Ds10 c4a

Bất đẳng thức – Bất phương trình Trần Sĩ Tùng
Trang 30
1. Tính chất
2. Một số bất đẳng thức thông dụng
a) a a2
0,³ " . a b ab2 2
2+ ³ .
b) Bất đẳng thức Cô–si:
+ Với a, b ³ 0, ta có:
a b
ab
2
+
³ . Dấu "=" xảy ra Û a = b.
+ Với a, b, c ³ 0, ta có:
a b c
abc3
3
+ +
³ . Dấu "=" xảy ra Û a = b = c.
Hệ quả: – Nếu x, y > 0 có S = x + y không đổi thì P = xy lớn nhất Û x = y.
– Nếu x, y > 0 có P = x y không đổi thì S = x + y nhỏ nhất Û x = y.
c) Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối
d) Bất đẳng thức về các cạnh của tam giác
Với a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác, ta có:
+ a, b, c > 0.
+ a b c a b- < < + ; b c a b c- < < + ; c a b c a- < < + .
e) Bất đẳng thức Bu–nhia–cốp–xki
Với a, b, x, y Î R, ta có: ax by a b x y2 2 2 2 2
( ) ( )( )+ £ + + . Dấu "=" xảy ra Û ay = bx.
CHƯƠNG IV
BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
I. BẤT ĐẲNG THỨC
Điều kiện Nội dung
a 0 a bc (2b)
a 0, c > 0 a 0 a 0 x a
x a
x a
é £ -
³ Û ê ³ë
a b a b a b- £ + ³ +

Trần Sĩ Tùng Bất đẳng thức – Bất phương trình
Trang 31
VẤN ĐỀ 1: Chứng minh BĐT dựa vào định nghia và tính chất cơ bản
· Để chứng minh một BĐT ta có thể sử dụng các cách sau:
– Biến đổi BĐT cần chứng minh tương đương với một BĐT đã biết.
– Sử dụng một BĐT đã biết, biến đổi để dẫn đến BĐT cần chứng minh.
· Một số BĐT thường dùng:
+ A2
0³ + A B2 2
0+ ³ + A B. 0³ với A, B ³ 0. + A B AB2 2
2+ ³
Chú ý:
– Trong quá trình biến đổi, ta thường chú ý đến các hằng đẳng thức.
– Khi chứng minh BĐT ta thường tìm điều kiện để dấu đẳng thức xảy ra. Khi đó ta có
thể tìm GTLN, GTNN của biểu thức.
Bài 1. Cho a, b, c, d, e Î R. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) a b c ab bc ca2 2 2
+ + ³ + + b) a b ab a b2 2
1+ + ³ + +
c) a b c a b c2 2 2
3 2( )+ + + ³ + + d) a b c ab bc ca2 2 2
2( )+ + ³ + -
e) a b c a ab a c4 4 2 2
1 2 ( 1)+ + + ³ - + + f)
a
b c ab ac bc
2
2 2
2
4
+ + ³ - +
g) a b b c c a abc2 2 2 2 2 2
(1 ) (1 ) (1 ) 6+ + + + + ³ h) a b c d e a b c d e2 2 2 2 2
( )+ + + + ³ + + +
i)
a b c ab bc ca
1 1 1 1 1 1
+ + ³ + + với a, b, c > 0
k) a b c ab bc ca+ + ³ + + với a, b, c ³ 0
HD: a) Û a b b c c a2 2 2
( ) ( ) ( ) 0- + - + - ³ b) Û a b a b2 2 2
( ) ( 1) ( 1) 0- + - + - ³
c) Û a b c2 2 2
( 1) ( 1) ( 1) 0- + - + - ³ d) Û a b c 2
( ) 0- + ³
e) Û a b a c a2 2 2 2 2
( ) ( ) ( 1) 0- + - + - ³ f) Û
a
b c
2
( ) 0
2
æ ö
- - ³ç ÷
è ø
g) Û a bc b ca c ab2 2 2
( ) ( ) ( ) 0- + - + - ³
h)Û
a a a a
b c d e
2 2 2 2
0
2 2 2 2
æ ö æ ö æ ö æ ö
- + - + - + - ³ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø è ø
i) Û
a b b c c a
2 2 2
1 1 1 1 1 1
0
æ ö æ ö æ ö
- + - + - ³ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
k) Û ( ) ( ) ( )a b b c c a
2 2 2
0- + - + - ³
Bài 2. Cho a, b, c Î R. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
a b a b
33 3
2 2
æ ö+ +
³ ç ÷
è ø
; với a, b ³ 0 b) a b a b ab4 4 3 3
+ ³ +
c) a a4
3 4+ ³ d) a b c abc3 3 3
3+ + ³ , với a, b, c > 0.
e)
a b
a b
b a
6 6
4 4
2 2
+ £ + ; với a, b ¹ 0. f)
aba b2 2
1 1 2
11 1
+ ³
++ +
; với ab ³ 1.
g)
a
a
2
2
3
2
2
+
>
+
h) a b a b a b a b5 5 4 4 2 2
( )( ) ( )( )+ + ³ + + ; với ab > 0.
HD: a) Û a b a b 23
( )( ) 0
8
+ - ³ b) Û a b a b3 3
( )( ) 0- - ³

Trang 32
c) Û a a a2 2
( 1) ( 2 3) 0- + + ³
d) Sử dụng hằng đẳng thức a b a b a b ab3 3 3 2 2
( ) 3 3+ = + - - .
BĐT Û a b c a b c ab bc ca2 2 2
( ) ( ) 0é ù+ + + + - + + ³ë û .
e) Û a b a a b b2 2 2 4 2 2 4
( ) ( ) 0- + + ³ f) Û
b a ab
ab a b
2
2 2
( ) ( 1)
0
(1 )(1 )(1 )
- -
³
+ + +
g) Û a2 2
( 1) 0+ > h) Û ab a b a b3 3
( )( ) 0- - ³ .
Bài 3. Cho a, b, c, d Î R. Chứng minh rằng a b ab2 2
2+ ³ (1). Áp dụng chứng minh các bất
đảng thức sau:
a) a b c d abcd4 4 4 4
4+ + + ³ b) a b c abc2 2 2
( 1)( 1)( 1) 8+ + + ³
c) a b c d abcd2 2 2 2
( 4)( 4)( 4)( 4) 256+ + + + ³
HD: a) a b a b c d c d4 4 2 2 2 2 2 2
2 ; 2+ ³ + ³ ; a b c d abcd2 2 2 2
2+ ³
b) a a b b c c2 2 2
1 2 ; 1 2 ; 1 2+ ³ + ³ + ³
c) a a b b c c d d2 2 2 2
4 4 ; 4 4 ; 4 4 ; 4 4+ ³ + ³ + ³ + ³
Bài 4. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng nếu
a
b
1< thì
a a c
b b c
+
<
+
(1). Áp dụng chứng
minh các bất đảng thức sau:
a)
a b c
a b b c c a
2+ + <
+ + +
b)
a b c d
a b c b c d c d a d a b
1 2< + + + <
+ + + + + + + +
c)
a b b c c d d a
a b c b c d c d a d a b
2 3
+ + + +
< + + + <
+ + + + + + + +
HD: BĐT (1) Û (a – b)c < 0.
a) Sử dụng (1), ta được:
a a c
a b a b c
+
<
+ + +
,
b b a
b c a b c
+
<
+ + +
,
c c b
c a a b c
+
<
+ + +
.
Cộng các BĐT vế theo vế, ta được đpcm.
b) Sử dụng tính chất phân số, ta có:
a a a
a b c d a b c a c
< <
+ + + + + +
Tương tự,
b b b
a b c d b c d b d
< <
+ + + + + +
c c c
a b c d c d a a c
< <
+ + + + + +
d d d
a b c d d a b d b
< <
+ + + + + +
Cộng các BĐT vế theo vế ta được đpcm.
c) Chứng minh tương tự câu b). Ta có:
a b a b a b d
a b c d a b c a b c d
+ + + +
< <
+ + + + + + + +
Cùng với 3 BĐT tương tự, ta suy ra đpcm.
Bài 5. Cho a, b, c Î R. Chứng minh bất đẳng thức: a b c ab bc ca2 2 2
+ + ³ + + (1). Áp dụng
chứng minh các bất đảng thức sau:
a) a b c a b c2 2 2 2
( ) 3( )+ + £ + + b)
a b c a b c
22 2 2
3 3
æ ö+ + + +
³ ç ÷
è ø
c) a b c ab bc ca2
( ) 3( )+ + ³ + + d) a b c abc a b c4 4 4
( )+ + ³ + +

Trang 33
e)
a b c ab bc ca
3 3
+ + + +
³ với a,b,c>0. f) a b c abc4 4 4
+ + ³ nếu a b c 1+ + =
HD: Û a b b c c a2 2 2
( ) ( ) ( ) 0- + - + - ³ .
a) Khai triển, rút gọn, đưa về (1) b, c) Vận dụng a)
d) Sử dụng (1) hai lần e) Bình phương 2 vế, sử dụng (1)
f) Sử dụng d)
Bài 6. Cho a, b ³ 0 . Chứng minh bất đẳng thức: a b a b b a ab a b3 3 2 2
( )+ ³ + = + (1). Áp
dụng chứng minh các bất đảng thức sau:
a)
abca b abc b c abc c a abc3 3 3 3 3 3
1 1 1 1
+ + £
+ + + + + +
; với a, b, c > 0.
b)
a b b c c a3 3 3 3 3 3
1 1 1
1
1 1 1
+ + £
+ + + + + +
; với a, b, c > 0 và abc = 1.
c)
a b b c c a
1 1 1
1
1 1 1
+ + £
+ + + + + +
; với a, b, c > 0 và abc = 1.
d) a b b c c a a b c3 3 3 3 3 33 3 3
4( ) 4( ) 4( ) 2( )+ + + + + ³ + + ; với a, b, c ³ 0 .
e*)
A B C
A B C3 3 3 3 3 3sin sin sin cos cos cos
2 2 2
+ + £ + + ; với ABC là một tam giác.
HD: (1) Û a b a b2 2
( )( ) 0- - ³ .
a) Từ (1) Þ a b abc ab a b c3 3
( )+ + ³ + + Þ
ab a b ca b abc3 3
1 1
( )
£
+ ++ +
.
Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy ra đpcm.
b, c) Sử dụng a).
d) Từ (1) Û a b a b ab3 3 2 2
3( ) 3( )+ ³ + Û a b a b3 3 3
4( ) ( )+ ³ + (2).
Từ đó: VT ³ a b b c c a a b c( ) ( ) ( ) 2( )+ + + + + = + + .
e) Ta có:
C A B C
A Bsin sin 2cos .cos 2cos
2 2 2
-
+ = £ .
Sử dụng (2) ta được: a b a b3 33
4( )+ £ + .
Þ
C C
A B A B3 3 3 3 3sin sin 4(sin sin ) 4.2.cos 2 cos
2 2
+ £ + £ =
Tương tự,
A
B C3 3 3sin sin 2 cos
2
+ £ ,
B
C A33 3sin sin 2 cos
2
+ £
Bài 7. Cho a, b, x, y Î R. Chứng minh bất đẳng thức sau (BĐT Min–cốp–xki):
a x b y a b x y2 2 2 2 2 2
( ) ( )+ + + ³ + + + (1)
Áp dụng chứng minh các bất đảng thức sau:
a) Cho a, b ³ 0 thoả a b 1+ = . Chứng minh: a b2 2
1 1 5+ + + ³ .
b) Tìm GTNN của biểu thức P = a b
b a
2 2
2 2
1 1
+ + + .
c) Cho x, y, z > 0 thoả mãn x y z 1+ + = . Chứng minh:
x y z
x y z
2 2 2
2 2 2
1 1 1
82+ + + + + ³ .

Trang 34
d) Cho x, y, z > 0 thoả mãn x y z 3+ + = . Tìm GTNN của biểu thức:
P = x y z2 2 2
223 223 223+ + + + + .
HD: Bình phương 2 vế ta được: (1) Û a b x y ab xy2 2 2 2
( )( )+ + ³ + (*)
· Nếu ab xy 0+ < thì (*) hiển nhiên đúng.
· Nếu ab xy 0+ ³ thì bình phương 2 vế ta được: (*) Û bx ay 2
( ) 0- ³ (đúng).
a) Sử dụng (1). Ta có: a b a b2 2 2 2
1 1 (1 1) ( ) 5+ + + ³ + + + = .
b) Sử dụng (1). P ³ a b a b
a b a b
2 2
2 21 1 4
( ) ( ) 17
æ ö æ ö
+ + + ³ + + =ç ÷ ç ÷
+è ø è ø
Chú ý:
a b a b
1 1 4
+ ³
+
(với a, b > 0).
c) Áp dụng (1) liên tiếp hai lần ta được:
x y z x y z
x y zx y z
2
2 2 2 2
2 2 2
1 1 1 1 1 1
( )
æ ö
+ + + + + ³ + + + + +ç ÷
è ø
³ x y z
x y z
2
2 9
( ) 82
æ ö
+ + + =ç ÷
+ +è ø
.
Chú ý:
x y z x y z
1 1 1 9
+ + ³
+ +
(với x, y, z > 0).
d) Tương tự câu c). Ta có: P ³ ( ) x y z
2
2
3 223 ( ) 2010+ + + = .
Bài 8. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh:
a) ab bc ca a b c ab bc ca2 2 2
+ <2( )+ + £ + + +
b) abc a b c b c a a c b( )( )( )³ + - + - + -
c) a b b c c a a b c2 2 2 2 2 2 4 4 4
2 2 2 0+ + - - - >
d) a b c b c a c a b a b c2 2 2 3 3 3
( ) ( ) ( )- + - + + > + +
HD: a) Sử dụng BĐT tam giác, ta có: a b c a b bc c2 2 2
2> - Þ > - + .
b) Ta có: a a b c a a b c a b c2 2 2 2
( ) ( )( )> - - Þ > + - - + .
c) Û a b c a b c b c a c a b( )( )( )( ) 0+ + + - + - + - > .
d) Û a b c b c a c a b( )( )( ) 0+ - + - + - > .
Bài 9.
a)

Trang 35
VẤN ĐỀ 2: Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cô–si
1. Bất đẳng thức Cô–si:
+ Với a, b ³ 0, ta có:
a b
ab
2
+
³ . Dấu "=" xảy ra Û a = b.
+ Với a, b, c ³ 0, ta có:
a b c
abc3
3
+ +
³ . Dấu "=" xảy ra Û a = b = c.
2. Hệ quả: +
a b
ab
2
2
æ ö+
³ç ÷
è ø
+
a b c
abc
3
3
æ ö+ +
³ç ÷
è ø
3. Ứng dụng tìm GTLN, GTNN:
+ Nếu x, y > 0 có S = x + y không đổi thì P = xy lớn nhất Û x = y.
+ Nếu x, y > 0 có P = x y không đổi thì S = x + y nhỏ nhất Û x = y.
Bài 1. Cho a, b, c ³ 0. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) a b b c c a abc( )( )( ) 8+ + + ³ b) a b c a b c abc2 2 2
( )( ) 9+ + + + ³
c) ( )a b c abc
3
3
(1 )(1 )(1 ) 1+ + + ³ + d)
bc ca ab
a b c
a b c
+ + ³ + + ; với a, b, c > 0.
e) a b b c c a abc2 2 2 2 2 2
(1 ) (1 ) (1 ) 6+ + + + + ³
f)
ab bc ca a b c
a b b c c a 2
+ +
+ + £
+ + +
; với a, b, c > 0.
g)
a b c
b c c a a b
3
2
+ + ³
+ + +
; với a, b, c > 0.
HD: a) a b ab b c bc c a ca2 ; 2 ; 2+ ³ + ³ + ³ Þ đpcm.
b) a b c abc a b c a b c
32 2 2 2 2 23
3 ; 3+ + ³ + + ³ Þ đpcm.
c) · a b c a b c ab bc ca abc(1 )(1 )(1 ) 1+ + + = + + + + + + +
· a b c abc3
3+ + ³ · ab bc ca a b c
3 2 2 2
3+ + ³
Þ ( )a b c abc a b c abc abc
33 2 2 23 3
(1 )(1 )(1 ) 1 3 3 1+ + + ³ + + + = +
d)
bc ca abc
c
a b ab
2
2 2+ ³ = ,
ca ab a bc
a
b c bc
2
2 2+ ³ = ,
ab bc ab c
b
c a ac
2
2 2+ ³ = Þđpcm
e) VT ³ a b b c c a2 2 2
2( )+ + ³ a b c abc
3 3 3 3
6 6= .
f) Vì a b ab2+ ³ nên
ab ab ab
a b ab 22
£ =
+
. Tương tự:
bc bc ca ca
b c c a
;
2 2
£ £
+ +
.
Þ
ab bc ca ab bc ca a b c
a b b c c a 2 2
+ + + +
+ + £ £
+ + +
(vì ab bc ca a b c+ + £ + + )
g) VT =
a b c
b c c a a b
1 1 1 3
æ ö æ ö æ ö
+ + + + + -ç ÷ ç ÷ ç ÷
+ + +è ø è ø è ø
= [ ]a b b c c a
b c c a a b
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) 3
2
æ ö
+ + + + + + + -ç ÷
+ + +è ø
³
9 3
3
2 2
- = .
· Cách khác: Đặt x =b + c, y = c + a, z = a + b.
Khi đó, VT =
x y z x z y
y x x z y z
1
3
2
é ùæ ö æ ö æ ö
+ + + + + -ê úç ÷ç ÷ ç ÷
è øè ø è øë û
³
1 3
(2 2 2 3)
2 2
+ + - = .

Trang 36
Bài 2. Cho a, b, c > 0. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) a b c a b c
a b c
3 3 3 21 1 1
( ) ( )
æ ö
+ + + + ³ + +ç ÷
è ø
b) a b c a b c a b c3 3 3 2 2 2
3( ) ( )( )+ + ³ + + + + c) a b c a b c3 3 3 3
9( ) ( )+ + ³ + +
HD: a) VT =
a b b c c a
a b c
b a c b a c
3 3 3 3 3 3
2 2 2
æ ö æ ö æ ö
+ + + + + + + +ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
.
Chú ý:
a b
a b ab
b a
3 3
2 2
2 2+ ³ = . Cùng với 2 BĐT tương tự ta suy ra đpcm.
b) Û ( ) ( ) ( )a b c a b b a b c bc c a ca3 3 3 2 2 2 2 2 2
2( )+ + ³ + + + + + .
Chú ý: a b ab a b3 3
( )+ ³ + . Cùng với 2 BĐT tương tự ta suy ra đpcm.
c) Áp dụng b) ta có: a b c a b c a b c3 3 3 2 2 2
9( ) 3( )( )+ + ³ + + + + .
Dễ chứng minh được: a b c a b c2 2 2 2
3( ) ( )+ + ³ + + Þ đpcm.
Bài 3. Cho a, b > 0. Chứng minh
a b a b
1 1 4
+ ³
+
(1). Áp dụng chứng minh các BĐT sau:
a)
a b c a b b c c a
1 1 1 1 1 1
2
æ ö
+ + ³ + +ç ÷
+ + +è ø
; với a, b, c > 0.
b)
a b b c c a a b c a b c a b c
1 1 1 1 1 1
2
2 2 2
æ ö
+ + ³ + +ç ÷
+ + + + + + + + +è ø
; với a, b, c > 0.
c) Cho a, b, c > 0 thoả
a b c
1 1 1
4+ + = . Chứng minh:
a b c a b c a b c
1 1 1
1
2 2 2
+ + £
+ + + + + +
d)
ab bc ca a b c
a b b c c a 2
+ +
+ + £
+ + +
; với a, b, c > 0.
e) Cho x, y, z > 0 thoả x y z2 4 12+ + = . Chứng minh:
xy yz xz
x y y z z x
2 8 4
6
2 2 4 4
+ + £
+ + +
.
f) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi. Chứng minh rằng:
p a p b p c a b c
1 1 1 1 1 1
2
æ ö
+ + ³ + +ç ÷
- - - è ø
.
HD: (1) Û a b
a b
1 1
( ) 4
æ ö
+ + ³ç ÷
è ø
. Hiển nhiển suy từ BĐT Cô–si.
a) Áp dụng (1) ba lần ta được:
a b a b b c b c c a c a
1 1 4 1 1 4 1 1 4
; ;+ ³ + ³ + ³
+ + +
.
b) Tương tự câu a).
c) Áp dụng a) và b) ta được:
a b c a b c a b c a b c
1 1 1 1 1 1
4
2 2 2
æ ö
+ + ³ + +ç ÷
+ + + + + +è ø
.
d) Theo (1):
a b a b
1 1 1 1
4
æ ö
£ +ç ÷
+ è ø
Û
ab
a b
a b
1
( )
4
£ +
+
.
Cùng với các BĐT tương tự, cộng vế theo vế ta được đpcm.
e) Áp dụng câu d) với a = x, b = 2y, c = 4z thì a b c 12+ + = Þ đpcm.
f) Nhận xét: (p –a) + (p – b) = 2p – (a + b) = c.
Áp dụng (1) ta được:
p a p b p a p b c
1 1 4 4
( ) ( )
+ ³ =
- - - + -
.
Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta được đpcm.

Trang 37
Bài 4. Cho a, b, c > 0. Chứng minh
a b c a b c
1 1 1 9
+ + ³
+ +
(1). Áp dụng chứng minh các
BĐT sau:
a) a b c a b c
a b b c c a
2 2 2 1 1 1 3
( ) ( )
2
æ ö
+ + + + ³ + +ç ÷
+ + +è ø
.
b) Cho x, y, z > 0 thoả x y z 1+ + = . Tìm GTLN của biểu thức: P =
x y z
x y z1 1 1
+ +
+ + +
.
c) Cho a, b, c > 0 thoả a b c 1+ + £ . Tìm GTNN của biểu thức:
P =
a bc b ac c ab2 2 2
1 1 1
2 2 2
+ +
+ + +
.
d) Cho a, b, c > 0 thoả a b c 1+ + = . Chứng minh:
ab bc caa b c2 2 2
1 1 1 1
30+ + + ³
+ +
.
e*) Cho tam giác ABC. Chứng minh:
A B C
1 1 1 6
2 cos2 2 cos2 2 cos2 5
+ + ³
+ + -
.
HD: Ta có: (1) Û a b c
a b c
1 1 1
( ) 9
æ ö
+ + + + ³ç ÷
è ø
. Dễ dàng suy từ BĐT Cô–si.
a) Áp dụng (1) ta được:
a b b c c a a b c
1 1 1 9
2( )
+ + ³
+ + + + +
.
Þ VT ³
a b c a b c
a b c
a b c a b c
2 2 2 2 2 2
9( ) 3 3( ) 3
. ( )
2( ) 2 2
+ + + +
= ³ + +
+ + + +
Chú ý: a b c a b c2 2 2 2
( ) 3( )+ + £ + + .
b) Để áp dụng (1), ta biến đổi P như sau:
P =
x y z
x y z
1 1 1 1 1 1
1 1 1
+ - + - + -
+ +
+ + +
=
x y z
1 1 1
3
1 1 1
æ ö
- + +ç ÷
+ + +è ø
Ta có:
x y z x y z
1 1 1 9 9
1 1 1 3 4
+ + ³ =
+ + + + + +
. Suy ra: P £
9 3
3
4 4
- = .
Chú ý: Bài toán trên có thể tổng quát như sau:
Cho x, y, z > 0 thoả x y z 1+ + = và k là hằng số dương cho trước. Tìm GTLN
của biểu thức: P =
x y z
kx ky kz1 1 1
+ +
+ + +
.
c) Ta có: P ³
a bc b ca c ab a b c2 2 2 2
9 9
9
2 2 2 ( )
= ³
+ + + + + + +
.
d) VT ³
ab bc caa b c2 2 2
1 9
+
+ ++ +
=
ab bc ca ab bc ca ab bc caa b c2 2 2
1 1 1 7æ ö
+ + +ç ÷
+ + + + + ++ +è ø
³
ab bc caa b c 2
9 7 9 7
30
11( )
3
+ ³ + =
+ ++ +
Chú ý: ab bc ca a b c 21 1
( )
3 3
+ + £ + + = .
e) Áp dụng (1):
A B C A B C
1 1 1 9
2 cos2 2 cos2 2 cos2 6 cos2 cos2 cos2
+ + ³
+ + - + + -

Trang 38
³
9 6
3 5
6
2
=
+
.
Chú ý: A B C
3
cos2 cos2 cos2
2
+ - £ .
Bài 5. Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTNN của các biểu thức sau:
a)
x
y x
x
18
; 0
2
= + > . b)
x
y x
x
2
; 1
2 1
= + >
-
.
c)
x
y x
x
3 1
; 1
2 1
= + > -
+
. d)
x
y x
x
5 1
;
3 2 1 2
= + >
-
e)
x
y x
x x
5
; 0 1
1
= + < <
-
f)
x
y x
x
3
2
1
; 0
+
= >
g)
x x
y x
x
2
4 4
; 0
+ +
= > h) y x x
x
2
3
2
; 0= + >
HD: a) Miny = 6 khi x = 6 b) Miny =
3
2
khi x = 3
c) Miny =
3
6
2
- khi x =
6
1
3
- d) Miny =
30 1
3
+
khi x =
30 1
2
+
e) Miny = 2 5 5+ khi x
5 5
4
-
= f) Miny =
3
3
4
khi x = 3
2
g) Miny = 8 khi x = 2 h) Miny =
5
5
27
khi x = 5
3
Bài 6. Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTLN của các biểu thức sau:
a) y x x x( 3)(5 ); 3 5= + - - £ £ b) y x x x(6 ); 0 6= - £ £
c) y x x x
5
( 3)(5 2 ); 3
2
= + - - £ £ d) y x x x
5
(2 5)(5 ); 5
2
= + - - £ £
e) y x x x
1 5
(6 3)(5 2 );
2 2
= + - - £ £ f)
x
y x
x2
; 0
2
= >
+
g)
( )
x
y
x
2
3
2
2
=
+
HD: a) Maxy = 16 khi x = 1 b) Maxy = 9 khi x = 3
c) Maxy =
121
8
khi x =
1
4
- d) Maxy =
625
8
khi x =
5
4
e) Maxy = 9 khi x = 1 f) Maxy =
1
2 2
khi x = 2 ( x x2
2 2 2+ ³ )
g) Ta có: x x x
32 2 2
2 1 1 3+ = + + ³ Û x x2 3 2
( 2) 27+ ³ Û
x
x
2
2 3
1
27( 2)
£
+
Þ Maxy =
1
27
khi x = ±1.
Bài 7.
a)

Trang 39
VẤN ĐỀ 3: Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bu–nhia–cốp–xki
1. Bất đẳng thức Bu–nhia–cốp–xki: (B)
· Với a, b, x, y Î R, ta có: ax by a b x y2 2 2 2 2
( ) ( )( )+ £ + + . Dấu "=" xảy ra Û ay = bx.
· Với a, b, c, x, y, z Î R, ta có: ax by cz a b c x y z2 2 2 2 2 2 2
( ) ( )( )+ + £ + + + +
Hệ quả:
· a b a b2 2 2
( ) 2( )+ £ + · a b c a b c2 2 2 2
( ) 3( )+ + £ + +
Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) a b2 2
3 4 7+ ³ , với a b3 4 7+ = b) a b2 2 735
3 5
47
+ ³ , với a b2 3 7- =
c) a b2 2 2464
7 11
137
+ ³ , với a b3 5 8- = d) a b2 2 4
5
+ ³ , với a b2 2+ =
e) a b2 2
2 3 5+ ³ , với a b2 3 5+ = f) x y x y2 2 9
( 2 1) (2 4 5)
5
- + + - + ³
HD: a) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số a b3, 4, 3 , 4 .
b) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số a b
2 3
, , 3 , 5
3 5
- .
c) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số a b
3 5
, , 7 , 11
7 11
- .
d) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số a b1,2, , .
e) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số a b2, 3, 2 , 3 .
f) Đặt a = x – 2y + 1, b = 2x – 4y + 5, ta có: 2a – b = –3 và BĐT Û a b2 2 9
5
+ ³ .
Áp dụng BĐT (B) cho 4 số 2; –1; a; b ta được đpcm.
a) a b2 2 1
2
+ ³ , với a b 1+ ³ . b) a b3 3 1
4
+ ³ , với a b 1+ ³ .
c) a b4 4 1
8
+ ³ , với a b 1+ ³ . d) a b4 4
2+ ³ , với a b 2+ = .
HD: a) a b a b2 2 2 2 2
1 (1 1 ) (1 1 )( )£ + £ + + Þ đpcm.
b) a b b a b a a a a3 3 2 3
1 1 (1 ) 1 3 3+ ³ Þ ³ - Þ ³ - = - + -
Þ b a a
2
3 3 1 1 1
3
2 4 4
æ ö
+ ³ - + ³ç ÷
è ø
.
c) a b a b2 2 4 4 2 2 2 1
(1 1 )( ) ( )
4
+ + ³ + ³ Þ đpcm.
d) a b a b2 2 2 2 2
(1 1 )( ) ( ) 4+ + ³ + = Þ a b2 2
2+ ³ .
a b a b2 2 4 4 2 2 2
(1 1 )( ) ( ) 4+ + ³ + ³ Þ a b4 4
2+ ³
Bài 3. Cho x, y, z là ba số dương và x y z 1+ + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P x y z1 1 1= - + - + - .
HD: Áp dụng BĐT (B), ta có: P £ x y z1 1 1. (1 ) (1 ) (1 )+ + - + - + - £ 6

Trang 40
Dấu "=" xảy ra Û x y z1 1 1- = - = - Û x y z
1
3
= = = .
Vậy Max P = 6 khi x y z
1
3
= = = .
Bài 4. Cho x, y, z là ba số dương và x y z 1+ + £ . Chứng minh rằng:
x y z
x y z
2 2 2
2 2 2
1 1 1
82+ + + + + ³
HD: Áp dụng BĐT (B), ta có:
x x
xx
2
2 2 2
2
1 9
(1 9 )
æ ö æ ö
+ + ³ +ç ÷ç ÷
è øè ø
Þ x x
xx
2
2
1 1 9
82
æ ö
+ ³ +ç ÷
è ø
(1)
Tương tự ta có: y y
yy
2
2
1 1 9
82
æ ö
+ ³ +ç ÷
è ø
(2), z z
zz
2
2
1 1 9
82
æ ö
+ ³ +ç ÷
è ø
(3)
Từ (1), (2), (3) suy ra:
P ³ x y z
x y z
1 1 1 1
( ) 9
82
é ùæ ö
+ + + + +ê úç ÷
è øë û
= x y z
x y z x y z
1 1 1 1 1 80 1 1 1
( )
9 982
é ùæ ö æ ö
+ + + + + + + +ê úç ÷ ç ÷
è ø è øë û
³ x y z
x y z x y z
1 2 1 1 1 80 9
( ) .
3 982
é ùæ ö
ê ú+ + + + +ç ÷
+ +ê úè øë û
³ 82 .
Dấu "=" xảy ra Û x y z
1
3
= = = .
Bài 5. Cho a, b, c ³
1
4
- thoả a b c 1+ + = . Chứng minh:
a b c
(1) (2)
7 4 1 4 1 4 1 21< + + + + + £ .
HD: Áp dụng BĐT (B) cho 6 số: a b c1;1;1; 4 1; 4 1; 4 1+ + + Þ (2).
Chú ý: x y z x y z+ + £ + + . Dấu "=" xảy ra Û x = y = z = 0. Từ đó Þ (1)
Bài 6. Cho x, y > 0. Tìm GTNN của các biểu thức sau:
a) A
x y
4 1
4
= + , với x + y = 1 b) B x y= + , với
x y
2 3
6+ =
HD: a) Chú ý: A =
x y
2 2
2 1
2
æ ö æ ö
+ç ÷ ç ÷ç ÷è ø è ø
.
Áp dụng BĐT (B) với 4 số: x y
x y
2 1
; ; ;
2
ta được:
x y x y
x yx y
2
25 2 1 4 1
. . ( )
4 42
æ ö æ ö
£ + £ + +ç ÷ ç ÷ç ÷ è øè ø
Dấu "=" xảy ra Û x y
4 1
;
5 5
= = . Vậy minA =
25
4
khi x y
4 1
;
5 5
= = .
b) Chú ý:
x y x y
2 2
2 3 2 3æ ö æ ö
+ = +ç ÷ ç ÷ç ÷è ø è ø
.
Áp dụng BĐT (B) với 4 số: x y
x y
2 3
; ; ; ta được:

Trang 41
( )x y x y
x y x y
2
22 3 2 3
( ) . . 2 3
æ öæ ö
+ + ³ + = +ç ÷ç ÷ ç ÷
è ø è ø
Þ
( )
x y
2
2 3
6
+
+ ³ .
2 3 3 2 2 3 3 2
;
6 3 6 2
+ +
= = . Vậy minB =
( )
2
2 3
6
+
.
Bài 7. Tìm GTLN của các biểu thức sau:
a) A x y y x1 1= + + + , với mọi x, y thoả x y2 2
1+ = .
HD: a) Chú ý: x y x y2 2
2( ) 2+ £ + = .
A £ x y y x x y2 2
( )(1 1 ) 2+ + + + = + + £ 2 2+ .
2
2
= = .
Bài 8. Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức sau:
a) A x x7 2= - + + , với –2 £ x £ 7 b) B x x6 1 8 3= - + - , với 1 £ x £ 3
c) C y x2 5= - + , với x y2 2
36 16 9+ = d) D x y2 2= - - , với
x y2 2
1
4 9
+ = .
HD: a) · A £ x x2 2
(1 1 )(7 2) 3 2+ - + + = . Dấu "=" xảy ra Û x
5
2
= .
· A ³ x x(7 ) ( 2) 3- + + = . Dấu "=" xảy ra Û x = –2 hoặc x = 7.
Þ maxA = 3 2 khi x
5
2
= ; minA = 3 khi x = –2 hoặc x = 7.
b)· B £ x x2 2
(6 8 )( 1 3 ) 10 2+ - + - = . Dấu "=" xảy ra Û x =
43
25
.
· B ³ x x x6 ( 1) (3 ) 2 3- + - + - ³ 6 2 . Dấu "=" xảy ra Û x = 3.
Þ maxB = 10 2 khi x =
43
25
; minB = 6 2 khi x = 3.
c) Chú ý: x y x y2 2 2 2
36 16 (6 ) (4 )+ = + . Từ đó: y x y x
1 1
2 .4 .6
4 3
- = - .
Þ ( )y x y x y x2 21 1 1 1 5
2 .4 .6 16 36
4 3 16 9 4
æ ö
- = - £ + + =ç ÷
è ø
Þ y x
5 5
2
4 4
- £ - £ Þ C y x
15 25
2 5
4 4
£ = - + £ .
Þ minC =
15
4
khi x y
2 9
,
5 20
= = - ; maxC =
25
4
khi x y
2 9
,
5 20
= - = .
d) Chú ý: ( )x y
x y
2 2
2 21
(3 ) (2 )
4 9 36
+ = + . Từ đó: x y x y
2 1
2 .3 .2
3 2
- = - .
Þ ( )x y x y x y2 22 1 4 1
2 .3 .2 9 4 5
3 2 9 4
æ ö
- = - £ + + =ç ÷
è ø
Þ x y5 2 5- £ - £ Þ D x y7 2 2 3- £ = - - £ .
Þ minD = –7 khi x y
8 9
,
5 5
= - = ; maxD = 3 khi x y
8 9
,
5 5
= = - .
Bài 9.
a)

Trang 42
1. Giải và biện luận bất phương trình dạng ax + b < 0
2. Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn
Muốn giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn ta giải từng bất phương trình của hệ rồi
lấy giao các tập nghiệm thu được.
3. Dấu của nhị thức bậc nhất
VẤN ĐỀ 1: Giải và biện luận bất phương trình dạng ax + b < 0
Bài 1. Giải các bất phương trình sau:
a)
( )x
x
3 3 2 7
2
5 3
-
- + > b)
x
x
2 1 3
3
5 4
+
- > +
c)
x x5( 1) 2( 1)
1
6 3
- +
- < d)
x x3( 1) 1
2 3
8 4
+ -
+ < -
Bài 2. Giải và biện luận các bất phương trình sau:
a) m x m x( ) 1- £ - b) mx x m6 2 3+ > +
c) m x m m( 1) 3 4+ + < + d) mx m x2
1+ > +
e)
m x x m x( 2) 1
6 3 2
- - +
+ > f) mx x m m 2
3 2( ) ( 1)- < - - +
Bài 3. Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm:
a) m x m x m2 2
4 3+ - < + b) m x m m x2
1 (3 2)+ ³ + -
c) mx m mx2
4- > - d) mx x m m 2
3 2( ) ( 1)- < - - +
Bài 4.
a)
f(x) = ax + b (a ¹ 0)
x Î
b
a
;
æ ö
-¥ -ç ÷
è ø
a.f(x) < 0
x Î
b
a
;
æ ö
- +¥ç ÷
è ø
a.f(x) > 0
II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT MỘT ẨN
Điều kiện Kết quả tập nghiệm
a > 0 S =
b
a
;
æ ö
-¥ -ç ÷
è ø
a < 0 S =
b
a
;
æ ö
- +¥ç ÷
è ø
b ³ 0 S = Æ
a = 0
b < 0 S = R

Trang 43
VẤN ĐỀ 2: Giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn
Bài 1. Giải các hệ bất phương trình sau:
a)
x
x
x x
15 8
8 5
2
3
2(2 3) 5
4
ì -
- >ï
í
ï - > -
î
b)
x
x
x
x
4 5
3
7
3 8
2 5
4
ì -
< +ï
í
+ï > -
î
c)
x x
x x
4 1
12
3 2
4 3 2
2 3
ì
- £ +ï
í
- -ï <
î
d)
x
x
x x
4
2 3
2 9 19
3 2
ì
£ +ï
í
- +ï <
î
e)
( )
x
x
x
x
11
2 5
2
8
2 3 1
2
ì -
³ -ï
í
-ï + ³
î
f)
( )
x x
x
x
1
15 2 2
3
3 14
2 4
2
ì
- > +ï
í
-ï - <
î
g)
x x
x
x
2 3 3 1
4 5
5
3 8
2 3
ì - +
<ï
í
ï + < -
î
h)
x x x
x x x
3 1 3( 2) 5 3
1
4 8 2
4 1 1 4 5
3
18 12 9
ì - - -
- - >ïï
í
- - -ï - > -
ïî
i)
x x
x x
3 1 2 7
4 3 2 19
ì + ³ +
í
+ > +î
Bài 2. Tìm các nghiệm nguyên của các hệ bất phương trình sau:
a)
x x
x
x
5
6 4 7
7
8 3
2 25
2
ì
+ > +ï
í
+ï < +
î
b)
x x
x
x
1
15 2 2
3
3 14
2( 4)
2
ì
- > +ï
í
-ï - <
î
Bài 3. Xác định m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:
a)
î
í
ì
>--
>-+
023
01
xm
mx
b)
î
í
ì
>-
>-
03
01
mx
x
c) x m mx
x x
2
4 2 1
3 2 2 1
ì + £ +
í
+ > -î
d)
x x
x m
7 2 4 19
2 3 2 0
ì - ³ - +
í
- + <î
e)
mx
m x m
1 0
(3 2) 0
ì - >
í
- - >î
Bài 4.
a)
VẤN ĐỀ 3: Bất phương trình qui về bất phương trình bậc nhất một ẩn
1. Bất phương trình tích
· Dạng: P(x).Q(x) > 0 (1) (trong đó P(x), Q(x) là những nhị thức bậc nhất.)
· Cách giải: Lập bảng xét dấu của P(x).Q(x). Từ đó suy ra tập nghiệm của (1).
2. Bất phương trình chứa ẩn ở mẫu
· Dạng:
P x
Q x
( )
0
( )
> (2) (trong đó P(x), Q(x) là những nhị thức bậc nhất.)
· Cách giải: Lập bảng xét dấu của
P x
Q x
( )
( )
. Từ đó suy ra tập nghiệm của (2).
Chú ý: Không nên qui đồng và khử mẫu.
3. Bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ
· Tương tự như giải phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định
nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ.
· Dạng 1:
g x
f x g x
g x f x g x
( ) 0
( ) ( )
( ) ( ) ( )
ì >
< Û í
- < <î

Trang 44
· Dạng 2:
g x
f x coù nghóa
f x g x g x
f x g x
f x g x
( ) 0
( )
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( )
( ) ( )
éì <
íê
îê
> Û ì ³êï
ê é < -í
ê êï >ëîë
Chú ý: Với B > 0 ta có: A B B A B< Û - < < ;
A B
A B
A B
é < -
> Û ê >ë
.
a) x x x( 1)( 1)(3 6) 0+ - - > b) x x(2 7)(4 5 ) 0- - ³ c) x x x2
20 2( 11)- - > -
d) x x x3 (2 7)(9 3 ) 0+ - ³ e) x x x3 2
8 17 10 0+ + + < f) x x x3 2
6 11 6 0+ + + >
a)
x x
x
(2 5)( 2)
0
4 3
- +
>
- +
b)
x x
x x
3 5
1 2
- +
>
+ -
c)
x x
x x
3 1 2
5 3
- -
<
+ -
d)
x
x
3 4
1
2
-
>
-
e)
x
x
2 5
1
2
-
³ -
-
f)
x x
2 5
1 2 1
£
- -
g)
x x
4 3
3 1 2
-
<
+ -
h)
x x
x
x
2
2
1
1 2
+
³ -
-
i)
x x
x x
2 5 3 2
3 2 2 5
- +
<
+ -
a) x3 2 7- > b) x5 12 3- < c) 2x 8 7- £
d) x3 15 3+ ³ e)
x
x
1
1
2
+
- > f)
x
x 2
2
- <
g) x x2 5 1- £ + h) x x2 1+ £ i) x x2 1- > +
a)
x m
x
2 1
0
1
+ -
>
+
b)
mx m
x
1
0
1
- +
<
-
c) x x m1( 2) 0- - + >
HD: Giải và biện luận BPT dạng tích hoặc thương:
a x b a x b1 1 2 2( )( ) 0+ + > ,
a x b x
a x b x
1 1
2 2
0
+
>
+
(hoặc < 0. ³ 0, £ 0)
– Đặt
b b
x x
a a
1 2
1 2
1 2
;= - = - . Tính x x1 2- .
– Lập bảng xét dấu chung a a x x1 2 1 2. , - .
– Từ bảng xét dấu, ta chia bài toán thành nhiều trường hợp. Trong mỗi trường hợp ta
xét dấu của a x b a x b1 1 2 2( )( )+ + (hoặc
a x b x
a x b x
1 1
2 2
+
+
) nhờ qui tắc đan dấu.
a)
m
m S
m
m S
m S R
3
3: ( ; 1) ;
2
3
3: ; ( 1; )
2
3: { 1}
é æ ö-
< = -¥ - È +¥ç ÷ê
è øê
æ ö-ê > = -¥ È - +¥ç ÷ê è ø
ê = = -ë
b)
m
m S
m
m
m S
m
m S
1
0 : ( ;1) ;
1
0 : ;1
0 : ( ;1)
é æ ö-
< = -¥ È +¥ç ÷ê
è øê
æ ö-ê > = ç ÷ê è ø
ê = = -¥ë
c)
m S
m S m
3: (1; )
3: ( 2; )
é < = +¥
ê ³ = - +¥ë
a)

Trang 45
1. Dấu của tam thức bậc hai
Nhận xét: ·
a
ax bx c x R2 0
0,
0D
ì >
+ + > " Î Û í
<î
·
a
ax bx c x R2 0
0,
0D
ì <
+ + < " Î Û í
<î
2. Bất phương trình bậc hai một ẩn ax bx c2
0+ + > (hoặc ³ 0; < 0; £ 0)
Để giải BPT bậc hai ta áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai.
VẤN ĐỀ 1: Giải bất phương trình, hệ bất phương trình bậc hai một ẩn
Bài 1. Xét dấu các biểu thức sau:
a) x x2
3 2 1- + b) x x2
4 5- + + c) x x2
4 12 9- + -
d) x x2
3 2 8- - e) x x2
2 1- + - f) x x2
2 7 5- +
g) x x x2
(3 10 3)(4 5)- + - h) x x x x2 2
(3 4 )(2 1)- - - i)
x x x
x x
2 2
2
(3 )(3 )
4 3
- -
+ -
a) x x2
2 5 2 0- + < b) x x2
5 4 12 0- + + < c) x x2
16 40 25 0+ + >
d) x x2
2 3 7 0- + - ³ e) x x2
3 4 4 0- + ³ f) x x2
6 0- - £
g)
x x
x x
2
2
3 4
0
3 5
- - +
>
+ +
h)
x x
x x
2
2
4 3 1
0
5 7
+ -
>
+ +
i)
x x
x x
2
2
5 3 8
0
7 6
+ -
<
- +
a) x mx m2
3 0- + + > b) m x mx m2
(1 ) 2 2 0+ - + £ c) mx x2
2 4 0- + >
HD: Giải và biện luận BPT bậc hai, ta tiến hành như sau:
– Lập bảng xét dấu chung cho a và D.
– Dựa vào bảng xét dấu, biện luận nghiệm của BPT.
Bài 4. Giải các hệ bất phương trình sau:
a)
x x
x x
2
2
2 9 7 0
6 0
ìï + + >
í
+ - <ïî
b)
x x
x x
2
2
2 6 0
3 10 3 0
ìï + - >
í
- + ³ïî
c)
x x
x x
2
2
2 5 4 0
3 10 0
ìï- - + <
í
- - + >ïî
d)
x x
x x
x x
2
2
2
4 3 0
2 10 0
2 5 3 0
ì + + ³
ï
í - - £
ï
- + >î
e)
x x
x x
2
2
4 7 0
2 1 0
ìï- + - <
í
- - ³ïî
f)
x x
x x
2
2
5 0
6 1 0
ìï + + <
í
- + >ïî
g)
x x
x
2
2
2 7
4 1
1
- -
- £ £
+
h)
x x
x x
2
2
1 2 2
1
13 5 7
- -
£ £
- +
i)
x x
x x
2
2
10 3 2
1 1
3 2
- -
- < <
- + -
f(x) = ax bx c2
+ + (a ¹ 0)
D < 0 a.f(x) > 0, "x Î R
D = 0 a.f(x) > 0, "x Î
b
R
a

2
ì ü
-í ý
î þ
a.f(x) > 0, "x Î (–∞; x1) È (x2; +∞)
D > 0
a.f(x) < 0, "x Î (x1; x2)
III. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Trang 46
VẤN ĐỀ 2: Phương trình bậc hai – Tam thức bậc hai
Bài 1. Tìm m để các phương trình sau: i) có nghiệm ii) vô nghiệm
a) m x mx m2
( 5) 4 2 0- - + - = b) m x m x m2
( 2) 2(2 3) 5 6 0- + - + - =
c) m x m x m2
(3 ) 2( 3) 2 0- - + + + = d) m x mx m2
(1 ) 2 2 0+ - + =
e) m x mx m2
( 2) 4 2 6 0- - + - = f) m m x m x2 2
( 2 3) 2(2 3 ) 3 0- + - + - - =
Bài 2. Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x:
a) x m x m2
3 2( 1) 4 0+ - + + > b) x m x m2
( 1) 2 7 0+ + + + >
c) x m x m2
2 ( 2) 4 0+ - - + > d) mx m x m2
( 1) 1 0+ - + - <
e) m x m x m2
( 1) 2( 1) 3( 2) 0- - + + - > f) m x m x m2
3( 6) 3( 3) 2 3 3+ - + + - >
Bài 3. Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm:
a) m x m x2
( 2) 2( 1) 4 0+ - - + < b) m x m x2
( 3) ( 2) 4 0- + + - >
c) m m x m x2 2
( 2 3) 2( 1) 1 0+ - + - + < d) mx m x2
2( 1) 4 0+ - + ³
e) m x m x m2
(3 ) 2(2 5) 2 5 0- - - - + > f) mx m x m2
4( 1) 5 0- + + - <
Bài 4.
a)
VẤN ĐỀ 3: Phương trình – Bất phương trình qui về bậc hai
1. Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ
Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ, ta thường sử dụng
định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ.
· Dạng 1:
C C
f x
g x
f x g x
f x g x f x g x
f x
f x g x
f x g x
1 2
( ) 0
( ) 0
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) 0
( ) ( )
( ) ( )
éì ³
ì ³ íê =ï î= Û Û êé =í
ì <êêï = - íëî ê = -îë
· Dạng 2:
f x g x
f x g x
f x g x
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
é =
= Û ê = -ë
· Dạng 3:
g x
f x g x
g x f x g x
( ) 0
( ) ( )
( ) ( ) ( )
ì >
< Û í
- < <î
· Dạng 4:
g x
f x coù nghóa
f x g x g x
f x g x
f x g x
( ) 0
( )
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( )
( ) ( )
éì <
íê
îê
> Û ì ³êï
ê é < -í
ê êï >ëîë
Chú ý: · A A A 0= Û ³ ; A A A 0= - Û £
· Với B > 0 ta có: A B B A B< Û - < < ;
A B
A B
A B
é < -
> Û ê >ë
.
· A B A B AB 0+ = + Û ³ ; A B A B AB 0- = + Û £

Trang 47
2. Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn
Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn ta thường dùng phép nâng
luỹ thừa hoặc đặt ẩn phụ để khử dấu căn.
· Dạng 1:
[ ]
g x
f x g x
f x g x
2
( ) 0
( ) ( )
( ) ( )
ì ³ï
= Û í
=ïî
· Dạng 2:
f x hoaëc g x
f x g x
f x g x
( ) 0 ( ( ) 0)
( ) ( )
( ) ( )
ì ³ ³
= Û í
=î
· Dạng 3:
t f x t
a f x b f x c
at bt c2
( ), 0
. ( ) . ( ) 0
0
ìï = ³
+ + = Û í
+ + =ïî
· Dạng 4: f x g x h x( ) ( ) ( )± = . Đặt
u f x
u v
v g x
( )
; , 0
( )
ì =ï
³í
=ïî
đưa về hệ u, v.
· Dạng 5:
[ ]
f x
f x g x g x
f x g x
2
( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( )
ì ³
ï< Û >í
ï <î
· Dạng 6:
[ ]
g x
f x
f x g x g x
f x g x
2
( ) 0
( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( )
éì <
íê ³îê> Û ì ³ïê
íê >ïîë
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a) x x x x2 2
5 4 6 5- + = + + b) x x x2 2
1 2 8- = - + c) x x2 2
2 3 6 0- - - =
d) x x2 3 3- - = e) x x2
1 1- = - f)
x x
x x
2
1 1
2
( 2)
- + +
=
-
a) x x2
2 5 3 0- - < b) x x x2
8 3 4- > + - c) x x2
1 2 0- - <
d) x x x x2 2
4 3 4 5+ + > - - e) x x3 1 2- - + < f) x x x x2 2
3 2 2- + + >
g)
x x
x x
2
2
4
1
2
-
£
+ +
h)
x
x
2 5
1 0
3
-
+ >
-
i)
x
x x2
2
3
5 6
-
³
- +
a) x x2 3 3- = - b) x x5 10 8+ = - c) x x2 5 4- - =
d) x x x2
2 4 2+ + = - e) x x x2
3 9 1 2- + = - f) x x x2
3 9 1 2- + = -
g) x x3 7 1 2+ - + = h) x x2 2
9 7 2+ - - = i)
x x
xx x
21 21 21
21 21
+ + -
=
+ - -
Bài 4. Giải các phương trình sau: (nâng luỹ thừa)
a) x x x3 3 3
5 6 2 11+ + + = + b) x x x3 3 3
1 3 1 1+ + + = - c) x x3 3
1 1 2+ + - =
d) x x x3 3 3
1 2 3 0+ + + + + =
Bài 5. Giải các phương trình sau: (biến đổi biểu thức dưới căn)
a) x x x x2 2 5 2 3 2 5 7 2- + - + + + - =
b) x x x x5 4 1 2 2 1 1+ - + + + - + =

Trang 48
c) x x x x x x2 2 2 1 2 2 3 4 2 1 3 2 8 6 2 1 4- - - + - - + + - - =
Bài 6. Giải các phương trình sau: (đặt ẩn phụ)
a) x x x x2 2
6 9 4 6 6- + = - + b) x x x x2
( 4)( 1) 3 5 2 6+ + - + + =
c) x x x x2 2
( 3) 3 22 3 7- + - = - + d) x x x x2
( 1)( 2) 3 4+ + = + -
Bài 7. Giải các phương trình sau: (đặt hai ẩn phụ)
a) x x x x2 2
3 5 8 3 5 1 1+ + - + + = b) x x3 3
5 7 5 13 1+ - - =
c) x x3 3
9 1 7 1 4- + + + + = d) x x3 3
24 5 1+ - + =
e) x x4 4
47 2 35 2 4- + + = f)
x x
x x x
x
2
2 24356
4356 5
+ +
- + - =
a) x x x2
12 8+ - < - b) x x x2
12 7- - < - c) x x x2
4 21 3- - + < +
d) x x x2
3 10 2- - > - e) x x x2
3 13 4 2+ + ³ - f) x x x2
2 6 1 1+ + > +
g) x x x3 7 2 8+ - - > - h) x x x2 7 3 2- > - - - - i) x x2 3 2 1+ + + £
a) x x x x2
( 3)(8 ) 26 11- - + > - + b) x x x x( 5)( 2) 3 ( 3) 0+ - + + >
c) x x x x2
( 1)( 4) 5 5 28+ + < + + d) x x x x2 2
3 5 7 3 5 2 1+ + - + + ³
a)
x x
x
2
4
2
3
-
£
-
b)
x x
x
2
2 15 17
0
3
- - +
³
+
c) x x x2 2
( 3) 4 9+ - £ - d)
x x x x
x x
2 2
6 6
2 5 4
- + + - + +
³
+ +
a) x x
3 2
2 8+ £ + b) x x
3 32 2
2 1 3 1+ ³ - c) x x3
1 3+ > -
a)

Trang 49
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG IV
a) a b c a b c3 3 3
+ + ³ + + , với a, b, c > 0 và xyz = 1.
b)
a b c a b c a b c
a b c
9
+ + + + + +
+ + ³ , với a, b, c > 0.
c)
p a p b p c a b c
1 1 1 1 1 1
2
æ ö
+ + ³ + +ç ÷
- - - è ø
, với a, b, c là 3 cạnh của 1 tam giác, p nửa chu vi.
d) a b b a ab1 1- + - £ , với a ³ 1, b ³ 1.
HD: a) Áp dụng BĐT Cô–si: a b c a b c
33 3 3 3 3 3
3 3+ + ³ = Þ a b c3 3 3
2( ) 6+ + ³ (1)
a a a a
33 3 3
1 1 3 2 3+ + ³ Þ + ³ (2). Tương tự: b b3
2 3+ ³ (3), c c3
2 3+ ³ (4).
Cộng các BĐT (1), (2), (3), (4) vế theo vế ta được đpcm.
b) BĐT Û
b a b c c a
a b c b a c
6
æ ö æ ö æ ö
+ + + + + ³ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
. Dễ dàng chứng minh.
c) Áp dụng BĐT:
x y x y
1 1 4
+ ³
+
, ta được:
p a p b p a p b c
1 1 4 4
+ ³ =
- - - + -
.
Tương tự:
p b p c a p c p a b
1 1 4 1 1 4
;+ ³ + ³
- - - -
. Cộng các BĐT Þ đpcm.
d) Áp dụng BĐT Cô–si:
a ab a ab
a b a ab a1 .
2 2
+ -
- = - £ = .
Tương tự:
ab
b a 1
2
- £ . Cộng 2 BĐT ta được đpcm. Dấu "=" xảy ra Û a = b = 2.
Bài 2. Tìm GTNN của các biểu thức sau:
a) A x
x
1
1
= +
-
, với x > 1.
b) B
x y
4 1
4
= + , với x, y > 0 và x y
5
4
+ = .
c) C a b
a b
1 1
= + + + , với a, b > 0 và a b 1+ £ .
d) D a b c3 3 3
= + + , với a, b, c > 0 và ab bc ca 3+ + = .
HD: a) Áp dụng BĐT Cô–si: A = x
x
1
( 1) 1 2 1 3
1
- + + ³ + =
-
.
Dấu "=" xảy ra Û x = 2. Vậy minA = 3.
b) B = x y
x y
4 1
4 4 5
4
+ + + - ³ x y
x y
4 1
2 .4 2 .4 5 5
4
+ - = .
1
1;
4
= = . Vậy minB = 5.
c) Ta có
a b a b
1 1 4
+ ³
+
Þ B a b a b
a b a b a b
4 1 3
³ + + = + + +
+ + +
³
a b
3
2 5+ ³
+
.
Dấu "=" xảy ra Û a = b =
1
2
. Vậy minC = 5.
d) Áp dụng BĐT Cô–si: a b ab3 3
1 3+ + ³ , b c bc3 3
1 3+ + ³ , c a ca3 3
1 3+ + ³ .
Þ a b c ab bc ca3 3 3
2( ) 3 3( ) 9+ + + ³ + + = Þ a b c3 3 3
3+ + ³ .

Trang 50
Dấu "=" xảy ra Û a = b = c = 1. Vậy minD = 3.
Bài 3. Tìm GTLN của các biểu thức sau:
a) A a b1 1= + + + , với a, b ³ –1 và a b 1+ = .
b) B x x2
(1 2 )= - , với 0 < x <
1
2
.
c) C x x( 1)(1 2 )= + - , với x
1
1
2
- < < .
HD: a) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số a b1,1, 1, 1+ + ta được:
A a b a b1. 1 1. 1 (1 1)( 1 1) 6= + + + £ + + + + = . Dấu "=" xảy ra Û a = b =
1
2
.
Þ maxA = 6 .
b) Áp dụng BĐT Cô–si: B =
x x x
x x x
3
1 2 1
. (1 2 )
3 27
æ ö+ + -
- £ =ç ÷
è ø
.
1
3
. Vậy maxB =
1
27
.
c) Áp dụng BĐT Cô–si: C =
x x
x x
2
1 1 2 2 1 2 9
(2 2)(1 2 )
2 2 2 8
æ ö+ + -
+ - £ =ç ÷
è ø
.
Dấu "=" xảy ra Û x =
1
4
- . Vậy maxC =
9
8
.
Bài 4. Tìm m để các hệ bất phương trình sau có nghiệm:
a) x m mx
x x
2
4 2 1
3 2 2 1
ì + £ +
í
+ > -î
b) x x
m x
2
3 4 0
( 1) 2 0
ì - - £
í
- - ³î
c)
x x
x m
7 2 4 19
2 3 2 0
ì - ³ - +
í
- + <î
d) x x
m x
2 1 2
2
ì + > -
í
+ >î
Bài 5. Tìm m để các hệ bất phương trình sau vô nghiệm:
a) mx x m
x x
2
9 3
4 1 6
ì + < +
í
+ < - +î
b) x x
mx m
2
10 16 0
3 1
ì + + £
í
> +î
a)
x
xx x2
2 5 1
36 7
-
<
-- -
b)
x x x
xx x
2
2
5 6 1
5 6
- + +
³
+ +
c)
x
xx x x2 3
2 1 2 1
11 1
-
- ³
+- + +
d)
x x x
2 1 1
0
1 1
+ - £
- +
Bài 7. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:
a) m x m x m2
( 1) 2( 3) 2 0- - + - + = b) m x m x m2
( 1) 2( 3) 3 0- + - + + =
Bài 8. Tìm m để các biểu thức sau luôn không âm:
a) m x m x m2
(3 1) (3 1) 4+ - + + + b) m x m x m2
( 1) 2( 1) 3 3+ - - + -
Bài 9. Tìm m để các biểu thức sau luôn âm:
a) m x m x m2
( 4) ( 1) 2 1- + + + - b) m m x m x2 2
( 4 5) 2( 1) 2+ - - - +
Bài 10. Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x:
a)
x x
mx m x m
2
2
8 20
0
2( 1) 9 4
- +
<
+ + + +
b)
x x
m x m x m
2
2
3 5 4
0
( 4) (1 ) 2 1
- +
>
- + + + -

Trang 51
c)
x mx
x x
2
2
1
1
2 2 3
+ -
<
- +
d)
x mx
x x
2
2
2 4
4 6
1
+ -
- < <
- + -
Bài 11. Tìm m để các phương trình sau có:
i) Một nghiệm ii) Hai nghiệm phân biệt iii) Bốn nghiệm phân biệt
a) m x m x m4 2
( 2) 2( 1) 2 1 0- - + + - = b) m x m x4 2
( 3) (2 1) 3 0+ - - - =
a) x x x x( 1) 16 17 ( 1)(8 23)+ + = + - b) x x
x x
2
2
21
4 6 0
4 10
- + - =
- +
c)
x x
x x x x2 2
2 13
6
2 5 3 2 3
+ =
- + + +
d)
x
x
x
2
2
1
1
æ ö
+ =ç ÷
-è ø
a) x x x x2 2
8 12 8 12- + = - + b) x x x x3 4 1 8 6 1 1+ - - + + - - =
c) x2 2 1 1 3- - = d) x x x x14 49 14 49 14+ - + - - =
e) x x x2 2
1 2(2 1)+ - = - -
a) x x x2
4 5 4 17- - < - b) x x1 2 3- + + < c) x x x2 3 3 1 5- - + £ +
d)
x x
x
2
2
5 4
1
4
- +
£
-
e)
x
x x2
2 1 1
23 4
-
<
- -
f) x x x2
6 5 9- > - +
g) x x x2
2 3 2 2 1- - - > - h) x x x2 1 2 3 1+ < - + +
a) x x2 3 0- + = b) x x x x x2 3 1 3 2 (2 3)( 1) 16+ + + = + + + -
c) x x x4 1 1 2+ - - = - d) x x x x1 4 ( 1)(4 ) 5+ + - + + - =
e) x x2
4 1 4 1 1- + - = f) x x x x x2
3 2 1 4 9 2 3 5 2- + - = - + - +
g) x x x x2
( 5)(2 ) 3 3+ - = + h) x x x x x2 2
( 4) 4 ( 2) 2- - + + - =
i) x x2 2
11 31+ + = k) x x x x2
9 9 9+ - = - + +
Bài 16. Giải các bất phương trình sau
a) x x x2
8 12 4- - - > + b) x x x2
5 61 4 2+ < + c)
x x
x
2 4 3
2
- + -
³
d)
x
x
x
2
2
3(4 9)
2 3
3 3
-
£ +
-
e) x x x2 2
( 3) 4 9- + £ - f)
x
x
x
2
2
9 4
3 2
5 1
-
£ +
-
Bài 17.
a)

Ds10 c4a

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Ds10 c4a

Similar to Ds10 c4a (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Ds10 c4a