HÀM SỐ MŨ & LOGARIT

GIẢI TÍCH
12
GV: PHAN NHẬT NAM
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LÔGARIT

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 2 www.toanhocdanang.com
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
A. Công thức biến đổi :
1. Công thức biến đổi của hàm số mũ :
am
.an
= am + n
(am
)n
= (an
)m
= am.n
(a.b)n
= an
.bn
a0
= 1
nm
n
m
a
a
a 
 n
nn
b
a
b
a





 n mn
m
aa  với 2;  nNn
Tính chất bất đẳng thức :
 Nếu a > 1:  x1, x2 > 0 và x1 < x2  1x
a < 2x
a
 Nếu 0 < a < 1:  x1, x2 > 0 và x1 < x2  1x
a > 1x
a
 Nếu 0 < a  1:  x1, x2 > 0 và x1 = x2  1x
a = 1x
a
2. Công thức biến đổi logarit :
Cho a,b,c,  R, và 0 < a,b,c  1. ta có :
ĐN :  = balog  ba 
TC : 01log a 1log aa
bab
a log ; Rb ba ba
log
;

 Rb
cbcb aaa loglog).(log  cb
c
b
aaa logloglog 
bb aa loglog 
 bb aa
log
1
log

 
b
c
c
a
a
b
log
log
log 
a
b
b
a
log
1
log 
Tính chất bất đẳng thức :
 Nếu a > 1:  x1, x2 > 0 và x1 < x2 logax1 < logax2
 Nếu 0 < a < 1:  x1, x2 > 0 và x1 < x2 logax1 > logax2
 Nếu 0 < a  1:  x1, x2 > 0 và x1 = x2  logax1 = logax2
 

Cơ số Nê-Pe : e =
x
x x








1
1lim  2,7183
Logarit Nê-Pe : ln a = loge a
B. Hàm số mũ :
ĐN : Cho 10  a . Khi đó hàm số : y = ax
được gọi là hàm số mũ cơ số a.
TC : Xét hàm số y = ax
, 10  a ta có các tính chất :
1. Miền xác định : D = R
2. Miền giá trị : T = (0 ,  ) {đồ thị hàm số luôn nằm trên trục Ox}
3. Đạo hàm : y’ = (ax
)’ = ax
.lna. {hàm hợp: (au
)’ = u’.au
.lna}
4. Hàm số y = ax
liên tục trên R.
5. Sự biến thiên: Hàm số y = ax
đơn điệu Rx
 Với a > 1  y = ax
đồng biến Rx
 Với 0< a< 1  y = ax
nghịch biến Rx
6. Bảng biến thiên và đồ thị :
 Với a > 1
 Với 0 < a < 1
7. Đồ thị hàm số y = ax
cắt Oy tại A(0,1)và có tiệm cận ngang là trục Ox
O
1
10
y
y’
x
a
y = ax
, a > 1
x
a
1
y
1
+
O
1
10
y
y’
x
a y = ax
, 0< a< 1
x
a
1
y
1
-

C. Hàm số logarit :
ĐN : Cho a > 0.Khi đó hàm số: y = logax được gọi là hàm số logarit cơ số a.
TC : Xét hàm số y = logax, a > 0 ta có các tính chất :
1. Miền xác định : D = (0 ,  ) {đồ thị luôn nằm bên phải trục Oy}
2. Miền giá trị : T = R
3. Đạo hàm : y’= (logax)’=
ax ln.
1
{hàm hợp: (logau)’ =
au
u
ln.
'
}
4. Hàm số y = logax liên tục trên R+
.
5. Sự biến thiên: Hàm số y = logax đơn điệu Rx
 Với a > 1  y = logax đồng biến Rx
 Với 0 < a < 1  y = logax nghịch biến Rx
6. Bảng biến thiên và đồ thị :
 Với a > 1
 Với 0 < a < 1
7. Đồ thị hàm số y = ax
cắt Ox tại A(1,0)và có tiệm cận đứng là trục Oy
O
0
a10
y
y’
x
1
y = logax, a > 1
xa
1
y
1
+
O
1
1
0
0
y
y’
x a y = logax , 0< a< 1
xa 1
y
1
-

D. Bài tập áp dụng :
Bài 1: Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ:
a. 24 3
.x x c. 5 3
b b
a a
e. 5 3
2 2 2
b. 3 3
2 2 2
3 3 3
d. 4 3 8
a f.
25
3
b b
b b
Bài 2: Đơn giản các biểu thức sau:
a.
1 1 1 1 3 1
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
2x y x y x y y
A
x y x y
xy x y xy x y
 
    
      
e.
 
 
11 2 2 2
2
11
. 1 ( )
2
a b c b c a
E a b c
bca b c



    
    
   
b.
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
21 1
2 2
3 3
.
2
x y x y x y
B
x y
x y
 
 
   
      
  
f.
1 1 1
2 2 2
1 1
2 2
2 2 1
1
2 1
a a a
F
a
a a a
 
    
    
c.
4 1
1
23 3
33
2 2
33 3
8
. 1 2
2 4
a a b b
C a
a
a ab b

 
    
  
g.
1 1 1 1
3 3 3 3
1 1 2 1 1 2
3 3 3 3 3 3
8 2
6
2 4 2
b a a b a b
G
a b a a b b
    
 
   
 
    
d.
3 32 2
3 3 3 32 2 2 23
6
6 6
2
a x ax a x
a x a ax xD x
a x
 

   

h.
3
3 34 4
4 4
1 1
1 1
x x x
H
x x
x x
x x
 
 
 
  
              
Bài 3:
a. Không dùng máy tính và bảng số hãy tính 3 3
847 847
6 6
27 27
  
b. Chứng minh rằng:    8 48 4
88
1
3 2 3 2 3 2
3 2
   

Bài 4: So sánh các cặp số sau:
a. 3 5
30 20 b. 34
5 7 c. 3
17 28
d. 54
13 23 e.
3 2
1 1
3 3
   
   
   
f. 5 7
4 4

Bài 5: So sánh các cặp số sau:
a. 1,7 0,8
2 2 b.
1,7 0,8
1 1
2 2
   
   
   
c.
1,2 2
3 3
2 2
   
      
   
d.
5
25
1
7

 
 
 
e.
2,5
12 1
2
2
  
  
 
f.
5 1
6 3
0,7 0,7
Bài 6: Chứng minh: 20 30
2 3 2 
Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số sau:
a. 3 x x
y  
 b.  
2
sin
0,5
x
y  c. 2 2x x
y  
d. 1 3
2 2x x
y  
  e.
2 2
sin os
5 5x c x
y   f. 2
1
x
x
y e 

Bài 8: Tính giá trị của các biểu thức sau :
9
125 7
1 1
log 4
log 8 log 24 2
81 25 .49A
 
  
 
2 5
4
1
log 3 3log 5
1 log 5 2
16 4B


 
7 7
5
1
log 9 log 6 log 42
72 49 5C
  
  
 
9 9 9log 15 log 18 log 10D    6 9log 5 log 361 lg2
36 10 3E 
   10 10log tan 4 log cot 4F  
36 1
6
1
log 2 log 3
2
G    1 3 2
4
log log 4.log 3H  2 2log 2sin log os
12 12
I c
  
  
 
   33 3 3 3
4 4log 7 3 log 49 21 9K      3
1 1 1
3 3 3
1
2log 6 log 400 3log 45
2
L   
4 4 4 4
1
log log 216 2log 10 4log 3
3
M x   
Bài 9: Tính theo , , ,a b c x các logarit được chỉ ra:
a. . 6log 16A  . Biết : 12log 27 x b. 125log 30B  . Biết : log3 ;log2a b 
c. 3log 135C  . Biết: 2 2log 5 ;log 3a b  d. 6log 35D  . Biết: 27 8 2log 5 ;log 7 ;log 3a b c  
e. 49log 32E  . Biết : 2log 14 a f. 3
5
49
log
8
F  . Biết: 25 2log 7 ; log 5a b 
g. 30log 1350G  . Biết: 30 30log 3 ; log 5a b  h. 35log 28H  Biết: 14 14log 7 ; log 5a b 

i. 140log 63I  Biết: 2 3 7log 3 ; log 5 ; log 2a b c  
Bài 10: Rút gọn biểu thức sau:
a.   log log 2 log log log 1a b a ab bA b a b b a    
b.    2log log 12 2 4
2 2 2
1
log 2 log log
2
x x
B x x x x
  
c.  log log 2 log log loga p a ap aC p a p p p   
Bài 11: Không dùng bảng số và máy tính. Hãy so sánh:
a. 0,4 0,2log 2 log 0,34 b. 5 3
3 4
3 2
log log
4 5
 c.
5
5
1
log
log 3 2
2 3
d. 3 2log 2 log 3 e. 2 3log 3 log 11 f.
2 1
2
2log 5 log 9
2 8


g.
2 4
5
log 3 log
11
4 18

 h.
3 1
9
8
log 2 log
9
9 5

 k.
6 6
1
log 2 log 5
2
31
18
6

 
 
 
a. 2 5log 10 log 30 b. 3 7log 5 log 4 c. 3 1
2ln 8 lne
e
 
Bài 13: Hãy chứng minh:
a. 1 3
2
1
log 3 log 2
2
   b. 5 5log 7 log 4
4 7 c. 3 7log 7 log 3 2  d. 2 2log 5 log 3
3 5
a. 3 3
6 5
log log
5 6
 b. 1 1
3 3
log 9 log 17 c. 1 1
2 2
log loge  d. 2 2
5 3
log log
2 2

e.
1
log3 log19 log 2
2
   f.
5 7 log5 log 7
log
2 2
 

Bài 15: Cho 0 1a  . Chứng minh: 1log ( 1) log ( 2)a aa a  
HD:
2
1 1 1 1 1
1 1
log ( 2) log log ( 2) log ( 2) log ( 1)
log log ( 2) 1
log ( 1) 2 2 2
a a a a a
a a
a
a a a a a a
a a
a
    
 
    
     


Bài 16: Chứng minh các dẳng thức sau (với giả thuyết các biểu thức đó đã có nghĩa)
a. log loga ac b
b c b.
log log
log ( )
1 log
a a
ax
a
b x
bx
x



c.
log
1 log
log
a
a
ab
c
b
c
 
d.
1
log (log log )
3 2
c c c
a b
a b

  với 2 2
7a b ab 
e.
1
log ( 2 ) 2log 2 (log log )
2
a a a ax y x y    với 2 2
4 12x y xy 
f. log log 2log logb c c b b c c ba a a a     với 2 2 2
a b c 
g.
2 3 4
1 1 1 1 1 ( 1)
...
log log log log log 2logna aa a a a
n n
x x x x x x

     
h.
log log log
log log log log log log
log
a b c
a b b c c a
abc
N N N
N N N N N N
N
  
i. Nếu ta có
1
1 lg
10 x
y 
 và
1
1 lg
10 y
z 
 thì
1
1 lg
10 z
x 

k.
2 3 4 2016 2016!
1 1 1 1 1
...
log log log log logN N N N N
    
l.
log log log
log log log
a b a
b c c
N N N
N N N



với các số a, b, c lập thành một cấp số nhân.
Bài 17: Tính các giới hạn sau:

Bài 18: Chứng minh hàm số đã cho thỏa mãn hệ thức được chỉ ra:
Bài 19: Chứng minh hàm số đã cho thỏa mãn hệ thức được chỉ ra:
Bài 20: Giải phương trình, bất phương trình sau với hàm số được chỉ ra:

Bài 11 : Tìm tập xác định và tính đạo hàm của hàm số sau đây :
a. y = (x2
– 2x – 2)ex
b. y = 2x
–
x
e c. y = (sinx - cosx)e2x
d. )43(log 2
8  xxy e. 








4
4
log
3
1
x
x
y f. )1ln( 2
xxy 
g. )1ln( 22
 xxy h. )93(log 1
3  x
y i.
2
1 5
5
1
log log
3
x
y
x
 
  
 
k. 2
1 2
2
1
log log 6
1
x
y x x
x

   

l.  2
2
1
lg 3 4
6
y x x
x x
    
 
Bài 12 : khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số sau :
a. y = 3x
b.
x
y 






3
1
c.
x
y 3
d.
x
y 






3
1
e.
2
3 
 x
y
Bài 13 : khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số sau :
a. xy 4log b. xy
4
1log c. xy 4log
d. xy 4log e. )1(log 4  xy f. 2log 4  xy

PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LOGARIT
A. Phương trình mũ :
I. Các phương pháp thường giải gặp trong phương trình mũ :
1. Phương pháp biến đổi tương đương :












)()(
10
1
)()(
xgxf
a
a
aa xgxf
hoặc
 




0)()()1(
0
xgxfa
a
2. Phương pháp logarit hóa :
Dạng 1:






bxf
bao
ba
a
xf
log)(
0,1)(
Dạng 2: bxgxfbaba a
xg
a
xf
a
xgxf
log).()(loglog )()()()(

Hoặc )(log).(loglog )()(
xgaxfba b
xg
b
xf
b 
Dạng 3:  )()()()()()(
.loglog. xhxg
a
xf
a
xhxgxf
cbacba 
)(.log)(.log)( xhcxgbxf aa 
 Chú ý :
 Cần rút gọn phương trình trước khi logarit hóa
 Sau khi đưa về phương trình đa thức ta chỉ để ý đến biến x còn: logab, logac
thì xem như các số thực bình thường
3. Phương pháp đặt ẩn phụ :
Dạng 1: f(ag(x)
) = 0 Đặt t = ag(x)
Đk(hẹp): t > 0
Lưu ý : ak.g(x)
= tk
và a-g(x)
=
t
1
 

Dạng 2: 1 af(x)
+ 2 bf(x)
+ 3 = 0 (với a.b = 1)
Đặt t = af(x)
bf(x)
=
t
1
(hoặc ag(x)
=
t
1
) Đk(hẹp): t > 0
Pt  1 t + 2
t
1
+ 3 = 0  1 t2
+ 3 t + 2 = 0
 Mở rộng : Phương pháp trên có thể sử dụng cho các dạng sau :
 1 af(x)
+ 2 ag(x)
+ 3 = 0 (với f(x) + g(x) = 0, Rx )
Đặt t = af(x)
 ag(x)
=
t
1
Đk(hẹp): t > 0
 1 af(x)
+ 2 bf(x)
+ 3 cf(x)
= 0 (với 1
.
2

c
ba
)
Chia 2 vế pt cho cf(x)
. Đặt t =
)(xf
c
a







)(xf
c
b






=
t
1
Dạng 3: 1 a2.f(x)
+ 2 (a.b)f(x)
+ 3 b2.f(x)
= 0
Chia 2 vế pt cho b2.f(x)
. pt  1
)(.2 xf
b
a






+ 2
)(xf
b
a






+ 3 = 0
Đặt : t =
)(xf
b
a






Đk(hẹp): t > 0 . pt  1 t2
+ 2 t + 3 = 0
 Mở rộng : Phương pháp trên có thể sử dụng cho các dạng sau :
1 af(x)
+ 2 ag(x)
+ 3 ah(x)
= 0 (với : h(x) + f(x) = 2g(x), Rx )
Dạng 4: f(ag(x)
) = 0 (chứa:
)(22 xf
ab  ,
)(22 xf
ab  …) nếu không thể
giải theo dạng 1 ta có thể đưa về pt lượng giác bằng cách :
 nếu pt chứa :
)(22 xf
ab  Đặt :
b
a xf )(
= sin(t) (hoặc cost))
 Nếu pt chứa :
)(22 xf
ab  Đặt :
b
a xf )(
= tan(t) (hoặc cot(t))

Dạng 5: A(x).[f(ag(x)
)]2
+ B(x). f(ag(x)
) + C(x) = 0
(Với A,B,C là các biểu thức chứa x thỏa B2
– 4AC = [g(x)]2
)
Đặt : t = f(ag(x)
)
pt  A(x).t2
+ B(x). t + C(x) = 0
Giải pt theo t xem x là tham số (hoặc giải theo x còn t là tham số)
Dạng 6: Nếu pt chứa 2 hàm mũ không thể đưa về 1 trên 5 dạng trên
ta có thể đặt 2 ẩn phụ cho hai hàm mũ trên sau đó khéo léo chuyển
phương trình về một trong hai hướng :
 Phương trình tích .
 Hệ phương trình theo ẩn phụ.
4. Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số :
Dang 1: f(x) = k
 Đoạn xo là nghiệm của phương trình .
 Xét hàm số y = f(x) . Chứng minh hàm số đơn điệu trên TXĐ.
 Lý luận nghiệm xo là duy nhất.(nếu f(x) đồng biến)
 Với x = xo  f(x) = f(xo) = k, do đó xo là nghiệm của pt
 Với x < xo  f(x) < f(xo) = k do đó pt vô nghiệm
 Với x > xo  f(x) > f(xo) = k do đó pt vô nghiệm
Vậy xo là nghiệm duy nhất (tương tự cho TH f(x) nghịch biến)
Dạng 2: f(u) = f(v)
 Khi đó ta có : f(u) = f(v)  u = v (*)
 u,v D_txđ
 Chú ý : trong dạng này hay gặp phép biến đổi :
A.af(x)
+ B.bf(x)
= C.cf(x)
 C
c
b
B
c
a
A
xfxf












)()(
.
f, g : ĐB thì – f : NB và f + g : ĐB (tương tự cho trường hợp NB)

5. Phương pháp sử dụng tính lồi , lõm của hàm số :
 f(x) = k
 tính f’’(x)
 chứng minh f’’(x) không đổi dấu với mọi x  đồ thị của y = f(x) luôn lồi hoặc
luôn lõm  f(x) = k có tối đa 2 nghiệm
 đoán 2 nghiệm của pt và kết luận phương trình chỉ có 2 nghiệm đó
II. Bài tập áp dụng :
Bài 1: Giải các phương trình :
a.
8
1
2 152 2
 xx
b.
4
73
2
1
2
1
2
2.25,016 




 x
x
xx
c.
3
17
7
5
128.25,032 



 x
x
x
x
Bài 2: Giải phương trình :
a.
63232 22
)2()2( 
 xxxx
xx b.
xx
xxxx cos12sin32
)23()23( 

c.
4
4 xx
xx  d. 1)2( 3
 x
x
e. )35(235 211 2222

 xxxx
f.   x
xxx
1
51
1
5
24
2
1






 
g.
12242 22
9
5
3
5.)6,0( 






 x
x
xx
h.   3 292
2222
2


xxxx
x
Bài 3: Giải phương trình : xx xxxx
x


14312
312
Bài 4: Cho phương trình :
2232 223
48 
 xmxxxmx
c. Giải phương trình với m = 1
d. Tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt
a.
1
32
2

 xx
b.
xx
x

 42
3.48
c. 2457.5.3 12
 xxx
d. 125.32 21
 xxx

e. 68.3 2
x
x
x
f. 5008.5
1


x
x
x
g. 8444)24(2 22
1
 xxxxx
h. 42.5 1
3
2
 x
x
x
i.     1
1
1
2525 


 x
x
x
j.   223223
2

x
k.
l. 1444 7325623 222
  xxxxxx
a.
xxx
6242.33.8  b. 553.515  xxx
c. 1224
222
)1(1
  xxxx
d. 0422.42 222
  xxxxx
a. 7)7,0.(6
100
72
 x
x
x
b. 5
24
28



x
xx
c. 123.3
3
1
1
1
2





 
x
x
b. 2224
22
cossin
 xx
e.
12222
4212.32.4 
 xxxx
f.     632347 
xx
g. 2455
22
11
  xx
h. 12.1222.62 )1(33
  xxxx
i. 64)55(275.95 33
  xxxx
j. k. 042.82.3 2
1
1
1



 x
x
x
l. 02028
332


x
x
x
Bài 8: Cho phương trình : 0222 312
 
mxx
a. Giải phương trình khi m = 32
b. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

a. 4347347
sinsin




 



 
xx
b.     10625625
tantan

xx
c.       32.43234732 
xx
d.
2
25353
xxx




 



 
e.     xxx
2.8537.12537  f. 25x
+ 10x
= 22x + 1
g. 4x
– 2.6x
= 3.9x
h. 3.8x
+ 4.12x
– 18x
– 2.27x
= 0
i. 022.92 2212 22
  xxxx
j.
12122 222
10.50425 
 xxxxxx
k.   xxx
2.2121211 22
 l.
xxx
9133.4 13
 
m. 1
2
12
2
1
2.62 )1(3
3
  xx
xx
Bài 10: Xác định giá trị m để phương trình sau có nghiệm :
a. (m – 1).32x
+ 2(m – 3).3x
+ m + 3 = 0
b. (m – 4).4x
– 2(m – 2).2x
+ m – 1 = 0
c.
121 222
96.4.2 
 xxx
m
d.
xx
m 211)22( 
Bài 11: Cho phương trình :     m
xx

tantan
223223
a. Giải phương trình khi m = 6.
b. Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm thuộc khoảng 






2
,
2

a. 276

xx
b. 4)13(8 xx
c. 942
5
4 2






xx
x
d. 032)103(4.3 2
 xxx
e. 0)23()2(5.225 55
 
xxxx
f. 02)73(33 112
 
xxxx

Bài 13: Giải phương trình (Các bài toán đưa về phương trình tích):
a. 2632 1
 xxx
b. 335.315  xxx
c.
22
)1(133
2222 
 xxxx
d.
75234
3933 
 xxx
e. 122
22..61262. 
 xxx
xxxx f. 777)7( 421 22
  xxxx
a. 132 2

x
x
b. 2
543
x
x
 c. 3453 11
  xx
d.
xxx
543  e. 2x
= 3x
– 5 f. 2007x
+ 2008x
= 2.2006x
g.
x
xx
10625622 



 



 
h.
x
xx
23232 



 



 
l.
233
3.25353 




 



  x
xx

a. x2
+ (2x
– 3)x + 2.(1 – 2x
) = 0 b. 22x–1
+ 32x
+ 52x+1
= 2x
+ 3x+1
+ 5x+2
c. x3
+ 23x
+ 3x.22x
+ (1 + 3x2
).2x
+ x – 2 = 0
d.
21
)1(22
2
 
xxxx
e.
1
1
52
1152





xx
ee
xx
f. 1)22434()21217()246(  xxx
g.
xxx
5)23()23( 
h. 17752
6
1
3
1
2
1
2345 23
 xxxxxx
xxxx
i.
12222
298789878 



 


  x
xx
xxxxxxxx
j.
2
3
24
1
1
4
14
2





 xxx
x
x
x
a
k.
xx
x 
 22164 2
l. 02723.53 535
325


x
x
m. 33.23 1
 xx
x n. xxx
cos23 sincos

p.
xxxxxx 

222
7.2122 q.
xx
x sinsin
4.3)42)(sin1( 

B. Phương trình logarit :
I. Các phương pháp thường giải gặp trong phương trình logarit :
Dạng 1:





 ba
axf
a
bxf
)(
10
)(log
Dạng 2:






0)()(
10
)(log)(log
xgxf
a
xgxf aa
Dạng 1: - Biến đổi phương trình về cùng cơ số : f(logau(x)) = 0
- Đặt : logau(x) = t 
kk
a txu )(log (ĐK : u(x) > 0)
 Chú ý : công thức cần nhớ :
ac bb
ca loglog


Dạng 2: 0)()(log).()(log).( 2
 xCxfxBxfxA aa
(A(x),B(x),C(x): là biểu thức có thể chứa x thỏa: B2
– 4AC = [g(x)]2
)
- Đặt : logaf(x) = t (ĐK : f(x) > 0)
- Xác định điều kiện t theo điều kiện của x ở bước trên.
- Giải phương trình bậc hai theo t và xem x như một tham số.
3. Phương pháp biến đổi về phương trình tích : (thường gặp)
Biến đổi phương trình về dạng : f(x).g(x) = 0 





0)(
0)(
xg
xf
Dang 1: f(x) = k
 Đoạn xo là nghiệm của phương trình .
 Lý luận nghiệm xo là duy nhất.(nếu f(x) đồng biến)
 Với x = xo  f(x) = f(xo) = k, do đó xo là nghiệm của pt
 Với x < xo  f(x) < f(xo) = k do đó pt vô nghiệm
 Với x > xo  f(x) > f(xo) = k do đó pt vô nghiệm
Vậy xo là nghiệm duy nhất (tương tự cho TH f(x) nghịch biến)
Dạng 2: f(u) = f(v)
 Khi đó ta có : f(u) = f(v)  u = v (*)
 u,v D_txđ
a. logx(x + 6) = 3 b. log2(x – 1)2
= 2.log2(x3
+ x + 1)
c. log2(x2
+ x + 1) + log2(x2
– x + 1) = log2(x4
+ x2
+ 1) + log2(x4
– x2
+ 1)
d. 12log.4log 2
coscos xx e. 12
32
log3






 
x
x
f. log2(x2
+ 3x + 2) + log2(x2
+ 7x + 12) = 3 + log23
g. log2x + log3x + log4x = log10x h. x + lg(1 + 2x
) = x.lg5 + lg6

i. )93.11(log)33(log3log)3( 5
1
55   xx
x
j.
3
82
2
4 )4(log4log2)1(log xxx 
k. )62(log)14(log 3
22  xx
x l. xxxx 273 log42log3 
m. 2
)1lg(1
2
)1(lg1
)1lg(1
2





xx
x
n. 6)12lg()15(lg  x
x
Bài 2: Cho phương trình : log2–m(x2
+ mx) = log2–m(x + m – 1)
b. Xác định m để phương trình có nghiệm duy nhất
Bài 3: Cho phương trình : logm[x2
– (6m – 1)x + 9m2
– 2m – 1) = logm(x – 3)
b. Xác định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
2log
1
2log
log
2log
)2(log
12



mm
m
x
x xxm
b. Xác định m để phương trình có nghiệm
0)224(log)4228(log2 22
2
1
22
2  mmxxmmxx
a. Giải phương trình với m = 0
b. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa :
4
12
2
2
1  xx
a. log2(3x
– 1).log2(2.3x
– 2) = 2 b. log2(5x
– 1).log2(2.5x
– 2) = 2
c. 12log).2(log 22
2 xx d. 1log
5
log 2
55  x
x
x
e. 34log2log 22  x
x
f. 63 3loglog 22
 xx

g. )243(log1)243(log 2
3
2
9  xxxx
h.
3)1(4log
)1(4)1( 2


xx
x
i.
3)1(4log
)1(8)1( 2


xx
x
j. )1(log)1(log)1(log 2
6
2
3
2
2  xxxxxx
k. 4)21236(log)9124(log 2
32
2
73   xxxx xx
l. xx 2332 loglogloglog  m. xxxxxx 753753 loglogloglogloglog 
3)2(4log
)2(2)2( 2
 
xx mx
b. Xác định m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn : 4,
2
5
21  xx
a. 05)1lg()5()1(lg 22222
 xxxx
b. 062)1(log)5()1(log 3
2
3  xxxx
c. 016)2(log)4(4)2(log)3( 3
2
3  xxxx
d. 016)1(log)1(4)1(log)2( 3
2
3  xxxx
f. 03log)4(log 2
2
2  xxxx
a. 0log.loglogloglog 3232
2
2  xxxxx
b.
2loglog
1)22.()22( 22
xx xx

c. 2)1(log.3)1(log 2
2
2
2  xxxx
d. 6)54(log52)54(log3 2
2
2
2  xxxx

e. 1lg1lg23  xx f. 11loglog 2
2
2  xx
g. 1)56(log67 7
1

xx
h. 5lg4lg1lg 2
 xxx
i. 3
3
3
2 2log332log  xx j. 6x
= log6(5x+1) + 2x + 1
02)32(log2log)32(log.log 2
22
2
22  mxxxmxxx
b. Xác định m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt.
Bài 11: Xác định m để phương trình sau có nghiệm :
a. mxx  33 log4log b. mxx  3
2
3
2 log2log1
a. 4)2lg()6lg( 2
 xxxx b. 222log2  x
x
c. 062log)5(log 2
2
2  xxxx d. 1
log12
3
2

 xx
e. )22(log)22(log 2
32
2
322
 
xxxx
f. )1(loglog 23  xx g. xx 7
3
2 log)1(log 
h. xxx 4
84
6 log)(log.2  i. xx
 )3(log5
2
j.
2
1
)123(log 2
3  xxx
Bài 13: Giải biện luận phương trình:
23)(log23log 2
2
1
2
2  xxmxmxxx

BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LÔGARIT
A. Bất phương trình mũ :
I. Các phương pháp thường giải gặp trong bất phương trình mũ :
Dạng 1:


















)()(
10
)()(
1
)()(
xgxf
a
xgxf
a
aa xgxf
hoặc





0)]()()[1(
0
xgxfa
a
Dạng 2:




















)()(
10
1
)()(
1
)()(
xgxf
a
a
xgxf
a
aa xgxf
hoặc





0)]()()[1(
0
xgxfa
a
2. Phương pháp lôgarit hóa và đưa về cùng cơ số :
Dạng 1:


















bxf
a
bxf
a
ba
a
axf
log)(
10
log)(
1
)(
(với b > 0)
 

Dạng 2:









































 

bxf
a
bxf
a
b
ainghcóxf
b
ba
a
a
xf
log)(
10
log)(
1
0
~
)(
0
)(
Dạng 3:
bxgaxfbaba xgxfxgxf
ln).(ln).(lnln )()()()(

Hoặc có thể lấy logarit cơ số a hay b
3. Phương pháp đặt ẩn phụ : Hoàn toàn tương tự như phương trình mũ.
Dang 1: f(x) > k
 Đoạn xo là nghiệm của phương trình f(x) = k.
 Lý luận nghiệm. (trong trường hợp f(x) đồng biến)
 Với x  xo  f(x)  f(xo) = k do đó bpt vô nghiệm
 Với x > xo  f(x) > f(xo) = k do đó bpt đúng
Vậy x > xo là nghiệm (tương tự cho TH f(x) nghịch biến)
Dạng 2: f(u) < f(v)
 Trường hợp f(x) đồng biến: f(u) < f(v)  u < v  u,v D_txđ
 Trường hợp f(x) nghịch biến: f(u) < f(v)  u > v  u,v D_txđ

a. 1312
2
1
2
1

 xx b. 1)12( 1
1
2
 

x
x
xx
c.
8222
3)3(
2
xx xx
 
d.
3222
1)1(
2
 
xx xx
e.
1
2
2
2
1
2


 x
xx
f.
x
x
x
x




 3
1
1
3
)310()310(
Bài 2: Cho bất phương trình :
    mxx 

31
2323
2
b. Tìm m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi  2,0x
    3)1(23)1(
1232
2


xmmxm
b. Tìm m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x.
a. 2x
.3x – 1
.5x – 2
> 12 b. 9x
+ 9x+1
+ 9x+2
< 4x
+ 4x+1
+ 4x+2
c. 62x +3
< 2x +7
.33x – 1
d. 7.3x +1
+ 5x +3
 3x +4
+ 5x +2
a.     22
1212222  xxx
b.       1232625221139 
xxx
c.     5log2
2215215 
 xxx

d.
xxxx
22.152 53632
 
e.
13
2
313 2


x
x
x
f. 09.93.83 442
  xxxx
g.
12
35
12
2
2 


x
x
x
h.
xxxx
993.8
44
1
 
i.
222
22121
15.34925 xxxxxx 

Bài 6: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm đúng với mọi số thực x:
9x
– 2(m + 1).3x
– 2m – 3 > 0
Bài 7: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm đúng  1,0x
m.9x
– (2m + 1).6x
+ m.4x
 0
Bài 8: Với m > 0 giải biện luận bất phương trình: aa xx
 42 2
a. 9x
+ 2(x – 2).3x
+ 2x – 5 > 0 b. 4x
– (x + 3).3x
+ 2(x + 1)  0
c. 013.43.4 212
 xxx
d. 02.22)3(4 22 22
 xx xx
e.
111
2222
22

 xxxx
f. 03339 22 22
  xxxxx
g.
xxx 
 31313
2.5428
h. 165.253515 12log2 5
  xxxx
a. 2x
+ 3x
+ 1 > 6x
b.     8215.7215 
xx
c. 0
123
12



xx
x
d. 3433 21)1(2

xxxx

B. Bất phương trình logarit :
I. Các phương pháp thường giải gặp trong bất phương trình logarit :
Dạng 1:


















0)()(
10
)()(0
1
)(log)(log
xgxf
a
xgxf
a
xgxf aa hoặc











0)]()()[1(
0)(
0)(
01
xgxfa
xg
xf
a
Dạng 2:


















b
b
a
axf
a
axf
a
bxf
)(
10
)(0
1
)(log
Dạng 3:


















b
b
a
axf
a
axf
a
bxf
)(0
10
)(
1
)(log
Dựa trên ý tưởng đặt ẩn phụ trong phương trình lôgarit
Tương tự như bất phương trình mũ.

Bài 1: Giải các bất phương trình :
a. )22(log1log 2
2
2  xx b. 0)4(log2)86(log 5
2
5
1  xxx
c.   03loglog 3
3
2 x d.   0)5(loglog 2
4
2
1 x
e. 1
1
32
log3 


x
x
f. 1
1
)13(log3



x
x
g. 15
2
log3


x
x
h.
 
)12(log
log
5,0
5,0
2
25
08,0











x
x
x
x
i.  
)12(log
log
1
1
3
35
12,0











x
x
x
x
a.
 
63 3
2
3 loglog
 xx
x b.  3
2
1
2
1 21log)1(log
2
1
 xx
c. xx 53 loglog  d.
 
axa xx aa
2loglog 2

a. 032log2)25(log 252  x
x
b.
2
5
33log)14(log 143  x
x
c. 03.183
1
log
log 32
3
 xx
x d.
2
5
2 2
1
2
2
1 loglog

xx
x
e. xx 22 loglog2 
f. x
x
x
x 2
2
122
3
2
2
1
4
2 log4
32
log9
8
loglog 













02log)1(2log 2
2
2
2  mmxmx
b. Tìm m để bất phương trình có nghiệm đúng  2,1x
Bài 5: Cho bất phương trình : 032log2)22(log 222  xmx
a. Giải phương trình khi m = – 2.
b. Tìm m để bất phương trình có nghiệm đúng 1x
Bài 6: Giải biện luận bất phương trình :
1
log1
2
log5
1



 xx mm
a. 0
62
)(log1 5,0



x
x
b. 0
1)4(log
5
2



x
x
c. 0
)3lg(
)8lg(7lg 2



x
xx
d. 2)22(log).12(log 1
5,02  xx
e. 1
2
218
log).218(log 24 


x
x
f. 25,0loglog.7loglog 2337  xx
g. 0
10
)4(log)83(log 2
7
1
7
1



x
xx
h. 1)9(loglogloglog2 3
3
3
133  xx
i. 1)5(log)1(log)1(log 3
3
1
3
1  xxx
j.
0
3
2
log)3(log
9
4
3
4  xx
k.
x
x
x
x
2
3
2
2
8
log
21log
)21(log
log 


l. 1
8
35
log).35(log 24 


x
x
m.
)44(log
)103(log
2
5,0
2
2
3
2
25,2









xx
xx

a. 0loglog).8(loglog 3
232
2
3  xxxx
b. 0)1(9log)10(log 3
2
3  xxxx
c. 022log)1(log 2
2
2  xxxx
d. 0loglog).9(loglog 2
323
2
2  xxxx
e. 01log)2(log 3
2
3  xxxx
f. 01log)1(log2 3
2
3  xxxx
g.
9
logloglog.log 3
2
223
x
xxx 
h. 5log5log2log5log.2log 2
xxxxx 
2
3223 loglog2log.log xxmxx m

b. Tìm m để bất phương trình có nghiệm chứa khoảng  ,2
xmxxxmx 2233
2
3 loglog.logloglog 
b. Tìm m để bất phương trình có nghiệm chứa khoảng  9,1
Bài 11: Tìm m để BPT sau có nghiệm : mx
x
x
x












 tan
cos
1
logtan
cos
1
log 22
Bài 12: Cho bất phương trình : xmx 2
3
2 loglog 
b. Tìm m để bất phương trình có nghiệm chứa đoạn  2,1
c. Tìm m để bất phương trình có nghiệm là  8,2

a. 4log3  xx b. 3log2 2
2
 xxx
c. 2log2 2  xx
d. 19log1log 32  xx
e. 03log)2(log 22
2
 xxxx
f. 127
7
12
log 2
2
3 


xxx
x
xx
xxmmxmx 3
2
log)(4)4( 
b. Giải biện luận bất phương trình trên theo tham số m
  41lg)2lg(22 224)1( 2
 
xmmmmmxm
b. Tìm m để bất phương trình có nghiệm là  1,0
HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LÔGARIT
I. Các phương pháp thường gặp trong giải hệ phương trình mũ & logarit :
1. Phương pháp 1: (biến đổi tương đương)
Dùng công thức biến đổi để khử mũ , logarit đưa về hệ phương trình không
chứa mũ và logarit
2. Phương pháp 2: (phương pháp thế)
Biến đổi và rút ẩn từ một phương trình này để thế vào phương trình kia.Khi
đó ta giải phương trình mũ , logarit theo một ẩn vừa thu được.
 

3. Phương pháp 3: (phương pháp đặt ẩn phụ)
Biến đổi các biểu thức mũ, logarit đưa về cùng cơ số rồi đặt ẩn phụ.Khi đó ta giải hệ
phương trình theo ẩn phụ không chứa mũ và logarit.
4. Phương pháp 4: (phương pháp đánh giá)
Nhận xét các vế trong từng phương trình của hệ kết hợp với các bất đẳng thức (có thể
sử dụng tính đơn điệu của hàm số) để đưa về hệ phương trình đơn giản hơn.
 Chú ý : Dùng các cách biến đổi
5. Phương pháp 5: (sử dụng tính đơn điệu của hàm số)
Biến đổi hệ (cộng đại số) về dạng f(u) = f(v)(1)
{đôi lúc 1 trong 2 phương trình của hệ đã có dạng (1)}
Xét hàm số y = f(x) . Chứng minh hàm số đơn điệu trên TXĐ.
Khi đó ta có : f(u) = f(v)  u = v (*)
 u,v D_txđ
Từ (*) rút x theo y rồi thay vào một trong 2 phương trình của hệ
a.





 
12
yx
yx yxyx
b.









13
)
3
(5
4
yx
yx
x
y
xy
c.





222
1
yx
yx
d.








164.32
1424
2
22
222
222
yxy
yyxx
e.







2232
22.32
22
212
x
xx
y
y
f.






1)1()1(
)(239
22
3log)(log 22
yx
xyxy
g.










4
23
9
3
9 2
y
x
x
yx
y
xx
h.






723
7723
22
2
2
yx
yx

Bài 2: Cho hệ phương trình :








my
myy
xx
x
112
1
221
112
a. Giải hệ phương trình khi m = 0
b. Tìm m để phương trình có nghiệm.
c. Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất.
Bài 3: Giải biện luận hệ phương trình :








xx
xxx
myyy
ymy
22.
2.2.2
12
12
Bài 4: Cho hệ phương trình : 




 
022
2.42 )2(4 22
mymx
yxmyx
a. Giải hệ phương trình khi m =
2
1
 .
b. Tìm m để hệ phương trình có 2 cặp nghiệm phân biệt (x1, y1) và (x2, y2) thỏa :
   
5
322
21
2
21  yyxx
a.






12
33
22
yxyx
xyyx
b.






2
)2)((22
22
yx
xyxyyx
c.






xy
yx
y
x
322
322
d.






2
12
2
yx
yxyx
e.






2
)cos(3
2
)( 2
yx
yxyx
e.






1)(2
12
22
)cos(
yx
yx 






myx
mxyxyyx
22
))((33
a. Giải hệ phương trình với m = 8.
b. Tìm m để hệ phương trình trên có nghiệm






mymxx
xyyx
342
22
22

a. Giải hệ phương trình với m = –1.
b. Tìm m để hệ phương trình trên có hai cặp nghiệm phân biệt






xmy
ymx
y
x
33
33
a. Giải hệ phương trình với m = 1.
b. Tìm m để hệ phương trình trên vô nghiệm
a.





yyy
yx
x
813).122(
3log
2
3
b.
















3
3
2
1
4
9log
1
yx
y
x
c.








3
2
loglog12log
2
3
loglog3log
333
222
y
yxx
x
yyx
d.





1loglog
4
44
loglog 88
yx
yx xy
e.







1log)4224(log)1(log
)3(log1)2(log)(log
4
2
44
44
22
4
y
x
xyyxy
yxxyx
a.





1lg6
3lg2
yx
yx
b.






3lg4lg
lglg
)3()4(
43
yx
yx
c.






4)53(log).53(log
4)53(log)53(log
xyyx
xyyx
yx
yx
d.







)(log1)(log
324
33 yxyx
x
y
y
x
e.








4)21(log)21(log
4)21(log)21(log
11
2
1
2
1
xy
xxyy
yx
yx
f.






1
)1)(log(log
22
22
yx
xyxyee yx
g.





 1)1(log
1)(log
2
2
yxxy
yxyx
yx
h.





16
)2)(log(log
33
22
yx
xyxyyx
i.






)cos3(log3coslog
)cos3(log3sinlog
32
32
xy
yx








m
y
x
yx
lg
1lglg 22
b. Xác định giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
a.






xy
yx
32
32
log13log
log13log
b.





xy
yx
2
2
log
1)1(log
Bài 13: Cho hệ phương trình







)224(log)4228(log
1)3(log
22
2
22
2
3
22 mmxymmyx
yxyx
yx
b. Xác định m để hệ có 2 nghiệm phân biệt (x1, y1) và (x2, y2) thỏa :
    133 2
2
2
1
2
2
2
1  yyxx





02)2(
lnln
2
yxmx
xyyx
b. Xác định m để hệ có 2 cặp nghiệm phân biệt
Bài 15: Giải hệ phương trình :








2)21(log)21(log
4)21(log)21(log
11
2
1
2
1
xy
xxyy
yx
yx
(ĐH Quốc gia TPHCM năm 1997)







)(log1)(log
324
33 yxyx
x
y
y
x
(Học viện công nghệ bưu chính viễn thông 1999)





16
)2)(log(log
33
22
yx
xyxyyx
(ĐH ngoại thương 1999)
Bài 18: B – 2002 : Giải bất phương trình:   3log log 9 72 1x
x  
Bài 19: A - 2006 Giải phương trình: 3.8 4.12 18 2.27 0x x x x
   
Bài 20: B – 2006 : Giải bất phương trình:    2
5 5 5log 4 144 4log 2 1 log 2 1x x
    

Bài 21: D – 2006: Giải phương trình:
2 2
2
2 4.2 2 4 0x x x x x 
   
Bài 22: A – 2007 : Giải bất phương trình:    3 1
3
2log 4 3 log 2 3 2x x   
Bài 23: D – 2007: Giải phương trình:  2 2
1
log 4 15.2 27 2log 0
4.2 3
x x
x
   

Bài 24: B – 2008 : Giải bất phương trình:
2
0,7 6log log 0
4
x x
x
 
 
 
Bài 25: B – 2007: Giải phương trình:    2 1 2 1 2 2 0
x x
    
Bài 26: A – 2008: Giải phương trình: 2 2
2 1 1log (2 1) log (2 1) 4x xx x x     
Bài 27: D – 2008: Giải bất phương trình:
2
1
2
3 2
log 0
x x
x
 

Bài 28: A – 2010: Giải hệ phương trình: 2 2
2 2
2 2log ( ) 1 log ( )
3 81x xy y
x y xy
 
   


Bài 29: B – 2010: Giải hệ phương trình: 2
2
log (3 1)
4 2 3x x
y x
y
 

 
Bài 30: D – 2010: Giải hệ phương trình:
 
2
2 2
4 2 0
2log 2 log 0
x x y
x y
    

  
Bài 31: D - 2011 : Giải phương trình:  2
2 1
2
log (8 ) log 1 1 2 0x x x      
Bài 32: B – 2013: Giải hệ phương trình:
2
3 3
2 4 1
2log ( 1) log ( 1) 0
x y x
x y
   

   
Bài 33: D – 2013: Giải phương trình:    2 1 2
2
1
2log log 1 log 2 2
2
x x x x    
Bài 34: D – 2014: Giải phương trình: 2 4log ( 1) 2log (3 2) 2 0x x    
Bài 35: THPTQG - 2015: Giải phương trình: 2
2log ( 2) 3x x  

HÀM SỐ MŨ & LOGARIT

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (6)

Similar to HÀM SỐ MŨ & LOGARIT

Similar to HÀM SỐ MŨ & LOGARIT (20)

More from DANAMATH

More from DANAMATH (18)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

HÀM SỐ MŨ & LOGARIT