2. Способи розв’язку
Зведення рівняння до однорідного;
Розскладання лівої частини на
множники;
Введення допоміжного кута;
Перетворення різниці (або суми)
тригонометричних функцій у
добуток;
Зведення до квадратного рівняння
відносно однієй з функцій;
Піднесення обох частей рівняння
до другого степеня;
3. Человеку, изучающему алгебру
часто
полезнее решить одну и ту же задачу
тремя
различными
способами ,
чем
решать три – четыре различные задачи.
Решая
одну
задачу
различными
способами , можно путем сравнивания
выяснить,
какой из них короче и
эффективнее. Так вырабатывается опыт.
У. У. Сойер
/ английский математик и педагог XX
века/
4. Перший спосіб.
однорідного;
Зведення рівняння до
cos x – sin x = 1
sin x= 2 cosx/2sinx /2; cos x/2= cos²x/2 - sin²x /2 ; 1= sin²x+cos² ;
cos² x/2-sin² x /2 - 2 cos x/2 sin x /2= sin²x+cos² ;
2sin² x /2 + 2 sin x /2 cos x /2 = 0 ;
2sin x /2 (sin x /2 + cos x/2) = 0 ;
sin x/2 = 0 або sin x/2 + cos x/2 = 0 – это однорідне рівняння
першого степеня
x/2 = π k, k є Z,
Розділемо обидви частини рівняння на cos x/2,
x = 2 π k, k є Z
cos x/2≠0,
якщо cos x/2 = 0, то sin x/2 =0,але
сінус та косінус одного
аргументу не можуть одночасно
через основну тригонометричну тотожность.
Отримаємо: tq x/2 = -1,
x/2 = -π/4 +π n , n Z ;
x = - π/2 +2 πn, n Z ;
Відповідь : x = 2π k, k є Z , x = - π /2 +2π n , n є Z.
рівнятися 0
5. множники
cos x – sin x = 1
sin x + (1 - cos x) = 0;
1 - cos x = 2 sin2 x/2; sin x= 2 sin x/2 cos x/2;
2 sin x/2 cos x/2 +2 sin2 x/2 = 0 ;
sin x/2(cos x/2 + sin x/2) = 0.
Далі як в першому випадку.
x/2 = π k, k єZ або sinx/2+cosx/2=0 – это однорідне рівняння
першого
x = 2 π k, k єZ
степеня.Розділемо обидви частини
рівняння на cos x/2≠0,
Отримаємо: tq x/2 = -1, x/2 = -π/4 +π n , n є Z ;
x = - π/2 +2 πn, n є Z .
Відповідь: x = 2π k, k єZ ;
x = - π /2 +2π n , n є Z.
6. Третій спосіб . Введення допоміжного кута
cos x – sin x =1
cos π/4 = sin π/4 = 1/√2 ,
cos a cos b-sin a sin в = cos ( a-b),
cos x 1/√2 - sin x 1/√2 = 1/√2 ;
cos x cos π/4 – sin x sin π/4 =1/√2 ;
cos ( x +π/4 )= 1/√2 ;
x + π/4 = ±arccos 1/√2 +2π k, k Z
x= ± π/4 -π/4 +2π k, k Z ;
7. Увага!!! Еквівалентні чи ні наслідки, отримані
в розглянутих способах розв’язку данного
рівняння cos x – sin x = 1 ?
Покажемо однозначність відповідей
1 спосіб.
2 спосіб.
x = 2 π k, k є Z ,
2 π;4 π;6 π;...
x = - π /2 +2π n , n є Z
3 π/2; 7 π/2; 11 π/2...
x= ±π/4- π/4 +2π k, k єZ ,
2 π; 3 π /2; 4 π; 7 π /2; 6 π; 11 π/2...
8. Четвертий спосіб . Перетворення функцій у
добуток
cos x – sin x =1
Запишемо рівняння у вигляді: sin (π /2 – x) – sin x =1.
Застосуємо формулу різниці двох синусів:
sin α - sin β = 2 sin (α+ β)/2 cos (α - β)/2.
2sin π/4 cos( π/4 – x) = 1 ;
2· √2/2 cos (π/4 – x) = 1 ;
cos (π/4 – x) = 1/√2 ;
cos (x -π/4 ) = 1/√2
x -π/4 = ± arccos 1/√2 +2π k, k
x = 2π k, k Z ,
Z;
x = - π /2 +2π n , n Z
Відповідь : x = 2π k, k Z ,
x = - π /2 +2π n , n Z
9. П’ятий спосіб. Зведення до квадратного
рівняння відносно однієї функції
cos x – sin x =1 ;
sin²x + cos²x = 1 ;
cos x = ±√1- sin ²x ;
±√1- sin ²x – sin x = 1;
±√1- sin ²x = 1+ sin x ;
Піднесемо до другого степеня :
1 – sin ²x = 1 + 2sin x + sin² x ;
2 sin ² x + 2sin x = 0 ;
2 sin x ( sin x + 1) = 0 ;
sin x = 0 або sin x + 1 = 0 ;
x = 2π k, k Z , x = - π /2 +2π n , n Z
Відповідь : x = 2π k, k Z ,
x = - π /2 +2π n , n Z
10. Шостий спосіб. Піднесення обох частин
рівняння до другого степеня
cos x – sin x = 1
(cos x – sin x)²= 1²
cos²2x – 2sin x cos x + sin² x = 1
1 -2 sin x cos x = 1
sin 2x = 0
x=π/2 + πk, k Z
11. Сьомий спосіб.
Універсальна підстановка
Виражемо усі функції через tg x по формулам :
2 tg x/2
1 - tg²x/2
2 tg x/2
Sin x= ————— ; cos x = ——————; tg x =—————;
1 + tg²x/2
1 + tg²x/2
1 - tg²x/2
cos x – sin x=1
1 – tg ² x/2
2 tg x/2
———— - ———— = 1 ;
1+ tg ² x/2
1 + tg x/2
Помножим обидви частини рівняння на 1 + tg2 x/2.
2 tg x/2 (1 +tg x/2) =1 ;
tg x/2 = 0
або
1 + tg x/2 = 0 ;
x = 2π k; k Z , x = - π /2 +2π n; n Z.
Відповідь: x = 2πk; k Z , x = - π /2 +2πn; n Z.
