Simulasi 11

2
 Variabel Random Kontinyu
 Distribusi Probabilitas Uniform
 Distribusi Probabilitas Eksponensial
 Distribusi Probabilitas Normal
 Distribusi Porbabilitas Gamma
 Distribusi Probabilitas Weibull

3
6.56.05.55.04.54.03.53.02.52.01.51.0
0.15
0.10
0.05
0.00
Minutes
P(x)
Minutes to Complete Task: By Half-Minutes
0.0. 0 1 2 3 4 5 6 7
Minutes
P(x)
Minutes to Complete Task: Fourths of aMinute
Minutes
P(x)
MinutestoCompleteTask:Eighthsof aMinute
0 1 2 3 4 5 6 7
Interval waktu dapat dibagi menjadi:
Interval 0.5 menit Interval 0.25 menit Interval 0.125 menit
Interval kecil tak terbatas Jika sebuah variabel random diskrit dibagi
menjadi interval kecil yang tidak terbatas,
maka perhitungan probabilitasnya ditentukan
oleh sebuah rentangnilai dan nilai probabilitas
adalah luas area di bawah kurva dalam
rentang tersebut. Untuk contoh di samping,
dinyatakan dengan P(2<X<3).
76543210
Minutes
f(z)
DARI DISKRIT MENJADI KONTINYU

4
VARIABEL RANDOM KONTINYU
 Variabel Random Kontinyu adalah sebuah variabel random yang dapat
berupa sembarang nilai pada suatu interval yang diamati.
 Probabilitas dari variabel random kontinyu X ditentukan oleh sebuah fungsi
densitas, dinotasikan dengan f(x), dan memiliki beberapa sifat berikut.
f(x) > 0 untuk setiap nilai x.
Probabilitas bahwa X berada diantara dua nilai a dan b
adalah sama dengan luas area dibawah f(x) yang dibatasi
oleh a dan b.
Total luas area di bawah kurva f(x) adalah 1.00.

Departemen Teknik Industri FTI-ITB
FUNGSI DENSITAS DAN KUMULATIF
5
F(x)
f(x)
x
x
0
0
ba
F(b)
F(a)
1
ba
}
P(a < X < b) = Area di bawah
f(x) yang dibatasi oleh a dan b
= F(b) - F(a)
P(a X b)=F(b) - F(a)
Fungsi
kumulatif
Fungsi
densitas

DISTRIBUSI UNIFORM KONTINYU (1)
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3
6
Densitas uniform [0,5] :
1/5 for 0 < X < 5
f(x)=
0 lainnya
E(X) = 2.5
{
6543210-1
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0.
x
f(x)
Total luas area f(x) = 1/5 * 5 = 1.00
Luas area di bawah f(x)
Interval 1 sampai 3 = P(1<X<3)
= 2.(1/5) = 2/5
Distribusi Uniform

Definisi:
Jika variabel random X memiliki nilai (kontinyu) dengan kemungkinan
kemunculan yang sama maka dikatakan bahwa variabel random (kontinyu) x
mengikuti distribusi uniform dengan fungsi densitas probabilitas:
1/( - ), untuk <x<
f(x)=
0 untuk x lainnya.
Ekspektasi dan variansi:
E(X)=( + )/2 dan V(X)= ( - )2/12
7
{

Contoh:
 Dalam program komputer simulai terdapat subrutin pembangkit bilangan
random uniform dalam interval [0,10]. Sebuah proses simulasi akan akan
berhenti (terminate) bila terjadi kemunculan sebuah bilangan random [3/2 ,
7/2]. Jika dilakukan replikasi pembangkitan bilangan random, berapa
kemungkinan proses tersebut akan berhenti (terminate)?
 Persoalan tersebut mengikuti distribusi uniform kontinyu dengan fungsi
f(x)=1/10 untuk [1,10], dengan demikian probabilitas bahwa proses simulasi
akan berhenti adalah P(3/2<x<7/2)=0,2.
8

DISTRIBUSI EKSPONENSIAL (1)
Distribusi eksponensial memiliki kaitan erat dengan distribusi Poisson
(dari proses poisson) jika persoalan didekati dari variabel interval
antar kedatangan.
9
Dari uraian tentang distribusi poisson diperoleh
kemungkinan tidak ada kedatangan sebagai t
ep )0( .
Kemungkinan ini dapat diinterpretasikan sebagai
kemungkinan bahwa tidak ada kejadian kedatangan pada
rentang waktu sampai terjadinya kedatangan pertama lebih
besar dari t atau 0,)()0( tetTPp t
.
Untuk variabel random waktu kedatanganT , maka dapat
diperoleh besarnya kemungkinan melalui
0,1)()( tetTPtF t
. Dengan demikian diperoleh
.0,)(')( tetFtf t

10
Definisi:
Sebuah variabel random (kontinyu) X menyatakan interval
waktu antar kedatangan dimana kejadian kedatangan
tersebut mengikuti proses Poisson, dikatakan mengikuti
distribusi eksponensial dengan fungsi distribusi:
lainnya.x0
0)( xexf x
Parameter pemusatan dan penyebaran adalah sebagai
berikut :
0
x-
e)( dxxXE /1 dan
2
0
2
/1)( dxexXV x
2
/1

 Sebuah peralatan dilengkapi dengan komponen pengaman untuk
melindungi peralatan dari kegagalan. Berdasarkan data dan
pengamatan yang panjang, komponen pengaman tersebut memiliki
daya tahan yang dinyatakan oleh variabel random satuan waktu
(minggu) T yang berdistribusi eksponensial dengan parameter =1/5.
Saat ini perusahaan memiliki 5 set peralatan terpisah (independent)
dimana masing-masing dilengkapi dengan komponen pengaman
yang diasumsikan identik. Dari perhitungan pesanan masuk yang
harus dipenuhi, perusahaan menginkan peralatan tersebut tidak
mengalami kegagalan total untuk memenuhi pesanan yang
direncanakan akan dipenuhi dalam 8 minggu. Jika diinginkan paling
sedikit dua peralatan dapat beroperasi untuk memenuhi pesanan
tersebut, berapa besar kemungkinan tersebut terjadi?
11

12
Dalam kasus tersebut, perusahaan harus dapat memperkirakan
ketersediaan (availability) bahwa sebuah peralatan masih dapat
bekerja selama paling sedikit 8 minggu. Kemungkinan bahwa
suatu komponen pengaman masih akan berfungsi setelah 8
minggu adalah
8
5/
5
1
)8( dteTP t
= e-8/5
~ 0,2.
Selanjutnya, misalkan X sebagai variabel random yang
menyatakan banyaknya komponen pengaman yang masih
berfungsi setelah 8 minggu dengan kemungkinan p=0.2, dengan
menggunakan fungsi distribusi kemungkinan binomial, dapat
diperoleh kemungkinan paling sedikit dua peralatan dapat
beroperasi sebagai berikut
5
2
)2.0,5;()2(
x
xbXP
=1-
1
0
)2.0,5;(
x
xb = 0,68.

DISTRIBUSI PROBABILITAS NORMAL (1)
13
Untuk p 0,5 dan dengan meningkatnya n, distribusi binomial
menjadi …
n = 6 n = 14n = 10
6543210
0.3
0.2
0.1
0.0
x
P(x)
Binomial Distribution: n=6, p=.5
109876543210
0.3
0.2
0.1
0.0
x
P(x)
14131211109876543210
0.3
0.2
0.1
0.0
x
P(x)
50-5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
x
f(x)
Normal Distribution: = 0, = 1
Distribusi yang
berbentuk kurva seperti
lonceng (bell)

 Distribusi kemungkinan variabel random kontinyu yang terpenting dalam
statistika adalah distribusi normal, yang merupakan variabel random yang
berasal dari proses random dengan satu titik pemusatan dan menyebar
disekitar titik pemusatan tersebut secara simetris.
 Dikenal sebagai distribusi Gauss, sebagai orang pertama yang
mempublikasikannya pada tahun 1809 (bentuk matematika pertama kali
diturunkan dari distribusi binomial oleh DeMoivre 1733 dan Laplace 1775)
dan selanjutnya dipromosikan sebagai sebuah dalil probabilitas untuk setiap
variabel random kontinyu.
14

15
Fungsi densitas probabilitas normal:
50-5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
x
f(x)
xxf
x
e
2
1
)(
2
2
1 /-
Definisi
Sebuah variabel random (kontinyu) x ( x ) dikatakan mengikuti
distribusi normal dengan parameter lokasi pemusatan dan parameter
penyebaran (variansi) 02
jika mengikuti fungsi distribusi
kemungkinan berikut : xxf
x
e
2
1
)(
2
2
1
/-
dimana ...14159,3 dan e = 2,71828…(bilangan natural).

16
 Kurva normal membentuk:
Kurva lonceng dan berdistribusi simetris, sehingga setengah (.50 or 50%)
bagian akan berada di salah satu sisi dari rata-rata.
Setiap kurva dicirikan oleh pasangan rata-rata, , dan variansi, , dan
dintayakan dengan: [X~N( )].
Setiap kurva bersifat asymptotik.
Luas area di bawah kurva fungsi densitas probabilitas normal dalam
rantang k dari adalah sama untuk setiap distribusi, berapapun
besarnya nilai rata-rata dan variansi.

17
 Distribusi ini digunakan sangat luas dan seringkali
dinotasikan dengan
2~ ,NX .
 Jika dan diketahui maka lokasi dan bentuk kurva
normal dapat diketahui.
 Nilai parameter (parameter lokasi) yang semakin
besar akan menggeser kurva ke kanan, dan nilai
parameter (parameter bentuk) yang semakin
membesar akan menyebabkan kurva normal semakin
landai (memperbesar jarak dari pemusatan ke posisi
titik-titik belok kurva).

18
Beberapa sifat penting fungsi densitas probabilitas normal:
i. Luas daerah di bawah kurva 1)( dxxf .
Dengan melakukan transformasi linier /)(xy , akan
diperoleh fungsi distribusi kemungkinan normal standar
2
2
1
2
1
)(
y
eyf . Kemudian definisikan bentuk satuan berikut
dyeI
y2
2
1
2
1
,
dan pertimbangkan sebuah bentuk satuan dari variabel random
Z yang juga mengikuti fungsi distribusi kemungkinan normal standar
dzeI
z2
2
1
2
1
.

19
Selanjutnya definisikan perkalian kedua bentuk satuan
tersebut sebagai berikut
dzdyedzedyeI
zyzy
2
1
=
2
1
2
1 )(2
22
2
12
2
12
2
1
.
Gunakan transformasi berikut cosdan,sin rzry , maka
dapat diperoleh
.1
2
1
0
2
00
2
2
2
12
2
1
drerdrderI
rr
Karena 12
I , maka 1
2
1 2
2
1
dyeI
y
.
ii.Untuk setiap nilai variabel random X, nilai 0)(xf .

20
iii. Kurva fungsi distribusi kemungkinan normal bersifat
assymptotic pada kedua sisinya (tail), atau 0)(lim
x
xf dan
0)(lim
x
xf .
iv. Kurva fungsi distribusi kemungkinan normal simetris di kiri
dan kanan lokasi pemusatan , atau xfxf .
v. Nilai maksimum (modus) dari kurva fungsi distribusi
kemungkinan normal )(xf berada pada lokasi pemusatan
x .
vi. Titik belok (point of onflections) dari kurva fungsi distribusi
kemungkinan normal )(xf berada pada titik-titik x .
Kurva memiliki bentuk cekung dari bawah untuk
- <x< + , dan cekung dari atas untuk harga x lainnya.

21
Kedua parameter fungsi normal dan 2
adalah rata-
rata (ekspektasi )(XE ) dan variansi ( 2
)(XV )
distribusi probabilitas normal.
Bukti :
e
2
1
)(
-
/- 2
2
1
dxxXE
x
.
Gunakan transformasi /)(xz , dan diperoleh :
.)0()1(
e
2
e
2
1
e
2
)(
)(
-
-
-
-
-
-
2
2
12
2
1
2
2
1
dz
z
dz
dz
z
XE
zz
z

22
Selanjutnya hitung variansi sebagai berikut:
.10
2
1
2
2
2
)(
])[()(
22
2
22
)(
2
2
2
1
12
1
1
2
1
1
2
1
1
dzee
z
dze
z
dxe
x
XEXV
zz
z
X

23
Besarnya nilai probabilitas variabel random normal
ditentukan dengan formulasi berikut :
dxexXPxF
ux 2
2
1
)(
2
1
)()( .
Nilai probabilitas tersebut tidak dapat dihitung secara
analitis matematis melalui persamaan integral di atas, untuk
itu digunakan tabel distribusi normal yang diperoleh melalui
pendekatan numerik.

24
Beberapa pendekatan numerik yang dapat digunakan untuk
menentukan besarnya nilai probabilitas adalah:
i. Pendekatan Hoyt (1968) menggunakan fungsi
31untuk)3(
1untuk)3(
2
16
1
2
8
1
xx
xx
pendekatan ini memberikan kesalahan kurang dari 0.01.
ii.Pendekatan Polya (1945) menggunakan fungsi
2/12
2
1
)}/2exp(1{1)( xxF
.
Pendekatan ini memberikan kesalahan maksimum
sebesar 0.003 pada x=1.6.

25
iii. Pendekatan Burr (1967) menggunakan fungsi
kc
xxG )(11)(
dimana =0.644693, =0.161984,c =4.874, dan k=-
6.158. Pendekatan yang lebih baik dengan fungsi G(x)
adalah )](1)([)( 2
1
xGxGxH . Dengan pendekatan ini
memberikan kesalahan maksimum adalah 0.00046 pada
x=0.6 dan x=-0.6.
Pendekatan lainnya dapat dilihat pada:
Johnson, N.L. & Kotz, S., (1970), Continuous Univariate
Distribution, JWS.

26
Semua kurva di bawah ini mengikuti distribusi normal dengan nilai rata-
rata dan variansi yang berbeda
50-5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
z
f(z)
Normal Distribution: =0, =1
454035
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
w
f(w)
6050403020100
0.2
0.1
0.0
x
f(x)
65554535
0.2
0.1
0.0
y
f(y)
50
Perhatikan bahwa:
P(39 W 41)
P(25 X 35)
P(47 Y 53)
P(-1 Z 1)
Nilai probabilitas dari
setiap interval adalah luas
area di bawah kurva
fungsi densitas
probabilitas normal.

27
543210-1-2-3-4-5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
Z
f(z)
Standard Norm al Distribution
• Probabilitas bahwa variabel random
normal berada dalam rentang satu
deviasi standar dari rata-rata adalah
0.6826, atau sekitar 0.68.
normal berada dalam rentang dua
0.9544, atau sekitar 0.95.
normal berada dalam rentang tiga
0.9974.

DISTRIBUSI NORMAL STANDAR (1)
28
Variabel random normal standar, Z, adalah variabel random
normal dengan rata-rata = 0 dan deviasi standar = 1: Z~N(0,12).
543210- 1- 2- 3- 4- 5
0 . 4
0 . 3
0 . 2
0 . 1
0 . 0
Z
f(z)
Standard Normal Distribution
=0
=1
{

P(0 < Z < 1.56)
29
543210-1-2-3-4-5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
Z
f(z)
1.56
{
z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09
0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359
0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753
0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141
0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517
0.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.1879
0.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.2224
0.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2517 0.2549
0.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.2852
0.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.3133
0.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.3389
1.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3621
1.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.3830
1.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.4015
1.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.4177
1.4 0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.4319
1.5 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.4406 0.4418 0.4429 0.4441
1.6 0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.4545
1.7 0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608 0.4616 0.4625 0.4633
1.8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.4706
1.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750 0.4756 0.4761 0.4767
2.0 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.4817
2.1 0.4821 0.4826 0.4830 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.4850 0.4854 0.4857
2.2 0.4861 0.4864 0.4868 0.4871 0.4875 0.4878 0.4881 0.4884 0.4887 0.4890
2.3 0.4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.4904 0.4906 0.4909 0.4911 0.4913 0.4916
2.4 0.4918 0.4920 0.4922 0.4925 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.4936
2.5 0.4938 0.4940 0.4941 0.4943 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.4952
2.6 0.4953 0.4955 0.4956 0.4957 0.4959 0.4960 0.4961 0.4962 0.4963 0.4964
2.7 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.4970 0.4971 0.4972 0.4973 0.4974
2.8 0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.4977 0.4978 0.4979 0.4979 0.4980 0.4981
2.9 0.4981 0.4982 0.4982 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4985 0.4986 0.4986
3.0 0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.4990 0.4990
Probabilitas Normal Standar
Lihat pada baris 1.5
dan kolom .06 untuk
menemukan
P(0<z<1.56) = 0.4406

P(Z < -2.47)
30
Untuk P(Z<-2.47):
Lihat tabel untuk 2.47
P(0 < Z < 2.47) = .4934
P(Z < -2.47) = .5 - P(0 < Z < 2.47)
= .5 - .4934 = 0.0066
543210-1-2-3-4-5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
Z
f(z)
Nilai tabel area 2.47
P(0 < Z < 2.47) = 0.4934
Area di sebelah kiri -2.47
P(Z < -2.47) = .5 - 0.4932
= 0.0068
z ... .06 .07 .08
. . . .
. . . .
. . . .
2.3 ... 0.4909 0.4911 0.4913
2.4 ... 0.4931 0.4932 0.4934
2.5 ... 0.4948 0.4949 0.4951
.

P(1< Z < 2)
31
z .00 ...
. .
. .
. .
0.9 0.3159 ...
1.0 0.3413 ...
1.1 0.3643 ...
. .
. .
. .
1.9 0.4713 ...
2.0 0.4772 ...
2.1 0.4821 ...
. .
. .
. .
Temukan P(1 < Z < 2):
1. Temukan nilai tabel 2.00
F(2) = P(Z < 2.00) = .5 + .4772 =.9772
2. Temukan nilai tabel 1.00
F(1) = P(Z < 1.00) = .5 + .3413 = .8413
3. P(1 < Z < 2.00) = P(Z < 2.00) - P(Z < 1.00)
= .9772 - .8413 = .1359
543210-1-2-3-4-5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
Z
f(z)
Luas area diantara 1 dan 2
P(1 < Z < 2) = .4772 - .8413 = 0.1359

P(0 < Z < Z) = 0.40
32
Temukan z sehingga
P(0 < Z < z) = .40:
Temukan nilai probabilitas
sedekat mungkin dengan .40
dari tabel kemungkinan normal
standar.
•Tentukan nilai z pada baris dan
kolom yang sesuai.
P(0<z<1.28) 0.40
Karena P(Z < 0) = .50
P(Z <1.28) .90
543210-1-2-3-4-5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
Z
f(z)
Area = .40 (.3997)
Z = 1.28
Luas area di kiri 0 = .50
P(z 0) = .50
z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09
0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359
0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753
0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141
0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517
0.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.1879
0.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.2224
0.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2517 0.2549
0.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.2852
0.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.3133
0.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.3389
1.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3621
1.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.3830
1.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.4015
1.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.4177
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .

P(-Z.005< Z < Z.005) = 0.99
33
z .04 .05 .06 .07 .08 .09
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
2.4 ... 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.4936
2.5 ... 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.4952
2.6 ... 0.4959 0.4960 0.4961 0.4962 0.4963 0.4964
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
Untuk memperoleh probabilitas 0.99 di
tengah distribusi, akan ada (1/2)(1-.99) =
(1/2)(.01) = .005 di ekor (tail) distribusi,
dan (1/2)(.99) = .495 setengah dari
interval .99, atau :
P(0<Z<z.005) = .495
Dari tabel probabilitas normal standar:
2,57 < z.005 <  2,58
z.005  2,575
P(-.2575 < Z < 2,575) = .99 543210-1-2-3-4-5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
Z
f(z) -z.005 z.005
Area di ekor kanan = .005
Area di ekor kiri = .005
Area di kanan = .495
Area di kiri = .495
2.575-2.575
Area di tengah = .99

TRANSFORMASI VARIABEL RANDOM NORMAL
34
Luas area dalam interval k dari rata-rata untuk variabel random normal
adalah sama. Jadi area di bawah kurva normal ekuivalan dengan area di bawah kurna
normal standar. Contoh: P(40 X P(-1 Z untuk dan
1009080706050403020100
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0.00
X
f(x)
=10
{
543210-1-2-3-4-5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
Z
f(z)
1.0
{
Transformasi pada
(2) Pembagian dengan x)
Transformasi X menjadi Z:
Z
X x
x
Transformasi sebaliknya Z
menjadi X:
X x Z x
(1) Pengurangan: (X - x)

35
Contoh:
X~N(160,302)
P X
P
X
P Z
P Z
( )
.
. . .
100 180
100 180
100 160
30
180 160
30
2 6667
0 4772 0 2475 0 7247
Contoh
X~N(127,222)
P X
P
X
P Z
P Z
( )
.
. . .
150
150
150 127
22
1 045
0 5 0 3520 0 8520

(MINITAB)
36
MTB > cdf 100;
SUBC> normal 160,30.
Cumulative Distribution Function
Normal with mean = 160.000 and standard
deviation = 30.0000
x P( X <= x)
100.0000 0.0228
MTB > cdf 180;
Normal with mean = 160.000 and standard
deviation = 30.0000
x P( X <= x)
180.0000 0.7475
MTB > cdf 150;
Normal with = 127.000 and = 22.0000
x P( X <= x)
150.0000 0.8521

(MINITAB)
37
Contoh
X~N(383,122)
P X
P
X
P Z
P Z
( )
. .
. . .
394 399
394 399
394 383
12
399 383
12
0 9166 1 333
0 4088 0 3203 0 0885
440390340
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0.00
X
f(X)
MTB > cdf 394;
Normal with mean = 383.000 and standard deviation = 12.0000
x P( X <= x)
394.0000 0.8203
MTB > cdf 399;
x P( X <= x)
399.0000 0.9088
543210-1-2-3-4-5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
Z
f(z)

(EXCEL)
38

39
Transformasi X menjadi Z:
Z
X x
x
Transformasi kebalikan Z menjadi X:
X
x
Z
x
Transformasi X menjadi Z, dengan nilai a dan b:
P X a P Z
a
P X b P Z
b
P a X b P
a
Z
b
( )
( )
( )

40
z .07 .08 .09
. . . . .
. . . . .
. . . . .
1.1 . . . 0.3790 0.3810 0.3830
1.2 . . . 0.3980 0.3997 0.4015
1.3 . . . 0.4147 0.4162 0.4177
. . . . .
. . . . .
. . . . .
Untuk menemukan nilai probabilitas dengan interval tertentu
untuk sembarang variabel random normal adalah dengan
mengekspresikan interval tersebut dalam satuan
deviasi standar dari rata-ratanya.
Jika X~N(50,102), P(X >70) dapat diperoleh karena 70 adalah 2 deviasi
standar di atas rata-rata X: 70= +2 . P(X > 70) ekuivalen dengan P(Z >
2), luas area di bawah kurva normal standar.
P X P
x
P Z P Z( ) ( )70
70 70 50
10
2
Contoh:
X~N(124,122)
P(X > x) = 0.10 dan P(Z > 1.28) 0.10
x = + z = 124 + (1.28)(12) = 139.36

41
z .02 .03 .04
. . . . .
. . . . .
. . . . .
2.2 . . . 0.4868 0.4871 0.4875
2.3 . . . 0.4898 0.4901 0.4904
2.4 . . . 0.4922 0.4925 0.4927
. . . . .
. . . . .
. . . . .
z .05 .06 .07
. . . . .
. . . . .
. . . . .
1.8 . . . 0.4678 0.4686 0.4693
1.9 . . . 0.4744 0.4750 0.4756
2.0 . . . 0.4798 0.4803 0.4808
. . . . .
. . . . .
Contoh: X~N(5.7,0.52)
P(X > x)=0.01 dan P(Z > 2.33) 0.01
x = + z = 5.7 + (2.33)(0.5) = 6.865
Contoh: X~N(2450,4002)
P(a<X<b)=0.95 dan P(-1.96<Z<1.96) 0.95
x = z = 2450 ± (1.96)(400) = 2450 ±784=(1666,3234)
P(1666 < X < 3234) = 0.95
8.27.26.25.24.23.2
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
8.27.26.25.24.23.2
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
X
f(x)
Normal Distribution: = 5.7 = 0.5
543210-1-2-3-4-5
z Z.01 = 2.33
Area = 0.49
Area = 0.01
4000300020001000
0.0015
0.0010
0.0005
0.0000
X
f(x)
Normal Distribution: = 2450 = 400
4000300020001000
0.0015
0.0010
0.0005
0.0000
543210-1-2-3-4-5
Z
.4750.4750
.0250.0250
-1.96 1.96
X.01 = +z = 5.7 + (2.33)(0.5) = 6.865

42
4000300020001000
0.0012
0.0010
0.0008
0.0006
0.0004
0.0002
0.0000
X
f(x)
.
.
.
.
.
.
543210-1-2-3-4-5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
Z
f(z)
S tand ard Norm al D istrib utio n
1.Gambarkan distribusi
normal yang ingin diteliti
dan distribusi normal
standar.
2.Arsir daerah probabilitas
yang diteliti.
3.Dari tabel distribusi normal
standar, temukan nilai z.
4.Transformasikan nilai z
menjadi x (nilai variabel
random asal).

43
4. Transformasi
nilai z ke nilai x
x = z
= 2450 ± (1.96)(400)
= 2450 ± 784
=(1666,3234)
z .05 .06 .07
. . . . .
. . . . .
. . . . .
1.8 . . . 0.4678 0.4686 0.4693
1.9 . . . 0.4744 0.4750 0.4756
2.0 . . . 0.4798 0.4803 0.4808
. . . . .
. . . . .
3. Temukan nilai z
dari tabel
normal standar
z=-1,96 dan
z=1.96
1. Distribusi normal
dan normal standar.
2. Arsir daerah 0.95
(masing-masing
0.475 di kiri dan
kanan.
400300200100
0.0012
0.0010
0.0008
0.0006
0.0004
0.0002
0.0000
X
f(x)
Nor al Distribution: = 2450, = 40
.
.
.
.
.
.
.4750.4750
.9500
543210-1-2-3-4-5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
Z
f(z)
S tand ard Norm al D istrib utio n
.4750.4750
.9500
-1.96 1.96

44
Using EXCEL

PENDEKATAN UNTUK BINOMIAL (1)
45
1050
0.3
0.2
0.1
0.0
X
f(x)
Normal Distribution: = 3.5, = 1.323
76543210
0.3
0.2
0.1
0.0
X
P(x)
Binomial Distribution: n = 7, p = 0.50
Distribusi normal dengan = 3.5 dan = 1.323 mendekati
distribusi binomial dengan n = 7 dan p = 0.50.
P(x<4.5) = 0.7749
MTB > cdf 4.5;
SUBC> normal 3.5 1.323.
Normal with mean = 3.50000 and standard deviation =
1.32300
x P( X <= x)
4.5000 0.7751
MTB > cdf 4;
SUBC> binomial 7,.5.
Binomial with n = 7 and p = 0.500000
x P( X <= x)
4.00 0.7734
P( x 4) = 0.7734
=0.0017

46
1050
0.3
0.2
0.1
0.0
X
f(x)
Normal Distribution: = 5.5, = 1.6583
11109876543210
0.2
0.1
0.0
X
P(x)
Binomial Distribution: n = 11, p = 0.50
Distribusi normal dengan = 5.5 dan = 1.6583 pendekatan yang lebih
baik untuk distribusi binomial dengan n = 11 dan p = 0.50.
P(x<4.5) = 0.2732
P(x 4) = 0.2744
MTB > cdf 4.5;
SUBC> normal 5.5 1.6583.
x P( X <= x)
4.5000 0.2732
MTB > cdf 4;
SUBC> binomial 11,.5.
Binomial with n = 11 and p = 0.500000
x P( X <= x)
4.00 0.2744
=0.0012

47
Definisi:
Bila X variabel random binomial dengan rata-rata = np
dan variansi 2
= npq, maka bentuk pendekatan adalah
distribusi ,
npq
npX
Z bila n adalah distribusi normal
baku N(0,1).
Dari perhitungan, distribusi normal memberikan pendekatan
nilai probabilitas yang baik terhadap distribusi binomial bila
n besar dan p mendekati 0.5, bahkan bila n mengecil tapi p
tidak terlalu jauh dari 0.5 masih diperoleh pendekatan yang
cukup baik.

48
P a X b P
a np
np p
Z
b np
np p
( ) 
( ) ( )1 1
for large (n 50) and not too close to 0 or 1.00n p
P a X b P
a np
np p
Z
b np
np p
( ) 
.
( )
.
( )
05
1
05
1
for moderately large (20 n < 50).n
Atau:
Jika p kecil (mendekati 0) atau besar (mendekati 1), gunakan
pendekatan dengan distribusi Poisson.
Untuk n besar (n>50) dan p tidak mendekati 0 atau 1.00
Untuk n sedang (20<n<50)

49
Suatu proses menghasilkan sejumlah produk (dengan kemungkinan
dproduk cacat 10%). Bila 100 produk diambil secara acak, berapakah
kemungkinan bahwa terdapat lebih dari 13 produk cacat?
Dalam kasus ini, banyaknya cacat berdistribusi binomial dengan
parameter n= 100 dan p=0,1. Karena ukuran sampel besar dilakukan
pendekatan dengan fungsi kemungkinan normal dimana parameternya
adalah 10)1,0)(100(np , dan 0,3)9,0)(1,0)(100(npq .
Karena ingin diamati kemungkinan bahwa terdapat lebih dari 13 produk
cacat, maka dicari probabilitas x>13. Untuk kasus diskrit, digunakan
batas x=13.5, dan harga z yang sesuai adalah 167,13/)105.13(z .
Dari tabel diperoleh kemungkinan z>1.167 adalah 0.1216.

PERHITUNGAN DENGAN EXCEL (1)
50
 Dalam EXCEL, perintah NORMSDIST(number) akan memberikan
nilai probabilitas kumulatif dari variabel random normal standar.
 Perintah NORMDIST(number, mean, standard deviation) akan
memberikan nilai probabilitas dari variabel random normal secara
umum.

PERHITUNGAN DENGAN EXCEL (2)
51
Contoh:
 NORMSDIST(1.0) = 0.8413.
 NORMDIST(10.0, 5, 2) = 0.9938.
 Perintah inversinya NORMSINV(number) dan NORMINV(number,
mean, standard deviation).
 NORMSINV(0.975) = 1.96.
 NORMINV(0.975, 20, 10) = 39.6.

DISTRIBUSI NORMAL MULTIVARIAT (1)
52
Distribusi dalam analisis multivariat umumnya adalah
distribusi multivariat normal sebagai perluasan dari
distribusi normal univariat.
Terdapat dua landasan pokok untuk hal tersebut, yaitu :
i. Kasus pengukuran multivariat seringkali adalah bentuk
penjumlahan dari beberapa pengaruh random yang
independen. Dengan teorema central limit, beberapa
variabel tadi membentuk distribusi normal multivariat.
ii.Teori statistika yang berlandaskan pada distribusi normal
terbukti telah menunjukkan keberhasilan dalam
melakukan kajian secara terstruktur dan sistematis.

53
Nilai ekspektasi dari sebuah vektor variabel random
X=(X1,…,Xm)’ adalah ')(),...,()( 1 mXEXEXE .
Jika X mempunyai rata-rata matriks variansi-
kovariansi X didefinisikan sebagai matriks (mxm) berikut
)')(()( XXEXCov .
Elemen ke-i dan ke-j dari matriks variansi-kovariansi
adalah )])([( jjiiij XXE , sedangkan elemen ke-i
dikenal sebagai variansi ])[( 2
iiii XE .

54
 Agar variansi variabel random Xi ada, maka matriks
definit nonnegatif. Karena similaritas kovariansi, maka
matriks adalah matriks simetris, sehingga ' .
 Sebuah matriks simetris (mxm) A disebut definit non-
negatif jika 0'A untuk semua
m
R dan pasti positif
jika 0' A untuk semua 0,m
R .
m
R adalah ruang
Euklidean berdimensi m dengan komponen real.
)()'(
2
1
exp)(det)2()( 12/12/
xxxf m
x

DISTRIBUSI PROBABILITAS GAMMA (1)
55
Distribusi gamma dikenal dari fungsi gamma yang banyak digunakan
dalam bidang matematika. Fungsi gamma didefinisikan oleh
0
1
)( dxex x
untuk 0 .
Jila dilakukan integrasi parsial atas
1
xu dan dv=e-x
dx, maka akan
diperoleh
0
21 )1(
0
)( dxxexe xx
=
0
2
)1( dxxe x
,
sehingga dihasilkan pengulangan fungsi gamma )1()1()( ,
)2()2)(1()( , dan seterusnya jika =n, dimana n bilangan
bulat positif, maka
)1()...2)(1()( nnn
. Karena menurut definisi
fungsi gamma 0
1)1( dxe x
, maka )!1()( nn .
Satu sifat penting fungsi gamma, adalah )2/1( .

56
Definisi
Sebuah variabel random kontinyu X berdistribusi gamma
dengan parameter bila 0 dan 0 , bila mengikuti
fungsi
/1
)(
1
)( x
exxf x > 0
= 0, untuk x lainnya.
Parameter pemusatan dan penyebaran adalah sebagai
berikut :
)(XE dan
22
)(XV .

57
Hal ini dapat dibuktikan dengan mengevaluasi momen ke-r di
sekitar titik asal distribusi gamma adalah
0
/1'
)(
1
)( dxexXE rr
r .
Jika dimisalkan y=x/ , maka 0
/1'
)(
dyeyr
r
r
)(
)( rr
.
Dengan demikian )(
)1('
1 , dan
22
2
2'
2
2
)(
)2(
=
2
Distribusi gamma yang khusus (spesifik) untuk =v/2, =2,
dan v bilangan bulat positif disebut distribusi khi-kuadrat (chi-
square) dengan degree of freedom v.

58
Proposisi:
Jika niXi ,...,2,1, adalah variabel random gamma independen
dengan parameter ),( i , maka
n
i iX1 juga gamma dengan
parameter ,1
n
i i .
(parameter /1adalah )
Proposisi:
Jika niXi ,...,2,1, adalah variabel random independen
eksponensial independen dan identik dengan rata-rata ,
maka
n
i iX1 adalah variabel random gamma dengan
parameter ),(n .

DISTRIBUSI PROBABILITAS WEIBULL (1)
59
Distribusi Weibull (Waloddi Weibull, Swedish, 1939) banyak digunakan
dalam analisis keandalan yang berkiatan dengan umur (rentang
waktu), contohnya rantang waktu dimana sebuah peralatan mungkin
akan rusak (tidak berfungsi).
Definisi
Variabel random kontinyu T berdistribusi Weibull, dengan dua
parameter 0 dan 0 , jika fungsi padatnya mengikuti
at
ettf 1
)( untuk t > 0, dan f(t)=0, untuk t lainnya
Parameter pemusatan dan penyebaran adalahsebagai berikut :
1
1)( /1
TE dan
2
/22 1
1
2
1)(TV

60
Dengan menggunakan analogi, fungsi distribusi kemungkinan
Weibull dapat mencakup tiga parameter W( , , ) dan fungsi
keandalannya didefinisikan oleh
,t,exp),,;(
1
tt
tf dan
t
tR exp),,;( .
Mean time to failure (MTTF) dan variansinya adalah
1
),,;(TE dan
12
),,;( 22
TVar .

61
Distribusi Weibull digunakan secara luas dalam analisis keandalan
yang mengeneralisasi aplikasi distribusi tersebut dengan
menyertakan hazard rate yang tidak konstan, meningkat atau
menurun, dan mencakup initial failure serta wear-out failures.
kerusakan karena terjadi wear-
out causes dan chance causes
laju
kerusakan
Kerusakan karena terjadinya early
causes dan chance causes
hanya terjadi
chance failure
t

Simulasi 11

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Simulasi 11

Similar to Simulasi 11 (20)

More from Fazri Alfarizzi

More from Fazri Alfarizzi (11)

Simulasi 11