sudut antara 2 vektor geometri analitik ruang 1

1. Kelompok V
A2
• Siti Rohana
• Agnes Ervinda
• Farly Galih S
• Marianus Hengki
• Robby Dini S
• Kukuh Imaduddin

2. Kosinus sudut antara dua vektor

3. Cosinus sudut antara dua vektor sama dengan jumlah hasil kali cosinus arah dua vektor
tersebut yang berkorespondensi.
Misalkan O adalah pusat bola satuan, dan titik O ini adalah titik awal segmen-segmen garis
yang mewakili dua vektor u dan v yang tidak nol . Misalkan P₁ dan P₂ adalah titik yang
merupakan irisan antara segmen yang mewakili vektor–vektor tersebut dengan permukaan
bola satuan di atas. Maka koordinat P₁ adalah (ℓ₁ , m₁ , n₁ ) dan koordinat P₂ adalah (ℓ₂ , m₂ ,
n₂ ) dengan ℓ₁ ,m₁ dan n₁ adalah cosinus arah u dan ℓ₂ , m₂ dan n₂ adalah cosinus arah v.
Sudut antara u dan v kita sebut θ adalah sudut antara segmen garis berarah OP₁ dan OP₂
GEOMETRI ANALITIK RUANG
Pengertian

4. GEOMETRI ANALITIK RUANG
Gambar

5. Jika Kita gunakan rumus cosinus, maka kita peroleh
|P₁P₂|² = |OP₁|² + | OP₂|² - 2|OP₁||OP₂| cos θ
Kita ketahui bahwa |OP₁| = |OP₂| = 1 ( jari–jari bola satuan ) dan
|P₁P₂|² = ( ℓ₂ - ℓ₁ )² + ( m₂ - m₁ )² + ( n₂ - n₁ )² maka menjadi :
( ℓ₂ - ℓ₁ )² + ( m₂ - m₁ )² + ( n₂ - n₁ )² = 1 + 1 – 2 cos θ
cos θ =
2 − 𝓁₂−𝓁₁ 2+ m₂− m₁ 2+ (n₂−n₁)²
2
cos θ =
2−(𝓁₂²+m₂²+n₂²+𝓁₁²+m₁²+n₁²−2𝓁₁𝓁₂−2m₁m₂−2n₁n₂)
2
cos θ =
2−(1 + 1 −2𝓁₁𝓁₂−2m₁m₂−2n₁n₂)
2
cos θ =
2−2 +2(𝓁₁𝓁₂ + m₁m₂ + n₁n₂)
2
GEOMETRI ANALITIK RUANG
lanjutan
Cos Ө = ℓ₁ℓ₂ + m₁m₂ + n₁n₂

6. Jika u = [u₁ , u₂ , u₃ ] dan v = [v₁ , v₂ ,v₃ ], maka cosinus sudut antara vektor u dan u adalah :
cos θ = ℓ₁ℓ₂ + m₁m₂ + n₁n₂
=
U₁
|U|
⦁
V₁
|V|
+
U₂
|U|
⦁
V₂
|V|
+
U₃
|U|
⦁
V₃
|V|
cos θ =
V₁U₁ + V₂U₂ + V₃U₃
|V| ⦁ |U|
Contoh :
Jawab:
Cari cosinus sudut antara vektor u = [2 ,-1 ,3 ] dan v = [ 3 ,2 ,4 ].
Penyelesaian : cos θ =
6 − 2 +12
14 ⦁ 29
=
16
14 ⦁ 29
GEOMETRI ANALITIK RUANG
Lanjutan

7. Bentuk u₁v₁ + u₂v₂ +u₃v₃ Kita beri nama khusus, yaitu “perkalian skalar” atau “dot product”
(perkalian titik ) atau “linear product” dari dua vektor u dan v dan kita tulis u ⦁ v .
Jadi perkalian skalar atau perkalian titik atau linier product dari dua vektor di atas yang
berkorepondensi.
Jadi :
Juga jika vektor u dan v kedua duanya bukan vektor nol, cosinus sudut antaradua vektor diatas adalah
cos θ =
u ⦁ v
u . |v|
Dari perkalian ini kita peroleh :
u⦁ v = |u| . |v| cos θ
atau
u₁ v₁ + u₂ v₂ + u₃ v₃ = |u| . |v| cos 𝜃
GEOMETRI ANALITIK RUANG
Perkalian skalar
u ⦁ v = u₁ v₁ + u₂ v₂ + u₃ v₃

8. jika u ⦁ v = 0
u ⊥ v atau v ⊥
Dengan alasan definisi di atas vektor nol selalu tegak lurus kepada setiap vektor.
Jika u dan v ≠ vektor nol, tapi u ⦁ v = 0,
maka sudut antara kedua vektor di atas adalah 90° atau 270°.
u // v
Dua vektor u dan v yang bukan vektor nol adalah sejajar, jika komponen skalar vektor u sebanding dengan
komponen skalar vektor v.
Jika u₁ = k v₁ , u₂ = k v₂ , dan u₃ = k v₃ atau v₁ = k’ u₁ , v₂ = k’ u₂ , dan v₃ = k’ u₃ , dengan k atau k’ tidak sama
dengan nol, maka u // v.
• Jika k atau k’ positif maka kedua vektor tersebut sejajar dan searah.
• jika k atau k’ negatif maka kedua vektor diatas sejajar tapi berlawanan arah.
GEOMETRI ANALITIK RUANG
Lanjutan

9. Cosinus arah dua vektor u dan v disebut sama, jika dan hanya jika kedua vektor tersebut sejajar dan
searah. Kita lihat contoh berikut.
Misalkan
u₁
|u|
=
v₁
|v|
,
u₂
|u|
=
v₂
|v|
dan
u₃
|u|
=
v₃
|v|
Dari ketentuan ini kita peroleh
u₁ =
|u|
|v|
v₁ , u₂ =
|u|
|v|
v₂ , u₃ =
|u|
|v|
v₃
Yang selanjutnya bisa kita tulis :
u₁ = k v₁ , u₂ = k v₂ dan u₃ = k v₃ dengan k > 0 , maka vektor u dan v adalah sejajar dan searah.
GEOMETRI ANALITIK RUANG
Kesamaan Cosinus arah dua vektor

10. Sebaliknya :
Kita misalkan u₁ = k v₁ , u₂ = k v₂ dan u₃ = k v₃
Kita kuadratkan bentuk-bentuk di atas itu maka diperoleh :
u₁² = k² v₁²
u₂² = k² v₂²
+
u3
2 = k2 v3
2
u₁
²
+ u₂
²
+ u₃
²
= k²(v₁
²
+ v₂
²
+ v₃
²
)
k² =
u₁
²
+ u₂
²
+ u₃
²
v₁
² + v₂
² + v₃
²
k = ±
u₁
² + u₂
² + u₃
²
v₁
² + v₂
² + v₃
²
k = ±
u
v
GEOMETRI ANALITIK RUANG
Lanjutan

11. Karena syaratnya k adalah positif, kita ambil nilai k yang positif saja.
Jika k =
|u|
|v|
Maka:
u₁ =
|u|
|v|
v₁ , u₂ =
|u|
|v|
v₂ , u₃ =
|u|
|v|
v₃
atau
u₁
|u|
=
v₁
|v|
,
u₂
|u|
=
v₂
|v|
dan
u₃
|u|
=
v₃
|v|
Karena itulah vektor u dan v sejajar dan searah.
GEOMETRI ANALITIK RUANG
contoh

12. SEKIAN
&
TERIMAKASIH