1. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
I. PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN (tiếp theo)
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau
a) 13log2)5(log
3
1
82 =−+− xx b) 2 2log (4.3 6) log (9 6) 1− − − =x x
c) 1
3
)29(log2
=
−
−
x
x
d)
1lg
2
lg
1lg
lg2
−
+−=
− x
x
x
x
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau
a)
4
2
1 2log (10 )
log
+ − =x x
x
b) 





−=+
x
x
x x
11
4
75
log
2
log
1
3
2
32
c) 2 3
lg( 2 3) lg 0
1
+
+ − + =
−
x
x x
x
d) ( )9 3log log 4 5+ =x x
Ví dụ 3. Giải các phương trình sau
a) [ ]{ }4 3 2 2log 2log 1 log (1 3log ) 1x+ + = b) 4 82
log 4log log 13x x x+ + =
c) 3 9 81
7
log log log
2
x x x+ + = d) x
x
xx
2log
log
log.log
125
5
255
=
Ví dụ 4. Giải các phương trình sau
a) 2 2
9 33
1 1
log ( 5 6) log log 3
2 2
−
− + = + −
x
x x x
b) 8
4 22
1 1
log ( 3) log ( 1) log 4
2 4
+ + − =x x x
c) ( )4 1
lg 3 2 2 lg16 lg 4
4 2
−
− = + −x x x
d) 2 2 4 2 4 2
2 2 2 2log ( 1) log ( 1) log ( 1) log ( 1)+ + + − + = + + + − +x x x x x x x x
e) 21 1
lg( 5) lg5 lg
2 5
+ − = +x x x
x
II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI, BẬC BA THEO MỘT HÀM LOGARITH
Ví dụ 1. Giải phương trình sau
a) 2
2 22log 14log 3 0− + =x x b) 2 3
2 2log log 4 0+ − =x x
c) 3 2
2 2log (2 ) 2log 9= −x x d) 3 3
1
log log 3 log log 3
2
+ = + +x x
x x
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a) ( ) ( )2
1 1
3 3
log 3 4 log 2 2x x x+ − = + b) ( )
1
lg lg 1
2
x x= +
Tài liệu bài giảng:
05. PHƯƠNG TRÌNH LOGARITH – P2
Thầy Đặng Việt Hùng

2. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
c) 2 1
2
8 1
log log
4 2
x
x
−
= d) ( )2
5log 2 65 2x x x− − + =
Bài 2: Giải các phương trình sau:
a) ( ) ( )lg 3 2lg 2 lg0,4x x+ − − =
b) ( ) ( )5 5 5
1 1
log 5 log 3 log 2 1
2 2
x x x+ + − = +
c) ( )2 1
2
1
log 4 15.2 27 2log 0
4.2 3
x x
x
 
+ + − = 
− 
Bài 3: Giải các phương trình sau:
a) ( ) ( )22
2 2log 1 5 log 1x x− = + − b) ( ) ( )2
2 1
4
log 2 8log 2 5x x− − − =
c) 1 1
3 3
log 3. log 2 0x x− + = d)
2
2
1 2
2
log (4 ) log 8
8
+ =
x
x
Bài 4: Giải các phương trình sau:
a) 2 2
3 3log log 1 5 0x x+ + − = b) + + =2
2 12
2
log 3log log 2x x x
c) 5
1
log log 2
5xx − = d) 7
1
log log 2
7xx − =
e) − − − =2
2 1
4
log (2 ) 8log (2 ) 5x x f) 2
5 25log 4log 5 5 0x x+ − =
HƯỚNG DẪN GIẢI:
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a) ( ) ( )2
1 1
3 3
log 3 4 log 2 2x x x+ − = + b) ( )
1
lg lg 1
2
x x= +
c) 2 1
2
8 1
log log
4 2
x
x
−
= d) ( )2
5log 2 65 2x x x− − + =
a) ( ) ( )
2
2
1 1
3 3 2 2
1
4 13 4 0
log 3 4 log 2 2 2 2 0 1 2.2
33 4 2 2 6 0
x
x xx x
x x x x x xx
xx x x x x
 >
 < − >+ − > 
  
+ − = + ⇔ + > ⇔ > − ⇔ → ==  
   = −+ − = + + − =  

Vậy phương trình có nghiệm x = 2.
b) ( )
( )
( ) ( )2 2
0
0 1 50 01 1 5
lg lg 1 1 0 2
lg lg 12 21
2lg lg 1 1 5
2
x
x x x x
x x x x
x x x x
x x
x
>
 >  +>  > +    == + ⇔ + > ⇔ ⇔ ⇔ → =   = + = +   = + −  =

Vậy phương trình đã cho có nghiệm
1 5
.
2
x
+
=
c) ( )2 1
2
8 1
log log , 3 .
4 2
x
x
−
=
Điều kiện:
8 0
0 8.
0
x
x
x
− >
⇔ < <
>

3. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
Khi đó ( ) ( )
1
2
2 2
8 1 8 8 1
3 log log 8 4
4 2 4 4
x x x
x x x x
x
−− − −
⇔ = − ⇔ = ⇔ = ⇔ − =
( )22
8 16 4 0 4.x x x x⇔ − + = ⇔ − = → =
Nghiệm x = 4 thỏa mãn điều kiện, vậy phương trình có nghiệm x = 4.
d) ( ) ( )2
5log 2 65 2, 4x x x− − + =
Điều kiện:
( )2 2
5 0 5
5
5 1 4
4
2 65 0 1 64 0,
x x
x
x x
x
x x x x R
 − > <
 < 
− ≠ ⇔ ≠ ⇔  
≠ 
− + > − + > ∀ ∈ 
Khi đó ( ) ( )22
4 2 65 5 8 40 0 5.x x x x x⇔ − + = − ⇔ + = → = −
Nghiệm x = –5 thỏa mãn điều kiện, vậy phương trình có nghiệm x = –5.
Bình luận:
Trong các ví dụ 3 và 4 chúng ta cần phải tách riêng điều kiện ra giải trước rồi sau đó mới giải phương trình. Ở ví dụ
1 và 2 do các phương trình tương đối đơn giản nên ta mới gộp điều kiện vào việc giải phương trình ngay.
Bài 2. Giải các phương trình sau:
a) ( ) ( )lg 3 2lg 2 lg0,4x x+ − − =
b) ( ) ( )5 5 5
1 1
log 5 log 3 log 2 1
2 2
x x x+ + − = +
c) ( )2 1
2
1
log 4 15.2 27 2log 0
4.2 3
x x
x
 
+ + − = 
− 
a) ( ) ( ) ( )lg 3 2lg 2 lg0,4, 1 .x x+ − − =
Điều kiện:
3 0 3
2.
2 0 2
x x
x
x x
+ > > − 
⇔ ⇔ > 
− > > 
Khi đó, ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2 2
2 2
3 3 2
1 lg 3 lg 2 lg0,4 lg lg0,4 0,4 2 2 5 3 0
52 2
x x
x x x x
x x
+ +
⇔ + − − = ⇔ = ⇔ = = ⇔ − − + =
− −
2
7
2 13 7 0 1
2
x
x x
x
=
⇔ − − = →
 = −

Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là x = 7.
b) ( ) ( ) ( )5 5 5
1 1
log 5 log 3 log 2 1 , 2 .
2 2
x x x+ + − = +
Điều kiện:
5 0 5
3 0 3 3.
2 1 0 1
2
x x
x x x
x
x

+ > > −

− > ⇔ > ⇔ > 
 + >  > −

Khi đó, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )5 5 5 5 5
1 1 1
2 log 5 log 3 log 2 1 log 5 3 log 2 1
2 2 2
x x x x x x⇔ + + − = + ⇔  + −  = + 
( )( ) 2 2
5 3 2 1 2 15 2 1 16 4.x x x x x x x x⇔ + − = + ⇔ + − = + ⇔ = → = ±
Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là x = 4.
c) ( ) ( )2 1
2
1
log 4 15.2 27 2log 0, 3 .
4.2 3
x x
x
 
+ + − = 
− 

4. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
Điều kiện:
4 15.2 27 0,
4.2 3 0
x x
x
x R + + > ∀ ∈

− >
Khi đó ( ) ( ) ( )
2
2 2 2
1 1
3 log 4 15.2 27 2log 0 log 4 15.2 27 0
4.2 3 4.2 3
x x x x
x x
    
⇔ + + + = ⇔ + + =    
− −     
( )
2 2
2
2
2 3
1 2 15.2 27
4 15.2 27 1 1 15.2 39.2 18 0 2
4.2 3 16.2 24.2 9 2 0
5
x
x x
x x x x
x x x x
 =
+ +  ⇔ + + = ⇔ = ⇔ − − = →  − − + = − < 

Giá trị 2 3x
= thỏa mãn điều kiện, từ đó ta được 22 3 log 3x
x= ⇔ = là nghiệm của phương trình.
Bài 3. Giải các phương trình sau:
a) ( ) ( )22
2 2log 1 5 log 1x x− = + − b) ( ) ( )2
2 1
4
log 2 8log 2 5x x− − − =
c) 1 1
3 3
log 3. log 2 0x x− + = d)
2
2
1 2
2
log (4 ) log 8
8
+ =
x
x
a) ( ) ( ) ( )22
2 2log 1 5 log 1 , 1 .x x− = + −
Điều kiện: x > 1.
Đặt ( ) ( ) ( ) ( )
2 22 22 2
2 2 2 2log 1 log 1 log 1 2log 1 4t x x x x t = − → − = − =  −  =  
Khi đó ( )
( )
( )
2
2
5 5
2
4 4
1 3log 1 11 1
2 21 4 5 0 5 5
log 1
4 4 1 2 1 2
xt x x
t t
t x
x x
  − = −= − − = = ⇔ − − = ⇔ → ⇔ ⇔  = − =    − = = + 
Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện, vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là
5
4
3
; 1 2 .
2
x x= = +
b) ( ) ( ) ( )2
2 1
4
log 2 8log 2 5, 2 .x x− − − =
Điều kiện: x < 2.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
2 2 2
2 2 2 2
2
log 2 18
2 log 2 log 2 5 log 2 4log 2 5 0
log 2 52
x
x x x x
x
 − =
⇔ − − − = ⇔ − + − − = ⇔  − = −− 
Với ( )2log 2 1 2 2 0.x x x− = ⇔ − = ⇔ =
Với ( )2
1 63
log 2 5 2 .
32 32
x x x− = − ⇔ − = ⇔ =
Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện, vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là
63
0; .
32
x x= =
c) ( )1 1
3 3
log 3. log 2 0, 3 .x x− + =
Điều kiện:
1
3
0
0 1.log 0
x
xx
>

⇔ < ≤ ≥

( )
2 1 1
3 3
1 1
13 3 1
33
1log 1 log 1
3
3 log 3. log 2 0
log 4 1log 2
81
x x x
x x
xx x
 = = =  
 ⇔ − + = ⇔ ⇔ →   = =    =
  
Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện, vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là
1 1
; .
3 81
x x= =

5. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
d) ( )
2
2
1 2
2
log (4 ) log 8, 4 .
8
+ =
x
x
Điều kiện: x > 0.
Ta có
[ ] ( ) ( )
2
22 22
1 1 2 2 2 2
2 2
2
2
2 2 2 2
log (4 ) log (4 ) log (4 ) log 4 log log 2
log log log 8 2log 3
8
 
= = − = − +  = +   
  
= − = −
x x x x x
x
x x
Khi đó ( ) ( ) ( )2 2 2
2 2 2 2 7
2
2
log 1
4 log 2 2log 3 8 log 6log 7 0 1
log 7 2
128
x
x
x x x x
x x −
=
= ⇔ + + − = ⇔ + − = ⇔ ⇔ = − = = 
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm
1
2; .
128
x x= =