Bai mu-logarit

PhPhPhPh ng tring tring tring trinhnhnhnh
BBBBâââât pht pht pht ph ng tring tring tring trinhnhnhnh
HHHHêêêê phphphph ng tring tring tring trinhnhnhnh
HHHHêêêê bbbbââââtttt phphphph ng tring tring tring trinhnhnhnh
MMMMuuuu &&&& LLLLogaritogaritogaritogarit
Ths. LThs. LThs. LThs. Lêêêê VVVV nnnn oaoaoaoannnn
www.VNMATH.com

Bài 1.Bài 1.Bài 1.Bài 1. Cao ng Sư Ph m Tp. H Chí Minh năm 2002
Gi i các phương trình và b t phương trình sau
1/ ( )5 x
2log x log 125 1 1− <
2/ ( )
2 2
x x 5 x 1 x 5
4 12.2 8 0 2− − − − −
− + =
Bài gi i tham kh o
1/ Gi i b t phương trình : ( )5 x
2log x log 125 1 1− <
● i u ki n : 0 x 1< ≠ .
( ) 5 5
125 5
1 3
1 2log x 1 0 2log x 1 0
log x log x
⇔ − − < ⇔ − − <
5 5 5
2
5
1t log x 0 t log x log x 1
x
53 32t t 3
t 1 0 t 0 log x0 1 x 5 52 2t
   = ≠ = < −   <   ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ − −   < − ∨ < < < <<   < <   
.
● K t h p v i i u ki n, t p nghi m c a b t phương trình là : ( )1
x 0; 1;5 5
5
  ∈ ∪   
.
2/ Gi i phương trình : ( )
2 2
x x 5 x 1 x 5
4 12.2 8 0 2− − − − −
− + =
● i u ki n : 2
x 5
x 5 0
x 5
 ≤ −
− ≥ ⇔ ⇒
 ≥

T p xác nh : ( )D ; 5 5; = −∞ − ∪ +∞  
.
( )
22
2 2
2
x x 52 x x 5
x x 5 x x 5
2 x x 5
2 2t 2 0
2 2 6.2 8 0
t 6.t 8 0 2 4
− −− −
− − − −
− −
  =  = > ⇔ − + = ⇔ ⇔     − + = = 
( )
( )
222 2
2 2
22
x 1x 1 0
x 3 x 3x 5 x 1x x 5 1 x 5 x 1
9x 2x 2 0 xx x 5 2 x 5 x 2
49
xx 5 x 2
4
   ≥− ≥      = =  − = −− − = − = −     ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔   ≥   − ≥ =− − = − = −          =  − = −   
.
● K t h p v i i u ki n, phương trìn có hai nghi m là
9
x ; x 3
4
= = .
Bài 2.Bài 2.Bài 2.Bài 2. Cao ng Sư Ph m Hà Tĩnh kh i A, B năm 2002
Gi i b t phương trình :
( )
( )
2
2 2
log x log x
2 x 4+ ≤ ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n : x 0> ⇒ t p xác nh : ( )D 0;= +∞ .
● t t
2
log x t x 2= ⇔ = . Lúc ó :
( ) ( )
2 2 2 2t
t t t t t 1 2
2 2 4 2 2 4 0 2 2 t 1 1 t 1∗ ⇔ + ≤ ⇔ + − ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ − ≤ ≤
● V i 2 2
1
t log x 1 log x 1 x 2
2
= ⇒ − ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ .
● K t h p v i i u ki n, t p nghi m c a b t phương trình là : ( )x 0;∈ +∞ .
www.VNMATH.com

Bài 3.Bài 3.Bài 3.Bài 3. Cao ng Sư Ph m Nha Trang năm 2002
Gi i phương trình : ( ) ( )log2
3 3
x 1 log x 4x x 16 0+ + − = ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n : x 0> ⇒ T p xác nh ( )D 0;= +∞ .
● t 3
t log x= và do x 0 x 1 0> ⇒ + ≠ . Lúc ó : ( ) ( ) 2
x 1 t 4xt 16 0∗ ⇔ + + − = .
● L p ( ) ( ) ( ) ( )
2 22
' 4x 16x 16 4 x 2 4 x 2 2 x 2 , do x 0∆ = + + = + ⇒ ∆ = + = + > .
( )
( )
2x 2 x 2 4
t
x 1 x 1
2x 2 x 2
t 4
x 1
 − + + = =
+ +⇒  − − + = = −
 +
.
● V i 3
1
t 4 log x 4 x
81
= − ⇒ = − ⇔ = .
● V i ( )3
4 4
t log x 1
x 1 x 1
= ⇒ =
+ +
Nh n th y phương trình ( )1 có m t nghi m là x 3= .
Hàm s ( ) 3
f x log x := là hàm s ng bi n trên ( )0;+∞ .
Hàm s ( )
4
g x
x 1
=
+
có ( )
( )
( )2
4
g' x 0, x g x :
x 1
−
= < ∀ ⇒
+
ngh ch bi n trên ( )0;+∞ .
V y phương trình ( )1 có m t nghi m duy nh t là x 3= .
● So v i i u ki n, phương trình có hai nghi m là
1
x , x 3
81
= = .
Bài 4.Bài 4.Bài 4.Bài 4. Cao ng Kinh T K Thu t H i Dương năm 2002
Gi i b t phương trình : ( )
2 2 2
2 x 1 x 2 x
4x x.2 3.2 x .2 8x 12+
+ + > + + ∗
Bài gi i tham kh o
( )
2 2 2
2 x x 2 x
4x 2x.2 3.2 x .2 8x 12 0∗ ⇔ + + − − − >
2 2 2
x x 2 2 x
2x.2 8x 3.2 12 4x x .2 0
         ⇔ − + − + − >           
2 2 2
x x 2 x
2x 2 4 3 2 4 x 2 4 0
         ⇔ − + − − − >           
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
x 2 x 2
2 4 2x 3 x 0 f x 2 4 x 2x 3 0 1
     ⇔ − + − > ⇔ = − − − <      
● Cho
2 2x
2
x 2 x 22 4 0
x 1 x 3 x 1 x 3x 2x 3 0
    = = ±− =   ⇔ ⇔  
  = − ∨ = = − ∨ =− − =   
.
● B ng xét d u
x −∞ 2− 1− 2 3 +∞
www.VNMATH.com

2
x
2 4− + 0 − − 0 + +
2
x 2x 3− − + + 0 − − 0 +
( )f x + 0 − 0 + 0 − 0 +
● D a vào b ng xét, t p nghi m c a b t phương trình là : ( ) ( )x 2; 1 2;3∈ − − ∪ .
Bài 5.Bài 5.Bài 5.Bài 5. Cao ng kh i T, M năm 2004 – i h c Hùng Vương
Gi i h phương trình :
( )
( ) ( )
( )
22
log 3log xy
2 2
9 3 2. xy 1
x y 3x 3y 6 2
 = +
 + = + +
Bài gi i tham kh o
● i u ki n : xy 0> .
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
22
2 2
2
log xylog xy
2.log xy log xy
2 log xy
t 3 1 Lt 3 0
1 3 2.3 3 0
t 2t 3 0 t 3 3
 = = −= > ⇔ − − = ⇔ ⇔ 
 − − = = =  
( ) ( )2
log xy 1 xy 2 3⇔ = ⇔ = .
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 x y 5
2 x y 3 x y 2xy 6 0 x y 3 x y 10 0 4
x y 2
 + =⇔ + − + − − = ⇔ + − + − = ⇔  + = −
.
( ) ( )
( )
2
xy 2
5 17 5 17
x xx y 5 y 5 x
2 23 , 4
x 5x 2 0xy 2 5 17 5 17
y yVN
x y 2 2 2
 =    − +    = = + = = −      ⇔ ⇔ ⇔ ∨       − + − == + −      = =   + = −   
.
Bài 6.Bài 6.Bài 6.Bài 6. Cao ng Sư Ph m H i Phòng – i h c H i Phòng năm 2004
1/ Gi i phương trình : ( ) ( ) ( ) ( )
2
2 1 2
2
1
log x 1 log x 4 log 3 x
2
− + + = − ∗
2/ Gi i phương trình : ( ) ( ) ( )2 2
3 2
log x 2x 1 log x 2x+ + = + ∗ ∗
Bài gi i tham kh o
1/ Gi i phương trình : ( ) ( ) ( ) ( )
2
2 1 2
2
1
log x 1 log x 4 log 3 x
2
− + + = − ∗
● i u ki n :
x 1 0 x 1
4 x 3
x 4 0 x 4
x 1
3 x 0 x 3
  − ≠ ≠    − < < + > ⇔ > − ⇔  
   ≠  − > <   
.
( ) ( ) ( )2 2 2
log x 1 log x 4 log 3 x∗ ⇔ − − + = − ( )( )2 2
log x 1 log 3 x x 4⇔ − = − +
( )( )x 1 3 x x 4⇔ − = − + 2
x 1 x x 12⇔ − = − − +
www.VNMATH.com

2
2
2
x x 12 0
x 1 x x 12
x 1 x x 12
− − + ≥⇔ − = − − + − = + −
4 x 3
x 1 14 x 1 14
x 11 x 11
− ≤ ≤ = − + ∨ = − −⇔  = − ∨ =
x 11
x 1 14
 = −
⇔ 
 = − +

.
● K t h p v i i u ki n, nghi m c a phương trình là : x 11 x 1 14= − ∨ = − + .
2/ Gi i phương trình : ( ) ( ) ( )2 2
3 2
log x 2x 1 log x 2x+ + = + ∗ ∗
● i u ki n :
( )
( ) ( )
( ) ( )
22
2
x 2x 1 0 x 1 0
x ; 2 0;
x 2x 0 x ; 2 0;
  + + >  + > ⇔ ⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞ 
 + > ∈ −∞ − ∪ +∞  
.
● t : ( ) ( )
2 t
2 2
3 2 2 t
x 2x 1 3 0
log x 2x 1 log x 2x t
x 2x 2 0
 + + = >+ + = + = ⇒ 
 + = >
( )
( )
2 t
2 t 2 t 2 t
t t
2 t t t t t
x 2x 2 1
x 2x 3 1 x 2x 2 x 2x 2
2 1x 2x 2 3 1 2 2 1 3 1 2
3 3
 + =     + = − + = + =      ⇔ ⇔ ⇔ ⇔             + = − = + =  + =                  
.
● Nh n th y t 1= là m t nghi m c a phương trình ( )2 .
● Xét hàm s ( )
t t
2 1
f t
3 3
      = +        
trên » :
( ) ( )
t t
2 2 1 1
f ' t .ln .ln 0, t f t
3 3 3 3
      = + < ∀ ∈ ⇒        
» ngh ch bi n trên » .
● Do ó, t 1= là nghi m duy nh t c a phương trình ( )2 .
● Thay t 1= vào ( )2 , ta ư c : 2 2
x 2x 2 x 2x 2 0 x 1 3+ = ⇔ + − = ⇔ = − ± .
● K t h p v i i u ki n, nghi m c a phương trình là x 1 3= − ± .
Bài 7.Bài 7.Bài 7.Bài 7. Cao ng Sư Ph m Nhà Tr – M u Giáo TWI năm 2004
( )
( )2
x 1
1 1
log
4 2−
> ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n : ( )
2
0 x 1 1 x 0,1,2< − ≠ ⇔ ≠ .
( ) ( )x 1 x 1 x 1
1 1 1 1
log log log x 1
2 4 2 4− − −
∗ ⇔ > ⇔ > − ∗ ∗
● N u x 1 1− > thì ( )
1 x 1 1
x 1
4 1
x 1x 1 1
4
   − > > −  ∗ ∗ ⇔ ⇔ 
  − < − >   
(vô lí) ⇒ Không có x th a.
● N u 0 x 1 1< − < thì
( )
31 0 x 1 1 0 xx 1 1 40 x 14 1 54x 10 x 1 1 x 24 4
   < − < < < < −   ∗ ∗ ⇔ ⇔ ⇔ < − < ⇔    − < < − < < <     
.
www.VNMATH.com

● K t h p v i i u ki n, t p nghi m c a b t phương trình là
3 5
x 0; ;2
4 4
      ∈ ∪        
.
( ) ( )
2 2
2
4 2
log x y 5
2log x log y 4
 + = ∗
 + =
Bài gi i tham kh o
● i u ki n :
2 2
x 0x y 0
y 0x 0, y 0
   >+ >  ⇔ 
  >> > 
.
( )
( )
( ) ( )
2 22 22 2
2 2 2
x y 32x y 32 x y 2xy 32 x y 64
log x log y 4 log xy 4 xy 16 xy 16
    + =+ =  + − = + =   ∗ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔   
   + = = = =       
x y 8 x y 8 x y 4
xy 16 xy 16 x y 4
   + = + = − = =  ⇔ ∨ ⇔   = = = = −   
.
● K t h p v i i u ki n, nghi m c a h là ( ) ( ){ }S x;y 4;4= = .
Bài 9.Bài 9.Bài 9.Bài 9. Cao ng Sư Ph m B c Ninh năm 2004
( ) ( )
( )
2 3
1 1
2 3
log x 3 log x 3
0
x 1
+ − +
> ∗
+
Bài gi i tham kh o
● i u ki n :
x 3
x 1
 > −

 ≠
.
● Trư ng h p 1. N u x 1 0 3 x 1+ < ⇔ − < < − .
( ) ( ) ( )
2 3
1 1
2 3
log x 3 log x 3 0∗ ⇔ + − + <
( ) ( )3 2
3log x 3 2log x 3 0⇔ + − + <
( ) ( )3 2 3
3log x 3 2log 3.log x 3 0⇔ + − + <
( ) ( )3 2
log x 3 . 3 2log 3 0⇔ + − <
( ) ( )3 2
log x 3 0 Do : 3 2log 3 0⇔ + > − <
x 3 1 2 x 1⇔ + > ⇔ − < < − th a mãn i u ki n : 3 x 1− < < − .
● Trư ng h p 2. N u x 1 0 x 1+ > ⇔ > − .
( ) ( ) ( )
2 3
1 1
2 3
log x 3 log x 3 0∗ ⇔ + − + >
( ) ( )3 2
3log x 3 2log x 3 0⇔ + − + >
( ) ( )3 2 3
3log x 3 2log 3.log x 3 0⇔ + − + >
( ) ( )3 2
log x 3 . 3 2log 3 0⇔ + − >
( ) ( )3 2
log x 3 0 Do : 3 2log 3 0⇔ + < − <
www.VNMATH.com

x 3 1 x 2⇔ + < ⇔ < − không th a mãn i u ki n x 1> − .
● V y t p nghi m c a b t phương trình là ( )x 2; 1∈ − − .
Bài 10.Bài 10.Bài 10.Bài 10. Cao ng Sư Ph m Bình Phư c năm 2004
Gi i phương trình : ( ) ( )2 3 2
2 2
3x 2x log x 1 log x− = + − ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n : x 0> .
( ) ( )
2
2 3 2 3
2 2
x 1 1
log 3x 2x log x 3x 2x
x x
 +  ∗ ⇔ = − ⇔ + = − ∗ ∗   
● Ta có 2
Côsi
2 2
1 1 1 1
x 0 : x x. x 2 log x log 2 1
x x x x
  ∀ > + ≥ ⇔ + ≥ ⇒ + ≥ =   
.
D u " "= x y ra khi và ch khi
( )
2
x 11
x x 1 x 1
x 1 Lx
 == ⇔ = ⇔ ⇔ = = −
.
● Xét hàm s 2 3
y 3x 2x= − trên kho ng ( )0;+∞ :
2
y' 6x 6x . Cho y' 0 x 0, x 1= − = ⇔ = = .
Mà
( )
( ) ( )0;
f 0 0
max y 1
f 1 1 +∞
 = ⇒ =
 =
2 3
y 3x 2x 1⇒ = − ≤ . D u " "= x y ra khi x 1= .
● Tóm l i : ( )
( )
( )
2
2 3
2 3
2
1
log x 1 1
x
2x 2x 1 2
1
log x 3x 2x
x
     + ≥    ∗ ∗ ⇔ − ≤ ⇔
    + = −   
D u " "= trong ( ) ( )1 , 2 ng th i x y ra
x 1⇔ = là nghi m duy nh t c a phương trình.
Bài 11.Bài 11.Bài 11.Bài 11. Cao ng Sư Ph m Kom Tum năm 2004
Gi i phương trình : ( )5 3 5 3
log x.log x log x log x= + ∗
Bài gi i tham kh o
( ) 5
5 3 5
5
log x
log x.log x log x 0
log 3
∗ ⇔ − − =
5 3
5
1
log x log x 1 0
log 3
  ⇔ − − =  
( )5 3 3 3
log x log x log 3 log 5 0⇔ − − =
( )5 3 3
log x. log x log 15 0⇔ − =
5
3 3
log x 0 x 1
log x log 15 0 x 15
 = = ⇔ ⇔ − = =  
.
Bài 12.Bài 12.Bài 12.Bài 12. Cao ng Giao Thông năm 2004
Gi i b t phương trình : ( )1 x x 1 x
8 2 4 2 5 1+ +
+ − + >
www.VNMATH.com

Bài gi i tham kh o
( ) ( )
x
2
x x x
2
t 2 0
1 8 2.2 2 5 2.2
8 2t t 5 2.t
 = >⇔ + − > − ⇔ 
 + − > −
( )
2
22
t 0
t 0 5
t
5 2t 0 2
2 t 4 5
8 2t t 0 t 4
2 1 t 4
5t 0t 0 1 t
255 2t 0 t
2
8 2t t 5 2t 17
1 t
5
 > >  >   − <   − ≤ ≤  + − ≥ < ≤ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ < ≤    > >  < ≤    − ≥  ≤   + − > −   < <
.
● Thay x
t 2= vào ta ư c : x 0 x 2
1 2 4 2 2 2 0 x 2< ≤ ⇔ < ≤ ⇔ < ≤ .
● V y t p nghi m c a b t phương trình là (x 0;2∈  .
Bài 13.Bài 13.Bài 13.Bài 13. Cao ng Kinh T K Thu t Công Nghi p II năm 2004
2
2
2
log x 3
2
log x 3
+
> ∗
+
Bài gi i tham kh o
● i u ki n : 3 3
2 2 2
x 0x 0 x 0x 0
1log x 3 0 log x log 2 x 2 x
8
− −
 >     > >>      ⇔ ⇔ ⇔   
   + ≠ ≠ ≠ ≠       
.
( ) ( )
2 2
2 2 2
2 2
log x 3 log x 2log x 3
2 0 0
log x 3 log x 3
+ − −
∗ ⇔ − > ⇔ > ∗ ∗
+ +
● t 2
t log x= . Khi ó ( ) ( )
( )( )
( )
2 t 1 t 3t 2t 3
0 f t 0
t 3 t 3
+ −− −
∗ ∗ ⇔ > ⇔ = > ∗ ∗ ∗
+ +
.
● Xét d u ( )
( )( )t 1 t 3
f t
t 3
+ −
=
+
:
t −∞ 3− 1− 3 +∞
( )f t + 0 0 +
● K t h p b ng xét d u và ( ),∗ ∗ ∗ ta ư c :
2
2
1 13 t 1 3 log x 1 x
8 2
t 3 log x 3 x 8
 − < < − − < < −  < <  ⇔ ⇔  > >  >  
.
1 1
x ;
8 2
  ∈    
.
Bài 14.Bài 14.Bài 14.Bài 14. Cao ng Cơ Khí Luy n Kim năm 2004
www.VNMATH.com

Gi i phương trình : ( ) ( ) ( )x 3 x 3
2 2
log 25 1 2 log 5 1+ +
− = + + ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n :
( )
x 3 x 3 o
x 3 x 3
25 1 0 25 25
x 3 0 x 3
5 1 0 5 1 0 Ð , x
+ +
+ +
  − > >  ⇔ ⇔ − > ⇔ > 
 + > + > ∀ ∈   
»
.
( ) ( ) ( )x 3 x 3
2 2 2
log 25 1 log 4 log 5 1+ +
∗ ⇔ − = + +
( ) ( )x 3 x 3 x 3 x 3
2 2
log 25 1 log 4. 5 1 25 1 4.5 4+ + + + ⇔ − = + ⇔ − = + 
 
( ) ( )x 3
2
x 3 x 3
x 3
5 1 L
5 4.5 5 0 x 3 1 x 2
5 5
+
+ +
+
 = −⇔ − − = ⇔ ⇔ + = ⇔ = −
=

● K t h p v i i u ki n, nghi m phương trình là x 2= − .
Bài 15.Bài 15.Bài 15.Bài 15. Cao ng Hóa Ch t năm 2004
Gi i phương trình : ( ) ( ) ( )x x 1
2 2
log 2 1 .log 2 2 6+
+ + = ∗
Bài gi i tham kh o
● T p xác nh : D = » .
( ) ( ) ( )x x
2 2
log 2 1 .log 2. 2 1 6 ∗ ⇔ + + = 
 
( ) ( )x x
2 2
log 2 1 . 1 log 2 1 6 0 ⇔ + + + − = 
 
( )
( ) ( )
x
2
2
t 0 t 0t log 2 1 0
t 2
t 2 t 3 Lt t 6 0t 1 t 6 0
   > >= + >    ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ =  
   = ∨ = −+ − =+ − =  
( )x x x
2 2
log 2 1 2 2 1 4 2 3 x log 3⇔ + = ⇔ + = ⇔ = ⇔ = .
● V y phương trình có nghi m duy nh t là 2
x log 3= .
Bài 16.Bài 16.Bài 16.Bài 16. Cao ng Kinh T K Thu t Công Nghi p kh i A năm 2004
Gi i phương trình : 2x 5 x 1
3 36.3 9 0+ +
− + =
Bài gi i tham kh o
● T p xác nh : D = » .
( ) ( )2 x 1 x 1
27.3 36.3 9 0
+ +
∗ ⇔ − + =
x 1
x 1 x 1
2 x 1 1
t 3 0t 3 0 3 1 x 1
1 x 227t 36t 9 0 3 3t 1 t
3
+
+ +
+ −
 = >  = > = = −    ⇔ ⇔ ⇔ ⇔     = −− + = == ∨ =    
.
● V y phương trình có hai nghi m x 2= − và x 1= − .
Bài 17.Bài 17.Bài 17.Bài 17. Cao ng Công Nghi p Hà N i năm 2004
2 2
3
x
2 cos sin x
4 2sin x
8 8.8 1
 π  − +   
=
2/ Tìm t p xác nh c a hàm s : ( )
2
2
2 2
1
y 4 log x log 3 x 7x 6 2
x
  = − − + − +   
www.VNMATH.com

Bài gi i tham kh o
2 2
3
x
2 cos sin x
4 2sin x
8 8.8 1
 π  − +   
=
( )
2
3 3 21 cos x sin x 1
2sin x sin x sin x sin x 2 3 2
1 8 8 8 8 sin x sin x sin x 2
 π  + − + +    + +
⇔ = ⇔ = ⇔ = + +
3 2
t sin x, t 1
t 2
t t t 2 0
 = ≤⇔ ⇔ =
 − − − =
(lo i).
V y phương trình ã cho vô nghi m.
2/ Tìm t p xác nh c a hàm s : ( )
2
2
2 2
1
y 4 log x log 3 x 7x 6 2
x
  = − − + − +   
( ) 2 2
2 2
2 y 4 log x log x 3 x 7x 6⇔ = − − + − + .
● Hàm s xác nh khi và ch khi : 2
2 2
2
x 0
log x 4 log x 3 0
x 7x 6 0
 >− + − ≥
 − + ≥ 2
x 0
x 1 x 6
1 log x 3
 >⇔ ≤ ∨ ≥
 ≤ ≤
0 x 1 x 6
6 x 8
2 x 8
 < ≤ ∨ ≥⇔ ⇔ ≤ ≤
 ≤ ≤
.
● V y t p xác nh c a hàm s là D 6;8 =    .
Bài 18.Bài 18.Bài 18.Bài 18. Cao ng Tài Chính K Toán IV năm 2004
( )
( ) ( )
2
x
x 5x 4 0 1
2 x .3 1 2
 + + ≤
 + <
Bài gi i tham kh o
● T p xác nh D = » .
( )1 4 x 1 x 4; 1 ⇔ − ≤ ≤ − ⇒ ∈ − −   .
( )
x
1
2 x 2
3
  ⇔ + <    
.
● V i x 4; 1 ∈ − −   . Xét hàm s ( )f x x 2= + ng bi n trên 4; 1 − −   .
( ) ( )f
4; 1
max x f 1 1
 − −  
⇒ = − = .
● V i x 4; 1 ∈ − −   . Xét hàm s ( )
x
1
g x
3
  =    
ngh ch bi n trên 4; 1 − −   .
( ) ( )g
4; 1
min x f 1 3
 − −  
⇒ = − = .
● Nh n th y ( ) ( )f g
4; 1 4; 1
max x min x
   − − − −      
< , ( )1 3< nên ( ) ( )g x f x> luôn luôn úng
x 4; 1 ∀ ∈ − −   . Do ó t p nghi m c a b t phương trìn là x 4; 1 ∈ − −   .
Bài 19.Bài 19.Bài 19.Bài 19. Cao ng Y T Ngh An năm 2004
www.VNMATH.com

Gi i phương trình : ( )
3
3 2 3 2
3 x 1
log .log x log log x
x 23
− = + ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n : x 0> .
( ) ( ) ( )3
3 3 2 3 3 2
1 1
log 3 log x .log x log x log 3 log x
2 2
∗ ⇔ − − − = +
( )3 2 3 2
1 1 1
1 log x .log x 3log x log x
2 2 2
  ⇔ − − − = +   
2 2 3 3 2
1 1 1
log x log x.log x 3log x log x 0
2 2 2
⇔ − − + − − =
2 2 3 3
1
log x log x.log x 3log x 0
2
⇔ − − =
2 2 3 3
log x 2log x.log x 6log x 0⇔ − − =
2
2 2 3
2
6.log x
log x 2log x.log x 0
log 3
⇔ − − =
2 3 3
log x. 1 2log x 6log 2 0 ⇔ − − =  
2
3 3 3 3 3
log x 0 x 1
1 3 3
log x 3log 2 log 3 log 8 log x
2 8 8
 = = 
 ⇔ ⇔
 = − = − = = 
 
.
● K t h p v i i u ki n, nghi m c a phương trình là
3
x 1, x
8
= = .
Bài 20.Bài 20.Bài 20.Bài 20. Cao ng Kinh T K Thu t Công Nghi p I năm 2006
Gi i phương trình : ( )x 2
5 12x
log 4.log 2
12x 8
−
= ∗
−
Bài gi i tham kh o
● i u ki n :
0 x 1 0 x 1
5 12x 5 2
0 x
12x 8 12 3
  < ≠ < ≠   ⇔ − > < <  −  
.
( ) 2 2 2
2
1
x1 5 12x 5 12x 5 12x 2.log 1 log log x x
5log x 12 8 12 8 12 8
x
6

 =− − − 
∗ ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ 
− − −  = −

.
1
x
2
= .
Bài 21.Bài 21.Bài 21.Bài 21. Cao ng Kinh T K Thu t Công Nghi p II năm 2006
2 2
2x x x 2x
4 2.4 4 0+
− + = ∗
Bài gi i tham kh o
● T p xác nh : D = » .
( )
2 2
2x 2x x x
4 2.4 1 0− −
∗ ⇔ − + = (chia hai v cho 2x
4 0> )
www.VNMATH.com

2 2
2
x x x x
4 2.4 1 0− − ⇔ − + =  
2
2
x x
x x 2
2
x 0t 4 0
t 4 1 x x 0
x 1t 2t 1 0
−
−
  = = > ⇔ ⇔ = = ⇔ − = ⇔  =− + =  
.
● V y phương trình có hai nghi m : x 0, x 2= = .
Bài 22.Bài 22.Bài 22.Bài 22. Cao ng Xây D ng s 2 năm 2006
Gi i h phương trình : ( )
x x
2 2
x 2
2
2 log y 2 log y 5
4 log y 5
 + + = ∗
 + =
Bài gi i tham kh o
● i u ki n : y 0> .
● t x
2
u 2 , v log y= = . Lúc ó :
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
2
22 2
2 u v 2uv 10u v uv 5
u v 2 u v 15 0
u v 5 u v 2uv 5
+ + + = + + =  ∗ ⇔ ⇔ ⇔ + + + − = 
 + = + − =  
( )
x
o
2
x
2
u v 5 u 1 2 1 x 2
VN
uv 10 v 2 log y 2 y 4
u v 3 u 2 x 42 2
uv 2 v 1 y 2log y 1
      + = − = = =           = = = =       ⇔ ⇔ ⇔ ⇔        + = = =  =           = = = =        
.
● So v i i u ki n, nghi m c a h phương trình là : ( ) ( ) ( ){ }S x;y 2;4 , 4;2= = .
Bài 23.Bài 23.Bài 23.Bài 23. Cao ng Giao Thông V n T i III kh i A năm 2006
Gi i phương trình : ( )x
32
1 89x 25
3 log
log x 2 2x
  + = − ∗   
Bài gi i tham kh o
● K : 2
0 x 1
x 10 x 1 50 x 1
x 0
589x 25 89x 25 89 x ;0 0 52 2x 2x 89x
89
 < ≠   ≠  < ≠< ≠    − < <     ⇔ ⇔ ⇔    −     ∞ ∈ +∞− > >               < < +
.
( )
2 2
3
x x x x x
89x 25 89x 25
3 log 32 log log x log 32 log
2x 2x
− −
∗ ⇔ + = ⇔ + =
2 2
3 3 4 2
x x
89x 25 89x 25
log 32x log 32x 64x 89x 25 0
2x 2x
− −
⇔ = ⇔ = ⇔ − + =
2
2
x 1x 1
525
xx
864
  = ±= 
 ⇔ ⇔
  = ±= 
.
● K t h p v i i u ki n, nghi m c a phương trình là :
5
x
8
= .
BBBBààààiiii 22224444.... Cao ng Kinh T i Ngo i kh i A, D năm 2006
www.VNMATH.com

1/ Gi i phương trình : ( ) ( )
2
2ln x ln 2x 3 0 1+ − = .
2/ Gi i b t phương trình :
x x
x x
4 2 2
0
4 2 2
+ −
>
− −
.
Bài gi i tham kh o
2
2ln x ln 2x 3 0 1+ − = .
● i u ki n :
x 0x 0
32x 3 0 x
2
 >  >  ⇔ 
 − ≠ ≠  
.
( )
2
2
2x 3 0
2x 3x 1 0
1 2ln x 2ln 2x 3 0 x 2x 3 1
2x 3 0
2x 3x 1 0
 − ≥
 − − =⇔ + − = ⇔ − = ⇔
 − <− + − =
3
x 3 x 1x2
2 13 17 x 1 xx
24
1
3 17x3 17 xx 2
44
  ≥   = <     +    =⇔ ∨ ⇔ = =        +=−   ==   
.
1 3 17
x 1 x x
2 4
+
= ∨ = ∨ = .
2/ Gi i b t phương trình : ( )
x x
x x
4 2 2
0
4 2 2
+ −
> ∗
− −
.
( )
( )( )
( )( )
x x xx
xxx x
2 2 2 1 2 1 x 02 1
0 0
x 12 22 22 1 2 2
 + − < <−  ∗ ⇔ > ⇔ > ⇔ ⇔  >>− + − 
.
● V y t p nghi m c a b t phương trình là ( ) ( )x ;0 1;∈ −∞ ∪ +∞ .
Bài 25.Bài 25.Bài 25.Bài 25. Cao ng Sư Ph m Hưng Yên kh i A năm 2006
Gi i phương trình : ( ) ( ) ( )
x 1 x
2 1 3 2 2 x 1
+
+ − + = − ∗
Bài gi i tham kh o
● T p xác nh : D = » .
( ) ( ) ( )
x 1 2x
2 1 2 1 x 1
+
∗ ⇔ + − + = −
( ) ( ) ( )
x 1 2x
2 1 x 1 2 1 2x 1
+
⇔ + + + = + +
( )1 có d ng ( ) ( ) ( )f x 1 f 2x 2+ =
● Xét hàm s ( ) ( )
t
f t 2 1 t= + + trên » .
www.VNMATH.com

Ta có ( ) ( ) ( )
t
f ' t 2 1 .ln 2 1 1 0= + + + > ⇒ Hàm s ( )f t ng bi n trên ( )3» .
● T ( ) ( ) ( )1 , 2 , 3 x 1 2x x 1⇒ + = ⇔ = .
● V y phương trình có nghi m duy nh t là x 1= .
Bài 26.Bài 26.Bài 26.Bài 26. Cao ng Sư Ph m Hưng Yên kh i B năm 2006
Gi i phương trình : ( )5 15
1 1 1
log sin x log cos x
2 2 25 5 15
+ +
+ = ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n : sin x 0, cos x 0> > .
( ) 5 15log sin x log cos x
5 5.5 15.15 5 5.sin x 15.cos x∗ ⇔ + = ⇔ + =
3 1 1
1 sin x 3 cos x cos x sin x cos x cos
2 2 2 6 3
 π π ⇔ + = ⇔ − = ⇔ + =   
( )x k2 x k2 , k
6 2
π π
⇔ = + π ∨ = − + π ∈ » .
● K t h p v i i u ki n, nghi m c a phương trình là ( )x k2 , k
6
π
= + π ∈ » .
Bài 27.Bài 27.Bài 27.Bài 27. Cao ng Sư Ph m Hưng Yên kh i D1, M năm 2006
Gi i phương trình : ( ) ( )9 3
log x log 2x 1 1= + − ∗
Bài gi i tham kh o
1/ Gi i phương trình : ( ) ( )9 3
log x log 2x 1 1= + − ∗
● i u ki n :
x 0
x 0
2x 1 1 0
 > ⇔ >
 + − >
.
( ) ( )3 3
log x log 2x 1 1 x 2x 1 1 x 2x 2 2 2x 1∗ ⇔ = + − ⇔ = + − ⇔ = + − +
2 2
x 0
x 2 2 2x 1 x 4x 4 8x 4 x 4x 0
x 4
 =⇔ + = + ⇔ + + = + ⇔ − = ⇔  =
.
● K t h p v i i u ki n, nghi m c a phương trình là x 4= .
Bài 28.Bài 28.Bài 28.Bài 28. Cao ng Bán Công Hoa Sen kh i A năm 2006
( ) ( )
2x y
2x y
22 2
3. 7. 6 0
3 3
lg 3x y lg y x 4 lg2 0
−
−
         + − =           − + + − =
Bài gi i tham kh o
● i u ki n :
x 03x y 0 y
x 0yy x 0 3x 0
3
⊕
 >  − >  ⇔ ⇔ > > 
 + > > >  
.
www.VNMATH.com

( )
( )( ) ( )( )
2x y 2x y 2x y
22 2 2
3. 7. 6 0 3t 7t 6 0, t 0
3 3 3
lg 3x y y x log16 3x y y x 16
− − −                + − = + − = = >       ∗ ⇔ ⇔             − + = − + =   
( )
2x y 2x y
2 2
2 2
2 2 2 2x y 2t t 3 L
3 3 3
2xy 3x y 16
2xy 3x y 16
− −          − =  = = ∨ = = −     ⇔ ⇔        + − =  + − =
( ) ( )
( )
2 22
x 2
y 2x 2 y 2x 2 y 2
3x 4x 20 02x 2x 2 3x 2x 2 16 10
x L
3
 =  = −  = −  =  ⇔ ⇔ ⇔     + − =− + − − =   = −

.
● V y nghi m c a h phương trình là ( ) ( )x;y 2;2= .
Bài 29.Bài 29.Bài 29.Bài 29. Cao ng Bán Công Hoa Sen kh i D năm 2006
Gi i phương trình : ( )x x 2x 1
9 6 2 +
+ = ∗
Bài gi i tham kh o
● T p xác nh : D = » .
( )
( )
x
2x x x
x x x
3
t 0
23 3 3
9 6 2.4 0 2 0 1 x 0
t 12 2 2
t 2 L
    = >              ∗ ⇔ + − = ⇔ + − = ⇔ ⇔ = ⇔ =          =      = −
.
● V y nghi m c a phương trình là x 0= .
Bài 30.Bài 30.Bài 30.Bài 30. Cao ng Sư Ph m TW năm 2006
Gi i phương trình : ( )x x 1
4.4 9.2 8 0+
− + = ∗
Bài gi i tham kh o
● T p xác nh : D = » .
( )
x
x
2x x
2 x
2 4t 2 0 x 2
4.2 18.2 8 0 1 x 14t 18t 8 0 2
2
 =  = > = ∗ ⇔ − + = ⇔ ⇔ ⇔  = −− + = =    
.
● V y phương trình có hai nghi m là x 1= − và x 2= .
Bài 31.Bài 31.Bài 31.Bài 31. Cao ng Sư Ph m Hà Nam kh i A năm 2006
Gi i b t phương trình : ( ) ( )
2
x 4 2 x 2
3 x 4 .3 1 0− −
+ − − ≥ ∗
Bài gi i tham kh o
● T p xác nh : D = » .
● Ta có : ( ) ( ) ( )
2
x 4 2 x 2
3 x 4 .3 1 1− −
∗ ⇔ + − ≥
● N u
( )
( )
2
2
x 4
x 4 2 x 2
2 x 2
3 1
x 2 3 x 4 .3 1
x 4 .3 0
− +
− −
−
 ≥≥ ⇒ ⇔ + − ≥
 − ≥
www.VNMATH.com

Do ó ( )1 luôn úng v i x 2≥ hay ( )x ; 2 2; ∈ −∞ − ∪ +∞   là t p nghi m c a b t
phương trình.
● N u
( )
( )
2
2
x 4
x 4 2 x 2
2 x 2
3 1
x 2 3 x 4 .3 1
x 4 .3 0
− ⊕
− −
−
 << ⇒ ⇔ + − <
 − <
Do ó ( )1 không có t p nghi m (vô nghi m) khi x 2< .
● V y t p nghi m c a b t phương trình là ( )x ; 2 2; ∈ −∞ − ∪ +∞   .
Bài 32.Bài 32.Bài 32.Bài 32. Cao ng Sư Ph m Hà Nam kh i M năm 2006
Gi i b t phương trình : ( )x 2 x 1
3 9 4 0+ +
+ − > ∗
Bài gi i tham kh o
● T p xác nh : D = » .
( )
x x
x
x x
2
3 t 0 3 t 03 t 0
9.3 9.9 4 0 1 4 1
9t 9t 4 0 t t t
3 3 3
   = > = >  = >    ∗ ⇔ + − > ⇔ ⇔ ⇔  
  + − > > ∨ < − >      
x x 11
3 3 3 x 1
3
−
⇔ > ⇔ > ⇔ > − .
● V y t p nghi m c a phương trình là ( )x 1;∈ − +∞ .
Bài 33.Bài 33.Bài 33.Bài 33. D b – Cao ng Sư Ph m Hà Nam kh i A năm 2006
3 3x 5 1 x 5 x x
4 2.2 2.4+ + + +
+ = ∗
Bài gi i tham kh o
● T p xác nh : D = » .
( )
3 3
3 3
x 5 1 x 5 x
x 5 x x 5 x
x 2x
4 2.2
2 0 4.4 2.2 2 0
4 2
+ + + +
+ − + −
∗ ⇔ + − = ⇔ + − =
( )
( )
33
3
3
3
x 5 x 1x 5 x
2 x 5 x
x 5 x
2
x 5 x
1
2 t 22 t 0
4.2 2.2 2 0 2
4t 2t 2 0 2 t 1 L
+ − −+ −
+ −
+ −
+ −
  = = == > ⇔ + − = ⇔ ⇔  + − =  = = − 
3 23 3
x 5 x 1 x 5 x 1 x 5 x 3x 3x 1⇔ + − = − ⇔ + = − ⇔ + = − + −
3 2
x 3x 2x 6 0 x 3⇔ − + − = ⇔ = .
● V y phương trình có m t nghi m là x 3= .
Bài 34.Bài 34.Bài 34.Bài 34. Cao ng K Thu t Y T I năm 2006
Gi i phương trình : ( ) ( ) ( )x x
2 2
1 log 9 6 log 4.3 6+ − = − ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n :
x
x
9 6 0
4.3 6 0
 − >
 − >
.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x x x
2 2 2 2 2
log 2 log 9 6 log 4.3 6 log 2. 9 6 log 4.3 6 ∗ ⇔ + − = − ⇔ − = − 
 
www.VNMATH.com

( ) ( )x
2
x x x x
x 1
3 1 L
2.9 12 4.3 6 2. 3 4.3 6 0 x 1
3 3
 = −⇔ − = − ⇔ − − = ⇔ ⇔ =
=
.
● Thay x 1= vào i u ki n và th a i u ki n. V y nghi m c a phương trình là x 1= .
Bài 35.Bài 35.Bài 35.Bài 35. Cao ng Tài Chính – H i Quan kh i A năm 2006
Gi i b t phương trình : ( )3
3x 5
log 1
x 1
−
< ∗
+
Bài gi i tham kh o
● i u ki n :
3x 5 5
0 x 1 x
x 1 3
−
> ⇔ < − ∨ >
+
.
( )
3x 5 3x 5 8
3 3 0 0 x 1 0 x 1
x 1 x 1 x 1
− − −
∗ ⇔ < ⇔ − < ⇔ < ⇔ + > ⇔ > −
+ + +
.
5
x ;
3
  ∈ +∞   
.
Bài 36.Bài 36.Bài 36.Bài 36. Cao ng K Thu t Cao Th ng năm 2006
Gi i phương trình : ( ) ( ) ( )2
2 2
log x 3 log 6x 10 1 0− − − + = ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n :
2
x 3 0 5
x
6x 10 0 3
 − > ⇔ >
 − >
.
( )
( ) ( )2 2
2
2 2
2 x 3 2 x 3 x 1
log log 1 1 x 3x 2 0
x 26x 10 6x 10
− − =∗ ⇔ = ⇔ = ⇔ − + = ⇔  =− − 
.
● So v i i u ki n, phương trình có nghi m duy nh t là x 2= .
Bài 37.Bài 37.Bài 37.Bài 37. Cao ng Kinh T Tp. H Chí Minh năm 2006
2
22 log x
x 8
+
= ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n : x 0> và x 1≠ .
( ) 2 2 2
2 x 2 x 2
2
1
2 log x log 8 log x 3.log 2 2 0 log x 3. 2 0
log x
∗ ⇔ + = ⇔ − + = ⇔ − + =
3
2 2 2 2
log x 2log x 3log x 0 log x 1 x 2⇔ + − = ⇔ = ⇔ = .
Bài 38.Bài 38.Bài 38.Bài 38. Cao ng i n L c Tp. H Chí Minh năm 2006
Gi i phương trình : ( )x 27 3
3
log 3 3log x 2log x
4
− = ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n : 0 x 1< ≠ .
( ) 2
3 3 3 3
3 3
3 1 3 1 1
. log x 2log x 0 . 3.log x log x
4 log x 4 log x 4
∗ ⇔ − − = ⇔ = ⇔ =
www.VNMATH.com

3 3
1 1 1
log x log x x 3 x
2 2 3
⇔ = ∨ = − ⇔ = ∨ = .
1
x 3 x
3
= ∨ = .
Bài 39.Bài 39.Bài 39.Bài 39. Cao ng Kinh T – Công Ngh Tp. H Chí Minh kh i A năm 2006
Gi i b t phương trình : ( )3
x 2
log
x5 1
−
< ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n :
x 2
0 x 0 x 2
x
−
> ⇔ < ∨ > .
( ) 3
x 2 x 2 2
log 0 1 0 x 0
x x x
− − −
∗ ⇔ < ⇔ < ⇔ < ⇔ > .
● K t h p v i i u ki n, t p nghi m c a b t phương trình là ( )x 2;∈ +∞ .
Bài 40.Bài 40.Bài 40.Bài 40. Cao ng Kinh T – Công Ngh Tp. H Chí Minh kh i D1 năm 2006
Gi i phương trình : ( ) ( )1 4
4
1
log x 3 1 log
x
− = + ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n :
x 3 0 x 3
x 31 x 00
x
 − >   >  ⇔ ⇔ > 
  >> 
.
( ) ( )4 4 4
1 x 3 x 3 1
log x 3 log 1 log 1 x 4
x x x 4
− −
∗ ⇔ − − − = ⇔ = − ⇔ = ⇔ = .
Bài 41.Bài 41.Bài 41.Bài 41. Cao ng Công Nghi p Hà N i năm 2005
( )
( )
2
5 5
log x log x
5 x 10+ ≤ ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n : x 0> .
● t t
5
log x t x 5= ⇒ = .
( ) ( )
2 2t
t t t 2
5
1
5 5 10 5 5 t 1 1 t 1 1 log x 1 x 5
5
∗ ⇔ + ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ − ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤
1
x ;5
5
 
 ∈
 
 
.
Bài 42.Bài 42.Bài 42.Bài 42. Cao ng Kinh T – K Thu t Công Nghi p I kh i A năm 2005
Tìm t p xác nh c a hàm s : ( )2
5
y log x 5.x 2= − + .
Bài gi i tham kh o
● Hàm s ư c xác nh khi và ch khi
www.VNMATH.com

( )
2
2
2
5
x 5.x 2 0, x 5 1 5 1
x 5.x 2 1 x x
2 2log x 5.x 2 0
 − + > ∀ ∈ − + ⇔ − + ≥ ⇔ ≤ ∨ ≥
 − + ≥
»
.
● V y t p xác nh c a hàm s ã cho là
5 1 5 1
D ; ;
2 2
   − +   = −∞ ∪ +∞        
.
Bài 43.Bài 43.Bài 43.Bài 43. Cao ng Sư Ph m Cà Mau kh i B năm 2005
2
lg x 2 lg x 3lg x 2
x 10 − +
= ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n : x 0>
( )
2
lg x 2 lg x 3 lg x 2 2 2 2
lg x lg10 lg x 2lg x 3lg x 2 lg x 3lg x 2 0− +
∗ ⇔ = ⇔ = − + ⇔ − + =
lg x 1 x 10
lg x 2 x 100
 = = ⇔ ⇔ = =  
.
● K t h p v i i u ki n, nghi m c a phương trình là x 10 x 100= ∨ = .
Bài 44.Bài 44.Bài 44.Bài 44. Cao ng Sư Ph m Vĩnh Phúc kh i B năm 2006
0,5 2 x
log x log x log 4x+ = ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n : 0 x 1< ≠ .
( )
2
2 2 x x
log x 2log x log 4 log x ∗ ⇔ − + = +  
2
2 2
4
1
log x 2log x 1 0
log x
⇔ + − − =
2
2 2
2
2
log x 2 log x 1 0
log x
⇔ + − − =
2
2 2
3 2 2
2
x 2
log x 1
t log x t log x 1
log x 1 x
t 1 t 1 t 2t 2t t 2 0 2
log x 2 1
x
4

 = =  = =   ⇔ ⇔ ⇔ = − ⇔ =     = ∨ = − ∨ = −+ − − =    = −  =

.
● So v i i u ki n, nghi m c a phương trình là
1 1
x x x 2
4 2
= ∨ = ∨ = .
Bài 45.Bài 45.Bài 45.Bài 45. Cao ng Sư Ph m Vĩnh Phúc kh i A năm 2006
Gi i b t phương trình : ( ) ( )
x
x
4 1
4
3 1 3
log 3 1 .log
16 4
−
− ≤ ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n : x x
3 1 0 3 1 x 0− ≥ ⇔ ≥ ⇔ > .
( ) ( ) ( )x x
4 4 4
3
log 3 1 . log 3 1 log 16 0
4
 ∗ ⇔ − − − + − ≤ 
 
www.VNMATH.com

( ) ( )2 x x
4 4
3
log 3 1 2log 3 1 0
4
⇔ − − + − − ≤
( ) ( ) ( )
( )
x xx
4 44
2
x
4
1
t log 3 1 log 3 1t log 3 1 x 1
2
1 3 3 x 34t 8t 3 0 t t log 3 1
2 2 2
 = −  − < = − <    ⇔ ⇔ ⇔ ⇔     >− + ≤ < ∨ >   − >   
.
● K t h p v i i u ki n, t p nghi m c a b t phương trình là ( ) ( )x 0;1 3;∈ ∪ +∞ .
Bài 46.Bài 46.Bài 46.Bài 46. Cao ng Sư Ph m Tp. H Chí Minh kh i A năm 2006
Gi i h phương trình : ( )2 3
2 3
log x 3 5 log y 5
3 log x 1 log y 1
 + − = ∗
 − − = −
Bài gi i tham kh o
● i u ki n : 3 3
2 2
x 0, y 0 x 0, y 0 x 0, y 0
x 2
5 log y 0 log y 5 y 162
0 y 162
log x 1 0 log x 1 x 2
    > > > > > >      ≥  − ≥ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔   
    < ≤   − ≥ ≥ ≥      
.
● t :
2
3 3
2
22
a 5 log y 0 a 5 log y
b log x 1b log x 1 0
  = − ≥ = −  ⇔ 
  = −= − ≥ 
.
( )
2 2
2 2 2 2
2 2
b 1 3a 5 b 3a 4
b 3a a 3b b a 3a 3b 0
3b a 5 1 a 3b 4
  + + = + =  ∗ ⇔ ⇔ ⇔ + = + ⇔ − + − = 
 + − = − + =   
( )( ) ( ) ( )( )
a b
b a b a 3 b a 0 b a b a 3 0
a b 3
 =⇔ − + − − = ⇔ − + − = ⇔  + =
( )
( )
2
3
2
22
a b a b
a 1 a 4 La 3a 4 0 a 5 log y 1
b 3 ab 3 a b log x 1 1
a 3a 6 0 VNa 9 3a 3
   = =  
     = ∨ = −+ − = = − =    ⇔ ⇔ ⇔    = −= − = − =     − + =+ − =   
4
3 3
2 2
5 log y 1 log y 4 y 3 81
log x 1 1 log x 2 x 4
   − = = = =  ⇔ ⇔ ⇔  
  − = = =    
.
( )
( )
x y
5
3 .2 1152
log x y 2
− = ∗
 + =
Bài gi i tham kh o
● i u ki n : x y 0+ > .
( )
( )
x y x y
x 5 x 5 x
5
y 5 x y 5 x3 .2 1152 3 .2 1152
x y 5 3 .2 1152 2 .6 1152log x y 1
− −
− − −
      = − = −= =      ∗ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔   
   + = = =+ =       
www.VNMATH.com

x
y 5 x x 2
y 36 36−
  = − = − ⇔ ⇔ 
  == 
.
● So v i i u ki n, nghi m c a h là ( ) ( ){ }S x;y 2;3= = − .
Bài 48.Bài 48.Bài 48.Bài 48. Cao ng Du L ch Hà N i kh i A năm 2006
Gi i phương trình : ( )2
3
log 8 x x 9 2
  − + + = ∗  
Bài gi i tham kh o
● i u ki n : 2
8 x x 9 0− + + > .
( ) 2 2
2 2
x 1 0 x 1
8 x x 9 9 x 9 x 1
x 4x 9 x 2x 1
  + ≥ ≥ − ∗ ⇔ − + + = ⇔ + = + ⇔ ⇔ 
  =+ = + + 
x 4⇔ = .
● Thay nghi m x 4= vào i u ki n và th a i u ki n. V y nghi m phương trình là x 4= .
Bài 49.Bài 49.Bài 49.Bài 49. Cao ng Kinh T K Thu t Ngh An kh i A năm 2006
Gi i phương trình : ( ) ( )x x 1
3 3
log 3 1 .log 3 3 2+
+ + =
Bài gi i tham kh o
● T p xác nh : D = » .
( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x x x
3 3 3 3
log 3 1 .log 3. 3 1 2 log 3 1 . 1 log 3 1 2   ∗ ⇔ + + = ⇔ + + + =      
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
xxx x
333 3
x2
3
log 3 1 1t log 3 1t log 3 1 t log 3 1
t 1 t 2t. t 1 2 log 3 1 2t t 2 0
   + == += + = +    ⇔ ⇔ ⇔ ⇔   
   = ∨ = −+ = + = −+ − =     
( )
x
x
3x 2 x
3 23 1 3
x log 28
3 1 3 3 L
9
−
 =+ = ⇔ ⇔ ⇔ = + = = − 
.
● V y nghi m c a phương trình là 3
x log 2= .
Bài 50.Bài 50.Bài 50.Bài 50. Cao ng Sư Ph m Quãng Ngãi năm 2006
Gi i phương trình : ( )x x x
8 18 2.27+ = ∗
Bài gi i tham kh o
( )
x x
2x 3x x
3 2 3 2
3 3
t 0 t 03 3 3
1 2. t 12 2
2 2 2
2t t 1 0 2t t 1 0
               = > = >            ∗ ⇔ + = ⇔ ⇔ ⇔ = =                       − − = − − =   
x 0⇔ = .
● V y phương trình có m t nghi m là x 0= .
Bài 51.Bài 51.Bài 51.Bài 51. Cao ng C ng ng Hà Tây năm 2005
Gi i b t phương trình : ( )2x 4 x 2x 2
3 45.6 9.2 0+ +
+ − ≤ ∗
Bài gi i tham kh o
www.VNMATH.com

( )
2x x
x x x 3 3
81.9 45.6 36.4 0 81. 45. 36 0
2 2
      ∗ ⇔ + − ≤ ⇔ + − ≤        
x
x
2
3 t 0
t 0 4 3 4
0 t 02 4
9 2 91 t
81t 45t 36 0 9
     >   = >     ⇔ ⇔ ⇔ < ≤ ⇔ < <       − ≤ ≤    + − ≤ 
3
2
4
x log x 2
9
⇔ ≤ ⇔ ≤ − .
● V y t p nghi m c a b t phương trình là (x ; 2∈ −∞ −  .
Bài 52.Bài 52.Bài 52.Bài 52. Cao ng Sư Ph m Lai Châu kh i A năm 2005
Gi i phương trình : ( ) ( ) ( ) ( )
2 3 3
1 1 1
4 4 4
3
log x 2 3 log 4 x log x 6
2
+ − = − + + ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n :
( )
( )
( )
2
3
3
x 2 0
x 2
4 x 0
6 x 4
x 6
 + >  ≠  − > ⇔ 
 − < <  +
.
( ) ( ) ( )1 1 1 1
4 4 4 4
1
3log x 2 3.log 3log 4 x 3log x 6
4
∗ ⇔ + − = − + +
( ) ( )( )1 1
4 4
log 4 x 2 log 4 x x 6⇔ + = − +
( )( ) 2
4 x 2 4 x x 6 4 x 2 x 2x 24⇔ + = − + ⇔ + = − − +
2 2
2 2
x 2 x 84x 8 x 2x 24 x 6x 16 0
x 2x 2 0 x 2
x 1 334x 8 x 2x 24 x 2x 32 0
x 2x 2 0 x 2
       = ∨ = −+ = − − + + − =         ≥ − + ≥ ≥ −       ⇔ ⇔ ⇔       = ±+ = + − − − =           < −+ < < −        
x 2
x 1 33
 =⇔ 
= −
.
● K t h p v i i u ki n, nghi m c a phương trình là x 2 x 1 33= ∨ = − .
Bài 53.Bài 53.Bài 53.Bài 53. Cao ng Sư Ph m Lai Châu kh i B năm 2005
Gi i b t phương trình : ( ) ( ) ( )2 x 1
5
log x 1 log 2
2+
+ + ≥ ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n : 0 x 1 1 1 x 0< + ≠ ⇔ − < ≠ .
( ) ( )
( )
( )2
2
1 5
log x 1 0
2log x 1
∗ ⇔ + + − ≥ ∗ ∗
+
● t ( )2
t log x 1= + . Khi ó : ( ) 21 5
t 0 2t 5t 2 0
t 2
∗ ∗ ⇔ + − ≥ ⇔ − + ≥
www.VNMATH.com

( )
( )
2
2
11
x 1 2 x 2 1log x 1t
22
x 1 4 x 3t 2 log x 1 2
   + ≤ ≤ −+ ≤≤  ⇔ ⇔ ⇔ ⇔  + ≥ ≥ ≥ + ≥   
.
● K t h p v i i u ki n, t p nghi m phương trình là : ( ) ( ) { }x 1; 2 1 3; 0∈ − − ∪ +∞ .
Gi i b t phương trình : ( ) ( )2
x
log 5x 8x 3 2− + > ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n : ( )2
0 x 10 x 1 3
x 0; 1;3
5x 8x 3 0 5x x 1
5
 < ≠   < ≠     ⇔ ⇔ ∈ ∪ +∞     − + > < ∨ >    
.
( )
( ) ( )
2 2
2 2
3
x 0;
3 5x 0;
5 1 3
x ;
5x 8x 3 x 2 2
x 1; x 1;
1 35x 8x 3 x
x ; ;
2 2
     ∈         ∈           ∈   − + < ∗ ⇔ ⇔        ∈ +∞ ∈ +∞        − + >      ∈ −∞ ∪ +∞            
1 3
x ;
2 5
3
x ;
2
   ∈     ⇔    ∈ +∞    


.
● V y t p nghi m c a phương trình là
1 3 3
x ; ;
2 5 2
      ∈ ∪ +∞        
.
Bài 55.Bài 55.Bài 55.Bài 55. i h c Qu c Gia Tp. H Chí Minh kh i B năm 2001
( )( ) ( )2
1 x
log 1 x 1
−
− ≥ ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n : 2
2
1 x 0
1 x 1
1 x 0
x 0
1 x 1
 − >  − < <  − > ⇔ ⇒ 
  ≠  − ≠
T p xác nh : ( ) { }D 1;1 0= − .
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )2 2
2 2 2
1 x 1 x
log 1 x log 1 x 1 x 1 1 x 1 x 0
− −
∗ ⇔ − ≥ − ⇔ − − − − + ≥
( )2 2 2
x x x 0 x x 0 0 x 1⇔ − ≤ ⇔ − ≤ ⇔ ≤ ≤ .
● K t h p v i t p xác nh, t p nghi m c a b t phương trình là : ( )x 0;1∈ .
Bài 56.Bài 56.Bài 56.Bài 56. i h c Qu c Gia Tp. H Chí Minh kh i A năm 2001
2
2 2 2log 2x log 6 log 4x
4 x 2.3− = ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n :
x 0
x 0
x 0
 > ⇔ > ⇒
 ≠
T p xác nh : ( )D 0;= +∞ .
( ) 2 2 2 2 2 21 log x log x 2 log 2x log x log x 1 log x
4 6 2.3 0 4.4 6 2.9 0
+ +
∗ ⇔ − − = ⇔ − − =
www.VNMATH.com

2 2
2 2 2
2
log x log x
log x log x log x 3 3
4.4 6 18.9 0 4 18. 0
2 2
        ⇔ − − = ⇔ − − =          
  
( )
( )
2
2
2
log x
2
log x
2log x
3 418t t 4 0 t N
12 9
log x 2 x3 4t 0 3 1
t L2
2 2
    + − = = =     ⇔ ⇔ ⇔ = − ⇔ =      = >    = = −      
.
1
x
4
= .
Bài 57.Bài 57.Bài 57.Bài 57. i h c Ngo i Thương Tp. H Chí Minh kh i A năm 2001
Gi a và bi n lu n phương trình : ( )
2 2
x 2mx 2 2x 4mx m 2 2
5 5 x 2mx m+ + + + +
− = + + ∗
Bài gi i tham kh o
● t :
2
2
a x 2mx 2
b x 2mx m
 = + +
 = + +
. Lúc ó : ( ) ( )a a b
5 5 b+
∗ ⇔ − = ∗ ∗ .
● Ta có :
a a b
a a b
b 0 5 5 0
b 0 5 5 0
+
+
 > ⇒ − <
 < ⇒ − >
. Do ó : ( ) 2
b 0 x 2mx m 0∗ ∗ ⇔ = ⇔ + + = .
● L p 2
' m m∆ = − .
● Trư ng h p 1 : 2
' m m 0 0 m 1 :∆ = − < ⇔ < < Phương trình vô nghi m.
● Trư ng h p 2 : 2
' m m 0 m 0 m 1 :∆ = − > ⇔ < ∨ > Phương trình có 2 nghi m phân
bi t : 2 2
1 2
x m m m, x m m m= − − − = − + − .
● Trư ng h p 3 : 2
m 0 :
' m m 0
m 1 :
 =∆ = − = ⇔  =
Bài 58.Bài 58.Bài 58.Bài 58. i h c Y Dư c Tp. H Chí Minh năm 2001
Cho phương trình : ( ) ( ) ( )2 2 2 2
4 1
2
2log 2x x 2m 4m log x mx 2m 0− + − + + − = ∗ . Xác
nh tham s m phương trình ( )∗ có hai nghi m 1 2
x ,x th a : 2 2
1 2
x x 1+ > .
Bài gi i tham kh o
( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 2
log 2x x 2m 4m log x mx 2m∗ ⇔ − + − = + −
2 2 2 2
2 2 2 2
x mx 2m 0 x mx 2m 0
x 2m x 1 m2x x 2m 4m x mx 2m
  + − > + − >  ⇔ ⇔ 
  = ∨ = −− + − = + − 
.
● ( )∗ có hai nghi m 1 2
x ,x th a : 2 2
1 2
x x 1+ >
1 2 2
2 2
1 2 2
2 2
1 1 2
2 2
2 2
x 2m, x 1 m m 04m 0 1 m 0x x 1 1
2m m 1 0 1 m 2 1
x mx 2m 0 2 m
5m 2m 0 5 22
m 0 mx mx 2m 0
5
 = = −  ≠  >   − < < + >    ⇔ ⇔ − − + > ⇔ − < < ⇔  
  + − > < <     − >     < ∨ >+ − >  
.
Phương trình có 1 nghi m .
Phương trình có 1 nghi m .
www.VNMATH.com

● V y ( )
2 1
m 1;0 ;
5 2
  ∈ − ∪    
th a yêu c u bài toán.
Bài 59.Bài 59.Bài 59.Bài 59. i h c Nông Lâm Tp. H Chí Minh năm 2001
Tìm m b t phương trình: ( ) ( )2
x x x 12 m.log 2 4 x+ + ≤ + − ∗ có nghi m.
Bài gi i tham kh o
● i u ki n :
x 0
4 x 0 0 x 4
x 12 0
 ≥ − ≥ ⇔ ≤ ≤ ⇒
 + ≥
T p xác nh : D 0;4 =    .
● Ta có : x 0;4 ∀ ∈    thì ( )2 2
log 2 4 x log 2 1 0+ − ≥ = > .
● Lúc ó: ( )
( )2
x x x 12
m
log 2 4 x
+ +
∗ ⇔ ≤
+ −
.
● M t khác : x 0;4 ∀ ∈    thì
( )
( ) ( )2
f x x x x 12 :
g x log 2 4 x :
 = + +
 = + −
● Do ó :
( )
( )
f x
g x
t min là
( )
( )
f 0
3
g 0
= ⇒ ( )1 có nghi m khi và ch khi m 3≥ .
Bài 60.Bài 60.Bài 60.Bài 60. i h c C n Thơ năm 2001
Xác nh c a m i giá tr c a tham s m h sau 2 nghi m phân bi t :
( ) ( ) ( )
( ) ( )2
33 3
2
2 x 2x 5
log x 1 log x 1 log 4 1
log x 2x 5 m log 2 5 2
− +
 + − − >
 − + − =
Bài gi i tham kh o
( ) ( ) ( )3 3 3 3 3
x 1 x 1x 1
1 x 1 x 12log x 1 2log x 1 2log 2 log log 2 2
x 1 x 1
  > >  >    ⇔ ⇔ ⇔  + +  + − − > > >    − −  
x 1
1 x 33 x
0
x 1
 >⇔ ⇔ < < − > −
.
● t 2
y x 2x 5= − + và xét hàm 2
y x 2x 5= − + trên ( )1;3 .
Ta có : y ' 2x 2. Cho y ' 0 x 1= − = ⇔ = .
x −∞ 1 3 +∞
y' − 0 +
y
8
4
● Do ó : ( ) ( )x 1;3 y 4;8∀ ∈ ⇒ ∈ .
t min là .
t max là .
www.VNMATH.com

● t ( )2
2
t log x 2x 5= − + .
Ta có : ( ) ( ) ( )2 2
2
y x 2x 5 4;8 t log x 2x 5 2;3= − + ∈ ⇒ = − + ∈ .
( ) ( ) ( ) ( )2m
2 t 5 f t t 5t m , t 2;3
t
⇔ − = ⇔ = − = ∗ ∀ ∈ .
● Xét hàm s ( ) 2
f t t 5t= − trên kho ng ( )2;3 .
( ) ( )
5
f ' t 2t 5. Cho f ' t 0 t
2
= − = ⇔ = .
B ng bi n thiên
t −∞ 2
5
2
3
+∞
( )f ' t − 0 +
( )f t
6− 6−
25
4
−
● D a vào b ng bi n thiên, h có hai nghi m phân bi t
25
m 6
4
⇔ − < < − .
Bài 61.Bài 61.Bài 61.Bài 61. i h c à N ng kh i A, B t 1 năm 2001
( )
( )
( )x
y
log 6x 4y 2
log 6y 4x 2
 + = ∗
 + =
Bài gi i tham kh o
● i u ki n :
x 0, x 1
y 0, y 1
 > ≠

 > ≠
.
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( )
1 22
2
6x 4y x 1
2 x y x y x y x y x y 2 0
6y 4x y 2
− + =∗ ⇔ ⇔ − = − + ⇔ − + − =
 + =
2
2
x y x y x y 0
6x 4y x y 0 y 10x y x y 10
y 2 x x 2, y 0y 2 x y 2 x
x 4, y 6x 4 x 26x 4y x
  =  = = =       + = = ∨ == = =     ⇔ ⇔ ⇔ ⇔   = − = = = − = −       = − = = − ∨ = + =    
.
Bài 62.Bài 62.Bài 62.Bài 62. i h c à N ng kh i A t 2 năm 2001
Tìm m b t phương trình ư c nghi m úng ( ) ( )2
m
x : log x 2x m 1 0∀ − + + > ∗
Bài gi i tham kh o
( ) ( )2
m m
log x 2x m 1 log 1∗ ⇔ − + + >
www.VNMATH.com

( )
2 2
2 2
0 m 1
0 m 1 0 m 1 a 1 0 Sai
x 2x m 1 1 x 2x m 0 ' 0
m
m 1 m 1 m 1
a 1 0x 2x m 1 1 x 2x m 0
' 1 m 0
 < <    < <  < < = <       − + + < − + < ∆ <      ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ >     > > >          = >− + + > − + >        ∆ = − <
1.
● V y b t phương trình có nghi m úng x m 1∀ ⇔ > .
Bài 63.Bài 63.Bài 63.Bài 63. i h c Sư Ph m Vinh kh i A, B năm 2001
Gi i phương trình : ( )2 2 2
4 5 20
log x x 1 .log x x 1 log x x 1
         − − + − = − − ∗           
Bài gi i tham kh o
● i u ki n :
2
2
2
x x 1 0
x x 1 0 x 1
x 1 0
 − − > + − > ⇔ ≥
 − ≥
.
( ) 2 2 2
4 20 5 20
log 20.log x x 1 .log x x 1 log x x 1 0
         ∗ ⇔ − − + − − − − =           
2 2
20 4 5
log x x 1 . log 20.log x x 1 1 0
      ⇔ − − + − − =         
22
20
22
5 204 5
4
x x 1 1log x x 1 0
1
log x x 1 log 4log 20.log x x 1 1 0
log 20
   − − = − − =    ⇔ ⇔       + + = =  + − − =        
2020
20
2
2 2
log 4log 42
log 42
2 2 2
x 1
x 1 0
x 1x 1 x 1
x 1 x 2x 1
x 5 ax x 1 5
x 1 5 x
x 1 a 2ax x
 ≥ − ≥    =− = −   − = − + ⇔ ⇔ ⇔    ≥ =+ + =  + = −   + = − +
( ) ( )20
20
log 42 2
log 4
x 1x 1x 1
11
x 25 12ax a 1 x a 1
2a 2.5
 == =  ⇔ ⇔ ⇔  = −= − = −   
.
● So v i i u ki n, phương trình có hai nghi m là : ( )20
20
log 4
log 4
1
x 1 x 25 1
2.5
= ∨ = − .
Bài 64.Bài 64.Bài 64.Bài 64. i h c Th y L i năm 2001
Gi i phương trình : ( ) ( )
2 2x 1 x x
2 2 x 1− −
− = − ∗
Bài gi i tham kh o
● T p xác nh : D = » .
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
x 1 x x 2 x 1 x x 2
2 2 x 2x 1 2 x 1 2 x x 1− − − −
∗ ⇔ − = − + ⇔ + − = + −
● Nh n th y ( )1 có d ng : ( ) ( ) ( )2
f x 1 f x x 2− = −
www.VNMATH.com

● Xét hàm s ( ) t
f t 2 t= + trên » :
( ) ( )t
f ' t 2 ln2 1 0, t f t= + > ∀ ∈ ⇒» ng bi n trên ( )3»
● T ( ) ( ) ( ) 2 2
1 , 2 , 3 x 1 x x x 2x 1 0 x 1⇒ − = − ⇔ − + = ⇔ = .
● V y phương trình có nghi m duy nh t là x 1= .
Bài 65.Bài 65.Bài 65.Bài 65. i h c Ngo i Thương Tp. H Chí Minh kh i D năm 2001
2
2
3 2
x x 3
log x 3x 2
2x 4x 5
 + +   = + + ∗  + + 
Bài gi i tham kh o
● i u ki n :
2
2
x x 3
0, x
2x 4x 5
+ +
> ∀ ∈ ⇒
+ +
» T p xác nh : D = » .
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
3 3
x x 3 log x x 3 2x 4x 5 log 2x 4x 5 1⇔ + + + + + = + + + + +
● Phương trình ( )1 có d ng : ( ) ( ) ( )2 2
f x x 3 f 2x 4x 2 2+ + = + +
● Xét hàm s : ( ) 3
f t t log t= + trên kho ng ( )0;+∞ .
Ta có : ( ) ( )
1
f ' t 1 0, t 0 f t :
tln 3
  = + > ∀ > ⇒   
ng bi n trên kho ng ( ) ( )0; 3+∞
● T ( ) ( ) ( ) 2 2 2
x 1
1 , 2 , 3 x x 3 2x 4x 2 x 3x 2 0
x 2
 = −⇒ + + = + + ⇔ + + = ⇔  = −
.
● V y phương trình có hai nghi m là x 2 x 1= − ∨ = − .
Bài 66.Bài 66.Bài 66.Bài 66. i h c Nông Nghi p I kh i B năm 2001
Gi i phương trình : ( ) ( )2 x 2x
log 2 x log x 2
+
+ + = ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n : 0 x 1< ≠ .
( ) ( )x xx 2
x
1 1
log 2 x log x 2 log x 2 2 0
2 log x 2
+
∗ ⇔ + + = ⇔ + + − =
+
x
2x2
x 0t log x 2
t log x 2 1 x 2 x
x 2 xt 2t 1 0
   ≥= +  ⇔ ⇔ = + = ⇔ + = ⇔ 
  + =− + = 
2
x 0 x 0
x 2
x 1 x 2x x 2 0
  ≥ ≥ ⇔ ⇔ ⇔ = 
  = − ∨ =− − = 
.
● So v i i u ki n, nghi m c a phương trình là x 2= .
Bài 67.Bài 67.Bài 67.Bài 67. i h c Lu t Hà N i – i h c Dư c Hà N i năm 2001
Gi i phương trình : ( ) ( ) ( )2
1 1
2 2
x 1 log x 2x 5 .log x 6 0+ + + + ≥ ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n : x 0> ⇒ T p xác nh ( )D 0;= +∞ .
( ) ( ) ( ) ( )2
2 2
x 1 log x 2x 5 log x 6 0 1∗ ⇔ + − + + ≥ .
www.VNMATH.com

● t 2
t log x= . Lúc ó : ( ) ( ) ( ) ( )2
1 x 1 .t 2x 5 .t 6 0 2⇔ + − + + ≥
● L p ( ) ( ) ( )
2 22
2x 5 24 x 1 4x 4x 1 2x 1∆ = + − + = − + = − .
( ) ( )1 2
2x 5 2x 1 2x 5 2x 1 3
t 2 t
x 12 x 1 2 x 1
+ + − + − +
⇒ = = ∨ = =
++ +
.
● Xét 1 2
3 2x 1
t t 2
x 1 x 1
−
− = − =
+ +
x −∞ 1− 0
1
2
+∞
1 2
t t− + 0 − 0 +
● N u 1 2 1 2
1
0 x t t 0 t t ,
2
< ≤ ⇒ − < ⇔ < lúc ó t p nghi m c a ( )2 là :
( )
( )
2
2 1
2 2 2
log x 2 at log x t
3t log x t log x b
x 1
 ≤ = ≤ ⇔ = ≥ ≥  +
Do ó, khi
1
0 x
2
< ≤ thì ( )a th a ( ), b không th a nên t p nghi m ( )2 là
1
0;
2
 
   
( )3
● N u 1 2 2 1
1
x t t 0 t t ,
2
> ⇒ − > ⇔ < lúc ó t p nghi m c a ( )2 là
2
2 1
2 2 2
log x 2 x 4t log x t
3 1t log x t log x x 2
x 1 2
 ≥ ≥ = ≥   ⇔ ⇔  = ≤ ≤ < ≤  + 
Do ó, khi
1
x
2
> thì t p nghi m c a ( )2 là )
1
;2 4;
2
 
  ∪ +∞   
( )4
● T ( ) ( )3 , 4 ⇒ T p nghi m c a phương trình là : ( )x 0;2 4; ∈ ∪ +∞   .
Bài 68.Bài 68.Bài 68.Bài 68. i h c Nông Nghi p I kh i A năm 2001
Gi i và bi n lu n b t phương trình : ( )2 2a a aa a
1
log log x log log x log 2
2
+ ≥ ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n : x 0> .
● Cơ s a ph i th a mãn i u ki n : 0 a 1< ≠ .
( ) a a a a a
1 1 1
log .log x log log x log 2
2 2 2
  ∗ ⇔ + ≥   
a a a a a a
1 1 1
log log log x log log x log 2
2 2 2
⇔ + + ≥
a a a a
1 3 1
log log log x log 2
2 2 2
⇔ − + ≥
a a a
3 3
log log x log 2
2 2
⇔ ≥
www.VNMATH.com

( )a a a
log log x log 2⇔ ≥ ∗ ∗
● N u ( ) 2
a
0 a 1 : 0 log x 2 a x 1< < ∗ ∗ ⇔ < ≤ ⇔ ≤ < .
● N u ( ) 2
a
a 1 : log x 2 x a> ∗ ∗ ⇔ ≥ ⇔ ≥ .
Bài 69.Bài 69.Bài 69.Bài 69. H c Vi n Công Ngh Bưu Chính Vi n Thông năm 2001
Tìm t t c các giá tr c a tham s a sao cho b t phương trình sau ư c nghi m úng x 0∀ ≤ :
( ) ( ) ( ) ( )
x x
x 1
a.2 2a 1 . 3 5 3 5 0+
+ + − + + < ∗
Bài gi i tham kh o
( ) ( ) ( ) ( )
x x
x
2a 1 . 3 5 3 5 2a.2 0∗ ⇔ + − + + + <
( ) ( )
x x
3 5 3 5
2a 1 . 2a 0 1
2 2
    − +   ⇔ + + + <         
● Nh n xét :
x x
x3 5 3 5 3 5 3 5
1 1 1
2 2 2 2
         − + − +         = ⇔ = =                        
. Do ó, khi t
x x
3 5 3 5 1
t
2 2 t
    + −   = ⇒ =         
. Do x 0 0 t 1≤ ⇒ < ≤ .
( ) ( ) (
1
1 2a 1 . t 2a 0, t 0;1
t
⇔ + + + < ∀ ∈ 
(2
t 2at 2a 1 0, t 0;1⇔ + + + < ∀ ∈ 
( ) (2
2a t 1 t 1, t 0;1⇔ + < − − ∀ ∈ 
( ) ( ( )
2
t 1
2a f t , t 0;1 2
t 1
− − ⇔ < = ∀ ∈ +
● Xét hàm s ( )
2
t 1
f t
t 1
− −
=
+
trên n a kho ng o n (0;1
 .
Ta có : ( )
( )
2
2
t 2t 1
f ' t
t 1
− − +
=
+
. Cho ( )f ' t 0 t 2 1 t 2 1= ⇔ = − ∨ = − − .
B ng xét d u
t −∞ 2 1− − 0 2 1− 1 +∞
( )f ' t − 0 + 0 −
( )f t
2 2 2−
1− 1−
● D a vào b ng bi n thiên và ( )2
1
2a 1 a
2
⇒ ≤ − ⇔ ≤ − th a yêu c u bài toán.
Bài 70.Bài 70.Bài 70.Bài 70. i h c Kinh T Qu c Dân năm 2001
www.VNMATH.com

Gi i phương trình : ( ) ( ) ( ) ( )2 2
2x 33x 7
log 9 12x 4x log 6x 23x 21 4++
+ + + + + = ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n :
( )
( )( )
2
2
7
2 x1 3x 7 0
3
1 2x 3 0 3 31 x 1 x
29 12x 4x 0 2
2x 3 0
6x 23x 21 0
2x 3 3x 7 0
 − ≠ > − ≠ + >   ≠ + >  − ≠ > −⇔ ⇔ − ≠ > − 
 + + >   + > + + >   + + >
.
( ) ( ) ( ) ( )( )( )
2
3x 7 2x 3
log 2x 3 log 2x 3 3x 7 4+ +
∗ ⇔ + + + + =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )3x 7 2x 3 2x 3
2log 2x 3 log 2x 3 log 3x 7 4+ + +
⇔ + + + + + =
( )( )
( ) ( ) ( )( )
( )( )
3x 7 3x 7
3x 7
2
3x 7
t log 2x 3 t log 2x 3 1t log 2x 3
1 1
2t 3t 1 02t 3 0 t log 2x 3
t 2
+ +
+
+
  = + = + = = +  ⇔ ⇔ ⇔    − + =+ − = = + =     
( )
2
3
xx 4 L
22x 3 3x 7 1
2x 3 0 x 2 x
42x 3 3x 7
19 12x 4x 3x 7
x
4
 ≥ −= −  + = +     + ≥ = −⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = −   + = +     + + = +   = − 
.
1
x
4
= − .
Bài 71.Bài 71.Bài 71.Bài 71. i h c Th y S n năm 1999
Gi i b t phương trình : ( ) ( )x x
2
log 7.10 5.25 2x 1− > + ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n :
x
x x x x
10
25
10 5 5
7.10 5.25 0 7.10 5.25 x log
25 7 7
  − > ⇔ > ⇔ > ⇔ <   
.
( )
2
x x
x x 2x 1 x x x 5 5
7.10 5.25 2 7.10 5.25 2.4 0 7. 5. 2 0
2 2
+
        ∗ ⇔ − > ⇔ − − > ⇔ − − >          
  
x
x
x
2
55 t 0t 0 2 52 1 1 x 02
5 22
5t 7t 2 0 t 1
5
        = >    = >         ⇔ ⇔ ⇔ < < ⇔ − < <          − + − > < <  
.
● K t h p v i i u ki n, t p nghi m c a b t phương trình là : ( )x 1;0∈ − .
Bài 72.Bài 72.Bài 72.Bài 72. i h c Qu c Gia Hà N i – kh i B năm 1999
2
2
x 8x 1
log 2
x 1
 + −   ≤ ∗  + 
Bài gi i tham kh o
www.VNMATH.com

( )
2
2
2
4 17 14 17 1x 8x 1
0 4 17 x 5x 4 17x 4 17x 1
x 8x 1 4 17 x 1x 5x 4x 54 0x 1 1 x 1x 1
 − − < − − − < − + −   >  − − < ≤ −  > − +  > − +  + ∗ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔     + − − + < ≤≤ −  + − ≤     ≤ +   − ≤ ≤+  
.
V y t p nghi m c a b t phương trình là : ( ( )x 4 17; 5 4 17;1∈ − − − ∪ − +
.
Bài 73.Bài 73.Bài 73.Bài 73. i h c Qu c Gia Hà N i kh i D năm 1999
Gi i b t phương trình : ( ) ( )2
1
2
log x 3x 2 1− + ≥ − ∗
Bài gi i tham kh o
( ) ( ) ( )2 2
2 2
log x 3x 2 1 log x 3x 2 1∗ ⇔ − − + ≥ ⇔ − + ≤
2
2
x 3x 2 0 x 1 x 2 0 x 1
0 x 3 2 x 3x 3x 2 2
    − + > < ∨ > ≤ <  ⇔ ⇔ ⇔  
  ≤ ≤ < ≤− + ≤   
.
V y t p nghi m c a b t phương trình là ) (x 0;1 2;3 ∈ ∪   .
Bài 74.Bài 74.Bài 74.Bài 74. i h c Hu kh i D – h chưa phân ban năm 1999
Gi i phương trình : ( ) ( )4 x
log x 2 .log 2 1+ = ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n : 0 x 1< ≠ .
( ) ( ) ( ) ( ) 2
2 2 2 2 2
2
1 1
log x 2 . 1 log x 2 2log x log x 2 log x
2 log x
∗ ⇔ + = ⇔ + = ⇔ + =
2
x 1
x 2 x
x 2
 = −⇔ + = ⇔  =
.
● So v i i u ki n, nghi m c a phương trình c n tìm là x 2= .
Bài 75.Bài 75.Bài 75.Bài 75. i h c Hu kh i D – H chuyên ban năm 1999
Gi i phương trình : ( )2
x 9
x log 27.log x x 4= + ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n : 0 x 1< ≠ .
( ) 2 2 2
9 x 9
4
3 x
x .log x.log 27 x 4 x log 27 x 4 x . x 4 3
2 x 2

 = −
∗ ⇔ = + ⇔ = + ⇔ = + ⇔

=
.
Bài 76.Bài 76.Bài 76.Bài 76. H c Vi n Công Ngh Bưu Chính Vi n Thông năm 1999
1/ Gi i h phương trình :
( ) ( )
( )
x y
y x
3 3
4 32
log x y 1 log x y
+
 = ∗
 − = − +
2/ Tìm t t c các giá tr c a m b t phương trình sau có nghi m úng x 0 :∀ >
( ) ( ) ( )x x x
3m 1 .12 2 m 6 3 0+ + − + < ∗ ∗
Bài gi i tham kh o
www.VNMATH.com

1/ Gi i h phương trình :
( ) ( )
( )
x y
y x
3 3
4 32
log x y 1 log x y
+
 = ∗
 − = − +
● i u ki n : x y> .
( )
( ) ( ) ( )( )
x y 5
y x 2
2 23 3 3
x
t
yx y 5
1 54 4 ty x 2
t 2log x y log x y log 3 x y x y 3
x y 3 0
+
 =   + =   =∗ ⇔ ⇔ ⇔ + =  
    − + + = − + =    − − =
2 2
2 22 2
2 22 2
x
x 1t y 2x
y y 2xy 2 x y 3 01
x x 2yt t 2
2 x 2y2
y x y 3 0x y 3 0
x y 3 0x y 3 0
   = =  =    =      − − =      = ⇔ = ∨ = ⇔ ⇔ ⇔  =     =       − − = − − =      − − =− − =    
( )2 2
y 2x x 2y y 1, x 2
VN
y 1, x 23x 3 y 1
   = = = − = −   ⇔ ∨ ⇔    = =− = =     
.
● K t h p v i i u ki n, nghi m h phương trình là ( ) ( ){ }S x;y 2;1= = .
2/ Tìm t t c các giá tr c a m b t phương trình sau có nghi m úng x 0 :∀ >
( ) ( ) ( )x x x
3m 1 .12 2 m 6 3 0+ + − + < ∗ ∗
( ) ( ) ( ) ( )x x
3m 1 .4 2 m 2 1 0 1∗ ∗ ⇔ + + − + <
● t x
t 2 . Do x 0 t 1= > ⇒ > . Lúc ó : ( ) ( ) ( )2
1 3m 1 .t 2 m .t 1 0, t 1⇔ + + − + < ∀ >
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2
2
t 2t 1
3t t m t 2t 1, t 1; m f t , t 1;
3t t
− − −
⇔ − < − − − ∀ ∈ +∞ ⇔ < = ∀ ∈ +∞
−
.
● Xét hàm s : ( )
2
2
t 2t 1
f t
3t t
− − −
=
−
trên kho ng ( )1;+∞ .
Ta có : ( )
( )
( )
2
2
2
7t 6t 1
f ' t 0, t 1;
3t t
+ −
= > ∀ ∈ +∞
−
.
B ng bi n thiên
t −∞ 1 +∞
( )f ' t +
( )f t
1
3
−
2−
● D a vào b ng bi n thiên, ta ư c: m 2< − th a yêu c u bài toán.
BBBBààààiiii 77777777.... i h c Y Tp. H Chí Minh năm 1999
www.VNMATH.com

sin x cos x 1+ = ∗
Bài gi i tham kh o
( ) 1999 1999 2 2 2 1997 2 1997
1 sin x cos x 0 sin x cos x sin x sin x cos x cos x 0∗ ⇔ − − = ⇔ + − − =
( ) ( ) ( )2 1997 2 1997
sin x 1 sin x cos x 1 cos x 0 1⇔ − + − =
● Ta có :
( )
( )
( )
2 1997
2 1997
sin x 1 sin x 0
2
cos x 1 cos x 0
 − ≥

 − ≥
● T ( ) ( )
( )
( )
2 1997
2 1997
x k2sin x 1 sin x 0 sin x 0 cos x 0
1 , 2
cos x 1 sin x 1 x k2cos x 1 cos x 0
2
 = π  − =   = =   ⇒ ⇔ ∨ ⇔   π  = = = + π− =     
.
Bài 78.Bài 78.Bài 78.Bài 78. i h c Y Dư c Tp. H Chí Minh năm 1999
( )
( )
( )
3
a
a
log 35 x
3, a 0,a 1
log 5 x
−
> > ≠
−
.
2/ Xác nh m b t phương trình : x x
4 m.2 m 3 0− + + ≤ có nghi m.
Bài gi i tham kh o
( )
( )
( ) ( )
3
a
a
log 35 x
3 , a 0,a 1
log 5 x
−
> ∗ > ≠
−
.
● i u ki n :
3 3
335 x 0 x 35
x 35
5 x 0 x 5
  − > < ⇔ ⇔ < ⇒ 
 − > <  
T p xác nh : ( )3
D ; 35= −∞ .
( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3
5 x 5 x 5 x
log 35 x 3 log 35 x log 5 x 1− − −
∗ ⇔ − > ⇔ − > −
● Do 3
x 35 4 x 4 5 x 5 4 a 5 x 1< < ⇔ − > − ⇔ − > − ⇔ = − > nên :
( ) ( )
33 2
1 35 x 5 x x 5x 6 0 2 x 3⇔ − > − ⇔ − + < ⇔ < < .
● K t h p v i t p xác nh, t p nghi m c a b t phương trình : ( )x 2;3∈ .
2/ Xác nh m b t phương trình : ( )x x
4 m.2 m 3 0− + + ≤ ∗ ∗ có nghi m.
● t x
t 2 0= > . Lúc ó : ( ) ( )2
t mt m 3 0, t 0;∗ ∗ ⇔ − + + ≤ ∀ ∈ +∞
( ) ( ) ( ) ( ) { }
2
2 t 3
t 3 m t 1 , t 0; m f t , t 0; 1
t 1
+
⇔ + ≤ − ∀ ∈ +∞ ⇔ ≥ = ∀ ∈ +∞
−
.
● Xét hàm s ( )
2
t 3
f t
t 1
+
=
−
trên ( ) { }0; 1+∞
Ta có : ( )
( )
( ) { }
2
2
t 2t 3
f ' t , t 0; 1
t 1
− −
= ∀ ∈ +∞
−
. Cho ( )f ' t 0 t 1 t 3= ⇔ = − ∨ = .
B ng bi n thiên
t −∞ 1− 0 1 3 +∞
( )f ' t + 0 − − − 0 +
www.VNMATH.com

( )f t
3− +∞ +∞
−∞ 6
● D a vào b ng bi n thiên, b t phương trình có nghi m : m 3 m 6< − ∨ ≥ .
Bài 79.Bài 79.Bài 79.Bài 79. i h c Qu c Gia Tp. H Chí Minh năm 1998
Cho h phương trình :
( ) ( )
( )
2 2
m 3
9x 4y 5
log 3x 2y log 3x 2y 1
 − = ∗
 + − − =
1/ Gi i h ( )∗ khi m 5= .
2/ Tìm giá tr l n nh t c a tham s m sao cho h ( )∗ có nghi m ( )x;y th a 3x 2y 5+ ≤ .
Bài gi i tham kh o
1/ Khi m 5= thì ( )
( ) ( )
( )
2 2
5 3
9x 4y 5
1
 − =∗ ⇔ 
 + − − =
● i u ki n:
x 0, y 03x 2y 0
23x 2y 0 x y
3
 > >  + >  ⇔ 
 − > >  
.
( )
( ) ( )
( )
2 2
5 3
9x 4y 5
1
 − =∗ ⇔ 
 + − − =
( )
( )( )
( )
( )5
5
5
3x 2y 3x 2y 5
1 log 3x 2y
log 3x 2y 1
log 3
 − + =⇔ −
 + − =
( )( )
( ) ( )5 5 5 5
3x 2y 3x 2y 5
log 3.log 3x 2y log 3x 2y log 3
 − + =⇔ 
 + − − =
( )5 5 5 5
5
3x 2y
3x 2y
5
log 3.log log 3x 2y log 3
3x 2y
 + = −⇔ 
 − − = −
( )( )
( ) ( )5 5 5 5 5
3x 2y 3x 2y 5
log 3. log 5 log 3x 2y log 3x 2y log 3
 − + =⇔    − − − − =   
( )( )
( ) ( )5 5 5 5 5
3x 2y 3x 2y 5
log 3 log 3.log 3x 2y log 3x 2y log 3
 − + =⇔ 
 − − − − =
( )( )
( ) ( )5 5
3x 2y 3x 2y 5
log 3 1 log 3x 2y 0
 − + =⇔ 
 − − =
( )( )
( )
( )( )
5
3x 2y 3x 2y 5 3x 2y 5 x 13x 2y 3x 2y 5
3x 2y 1 y 13x 2y 1log 3x 2y 0
      − + = + = =− + =    ⇔ ⇔ ⇔ ⇔   
   − = =− =− =    
.
● So v i i u ki n, nghi m c a h phương trình là ( ) ( ){ }S x;y 1;1= = .
www.VNMATH.com

2/ Tìm giá tr l n nh t c a tham s m sao cho h :
( )
( ) ( ) ( )
2 2
m 3
9x 4y 5 2
log 3x 2y log 3x 2y 1 3
 − =
 + − − =
có nghi m ( )x;y th a 3x 2y 5+ ≤ .
● Ta có:
( )( )3x 2y 3x 2y 5
3x 2y 1
3x 2y 5
 + − = ⇒ − ≥
 + ≤
.
● t
5
t 3x 2y 3x 2y
t
= − ⇒ + = .
( ) 3
m 3 m 3 3 m
3
1 log t5 5
3 log log t 1 log 3.log 1 log t log 3
t t 5
log
t
    +   ⇔ − = ⇔ = + ⇔ =               
( )3
m
3 3
1 log t
log 3 4
log 5 log t
+
⇔ =
−
. t ( )3
z log t, z 0 do t 3x 2y 1= ≥ = − ≥ .
● Lúc ó : ( ) ( )m
3
z 1
4 log 3 f z , z 0
z log 5
+
⇔ = = ∀ ≥
− +
và 3
z log 5≠ .
● Xét hàm s : ( )
3
z 1
f z
z log 5
+
=
− +
trên ) { }3
0; log 5 +∞ .
Ta có : ( )
( )
) { }3
32
3
log 5 1
f ' z 0, z 0; log 5
z log 5
+ = > ∀ ∈ +∞
− +
.
B ng bi n thiên
z −∞ 0 3
log 5 +∞
( )f ' z 0 + +
( )f z
+∞ 1−
5
log 3 −∞
● D a vào b ng bi n thiên, phương trình có nghi m th a 3x 2y 5+ ≤ thì
m 33
m 5 3 3
3 5
1
1 1log 3 1 log m 1log m m
3
log 3 log 3 1 1 log m log 5 m 5
log m log 3

 ≤ − ≤ − ≥ −  ≥  ⇔ ⇔ ⇔  ≥ ≤  ≤ ≥ 

.
● V y giá tr l n nh t c a m là m 5= .
Bài 80.Bài 80.Bài 80.Bài 80. i h c Kinh T Tp. H Chí Minh kh i A năm 1998
( )
( )2
11
33
1 1
log x 1log 2x 3x 1
> ∗
+− +
Bài gi i tham kh o
www.VNMATH.com

● i u ki n :
2
2
1
x x 12x 3x 1 0
2 1
1 x , x 032x 3x 1 1 2x 0, x
2 3x 1 0 x 1, xx 1
2x 1 1
x 0
 < ∨ > − + >      − < < ≠ − + ≠   ≠ ≠⇔ ⇔   + >   > ≠  > −  + ≠   ≠
.
( )
( ) ( )
( )2 2
3 33 3
1 1 1 1
1
log x 1 log x 1log 2x 3x 1 log 2x 3x 1
∗ ⇔ > ⇔ <
− + +− − + − +
● D a vào i u ki n, ta có b ng xét d u
x 1− 0
1
2
1
3
2
( )3
log x 1+ − 0 + + +
2
3
log 2x 3x 1− + + 0 − − 0 +
● D a vào b ng xét d u, ta th y:
N u 1 x 0 :− < < VT VP> ⇒ B t phương trình vô nghi m.
N u
1
0 x : VT VP
2
< < < ⇒ B t phương trình ư c th a.
N u
3
1 x : VT VP
2
< < < ⇒ B t phương trình ư c th a.
● N u
3
x
2
> thì
( ) ( ) ( ) ( )2 2
3 3 3 3
1
1 log 2x 3x 1 log x 1 log 2x 3x 1 log x 1
2
⇔ − + > + ⇔ − + > +
( ) ( ) ( )
2 22 2
3 3
log 2x 3x 1 log x 1 2x 3x 1 x 1 x 5⇔ − + > + ⇔ − + > + ⇔ > .
● V y t p nghi m c a b t phương trình là ( )
1 3
x 0; 1; 5;
2 2
      ∈ ∪ ∪ +∞        
.
Bài 81.Bài 81.Bài 81.Bài 81. i h c Ki n Trúc Hà N i năm 1998
( )
( )2
1 2
2
1 1
0 1
log 2x 1 log x 3x 2
+ >
− − +
Bài gi i tham kh o
● i u ki n : 2
2
1
x2x 1 0
2
2x 1 1 x 0
x 1 x 2x 3x 2 0
3 5x 3x 2 1 x
2
 >− >    − ≠ ≠  ⇔ ⇒  < ∨ > − + >    ± − + ≠  ≠ 
( )
1 3 5
x ;1 2;
2 2
     ±     ∈ ∪ +∞             
.
( )
( )
( )
( )
2
2 2
2 2
22 2 2
log 2x 1 log x 3x 21 1
1 0 0
log 2x 1log x 3x 2 log 2x 1 .log x 3x 2
− − − +
⇔ − > ⇔ >
−− + − − +
www.VNMATH.com

( )
( )
( )
2 2
2
2 2
2x 1
log
x 3x 2
f x 0 2
log 2x 1 .log x 3x 2
−
− +
⇔ = >
− − +
.
● Xét d u c a : ( )2
log 2x 1−
( )2
1
log 2x 1 0 0 2x 1 1 x 1
2
− < ⇔ < − < ⇔ < < .
( )2
log 2x 1 0 2x 1 1 x 1− > ⇔ − > ⇔ > .
● Xét d u c a : 2
2
log x 3x 2− +
2 2
2
3 5 3 5
log x 3x 2 0 x 3x 2 1 x
2 2
− +
− + < ⇔ − + < ⇔ < < .
2 2
2
3 5 3 5
log x 3x 2 0 x 3x 2 1 x x
2 2
− +
− + > ⇔ − + > ⇔ < ∨ > .
● Xét d u c a : 2
2
2x 1
log
x 3x 2
−
− +
2
2 2
2x 1 2x 1 1 1 13
log 0 0 1 x
2 6x 3x 2 x 3x 2
− − +
< ⇔ < < ⇔ < <
− + − +
.
2
2 2
2x 1 2x 1 1 13
log 0 1 x
6x 3x 2 x 3x 2
− − +
> ⇔ > ⇔ >
− + − +
.
● B ng xét d u c a ( )f x :
x
−∞
1
2
1 13
6
+
1 2
3 5
2
+
+∞
( )2
log 2x 1− − − + +
2
2
log x 3x 2− + − − − +
2
2
2x 1
log
x 3x 2
−
− +
−
+ + +
( )f x − + − +
● Do ó, t p nghi m c a ( )2 là
1 13 3 5
x ;1 ;
6 2
    + +   ∈ ∪ +∞         
.
Bài 82.Bài 82.Bài 82.Bài 82. i h c Ngo i Thương kh i D năm 1998
Gi i phương trình : ( )2 3 2 3
log x log x 1 log x.log x+ < + ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n : x 0> ⇒ T p xác nh : ( )D 0;= +∞ .
www.VNMATH.com

( )
2
2 2 2
2 2
2 2
2 2
t log x
log x log x
log x 1 log x. 0 t t
t 1 0log 3 log 3
log 3 log 3
 =∗ ⇔ + − − < ⇔ 
 + − − <
( )
2
2 2
2
2 22 2
2
t log x
t log x log x 1 x 2
t 1
log x log 3 x 3t 1 log 3 t log 3 0
t log 3
 =   =  < <    <⇔ ⇔ ⇔ ⇔     > >− + + >      >
.
● K t h p v i t p xác nh, t p nghi m c a b t phương trình là ( ) ( )x 0;2 3;∈ ∪ +∞ .
Bài 83.Bài 83.Bài 83.Bài 83. i h c Dân L p Ngo i Ng – Tin H c năm 1998
Gi i b t phương trình : ( )x x 1 x
25 5 5 5+
+ < + ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n : x 0≥ ⇒ T p xác nh : )D 0;= +∞ .
( ) ( )
x x2
x x
2
t 5 0 t 5 0
5 6.5 5 0
1 t 5t 6t 5 0
  = > = > ∗ ⇔ − + < ⇔ ⇔ 
  < <− + < 
x
1 t 5 1 5 5 0 x 1 0 x 1⇔ < < ⇔ < < ⇔ < < ⇔ < < .
● K t h p v i i u ki n, t p nghi m c a b t phương trình là ( )x 0;1∈ .
Bài 84.Bài 84.Bài 84.Bài 84. H c Vi n Công Ngh Bưu Chính Vi n Thông ( s 2) năm 1998
1/ H i v i giá tr nguyên nào c a a thì b t phương trình : 2
1 1
2 2
2log a 3 2x log a x 0− + − <
ư c th a mãn v i m i giá tr x ∈ » .
x x
x
2 3 2 3 4− + + = .
Bài gi i tham kh o
1/ H i v i giá tr nguyên nào c a a thì b t phương trình : 2
1 1
2 2
2log a 3 2x log a x 0− + − <
ư c th a mãn v i m i giá tr x ∈ » .
● i u ki n : a 0> .
● t 1
2
t 2 log a= . Khi ó :
( )
2
2
t 3 xt x 0
1 , x
t 2log a
 − + − <⇔ ∀ ∈
 = −
»
2
2
x t.x 3 t 0
, x
t 2log a
 − + − >⇔ ∀ ∈
 = −
»
2
2
2
2
a 1 0
6 t 2
t 4t 12 0 6 2log a 2
t 2log a
t 2log a
 = >  − < <⇔ ∆ = + − < ⇔ ⇔ − < − < 
  = − = −
2
1
1 log a 3 a 8
2
⇔ − < < ⇔ < < (th a i u ki n a 0> ).
www.VNMATH.com

● Th a yêu c u bài toán thì { }a 1;2;3;4;5;6;7∈ .
2/ Gi i phương trình : ( ) ( ) ( )
x x
x
2 3 2 3 4 2− + + =
( ) ( )
x x
2 3 2 3
2 1 3
4 4
    − +   ⇔ + =         
● Nh n th y x 1= là m t nghi m phương trình ( )3 .
● Xét hàm s
x x
2 3 2 3
y
4 4
    − +   = +         
trên » .
Ta có :
x x
2 3 2 3 2 3 2 3
y' .ln .ln 0, x
4 4 4 4
    − − + +   = + < ∀ ∈ ⇒         
» V trái là hàm
s gi m.
● Còn v ph i y 1= là hàm h ng. Do ó, phương trình ( )3 có nghi m duy nh t và nghi m ó
là x 1= .
Bài 85.Bài 85.Bài 85.Bài 85. i h c K Thu t Công Ngh năm 1998
1/ Gi i b t phương trình : ( )x 3 x
2 2 9 1−
+ ≤
2/ Gi i phương trình : ( )9 x
4log x log 3 3 2+ =
Bài gi i tham kh o
1/ Gi i b t phương trình : ( )x 3 x
2 2 9 1−
+ ≤
( )
x x
x x
2x
t 2 0 t 2 08
1 2 9 0 1 2 8 0 x 3
1 t 8t 9t 8 02
  = > = >  ⇔ + − ≤ ⇔ ⇔ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ 
  ≤ ≤− + ≤ 
.
2/ Gi i phương trình : ( )9 x
4log x log 3 3 2+ =
● i u ki n : 0 x 1< ≠ ⇒ T p xác nh : ( ) { }D 0; 1= +∞ .
( )
3
3
23
3 3
t log x 1 x 3t log x1
2 2log x 3 0 1
2t 3t 1 0log x x 3t log x
2
 = =  ==   ⇔ + − = ⇔ ⇔ ⇔  − + = == =   
.
● So v i t p xác nh, nghi m c a phương trình là x 3 x 3= ∨ = .
Bài 86.Bài 86.Bài 86.Bài 86. i h c Hàng H i năm 1998
Gi i phương trình : ( )x 2 x 2
4 16 10.2− −
+ = ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n : x 2 0 x 2− ≥ ⇔ ≥ ⇒ T p xác nh : )D 2;= +∞ .
( )
x 2x 2 x 2
2 x 2
2 8 x 2 3 x 11t 2 0 t 2 0
x 3t 8 t 2t 10t 16 0 x 2 12 2
−− −
−
    = − = == > = >    ∗ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔     == ∨ = − + = − ==    
.
● So v i t p xác nh, phương trình có hai nghi m : x 3 x 11= ∨ = .
Bài 87.Bài 87.Bài 87.Bài 87. i h c Dân L p Văn Lang năm 1998
www.VNMATH.com

Cho b t phương trình : ( )x x x
9 5m.6 3m.4 0− + > ∗
1/ Gi i b t phương trình ( )∗ khi m 2= .
2/ V i giá tr nào c a tham s m thì b t phương trình ( )∗ nghi m úng v i m i giá tr c a x.
Bài gi i tham kh o
1/ V i m 2= thì
( )
x2
x x
x x x
2
3
t 03 3
9 10.6 6.4 0 10. 6 0 2
2 2
t 10t 6 0
        = >        ∗ ⇔ − + > ⇔ − + > ⇔                    − + >
( )
( )
x
3
2
x
3
2
3 x log 5 195 19
t 0 2
t 5 19 t 5 19 x log 5 193
5 19
2
    < − < −  >     ⇔ ⇔ ⇔
 < − ∨ > +   > +    > +    
.
2/ Tìm m : ( )x x x
9 5m.6 3m.4 0− + > ∗ nghi m úng v i m i giá tr c a x.
● t
2
3
t 0
2
  = >   
. Lúc ó : ( ) 2
t 5m.t 3m 0, t 0∗ ⇔ − + > ∀ >
( )2
t m 5t 3 , t 0⇔ > − ∀ >
( )
2
t 3 3
m f t , t 0; ;
5t 3 5 5
      ⇔ < = ∀ ∈ ∪ +∞     −    
.
● Xét hàm s ( )
2
t
f t
5t 3
=
−
trên
3 3
0; ;
5 5
      ∪ +∞        
.
Ta có : ( )
( )
( )
2
2
5t 6t 6
f ' t . Cho f ' t 0 t 0 t
55t 3
−
= = ⇔ = ∨ =
−
.
B ng bi n thiên
t −∞ 0
3
5
6
5
+∞
( )f ' t + 0 − − 0 +
( )f t
0 +∞ +∞
−∞
12
25
● D a vào b ng bi n thiên, giá tr m c n tìm là :
12
0 m
25
< < .
Bài 88.Bài 88.Bài 88.Bài 88. i h c Giao Thông V n T i năm 1998 – Cao ng Sư Ph m Nha Trang năm 2002
Gi i b t phương trình : ( ) ( ) ( )
x 3 x 1
x 1 x 3
10 3 10 3
− +
− +
+ < − ∗
Bài gi i tham kh o
www.VNMATH.com

● i u ki n :
x 1 0 x 1
x 3 0 x 3
  − ≠ ≠ ⇔ 
 + ≠ ≠ −  
.
● Ta có : ( )( ) ( )
( )
( )
11
10 3 10 3 1 10 3 10 3
10 3
−
+ − = ⇔ − = = +
+
.
( ) ( ) ( )
x 3 x 1
x 1 x 3
10 3 10 3
− +
−
− +
∗ ⇔ + < +
( )( )
2 3 x 5x 3 x 1 x 3 x 1 2x 10
0 0
x 1 x 3 x 1 x 3 x 1 x 3 1 x 5
− < < −− + − + − 
⇔ < − ⇔ + < ⇔ < ⇔ 
− + − + − + < <

.
● So v i i u ki n, t p nghi m c a b t phương trình là : ( ) ( )x 3; 5 1; 5∈ − − ∪ .
Bài 89.Bài 89.Bài 89.Bài 89. i h c M – a Ch t năm 1998
Tìm giá tr c a tham s m b t phương trình : ( ) ( )x x
9 2 m 1 .3 2m 3 0− + − − > ∗ luôn có
nghi m úng v i m i x.
Bài gi i tham kh o
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
2 2
x x x x
3 2 m 1 .3 2 m 1 1 0 3 1 2 m 1 3 1 0
 
 ∗ ⇔ − + − + − > ⇔ − − + + >
  
( )( ) ( )( ) ( )( )x x x x x
3 1 3 1 2 m 1 3 1 0 3 1 3 2m 3 0⇔ − + − + + > ⇔ + − − >
( )x x
3 2m 3 0 3 2m 3⇔ − − > ⇔ > − ∗ ∗
● ( )∗ úng x∀ ∈ » thì ( )∗ ∗ cũng úng x∀ ∈ » ( )x 3
2m 3 0 do 3 0 m
2
⇔ − < > ⇔ ≤ .
● V y
3
m
2
≤ th a yêu c u bài toán.
Bài 90.Bài 90.Bài 90.Bài 90. i h c Dân L p Ngo i Ng – Tin H c năm 1997
Bi t r ng x 1= là 1 nghi m c a b t phương trình : ( ) ( ) ( )2 2
m m
log 2x x 3 log 3x x+ + ≤ − ∗ .
Hãy gi i b t phương trình này.
Bài gi i tham kh o
● i u ki n : ( )
2
2
x 02x x 3 0, x 1
x ;0 ;1
33x x 0 x
3
 <  + + > ∀ ∈    ⇔ ⇒ ∈ −∞ ∪ +∞   − > >    
»
.
● Vì x 1= là m t nghi m c a b t phương trình ( ) ( )2 2
m m
log 2x x 3 log 3x x+ + ≤ − nên ta
ư c : m m
log 6 log 2 0 m 1≤ ⇔ < < .
● Do ( ) 2 2 2
0 m 1 nên : 2x x 3 3x x x 2x 3 0 1 x 3< < ∗ ⇔ + + ≥ − ⇔ − − ≤ ⇔ − ≤ ≤ .
● K t h p v i i u kiên, t p nghi m b t phương trình là ( )
1
x 1;0 ;3
3
  ∈ ∪    
.
Bài 91.Bài 91.Bài 91.Bài 91. i h c An Ninh – i h c C nh Sát kh i A năm 1997
Tìm mi n xác nh c a hàm s : 2
1 1
y log
1 x 1 x
  = −   − + 
.
www.VNMATH.com

Bài gi i tham kh o
● Hàm s xác nh khi và ch khi :
2
x 11 x 0
2x1 1
1 01
1 x 1 x 1 x
  ≠ ±± ≠   ⇔ 
  − ≥− ≥  − + − 
2
2
x 1 x 1
x 2x 1
1 2 x 1 1 2 x 10
1 x
 ≠ ±   ≠ ±  ⇔ ⇔ + − − + ≤ ≤ ∨ − − ≤ ≤ −≥  −
.
● V y mi n xác nh c a hàm s là ) )D 1 2; 1 1 2; 1 = − − − ∪ − +  
.
Bài 92.Bài 92.Bài 92.Bài 92. i h c Th y S n năm 1997
Gi i phương trình : ( )2x 2 x
2 3.2 1 0+
+ − = ∗
Bài gi i tham kh o
● T p xác nh : D = » .
( ) ( )
( )
x
x
2
x x
2
t 2 0
t 2 0 3 17
4. 2 3.2 1 0 t
44.t 3t 1 0
3 17
t L
4
 = > = > − +  ∗ ⇔ + − = ⇔ ⇔ = 
 + − =   − − =
( )x
2 2
17 3 17 3
2 x log log 17 3 2
4 4
− −
⇔ = ⇔ = = − −
● V y nghi m phương trình là ( )2
x log 17 3 2= − − .
Bài 93.Bài 93.Bài 93.Bài 93. i h c Qu c Gia Tp. H Chí Minh kh i D năm 1997
Cho b t phương trình : ( ) ( ) ( )2 2
5 5
1 log x 1 log mx 4x m+ + ≥ + + ∗ . Hãy tìm t t c các giá
tr c a tham s m b t phương trình ư c nghi m úng v i m i x.
Bài gi i tham kh o
( ) ( ) ( ) ( )2 2
2 2
5 5 2
5 x 1 mx 4x m
log 5 x 1 log mx 4x m
mx 4x m 0
 + ≥ + +  ∗ ⇔ + ≥ + + ⇔     + + >
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
f
2
2 2 2
2
2
5x 4x 5
x m 1
5x 4x 5 m x 1 x 1
4xm x 1 4x g x m 2
x 1
 − + = ≥ − + ≥ +  + ⇔ ⇔ 
 + > − = − <    +
.
● Xét hàm s ( )f
2
2
5x 4x 5
x
x 1
− +
=
+
trên » .
Ta có : ( )
( )
( )
2
2
2
4x 4
f ' x . Cho f ' x 0 x 1 x 1
x 1
−
= = ⇔ = ∨ = −
+
.
B ng bi n thiên
x −∞ 1− 1 +∞
www.VNMATH.com

( )f ' x + 0 − 0 +
( )f x
14
3
D a vào b ng bi n thiên và ( )1 ta ư c : ( ) ( )m min f x 3 3≤ =
»
● Xét hàm s ( )
( )2
4x
g x
x 1
−
=
+
trên » .
Ta có: ( )
( )
( )
2
2
2
4x 4
g' x . Cho g' x 0 x 1 x 1
x 1
−
= = ⇔ = − ∨ =
+
.
B ng bi n thiên
x −∞ 1− 1 +∞
( )g' x + 0 − 0 +
( )g x
2
1
D a vào b ng bi n thiên và ( )2 ta ư c : ( ) ( )gm max x 2 4> =
»
.
● T ( ) ( )3 , 4 ta ư c: (m 2; 3∈  th a yêu c u bài toán.
Bài 94.Bài 94.Bài 94.Bài 94. i h c Qu c Gia Tp. H Chí Minh – i h c Kinh T kh i A năm 1997
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
1 x 1 y
1 x 1 y
log 1 2y y log 1 2x x 4 1
log 1 2y log 1 2x 2 2
+ −
+ −
 − + + + + =
 + + + =
Bài gi i tham kh o
● i u ki n :
( )
( )
22
2 2
1 2y y 0 1 y 0 1 y 0
1 x 0 x 11 2x x 0 1 x 0
1 x 0 0 y 10 1 x 1 1 x 0
0 y 10 1 y 1 0 y 1
   − + > − > − ≠        + ≠ > − + + >   + >⇔ ⇔ ⇔   
   − < ≠ ≠ << + ≠   − < ≠      ≠ << − ≠  ≠ <   
.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
1 x 1 y 1 x 1 y
1 log 1 y log 1 x 4 log 1 y log 1 x 2+ − + −
⇔ − + + = ⇔ − + + =
( ) ( ) ( )1 x 1 x
1 x
2
t log 1 y t log 1 y t log 1 y
1 1
t 2t 1 0t 2 t 2
t t
+ +
+
  = − = −   = −   ⇔ ⇔ ⇔  
   − + =+ = + =     
( ) ( )1 x
t log 1 y 1 1 y 1 x y x 3+
⇔ = − = ⇔ − = + ⇔ = −
● Thay ( )3 vào ( )2 ta ư c : ( ) ( )1 x 1 x
log 1 2x log 1 2x 2+ +
− + + =
www.VNMATH.com

( )( ) ( )
22 2
1 x
x 0 y
log 1 2x 1 2x 2 1 4x 1 x 5x 2x 0 5
x
2
+
 = =
⇔ − + = ⇔ − = + ⇔ + = ⇔
 = −
.
● So v i i u, nghi m c a h là ( )
5 5
S x;y ;
2 2
     = = −      
.
Bài 95.Bài 95.Bài 95.Bài 95. i h c Ngo i Thương kh i D năm 1997
Gi i phương trình : ( )x 1 x
2 4 x 1+
− = − ∗
Bài gi i tham kh o
● T p xác nh : D = » .
● t x
2 t 0= > . Lúc ó : ( ) 2
t 1 2 x
t 2t x 1 0
t 1 2 x
 = + −
∗ ⇔ − − + = ⇔ 
 = − −

.
● Trư ng h p 1 : ( )x
t 1 2 x 2 1 2 x 1= + − ⇔ = + −
Ta có
( )
( )
( ) ( )
x
f x 2 :
g x 1 2 x :
f 1 g 1
 = = − −
 =
( )1 :⇒ có m t nghi m duy nh t là x 1= .
● Trư ng h p 2 : ( )x
t 1 2 x 2 1 2 x 2= − − ⇔ = − −
i u ki n :
2 x 0
1 x 2
1 1 x 0
 − ≥ ⇔ < ≤
 − − >
.
Ta có : (
( ) ( )
( ) ( )
( )
x
f x 2 h 1 2
x 1;2 : 2 :
h x 1 2 x h 2 1
 = > =∀ ∈ ⇒  = − − < =
Vô nghi m.
● V y phương trình có nghi m duy nh t x 1= .
Bài 96.Bài 96.Bài 96.Bài 96. i h c Qu c Gia Tp. H Chí Minh – i h c Lu t Tp. H Chí Minh năm 1996
Cho phương trình : ( ) ( ) ( )
tan x tan x
3 2 2 3 2 2 m+ + − = ∗
1/ Gi i phương trình khi m 6= .
2/ Xác nh m phương trình ( )∗ có úng hai nghi m trong kho ng ;
2 2
 π π −   
.
Bài gi i tham kh o
1/ Khi m 6= thì ( ) ( ) ( )
( )
tan x
tan x tan x t 3 2 2 0
3 2 2 3 2 2 6
1
t 6
t
 = + >∗ ⇔ + + − = ⇔ 
 + =
( ) ( )
( )
tan x
tan x
tan x
2
t 3 2 2 3 2 2t 3 2 2 0
t 6t 1 0 t 3 2 2 3 2 2
  = + = + = + > ⇔ ⇔   − + = = + = −  
( )tan x 1 x k , k
4
π
⇔ = ± ⇔ = ± + π ∈ » .
Là hàm tăng.
Là hàm gi m
www.VNMATH.com

2/ Tìm m ( ) ( ) ( )
tan x tan x
3 2 2 3 2 2 m+ + − = ∗ có úng 2 nghi m ;
2 2
 π π ∈ −   
.
● Ta có ( ) ( )
tan x
2
t 3 2 2 0
t mt 1 0
 = + >∗ ⇔ 
 − + =
.
● Do x ; tan x
2 2
 π π ∈ − ⇒ ∈   
» .
● V y ta c n xác nh m phương trình : 2
t mt 1 0− + = có hai nghi m phân bi t dương.
( )
2
m 4 0
P 1 0 Ð m 2
S m 0
∆ = − >⇔ = > ⇔ >
 = >
.
● V y khi m 2> thì phương trình ( )∗ có hai nghi m phân bi t x ;
2 2
 π π ∈ −   
.
Bài 97.Bài 97.Bài 97.Bài 97. i h c Ngo i Thương năm 1996
Tìm nghi m dương c a phương trình : ( )2 2log 3 log 5
x x x+ = ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n : x 0> (do nghi m dương).
● t t
2
log x t x 2 0= ⇒ = > .
( ) ( )
t t
t t t 2 3
2 3 5 1
5 5
      ∗ ⇔ + = ⇔ + = ∗ ∗        
● Nh n th y t 1= là m t nghi m c a phương trình ( )∗ ∗ .
● Xét hàm s ( )
t t
2 3
f t
5 5
      = +        
Ta có : ( )
t t
2 2 3 3
f ' t ln ln 0, t
5 5 5 5
      = + < ∀ ∈ ⇒        
» Hàm s ( )f t ngh ch bi n.
M t khác y 1= là hàm h ng s ( )// Ox .
● V y t 1= là nghi m duy nh t c a ( )∗ ∗ t 1
x 2 2 2⇔ = = = là nghi m c n tìm c a ( )∗ .
Bài 98.Bài 98.Bài 98.Bài 98. i h c Qu c Gia Tp. H Chí Minh năm 1996
Cho phương trình : ( ) ( ) ( )
x x
2 3 2 3 m+ + − = ∗
1/ Gi i ( )∗ khi m 4= .
2/ Tìm m phương trình ( )∗ có hai nghi m.
Bài gi i tham kh o
● T p xác nh : D = » .
1/ Khi m 4= .
www.VNMATH.com

( ) ( ) ( )
( ) ( )
x
x
x x
2
t 2 3 0 t 2 3 0
2 3 2 3 4
1
t 4t 1 0t 4
t
  = + >  = + > ∗ ⇔ + + − = ⇔ ⇔ 
   − + =+ = 
( )
( )
( )
( )
x x
x x
t 2 3 0 2 3 2 3 x 1
x 1
t 2 3 2 3 2 3 2 3
    = + > + = +  =  ⇔ ⇔ ⇔    = −  = + = ± + = −   
.
● V y phương trình có hai nghi m x 1 x 1= − ∨ = .
2/ Tìm m phương trình ( ) ( ) ( )
x x
2 3 2 3 m+ + − = ∗ có hai nghi m.
( ) ( ) ( )
( )
x
x x
2
t 2 3 0 t 0
2 3 2 3 m
1 t mt 1 0
t m
t
 = + >  > ∗ ⇔ + + − = ⇔ ⇔ 
  − + = + = 
2
m 2 m 2m 4 0
m 2
m 0S m 0
   < − ∨ >∆ = − > ⇔ ⇔ ⇔ > 
  >= > 
.
Bài 99.Bài 99.Bài 99.Bài 99. i h c Qu c Gia Hà N i – H c Vi n Ngân Hàng năm 2000
Gi i phương trình: ( ) ( ) ( )
2 2log x log x
2
2 2 x. 2 2 1 x+ + − = + ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n: x 1> ⇒ T p xác nh ( )D 1;= +∞ .
● t t 2 t
2log x t x 2 x 4= ⇒ = ⇒ = .
( ) ( ) ( )
t t
t t
2 2 2 2 2 1 4∗ ⇔ + + − = +
( ) ( ) ( )( )
t tt
2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2
   
⇔ + + − = + + −   
   
t t t t
a b 1 a b⇔ + = + v i
( )
a 2 2
b 2 2 2
 = +
 = −
( ) ( )t t t t
a 1 b a b 0⇔ − + − = ( ) ( )t t t
a 1 b a 1 0⇔ − − − = ( )( )t t
a 1 1 b 0⇔ − − =
t
2t
a 1
t 0 log x 0 x 1
b 1
 =
⇔ ⇔ = ⇔ = ⇔ =
 =

.
● V y nghi m phương trình là { }S 1= .
Bài 100.Bài 100.Bài 100.Bài 100. i h c Qu c Gia Hà N i kh i D năm 2000
Gi i phương trình: ( )x x x
8.3 3.2 24 6+ = + ∗
Bài gi i tham kh o
● T p xác nh: D = » .
( ) ( ) ( )x x x x
8.3 24 3.2 2 .3 0∗ ⇔ − + − = ( ) ( )x x x
8 3 3 2 3 3 0⇔ − − − =
www.VNMATH.com

( )( )x x
3 3 8 2 0⇔ − − =
x
x
3 3 0 x 1
x 38 2 0
 − = = ⇔ ⇔  = − = 
.
● V y nghi m phương trình là { }S 1;3= .
Bài 101.Bài 101.Bài 101.Bài 101. i h c Qu c Gia Tp. H Chí Minh kh i A – t 1 năm 2000
Cho ( ) ( ) x
x
2
f x m 1 .6 2m 1
6
= − − + + .
1/ Gi i b t phương trình ( )f x 0≥ v i
2
m
3
= .
2/ Tìm tham s m ( ) ( )1 x
x 6 .f x 0, x 0;1−  − ≥ ∀ ∈   
.
Bài gi i tham kh o
1/ Gi i b t phương trình ( )f x 0≥ v i
2
m
3
= .
● V i ( ) ( )x
x
2 1 2 7
m f x .6 0
3 3 36
= ⇒ = − − + ≥ ∗
● T p xác nh: D = » .
( )
x x x
x
2
t 6 0 t 6 0 t 6 0
1 6 6 0 x 11 2 7 1 t 6t 7t 6 0t 0
3 t 3
  = >  = > = >   ∗ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤  
   ≤ ≤− + ≤− − + ≥  
.
● V y t p nghi m c a phương trình là S 0;1 =    .
2/ Tìm tham s m ( )( )1 x x
x
2
x 6 m 1 .6 2m 1 0, x 0;1
6
−
 
  − − − + + ≥ ∀ ∈    
 
.
● V i m 1= thì b t phương trình th a mãn không ph thu c m, nên ta ch c n tìm m b t
phương trình th a )x 0;1∀ ∈  .
● t ( ) 1 x
g x x 6 −
= − . Lúc ó c n tìm m ( ) ( ) )g x .f x 0, x 0;1≥ ∀ ∈  .
● Xét hàm s ( )
x
1 x 1
g x x 6 x 6.
6
−
  = − = −    
trên )0;1
 .
Ta có ( ) )
x
1 1
g' x 1 6. ln 0, x 0;1
6 6
  = − > ∀ ∈ ⇒    
Hàm s ( )g x ng bi n trên )0;1
 .
) ( ) ( ) ( )x 0;1 : x 1 g x g 1 g x 0⇒ ∀ ∈ < ⇒ < ⇔ < .
● Do ó, ta ch c n tìm ( ) ( ) ( ) )x
x
2
f x m 1 .6 2m 1 0 , x 0;1
6
= − − + + ≤ ∗ ∀ ∈  .
● t x
t 6= . Do ) )x 0;1 t 1;6 ∈ ⇒ ∈   .
( ) ( ) )
2
m 1 .t 2m 1 0, t 1;6
t
∗ ⇔ − − + + ≤ ∀ ∈ 
) ( ) )
2
2
2 t t 2
mt 2m t 1 0, t 1;6 m h t , t 1;6
t t 2t
− + ⇔ + − − + ≤ ∀ ∈ ⇔ ≤ = ∀ ∈  
+
.
www.VNMATH.com

● Xét hàm s ( )
2
2
t t 2
h t
t 2t
− +
=
+
trên )1;6
 .
Ta có: ( )
( )
)
2
2
3t 4t 4
h ' t , t 1;6
t 2t
− − = ∀ ∈ 
+
. Cho ( )
( )
2
2
t 2
3t 4t 4
h' t 0 2
tt 2t
3
 =− −
= = ⇔
 = −+ 
.
B ng bi n thiên
t −∞
2
3
− 1 2 6 +∞
( )h' t 0 − 0 +
( )h t
2
3
2
3
1
2
● D a vào b ng bi n thiên, ta ư c
1
m
2
≤ th a yêu c u bài toán.
Bài 102.Bài 102.Bài 102.Bài 102. i h c Bách Khoa Hà N i kh i D năm 2000
Gi i các phương trình: ( ) ( ) ( )
2 3
4 82
log x 1 2 log 4 x log 4 x+ + = − + + ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n:
( )
( )
2
3
x 1 0 x 1 0
x 1
4 x 0 4 x 0
4 x 4
4 x 04 x 0
 + >  + ≠    ≠ −  − > ⇔ − > ⇔ ⇒  
  − < <  + >  + > 
TX : ( ) { }D 4;4 1= − − .
( ) ( ) ( )2 2 2 2
log x 1 log 4 log 4 x log 4 x∗ ⇔ + + = − + +
( )( ) 2
2 2
log 4 x 1 log 4 x 4 x 4 x 1 16 x⇔ + = − + ⇔ + = −
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
x 1
x 2 N4 x 1 16 x
x 6 L x 2x 1 0
x 1 x 2 244 x 1 16 x
x 2 24 Nx 1 0
x 2 24 L
 ≥ − =+ = −    = − =+ ≥   ⇔ ⇔ ⇔   < − = −− + = −      = −+ <    = + 
.
● V y nghi m phương trình là { }S 2 24; 2= − .
Bài 103.Bài 103.Bài 103.Bài 103. i h c Sư Ph m Hà N i kh i A năm 2000
Tìm m x 0;2 ∀ ∈    u th a mãn b t phương trình:
( ) ( )2 2
2 4
log x 2x m 4 log x 2x m 5− + + − + ≤ ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n: 2
x 2x m 0− + > .
www.VNMATH.com

Bai mu-logarit

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Bai mu-logarit

Similar to Bai mu-logarit (20)

Bai mu-logarit