1

1. Тема 6. КООРДИНАТИ І ВЕКТОРИ
ПРЯМОКУТНІ КООРДИНАТИ В ПРОСТОРІ.
Просторову систему координат утворюють три взаємно перпендикулярні числові прямі x, y, z, які
перетинаються в т.О. Точка О – початок координат.
Ці прямі утворюють відповідні координатні площини (xy), (yz), (xz).
Координати точки простору: А(x; y; z)
x – абсциса, y – ордината, z – апліката.
Виберемо у просторовій системі координат т.А. Площина, що
проходить через т.А і паралельна площині (yz), перетинає вісь
ОХ в т.Ах; аналогічно вісь OY – в т.Аy, вісь OZ – в т.Аz.
Координатою х називають число, яке за абсолютною
величиною дорівнює довжині відрізка ОАх.
Якщо т.Ах збігається з т.О, то х = 0.
Координатою y називають число, яке за абсолютною
величиною дорівнює довжині відрізка ОАy.
Якщо т.Аy збігається з т.О, то y = 0.
Координатою z називають число, яке за абсолютною величиною дорівнює довжині відрізка ОАz.
Якщо т.Аz збігається з т.О, то z = 0.
Нехай точка О – середина відрізка А1А2. A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2) і О(x; y; z)
Координати точки О визначаються за формулами:
2
21 xx
x
+
=
2
21 yy
y
+
=
2
21 zz
z
+
=
Нехай точка Т лежить на відрізку АВ, причому АТ:ТВ = m.
Якщо Т(x; y; z), А(x1; y1; z1), В(x2; y2; z2), то
,
1
21
m
mxx
x
+
+
= ,
1
21
m
myy
y
+
+
=
m
mzz
z
+
+
=
1
21
Це формули поділу відрізка в даному відношенні.
Відстань між точками A1(x1; y1; z1) і A2(x2; y2; z2) (довжина відрізка А1А2) визначається за
формулою:
( ) ( ) ( )2
12
2
12
2
1221 zzyyxxAA −+−+−=
ВЕКТОРИ У ПРОСТОРІ. ОПЕРАЦІЇ НАД ВЕКТОРАМИ
Вектором називається напрямлений відрізок.
Позначення:
а , АВ або а , АВ (А – початок вектора АВ , В – кінець вектора АВ )
Абсолютною величиною вектора називається довжина відрізка, яким зображується даний вектор.

2. а – абсолютна величина вектора а
Побудовано вектори АС , ВС , МК .
АС і МК – однаково напрямлені
МК і ВС , АС і ВС – протилежно напрямлені
Нульовий вектор – це вектор, в якого початок збігається з кінцем.
Одиничний вектор – це вектор, абсолютна величина якого дорівнює 1.
Рівні вектори однаково напрямлені і рівні за абсолютною величиною.
Колінеарними називаються вектори, що лежать на одній прямій або на паралельних прямих.
Властивість колінеарних векторів: ba ⋅= λ
Додавання векторів
Правило "трикутника"
cba =+
Правило "паралелограма"
cba =+
Правило "паралелепіпеда"
cbad ++=
Віднімання векторів
cba =−

3. Координатами вектора у просторі з початком в точці А1(x1; y1; z1) і кінцем у точці A2(x2; y2; z2)
називаються числа х2 – х1, y2 – y1, z2 – z1.
21AA (х2 – х1; y2 – y1; z2 – z1)
Властивості:
• рівні вектори мають рівні координати;
• вектори з рівними координатами рівні.
Дії над векторами
• Сумою векторів а (а1; а2; а3) і b (b1; b2; b3) називається вектор c ( а1 +b1; а2 +b2; а3 +b3).
• Добутком вектора а (а1; а2; а3) на число λ називається вектор аλ (λа1; λа2; λа3)
Напрям вектора аλ збігається з напрямом вектора а , якщо λ > 0, і буде протилежним, якщо λ < 0.
Орт – це одиничний вектор, напрям якого збігається з напрямом координатної осі.
Позначення ортів: 1e , 2е , 3e або i , j , k
1e – орт осі ОХ
Координати ортів: 1e (1; 0; 0), 2е (0; 1; 0), 3e (0; 0; 1)
Розкладання вектора на складові у площині
yx aaa +=
де xa – проекція вектора a на вісь ОХ, ya – проекція вектора a на вісь OY.
1e і xa – колінеарні
2е і ya – колінеарні, 2е – орт осі OY
Тоді 1eax ⋅= λ , 2eay ⋅= µ . Отже, 21 eea µλ +=
Розкладання вектора на складові у просторі
zyx aaaa ++=
де xa – проекція вектора a на вісь ОХ, ya – проекція вектора a на вісь OY, za – проекція вектора a
на вісь OZ.
Тоді 1eax ⋅= λ , 2eay ⋅= µ , 3eaz ⋅=ν , 3e – орт осі OZ.
Отже, 321 eeea νµλ ++=
Оскільки орти відмінні від нуля і не колінеарні, то будь-який вектор а (а1; а2; а3) можна записати у
вигляді: 321 eeea νµλ ++= (*)
Визначимо λ, µ, ν.
Помножимо рівняння (*) на 1е . Врахувавши, що скалярний добуток однойменних ортів дорівнює
1, одержимо: ( ) ( ) 11321 0;0;1;; aeaaaa =⋅ , λλ =⋅ 11 ee , 012 =⋅eeµ , 013 =⋅eeν .
Отже, 1aλ = .

4. Аналогічно, якщо рівняння (*) помножити на 2е , то одержимо: µ = а2.
І якщо рівняння (*) помножити на 3е , то одержимо: ν = а3.
В результаті одержимо розклад вектора на складові:
332211 еаеаеаа ⋅+⋅+⋅= або kаjаiаа ⋅+⋅+⋅= 321
ФОРМУЛИ ДЛЯ ОБЧИСЛЕННЯ ДОВЖИНИ ВЕКТОРА, КУТА МІЖ ВЕКТОРАМИ, ВІДСТАНІ
МІЖ ДВОМА ТОЧКАМИ
Скалярний добуток векторів
Нехай дано вектори );;( zyx aaaa і );;( zyx bbbb .
Скалярним добутком векторів a та b називається число, що дорівнює сумі добутків їх
однойменних координат. ab = а1b1 + а2b2 + а3b3
Скалярний добуток векторів a та b позначається символом ba ⋅ , або ( )ba, .
Отже,
a · b = ( )ba, = ax bx + ay by + az bz . (1)
Нехай φ — кут між векторами a і b , тоді скалярним добутком векторів a та b є число, що
дорівнює добуткові довжин цих векторів на косинус кута φ між ними, тобто
( ) ϕcos, bababa ==⋅ . (2)
З (2), враховуючи (1), випливає, що
222222
cos
zyxzyx
zzyyxx
bbbaaa
bababa
++⋅++
++
=ϕ (3)
Якщо вектори a і b взаємно перпендикулярні, то φ =
2
π
, тоді cos φ = 0, звідки випливає умова
перпендикулярності : ax bx + ay by + az bz = 0.
Різнойменні орти – взаємно перпендикулярні.
Скалярний добуток різнойменних ортів дорівнює нулю.
Довжина вектора а (а1; а2; а3) обчислюється за формулою: 2
3
2
2
2
1 aaaa ++=
Кутом між ненульовими векторами АВ і АС називається кут ∠ ВАС.
Кутом між будь-якими ненульовими векторами а і b називається кут між
векторами, що дорівнюють даним і мають спільний початок.
Кут між двома векторами можна обчислити через скалярний добуток цих
векторів:
ba
ab
⋅
=ϕcos
Якщо скалярний добуток ненульових векторів дорівнює нулю, то ці вектори перпендикулярні.

5. СИМЕТРІЯ ВІДНОСНО ПОЧАТКУ КООРДИНАТ ТА КООРДИНАТНИХ ПЛОЩИН
Симетрія відносно початку координат
Перетворення фігури, при якому довільна її точка А(x; y; z) переходить у точку A'(-x; -y; -z),
називається центральною симетрією відносно початку координат.
Отже, точки А(x; y; z) і S(-x; -y; -z) є симетричними відносно початку координат, тобто відносно
точки О(0; 0; 0).
Симетрія відносно координатної осі
Точки А(x; y; z) і В(x; -y; -z) симетричні відносно осі ОХ.
Точки А(x; y; z) і С(-x; y; -z) симетричні відносно осі ОY.
Точки А(x; y; z) і D(-x; -y; z) симетричні відносно осі ОZ.
Симетрія відносно координатної площини
Точки А(x; y; z) і M(x; y; -z) симетричні відносно координатної площини xy.
Точки А(x; y; z) і K(x; -y; z) симетричні відносно координатної площини xz.
Точки А(x; y; z) і N(-x; y; z) симетричні відносно координатної площини yz.