b=c=1/3 và tiêp tuyên ca ñô th hàm sô
2
4
= ( )
=
x
- +
2 5
y f x
x x
ti ñiem có hoành ño x=1/3 là :
y
= - )
99 x
3
100
Ta có :
2
- - = - - ³ Î
4 x 99 x 3 (3 x 1) (15 11 x
)
2 2
0 (0;1)
- + - +
2 5 100 100( 2 5)
x
x x x x
+ + ³ + + - =
4 a 4 b 4 c 99( a b c
) 9 9
2 5 2 5 2 5 100 10
Suy ra : 2 2 2
- + - + - +
a a b b c c
ñpcm.
Trong nhiêu trưng hp, Bñt thc cân chng minh là thuân nhât khi ñó ta có the chuan
hóa Bñt và chuyen Bñt cân chng minh vê dng (*) hoac (**). Các bài toán sau se cho
chúng ta thây rõ vân ñê này.
Bài toán 5. Cho a,b,c là ño dài ba cnh tam giác. Cmr.
  + + + ³  + +  + +  + + + 
1 1 1 9 1 1 1
4
a b c a b c a b b c c a
.
Nhan xét. Ta thây Bñt cân chng minh chưa có dng (*) hay (**), tuy nhiên vì Bñt cân
chng minh là thuân nhât nên ta có the gi s# a + b + c =1 mà không làm mât tính tong
quát ca bài toán.
Khi ñó Bât ñang thc ñã cho tr! thành :
4 ( - 1 ) + 4 - 1 + 4 - 1
( ) ( ) £
9
1 a a 1 b b 1 c c
- - -
GV: Nguyeãn GGGVVV::: NNNggguuuyyyeeeããnnãn TTTTaaaaááttáátt TTTThhhhuuuu NNNNaaaaêêmmêêmm hhhhooooïïccïïcc 2222000000005555 – 2222000000006666 3

6. Chuyên ñ s dng tip tuyn ñ tìm li gii
trong ch ng minh b
t ñng th c
= -
5 x
1
Û f (a) + f (b) + f (c) £ 9 trong ñó f ( x
)
2
-
x x
. Bât ñang thc ñã cho xy ra dâu “=”
khi
1
3
a = b = c = . Tiêp tuyên ca ñô th hàm sô y=f(x) ti ñiem có hoành ño
1
3
x = là :
y =18x - 3.Phi chăng ta có ñánh giá:
2
- - = (3 x - 1) (2 x
- 1)
£
( ) (18 3) 0
2
f x x
-
x x
(1)?
Vì a,b,c là ño dài ba cnh tam giác th'a mãn a + b + c =1, gi s# a=max{a,b,c} khi ñó
1 = a + b + c 1
2
a ⇒ a suy ra
2
1
a , b , cÎ (0; )
. Do ñó (1) ñúng
2
Li gii. Không làm mât tính tong quát ta gi s# a+b+c=1, khi ñó Bñt ñã cho tr! thành
- + - + - £
- - -
5 1 5 1 5 1
a a c
a a b b c c
2 2 2
9
.
Vì a,b,c là ño dài ba cnh tam giác và a+b+c=1 suy ra 0a,b,c1/2.
2
Ta có :
- - - = - - £ ⇒ - £ -
- - -
5 a 1 (3 a 1) (2 a 1) 1 1 5 a
1
(18 a 3) a 18 a
3
2 2 2
2 2
a a a a a a
.
Ta cũng có hai Bñt tương t. Cong các Bñt này li vi nhau ta có:
- + - + - £ + + - =
- - -
5 a 1 5 a 1 5 c
1
2 2 2
18( a b c
) 9 9
a a b b c c
(ñpcm).
ðang thc xy ra khi
1
3
a = b = c = .
Bài toán 6 : Cho a,b,c 0 . Cmr :
2 2 2
+ - + + - + + - ³
+ + + + + +
( b c a ) ( c a b ) ( a b c
) 3
( b c ) 2 a 2 ( c a ) 2 b 2 ( a b ) 2 c
2
5
(Olympic Toán Nhat Bn 1997)
Lii gi

7. i. Vì Bñt cân chng minh thuân nhât nên ta ch cân chng minh Bñt ñúng vi
mi sô thc a,b,c th'a mãn a + b + c =1. Khi ñó Bñt ñã cho tr! thành:
2 2 2
- + - + - ³
- + - + - +
(1 2 a ) (1 2 b ) (1 2 c
) 3
(1 a ) 2 a 2 (1 b ) 2 b 2 (1 c ) 2 c
2
5
2 2 2
2 2 2
Û - + + - + + - + ³
4 a 4 a 1 4 b 4 b 1 4 c 4 c
1 3
2 a 2 a 1 2 b 2 b 1 2 c 2 c
1 5
- + - + - +
1 1 1 27 27
Û + + £ Û + + £
2 2 2
( ) ( ) ( )
f a f b f c
- + - + - +
2 a 2 a 1 2 b 2 b 1 2 c 2 c
1 5 5
=
Trong ñó 2
1
( )
- +
2 2 1
f x
x x
vi xÎ(0;1)
Tiêp tuyên ca ñô th hàm sô y=f(x) ti ñiem có hoành ño
1
3
x = là
= + x
54 27
25
y
GV: Nguyeãn GGGVVV::: NNNggguuuyyyeeeããnnãn TTTTaaaaááttáátt TTTThhhhuuuu NNNNaaaaêêmmêêmm hhhhooooïïccïïcc 2222000000005555 – 2222000000006666 4

8. Chuyên ñ s dng tip tuyn ñ tìm li gii
trong ch ng minh b
t ñng th c
Ta có:
3 2 2
2 2
+ - = - + = - + ³ Î
54 x 27 2(54 x 27 x 1) 2(3 x 1) (6 x
1)
( ) 0 (0;1)
f x x
- + - +
25 25(2 x 2 x 1) 25(2 x 2 x
1)
+ + £ 54( + + ⇒ a b c
) + 81 = 27
( ) ( ) ( )
ñpcm.
25 5
f a f b f c
Chuan hoá là kĩ thuat mà chúng ta hay gap trong chng minh bât ñang thc thuân nhât.
Qua các hai bài toán trên ta thây nh viec chuan hoá mà ta có the ñưa ñưc bât ñang
thc ñã cho vê dng (*) hoac (**). Tùy thuoc vào ñac ñiem ca tng bài toán mà ta chn
cách chuan hóa pù hp. Ta xét ví d sau
Bài toán 7. Cho a,b,c0. Cmr :
1+ 3 2 + 2 + 2 1 + 1 + 1 ( )( )
³ + + + 2 + 2 + 2
3 3
a b c a b c a b c
a b c
.
(Trích ñê thi Albania 2002)
Li gii. Vì BðT ñã cho ñông bac nên ta chuan hóa bât ñang thc bang cách cho
a2 + b2 + c2 =1, khi ñó bñt cân chng minh tr! thành: f (a) + f (b) + f (c) ³1 trong ñó:
= 1 + 3 1
- vi 0x1. ðang thc xy ra khi
( ) .
f x x
3 3
x
1
3
a = b = c =
Tiêp tuyên ca ñô th hàm sô y=f(x) ti ñiem có hoành ño
1
3
x = là
= - 1 + 2 3 y x + 2 + 2 3
. ðên ñây ta de dàng chng minh ñưc
3 3
1 3 1 1 2 3 2 2 3
+ - + + . x ³ - x + x
Î (0;1)
và ñang thc xy ra khi
3 3 x
3 3
1
3
x = .
Do vay:
1 + 2 3
f ( a ) + f ( b ) + f ( c ) ³ - ( a + b + c ) + 2 + 2 3
.
3
Mat khác a + b + c £ 3(a2 + b2 + c2 ) = 3 nn
+ + ³ - 1 + 2 3
+ + Ta có ññpcm.
( ) ( ) ( ) . 3 2 2 3=1
3
f a f b f c
Qua các bài toán trên ta thây s# dng tiêp tuyên trong chng minh bât ñang thc cho ta
cách tìm li gii ngan gn và ñơn gin. Kĩ năng áp dng ñòi h'i s linh hot và khéo
léo.
Cuôi cùng tôi xin nêu ra mot sô bài tap ñe chúng ta rèn luyen kĩ năng s# dng tiêp tuyên
trong chng minh Bât ñang thc.
GV: Nguyeãn GGGVVV::: NNNggguuuyyyeeeããnnãn TTTTaaaaááttáátt TTTThhhhuuuu NNNNaaaaêêmmêêmm hhhhooooïïccïïcc 2222000000005555 – 2222000000006666 5

9. Chuyên ñ s dng tip tuyn ñ tìm li gii
trong ch ng minh b
t ñng th c
+ + + + + + + + £
+ + + + + +
(2 ) (2 ) (2 )
a b c b c a c a b
a b c b c a c a b
1.Cho a,b,c0. Cmr: 2 2 2 2 2 2
8
2 ( ) 2 ( ) 2 ( )
.
(Vô ñch toán My 2003)
2. Cho a,b,c 0 .Cmr: + + + + + £
( ) ( ) ( ) 6
( ) ( ) ( ) 5
a b c b c a c a b
a b c b c a c a b
2 + + 2 2 + + 2 2 + + 2
.
(Trích ñê thi Olympic 30-4 Lp 11 năm 2006)
3. Cho các sô thc dương x,y,z. Cmr:
2 2 2
+ + + + + + £
+ + + +
( ) 3 3
( )( ) 9
xyz x y z x y z
x 2 y 2 z 2
xy yz zx
.
(Vô ñch toán Hông Kông 1997)
4. Cho n sô thc dương tho mãn:
n
Σ = . Cmr:
=
1
a n
i
i
1
1 ( New Zealand 1998)
x
+ ...
+
1
+
£
+ 1
2 2
1
1 1 x 1
x
1
+
n n
n
x
+ ...
+
x
x
+
5. Cho a.b.c.d 0 th'a mãn: ab + bc + cd + da =1. Cmr :
3 3 3 3 1
a b c d
+ + + ³
+ + + + + + + +
3
b c d c d a d a b a b c
.
a b c
b c c a a b a b c
6. Cho a,b,c0 .Cmr + + ³
9
+ 2 + 2 + 2 + +
( ) ( ) ( ) 4( )
.
7. Cho a,b,c 0 ; a2 + b2 + c2 =1. Cmr :
1 + 1 + 1 £
9
1 ab 1 bc 1 ca 2
- - -
.
8. Cho a,b,c 0 và a2 + b2 + c2 =1. Cmr :
1 1 1
( ) (a b c) 2 3
a b c
+ + - + + ³ .
9. Cho a,b,c0 th'a mãn: 2 2 2 ( ) 1 1 1 4
+ + = 3. : + + + + + ³ 7
.
a b c Cmr a b c
3
a b c
10. Cho a, b,c0 .Cmr: ( )
3 3 3
+ + + + + +
3 a b c 3 b c a 3 c b a
375
3 a b c 3 b a c 3 c b a
11
( )
( )
+ + £
( )
( )
( )
3 3 3 3 3 3
+ + + + + +
.
11. Cho a,b,c0.Cmr:
3 3 3
a b c
+ + ³
( ) ( ) ( )
3 3 3 3 3 3
1
+ + + + + +
a b c b c a c a b
.
12. Cho a,b,c là ño dài các cnh tam giác . Cmr:
1 + 1 + 1 £ 1 + 1 +
1
a b c a b c b c a c a b
+ - + - + -
.
13. Cho các sô thc dương a,b,c. Cmr: + + + ³ +
Σ a b c a
9 3 3
cyc 2
+ + +
b c a b c
.
14. Cho các sô thc dương a,b,c,d th'a mãn: a+b+c+d=2. Cmr
GV: Nguyeãn GGGVVV::: NNNggguuuyyyeeeããnnãn TTTTaaaaááttáátt TTTThhhhuuuu NNNNaaaaêêmmêêmm hhhhooooïïccïïcc 2222000000005555 – 2222000000006666 6

10. Chuyên ñ s dng tip tuyn ñ tìm li gii
trong ch ng minh b
t ñng th c
2 2 2 2
a b c d
a b c d
+ + + £
2 2 2 2 2 2 2 2
16
+ + + +
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 25
.
2 2 2
2 2 2
x y z
15. Cmr: + + £
2 2 2 2 2 2
+ + + + + +
1
2 x ( y z ) 2 y ( z x ) 2 z ( x y
)
.
16. Cho a,b,c0 và a+b+c=1. Cmr: 10(a3 + b3 + c3 ) - 9(a5 + b5 + c5 ) ³1 (China 2005)
17. Cho a,b,c0. Cmr
3
( )
2
a b c
+ + ³ + +
a b c
+ + +
b c c a a b
(Serbia 2005)
GV: Nguyeãn GGGVVV::: NNNggguuuyyyeeeããnnãn TTTTaaaaááttáátt TTTThhhhuuuu NNNNaaaaêêmmêêmm hhhhooooïïccïïcc 2222000000005555 – 2222000000006666 7