1. 1
M T S D NG TOÁN V S PH C
Biên so n: NGUY N TRUNG KIÊN 0988844088
I) D NG Đ I S C A S PH C
D ng 1) Bài toán liên quan ñ n bi n ñ i s ph c
Ví d 1) Tìm s nguyên x, y sao cho s ph c z=x+yi tho mãn 3
18 26z i= +
Gi i:
3
18 26z i= + ( ) ( ) ( )
3 2
3 2 3 3 2
2 3
3 18
18 26 18 3 26 3
3 26
x xy
x yi i x y y x xy
x y y
 − =
⇔ + = + ⇔ ⇔ − = −
− =
Gi i phương trình b ng cách ñ t y=tx ta ñư c
1
3, 1
3
t x y= ⇒ = = . V y z=3+i
Ví d 2) Cho hai s ph c 1 2;z z tho mãn 1 2 1 2; 3z z z z= + = Tính 1 2z z−
Gi i:
Đ t 1 1 1 2 2 2;z a b i z a b i= + = + . T gi thi t ta có
( ) ( )
2 2 2 2
1 1 2 2
2 2
1 2 1 2
1
3
a b a b
a a b b
 + = + =

+ + + =
( ) ( ) ( )
2 2
1 1 2 2 1 2 1 2 1 22 1 1 1a b a b a a b b z z⇒ + = ⇒ − + − = ⇒ − =
D ng 2) Bài toán liên quan ñ n nghi m ph c
Ví d 1) Gi i phương trình sau: 2
8(1 ) 63 16 0z i z i− − + − =
Gi i: Ta có ( )
22
' 16(1 ) (63 16 ) 63 16 1 8i i i i∆ = − − − = − − = − T ñó tìm ra 2 nghi m là
1 25 12 , 3 4z i z i= − = +
Ví d 2) Gi i phương trình sau: 2
2(1 ) 4(2 ) 5 3 0i z i z i+ − − − − =
Gi i: Ta có ∆ ’ = 4(2 – i)2
+ 2(1 + i)(5 + 3i) = 16. V y phương trình cho hai nghi m là:
z1 = i
ii
i
i
i
i
2
5
2
3
2
)1)(4(
1
4
)1(2
4)2(2
−=
−−
=
+
−
=
+
+−
z2 = i
ii
i
i
i
i
2
1
2
1
2
)1)((
1)1(2
4)2(2
−−=
−−
=
+
−
=
+
−−
Ví d 3) Gi i phương trình 3 2
9 14 5 0z z z− + − =
Gi i: Ta có phương trình tương ñương v i ( )( )2
2 1 4 5 0z z z− − + = . T ñó ta suy ra
phương trình có 3 nghi m là 1 2 3
1
; 2 ; 2
2
z z i z i= = − = +
Ví d 4) Gi i phương trình: 3 2
2 5 3 3 (2 1) 0z z z z i− + + + + = bi t phương trình có
nghi m th c
Gi i: Vì phương trình có nghi m th c nên
3 2
2 5 3 3 0
2 1 0
z z z
z
 − + + =

+ =
1
2
z
−
⇒ = tho mãn c
hai phương trình c a h :Phương trình ñã cho tương ñương v i
( )( )2
2 1 3 3 0z z z i+ − + + = . Gi i phương trình ta tìm ñư c
1
; 2 ; 1
2
z z i z i= − = − = +
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com

2. 2
Ví d 5) Gi i phương trình: 3 2
(1 2 ) (1 ) 2 0z i z i z i+ − + − − = bi t phương trình có
nghi m thu n o:
Gi i: Gi s nghi m thu n o c a phương trình là z=bi thay vào phương trình ta có
( ) ( )
3 2 2 3 2
(1 2 ) (1 )( ) 2 0 ( ) ( 2 2) 0bi i bi i bi i b b b b b i+ − + − − = ⇔ − + − + + − =
2
3 2
0
1
2 2 0
b b
b z i
b b b
 − =
⇔ ⇒ = ⇒ =
− + + − =
là nghi m, t ñó ta có phương trình tương
ñương v i ( )( )2
(1 ) 2 0z i z i z− + − + = . Gi i pt này ta s tìm ñư c các nghi m
Ví d 6) Tìm nghi m c a phương trình sau: 2
z z= .
Gi i: Gi s phương trình có nghi m: z=a+bi thay vào ta có ( )
2
a bi a bi+ = +
2 2
2
a b a
ab b
 − =
⇔ 
= −
Gi i h trên ta tìm ñư c
1 3
( , ) (0;0),(1;0),( ; )
2 2
a b = − ± . V y phương
trình có 4 nghi m là
1 3
0; 1;
2 2
z z z i= = = − ±
D ng 3) Các bài toán liên quan ñ n modun c a s ph c:
Ví d 1) Tìm các s ph c z tho mãn ñ ng th i các ñi u ki n sau:
1 2 2z i z i+ − = − + và 5z i− =
Gi i:
Gi s z=x+yi (x,y là s th c) .T gi thi t ta có
1 ( 2) 2 (1 )
( 1) | 5
x y i x y i
x y i
 + + − = − + −

+ − =
( )
( )
2 2 2 2
22
1 ( 2) ( 2) (1 )
1 5
x y x y
x y
 + + − = − + −
⇔ 
+ − =
2
3
10 6 4 0
y x
x x
=
⇔ 
− − =
1, 3x y⇔ = = ho c
2 6
,
5 5
x y= − = − . V y có 2 s ph c tho mãn ñi u ki n.
Ví d 2) Xét s ph c z tho mãn ;
1 ( 2 )
i m
z m R
m m i
−
= ∈
− −
a) Tìm m ñ
1
.
2
z z =
b)Tìm m ñ
1
4
z i− ≤
c) Tìm s ph c z có modun l n nh t.
Gi i:
a) Ta có
( )( )
( )( ) ( )
2 2 2 2
22 2 2 2 2
1 2 (1 ) 2 (1 2 )
1 2 1 2 1 2 1 4
i m m mii m m m m m m
z
m mi m mi m mi m m
− − −− − − + + − +
= = =
− + − + − − − +
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com

3. 3
( )
2 2
2 2 2 2 22
(1 ) (1 ) 1 1
1 1 1 11
m m i m m m
i z i
m m m mm
+ + +
= = + ⇒ = −
+ + + ++
( )
2
2
22
1 1 1
. 1 2 1
2 21
m
z z m m
m
+
⇒ = ⇔ = ⇔ + = ⇔ = ±
+
b) Ta có
2
2 2 2 2
1 1 1 1
1
4 1 1 4 1 1 4
m m m
z i i i
m m m m
 
− ≤ ⇔ + − ≤ ⇔ − ≤ 
+ + + + 
⇔
2 4 2
2 2
2 2 2 2 2
1 1 1 1
16 1
(1 ) (1 ) 16 1 6 15 15
m m m
m m m
m m m
⇔ + ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ + ⇔ − ≤ ≤
+ + +
c) Ta có
( )
2
max2 22
1 1
1 | | 1 0
11
m
z z m
mm
+
= = ≤ ⇒ = ⇔ =
++
Ví d 3) Trong các s ph c z tho mãn ñi u ki n 2 4 5z i− − = Tìm s ph c z có
modun l n nh t, nh nh t.
Gi i: Xét s ph c z = x+yi . T gi thi t suy ra ( ) ( )
2 2
2 4 5x y− + − = Suy ra t p h p
ñi m M(x;y) bi u di n s ph c z là ñư ng tròn tâm I(2;4) bán kính 5R =
D dàng có ñư c (2 5 sin ;4 5 cos )M α α+ + . Modun s ph c z chính là ñ dài véc tơ
OM.
Ta có |z|2
= 2 2 2
(2 5 sin ) (4 5 cos ) 25 4 5(sin 2cos )OM α α α α= + + + = + +
Theo BDT Bunhiacopxki ta có ( )2 2 2
(sin 2cos ) (1 4) sin cos 5α α α α+ ≤ + + =
5 sin 2cos 5α α⇒ − ≤ + ≤ 5 3 5z⇒ ≤ ≤ . V y
min
1 2
| | 5 sin 2cos 5 sin ;cos 1, 2 1 2
5 5
z x y z iα α α α
− −
= ⇒ + = − ⇔ = = ⇔ = = ⇒ = +
max
1 2
| | 3 5 sin 2cos 5 sin ;cos 3, 6 3 6
5 5
z x y z iα α α α= ⇔ + = ⇔ = = ⇔ = = ⇒ = +
Ví d 4) Trong các s ph c tho mãn ñi u ki n 2 4 2z i z i− − = − .Tìm s ph c z có
moodun nh nh t.
Gi i: Xét s ph c z = x+yi . T gi thi t suy ra
( ) ( ) ( )
2 2 22
2 4 2 4 0x y x y x y− + − = + − ⇔ + − = Suy ra t p h p ñi m M(x;y) bi u di n
s ph c z là ñư ng th ng y=-x+4
Ta có 2 2 2 2 2 2
(4 ) 2 8 16 2( 2) 8 2 2z x y x x x x x= + = + − = − + = − + ≥ . T ñó suy
min
2 2 2 2 2 2z x y z i= ⇔ = ⇒ = ⇒ = +
D ng 4) Tìm t p h p ñi m bi u di n s ph c
Ví d 1) Tìm t p h p các ñi m M trong m t ph ng ph c bi u di n s ph c z bi t:
a) 3
z
z i
=
−
b) 3 4z z i= − + c) 4z i z i− + + =
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com

4. 4
Gi i:
G i z=x+yi
a) T gi thi t ta có 2 2 2 2 2 29 9
3 9( ( 1) ) ( )
8 64
z z i x y x y x y= − ⇔ + = + − ⇔ + − =
V y t p h p ñi m M là ñư ng tròn tâm
9 3
(0; ),
8 8
I R =
b) T gi thi t ta có ( )
22 2 2
3 (4 ) 6 8 25x y x y x y+ = − + − ⇔ + = . V y t p h p các ñi m
M là ñư ng th ng 6x+8y-25=0
c) Gi s z =x+yi thì 4z i z i− + + = ( ) ( )
2 22 2
1 1 4x y x y⇔ + − + + + = ⇔
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
22 22
22 2 2 22 2 2
1 161 4
2 1 41 16 8 1 1
x yx y
x y yx y x y x y
  + + ≤+ + ≤ 
⇔ ⇔ 
+ − = + + − = − + + + + + 
( ) ( )
22
22
2 2
2 2 2
1 16(1)
1 16
4 4 8 4 8 16 1(2)
3 4
4
4(3)
x y
x y
x y
x y y y y
y
y
 + + ≤ + + ≤ 
 
⇔ + + + = + + ⇔ + = 
 ≥ −
≥ − 

Ta th y các ñi m n m trong hình tròn (1) và Elip (2) và tung ñ các ñi m n m trên (Elip)
luôn tho mãn ñi u ki n y >-4. V y t p h p ñi m M là Elip có pt
2 2
1
3 4
x y
+ = .
Ví d 2) Tìm t p h p các ñi m bi u di n trong m t ph ng ph c s
ph c ( )1 3 2i zω = + + bi t r ng s ph c z tho mãn: 1z − ≤ 2.
Gi i: Đ t ( ),z a bi a b R= + ∈
Ta có 1z − ≤ 2 ( )
2 2
1 4a b⇔ − + ≤ (1)
T
( ) ( )( )
3 2 3 1 3
1 3 2 1 3 2
3 3 3( 1)
x a b x a b
i z x yi i a bi
y a b y a b
ω
 = − + − = − + 
= + + ⇒ + = + + + ⇔ ⇔ 
= + − = − +  
T ñó ( ) ( ) ( )
22 2 2
3 3 4 1 16x y a b − + − ≤ − + ≤
 
do (1)
V y t p h p các ñi m c n tìm là hình tròn ( ) ( )
22
3 3 16x y− + − ≤ ; tâm ( )3; 3I , bán
kính R=4.
Ví d 3) Xác ñ nh t p h p các ñi m M(z) trong m t ph ng ph c bi u di n các s
ph c z sao cho s
2
2
z
z
−
+
có acgumen b ng
3
π
.
Gi i:
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com

5. 5
Gi s z=x+yi, thì
( )
( )
( ) ( )
( )
2 2
2 222
2 2 2
x yi x yix yiz
z x yi x y
− + + +   − +−    = =
+ + + + +
( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2 22 2 2
4 2 2 4 4
2 2 2
x y yi x x x y y
i
x y x y x y
− + + + − + + −
= = +
+ + − + − +
(1)
Vì s ph c
2
2
z
z
−
+
có acgumen b ng
3
π
, nên ta có:
( ) ( )
2 2
2 22 2
4 4
cos sin
3 32 2
x y y
i i
x y x y
π π
τ
+ −  
+ = + 
 − + − +
v i 0τ >
( )
( )
2 2
2 2
2 2
4
22
4 3
22
x y
x y
y
x y
τ
τ
 + −
=
− +
⇒ 
 =
 − +
T ñó suy ra y>0 (1) và
2 2
2 2 2
2 2
4 4 2 4
3 4 (2)
4 3 3 3
y y
x y x y
x y
   
= ⇔ + − = ⇔ + − =   + −    
.T (1) và (2) suy ra
t p h p các ñi m M là ñư ng tròn tâm n m phía trên tr c th c(Trên tr c Ox).
D ng 5) Ch ng minh b t ñ ng th c:
Ví d 1) Ch ng minh r ng n u 1z ≤ thì
2 1
1
2
z
iz
−
≤
+
Gi i:
Gi s z =a+bi (a, b ∈R) thì 2 2 2 2
1 1z a b a b= + ≤ ⇔ + ≤ . Ta có
2 2
2 2
4 (2 1)2 1 2 (2 1)
2 (2 ) (2 )
a bz a b i
iz b ai b a
+ −− + −
= =
+ − + − +
.B t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương
v i
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
4 (2 1)
1 4 (2 1) (2 ) 1
(2 )
a b
a b b a a b dpcm
b a
+ −
≤ ⇔ + − ≤ − + ⇔ + ≤ ⇒
− +
Ví d 2) Cho s ph c z khác không tho mãn ñi u ki n 3
3
1
2z
z
+ ≤ . Ch ng minh
r ng:
1
2z
z
+ ≤
Gi i: D dàng ch ng minh ñư c v i 2 s ph c 1 2,z z b t kỳ ta có 1 2 1 2z z z z+ ≤ +
Ta có
3 3
3 3
3 3
1 1 1 1 1 1 1
3 3 2 3z z z z z z z
z z z z z z z
   
+ = + + + ⇒ + ≤ + + + ≤ + +   
   
Đ t
1
z
z
+ =a ta có ( )( )
23
3 2 0 2 1 0a a a a dpcm− − ≤ ⇔ − + ≤ ⇒
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com

6. 6
II) D NG LƯ NG GIÁC C A S PH C
D ng 1: VI T D NG LƯ NG GIÁC
Ví d 1) Vi t dư i d ng lư ng giác c a các s ph c:
a)
( )1 cos sin
1 cos sin
i
i
ϕ ϕ
ϕ ϕ
− +
+ +
b) ( ) ( )1 cos sin 1 cos sini iϕ ϕ ϕ ϕ− + + +  
Gi i:
a)
( ) ( )
( )
1 cos sin 1 cos sin
1 cos sin 1 cos sin
i i
i i
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
− + − −
=
+ + + +
2
2
2sin 2 sin cos sin cos
2 2 2 2 2tan tan
2 22cos 2 sin cos cos sin
2 2 2 2 2
i i
i
i i
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
− −
= = = −
+ +
- Khi tan 0
2
ϕ
> d ng lư ng giác là: tan cos sin
2 2 2
i
ϕ π π    
− + −    
    
- Khi tan 0
2
ϕ
< d ng lư ng giác là: tan cos sin
2 2 2
i
ϕ π π    
− +    
    
- Khi tan 0
2
ϕ
= thì không có d ng lư ng giác.
( ) ( )) 1 cos sin 1 cos sin
2sin sin cos .cos cos sin
2 2 2 2 2 2
b i i
i i
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
− + + +  
   
= − +   
   
2sin cos isin
2 2
π π
ϕ ϕ ϕ
    
= − + −    
    
- Khi sin 0ϕ = thì d ng lư ng giác không xác ñ nh.
- Khi sin 0ϕ > thì d ng lư ng giác là: 2sin cos sin
2 2
i
π π
ϕ ϕ ϕ
    
− + −    
    
- Khi sin 0ϕ < thì d ng lư ng giác là: ( 2sin ) cos sin
2 2
i
π π
ϕ ϕ ϕ
    
− + + +    
    
Ví d 2): Vi t dư i d ng lư ng giác c a các s ph c:
a)
( )1 cos sin
1 cos sin
i
i
ϕ ϕ
ϕ ϕ
− +
+ +
b) [ ][ ]1 (cos sin ) 1 cos sini iϕ ϕ ϕ ϕ− + + +
Gi i:
a)
( )
2
sin cos1 cos sin 1 cos sin 2 2tan tan
1 cos sin 2 22cos 2 sin .cos cos sin
2 2 2 2 2
ii i
i
i i i
ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ
−− + − −
= = = −
+ + + −
Khi tan
2
ϕ
>0 thì d ng lư ng giác là tan
2
ϕ
cos sin
2 2
i
π π    
− + −    
    
TEL:0988844088
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com

7. 7
Khi tan
2
ϕ
<0 thì d ng lư ng giác là - tan
2
ϕ
cos sin
2 2
i
π π    
+    
    
Khi tan
2
ϕ
=0 thì không t n t i d ng lư ng giác.
b) [ ][ ]1 (cos sin ) 1 cos sini iϕ ϕ ϕ ϕ− + + +
2sin sin cos .2cos cos sin
2 2 2 2 2 2
2sin cos sin
2 2
i i
i
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
π π
ϕ ϕ ϕ
   
= − +   
   
    
= − + −    
    
- Khi sin 0ϕ = thì d ng lư ng giác không xác ñ nh
- Khi sin 0ϕ > thì d ng lư ng giác là: 2sin cos sin
2 2
i
π π
ϕ ϕ ϕ
    
− + −    
    
- Khi sin 0ϕ < thì d ng lư ng giác là:( )2sin cos sin
2 2
i
π π
ϕ ϕ ϕ
    
− + + +    
    
D ng 2: MÔĐUN VÀ ACGUMEN
Ví d 1) Tìm ph n th c và ph n o c a s ph c z, bi t 2
2 2 3z i= − +
Gi i: Ta có: 2 2 2 2
2 2 3 4 cos sin
3 3
z i z i
π π 
= − + ⇔ = + 
 
Do ñó: 2 2 2 2
2 2 3 4 cos sin
3 3
z i z i
π π 
= − + ⇔ = + 
 
2 2
2 cos sin
1 33 3
1 32 cos sin
3 3
z i
z i
z iz i
π π
π π
  
= +   = + ⇔ ⇔ 
   = − −= − +  
 
T ñó suy ra ph n th c và ph n o c a z tương ng là 1 và 3 ho c -1 và 3−
Ví d 2) Tìm m t acgumen c a s ph c: ( )1 3z i− + bi t m t acgumen c a z
b ng
3
π
Gi i: z có m t acgumen b ng
3
π
nên
1 3
2 2
z z i
 
= +  
 
Do ñó: ( )1 3z i− + =
1 3
( 2)
2 2
z i
 
− +  
 
- Khi 2z > , m t aacgumen c a ( )1 3z i− + là
3
π
- Khi 0 2z< < , m t acgumen c a ( )1 3z i− + là
4
3
π
TEL:0988844088
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com

8. 8
- Khi 2z = thì ( )1 3z i− + =0 nên acgumen không xác ñ nh.
Ví d 3) Cho s ph c z có môñun b ng 1. Bi t m t acgumen c a z là ϕ , tìm m t
acgumen c a:
a) 2
2z b)
1
2z
− c) z z+ d) 2
z z+
Gi i:
1z = , z có m t acgumen là ϕ . Do ñó cos sinz iϕ ϕ= +
a) ( ) ( )2 2
cos2 sin 2 2 2 cos2 sin 2 2 2 cos sinz i z i z iϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= + ⇒ = + ⇒ = −
V y 2z2
có m t acgumen là 2ϕ
b) ( )cos sin cos sin 2 2 cos sinz i z i z iϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= + ⇒ = − ⇒ = −
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
1 1 1
cos sin cos sin
2 22
1 1 1
cos sin cos sin
2 22
i i
z
i i
z
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ π ϕ ϕ π
⇒ = − − − = +
⇒ − = − − = + + +
V y
1
2z
− có m t acgumen là ϕ π+
c) Ta có: 2cosz z ϕ+ =
N u cos 0ϕ > thì có m t acgumen là 0
N u cos 0ϕ < thì có m t acgumen làπ
N u cos 0ϕ = thì acgumen không xác ñ nh.
d) 2
cos2 sin 2 , cos sinz z i z iϕ ϕ ϕ ϕ+ = + = −
( )2 3 3
cos2 cos sin 2 sin 2cos cos .2cos sin
2 2 2 2
3
2cos cos sin
2 2 2
z z i i
i
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ
⇒ + = + + − = +
 
= + 
 
V y acgumen 2
z z+ là
2
ϕ
n u
3
cos 0
2
ϕ
> , là
2
ϕ
π+ n u
3
cos 0
2
ϕ
< và không xác ñ nh
n u
3
cos 0
2
ϕ
=
Ví d 4) Cho s ph c 1 cos sin
7 7
z i
π π
= − − . Tính môñun, acgumen và vi t z dư i
d ng lư ng giác.
Gi i:
Ta có:
2
2 8 4
1 cos sin 2 1 cos 2 1 cos 2cos
7 7 7 7 7
z
π π π π π     
= − + = − = + =     
     
Đ t ( )arg zϕ = thì
2
8
sin sin
47 7tan cot tan
4 7 141 cos 2sin
7 7
π π
π π
ϕ
π π
−
 
= = = = − 
 −
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com

9. 9
Suy ra: ,
14
k k z
π
ϕ π= − + ∈
Vì ph n th c 1 cos 0
7
π
− > , ph n o sin 0
7
π
− < nên ch n m t acgumen là
14
π
−
V y
4
2cos cos isin
7 14 14
z
π π π    
= − + −    
    
Ví d 5) Vi t dư i d ng lư ng giác c a m t s ph c z sao cho
1
3
z = và m t
acgumen c a
1
z
i+
là
3
4
π
−
Gi i:
Theo gi thi t
1
3
z = thì ( )
1
cos sin
3
z iϕ ϕ= +
( ) ( ) ( )( )1 1
cos sin cos sin
3 3
z i iϕ ϕ ϕ ϕ⇒ = − = − + −
Vì
1 2
1 2 2 cos sin
2 2 4 4
i i i
π π   
+ = + = +       
Nên
1
os sin
1 4 43 2
z
c i
i
π π
ϕ ϕ
    
= − − + − −    +     
Do ñó:
3
2 2 , .
4 4 2
k k k
π π π
ϕ π ϕ π− − = − + ⇔ = + ∈ Ζ v y
1
os sin .
3 2 2
z c i
π π 
= + 
 
Ví d 6) Tìm s ph c z sao cho:
3
1
z i
z i
+
=
+
và z+1 có m t ácgumen là
6
π
−
Gi i: T gi thi t
3
1
z i
z i
+
=
+
( ) ( )
2 22 2
3 ( 3) ( 1) 3 1
2
z i z i x y i x y i x y x y
y
⇒ + = + ⇔ + + = + + ⇔ + + = + +
⇒ = −
z+1 có 1 acgumen b ng
6
π
− t c là ( )1 [ os sin ] 3
6 6 2
z c i i
π π τ
τ
   
+ = − + − = −   
   
v i r>0.
Ta có z+1=x+1-2i suy ra
3
1 42 2 3 1 2
2 3 1
2
2
x
z i
x
τ
τ
τ

+ = = 
⇔ ⇒ = − − 
= −− = −

D ng 3) NG D NG S PH C TRONG BÀI TOÁN T H P
Ví d 1) Tính các t ng sau khi n=4k+1
a) 0 2 4 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1....... n n
n n n n nS C C C C C−
+ + + + += − + − + −
b) 1 3 5 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1....... n n
n n n n nS C C C C C− +
+ + + + += − + − + −
Gi i:
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com

10. 10
Xét
( )
2 1 0 1 2 2 2 1 2 1 0 2 2 1 3 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 11 ..... ... ( .. )
n n n n n
n n n n n n n n n ni C iC i C i C C C C i C C C
+ + + +
+ + + + + + + + + ++ = + + + + = − + − + − + −
M t khác ta l i có:
( )
2 12 1 (2 1) (2 1)
1 2 cos sin 1 2 cos sin
4 4 4 4
nn n n
i i i i
π π π π++ + +   
+ = + ⇒ + = +      
=
(2 1) (2 1) (8 3) (8 3)
2 2 cos sin 2 2 cos sin
4 4 4 4
n nn n k k
i i
π π π π+ + + +   
+ = +      
3 3
2 2 cos sin 2 2
4 4
n n n
i i
π π 
= + = − +  
T ñó ta có
a) S=-2n
b) S=2n
Ví d 2) Tính các t ng h u h n sau:
a) 2 4 6
1 ..........n n nS C C C= − + − +
b) 1 3 5 7
..........n n n nS C C C C= − + − +
Gi i:
Xét ( ) 0 1 2 2 2 4 1 3 5 7
1 ..... 1 ... ( ....)
n n n
n n n n n n n n n ni C iC i C i C C C i C C C C+ = + + + + = − + − + − + − +
( )1 2 cos sin 1 2 cos sin
4 4 4 4
nn n n
i i i i
π π π π   
+ = + ⇒ + = +      
T ñó ta có k t qu
a) 2 cos
4
n n
S
π
= b) 2 sin
4
n n
S
π
=
Ví d 3) Ch ng minh r ng: 3 6 1
1 ... 2 2cos
3 3
n
n n
n
C C
π 
+ + + = + 
 
Gi i: Ta có 0 1 2 3
2 ....n n
n n n n nC C C C C= + + + + (1)
Xét 32 2
cos sin 1
3 3
i
π π
ε ε= + ⇒ =
Ta có
( ) 0 1 2 2 0 1 2 2 3 4
1 ...... .....
n n n
n n n n n n n n nC C C C C C C C Cε ε ε ε ε ε ε+ = + + + = + + + + + (2)
( )2 0 2 1 4 2 2 0 2 1 2 3 2 4
1 ...... .....(3)
n n n
n n n n n n n n nC C C C C C C C Cε ε ε ε ε ε ε+ = + + + = + + + + +
Ta có 2 2
1 0;1 os sin ;1 os sin
3 3 3 3
c i c i
π π π π
ε ε ε ε+ + = + = − + = +
C ng (1) (2) (3) theo v ta có
( ) ( ) ( ) ( )2 0 3 6 0 3 6
2 1 1 3 ... 2 2cos 3 ...
3
nnn n
n n n n n n
n
C C C C C C
π
ε ε+ + + + = + + + ⇔ + = + + +
3 6 1
1 ... 2 2cos
3 3
n
n n
n
C C
π 
⇔ + + + = + 
 
TEL:0988844088
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com

11. 11
M T S BÀI T P T LUY N
1) Gi i phương trình sau trên t p s ph c:
3
)a z z= ) 3 4b z z i+ = + ( )
22
) 4 3c z z i− = 2
) 2 1 0d z z i+ + − =
2
) 4 5 0e z z+ + = 2
)(1 ) 2 11 0f i z i+ + + = 2
) 2( ) 4 0g z z z− + + =
2) Tìm s th c x tho mãn b t phương trình:
) 1 4 2 5x
a i −
+ − ≤ 2
1 7
) log 1
4
i
b x
+
− ≤ 2
1 2 2
)1 log 0
2 1
x i
c
 + + − 
− ≥ 
− 
3) Tìm s ph c z sao cho ( 2)( )A z z i= − + là s th c
4) Tìm s ph c z tho mãn ñi u ki n
7
5;
1
z i
z
z
+
=
+
là s th c
5) Tìm t p h p các ñi m M trong m t ph ng ph c bi u di n các s ph c z tho mãn
ñi u ki n
( )
22
) 9a z z− =
2
) 4
2
z i
b
z i
−
=
+
)3 3c z i z z i+ = + − ) 3 4 2d z i+ − = ) 1e z z i+ ≥ +
) 4 3f z z i= + −
2
) 1
2
z i
g
z i
−
>
+
)2 2h z i z z i− = − + 1
3
2 2
)log ( ) 1
4 2 1
z
k
z
− +
>
− −
6) Trong các s ph c tho mãn ñi u ki n
3
2 3
2
z i− + = . Tìm s ph c z có modun l n
nh t,nh nh t.
7) Tìm s ph c z tho mãn ñi u ki n ( )( )1 2z z i− + là s th c và z nh nh t.
8) Tìm m t acgumen c a s ph c z khác 0 bi t z z i z+ =
9) Tìm s ph c z tho mãn 2
2z z+ = và 2z =
10) Gi i h pt sau trong t p s ph c:
2 2
2 2
)
4
z i z z i
a
z z
 − = − +

− =
1 2
1 2
3
) 1 1 3
5
z z i
b i
z z
+ = −

+
+ =

2
1 2
2
2 1
1 0
)
1 0
z z
c
z z
 − + =

− + =
12 5
8 3
)
4
1
8
z
z i
d
z
z
 −
= −

− =
 −
3 2
2010 2011
2 2 1 0
)
1 0
z z z
e
z z
 + + + =

+ + =
11) Cho phương trình 3 2
2 (2 1) (9 1) 5 0z i z i z i− + + − + = có nghi m
th c. Hãy tìm t t c các nghi m c a phương trình.
12) Tìm ph n th c ph n o c a 2011
2011
1
w
w
z = + bi t
1
w 1
w
+ =
13) Tìm n nguyên dương ñ các s ph c sau là s th c, s o:
2 6
)
3 3
n
i
a z
i
 − +
=   + 
4 6
)
1 5
n
i
b z
i
+ 
=  
− + 
7 4
)
4 3
n
i
c z
i
+ 
=  
− 
3 3
)
3 3
i
d z
i
 −
=   − 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com

12. 12
14) Cho n nguyên dương, ch ng minh r ng
( )0 2 4 6 2 2
2 2 2 2 2
2
3 9 27 ..... 3 2 cos
3
n n n
n n n n n
n
C C C C C
π
− + − + + − =
15) Tìm s ph c z sao cho 2z z= − và m t acgumen c a z-2 b ng m t acgumen
c a z+2 c ng v i
2
π
16) Gi i phương trình
a) 2 2 0
0
2
tan 10 4 2
os10
z
z i
c
= + + − b) 2 2 0
0
2
cot 12 6 7
sin12
z
z i= + + −
M i th c m c xin vui lòng liên h th y Nguy n Trung Kiên 0988844088
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com