1. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.8311
1) Khái niệm về Logarith
Logarith cơ số a của một số x > 0 được ký hiệu là y và viết dạng log= ⇔ = y
ay x x a
Ví dụ 1: Tính giá trị các biểu thức logarith sau ( )2 3 2 2
log 4; log 81; log 32; log 8 2
Hướng dẫn giải:
• 2 2log 4 2 4 2 log 4 2= ⇔ = ⇔ = → =y
y y
• y 4
3 3log 81 y 3 81 3 y 4 log 81 4= ⇔ = = ⇔ = → =
• ( ) ( )
y 10
5
2 2
log 32 y 2 32 2 2 y 10 log 32 10= ⇔ = = = ⇔ = → =
• ( ) ( ) ( ) ( )
7
3
2 2
log 8 2 2 8 2 2 . 2 2 7 log 8 2 7= ⇔ = = = ⇔ = → =
y
y y
Ví dụ 2: Tính giá trị của
a) 2 2
log 32 = ..........................................................................................................................................................
b) 3
2
log 128 2 = .....................................................................................................................................................
c) 3
log 81 3 = ........................................................................................................................................................
d) 3
3
log 243 3 = ......................................................................................................................................................
Chú ý:
Khi a = 10 thì ta gọi là logarith cơ số thập phân, ký hiệu là lgx hoặc logx
Khi a = e, (với e ≈ 2,712818…) được gọi là logarith cơ số tự nhiên, hay logarith Nepe, ký hiệu là lnx, (đọc là len-x)
2) Các tính chất cơ bản của Logarith
• Biểu thức logarith tồn tại khi cơ số a > 0 và a ≠ 1, biểu thức dưới dấu logarith là x > 0.
• log 1 0 ;log 1,= = ∀a a a a
• Tính đồng biến, nghịch biến của hàm logarith:
1
log log
0 1
> ⇔ >
> ⇔  < ⇔ < <
a a
b c a
b c
b c a
3) Các công thức tính của Logarith
Công thức 1: log ,= ∀ ∈ℝx
a a x x ,(1)
Chứng minh:
Theo định nghĩa thì hiển nhiên ta có log = ⇔ =x x x
a a x a a
Ví dụ 1: ( )
8
5 4
2 2 2 2 2
log 32 log 2 5;log 16 log 2 log 2 8...= = = = =
Ví dụ 2: Tính giá trị các biểu thức sau:
a)
3 25
1 4
log .
a
a a a
P
a a
= b) log .a
Q a a a a=
Hướng dẫn giải:
a) Ta có
1 2 1 2 28 671 28 3 67 673 25 5 3 5 3 15 60
15 4 60 60
1 11 1 1 1 34
2 4 2 4 4
. . 1 67
log log .
60
. a a
a a a a a a a a
a a P a
aa a
a a a a
+ + −
−
+
 = = = = = → = = =−  
b) Ta có ( )
157 15 151 3
88 16 162 4
15
. . . log log .
8a a
a a a a a a a a a a a a a a Q a a= = = = → = = =
Ví dụ 3: Tính giá trị các biểu thức sau:
Tài liệu bài giảng:
02. CÔNG THỨC LOGARITH – P1
Thầy Đặng Việt Hùng

2. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.8312
a) 3 5
logaA a a a= b) 23 5
logaB a a a a= c)
5 33 2
1 4
log
a
a a a
a a
Hướng dẫn giải:
a)
1 1
3
3 5 2 5
1 1 37
log log 3
2 5 10
a aA a a a a
+ + 
= = = + + = 
 
b)
1
3
1
1 1
1 2 3
23 2 55
3
27 3
log log 1 1
10 10
a aB a a a a a
 
+ + + 
 
 
  = = = + = +     
 
c)
3 2
1
5 33 2 5 3
1 1 14
2 4
34 3 91
log log
15 4 60
a
a
a a a a
a a
a
+ +
+
 
  = − = − − = −     
 
Ví dụ 4: Tính giá trị các biểu thức sau:
a) 1
5
log 125 .....................................................= b) 2
log 64 ....................................................................=
c) 16log 0,125 ..................................................= d) 0,125log 2 2 ..........................................................=
e) 3
3
3
log 3 3 ................................................= f) 7
8 7
7
log 7 343 ............................................................=
Ví dụ 5: Tính giá trị các biểu thức sau:
a) ( )3 5
log ..................................................................................................................................aP a a a= =
b) ( )23 54
log ............................................................................................................................= =aQ a a a a
Công thức 2: log
, 0= ∀ >a x
a x x , (2)
Chứng minh:
Đặt ( )log , 2= ⇒ = ⇔ =t t t
a x t x a a a
Ví dụ 1: ( ) ( ) ( ) ( )
3
3 352
log 4 11 1log 4 log 4log 6log 3 22 22 3, 5 6, 3 3 3 4 2...
   = = = = = =    
Ví dụ 2: Tính giá trị các biểu thức sau:
1) 8log 15
2 .....................................................= 2) 2 2
log 64
2 ....................................................................=
3)
81log 5
1
.....................................................
3
  =  
4) ( ) 3log 4
3
9 ....................................................................=
Công thức 3: ( )log . log log= +a a ax y x y , (3)
Chứng minh:
Áp dụng công thức (2) ta có
log
log log log log
log
. . +
 =
→ = =
=
a
a a a a
a
x
x y x y
y
x a
x y a a a
y a
Áp dụng công thức (1) ta được : ( ) log log
log . log log log+
= = + ⇒a ax y
a a a ax y a x y dpcm
Ví dụ 1: Tính giá trị các biểu thức sau:
a) ( ) 3
2 2 2 2 2 2 2log 24 log 8.3 log 8 log 3 log 2 log 3 3 log 3= = + = + = +
b) ( ) 3
3 3 3 3 3 3log 81 log 27.3 log 27 log 3 log 3 log 3 3 1 4= = + = + = + =
Ví dụ 2: Tính giá trị các biểu thức sau:
a)
4
23 3 3
2 2 2 2 2
4 10
log 4 16 log 4 log 16 log 2 log 2 2 .
3 3
= + = + = + =
b)
1
31
3
33 3 3
1 1 1 1 1 1 1
3 3 3 3 3 3 3
1 1 1 10
log 27 3 log 27 log 3 log 3 log 3 log log 3 .
3 3 3 3
− −
     = + = + = + =− − =−       
c) ( ) ( )
6 2
35 5
2 2 2 2 2 2 2
log 8 32 log 8 log 32 log 2 log 2 log 2 log 2 6 2 8.= + = + = + = + =

3. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.8313
Ví dụ 3: Cho biết log 2;log 2a ab c= = Tính giá trị của loga x với
a) 3 2
x a b c= .................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
b) 3 3
x ab a bc= ......................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
Công thức 4: log log log
 
= − 
 
a a a
x
x y
y
, (4)
Chứng minh:
Áp dụng công thức (2) ta có
log log
log log
loglog
−
 =
→ = =
=
a a
a a
aa
x x
x y
yy
x a x a
a
y ay a
Áp dụng công thức (1) ta được : log log
log log log log− 
= = − ⇒ 
 
a ax y
a a a a
x
a x y dpcm
y
Ví dụ 1:
45
3 32
2 2 2 2 23
32 5 4 7
log log 32 log 16 log 2 log 2 .
2 3 616
= − = − = − =
Ví dụ 2: Cho biết
1
log ;log 3
3
a ab c= = Tính giá trị của loga x với
a)
2
3 2
ab c
x
abc
= .................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
b)
5 3
34
a bc
x
a abc
= .........................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
Ví dụ 3: Tìm tập xác định của các hàm số sau :
a) 1
2
1
log
5
x
y
x
−
=
+
b)
2
1 5
5
1
log log
3
x
y
x
 +
=  
+ 
c) 2
3
log
1
x
y
x
−
=
+
f)
2
0,3 3
2
log log
5
x
y
x
 +
=  
+ 
d) 2
1 2
2
1
log log 6
1
x
y x x
x
−
= − − −
+
e) ( )2
2
1
lg 3 4
6
y x x
x x
= − + + +
− −
g)
1
log
2 3
x
y
x
−
=
−
Hướng dẫn giải:
a) 1
2
1
log
5
x
y
x
−
=
+
. Điều kiện :
1
2
1 1log 0 1 21
1 0 0 11 1
1 1
11 1; 1 1; 100
11
x x
x
xx x
x x
xx x x x x
xx
− −≥ − −≤    − ≤ ≤ → ≥ −+   +
⇔ ⇔ ⇔+ +   
−−   < − > < − >>>   ++
Vậy ( )1;D = +∞
b)
2
1 5
5
1
log log
3
x
y
x
 +
=  
+ 
. Điều kiện :
2
2
1 5
2
3
2 2
5 2
2
1 2log log 0 03 31
1
1 5 143
0 log 1 0
3 31
0 5
31 3
0 5
3
x x x
x xx
x x xx
x xx
xx x
x
  +  − −≥   ≥+  +  + ≥  + − −  +
≤ ≤ ⇔ ⇔ ≤  
+ ++  < ≤
> −  + +< ≤ 
+ 
( ) ( )
3 1; 2
3; 2 2;7
3; 2 7
x x
x
x x
− < < − >
⇔ ⇒ ∈ − − ∪
< − − < <
Phần còn lại các em tự giải nốt nhé!