Bt luy thua_mu_logarit_phan1-t.tung-www.mathvn.com

GIẢI ĐÁP TOÁN CẤP 3
HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT
CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI
( Trang 1 – 11 )
ĐẠO HÀM
( Trang 13 – 16 )
GIỚI HẠN
( Trang 16 – 17 )
PHẦN 1
TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ
CÁC BẤT ĐẲNG THỨC
( Trang 18 – 43 )
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com

GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
www.MATHVN.com
PHẦN 1: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM LÔGARIT
I. CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI
  3)
81. 3. 9. 12
3 . 18. 27. 6
 
2 2 3 3 2 1,5 3 2 2 3 3 3 2 (0,04) (0,125) 1 1 5 2 5 2 121 11
                      
 1 1 2 
3 2 4 1 2 4 0,25 3 1 4 4
                          
                
81. 3. 9. 12 3 .3 .3 .2.3 3 3 1 3
3 . 18. 27. 6 3 3 3 .3.2 .3 .2 .3 3
     
 
 
 
   . Ta áp dụng hằng đẳng thức : a  b3  a3  b3  3ab a  b
 
            
 
 
Trang 2
1. LŨY THỪA (Giả sử các biểu thức có nghĩa):
1) a0 1 2) n 1
n a
a
m
a n  n am 4) a  a    

5) a .a  a  6) a a
a
 

 
  7) ab a .b     8) a a

    
 
b b
Chú ý: +) Khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số phải khác 0.
+) Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số phải dương.
A. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Tính giá trị các biểu thức sau:
1) A =
3 2
42 83 2) B =
2
11
0,5 4 6250,25 2 1 2 19. 3 3
(0,04) 1,5 (0,125) 3    3) C =    
4

        
 
4) D = 43 2.21 2.23 2 5) E =
5 5 5
 
3
5 5
6) F = 6  847 3  847
3 6 
27 27
Giải:
1) A =     3 2 3 2
42 83  22 2  23 3  23  22 12
3 2
2) B =    
25 8
   
3) C =        
3
0,5 625 2 1 19. 3 2 5 3 19. 1
4 2 ( 3)
3 3
24 5 3 19 11 2 19 10
2 27 3 27
   
4) D = 43 2.21 2.23 2  262 2.222 2  24 16
5) E =
 
4 1 2 1 2
5 5 5 5 5 5 2 5 1
2
3 1 3 1 3 1 1 9 5 5 10 10 2 5 2 2
6) F = 3 3 6 847 6 847
27 27
3 3 3 3 3 F 6 847 6 847 3 6 847 . 6 847 6 847 6 847
27 27 27 27 27 27

3 3 3   2  F 12 3. 36 847 .F 12 5F F 5F 12 0 F 3 F 3F 4 0
              
 
 
 
 
      
                                                 
 
 
7 5 a b b b b b a
b a a a a a b
 
   
                                          
 
a b a b : a b . a a b a b : a b . b
a a b a b b a b a a a b
 
a b a a b . 1 . a b a b . a b . a 1
                          
a a a b a a b a b
b b b b a b b
      
                    
1 2 : 1 : . 1 1
1 1 2 2 2 2 2 2
a2 b2 : b 2b b b a b : b b a b : b a b
       
                        
 
Trang 3
27
F = 3 hoặc F2  3F  4  0 (vô nghiệm).
Vậy F = 3.
Ví dụ 2: Đơn giản các biểu thức sau (giả sử các biểu thức có nghĩa):
1) A = 3 a2 4 a 2) B =
35
4
7 5 a b
b a
3) C =
  
                   
1 1 1 2 2 1 1
a b a b : a b a
4 4
. 3 1 1 1 1
a 4 a 2 b 4 a 4 b b
4
4) D =
1 1 2
 1  2 a  a   
  :  a2  b2
  b b
  
5) E =
1 1 2 2
a2 b2 : b 2b b b
   
        a a
  
6) F =
1 1 2
3 3
 
 a  b
    : 2
 a   3  b
3
3 
ab b a
 
7) G =
  4

       
4
ab ab : ab b . 1
a ab a b b ab
3 3 1 1 2
2 2 1 2 2
   
 a  b   a   ab b
     a  b  a b
     
8) H =  
2
1 1
2 2
9) I =
4 1 1 2 3 3
   
a a b b a
3 3
8 . 1 2
2 2
3 3 3
a ab b a
2 4
   
   
Giải: 1) A =
1 1
1 3 9 3 1
   
       
   
3 a2 4 a a2 .a4 a4 a2 a
2) B =
35
35 1 4 5
1 1 7 4 4 1 4
5 5
3) C =
1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1
4 4 4 4
3 1 1 1 1 1 1 1 1 1
4 2 4 4 4 2 4 4 4 4
   
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
2 4 4 4 4 2 2 2
b a a b b a b a a b a b
   
4) D =    
 
2 2 1 1 2 2
2 2
2
5) E =      
a a a a
2 a b . a a
  
 
2
b a 
b b
www.MATHVN.com

www.MATHVN.com
   
 a  b   a  b     a b    2
ab  a  a a  b    ab
   
: 2 : . 1
ab ab : ab b . 1 a ab ab ab . a b . 1
     
           
a ab a b b ab a ab ab b b ab
a ab a  b a ab a  b a 
b a
a ab ab b a a b b a b
      
a b a a b b
             
 a  b ab   a     b          a b   a b
  a  b           a  b      a  b   a  b   a  b
 
4 1 1 1 2 1 2 3 3 3 3 3
        
a 8 a b b a a 8 b . 1 2 a .
a 2 b a
       
a ab b a a a b b a
       
           
 3 3  2  2 2
               
a a 2 b a a a 2 b a 2 ab 2
b a a a a
a ab b a b a b a ab b
3 3 3 3 3 3 3 3 3
3 2 2 2 2
. 3 3 3 3
0
         
Trang 4
6) F =
     
 
1 1 2 1 1 2
3 3 3 3 2 2 2
3 3 3 3 3 3
3 3
3 3 3 3 2 3 3
ab  b a  ab ab ab a 
b
7) G =
4
4 4 4
 
  
  . .
  
   
8) H =  
1 1 1 1 2
3 3 1 1 2 2 2 2 2 1 1
2 2 1 2 2 1 1 2 2
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2
      
=
1 1 2
 
 a  b

1 1 2 2
2 2
a a b b
a b a b
2 1
     
 1 1  2  1 1 
2
 2  2   2  2

   
9) I =  
3 3 3
2 2 2 1 1 2 3
3 3 3 3 3 3 3
2 4 2 4
     
2 2 3 3 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3
2 4 2 2 2 2
B. BÀI LUYỆN
Bài 1: Tính giá trị các biểu thức sau:
1) A =
2
  
 
 
3 5
322
2) B = 3 23 2 2 3) C =
1
3 5 7 1 1 1 2
32 .53 : 2 4 : 4 : 53.24.32       
     
     
4) D =
2 
7 6 4 7 (0,2)
0,75    
    
 
5) E =
7 4 3
4 5 2
(  18) .2 .( 
50)
(  225) .(  4) .( 
108)
6) F =
3  1  3 4  2 
2
2 .2 5 .5 (0,01) .10
 
 
3 2 0 2 3
   
10 :10 (0, 25) 10 (0,01)
Bài 2: Đơn giản các biểu thức sau (giả sử các biểu thức có nghĩa):
1) A = 3 a3 a a 2) B =
5  3 5 ( 5 
1)
a .a
a
 
2 2 1
2 2 1


3) C =
1 9 
1 3
4 4 2 2
1 5 1 1
4 4 2 2
a a b b
a a b b

 

 
4) D =
a 
b
a 
b
3 3
6 6

www.MATHVN.com
2. LÔGARIT: Giả sử các biểu thức có nghĩa loga b có nghĩa khi

b b
a a

 b a   b
 a b a
              
log log 2 log log 2 log 1 . 2 log 1 log 3 2
log 5.log 1 log 5.log 3 ( 5). 3 .log 5.log 3 15
        
1 1 log 27 log 81 2 8 2 9 1 125 1 1 log log 1 log 3 log 3 2 5 2 9 5 1 53 3 5 3 5 1 2log53 log5 3 3 3 25 5 5 5 5.5 5.9 45
Trang 5
a
0 1
   
 b
 0
 
b c b
1) log 1 0 a  2) log 1 a a  3) log log log ( ) a a a b  c  bc 4) log log log a a a
c
 
5) aloga b  b 6)
log log
log a
log a
log 1 log a a
b b
b b







 
 
 
7)
log .log 1 log 1
log
log .log log
log log
log
b
a b a
a
b
a
a
b c c
c c
b
 


Chú ý: +) Lôgarit thập phân : 10 log b  logb  lgb
+) Lôgarit tự nhiên ( lôgarit Nêpe) : log ln e b  b ( e  2,71828 )
Ví dụ 1: Tính giá trị các biểu thức sau:
1) A =  3 
log 5.log 1
3 2 2 log log 2 2) B = 6 3 log 3.log 36 3) C = 1 25
3
27
3
4) D =   5
3 9 2log 3 5) E=
1  1 log 1 27 
log 81 2 9 125
25 5
6) F = log  27 log9 2 
2 log8 27 
3  2 2 7) G = lg25log5 6  49log7 8  eln3 8) H =
1 1
9log6 3  4log8 2 10log99 9) I = lg  81log35  27log9 36  32log9 71   
 
10) J = 1 2log2 4 7 log6 2 0,25 0,5log9 7 4 36 81      11) K = 3 2 log (log 8)
12) L =    2013 4 2 0,25 9 4 log log (log 256) log log (log 64) 13) M 3 4 5 6 7 8  log 2.log 3.log 4.log 5.log 6.log 7
14) N
 lg(tan10 )  lg(tan 20 ) ... lg(tan 880 )  lg(tan 890 )
Giải:
1) A =   1
3 6 2
3 3 3 3 3 2 2 32
2
6 3 9
   
2) B = 2
log 3.log 36  log 36  log 6  4
1
2
6 3 6 6

3) C = 1 25 3 5
3
3
3 
1 52
27 2 2
 
4) D = 3 
3log35
3 2 2 log 5 9 2log5 3 33 3 3 5
 
    
 
5) E  2 
3 4
 
            

6) F =  log9 2 log8 27   3 log32 2 log23 33 23 log3 2 log2 3
   
3 2 2 3 2 2 3 2 2 log 27 2 log 3 2 log 3 2   
        
   
                     
log  3 2 log  2 3 log  3 2 2 1 
1 1
log 3 log 2 log99 2 log36 2 log28 log 62 log 82 9 6  4 8 10  3  2 99  3 3  2 2 99  6 8 99 1
                
4 1 2log 4 log 2 0,25 1.log 1 2log2 log6 2 0,25 0,5log9 2 2 6 4 2 32
7 7 4 36 81 2 6 3          
2 6 4 3 4 4 3 3
2 3 7 7
       
                       
log log 8 log log 3 log log 2 log 1 log 3 1 log 1 0
log 2.log 3.log 4.log 5.log 6.log 7 log 7.log 6.log 5.log 4.log 3.log 2 log 2 1
log 2 log log log2 1 1 log
a  a a a a  
a
2 2 4
2 2 2
a a
Trang 6
   
3 3 log3 22 log 3 2 2
3 2 2 3 2 2 1 3 2 2
7) G =       log 6 log 8 ln3 2 log5 6 2 log7 8 log 62 log 82 lg 25 5  49 7  e  lg  5  7  3  lg5 5  7 7   3    
 lg62 82 3  lg102 3  2  3  1
8) H =     2 2
9) I =     log 5 log 36 2log 71 log 5 log 62 2log 71 lg 81 3 27 9 3 9 lg 34 3 33 32 3 32
 
lg 3 log 3 54 3 log 3 63 3 log 3 71 lg  5 4 6 3 71  lg  29 71  lg100 2
           
 
10) J       7 2 7
2
7
log6
4log 4 log3 7 2
11) K =  3 
3 2 3 2 3 log (log 8)  log log 2  log 3  1
12) L =     8 3 
2013 4 2 0,25 9 4 2013 4 2 0,25 9 4 log log (log 256)  log log (log 64)  log log (log 2 )  log log (log 4 )
  3
2 2
2013 4 0,25 9 2013 2 1 2013 2013
   
2 2 2
 2

13) M 3 4 5 6 7 8 8 7 6 5 4 3 8
3
   
14) N
 lg(tan10 )  lg(tan 20 ) ... lg(tan 880 )  lg(tan 890 )
 lg(tan10 )  lg(tan 890 )  lg(tan 20 )  lg(tan 880 ) ... lg(tan 440 )  lg(tan 460 )  lg(tan 450 )      
         lg tan10.tan 890  lg tan 20.tan 880 ... lg tan 440.tan 460  lg tan 450
 lg tan10.cot10   lg tan 20.cot 20  ... lg tan 440.cot 440  lg tan 450 
 lg1 lg1 ... lg1 lg1  0  0  ... 0  0  0
Ví dụ 2: Đơn giản các biểu thức sau (giả sử các biểu thức đều có nghĩa):
1) A = log  2 4 3 5  a a a a 2) B = log log 2log log log 1 a b a ab b b  a  b  b a 
3) C =
3
5
1 lg log
a
a a 4) D =
     
 
3
2 2
2
log . 3log  1 
1
www.MATHVN.com

www.MATHVN.com
                                
 
b a b b a b b a b a
           
    
       
b b ab
 
b b b b b
b b b b
              
lg log lg log . lg log lg log lg 1 lg 1 1
a a a a a  a
log 2 log log log2 1 1 log 2 1 2log log . log 1 8log
a  a a a a   a  a  a a  
a

a a a a
log . 3log  1  1 3log . 3log  1 
1
a a
a a
9log 3log 1 1
9log 3log 1
 
1
3 2 3 2 2 log log log log log 3 2log 1 log 3 2.3 1 . 2 8
x a b a b c b c
log log log log log 4 1 log 3log 4 1 .3 3. 2 1
             
3 3 a a a a a a a
x a bc a b c a c a b c
log log log log log log log a a a a a a a
      
Trang 7
Giải:
1) A =   1
1 16 4 4 14 2 4 3 5 2 4 3 2 2 5 5 5 5 log log . . log . log . log 14
5 a a a a a a a a a a a a a a a a
2) B log log 2log log log 1 log 1 2 log .log log .log  1
log a b a ab b a a b ab b
a
b
 
log2 b 2log b 1  log b 1 2 a a  1 log a
 1 a
. 1 1 1
ab
log log log
a a a
 log  1 2  1   log 
1 2 a . 1 1 a . log a
1 log 1 1 log
log 1 log log 1 log
a a
a a a a
3) C =
1
5 5 2
1
3 5 3
2 10
1 1 1 3
3 3 3
a 10 10
a a a
 
         
 
4) D =
     
 
 
 
2 2 4
2 2 2 2
2 2 2 2
3
2 2 2 2
22
 
2
22
 
2
Ví dụ 3: Cho log 3 a b  ; log 2 a c   . Tính loga x biết: 1) x  a3b2 c 2)
4 3
3
x a b
 3)
c
2 3
x a bc
3 3
loga
a cb

Giải: Cho log 3 a b  ; log 2 a c  
1) Với x  a3b2 c
   
2 2 a a a a a a a  x  a b c  a  b  c   b  c     
2) Với
4 3
3
x a b
c

 
4 3 1
4 3 3
3
c
3) Với
2 3
x a bc
3 3
loga
a cb

1 5 5
2 3 2 3 3 6 5 8 3
3 3 2
3 3 1 1 8 3 3 6 3
a cb a b c b
5 8 log 5 log 5 8 .3 5  2 8
3 3 a 6 a 3 3 6   b  c      

www.MATHVN.com
Ví dụ 4: Hãy biểu diễn theo a ( hoặc cả b hoặc c) các biểu thức sau:
1) A = 20 log 0,16 biết log2 5  a 2) B = 25 log 15 biết 15 log 3  a
3) C = log 40 biết 2 3
a  log 3  1  1  log 5  1  1 
1
a
1 1 log 15 log 15 log (3.5) 1 log 5 1 log 25 log 5 2log 5 2.1 2 1
a   log 1 log 5 
2 log 5 log 5 3
a         
a
3 log 40 log (2 .5) 3  3  
log 40    log 5  2 
6 3 log 10 log (2.5) 1 log 5 1 3 2 3
2 3
log 2 .3 log 21,6 5 2 3log 3 log 5 2 3 log (21,6)
log 6 log 2.3 1 log 3 1
log 2  1  1 
1 a
log 5 log 5 log 5 log 5 (1 log 2) . 1 1
b b b a b
                
1 2.1 log 28 log 28 log (7.2 ) 1 2log 2 2
log 35 log (7.5) 1 log 5 1
Trang 8
log 1
a     
 
5
4) D = 6 log (21,6) biết 2 log 3  a và 2 log 5  b
5) E = log 28 biết log 7  a và log 5  b 6) F = log 24 biết log 15  a và log 18  b
35 14 14 25 6 12 7) G = log 30 biết lg3  a và lg 2  b. 8) H = log 49
125 3 5
8
biết 25 log 7  a và 2 log 5  b .
9) I = 140 log 63 biết 2 log 3  a ; 3 log 5  b ; 2 log 7  c 10) J = 6 log 35 biết 27 log 5  a ; 8 log 7  b ; 2 log 3  c
Giải:
1) A = 20 log 0,16 biết 2 log 5  a . Ta có: A = 20 log 0,04
2 2 log 2 log 5 3
1 3log 5 1 3
2
20 3 2
5 log (2 .5) 2 log 5 2
2 2
a
a
 
   
 
2) B = log 15 biết log 3  a . Ta có: 25 15 15 log  3.5  1 log 5
3
3 3

a a

 B = 3 3 3
25 2
 
3 3 3

a
a
a a
a
 
    
 
log 1
a     
 
3) C = log 40 biết 2 3
5
. Ta có:
1
3
2 3 1 2 2
5 3 2
22
 
C =
3
2 2 2
2 2 2
2
a
a a
  
4) D = 6 log (21,6) biết 2 log 3  a và 2 log 5  b
Ta có: D =  
 
2
2 2 2
6
2 2 2
a b
a
   
   
 
5) E = 35 log 28 biết 14 log 7  a và 14 log 5  b
log 7 1 1
a   
Ta có: 14  
log 2.7 1 
log 2
7 7
 7

a a
7 7
 
14 7 7
log 7.2 1 log 2
7 7
a a
 E =
2
7 7 7
35
7 7 7

a
a a
b a b
a
  
    
  

log 18 log 2.3 1 2log 3 log 18
b (2 log 3) 1 2log 3 ( b 2) log 3 1 2 b log 3 1 2
b
a a a a b a b a ab
log 5  1  log 3  log 3   1 log 3    1 1 2  
2 1
b
3 1 2 log 24 log 2 .3 3 log 3 2 5 log 24 2 1 log 25 log 5 2log 5 2. 4 2 2 2
log 7 log 7 log 7 log 7 log 7 2
a      
ab
log 49 log 7 log 49 8 2 2log 7 3 2.2 3 12 9 8 log 5 1 log 5 1 log 5 3 3
log 63 log 3 .7 2log 3 log 7 2 log 63
log 140 log 2 .5.7 2 log 5 log 7 2
log 5 log 5 log 5 log 5 log 5 3
       
a ac
Trang 9
6) F = log25 24 biết log6 15  a và 12 log 18  b
Ta có: 2 2 2
log 15 log 15 log 3 log 5
6
log 6 1 log 3
2 2
a

  

(1)
 2

 
2 2 2
12 2
log 12 log 2 .3 2 log 3
2 2 2
b

   

(2)
Từ (2) 2 2 2 2
2

b
         

Từ (1)        2 2 2 2
   
b b
2 2
 
 F =
 3 
2 2 2
25 2
2 2 2
b b
b a ab b a ab
b
2

        
     

7) G = 125 log 30 biết lg3  a và lg 2  b .
Ta có: lg 2 lg 10 1 lg5 lg5 1
b          b
5
 
 G =  
lg30 lg 3.10 1 lg 3 1 log 30
125 lg125 lg  5 3  3lg5 3  1

a
b
 
   

log 49
8) H = 3 5
8
biết 25 log 7  a và 2 log 5  b .
Ta có: 2 2 2
25 2
log 25 2log 5 2
2 2
b
 H = 3
2
2 2 3
2
5 3 1
2 3
2 2
ab ab
b b
  
    
9) I = 140 log 63 biết 2 log 3  a ; 3 log 5  b ; 2 log 7  c
Ta có : 2 2 3 log 5  log 3.log 5  ab  I =
 2

 
2 2 2 2
140 2
2 2 2 2
a c
ab c
 
   
   
10) J = 6 log 35 biết 27 log 5  a ; 8 log 7  b ; 2 log 3  c
2 2 2
27 2
log 27 3log 3 3
2 2
log 7 log 7 log 7 2 2
log 7 3
8 2
log 8 3
2
c
b     
b

log 35 log 5  log 35 log 7 3 
3
 J = 2 2 2
6
log 6 1 log 3 1
2 2
ac b
c
  
 
Ví dụ 5: Tính giá trị của biểu thức:
3
1) A =
log b
a
b
a
biết log 3 a b  . 2) B =
1 9 
1 3
4 4 2 2
1 5 1 1
4 4 2 2
a a b b
a a b b

 

 
biết a  2013 2 ; b  2  2012
www.MATHVN.com

b  b  a
   
a b b a b
1 1 2log 1 2log 3 2 3 3 3
a a
 
a a b b a a b b a b a b
a a b b a a b b
             
log ( a  2 b )  2log 2  1 (log a  log b
)
c a
b c
b c bc bc bc
log log log log log ( )
1 log c log a log c log
ac
     
     
a b ab a ab b ab a b ab a b ab
              
2 lg 2 3 lg 2lg 2 3 lg lg lg 2 3 lg lg
a b ab a b a b a b a b
              
Trang 10
Giải:
1) A =
3
log b
a
b
a
biết log 3 a b  .
A =
3 1 1
3 2 log log log 1 1 1 1
3 1 log 2 1 log 1 3log 2log 2 2
b b b
a a a b a b a
a a
         
   
     
1 1 log 2 3 log 2 log 2 3 log 2 3
a a a a
3 3 2 3 2 log
a
b b
b b b b
b
 
       
         
 
2) B =
1 9 
1 3
4 4 2 2
1 5 1 1
4 4 2 2
a a b b
a a b b

 

 
biết a  2013 2 ; b  2  2012
B =  
   
 
 
 
 
   
1 9 1 3 1 1
4 4 2 2 4 1 2 2 1
2
1 5 1 1 1 1
4 4 2 2 4 2
1 1 2013 2 2 2012 1
1 1
   
Ví dụ 6: Chứng minh rằng (với giả thiết các biểu thức đều có nghĩa):
1) log ( bc ) log b log
c
a a
1 log
ac
a
c



a  b a  b
2) alogb c  clogb a 3) Nếu 4a2  9b2  4ab thì lg 2 3 
lg lg
4 2
4) Nếu a2  4b2 12ab thì 2013 2013 2013 2013
2
5) Nếu
1
a  101lg b ;
1
b 101lgc thì
1
c 101lg a 6) Nếu 12 a  log 18; 24 b  log 54 thì: ab  5(a  b)  1
b c
c b
7) log2 log2 a a
 8) Trong 3 số: log2 ;log2 a b
b c
và log2c
a
b
a
luôn có ít nhất một số lớn hơn 1.
Giải:
1) log ( ) log log
bc b c
a a
1 log
ac
a
c



. Ta có:  
 
a a a a
ac
a a a a

  
 
(đpcm)
2)
alogb c  clogb a . Đặt alogbc  t
log
log
log log
log
log
c
b t
b b
t t t t b b b
c a
a a a
a a
a c
c b c b b a
(đpcm)
a  b a  b
3) Nếu 4a2 9b2  4ab thì lg 2 3 
lg lg
4 2
Ta có:  
2
4 2 9 2 4 4 2 12 9 2 16 2 3 2 16 2 3
4
 
 
4 4 4 2
 
(đpcm)
www.MATHVN.com

www.MATHVN.com
log ( 2 ) 2 log 2 1 (log log )
4) Nếu a2  4b2  12ab thì 2013 2013 2013 2013
a  b   a  b
2
a b ab a ab b ab a b ab a b ab
              
Ta có:  
a b ab a b a b
log 2 log 2 log 2 2log 2 log log
               
log ( 2 ) 2log 2 1 (log log )
 a  b   a  b (đpcm)
a b a b b a
  
       
b a a
a c a c a c a
a c a a
log 18 log 18 log 2.3 1  2log 3 1 
2 log 3 1 2log 3 log 3
2 a a a
log 12 log 2 .3 2 log 3 2
log 54 log 54 log 2.3 1  3log 3 1 
3 log 3 1 3log 3 log 3
3 b b b
log 24 log 2 .3 3 log 3 3
a b a b b a ab a b
           
                         
         
b b c c c c
c c b b b b
c b
b c
a c
c a
 ; log2 log2 b b
 
c a b b c a b c a
b c a c a b c a b
      
 
Trang 11
2
2 4 2 12 2 4 4 2 16 2 2 16 2
4
 
   
2
2013 2013 2013 2013 2013 2013
4
2013 2013 2013 2013
2
5) Nếu
1
a 101lg b ;
1
b 101lgc thì
1
c  101lg a
Ta có:
1 1
101 lg lg lg101 lg 1 lg 1 1 lg 1
1 
lg lg lg
(1)
1 1
101 lg lg lg101 lg 1
1 lg
b c b c
c
     

(2)
Từ (1) và (2)
1 1
lg 
1 1 lg 1 lg 1 10lg 101  lg 101  lg
lg 1 lg lg 1 1 lg
         
  
(đpcm).
6) Nếu 12 a  log 18; 24 b  log 54 thì: ab  5(a  b) 1
Ta có:
 2

   
2 2 2
12 2 2 2 2
2 2 2
a
         
 
(1)
 3

   
2 2 2
24 3 2 2 2
2 2 2
b
         
 
(2)
Từ (1) và (2) 1  2 1 
3 1 2  3 1 3  2 5( ) 1
a b
2 3
 
(đpcm)
b c
c b
7) log2 
log2 a a
Ta có :
2 1 2 2 2
log2 log log log log log2 a a a a a a
(đpcm)
c a
b c
8) Trong ba số: log2 ;log2 a b
b c
và log2c
a
b
a
Áp dụng công thức ở ý 7) ta có: log2 log2 a a
b b
b a
a b
 ; log2 log2 c c
c c

a a
2
log2 .log2 .log2 log2 .log2 .log2 log .log .log 12 1 a b c a b c a b c
b c a b c a b c a
c a
b c
 Trong ba số không âm: log2 ;log2 a b
b c
và log2c
a
b
a

log 1 .log 5 5
www.MATHVN.com
log 8.log 4 3) C = 3 1  
log 5 5 2) B = 2 1
1 log 2 2log 3
92  6) F = 2 3 4log 3  9log 2
  11) J
      
log 28 biết 7 log 2  a 2) B = 6 log 16 biết 12 log 27  a . 3) C = 49 log 32 biết 2 log 14  a
a 
b  a 
b a  b   a  b
Trang 12
B. BÀI LUYỆN
Bài 1: Tính giá trị các biểu thức sau:
1) A = 4
1
25
8
5
9
4) D = 532log5 4 5) E = 3 27
7) G =
log5 6 log7 8
25  49 
3
1 log9 4 2 log2 3 log125 27
3   4 

5 log 4.log 8
log 4.log 8
8) H = 3 8 6 log 6.log 9.log 2 9) I 3 6
6 9

2log 6 1 log 400 3log 45
10) J = 3
1 2
1 1
3 3 3
1 1
(27 2  5 25 )(81 4 
8 4
)
1
log 25 log 3
3 5 .5
16 5


12) K 2
6 6 1 3
2
1 1
log 1 log 1 27log35 log 16 9log7 3 4log9 2 log tan

3 12 4
Bài 2: Đơn giản các biểu thức sau (giả sử các biểu thức đều có nghĩa):
1) A = log log 2 log log log a b a ab b b  a  b  b a 2) B =
a a
a a
2
4
log .log
3 3
1
log
a
a
Bài 3: Hãy biểu diễn theo a ( hoặc cả b hoặc c) các biểu thức sau:
1) A = 1
2
4) D = log 168 biết log 12  a và log 24  b 5) E = log 1350 biết log 3  a và log 5  b
54 7 12 30 30 30 6) F = log 121
3 7
8
biết 49 log 11 a và 2 log 7  b . 7) G = 3 log 135 biết 2 log 5  a và 2 log 3  b .
Bài 4: Tính giá trị của biểu thức:
1) A = log ab
b
a
biết log 5 a b  . 2) B =    log log 3 c a a b c c biết log 5 a b  và log 3 a c 
Bài 5: Chứng minh rằng (với giả thiết các biểu thức đều có nghĩa):
1) log a
1 log
log
a
ab
c  
b
c
2) Nếu a2  b2  c2 thì log a  log a 
2log a .log a b  c c  b c  b c  b 3) Nếu a2  b2  7ab thì log 1  log log
 7 7 7
3 2
4) Nếu a2  9b2  10ab thì log  3  log 2 1 log log 
2

 
a a a
www.MATHVN.com
u u u u
a u a a e u e

y x x
x x

y x x
' 2 2 1
3 6 .
x x x x x
x x
y e e x x e e x x
x x x x x x
            
y x x
'  2 
2 1
x x x

  
4 ln 2 16 ln 2
4
Trang 13
II. ĐẠO HÀM
1)  
 
 
1
1
1
 
x '
x
u u u u u
' . ' n ' '
n n
n u
 





 

  
 
2)  
 
 
 
x x
' ln
' ' ln ' '
x x
e '
e

   
 
3)  
log ' 1
  
 
 
 
ln
a
log ' ' ln ' '
ln
ln ' 1
a
x
x a
u u u u
u a u
x
x
   
 
Chú ý : 4) uv '  uv .(v ln u) ' (Tổng quát của (1) và (2))
Ví dụ 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1) y  3 x  x 2) y  ex  e3x1 5cos xsin x 3) y  x2  2x  2ex
4)  2   2 
log 4
        
2 y  ln x 1  log x  x 1 5) y  3 ln2 x 6) 2
4
y x
x
  
y x
7) log 1
  
2
x
 
8) ln 1 ln
1 ln
 

y x
9) ln(2 1)
x

2 1


10)
x x
x x
y e e
e e





11)  2 
3 y  ln x  1 x  log (sin 2x)
12) log (2 1) x y  x  13) y  (2x 1)x1
Giải:
1) y  3 x  x
1 1
    2 2
3 3

  
 
u u
n ' '
(áp dụng công thức   1
 )
n n
n u 
2) y  ex  e3x1 5cos xsin x
 ' 3. 3 1 ( sin cos ).5cos sin ln 5 3 3 1 (sin cos ).5cos sin ln 5
2 e
x
2
3) y  x2  2x  2ex  y '  2x  2ex  x2  2x  2ex  x2ex
4)  2   2 

2 y  ln x 1  log x  x 1  2  2 
1 1 ln 2
  
5) y  3 ln2 x 
2.(ln x
). 1 ' 2
y x
 
x x x
3 3 ln 4 3 3
ln
log 4
        
6) 2
4
y x
x
8
 4 
'
8  
2
2
x
y
x x
x
   
    

' 1 .2 1 . 1 1 2 1 2 1 ' 4 1
1 ln10 1 ln10 4 .1 ln10 2 1 ln10
  x   x   x   x x
 x  
x y
x x       
x x x x x x
x x x
   
1 . ln 1 1 ln 1 1 ln ' 1 ln 2
x x x x x y x x x
      
    
x x x x x
2 . 2 1 1 .ln 2 1 2 1 2 1 2 ln 2 1 '
x x x y x x
         
x x x
x  x x 
x
e  e  e 
e
' 4
  
 
x
1
' 1 2cos 2 1 2cot 2
y x x x
x x x x
2 ln 1 ln 2 1 2 1 2 ln 2 1 ln 2 1 '
x x x x x x y x x
        
x x x x
x x
   
y x x
         
    x   x  
x
   
y ' e sin x e cos x e cos x sin
x
Trang 14
  
y x
7) log 1
  
2
x
 
 
 
2 2 2
y x x
8) ln 1 
ln
x 1 ln
x
 

   
2  1  ln 2 2  1 
ln
2
y x
9) ln(2 1)
x

2 1


   
 
2  1 2  1 2 
1
10)
x x
x x
y e e
e e





   
2 2
   
2 2
x x x x
y
e  e e 
e
11)  2 
3 y  ln x  1 x  log (sin 2x)
2
2 2
1 sin 2 ln 3 1 ln 3

     
  
12)
ln 2 1
y x
log (2 1)
x
ln x

x
  
     
2   2
ln 2 
1 ln
13) y  (2x 1)x1   1     ln ln 2 1 1 ln 2 1 x y x x x        (*)
    ' 2 1 ln 2 1
y x x
y x

2 1
   

(đạo hàm 2 vế của (*) )
      1 2 1
' ln 2 1 . 2 1
x
2 1
Ví dụ 2: Chứng minh các đẳng thức sau:
1) y '' 2y ' 2y  0 với y  ex sin x 2) xy '1  ey với ln 1
     1
  
y
x
3) xy '  y( y ln x 1) với 1
1 ln
y
x x

 
4) y  xy ' x2 y ''  0 với y  sin(ln x)  cos(ln x)
y x
5) 2x2 y '  x2 y2 1 với 1 
ln
x x
(1 ln )


6) 2y  xy ' ln y ' với
2
y  x  x x   x  x 
1 2 1 ln 2 1
2 2
Giải: 1) y '' 2y ' 2y  0 với y  ex sin x
Ta có:
 
   
sin
'' cos sin sin cos 2 cos
x
x x x
y e x
y e x x e x x e x

  
        
 y '' 2y ' 2y  2e x cos x  2ex cos x sin x  2ex sin x  0 (đpcm)
2) xy '1 ey với ln 1
     1
  
y
x
www.MATHVN.com

1 xy ' 1 x
1
1                                   
x x x y y xy e
1 1 1 1 1 ln ' 1 ' 1 1 1 1
 
    
            
x x y y
x x x x x x x
  
 
      
                    
y x x x x
' 1 cos(ln ) 1 sin(ln ) cos(ln ) sin(ln )
     x x x

sin(ln ) cos(ln ) 1 1 sin(ln ) cos(ln ) cos(ln ) sin(ln )
                
'' 2cos(ln )
1 . 1 ln 1 ln . 1 1 ln
                    
x x x x x
x x 1 ln x ln x 1 ln x y
'
1 ln x x x x x x x
  
  
x x x y x
x x x
1 ln 1 ln
1 ln 1 ln 2 1 ln
  
 
   
          
x x x
y  x  x x   x  x 
2 2 2  2 
x x x x x x x x x x
2  1   1 2  1 1 2 
1 1
2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1
         

    2    2   2  2    2


xy y x x x x x x x x x x
y x x x x x x x x x x
' ln ' 1 ln 1 1 ln 1
2 1 2ln 1 1 ln 1
Trang 15
Ta có:
 2
ln 1
1
1 1
y
y x
x x
x e e x
(đpcm)
3) xy '  y( y ln x 1) với 1
1 ln
y
x x

 
. Ta có:
1 1 1 1 '
 
 
2  2
1   ln 1   ln 1  
ln
 x

 
   
 
2
2
1
'
1 ln
' ( ln 1)
1 ln 1 ln 1 1
1 ln 1 ln 1 ln
xy
x x
xy y y x
x
y y x
x x x x x x
(đpcm)
4) y  xy ' x2 y ''  0 với y  sin(ln x)  cos(ln x)
Ta có:  
2 2
y x x
x x x x x
y x x x
x x

 y  xy ' x2 y ''  sin(ln x)  cos(ln x)  cos(ln x)  sin(ln x)  2cos(ln x)  0 (đpcm)
y x

5) 2x2 y 1 ln
'  x2 y2 1 với x x
(1 ln )


Ta có:
   
 
 
2
   
2 2 2 2 2 2
1  ln 1  ln 1 
ln
1 ln 2 1 ln 2 ' 2 .
 
 
 
     
 
2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
1 . 1 1
2 2 2 2
(1 ln ) (1 ln ) 1 ln
x y x
x x x x
2x2 y '  x2 y2 1 (đpcm).
6) 2y  xy ' ln y ' với
2
1 2 1 ln 2 1
2 2
Ta có:
x
x
2
2

y x x 2
x x x x
1
2 2
1
' 1 1 . 2 1
2 x 1 x x
1

          
    
=  
2
2 2 2 2 2 2
x x x x x x x
      
     
 
2 2 2 2 2 2
           

2y  xy ' ln y ' (đpcm)
www.MATHVN.com

www.MATHVN.com
y xy ex x
' 2 ( 1)
y  x ex 6) 2
  
lim ln(1 ) 1
x


lim ln(1 2 )
x tan
 
lim 1 1 lim 1 lim 1 1 1
          
Trang 16
B. BÀI LUYỆN
Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1) y  3 x2  x 1 2) y  (2x 1)e3x1 3)
1
3
x x y xe   4) 2
x
2
2 2
y
x x

 
5) y  e3x1.cos 2x 6) y  (sin x  cos x)e2x 7) y  1 ln xln x 8) ln( 1)
1
y x
x



9) y  e2x ln(cos x) 10) y  x2 ln x2 1 11) 2
2 y  (x  x) log (2x  ex  x) 12) y  ln sin(3x 1)
Bài 2: Chứng minh các đẳng thức sau:
x
2
1) xy '  (1 x2 )y với
2
y xe  2) y ' y  ex với y  (x 1)ex
3) y '''13y '12y  0 với y  e4 x  2ex 4) y 'cos x  y sin x  y ''  0 với y  esin x
5) y '' 2y ' y  ex với 1 2
2
2
1
x

với y  (x2 1)(ex  2013)
III. GIỚI HẠN
lim 1 1 lim 1
       
 
1)  1
0
x
x
x x
x e
 x 
2)
0
x

 x
 3)
lim 1 1
0
x
x
e

 x

A. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ : Tính các giới hạn sau:
1) lim
 
  1
  
x
x
x
 x
2)
2 1 lim 1
2
x
x
x
x


  
    
3) lim ln 1
x e
x
 x e
4)
lim
0
x x
sin
x
e e

x


5)
3
lim ln(1 )
x 0
2
x

 x
6)
5 3 3
lim
0
2
x
x
e e
x



7)
lim 1
0
1 1
x
x
e
 x

 
8)
0
x

 x
9)
lim lg 1
x 10
10
x
 x


Giải:
1) 1 lim
L x
     1
  
Ta có: L  lim lim 1 1
1 x
x
 x
x x
x
               
 1 x  1
x
x x
Đặt : 1 1
1 
x t
x (1 t
)
x ;
t
   
   
1 
1 1
1 1 1 1. 1 1 1
t
t t t t t
L
t e e
t t t
 
   
              
    

     
  t 
  t
                   
L e e
t t t
       
t e t
                          
L t e e e e t t t e e
lim ln( ) ln lim lim .1 1
t t t
L e  e e  e e  e  e 
x x e x x x e x x e
lim lim lim 1 lim 1 lim 1. 1 . 2 1.1. 2 2 sin sin sin 2 . sin . 2 sin 1 1
      
    
L x x x x
lim ln(1 ) lim ln(1 ) lim ln(1 ) . 1.0 0 2 . 2 2 x x x
      
 
      
x x x
L e e e e e e e e
lim lim 1. lim 1. 5 1. 5 5 2 5 . 2 5 2 2 2
        
x x x
e e x e L x
      
        x   x      x

L x x x x x x x x x x x
lim ln(1 2 ) lim ln(1 2 ) lim ln(1 2 ) lim ln(1 2 ) . 1 .2cos 1.1.2.1 2 x  tan x  sin x  2 . sin . 1 x

2 sin 1
x x x x
t t
lg 10 lg 1 10 lg( 10) lg10 10 10 1 1 10 lim lim lim .
                                      
x t t t x L t x t  t  t 
lim
Trang 17
2)
x x
2 1 2 1
L x
2
 
lim 1 lim 1 3
            x   x  2  x

 x
 2

Đặt
3 1 3 2
2
;
x t
x t
x t
 
  
6 3 6 3
6 3 6
2
lim 1 1 lim 1 1 . 1 1 .1
x x
 
L x
3) 3

lim ln 1
x e
 x e


Đặt
x t e
  
     
; 0
t x e
x e t
ln ln 1
3 0 0 0
e
  
 
 
4)
2 2 2
1
4 0 0 0 0 0
2
x
x x x x x x
x x x x x x x x
x x

    
5)
3 3 3 2
5 0 0 0 3 3
x x x
  
2
x
 
6)
5 3 3 5 5 3 3 3
3
6 0 0 0
x x x
x x x
5

  
   
 
7)
     7 0 0 0
1 1 1 1 1 lim lim lim . 1 1 1.0 0
1 1
x x x
8)
8 0 0 0 0
cos 2cos
 
     
       
 
 
L x
lim lg 1
x 10
9) 9 10
 x



Đặt: 9 0 0 0
10; 0 10 10
10
t t t
 
B. BÀI LUYỆN
Tính các giới hạn sau:
1
1)
lim 1 1
x
x
x x


    
 
2)
2
x
lim 1
0
3
x
e

 x
3)
1
1
x
x
e e
 x


4)
sin 2 sin
lim
0
x x
x
e 
e
 x
5)
1
x e
lim x 1
x

 
  
 
www.MATHVN.com

www.MATHVN.com
IV. TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CÁC BẤT ĐẲNG THỨC
   
          
       
 

 và 2 2  3
Trang 18
*) Tính đơn điệu:
*) Các bất đẳng thức:
 
1) 0 1
b c
a a
a b c
    
b c
log log
 
a a
2) 1
 
b c
a a
a b c
   
b c
log log
 
a a
3)
0 1
0 1
   
          
log 0
1
1
a
a
b
b
a
b
và
0 1
1
log 0
1
0 1
a
a
b
b
a
b
4)
0
0
0
 
 
a  b
   a  b
  
a b


   
Ví dụ 1: Không dùng bảng số và máy tính hãy so sánh các cặp số sau:
1)   3 0,01  và 1000 2)
2 2
2
 
 
 
và
3
2
 
 
 
3) 4 3 1 và 3 3 1
4) 3 log 2 và 2 log 3 5) 2 log 3 và 3 log 11 6)
5
  
 
 
5 2
7
và 1
7)
5
0,7 6 và
1
0,73 8) 2 3 và 3 2 9) 0,4 log 2 và 0,2 log 0,34
10)
2log 2 5 
log 1
9
2
2
và 626
9
log 1
11) 3log61,1 và 7log6 0,99 12) 1
3
80
log 1
và 1
2
15  2
13) 2011 log 2012 và 2012 log 2013 14) 13 log 150 và 17 log 290 15) 3 log 4 và 10 log 11
Giải:
1)   3 0,01  và 1000 . Ta có:     0,01 3 10 2 3 102 3 ; 1000 103
2 3 3
  3 0,01 1000   
2)
2 2
2
 
 
 
và
3
2
 
 
 
. Ta có: 1
2
2 2 3
2 2
        
   
3) 4 3 1 và 3 3 1 . Ta có:
    1 1
4 3 1 3 1 4 ; 3 3 1 3 1 3
0 3 1 1; 1 1
4 3

      
   

 4 3 1  3 3 1
4) 3 log 2 và 2 log 3 . Ta có: 3 3 2 2 3 2 log 2  log 3 1 log 2  log 3log 2  log 3
5) 2 log 3 và 3 log 11 . Ta có: 2 2 3 3 2 2 log 3  log 4  2  log 9  log 11log 3  log 11

www.MATHVN.com
5 0 5 5 2 1
5 7 7 0 1
2 2 8
      
      
0 0,4 1; 2 1 log 2 0
0 0,2 1; 0 1 0,34 log 0,34 0
  
 log 1,1  0  3 log 1,1  3 0
 1
  
    
6 log 1,1 log 0,99
log 0,99 0
log 1 log 80 log 80 log 81 4
     
  
       
 
80 1 1 log log
log 1 log 15 2 log 15 2 log 16 4 80 15 2
1 log 2 log 1 log 2
log n n n
       (đpcm)
Trang 19
6)
5
  
 
 
5 2
7
và 1 . Ta có:
5 0
2
7


  
          
       
7)
5
0,7 6 và
1
0,73 . Ta có:
  5  2  5 4  1  2 5 1
  6   36 36    3   
  6 3
0 0,7 1

     
  
5 1
0,7 6  0,73
8) 2 3 và 3 2 . Ta có:
 
 
3
6 2
3
3
2 3
3 3 3 9

  
   
    3 3  2 3  3 2 2 3  3 2
9) 0,4 log 2 và 0,2 log 0,34 . Ta có: 0,4
0,2
0,4 0,2 log 2  log 0,34
10)
2log2 5 
log1 9
2 2
và 626
9
Ta có:
2log2 5 log1 9 25 log 25 log 9 log2 2 2 2 9 2 2 2 25
9

    625 626
9 9
2log2 5 log1 9
2 2 626
9


11) 3log61,1 và 7log6 0,99 . Ta có:
6
6 6
6
6
3 7
log 0,99 0 7 7 1
log 1
12) 1
3
80
log 1
và 1
2
15  2
Ta có:
   
1
1
1 3 3 3
3
1 1 1
3 2
1
1 2 2 2
2
15 2




13) 2011 log 2012 và 2012 log 2013
Ta luôn có :     1 log 1 log 2 n n n n     với n 1 (*) . Thật vậy :
+) Ta có :  2      2  
1 1 1 2 1 2 1 log 1 log 2 n n n n n n n n n n               
hay   1 1 2 log log 2 n n n n      (1)
+) Áp dụng BĐT Cauchy ta có :     1 1 1 1 log log 2 2 log .log 2 n n n n n n n n         (2)
( (2) không xảy ra dấu ''  " vì   1 1 log log 2 n n n n     )
+) Từ (1) và (2)     1 1 1 1 2 2 log .log 2 1 log .log 2 n n n n n n n n          
      1 1
1
n
n n n
n  

Áp dụng (*) với n  2011 2011 log 2012  2012 log 2013

14) 13 log 150 và 17 log 290 . Ta có: 13 13 17 17 13 17 log 150 log 169 2 log 289     log 290log 150  log 290
15) 3 log 4 và 10 log 11
Ta luôn có : 1 log ( 1) log ( 2) a a a a     với 0  a 1 (*) .Thật vậy :…
(các bạn xem phần chứng minh ở ý 13) hoặc cách khác ở Ví dụ 4 ý 4) )
Áp dụng liên tiếp (*) ta được :
3 4 5 6 7 8 9 10 log 4  log 5  log 6  log 7  log 8  log 9  log 10  log 11 hay 3 10 log 4  log 11 (đpcm)
log 3.log 4
log 14 .log 7
Ví dụ 2: Xác định dấu của các biểu thức sau: A 5 15
1 0,3
3
5 2

5 1; 3 1 log 3 0
15 1; 4 1 log 4 0
0 1 1; 14 1 log 14 0
    

         3 5 5
   
 

0 0,3 1; 7 1 log 7 0
log 2  1 log 5  log 2  log 5 
log 2
log 2 1 log 5 log 2 6 2 6 6 5 log 2 log 5 6 5 6 2 1 1 6 6 5
6 6 2
          
   
    
 
1
2 log 5 3log 5 1 log 5 log 5 3 64 4 26 4 2 2 4 2 4 2 2 2 2 5 5
        
  
        (1)
Trang 20
log 2 1 log 5 1 6 2 6 31
6 2
     
 
B = 3
Giải:
log 3.log 4
log 14 .log 7
A 5 15
1 0,3
3
5 2

Ta có:
5
15
1
3
0,3
2 2
log 3.log 4
log 14 .log 7
 A 5 15
  0
1 0,3
3
5 2
log 2 1 log 5 1 6 2 6 31
6 2
     
 
B = 3
Ta có: 6 6 6 6 6
2 5
 
1 


3
3 3 5 125
2 8
     
 
. Mặt khác: 31 3 
124
3 2 8
Mà: 3 3 125 124
 3
8 8
1 log 6 2 
1 log 5 2 6 31

6 2
log 2 1 log 5 1 6 2 6 31
6 2
     
 
B = 3
 0
Ví dụ 3: Sắp xếp các số sau theo thứ tự giảm dần:
log 5 23 4 ; 26
1) 2 ;   64

; 23log9 2 2) 4 2log 5 ; 3 log
 ; 2
4
log 4
3
log 1
; 9
4
Giải:
1) 2 ;   log 5 23 64 4 ; 26

;
3log92 2
Ta có:
1
2  22 ;  
4 4
 
;
1
2 2 2  2  2  2
log 2 log32 log 3 9 3 3 3 2
Mà:
1 log 2 2 1 2 2 26 22 23 9 26 2
6 2
Mặt khác:
1 12
2 5 22 5
    
 
4 4
 
hay   log 5 2  23 64 4 (2)

Từ (1) và (2) :   log 2 log 5 23 9 26 2 23 64 4
    thứ tự giảm dần là:

; 2 ;   log 5 23 64 4
3log92 2 ; 26
www.MATHVN.com

www.MATHVN.com
log 4 2log 4 log 16
  ;

log 1 log log 5 log 16
   
    thứ tự giảm dần là: 2
 với a 1; b  1. 2) log log a a c b b   với a,b  1 và c  0
 với a 1; b 1.
a  b không âm. Ta có :
a b ab a b ab a b a b
      (1)
a  b a  b
   hay ln ln ln
1 1 log log
log log a a c
      
 nên log log a a
b  c b 
c
a c 
a c Trang 21
2) 4 2log 5 ; 3 log
 ; 2
4
log 4
3
log 1
; 9
4
Ta có: 4 2 2log 5  log 5 ; 2 2 2
3 3 3
2
log 1 log 1 log 1
     
9 32 3
4 2 2
 
Mà:
1 log 1 log
2 4 2 4
log 0 log 5
 
    
3 3

  3 

2
   2 2
4
5 16 log 5 log 16
3 3
3 3 2 2
2 4 3

log 1 log 2log 5 log 4
hay 9 3 4 2
4 4 3
log 4
3
; 4 2log 5 ; 3 log

; 9
4
log 1
4
Ví dụ 4: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
  1) ln a ln b ln
a b
2 2
3) log log ( ) a a c b b c    với 1 a  b và c  0 4) 1 log ( 1) log ( 2) a a a a     với 0  a 1
5) alogb c  blogc a  cloga b  33 abc với a,b, c dương và khác 1.
a  b a  b
Giải: 1) ln ln ln
2 2
Vì a 1; b  1 nên ln a , ln b và ln
2
+)   
ln ln ln 1 ln ln 
2 2 2 2
+) ln a  ln b  2 ln a ln b (áp dụng BĐT Cauchy)
   2
2 ln a  ln b  ln a  ln b  2 ln a ln b  ln a  ln b hay  1 2 ln ln ln ln
a  b  a  b (2)
2
a b a b 
Từ (1) và (2)  1 2 ln ln ln
2 4

2 2
(đpcm)
2) log log a a c b b   với a,b  1 và c  0
Vì a,b  1 và c  0 0 log log   b b   a  a  c  
b b
b b
   
a a 
c  (đpcm)
Dấu "  " xảy ra khi : c  0
3) log log ( ) a a c b b c    với 1 a  b và c  0
Ta có : log log ( ) a a c b b c    log 1 log ( ) 1 log log a a c a a c
b b c b b 
c
 a 
a 
c Với 1 a  b và c  0 b b 
  c 
1
a a c
b 

b c
a a 
c
(*)
Mặt khác áp dụng kết quả ý 2) ta được : log 
log a a c
 
(2*)
Từ (*) và (2*)  log log ( ) a a c b b c    (đpcm) . Dấu "  " xảy ra khi : c  0 hoặc a  b .

4) 1 log ( 1) log a a   a (a  2) với 0  a 1
Theo kết quả ý 3) ta có : log log ( ) a a c b b c    với 1 a  b và c  0
Áp dụng với b  a 1 và c 1 ta được : 1 log ( 1) log ( 2) a a a a     (đpcm)
5) log log log 33 a b c  b c a  c a b  abc với a,b, c  1
Ta có : log log log log log log 2 log . log 2 log log a b c c b a a b c c a b c b a c a b c b a c a b c b a a b         (1)
Vì a,b  1 nên áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số không âm logb a và loga b ta được :
log log 2 log .log 2 a b a b b  a  b a  (2)
Từ (1) và (2) log log 2 2 2 a b c c a b c c     hay log log 2 a b c c a b c   
Chứng minh tương tự ta được : log log 2 a b c  b c a  a
blogc a  cloga b  2b
 2 log log log  2  a b c  b c a  c a b  a  b  c hay alogb c  blogc a  cloga b  a  b  c (*)
Mặt khác theo BĐT Cauchy ta có : a  b  c  33 abc (2*)
Từ (*) và (2*) log log log 33  a b c  b c a  c a b  abc (đpcm)
Ví dụ 5: Không sử dụng máy tính hãy chứng minh rằng:
log 3 log 1 2
   2) 1 3
  
Áp dụng BĐT Cauchy ta được : 2 3 2 3 log 3 log 2  2 log 3.log 2  2 (1)
log 3 log 2 5 log 3 1 5 0
2  2 log 3 5log 3  2  0    2 2  2log 31 log 3 2  0 (*)
log 3 log 2 5
   (2)
Trang 22
2 log 3 log 2 5
1) 2 3
2
2
  
2
Giải:
1) 2 3
2 log 3 log 2 5
2
( (1) không có dấu "  " vì 2 3 log 3  log 2 )
Ta có : 2 3 2
     
2 log 3 2
2
22
2log 3 1 0
log 3 2 0
  
    
Mặt khác : 2
2
(*) đúng 2 3
2
2 log 3 log 2 5
Từ (1) và (2) 2 3
    (đpcm)
2
log 3 log 1 2
2) 1 3
2
  
2
Ta có :   1 3 2 3
2
    (1)
2
Chứng minh như ý 1) ta được : log 3 log 2  2  log 3 log 2   2 (2)
2 3 2 3 Từ (1) và (2)  log 3  log 1   2
(đpcm)
1 3
2
2
www.MATHVN.com

  đồng biến trên  2) y  f (x)  3x x  x2 1 nghịch biến trên 
   
f x x x x x x x x x
'( ) 3 ln 3 1 3 1 3 1 ln 3 1
            
x x
  với f (x)  x3 ln x 2) f '(x)  0 biết f (x)  e2x1  2e12x  7x 5
f x  x ; g(x)  5x  4x ln 5
     
        
x e 1
   . Vậy nghiệm của phương trình là: 4
'( ) 0 2 x  4  x 7 0 2 x  4 7 0 2 x  7 x 
4 0
x f x e e e e e
             
 x    x  e . Vậy nghiệm của phương trình là: 1 ln
e x  2 1 ln 1 1 ln
Trang 23
Ví dụ 6: Chứng minh rằng các hàm số:
1) ( ) 2 x 2
x
2
y f x
 
Giải:
1) ( ) 2 2
x x
2
y f x
 
 
Ta có:
x x
'( ) 2 ln 2 2 ln 2 0
2
f x
 
x x
  với x  ( ) 2 2
2
y f x
 
  đồng biến trên  (đpcm)
2) y  f (x)  3x x  x2 1
Ta có:   2   2 
2 2
1 1
     
Mà :
 2   2     2
 
x x x x x x
1 1 0
ln 3 1 1 ln 3 1 0
2 2
x x
1 1

     
  
 f '(x)  0 với x
Vậy hàm số y  f (x)  3x x  x2 1 nghịch biến trên  (đpcm)
Ví dụ 7: Giải các phương trình, bất phương trình sau:
1) f '(x) 1 f (x) 0
x
3) f '(x)  g '(x) biết f (x)  x  ln(x  5) ; g(x)  ln(x 1)
4) f '(x)  g '(x) biết ( ) 1 .52 1
2
Giải:
1) f '(x) 1 f (x) 0
  với f (x)  x3 ln x
x
Điều kiện : x  0 Ta có: f (x) x3 ln x f '(x) 3x2 ln x x3. 1 x2 3ln x 1
x
f '(x) 1 f (x) 0 x2 3ln x 1 1 .x3 ln x 0 x2 4 ln x 1 0
x x
 x  0 (loại) hoặc
1
4 ln 1 ln
x e    
4
1
4
4
e
x 1
e

2) f '(x)  0 biết f (x)  e2x1  2e12x  7x 5
Ta có: f (x)  e2x1  2e12x  7x 5 f '(x)  2e2x1  4e12 x  7
 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1
2 1
e

 2 1
 
2 1
1
2
4
x
x
e
e


  
2 1 1
2
2 2 2
x  e
2 2
www.MATHVN.com

www.MATHVN.com
3) f '(x)  g '(x) biết f (x)  x  ln(x  5) ; g(x)  ln(x 1)
Điều kiện : x  5 Ta có: f ( x )  x  ln( x  5)  f '( x )  1  1 
x
4
f x g x x x x x x x x
f x  x ; g(x)  5x  4x ln 5
f x  x  f x  x ; g(x)  5x  4x ln 5 g '(x)  5x ln 5  4ln 5  5x  4ln 5
f x  g x  x  x   x  x   x  x      x    x 
Vậy nghiệm của bất phương trình là: x  0
x x x
    
  
2
  . Điều kiện : 2 4 0
 
     
   x  x     x
      
 x  x    x  x     x

x     x      x     x  TXĐ: 3;10
log ( 3) 1 0 log ( 3) 1 log 1 0 3 1 3 10
Trang 24
x x

5 5
 
; ( ) ln( 1) '( ) 1
1
g x x g x
x
   

Với x  5: '( ) '( ) 4 1  4 1 5 2 6 9 0  32 0
x x
5 1

              
 
(*)
Do (*) đúng với x  5 .Nên nghiệm của bất phương trình là: x  5
4) f '(x)  g '(x) biết ( ) 1 .52 1
2
Ta có: ( ) 1 .52 1 '( ) 52 1 ln 5
2
   '( ) '( ) 52 1 ln 5 5 4 ln 5 52 1 5 4 5. 5 2 5 4 0 4 5 1 50 0
5
Ví dụ 8: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

1
1) y  (x2  4) 2
2)
y  (6  x  x2 )3 3) y  3 1 x 4) y  (3x  9)2
5) 2
3 y  log (x  3x) 6) 2 4 4 log 2012 x x y    7) 1
y  log (x 3) 1
3
8)  2 
log ( 1)
3 y  log x 3x  2  4  x 9) 3 8 0,5
2
2
2 8
y
x x
 
 
10)
 2
 
log log 1
     
1 5
5
3
y x
x
Giải:
1) y (x2 4) 2

2
x
x
    
x
 TXĐ: D  (;2)(2;)
2)
1
y  (6  x  x2 )3 . Điều kiện : 6  x  x2  0 x2  x  6  0 3  x  2 TXĐ: D  3;2
3) y  3 1 x TXĐ: x
4) y  (3x  9)2 . Điều kiện : 3x  9  03x  32  x  2 TXĐ: D   2
5) 2
0
y  log (x  3x) . Điều kiện : 2 3 0
3 3
x
x x
x
TXĐ: D  (;0)(3;)
6) 2 4 4 log 2013 x x y    . Điều kiện : 2  2
2 2
2
4 4 0 2 0
1
x
x
4 4 1 4 3 0 3
TXĐ: D   1; 2;3
y  log (x 3) 1
7) 1
3
Điều kiện : 1 1 1
3 3 3
3 3 3
D    3

 8)  2 
3 y  log x 3x  2  4  x
Điều kiện :  2  2 2
3 log x 3x  2  4  x  0 x 3x  2  4  x  1 x  3x  2  x  3

                                                 
x x
3 8 0
log ( 1)
    

 
 
 x  x

                                          
 x    
     x    x
  x   x  x

log log 1 0 0 log 1 1 log 1 log 1 log 5
x x x
2 3 1 0 2 2 1 1 1 5 3
             x    x   x    x
  x      3  x  5 x  14 x   3  2  x
 7   0
   x     x

f x x x x x x x x
      
          
 
    bảng biến thiên:
Trang 25
 
2
2 2
3
 
3 0 1
3 2 0 1 2 1
2 3
3 0 3 2 3
3 2 3 7
3
x
x x x x x x x x
x x x x
x x x
x
TXĐ: D  ;12;
x x x
log ( 1)
    
9) 3 8 0,5
2
2
2 8
y
x x
 
 
Điều kiện : 0,5
2
0
x
2 8
 
 2  2
2 2
0,5
11
3 8 3 8 2
2 11 2 8 0 2 8 0
4 2
log 1 0 1 1
2
x
x x x x
x
x x x x x
x
x x
x

 TXĐ: 11
2
x 
10)
 2
 
log log 1
     
1 5
5
3
y x
x
. Đkiện :
2 2 2
1 5 3 5 3 5 5 3
5
5
2
2
2
3 2 7
TXĐ: D  2;12;7
Ví dụ 9: Tìm GTLN, GTNN (nếu có) của các hàm số sau:
1) f (x)  3x x 2)   sin2 ( ) 0,5 x f x  3) f (x)  2x1  23x 4) f (x)  5sin2 x  5cos2 x
Giải: 1) f (x)  3x x Cách 1: Ta có:
2 1 1 1 1 1
4 4 2 4 4
x  x   x  x      x    
   
1
 f (x)  3x x  34  4 3max f (x)  4 3 khi 1
4
x 
Cách 2: Đk: x  0 Ta có: '( ) 1 1 3 ln 3 1 2 .3 ln 3 0 1 2 0 1
2 x 2 x
4
Ta có : lim ( ) lim 3 lim 1 0
3
x x
f x  
x  x  x  x 
x
Từ bảng biến thiên ta có: max f (x)  4 3 khi 1
4
x 
www.MATHVN.com

www.MATHVN.com
         bảng biến thiên:
f x   f x  
 x   t
    t   t 
t x f x g t
g t  g t 
         bảng biến thiên:
t x x x x k   
          ( k  )
x x x x x x x x k
   
         
 
  ( k   )
Trang 26
2)  sin2 ( ) 0,5 x f x 
Cách 1: 2 0 sin2 1
max ( ) 1
0 sin 1 0,5 0,5 0,5 1 ( ) 1 2 min ( ) 1


2 2
x
f x khi x k
x f x
f x khi x k

  
         
   
( k  )
Cách 2: Đặt t  sin2 x với t0;1 f (x)  0,5t  g(t) với t0;1
Ta có: g '(t)  0,5t ln 0,5  0,5t ln 2  0 với t0;1  hàm số nghịch biến với t0;1
 0 1 (0) ( ) (1) 1 ( ) 1
2
 t   g  g t  g   g t 
f x khi x k
f x khi x k
max ( ) 1
min ( ) 1


2 2

  
 
   
( k   )
3) f (x)  2x1  23x
Cách 1: Ta có: f '(x)  2x1 ln 2  23x ln 2  2x1  23x ln 2  02x1  23x  x 1  3 x x  2
Mà: lim ( ) lim 2x 1 23 x  ; lim ( ) lim 2x 1 23 x 
x x x x
   
 min f (x)  4 khi x  2
Cách 2: Ta có: f (x)  2x1  23x  2 2x1.23x  4 . Dấu “=” xảy ra khi: 2x1  23x  x 1  3 x x  2
 min f (x)  4 khi x  2
4) f (x)  5sin2 x  5cos2 x
2
Cách 1: Đặt  
2 1 cos 1
sin ( ) 5 5 ( )
0;1
t
 
với t0;1
Ta có: '( ) 5 ln 5 51 ln 5 5 51 ln 5 0 5 51 1 1
2
g t  t  t  t  t   t  t t   t t 
Mà: lim ( ) lim 5t 51 t  ; lim ( ) lim 5t 51 t 
x x x x
   
 min f (x)  2 5 khi 1 sin2 1 1 cos 2 1 cos 2 0
2 2 2 2 4 2
Cách 2: Ta có: f (x)  5sin2 x  5cos2 x  2 5sin2 x.5cos2 x  2 5sin2 xcos2 x  2 5
Dấu “=” xảy ra khi: 5sin2 5cos2 sin2 cos2 1 cos 2 1 cos 2 cos 2 0
2 2 4 2
 min f (x)  2 5 khi
x k
4 2

Ví dụ 10: Tìm GTLN, GTNN (nếu có) của các hàm số sau:
1) f (x)  e23x trên đoạn [0; 2] . 2) f (x)  ex33x3 trên đoạn [0;2] .
3) f (x)  e 1x2 trên đoạn [ 1;1] . 4) f (x)  ln(x2  x 1) trên đoạn [1;3] .
5) f (x)  ex (x2  x 1) trên đoạn [0;3] . 6) f (x)  x  e2 x trên đoạn [ 1;0] .
7)
f x  x   x trên đoạn [  2;1] . 8) f (x)  x2  ln(1 2x) trên đoạn [  2;0] (TN – 2009)
 trên đoạn 1;e3  . 10) f (x)  x2 ln x trên đoạn 1 ;e2
 trên đoạn [e;e2 ]. 12) f (x)  27x  9x 8.3x 1 trên đoạn [0;1] .
0 x 2 f (0) f (x) f (2) e f (x) 1
        
2 3 3 3 2 1 0;2
  
max ( ) 1
min ( ) 2
f x  x e 
x x
'( )   0   0  
1;1
max ( ) 0
min ( ) 1 1
   
f x x x
'( )  2 1  0   1 
1;3
max ( ) ln 7 3
min ( ) 0 1
  
  
Trang 27
2
( ) 4ln(3 )
2
9)
ln2 f (x) x
x
 
 e

.
11) ( ) 1
ln
f x
x
13) f (x)  log2 x  4log x  3 trên [10;1000]. 14) y  x2  3  x ln x trên đoạn [1;2] (TN – 2013)
Giải:
1) f (x)  e23x trên đoạn [0; 2] . Ta có f '(x)  3e23x  0 với x  hàm số nghịch biến trên đoạn [0;2]
Với 2
4
e
  2

max ( ) 0

min ( ) 1 2
4
0;2
0;2
x
x
f x e khi x
f x khi x
e
 

 

 

   
 
2) f (x)  ex33x3 trên đoạn [0;2] . . Ta có:      
'( ) 3 3 0 3 3 0
1 0;2
x x x
f x x e x
x
       
  
Mà :

 f (0)

e
3
 f (1)
 e
  f (2)

e
5
5
0;2
0;2
x

x
f x e khi x
f x e khi x
 

 

  
3) f (x)  e 1x2 trên đoạn [ 1;1] . Ta có :   1 2
2
1
x

Mà :
f
f e
f
( 1) 1
(0)
(1) 1
  
  
 
   
1;1

1;1
x
x
f x e khi x
f x khi x
 
 
 
4) f (x)  ln(x2  x 1) trên đoạn [1;3].

Cách 1 : Ta có :   2
1 2
x x
 
Mà :
(1) 0
(3) ln 7
f
f
 
   
1;3
1;3
x

x
f x khi x
f x khi x
 

 
'( ) 2 1 0
Cách 2: Ta có : 2
 
1
f x x

x x
 
với x1;3  hàm số đồng biến với x1;3.
max ( ) ln 7 3
min ( ) 0 1
  
Với 1 x  3 f (1)  f (x)  f (3)0  f (x)  ln 7  1;3
  1;3

x

x
f x khi x
f x khi x
 

 
www.MATHVN.com

www.MATHVN.com
  
max ( ) 6 3
min ( ) 1
ln 1
'( ) 1 2 0 1 2 2 ln 1 ln 2 ln 2 1;0
f x e x e x e x e x x
              
 
f e
      
                
ln 2 ln 2 ln 2 1 1 ln 2
2 2 2 2 2
f x  x   x trên đoạn [  2;1] . Ta có :
f x x x x
1 2;0 '( ) 2 2 4 2 2 0 4 2 2 0 2
                        
x x x f x x x x
x x x
max ( ) 4 ln 5 2
    
min ( ) 1 4ln 2 1
2ln . 1 . ln '( ) 2ln ln 0 2ln ln 0
x x x x x f x x x x
     
max ( ) 4
min ( ) 0 1

   x 
e
  x e

Trang 28
5) f (x)  ex (x2  x 1) trên đoạn [0;3] .
Ta có:
 
 
2 2 2 2 0;3
'( ) ( 1) (2 1) ( 2) 0 2 0
   
1 0;3
x x x x
f x e x x e x e x x x x
x
              
  
Mà :

 f
(0)  
1
 f (1)
  e
  f (3) 
6
e
3
3
0;3
0;3
x

x
f x e khi x
f x e khi x
 

 

   
6) f (x)  x  e2 x trên đoạn [ 1;0] .

Ta có: 2 2 2  
2 2 2
Mà :
2
( 1) 1 1 1
2 2
ln 2
(0) 1
e e
f e
f

  
 

max ( ) 1 ln 2 ln 2
      
     
2
2
1;0
 
1;0
2 2
min ( ) 1 1
x
x
f x khi x
f x e khi x
e
 
 
 

7)
2
( ) 4ln(3 )
2
4  2  '( )    3 
4 
0
x x
3 3
 
 x2  3x  4  0
 
 
1 2;1
4 2;1
x
x
    
 
   
. Mà :
( 2) 2 4ln 5
( 1) 1 8ln 2 1 16ln 2
2 2
(1) 1 4ln 2 1 8ln 2
2 2
f
f
f

  
        
     
max ( ) 1 8ln 2 1

     2;1

2
    

 2;1

min ( ) 1 16ln 2 1
2
x
x
f x khi x
f x khi x




8) f (x)  x2  ln(1 2x) trên đoạn [  2;0] (TN – 2009)
Ta có :
 
 
2
2
1 2 1 2 1 2;0
Mà :
( 2) 4 ln 5
1 1 ln 2 1 4ln 2
2 4 4
(0) 0
f
f
f
   
          
  
 
 2;0

 2;0

4 2
x
x
f x khi x
f x khi x





   
9)
ln2 f (x) x
 trên đoạn 1;e3  . Ta có :
x
2
2
2
 
2 2
x x
2
x x
x x e
ln 0 1
ln 2
   
      
(1) 0
( ) 4
Mà : 2
2
( 3
) 9
3
f
f e
e
f e
e



  
 
2
3 2
3
1;
1;
f x khi x e
e
f x khi x
 
 
 
 


  
  
max ( ) 2
x e
e

min ( ) 1 1

    với xe;e2  hàm số nghịch biến với xe;e2 
2 2 ( ) ln '( ) 1 ln . 1 1
        )
f x x f x x
e  x  e  f e  f x  f e   f x  
max ( ) 1

  
min ( ) 2
max ( ) 7 1
min ( ) 13 log 2
   
   
0;1 3
  
     
Trang 29
10) f (x)  x2 ln x trên đoạn 1 ;e2
 
 e

. . Ta có :  
0
 
'( ) 2 ln 2ln 1 0 1 ln ln
2
x
f x x x x x x
x e
     
  

    2
      
    2
    
 0 1 ;
x e
1 ;
e
x e e
e
1 1
          
f
e e
f e e
f e e
. Mà :  
 
2
2
2
2 4


4 2
2
1; 2
1; 2
x e
e
f x e khi x e
f x khi x
e e
 
 
 
 
 
 



  

11) ( ) 1
 trên đoạn [e;e2 ].
ln
f x
x
Ta có :
1
x
'( ) 2 ln 1 0
f x x
x x x x
ln 2 ln ln
(Có thể tính f '(x) bằng cách :     1 3
x x x x
2 2 ln ln
Cách 1 : Với 2 ( ) ( ) ( 2 ) 1 ( ) 2
2
2
max ( ) 1

  
; 2
min ( ) 2
; 2
2
x e e
x e e
f x khi x e
f x khi x e
 
 
 
 

 

( ) 1
( ) 2
Cách 2 : Ta có : 2
2
f e
f e
 
 
 
2
; 2
; 2
2
x e e
x e e
f x khi x e
f x khi x e
 
 
 
 

 

12) f (x)  27x  9x 8.3x 1 trên đoạn [0;1] .
Đặt t  3x với x0;1t1;3  f (x)  t3 t2  8t 1  g(t) với t1;3
Ta có : g '(t)  3t2  2t 8  0
2 1;3
4 ( )
3
  
t
t loai

 

Mà :
(1) 9
(2) 13
(3) 7
g
g
g
  
   
  
 0;1

 
x
x
f x khi x
f x khi x


13) f (x)  log2 x  4log x  3 trên [10;1000].
Đặt t  log x với x10;1000t 1;3  f (x)  t2  4t  3  g(t) với t1;3
Ta có : g '(t)  2t  4  0t  21;3
Mà :
(1) 0
(2) 1
(3) 0
g
g
g
 
   
 
 10;1000

 10;1000

10
max ( ) 0
1000
min ( ) 0 100
x
x
x
f x khi
x
f x khi x


 

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com
14) y  x2  3  x ln x trên đoạn [1;2] (TN – 2013)
Ta có:
2
x x  
y '   (ln x  1)   1  ln x  x x 3 
ln
x
2 2 2
x x x
3 3 3
  
  
 x  x  3  x  x  x  x  0  x x 3  0
 x   y


    max (1) 2 1
min (2) 7 2ln 2 2
   1;2
 

    
x x x
'( ) 3 ln 3 3 ln 3 3 ln 3 5  3  3 
3 0 5 3 3 3 3 1 0
f x x
           
       bảng biến thiên :
  . Vậy bất phương trình có nghiệm khi : m  2 2

f x t t g t
     
t t
t
4  
3 '( ) 1 0 1 4
           
t t
Trang 30
Mà
2
2 2
2
3 ' 0
x x
ln 0 [1; 2]
với x[1;2]
Suy ra hàm số nghịch biến trên đoạn [1;2]
 
 1;2

x
x
y y khi x
y y khi x


Ví dụ 11: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: 1) 3x  3  53x  m 2) 4x  m.2x  m  3  0
Giải:
1) 3x  3  53x  m (*)
Xét hàm số : f (x)  3x  3  5 3x với 3 x  log 5  (*) có nghiệm khi :
min ( )
 ;log35
x
f x m
  

Ta có :  
  
x x
2 3 3 2 5 3 2 3 3 5 3
x x x
x x x x
   
Ta có : lim f ( x
) lim  3x 3 5 3x  3 5
x x
 
min ( ) 2 2
 ;log35
x
f x
  
2) 4x  m.2x  m  3  0  4x  3  m2x 1 (2*)
TH1 : x  0 bất phương trình có dạng : 4  0 (vô lí)
TH2 : x  02x 1  0 . Khi đó bất phương trình có dạng: 4 3
x

m
x 2 1


(2*1)
x
x m

TH3: x  0 2x 1  0 . Khi đó bất phương trình có dạng: 4 3
2 1


(2*2)
x
x f x

Xét hàm số: ( ) 4 3
2 1


. Đặt t  2x
2 3 4 ( ) 1 ( )
1 1
 

g t t
 
 2
2
1 1

 m  f x  g t
 6 . Vậy (2*1) m  6 (1)
min ( ) min ( )
x t
g t t
lim ( ) lim 3
t t 1
x x x
'( ) 3 ln 3 3 ln 3 3 ln 3 5  3  3 
3 0 5 3 3 3 3 1 0
f x x
           
       bảng biến thiên :
  . Vậy bất phương trình đúng với 3 x(;log 5] : m  4
Trang 31
+) Với x  0t 1 và
2
g t t

lim ( ) lim 3
t  1  t  1
 t
1
  

ta có bảng biến thiên:
(2*1)
0;  1; 
   
+) Với x  00  t 1 và
2
 1   1
 t

  

ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta có: (2*2) m  3 (2)
Từ (1) và (2), suy ra bất phương trình (2*) có nghiệm khi:
3
6
m
m
  
 
Ví dụ 12: Tìm m để bất phương trình:
1) 3x  3  5 3x  m có nghiệm với 3 x(;log 5]
2) (m1).4x  2x1  m1  0 có nghiệm với x
3) m.9x  (2m1).6x m.4x  0 có nghiệm với x[0;1]
Giải:
1) 3x  3  53x  m với 3 x(;log 5] (*)
Xét hàm số : f (x)  3x  3  5 3x với 3 x  log 5  (*) đúng với 3 x(;log 5] :
max ( )
 ;log35
x
f x m
  

Ta có :  
  
x x
2 3 3 2 5 3 2 3 3 5 3
x x x
x x x x
   
Ta có : lim f ( x
) lim  3x 3 5 3x  3 5
x x
 

m f x
max ( ) 4
 ;log35
  
x
www.MATHVN.com

     
t t t g t t t
2 4 2 1 2 '( ) 0 2 1 0
t   
t   
t   
t    
g t t
lim ( ) lim
t t 1
   . Vậy với m  6 thì bất phương trình có nghiệm với x[0;1]
Trang 32
2) (m1).4x  2x1  m1  0 với x (2*)
Đặt t  2x với t  0 . Khi đó (2*) có dạng: m1t2  2t m1 0 với t  0
 mt2 1  t2  2t 1 với t  0
2
 
m t t g t
  
2
2 1 ( )
1
t

với t  0 (2**)
2
       
 
2
2 2
t t
1 1 2
    
và
2
g t t t
 
lim ( )  lim 2 1 
1
t  t  t
2

1
 bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên: (2**) m 1. Vậy bất phương trình đúng với x khi:m 1
3) m.9x  (2m1).6x  m.4x  0 với x[0;1] (3*)
9 x 3 x
(3*) 2 1 0
 m   m    m 
4 2
   
với x[0;1]
Đặt 3
2
x
t   
 
với 0;1 1; 3
x t   2
 
Khi đó (3*) trở thành: mt2 2m1t  m  0 với 1; 3
2
 mt2  2t 1  t với 1; 3
2
 2  m t 1  t với 1; 3
2
(3*1)
+) Với t 1 bất phương trình có dạng: 0  1 (luôn đúng)
+) Với t  1: (3*1)
m t g t
( )
 t
1
2 
  

với 1; 3
2
(3*2)
Ta có:
'( ) 1 0
 1
3
g t t
t

 

với 1; 3
t  2

 và
1 1  2
t    

  

Ta có: (3*2)
m g t
max ( ) 6
t
1;3
2
 
 
 

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com
n
ex x x x
     vớix  0 ; n 3) ex  x 1 với x .
n
     với x  0 ; a 1; n 5) ln(1 x)  x với x  0
      
 
  với 0  a  b 23) . 1 1
Trang 33
Ví dụ 13: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1) ex 1 x với x  0 2)
2
1 ...
2 !
4)  2   ln ln
1 ln ...
2! !
n
x x a x a
a x a
n
6)
 
      
 
x x 2
xn x
ln 1 ...
n
2 !
với x  0 7)
2
ex  cos x  2
 x  x x
2
x
x x
8) ln 1
1


với x  0; x  1 9) ln(x 1)  x 1 với x 1 10) ln 1 
1
x   x 
x
x

với x  0
x x
11) ln( 1) 2
2
x
 

với x  0 12) ln 1 1 x2  1 ln x
    với x  0
x
13) x ln x  1 x2 1  1 x2 với x 14)
x
1 1
2
xx x
với x 1 15) ab  ba với 0  a  b 1
b a
16) 2 1 2 1
 a      2 a    b
    2
b


với a  b  0 (D – 2007) 17) 2 3  2 3  x  x y  y  y x với x  y  0
18)
b c b a c a
b c b
               
a b c
aabbcc abc
 
với a,b, c  0 và a  b . 19) 3
 với a,b, c  0
x y y
x x y
20) 3a.2a  b.2b  c.2c   a  b  c2a  2b  2c với a,b,c 21) ln 2
        2

với x, y  0
22) b  a ln b b 
a
b a a
  với x(0;1)
2
xn x
ne
Giải:
1) ex 1 x với x  0 (1*)
(1*)  ex 1 x  0 với x  0
Cách 1 Xét hàm số: f (x)  ex 1 x với x  0 . Ta có: f '(x)  ex 1 0 x  0
Từ bảng biến thiên ta có: f (x)  0 với x  0 hay ex 1 x  0 với x  0 (đpcm)
Cách 2 (thực chất là cách trình bày khác của Cách 1)
Xét hàm số: f (x)  ex 1 x với x  0
Ta có: f '(x)  ex 1 0 với x  0 và f '(x)  0 x  0
 f (x) đồng biến với x  0 nên với x  0 f (x)  f (0)  0
hay ex 1 x  0 với x  0 (đpcm)

www.MATHVN.com
f x e x x x x
n
ex x x x
      với x  0 ; n N (đpcm)
n
    ; lim f ( x ) lim  e x x
1
     với x  0 ; a 1; n
et t t t
     với t  0 ; n (quay về ý 2))
Trang 34
2)
2
ex x x x
 1    ...
 vớix  0 ; n
n
n
2 !
Xét hàm số:
2
f x e x x x
      .
( ) 1 ...
n
2 !
x
n
n
Ta sẽ đi chứng minh: ( ) 0 n f x  (*) với x  0 ; n
+) Với n 1: 1f (x)  ex 1 x 1  f '(x)  ex 1 0 với x  0 và f '(x)  0 khi x  0
 hàm số 1f (x) đồng biến với x  0 1 1  f (x)  f (0)  0 . Vậy (*) đúng với n 1
+) Giả sử (*) đúng với n  k hay f ( x ) 
0 k 2 k k
1
+) Ta cần chứng minh (*) đúng với n  k 1 hay  
1( ) 1 ... 0
2 ! 1 !
x
k
k k

        

. Thật vậy:
2
f x e x x x
'
1( ) 1 ...
k
2 !
x
k
k        ( ) 0 k  f x  (theo giả thiết quy nạp) và '
1( ) 0 k f x   khi x  0
 hàm số f ( x ) đồng biến với x  0  f ( x )  f (0)  0 . Vậy (*) đúng với n  k 1
k  1k  1 k  1 2
Theo phương pháp quy nạp
1 ...
2 !
3) ex  x 1 với x. (3*)
(3*) ex  x 1 0 với x
Xét hàm số: f (x)  ex  x 1 với x . Ta có: f '(x)  ex 1  0 x  0
và lim f ( x ) lim  e x x
1
x x
 
    
x x
 
Từ bảng biến thiên ta có: f (x)  0 với x
hay ex  x 1  0 với x (đpcm)
4)
 2   ln ln
1 ln ...
2! !
n
x x a x a
a x a
n
Đặt t  x ln a  ax  ex ln a  et với t  0
Khi đó bài toán được phát biểu lại là: Chứng minh
2
1 ...
n
n
2 !
5) ln(1 x)  x với x  0
Xét hàm số: f (x)  ln 1 x  x với x  0 .
f x x
Ta có: '( )  1 
 1  
0
x x
1 1
 
với x  0
 hàm số f (x) nghịch biến với x  0  f (x)  f (0)  0
hay ln 1 x  x  0 với x  0 (đpcm)

www.MATHVN.com
n 
n
x x x
    
n n f x
1 ! '( )   1  ! 
0
n n
x x x x x x
       
n n
f x  ex  x   x  x với x
x f x f
x f x f
f x e x x x
ex  x   x  x với x (đpcm)
x x x f x x x
    
      với x  0; x  1
x x x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x
Trang 35
6)
 
      
 
x x 2
xn x
ln 1 ...
n
2 !
với x  0
Xét hàm số:
 
x 2
f ( x ) ln 1 x ...
xn x
       
n
2 !
 
với x  0
Ta có:
1
 
1 ...
2 2
1 ... 1 ...
2 ! 2 !
với x  0
 f (x) nghịch biến với x  0  f (x)  f (0)  0 hay:
 
      
 
x x 2
xn x
ln 1 ...
n
2 !
với x  0 (đpcm)
7)
2
ex  cos x  2
 x  x với x
2
Xét hàm số:
2
( ) cos 2
2
Ta có: f '(x)  ex sin x 1 x và f ''(x)  ex  cos x 1 0 với x
 f '(x) đồng biến với x . Do đó:
0 '( ) '(0) 0
0 '( ) '(0) 0
    
    
và ta có:
2
lim ( ) lim cos 2
2
x
x x
 
 
        
 
Từ bảng biến thiên ta có: f (x)  0 với x hay
2
cos 2
2
x
x x
8) ln 1
1


với x  0; x  1

Xét hàm số: f (x) ln x x 1
  với x  0 và x 1
x
Ta có:
   1 . 1 2 1 2 1 1 1 '( ) 0
2 2
 f (x) nghịch biến với x  0; x  1 .Do đó:
+) Với 0  x 1  f (x)  f (1)  0 hay ln 1 0 ln 1 ln 1
1
 
     

(vì x 1 0 ) (1)
+) Với x 1  f (x)  f (1)  0 hay ln 1 0 ln 1 ln 1
1
 
     

(vì x 1 0 ) (2)
x
x x
Từ (1) và (2)  ln 1
1


với x  0; x  1 (đpcm)

www.MATHVN.com
f x x x x
'( )  1  1  2 1  0   1  2  
5
         
f x x x
lim ( ) lim ln( 1) 1
x   x
 
x x
  
f x x
'( ) 1 4 0
x x
Trang 36
9) ln(x 1)  x 1 với x 1
Xét hàm số f (x)  ln(x 1)  x 1 với x 1
 
Ta có:  
x x x
1 2 1 2 1
  
          ;
và lim f ( x ) lim ln( x 1) x
1
x x
 
1 1
Từ bảng biên thiên ta có: f (x)  2ln 2  2  0
hay ln(x 1)  x 1 với x 1 (đpcm)
10) ln 1 
1
x   x 
x
x

với x  0
+) Xét hàm số: f (x)  ln 1 x  x với x  0
f x x
Ta có: '( )  1 
 1  
0
x x
1 1
 
với x  0
 hàm số f (x) nghịch biến với x  0  f (x)  f (0)  0
hay ln 1 x  x  0 với x  0 (1)
g x x x
+) Xét hàm số: ( ) ln 1 
1
x
  

với x  0
Ta có:
g x x
'( )  1  1  
0
 2  2
x x x
1 1 1
  
với x  0
 hàm số g(x) đồng biến với x  0  g(x)  g(0)  0
hay ln 1  0
1
x

với x  0 (2)
Từ (1) và (2)  ln 1 
1
x   x 
x
x

với x  0 (đpcm).
x x
11) ln( 1) 2
2
x
 

với x  0
f x x x
Xét hàm số: ( ) ln( 1) 2
2
x
  

với x  0
Ta có:
2
   
    
2 2
x x x x
1   2 1  
2
với x  0
 f (x) đồng biến với x  0  f (x)  f (0)  0
hay ln( 1) 2
2
x
 

với x  0 (đpcm)

www.MATHVN.com
    với x  0 .Xét hàm số: f (x) ln 1 1 x2  1 ln x
x 1 1 x 1  x x  1  x 1  x  1 
x f '( x
)
     
x x x x x x x x x x
2 2
x x x x x x x x x x
1  2  1  2  1  2  1   1  1  1  2

0
   
x x x x x x x x
                               
f x x x x
    với x  0 (đpcm)
 
  
f x  x   x    x   x  x  
x
x x x
           
f x x x x x
x x
1 1 1 ln ln 1 ln 1 ln 1 ln 1 ln 1 0
2 2 2 2
                       
   
xx x xx x x x x x x x x x
f x x x x x x
x
      
   (đpcm)
Trang 37
12) ln 1 1 x2  1 ln x
x
     với x  0
x
Ta có:    
  
 
3 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
        
 
  
 
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1
      
với x  0
 hàm số đồng biến trên 0; (1)
Mặt khác:   2
lim ( ) lim ln 1 1 2 1 ln lim ln 1 1 1 0
x x x
  x  x x
(2)
Từ (1) và (2)  f (x)  0 với x  0 hay ln 1 1 x2  1 ln x
x
13) x ln x  1 x2 1  1 x2 với x . Xét hàm số: f (x)  x ln x  1 x2 1 1 x2 với x
x x
  2
Ta có: 2  2
 2 2
1
'( ) ln 1 1 ln 1
1 1
  
Khi đó: f '(x)  0 ln x  1 x2  0 x  1 x2  1 1 x2  1 x
x x
1 0 1
    
      2    2
 
0
1 1 2 0
x
x x x x
và lim ( ) lim ln  1 2  1 1 2
x x
 
Từ bảng biến thiên ta có: f (x)  0 với xR hay x ln x  1 x2 1  1 x2 với xR (đpcm)
x
14)
1 1
2
      
 
xx x
với x 1
Ta có:    
Xét hàm số: ( ) ln  1ln 1
2
f x x x x x

   với x 1
Ta có:  1 
'( ) ln 1 ln 1 ln ln 1 ln 2
2 2 
1
(1)
x x x x x
Mà:  1  2   1  0  2  1  ln 2 
0
x x
1 1
 
(2)
Từ (1) và (2)  f '(x)  0 với x 1 và f '(x)  0 khi x 1 hàm số f (x) đồng biến với x 1
x x  x x 
 f (x)  f (1)  0 hay ln 1ln 1 0
2

www.MATHVN.com
15) ab  ba với 0  a  b 1
Ta có BĐT cần chứng minh: ab ba ln ab ln ba bln a a ln b ln a ln b
       với 0  a  b 1

 với x0;1 . Ta có: 2
b a a b b a
                      
   
a b a b b a a b b a
      với a  b  0
4 ln 4  ln 4  1 4 ln 4  4  1 ln 4  1 '( )  4  1  
0
 
    (đpcm)
x y y x x y y x
                                              
x x y y y x x y xy xy
x y y x x y y x x y
                                                           
 
  với 3
a a t a a a a a f t a
ln .  ln 1  '( )  1  ln  1  ln 1   
0
t a t
Trang 38
a b
Xét hàm số: f (x) ln x
x
f '(x) 1 ln x 0
  với x0;1
x
 f (x) đồng biến với x0;1 . Vậy với 0  a  b 1  f (a)  f (b) hay ln a ln b
 (đpcm).
a b
b a
16) 2 1 2 1
 a      2 a    b
    2
b


với a  b  0 (D – 2007)
Ta có:
            1 1 4 1 4 1 2 2 4 1 4 1 ln 4 1 ln 4 1
a b ab ab
2 2 2 2
        ln 4 1 ln 4 1
ln 4 1 ln 4 1
a b
b a a b
 
a b
Xét hàm số:
ln 4 1
( )
t
f t
t

 với t  0
Ta có:
     
2  4 1
 2
t
t t t t
t
t f t
t 
t
với t  0
 hàm số nghịch biến với t  0
ln 4 a 1 ln 4 b
1
Với a  b  0 f ( a ) f ( b
)
a b
17) 2 3  2 3  x  x y  y  y x với x  y  0
Ta có: 2 3  2 3  2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3
2 2 2 2
                 
1 3 1 3 ln 1 3 ln 1 3 y ln 1 3 x
ln 1 3
2 2 2 2 2 2
                       
ln 1 3 ln 1 3
   x     y
          
  2     2
  
 x y
ln 1 ax  ln 1 ay 
x y
a  (*)
2
Xét hàm số
ln 1 
( )
at
f t

 với t  0
t
Ta có:
     
2  1
 2
t
t t t t t
t
t

với t  0
Vậy f (t) nghịch biến với t  0 . Nên với x  y  0 f (x)  f ( y) hay (*) đúng (đpcm).

www.MATHVN.com
x b f x x a x b x a
                    
b  a b  a b 
a g x
                
     
a b a b a a b b a b b a
b c b c b b c c b c c b
c a c a c c a a c a a c
                 
         
a b a b b a
a b a b a b
b c b c b c
c a c a c a
Trang 39
18)
b c b a c a
b c b
               
x b f x x a
với a,b, c  0 và a  b . Xét hàm số: ( )
       x  b
 
(*) với x, a,b  0
Từ (*) ln ( ) ln  ln
x b x b
x b b a
 
 2 '( ) ln ln '( ) ln ( )
( )
f x x a x b x a b a x a b a x a f x f x f x x b x b x a x b x a
x b


                                           

(1)
Đặt g(x) ln x a b a
x b x a
 
2
   
2 2 '( ) 0
x  a x  b x  a x  a x 
b
với x, a,b  0
 hàm số g(x) nghịch biến với x0;
Mà lim g ( x ) lim ln x a b a
0
                  
  x b x a
x x
 g(x)  0 với x  0 (2)
Từ (1) và (2)  f '(x)  0 với x, a,b  0
 hàm số f (x) đồng biến với x0;
Vậy với c  0  f (c)  f (0) hay
b c b a c a
b c b
               
(đpcm)
a b c
19) 3
aabbcc abc
 
 với a,b, c  0
     
a b c a b c
3 ln   ln 3 3 ln ln ln   ln ln ln 
aabbcc abc aabbcc abc a a b b c c a b c a b c
           
 
Xét hàm số: f (x)  ln x luôn đồng biến với x  0
Khi đó với a,b, c  0 ta luôn có:
  
  
  
ln ln 0 ln ln ln ln
ln ln 0 ln ln ln ln
ln ln 0 ln ln ln ln
       
         
         
 2a ln a  b ln b  c ln c  aln b  ln c  b(ln c  ln a)  c(ln a  ln b) (*)
Cộng 2 vế của (*) với a ln a  b ln b  c ln c ta được:
3a ln a  b ln b  c ln c  a  b  cln a  ln b  ln c (đpcm)
20) 3a.2a  b.2b  c.2c   a  b  c2a  2b  2c với a,b, c
Xét hàm số: f (x)  2x luôn đồng biến với x
Khi đó với a,b,cR ta luôn có:
  
  
  
2 2 0 .2 .2 .2 .2
2 2 0 .2 .2 .2 .2
2 2 0 .2 .2 .2 .2
b c b c c b
c a c a a c
 2a.2a  b.2b  c.2c   a2b  2c  b(2c  2a )  c(2a  2b ) (*)
Cộng 2 vế của (*) với a.2a  b.2b  c.2c ta được: 3a.2a  b.2b  c.2c   a  b  c2a  2b  2c  (đpcm)

www.MATHVN.com
tx x y y x t y x t t
2 2 (  1) 2( 
1)
 với t 1      (  1)   
x y x x t t
 và f (x) liên tục trên a;b
 
    
xn x x n x n x x n
       
ne ne e
n n
                      
n x x n nx x x x n nx nx n
2 1 2 2 . . ... 2 2 2 2
n n n n
n e n e
f n f n f c n n
Trang 40
x y y
x x y
21) ln 2
        2

với x, y  0
Đặt t x 
y
x
2  2  (  1) 
1
Khi đó bài toán trở thành chứng minh: 2 1
ln
1
t
t
t



với t 1
Xét hàm số
2 1
( ) ln
1
t
f t t
t

 

với t 1
Ta có:
2
f t t
1 4 
'( )    ( 1) 
0
   
2 2
t t t t
1 1
 
với t 1  hàm số đồng biến với t 1
Với t 1 2 1
( ) (1) 0 ln 0
1
t
f t f t
t

     

hay
2 1
ln
1
t
t
t



với t 1 (đpcm)
22) b  a ln b b 
a
  với 0  a  b
b a a
Ta có: b  a b  
 ln  b a  1  ln b ln a 
1
b a a b b 
a a
Xét hàm số: f (x)  ln x với xa;b ta có: f '(x) 1
x
Áp dụng định lý La – gơ – răng  c a;b : f (b) f (a) f '(c) ln b ln a 1
b  a b 
a c
(1)
Mặt khác: 0 a c b 1 1 1
      (2)
b c a
Từ (1) và (2)  1  ln b 
ln a 
1
b b 
a a
(đpcm)
23) . 1 1
  với x(0;1)
2
xn x
ne
Ta có:     . 1 1 2 1 1 2 1 2 1
2 2
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:     
2 1 2 1
2
2
2 1 2 1
n
n
n n
Ta cần chứng minh:
2 1 2 1 2 1 ln 2 ln 1
2 1 2 1
                  
2n 1 ln 2n  ln 2n 1  1 hay ln 2 1 ln 2  1
2 1
n n
n
  

Xét hàm số: f (x)  ln x với x2n;2n 1 ta có: f '(x) 1
 và f (x) liên tục trên 2n;2n 1
x
Áp dụng định lý La – gơ – răng  c2n; 2n 1 : (2  1) 
(2 ) '( ) ln 2 1 ln 2  1
n n c
2 1 2
    
 
(1)
Mặt khác: 2 1 1 1
2 1
c n
   
c n

(2)
Từ (1) và (2) ln 2 1 ln 2  1
2 1
n n
n
   

(đpcm)

Bt luy thua_mu_logarit_phan1-t.tung-www.mathvn.com

Bt luy thua_mu_logarit_phan1-t.tung-www.mathvn.com

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (19)

Viewers also liked

Viewers also liked (14)

Similar to Bt luy thua_mu_logarit_phan1-t.tung-www.mathvn.com

Similar to Bt luy thua_mu_logarit_phan1-t.tung-www.mathvn.com (20)

Bt luy thua_mu_logarit_phan1-t.tung-www.mathvn.com