1. 1
Практичне заняття 31
Однорідні диференціальні рівняння. Лінійні диференціальні рівняння.
Рівняння Бернуллі.
Рівняння ,y f x y називається однорідним, якщо функцію ,f x y
можна представити як функцію відношення ,
y
x
тобто ,f x y ,
y
x
.
y
y
x
Однорідне рівняння зводиться до рівняння з відокремлюваними змінними
за допомогою заміни змінної (підстановки) y u x і .y u x u
Приклад. Знайти частинний розв’язок рівняння 2 2
2 0,x у х у y який
задовольняє початкову умову 1 2y (розв’язати задачу Коші).
Розв’язання.
2 2
2 2 2 2
2 0, 2 , ,
2 2
x у
x у х у y х у y x у y
х у х у
.
2 2
x у у
y
у х х
Отже, дане диференціальне рівняння є однорідним, яке інтегрується
заміною ;y u x y u x u , яку підставимо в початкове рівняння:
2 2
2х у y x у , 2 2 2 2
2x u u x u x x u ,
2
2 1u u x u u ,
2 2 2
2 2 1 , 2 1 .x u u u u x u u u
Маємо рівняння з відокремлюваними змінними.
2
2 1 ,
du
хu u
dx
2
2
2 2
2 1
2 1 , ,
2 1 2 1
х u u
х u du u dx du dx
x u x u
2 2
2 2 2
1 11 1
, , ,
2 2 21 1 1
d u d uu dx dx dx
du
x x xu u u
2 2
ln 1 ln ln , 1 .
С
u x C u
х
2. 2
Далі врахуємо, що .
у
u
х
Отже,
2
2 2
1 ,
у С
у х С х
х х
– загальний
інтеграл рівняння. Підставимо початкові значення змінних 2у , при 1х , і
знаходимо значення С: 22
2 1 1 ; 3.С С
Отже, частинним інтегралом рівняння буде 2 2
3 .у х х
Приклад. Розв’язати задачу Коші yyуx , якщо 11 y .
Розв’язання. Поклавши u
x
y
, uxuy , маємо рівняння
,
1
u
u x u
u
2
,
1
u u u
u x
u
u
u
xu
1
2
.
Розділимо змінні і інтегруємо, маємо
x
dx
du
u
u
2
1
,
1
ln ln lnu x С
u
,
1
ln
ux
u С
.
Повертаємось до змінної y і знаходимо загальний інтеграл
ln .
y
x y
С
Підставимо 1,1 xy в загальний інтеграл і знайдемо значення
константи С :
1
1 ln
С
, С е .
Отже,
е
y
yx ln – частинний інтеграл рівняння.
Рівняння називається лінійним, якщо воно лінійне щодо невідомої функції і
її похідної (функція y x та її похідна y x входять у рівняння в першому
степені та не перемножуються між собою) та має вигляд
.y p x y q x
Рівнянням Бернуллі називається рівняння вигляду
,y p x y q x y
де , 0, 1.R
Очевидно, при 0 це рівняння – лінійне, а при 1 – з
відокремлюваними змінними.
Рівняння Бернуллі зводиться до лінійного підстановкою 1 n
u y
і
1 .n
u n y y
3. 3
Розв’язок лінійного рівняння можна шукати у вигляді добутку двох інших
функцій: ,y uv де u u x та v v x – невідомі функції.
Заміна змінних ,y uv y u v uv зводить лінійне рівняння або рівняння
Бернуллі до системи диференціальних рівнянь з відокремлюваними змінними
(метод Бернуллі).
Приклад. Знайти частинний розв’язок рівняння 2 2 3
1,x у y x у який
задовольняє початкову умову 1 1y (розв’язати задачу Коші).
Розв’язання. Розділивши обидві частини рівняння на 2 2
х у переконаємось,
що це рівняння Бернуллі: 2
2
1
,
у
y у
х х
де 2
1 1
; ; 2p x q x
x x
.
Замінивши функцію у по формулі ,у uv маємо ,у u v uv
2 2 2
1 1uv
u v uv
х х u v
або 2 2 2
1
.
v
u v u v
х х u v
Утворимо систему
2 2 2
0,
1
.
v
v
х
u v
х u v
Із першого рівняння системи знайдемо v :
1
; , , , ln ln , .
v dv v dv dx dv dx
v v x v
х dx х v х v х х
Підставимо v в друге рівняння системи і знайдемо u :
2
1 1
u
х u
,
3 2
2 2 23
3
, , = + , .
3 2 3 2
u x C
u du хdx u du хdx u x C
Загальний розв’язок рівняння має вигляд
23 3
3
1 3 3
2 2
C
y uv x C
x x x
.
Знайдемо значення С використовуючи початкові умови
4. 4
0
0
1,
1 1
1,
y
у
x
3
3 3 5
1, 1, .
2 1 2 2
C
C С
Отже, 3
3
3 5
2 2
y
x x
– частинний розв’язок рівняння.
Завдання для самостійної роботи:
№ 1. Знайти загальні розв’язки або загальні інтеграли диференціальних
рівнянь:
1) 2 2
( ) 0y x y dx xdy ; 2) 2
( 2 ) 0x xy dx xydy ;
3) sin sin
y y
xy x y
x x
; 4) ln
y
xy y
x
;
5) 2 2 2
4( )x y x y xy ; 6) y
xy y xtg
x
.
(Відповідь: 1) arcsin ln
y
x C
x
; 2) ln
x
x y C
x y
; 3)
cos
y
xCx e ;
4) 1 Cx
y xe
; 5) arc 4
y
tg x C
x
; 6) sin
y
Cx
x
.)
№ 2. Знайти частинні розв’язки або частинні інтеграли диференціальних
рівнянь при заданих початкових умовах:
1) 2 2
( 2 ) 0, (1) 3y xy dx x dy y ; 2) 2 2
( ) 0, (1) 0y x y dx xdy y ;
3) , (1) 0
y
xxy xe y y ; 4) sin , (1)
2
y
xy y x y
x
;
5) 2 2
, (1) 1y x y xyy y ; 6) 1, (1) 0
y
y y
x
.
(Відповідь: 1) 33
ln
y x
x
y
;2) 2 2 2
x y x y ; 3) ln 1 lny x x ;
4) 2y xarctgx ; 5)
y
xe ey ; 6) lny x x .)