SlideShare a Scribd company logo
1 of 27
Зміст навчального матеріалу по темі:


     1. Вектори у просторі. Рівність векторів.
            2. Колінеарність векторів.
           3. Компланарність векторів.
             4. Координати вектора.
       5. Додавання і віднімання векторів.
6. Множення вектора на число. Властивості дій над
                    векторами.
7. Кут між векторами. Скалярний добуток векторів.
        8. Розкладання вектора по ортах.
               9. Сюжетна задача.
Вектори у просторі. Рівність векторів.

Вектором називається напрямлений відрізок. Напрям
вектора позначається його початком і кінцем. На
малюнку напрям вектора позначається стрілкою.




Якщо початок вектора збігається з його кінцем, то
вектор називається нульовим і позначається 0 .
Вектори однаково
                            напрямлені , якщо
                            однаково напрямлені
                            півпрямі, що містять дані
                            вектори.




Вектори протилежно
напрямлені, якщо
протилежно напрямлені
півпрямі, що містять дані
вектори.
Завдання
Назвати однаково напрямлені та протилежно
напрямлені вектори.
Абсолютна величина вектора або модуль вектора – це
довжина відрізка, що зображає вектор.
Абсолютна величина позначається |а| і обчислюється за
формулою
                         2           2              2
        a = a1               +2
                              a          +3
                                          a
Вектори рівні, якщо вони суміщаються паралельним
перенесенням.
                             Рівні вектори однаково напрямлені
                             і рівні за абсолютною величиною.
                             Рівні вектори мають рівні
                             відповідні координати.
                                                            1 = b1
                                                            a
                                                           
                           a(a1,a2,a3) = b   (b1,b2,b3)<=>  2 = b2
                                                            a
                                                            =b
                                                            a
                                                            3    3
Завдання: Записати всі можливі векторні рівності.
Колінеарні вектори
 Колінеарні вектори – це два ненульові вектори, які
 лежать на одній прямій або на паралельних прямих.
 Умова колінеарності векторів:
 Відношення відповідних координат векторів – рівні.
                                   b1 b2 b3
a і b колінеарні, якщо   b = λ *a ⇔  =  =
                                   a1 a2 a3

 1. Чи колінеарні вектори a (2,3,8) і   b   (-4,6, -16)?
 2. При якому значення n і m вектори a (15,m,1) і b
 (18,12,n) - колінеарні?
Компланарність векторів
Три вектори називаються компланарними, якщо
відповідні їм напрямлені відрізки розміщені у
паралельних площинах.
Вектори ОА, ОВ, ОС компланарні тільки за
умови, що точки О,А,В,С лежать в одній площині.

Завдання: Чи компланарні вектори a (3;2;0),

   b (6;3;0), c (8;1;0)?
Координати вектора
Координатами вектора a називаються числа
а1=х2-х1, а2=у2-у1, а3=z2-z1.
Щоб знайти координати вектора, треба від
координат кінця вектора відняти координати його
початку.

Завдання:
1. А(2;3;4), В(1;1;1). Знайти координати векторів AB
та   BA .
2. Які координати вектора   AO , якщо А(5;1;-3), точка
   О – початок координат.
.Додавання векторів Правило трикутника




Отже, сумою двох векторів a і b називається третій вектор c , початок
якого збігається з початком a , а кінець – з кінцем вектора b при умові,
що кінець вектора a збігався з початком вектора b .

Правило паралелограма (для неколінеарних векторів): a + b = c .
Якщо два вектори виходять з однієї точки, то вектор суми цих
b векторів є діагоналлю паралелограма, побудованого на даних
векторах.
Додавання векторів.
Сумою векторів a (а1, а2, а3) та b (в1, в2, в3)
називається вектор с з координатами : а1+в1, а2+в2,
а3+в3.




Сумою трьох не колінеарних векторів, що виходять з однієї
точки, є діагональ паралелепіпеда, побудованого на цих
векторах, яка виходить з цієї ж точки.
Якщо треба знайти суму кількох векторів, можна скористатися
правилом многокутника (див. рисунок).
Завдання по темі “Додавання векторів”

1. Дано a ( 2;0;3), b(0;4;−1) . Знайти координати суми


даних векторів.



2. Дано вектори a(2;− 3;5), b(2;4;3), c(4;1;8) .


Чи правильно, що c = b + a .
Віднімання векторів
Різницею векторів a (а1,а2,а3) і b (в1,в2,в3)
називається вектор c , координати якого: а1-в1,а2-
в2,а3-в3.




 Щоб відняти два вектори, потрібно відкласти їх від спільної точки,
 з'єднати кінці і стрілку поставити до того вектора, від якого
 віднімаємо
Множення вектора на число

     Добутком вектора                             a на число λ є вектор
                                 a      =(λа1,λа2,λа3).
Властивості:
1.    (a1 , a2 , a3 ) * λ = λ * (a1 , a2 , a3 )
2. Для будь – якого вектора а і чисел λ і μ має місце рівність:

     (λ + µ ) * a = λ * a + µ * a
3. Для будь – яких векторів а і в і числа λ має місце рівність.
     λ * ( a + b) = λ * a + λ * b
Абсолютна величина вектора λ * a                      дорівнює:


λ * a = (λ * a1 ) 2 + (λ * a2 ) 2 + (λ * a3 ) 2 = λ * a1 + a2 + a3 = λ * a
                                                                  2   2   2
Скалярний добуток векторів
Скалярним добутком векторів a 1, а2, а3) і b (в1, в2, в3)
                                     (а
є число (скаляр) а1*в1+ а2*в2+а3*в3.
Кутом між ненульовими векторами AB і AC називається
кут ВАС – кут між векторами, що дорівнюють даним і
мають спільний початок.

 Теорема: Скалярний добуток векторів дорівнює
 добутку модулів векторів на косинус кута між ними.

 Якщо a * b  0 , то кут гострий; a * b  0 – кут тупий,
  a * b = 0 – кут прямий (вектори перпендикулярні).

 Умова перпендикулярності векторів – скалярний
 добуток дорівнює 0.
Завдання по темі “Скалярний добуток векторів”



1. Чи перпендикулярні вектори    a (2;3;6) і b (3;2;-1) ?

2. При якому значення m вектори a (6;0;12) і b (-
   8;13; m) перпендикулярні ?


3. Який кут утворюють вектори a (-5;0;0) і b (0;3;0) ?
Розкладання вектора по ортах

Вектор називається одиничним, якщо модуль
вектора дорівнює 1.
Одиничні вектори, які мають напрями додатних
координатних півосей, називаються ортами.
Для будь – якого вектора   a (а , а , а ) маємо:
                              1   2   3




     a = a1 * e1 + a2 * e2 + a3 * e3
Сюжетна задача
Дано чотири точки А(1;2;3), В(-2;4;1), С(0;2;5), Д(1;-4;2).
Знайти:
1. Координати          AB   і       CD   .
2. Модулі       AB і CD         .
3.   AB     +   CD
4.   AB - CD
5. 3* AB        CD
                ; ½*
6.   3* AB + ½*CD
7. Чи колінеарні вектори?
8.   AB * CD
9. Cos φ між векторами. Чи перпендикулярні вектори?
10. Розкласти по ортах.

More Related Content

What's hot

властивості арифметичного квадратного кореня
властивості арифметичного квадратного коренявластивості арифметичного квадратного кореня
властивості арифметичного квадратного кореняГергель Ольга
 
Коло, описане навколо трикутника. Коло, вписане в трикутник.
Коло, описане навколо трикутника. Коло, вписане в трикутник.Коло, описане навколо трикутника. Коло, вписане в трикутник.
Коло, описане навколо трикутника. Коло, вписане в трикутник.sveta7940
 
Презентація:Системи рівнянь другого степеня з двома змінними
Презентація:Системи рівнянь другого степеня з двома зміннимиПрезентація:Системи рівнянь другого степеня з двома змінними
Презентація:Системи рівнянь другого степеня з двома зміннимиsveta7940
 
Презентація:Раціональні числа. Ірраціональні числа, дійсні числа, числові мно...
Презентація:Раціональні числа. Ірраціональні числа, дійсні числа, числові мно...Презентація:Раціональні числа. Ірраціональні числа, дійсні числа, числові мно...
Презентація:Раціональні числа. Ірраціональні числа, дійсні числа, числові мно...sveta7940
 
презентація аксіоми стереометрії.ppt
презентація аксіоми стереометрії.pptпрезентація аксіоми стереометрії.ppt
презентація аксіоми стереометрії.pptssuser908bb6
 
Презентація до уроку №4 "Співвідношення між сторонами і кутами в прямокутному...
Презентація до уроку №4 "Співвідношення між сторонами і кутами в прямокутному...Презентація до уроку №4 "Співвідношення між сторонами і кутами в прямокутному...
Презентація до уроку №4 "Співвідношення між сторонами і кутами в прямокутному...kurchenkogalina
 
Презентація:Розв"язування прямокутних трикутників
Презентація:Розв"язування прямокутних трикутниківПрезентація:Розв"язування прямокутних трикутників
Презентація:Розв"язування прямокутних трикутниківsveta7940
 
Квадратична функція
Квадратична функція Квадратична функція
Квадратична функція Anetico
 
Геометрія. 10 клас. Тематична контрольна робота № 4 Тема: “Перпендикулярність...
Геометрія. 10 клас. Тематична контрольна робота № 4 Тема: “Перпендикулярність...Геометрія. 10 клас. Тематична контрольна робота № 4 Тема: “Перпендикулярність...
Геометрія. 10 клас. Тематична контрольна робота № 4 Тема: “Перпендикулярність...270479
 
Методичний посібник «Правильні многокутники»
Методичний посібник «Правильні многокутники»Методичний посібник «Правильні многокутники»
Методичний посібник «Правильні многокутники»Valyu66
 
Властивість точки, рівновіддаленої від усіх сторін многокутника
Властивість точки, рівновіддаленої від усіх сторін многокутникаВластивість точки, рівновіддаленої від усіх сторін многокутника
Властивість точки, рівновіддаленої від усіх сторін многокутникаЛюдмила Кирилюк
 
вписані описані чотирикутники 1
вписані описані чотирикутники 1вписані описані чотирикутники 1
вписані описані чотирикутники 1Lesya74
 
перпендикулярність прямих і площин у просторі
перпендикулярність прямих і площин у просторіперпендикулярність прямих і площин у просторі
перпендикулярність прямих і площин у просторіЮра Марчук
 
розвязування трикутників 9 клас
розвязування трикутників 9 класрозвязування трикутників 9 клас
розвязування трикутників 9 класОльга Костенко
 
Числовые промежутки
Числовые промежуткиЧисловые промежутки
Числовые промежуткиИлья Сыч
 
Рівняння і нерівності з модулями
Рівняння і нерівності з модулямиРівняння і нерівності з модулями
Рівняння і нерівності з модулямиtcherkassova2104
 
Графічний спосіб розв’язування системи двох лінійних рівнянь з двома змінними
Графічний спосіб розв’язування системи двох лінійних рівнянь з двома зміннимиГрафічний спосіб розв’язування системи двох лінійних рівнянь з двома змінними
Графічний спосіб розв’язування системи двох лінійних рівнянь з двома зміннимиOlexandr Lazarets
 

What's hot (20)

властивості арифметичного квадратного кореня
властивості арифметичного квадратного коренявластивості арифметичного квадратного кореня
властивості арифметичного квадратного кореня
 
Коло, описане навколо трикутника. Коло, вписане в трикутник.
Коло, описане навколо трикутника. Коло, вписане в трикутник.Коло, описане навколо трикутника. Коло, вписане в трикутник.
Коло, описане навколо трикутника. Коло, вписане в трикутник.
 
Презентація:Системи рівнянь другого степеня з двома змінними
Презентація:Системи рівнянь другого степеня з двома зміннимиПрезентація:Системи рівнянь другого степеня з двома змінними
Презентація:Системи рівнянь другого степеня з двома змінними
 
Презентація:Раціональні числа. Ірраціональні числа, дійсні числа, числові мно...
Презентація:Раціональні числа. Ірраціональні числа, дійсні числа, числові мно...Презентація:Раціональні числа. Ірраціональні числа, дійсні числа, числові мно...
Презентація:Раціональні числа. Ірраціональні числа, дійсні числа, числові мно...
 
презентація аксіоми стереометрії.ppt
презентація аксіоми стереометрії.pptпрезентація аксіоми стереометрії.ppt
презентація аксіоми стереометрії.ppt
 
Урок узагальнення 6 клас
Урок узагальнення 6 класУрок узагальнення 6 клас
Урок узагальнення 6 клас
 
Презентація до уроку №4 "Співвідношення між сторонами і кутами в прямокутному...
Презентація до уроку №4 "Співвідношення між сторонами і кутами в прямокутному...Презентація до уроку №4 "Співвідношення між сторонами і кутами в прямокутному...
Презентація до уроку №4 "Співвідношення між сторонами і кутами в прямокутному...
 
Презентація:Розв"язування прямокутних трикутників
Презентація:Розв"язування прямокутних трикутниківПрезентація:Розв"язування прямокутних трикутників
Презентація:Розв"язування прямокутних трикутників
 
Квадратична функція
Квадратична функція Квадратична функція
Квадратична функція
 
теорема вієта
теорема вієтатеорема вієта
теорема вієта
 
Геометрія. 10 клас. Тематична контрольна робота № 4 Тема: “Перпендикулярність...
Геометрія. 10 клас. Тематична контрольна робота № 4 Тема: “Перпендикулярність...Геометрія. 10 клас. Тематична контрольна робота № 4 Тема: “Перпендикулярність...
Геометрія. 10 клас. Тематична контрольна робота № 4 Тема: “Перпендикулярність...
 
Методичний посібник «Правильні многокутники»
Методичний посібник «Правильні многокутники»Методичний посібник «Правильні многокутники»
Методичний посібник «Правильні многокутники»
 
многокутники 9кл,2
многокутники 9кл,2многокутники 9кл,2
многокутники 9кл,2
 
Властивість точки, рівновіддаленої від усіх сторін многокутника
Властивість точки, рівновіддаленої від усіх сторін многокутникаВластивість точки, рівновіддаленої від усіх сторін многокутника
Властивість точки, рівновіддаленої від усіх сторін многокутника
 
вписані описані чотирикутники 1
вписані описані чотирикутники 1вписані описані чотирикутники 1
вписані описані чотирикутники 1
 
перпендикулярність прямих і площин у просторі
перпендикулярність прямих і площин у просторіперпендикулярність прямих і площин у просторі
перпендикулярність прямих і площин у просторі
 
розвязування трикутників 9 клас
розвязування трикутників 9 класрозвязування трикутників 9 клас
розвязування трикутників 9 клас
 
Числовые промежутки
Числовые промежуткиЧисловые промежутки
Числовые промежутки
 
Рівняння і нерівності з модулями
Рівняння і нерівності з модулямиРівняння і нерівності з модулями
Рівняння і нерівності з модулями
 
Графічний спосіб розв’язування системи двох лінійних рівнянь з двома змінними
Графічний спосіб розв’язування системи двох лінійних рівнянь з двома зміннимиГрафічний спосіб розв’язування системи двох лінійних рівнянь з двома змінними
Графічний спосіб розв’язування системи двох лінійних рівнянь з двома змінними
 

Viewers also liked

обєм призми
обєм призмиобєм призми
обєм призмиLesya74
 
Вектори та їх властивості
Вектори та їх властивостіВектори та їх властивості
Вектори та їх властивостіFormula.co.ua
 
підготовка до контрольної роботи №3
підготовка до контрольної роботи №3підготовка до контрольної роботи №3
підготовка до контрольної роботи №3Lesya74
 
Геометрія 9 клас Єршова, Голобородько от Freegdz.com
Геометрія 9 клас Єршова, Голобородько от Freegdz.comГеометрія 9 клас Єршова, Голобородько от Freegdz.com
Геометрія 9 клас Єршова, Голобородько от Freegdz.comfreegdz
 
степінь з від'ємним показником до уроку
степінь з від'ємним показником до урокустепінь з від'ємним показником до уроку
степінь з від'ємним показником до урокуНаталя Томин
 
конспект уроку. вектори
конспект уроку. векториконспект уроку. вектори
конспект уроку. векториorestznak
 
15424 нестандартний урок з алгебри в 9 класі з елементами ділової гри “ що, я...
15424 нестандартний урок з алгебри в 9 класі з елементами ділової гри “ що, я...15424 нестандартний урок з алгебри в 9 класі з елементами ділової гри “ що, я...
15424 нестандартний урок з алгебри в 9 класі з елементами ділової гри “ що, я...jasperwtf
 
Учительська презентація
Учительська презентаціяУчительська презентація
Учительська презентаціяsctok
 
Арифметична прогресія
Арифметична прогресіяАрифметична прогресія
Арифметична прогресіяFormula.co.ua
 
Вертикальні та суміжні кути
Вертикальні та суміжні кутиВертикальні та суміжні кути
Вертикальні та суміжні кутиFormula.co.ua
 
Presentaciya uchitelya
Presentaciya uchitelyaPresentaciya uchitelya
Presentaciya uchitelya18vikvik18
 
конспект уроку з геометрії
конспект уроку з геометріїконспект уроку з геометрії
конспект уроку з геометрії18vikvik18
 

Viewers also liked (20)

обєм призми
обєм призмиобєм призми
обєм призми
 
Вектори та їх властивості
Вектори та їх властивостіВектори та їх властивості
Вектори та їх властивості
 
Вектори
ВекториВектори
Вектори
 
підготовка до контрольної роботи №3
підготовка до контрольної роботи №3підготовка до контрольної роботи №3
підготовка до контрольної роботи №3
 
Геометрія 9 клас Єршова, Голобородько от Freegdz.com
Геометрія 9 клас Єршова, Голобородько от Freegdz.comГеометрія 9 клас Єршова, Голобородько от Freegdz.com
Геометрія 9 клас Єршова, Голобородько от Freegdz.com
 
степінь з від'ємним показником до уроку
степінь з від'ємним показником до урокустепінь з від'ємним показником до уроку
степінь з від'ємним показником до уроку
 
конспект уроку. вектори
конспект уроку. векториконспект уроку. вектори
конспект уроку. вектори
 
15424 нестандартний урок з алгебри в 9 класі з елементами ділової гри “ що, я...
15424 нестандартний урок з алгебри в 9 класі з елементами ділової гри “ що, я...15424 нестандартний урок з алгебри в 9 класі з елементами ділової гри “ що, я...
15424 нестандартний урок з алгебри в 9 класі з елементами ділової гри “ що, я...
 
Учительська презентація
Учительська презентаціяУчительська презентація
Учительська презентація
 
Арифметична прогресія
Арифметична прогресіяАрифметична прогресія
Арифметична прогресія
 
Вертикальні та суміжні кути
Вертикальні та суміжні кутиВертикальні та суміжні кути
Вертикальні та суміжні кути
 
10
1010
10
 
9gm
9gm9gm
9gm
 
11
1111
11
 
11
1111
11
 
Istoriya
IstoriyaIstoriya
Istoriya
 
Vector
VectorVector
Vector
 
Presentaciya uchitelya
Presentaciya uchitelyaPresentaciya uchitelya
Presentaciya uchitelya
 
конспект уроку з геометрії
конспект уроку з геометріїконспект уроку з геометрії
конспект уроку з геометрії
 
Vector2
Vector2Vector2
Vector2
 

Similar to вектори

вектори і координати у просторі
вектори і координати у просторівектори і координати у просторі
вектори і координати у просторіЮра Марчук
 
шпори геометрія
шпори геометріяшпори геометрія
шпори геометріяssuser0d1746
 
Вектори на площині
Вектори на площиніВектори на площині
Вектори на площиніOlexandr Lazarets
 
Побудова графіка лінійного рівняння з двома змінними
Побудова графіка лінійного рівняння з двома зміннимиПобудова графіка лінійного рівняння з двома змінними
Побудова графіка лінійного рівняння з двома зміннимиFormula.co.ua
 
7126 брошура
7126 брошура7126 брошура
7126 брошураurvlan
 
Розв'язування лінійних рівнянь з двома змінними
Розв'язування лінійних рівнянь з двома зміннимиРозв'язування лінійних рівнянь з двома змінними
Розв'язування лінійних рівнянь з двома зміннимиTetyana Andrikevych
 
Дії над векторами презентація геометрія.
Дії над векторами презентація геометрія.Дії над векторами презентація геометрія.
Дії над векторами презентація геометрія.annavorona87
 
“метод координат на площині”
 “метод координат на площині”   “метод координат на площині”
“метод координат на площині” Olexandr Lazarets
 
Узагальнюючий урок геометрії Вектори
Узагальнюючий урок геометрії ВекториУзагальнюючий урок геометрії Вектори
Узагальнюючий урок геометрії Векториshishovael
 
цикл уроків з теми перпендикулярність прямих і площин
цикл уроків з теми перпендикулярність прямих і площинцикл уроків з теми перпендикулярність прямих і площин
цикл уроків з теми перпендикулярність прямих і площинНаташа Иванякова
 
9 klas algebra_kravchuk_2009_ukr
9 klas algebra_kravchuk_2009_ukr9 klas algebra_kravchuk_2009_ukr
9 klas algebra_kravchuk_2009_ukrUA7009
 
9 алг кравчук_підручна_2009_укр
9 алг кравчук_підручна_2009_укр9 алг кравчук_підручна_2009_укр
9 алг кравчук_підручна_2009_укрAira_Roo
 
квадратична функцIя
квадратична функцIяквадратична функцIя
квадратична функцIяAndy Levkovich
 
двогранний, тригранний і многогранний кути
 двогранний, тригранний і многогранний кути двогранний, тригранний і многогранний кути
двогранний, тригранний і многогранний кутиyahnoluida
 

Similar to вектори (20)

вектори і координати у просторі
вектори і координати у просторівектори і координати у просторі
вектори і координати у просторі
 
шпори геометрія
шпори геометріяшпори геометрія
шпори геометрія
 
Tema 6
Tema 6Tema 6
Tema 6
 
Вектори на площині
Вектори на площиніВектори на площині
Вектори на площині
 
Побудова графіка лінійного рівняння з двома змінними
Побудова графіка лінійного рівняння з двома зміннимиПобудова графіка лінійного рівняння з двома змінними
Побудова графіка лінійного рівняння з двома змінними
 
вектор
векторвектор
вектор
 
7126 брошура
7126 брошура7126 брошура
7126 брошура
 
Розв'язування лінійних рівнянь з двома змінними
Розв'язування лінійних рівнянь з двома зміннимиРозв'язування лінійних рівнянь з двома змінними
Розв'язування лінійних рівнянь з двома змінними
 
Дії над векторами презентація геометрія.
Дії над векторами презентація геометрія.Дії над векторами презентація геометрія.
Дії над векторами презентація геометрія.
 
“метод координат на площині”
 “метод координат на площині”   “метод координат на площині”
“метод координат на площині”
 
Узагальнюючий урок геометрії Вектори
Узагальнюючий урок геометрії ВекториУзагальнюючий урок геометрії Вектори
Узагальнюючий урок геометрії Вектори
 
2
22
2
 
1
11
1
 
аналітична геометрія
аналітична геометріяаналітична геометрія
аналітична геометрія
 
10 клас 2015-16
10 клас 2015-1610 клас 2015-16
10 клас 2015-16
 
цикл уроків з теми перпендикулярність прямих і площин
цикл уроків з теми перпендикулярність прямих і площинцикл уроків з теми перпендикулярність прямих і площин
цикл уроків з теми перпендикулярність прямих і площин
 
9 klas algebra_kravchuk_2009_ukr
9 klas algebra_kravchuk_2009_ukr9 klas algebra_kravchuk_2009_ukr
9 klas algebra_kravchuk_2009_ukr
 
9 алг кравчук_підручна_2009_укр
9 алг кравчук_підручна_2009_укр9 алг кравчук_підручна_2009_укр
9 алг кравчук_підручна_2009_укр
 
квадратична функцIя
квадратична функцIяквадратична функцIя
квадратична функцIя
 
двогранний, тригранний і многогранний кути
 двогранний, тригранний і многогранний кути двогранний, тригранний і многогранний кути
двогранний, тригранний і многогранний кути
 

вектори

  • 1.
  • 2. Зміст навчального матеріалу по темі: 1. Вектори у просторі. Рівність векторів. 2. Колінеарність векторів. 3. Компланарність векторів. 4. Координати вектора. 5. Додавання і віднімання векторів. 6. Множення вектора на число. Властивості дій над векторами. 7. Кут між векторами. Скалярний добуток векторів. 8. Розкладання вектора по ортах. 9. Сюжетна задача.
  • 3. Вектори у просторі. Рівність векторів. Вектором називається напрямлений відрізок. Напрям вектора позначається його початком і кінцем. На малюнку напрям вектора позначається стрілкою. Якщо початок вектора збігається з його кінцем, то вектор називається нульовим і позначається 0 .
  • 4. Вектори однаково напрямлені , якщо однаково напрямлені півпрямі, що містять дані вектори. Вектори протилежно напрямлені, якщо протилежно напрямлені півпрямі, що містять дані вектори.
  • 5. Завдання Назвати однаково напрямлені та протилежно напрямлені вектори.
  • 6. Абсолютна величина вектора або модуль вектора – це довжина відрізка, що зображає вектор. Абсолютна величина позначається |а| і обчислюється за формулою 2 2 2 a = a1 +2 a +3 a Вектори рівні, якщо вони суміщаються паралельним перенесенням. Рівні вектори однаково напрямлені і рівні за абсолютною величиною. Рівні вектори мають рівні відповідні координати.  1 = b1 a  a(a1,a2,a3) = b (b1,b2,b3)<=>  2 = b2 a  =b a  3 3
  • 7. Завдання: Записати всі можливі векторні рівності.
  • 8. Колінеарні вектори Колінеарні вектори – це два ненульові вектори, які лежать на одній прямій або на паралельних прямих. Умова колінеарності векторів: Відношення відповідних координат векторів – рівні. b1 b2 b3 a і b колінеарні, якщо b = λ *a ⇔ = = a1 a2 a3 1. Чи колінеарні вектори a (2,3,8) і b (-4,6, -16)? 2. При якому значення n і m вектори a (15,m,1) і b (18,12,n) - колінеарні?
  • 9.
  • 10.
  • 11.
  • 12. Компланарність векторів Три вектори називаються компланарними, якщо відповідні їм напрямлені відрізки розміщені у паралельних площинах. Вектори ОА, ОВ, ОС компланарні тільки за умови, що точки О,А,В,С лежать в одній площині. Завдання: Чи компланарні вектори a (3;2;0), b (6;3;0), c (8;1;0)?
  • 13.
  • 14.
  • 15. Координати вектора Координатами вектора a називаються числа а1=х2-х1, а2=у2-у1, а3=z2-z1. Щоб знайти координати вектора, треба від координат кінця вектора відняти координати його початку. Завдання: 1. А(2;3;4), В(1;1;1). Знайти координати векторів AB та BA . 2. Які координати вектора AO , якщо А(5;1;-3), точка О – початок координат.
  • 16. .Додавання векторів Правило трикутника Отже, сумою двох векторів a і b називається третій вектор c , початок якого збігається з початком a , а кінець – з кінцем вектора b при умові, що кінець вектора a збігався з початком вектора b . Правило паралелограма (для неколінеарних векторів): a + b = c . Якщо два вектори виходять з однієї точки, то вектор суми цих b векторів є діагоналлю паралелограма, побудованого на даних векторах.
  • 17. Додавання векторів. Сумою векторів a (а1, а2, а3) та b (в1, в2, в3) називається вектор с з координатами : а1+в1, а2+в2, а3+в3. Сумою трьох не колінеарних векторів, що виходять з однієї точки, є діагональ паралелепіпеда, побудованого на цих векторах, яка виходить з цієї ж точки.
  • 18. Якщо треба знайти суму кількох векторів, можна скористатися правилом многокутника (див. рисунок).
  • 19.
  • 20. Завдання по темі “Додавання векторів” 1. Дано a ( 2;0;3), b(0;4;−1) . Знайти координати суми даних векторів. 2. Дано вектори a(2;− 3;5), b(2;4;3), c(4;1;8) . Чи правильно, що c = b + a .
  • 21. Віднімання векторів Різницею векторів a (а1,а2,а3) і b (в1,в2,в3) називається вектор c , координати якого: а1-в1,а2- в2,а3-в3. Щоб відняти два вектори, потрібно відкласти їх від спільної точки, з'єднати кінці і стрілку поставити до того вектора, від якого віднімаємо
  • 22. Множення вектора на число Добутком вектора a на число λ є вектор a =(λа1,λа2,λа3). Властивості: 1. (a1 , a2 , a3 ) * λ = λ * (a1 , a2 , a3 ) 2. Для будь – якого вектора а і чисел λ і μ має місце рівність: (λ + µ ) * a = λ * a + µ * a 3. Для будь – яких векторів а і в і числа λ має місце рівність. λ * ( a + b) = λ * a + λ * b Абсолютна величина вектора λ * a дорівнює: λ * a = (λ * a1 ) 2 + (λ * a2 ) 2 + (λ * a3 ) 2 = λ * a1 + a2 + a3 = λ * a 2 2 2
  • 23.
  • 24. Скалярний добуток векторів Скалярним добутком векторів a 1, а2, а3) і b (в1, в2, в3) (а є число (скаляр) а1*в1+ а2*в2+а3*в3. Кутом між ненульовими векторами AB і AC називається кут ВАС – кут між векторами, що дорівнюють даним і мають спільний початок. Теорема: Скалярний добуток векторів дорівнює добутку модулів векторів на косинус кута між ними. Якщо a * b  0 , то кут гострий; a * b  0 – кут тупий, a * b = 0 – кут прямий (вектори перпендикулярні). Умова перпендикулярності векторів – скалярний добуток дорівнює 0.
  • 25. Завдання по темі “Скалярний добуток векторів” 1. Чи перпендикулярні вектори a (2;3;6) і b (3;2;-1) ? 2. При якому значення m вектори a (6;0;12) і b (- 8;13; m) перпендикулярні ? 3. Який кут утворюють вектори a (-5;0;0) і b (0;3;0) ?
  • 26. Розкладання вектора по ортах Вектор називається одиничним, якщо модуль вектора дорівнює 1. Одиничні вектори, які мають напрями додатних координатних півосей, називаються ортами. Для будь – якого вектора a (а , а , а ) маємо: 1 2 3 a = a1 * e1 + a2 * e2 + a3 * e3
  • 27. Сюжетна задача Дано чотири точки А(1;2;3), В(-2;4;1), С(0;2;5), Д(1;-4;2). Знайти: 1. Координати AB і CD . 2. Модулі AB і CD . 3. AB + CD 4. AB - CD 5. 3* AB CD ; ½* 6. 3* AB + ½*CD 7. Чи колінеарні вектори? 8. AB * CD 9. Cos φ між векторами. Чи перпендикулярні вектори? 10. Розкласти по ортах.