1. Së GD & §T Hµ TÜnh §Ò thi thö ®¹i häc lÇn 2 - n¨m 2011
Tr­êng THPT Vò Quang M«n: to¸n
( Thêi gian lµm bµi: 180 phót, kh«ng kÓ thêi gian ph¸t ®Ò)
I. phÇn chung cho tÊt c¶ c¸c thÝ sinh
C©u I (2 ®iÓm). Cho hµm sè
1
1
x
y
x
+
=
-
( 1 ) cã ®å thÞ ( ) C .
1. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè ( 1).
2. Chøng minh r»ng ®­êng th¼ng ( ) : 2 d y x m= + lu«n c¾t (C) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt
A, B thuéc hai nh¸nh kh¸c nhau. X¸c ®Þnh m ®Ó ®o¹n AB cã ®é dµi ng¾n nhÊt .
C©u II (2 ®iÓm). 1. Gi¶i ph­¬ng tr×nh:
4 4
sin s 1 1
cot 2
5sin 2 2 8sin 2
x co x
x
x x
+
= -
2. Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh:
3 2 1
0
x y x y
x y x y
ì + - + = -ï
í
+ + - =ïî
C©u III (1 ®iÓm). TÝnh
2
0
sin 2011
1
x x
I dx
cosx
p
+ +
=
+ò
C©u IV (1 ®iÓm). Trong mÆt ph¼ng (P) cho tam gi¸c ®Òu ABC cã c¹nh b»ng a. Trªn c¸c tia Bx,
Cy vu«ng gãc vµ n»m cïng mét phÝa víi mÆt ph¼ng (P) lÊy lÇn l­ît c¸c ®iÓm M, N sao cho
2 3 BM CN a= = . TÝnh thÓ tÝch khèi chãp A.BCNM; TÝnh gãc t¹o bëi mÆt ph¼ng (ABC) vµ mÆt
ph¼ng (ANM).
C©u V (1 ®iÓm). Cho ba sè thùc x, y, z tháa m·n ®iÒu kiÖn: 3 3 3 1 x y z- - -
+ + = . Chøng minh r»ng:
9 9 9 3 3 3
3 3 3 3 3 3 4
x y z x y z
x y z y z x z x y+ + +
+ +
+ + ³
+ + +
PHÇN RI£NG (ThÝ sinh ®­îc chän mét trong hai phÇn, kh«ng b¾t buéc chän phÇn nµo c¶)
Theo ch­¬ng tr×nh chuÈn.
C©u VIa (2 ®iÓm). 1. Trªn mÆt ph¼ng víi hÖ täa ®é Oxy. Cho hai ®­êng
th¼ng: 1 2 ( ) : 2 2 0; ( ) :2 3 17 0 d x y d x y- + = + - = . §­êng th¼ng (d) ®i qua giao ®iÓm cña 1 ( ) d vµ 2 ( ) d
c¾t hai tia Ox, Oy lÇn l­ît t¹i A vµ B. ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng (d) sao cho: 2 2
1 1
OA OB
+
nhá nhÊt.
2. ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) qua ®iÓm (1,2, 1) A - vµ vu«ng gãc víi hai mÆt ph¼ng cã
ph­¬ng tr×nh 1 ( ) : 13 0 P x y z- + - = vµ 2 ( ) :3 2 12 2011 0 P x y z+ - + =
VIIa (1 ®iÓm). Trong c¸c sè phøc z tháa m·n ®iÒu kiÖn 4 3 2 z i+ - = . T×m sè phøc z cã m« ®un
nhá nhÊt.
Theo ch­¬ng tr×nh n©ng cao.
C©u VIb (2 ®iÓm). 1. Cho tam gi¸c ABC, cã (3;4), ( 1;2) A B - , cã diÖn tÝch
3
4
S = (®vdt) vµ cã
träng t©m thuéc ®­êng th¼ng ( ) : 3 4 0 d x y- + = . T×m täa ®é ®Ønh C.
2. Cho n lµ sè nguyªn d­¬ng. TÝnh tæng:
2 3 1
0 1 2 2 1 2 1 2 1
.....
2 3 1
n
n
n n n n S C C C C
n
+
- - -
= + + + +
+
VIIb (1 ®iÓm). T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh sau cã hai nghiÖm thùc ph©n biÖt: 2
2 3 1 x mx x+ - = +
Hä vµ tªn thÝ sinh:…………………………………....Sè b¸o danh:…………….
Thi thử Đại học www.toanpt.net

2. C©u §¸p ¸n v¾n t¾t §iÓ
m
C©u I
2
2. Chøng minh r»ng ®­êng th¼ng ( ) : 2 d y x m= + lu«n c¾t (C) t¹i hai ®iÓm ph©n
biÖt A, B thuéc hai nh¸nh kh¸c nhau. X¸c ®Þnh m ®Ó ®o¹n AB cã ®é dµi ng¾n
nhÊt .
. §Ó ®­êng th¼ng (d) lu«n c¾t ( C ) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt th× ph­¬ng tr×nh.
1
2
1
x
x m
x
+
= +
-
cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m vµ 1 2 1 x x< <
1 ( 1)(2 )
1
x x x m
x
+ = - +ì
Û í
¹î
cã hai nghiÖm ph©n biÖt 1 2 1 x x< <
2
2 ( 3) 1 0 (*)
1
x m x m
x
ì + - - - =
Û í
¹î
cã hai nghiÖm ph©n biÖt 1 2 1 x x< <
Û
0
(1) 0 f
D >ì
í
<î
2
( 1) 16 0
(1) 2 ( 3) 1 2 0
m m
f m m
ìD = + + > "
Û í
= + - - - = - <î
VËy víi mäi gi¸ trÞ cña m th×®­êng th¼ng ( ) : 2 d y x m= + lu«n c¾t (C) t¹i hai
®iÓm ph©n biÖt A, B thuéc hai nh¸nh kh¸c nhau.
. Gäi 1 1 2 2 ( ;2 ), ( ;2 ) A x x m B x x m+ + lµ hai ®iÓm giao gi÷a (d) vµ (C).( 1 2 ; x x lµ hai
nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (*))
Ta cã 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ( ;2( )) ( ) (2( )) 5( ) AB x x x x AB x x x x x x= - - Þ = - + - = -
uuur
Theo Vi Ðt ta cã 2 1
5 ( 1) 16 2 5
2
AB m mé ù= + + ³ "ë û . 2 5 1 AB m= Û = -
VËy víi m = -1 lµ gi¸ trÞ cÇn t×m. (R)
C©u
II
1
2
.1. Gi¶i ph­¬ng tr×nh:
4 4
sin s 1 1
cot 2
5sin 2 2 8sin 2
x co x
x
x x
+
= -
§iÒu kiÖn:sin 2x 0 x k (k )
2
p
¹ Û ¹ ΢
Khi ®ã, ph­¬ng tr×nh ®· cho t­¬ng ®­¬ng víi:
2 1
1 sin 2
1 1 2 cot 2
5sin 2 2 8sin 2
x
x
x x
-
= -
2 1
8(1 sin 2x) 20cos 2x 5
2
Û - = -
9
cos2 ( )
2
1
cos2
2
x loai
x
é
=ê
Û ê
ê =
êë
( )
6
x k k
p
pÛ = ± + ΢ ( R)
.2. Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh:
3 2 1
0
x y x y
x y x y
ì + - + = -ï
í
+ + - =ïî
§iÒu kiÖn:
x y 0
3x 2y 0
+ ³ì
í
+ ³î
.
Khi ®ã, hÖ ph­¬ng tr×nh ®· cho t­¬ng ®­¬ng víi
1 3 2
0
x y x y
x y x y
ì + + = +ï
í
+ + - =ïî
2 2
( 1) ( 3 2 )
0
x y x y
x y x y
ì + + = +ï
í
+ + - =ïî
1 1
2 2
x y x y
x y y x
ì
+ = + -ï
Û í
ï + = -î
1 1
2 2
y x x y
x y y x
ì
- = + -ï
Û í
ï + = -î

3. 4 1 4 1
5 1 3 1
y x y x
x y y x x x
= - = -ì ìï ï
Û Ûí í
+ = - - = -ïï îî
1
3
x
y
=ì
Û í
=î
(R )
C©u
III
C©u
IV
C©u
V
. TÝnh
2
0
sin 2011
1
x x
I dx
cosx
p
+ +
=
+ò
2 2
0 0
2011 sin
1 cos 1 cos
x x
dx dx K L
x x
p p
+
= + = +
+ +ò ò
. TÝnh
2
0
2011
1 cos
x
K dx
x
p
+
=
+ò §Æt
2011
tan
1 cos 2
u x du dx
dx x
dv v
x
= + =ì ì
ï ï
Þí í
= =ï ï+ îî
2011 ln 2
2
K
p
= + -
TÝnh
2
0
sin
1 cos
x
L dx
x
p
=
+ò ln 2=
2011
2
I K L
p
= + = + (R )
.H¹ ®­êng cao AH cña tam gi¸c ABC. Suy ra AH lµ ®­êng cao cña h×nh chãp
A.BCNM. §¸y BCNM cña h×nh chãp trªn lµ mét h×nh thang vu«ng cã diÖn tÝch:
3
3
3 3 2 .
2 4
a
a
S a a
+
= = ,
3
2
a
AH =
ThÓ tÝch khèi chãp A.BCNM lµ
3
3
8
a
V = (®vtt)
. MN, BC kÐo dµi c¾t nhau t¹i K Þ C lµ trung ®iÓm cña BKÞ ABKD vu«ng t¹i
A AK AMÞ ^ . Tõ ®ã suy ra · MAB lµ gãc hîp bëi hai mÆt ph¼ng (P ) vµ (ABC).
Ta cã · · 0
tan 3 60
MB
MAB MAB
MA
= = Þ = . VËy gãc gi÷a hai mÆt ph¼ng (P) vµ
(AMN) b»ng 0
60 . (R)
. §Æt 3 ,3 ,3 x y z
a b c= = = . Do ®ã :
, , 0 a b c
ab bc ac abc
>ì
í
+ + =î
Ta cã
2 3 3 3
2 2
( )( )
a a a a
a bc a abc a ab ac bc a b a c
= = =
+ + + + + + +
2 3 3 3
2 2
( )( )
b b b b
a ac b abc b ab ac bc b c b a
= = =
+ + + + + + +
2 3 3 3
2 2
( )( )
c c c c
c ab c abc c ab ac bc c a b c
= = =
+ + + + + + +
¸p dông bÊt ®¼ng thøc cauchy ta cã :
3
3
( )( ) 8 8 4
a a b a c a
a b a c
+ +
+ + ³
+ +
3
3
( )( ) 8 8 4
b a b b c b
a b b c
+ +
+ + ³
+ +
3
3
( )( ) 8 8 4
c a c b c c
a c b c
+ +
+ + ³
+ +

4. C©u
VIa.
1
VIa2
C©u
VIIa
C©u
VIb
1
Céng vÕ víi vÕ ta cã
2 2 2
4
a b c a b c
a bc b ac c ba
+ +
+ + ³
+ + +
.(®pcm)
§¼ng thøc x·y ra khi vµ chØ khi a = b = c x y zÛ = =
. Gäi M lµ giao ®iÓm cña hai ®­êng th¼ng 1 2 ( ),( ) d d th× (4;3) M . XÐt tam gi¸c
OAB vu«ng t¹i O ta cã: 2 2 2
1 1 1
OA OB OH
+ = ( trong ®ã H lµ ch©n ®­êng cao h¹ tõ
O xuèng AB cña tam gi¸c OAB ). §Ó 2 2
1 1
OA OB
+ nhá nhÊt th× 2
1
OH
nhá nhÊt Û
OH lín nhÊt Û H Mº . Khi ®ã (d) nhËn vÐc t¬ OM
uuuur
lµm vÐc t¬ ph¸p tuyÕn
(4;3) OM =
uuuur
. Ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng (d) lµ: 4 3 25 0 x y+ - = ( R)
. Ta cã: 1
(1, 1,1) p n = -
uur
, 2
(3,2, 12) p n = -
uuur
. V× ( P ) vu«ng gãc víi hai mÆt
ph¼ng cã ph­¬ng tr×nh 1 ( ) : 13 0 P x y z- + - = vµ 2 ( ) :3 2 12 2011 0 P x y z+ - + =
nªn 1 2
; (10, 15, 5) 5(2,3,1) p p p n n né ù= = =ë û
uur uur uuur
Ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ( P ) lµ: 2 3 7 0 x y z+ + - = ( R)
.Trong c¸c sè phøc z tháa m·n ®iÒu kiÖn 4 3 2 z i+ - = . T×m sè phøc z cã m«
®un nhá nhÊt.
Gäi ( , ) z x yi x y= + Ρ ta cã 4 3 2 z i+ - = ( 4) ( 3) 2 x y iÛ + + - =
2 2
( 4) ( 3) 4 x yÛ + + - = lµ ®­êng trßn (C) t©m I(-4;3) b¸n kÝnh R = 2
2 2 2 2 2
z x y z x y= + Û = + ( 1 C ). §Æt z r= . §Ó r nhá nhÊt th× ( C) vµ ( 1 C )tiÕp
xóc ngoµi
Täa ®é ®iÓm tiÕp xóc cña hai ®­êng trßn lµ giao ®iÓm cña ®­êng trßn (C) vµ
®­êng th¼ng IO. Mµ ( 4;3) OI = -
uur
. Ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng OI lµ
4
( )
3
x t
t
y t
= -ì
Îí
=î
¡ .Täa ®é giao ®iÓm cña OI vµ ( C) lµ nghiÖm cña hÖ:
2 2
12 9 4 ( ; )
5 5
3
28 21
( ; ) ( 4) ( 3) 4
5 5
x t M
y t
M x y
éì = - -êï
= Û êí
êï -+ + - =î êë
Ta thÊy víi
12 9
( ; )
5 5
M - th× z ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ
12 9
5 5
z i= - + (R)
.Täa ®é trung ®iÓm cña AB lµ (1;3) I .
Ta cã ( 4; 2) (1; 2) AB AB n= - - Þ = -
uuur uuur
. Ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng AB lµ: 2 5 0 x y- + =
Ta cã ( ; ) 3 ( ; ) d C AB d G AB= . Mµ
1 3 3
. ( ; ) ( ; )
2 2 4 5
ABC S AB d C AB d C AB= = Þ =

5. 2.
C©u
VII b
1
( ; )
4 5
d G ABÞ = . §iÓm G n»m trªn ®­êng th¼ng ( ) : 3 4 0 d x y- + = nªn
0
0
4
( ; )
3
x
G x
+
. Ta cã
0
0
2 2
4
2( ) 5
1 3
( ; )
4 5 1 ( 2)
x
x
d G AB
+
- +
= =
+ -
0
0
0
25
3 4 7
31 4
4
x
x
x
-é
=ê
Û + = Û ê
-ê =
êë
25 3 83 33
( ; ) ( ; )
4 4 4 4
31 5 101 39
( ; ) ( ; )
4 4 4 4
G C
G C
- -é
Þ - -ê
Û ê
- -ê Þ - -
êë
( R)
2. Cho n lµ sè nguyªn d­¬ng. TÝnh tæng:
2 3 1
0 1 2 2 1 2 1 2 1
.....
2 3
n
n
n n n n S C C C C
n
+
- - -
= + + + +
XÐt 0 1 2 2
(1 ) .... n n n
n n n n x C xC x C x C+ = + + + + . LÊy tÝch ph©n hai vÕ trªn ®o¹n [ ] 1;2 ta
cã.
2 2
0 1 2 2
1 1
(1 ) ( .... ) n n n
n n n n x dx C xC x C x C dx+ = + + + +ò ò
2 2 3 1
0 1 2
1
2 1 2 1 2 1
(1 ) .....
2 3
n
n n
n n n n x dx C C C C S
n
+
- - -
+ = + + + + =ò
1 1
3 2
1
n n
S
n
+ +
-
Þ =
+
T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh sau cã hai nghiÖm thùc ph©n biÖt: 2
2 3 1 x mx x+ - = + (*)
§Æt t = x+1 suy ra x = t – 1, khi ®ã víi 1 0 x t³ - Þ ³ . Ph­¬ng tr×nh (*) trë
thµnh:
2
( 4) ( 1) 0 (**) t m t m+ - - + = . §Ó ph­¬ng tr×nh (*) cã hai nghiÖm ph©n biÖt
1 x ³ - th× ph­¬ng tr×nh (**) ph¶i cã hai nghiÖm ph©n biÖt 0 t ³
2
0 ( 4) 4( 1) 0
(0) 0 ( 1) 0 1
4
0 0
2 2
m m
f m m
S m
ì ì
ï ïD > - + + >
ï ï
³ Û - + ³ Û £ -í í
ï ï -
ï ï³ ³
î î
Chó ý: ThÝ sinh cã thÓ sö dông c¸c c¸ch kh¸c ®Ó gi¶i c¸c bµi to¸n trªn.
TÝnh giíi h¹n sau:
3
2
4
tan 1
lim
1 2cos®
-
=
- x
x
I
xp

6. Cho 0 , x y< v 1 x y+ = . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña 2 2
1 1
P
x y xy
= +
+