Dokumen tersebut membahas tentang berbagai jenis himpunan bilangan dan sifat-sifat operasi bilangan bulat seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Di antaranya adalah himpunan bilangan bulat, rasional, irasional, riil, imajiner, dan kompleks.

2. Himpunan bilangan dan skemanya

4.  Himpunanbilanganasli
adalah himpunan bilangan yang anggota-
anggotanya merupakan bilangan bulat positif.
Ex: N = {1,2,3,4,5,6,......}
 Himpunanbilanganprima
adalah himpunan bilangan-bilangan asli yang
hanya dapat dibagi dirinya sendiri dan satu, kecuali
angka 1.
Ex: P = {2,3,5,7,11,13,....}

5.  Himpunanbilangancacah
adalah himpunan bilangan yang anggota-
anggotanya merupakan bilangan bulat positif
digabung dengan nol.
Ex: C = {0,1,2,3,4,5,6,....}
 Himpunan bilanganbulat
adalah himpunan bilangan yang anggota-
anggotanya seluruh bilangan bulat, baik negatif,
nol, dan positif.
Ex: B = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}

6.  Himpunan bilanganrasional
adalah himpunan bilangan yang anggota-anggonya
merupakan bilangan yang dapat dinyatakan sebagai:
p/q dimana p,q  bulat dan q 0 atau dapat
dinyatakan sebagai suatu desimal berulang.
Contoh: 0,-2, 2/7, 5, 2/11, dan lain lain
 Himpunan bilanganirasional
adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya
tidak dapat dinyatakan sebagai sebagai p/q atau
tidak dapat dinyatakan sebagai suatu desimal
berulang.
contoh: log 2, e, 7

7.  Himpunanbilanganriil
adalah himpunan yang anggota-anggotanya
merupakan gabungan dari himpunan bilangan
rasional dan irasional.
contoh: log 10, 5/8, -3, 0, 3
 Himpunanbilanganimajiner
adalah himpunan bilangan yang anggota-
anggotanya merupakan i (satuan imajiner) dimana i
merupakan lambang bilangan baru.
contoh: i, 4i, 5i

8.  Himpunanbilangankompleks
adalah himpunan bilangan yang anggota-
anggotanya (a + bi) dimana a, b R, i² = -1,
dengan a bagian riil dan b bagian imajiner.
contoh: 2-3i, 8+2

10.  Bilangan bulat adalah bilangan bukan pecahan
yang terdiri dari bilangan :
 Bulat positif (1, 2, 3, 4, 5, …)
 Nol : 0
 Bulat Negatif ( …,-5,-4,-3,-2,-1)
 Himpunan Bilangan bulat
A = { …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … }

11. 0-1-2-3 1 2 3 4-4
       
bilangan bulat positifbilangan bulat Negatif Bilangan nol
Di dalam bilangan bulat terdapat bilangan genap dan ganjil :
 Bilangan bulat genap { …, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, … }
Bilangan yang habis dibagi dengan 2
 Bilangan bulat ganjil { …, -5, -3, -1, 1, 3, 5, … }
Bilangan yang apabila dibagi 2 tersisa -1 atau 1

12.  Penjumlahan
 Sifat Asosiatif  ( a + b ) + c = a + ( b + c )
 Sifat Komutatif  a + b = b + a
 Unsur Identitas terhadap penjumlahan  a + 0 =
0 + a
 Unsur invers terhadap penjumlahan  a + (-a) =
(-a) + a
 Bersifat tertutup  a dan b ∈ bilangan bulat maka
a + b = c ; c ∈ bilangan bulat

13.  Pengurangan
 Untuk sembarang bilangan bulat berlaku :
a – b = a + (-b)
a – (-b) = a + b
 Sifat Komutatif dan asosiatif tidak berlaku
a – b ≠ b - a
(a – b ) – c ≠ a – ( b – c )
 Pengurangan bilangan nol mempunyai sifat :
a – 0 = a dan 0 – a = -a
 Bersifat tertutup  a dan b ∈ bilangan bulat maka
a - b = c ; c ∈ bilangan bulat

14.  Perkalian
 a x b = ab , a x –b = -ab , -a x -b = ab
 Sifat Asosiatif  (a x b) x c = a x (b x c)
 Sifat komutatif  a x b = b x a
 Sifat distributif  a x (b+c) = (a x b ) + (a x c)
 Unsur identitas untuk perkalian a x 0 = 0 atau
a x 1 = 1 x a = a
 Bersifat tertutup a x b = c
a, b, c ∈ bilangan bulat

15.  Pembagian
 Hasil bagi dua bilangan bulat positif adalah bilangan
positif  (+) : (+) = (+)
 Hasil bagi dua bilangan bulat negatif adalah bilangan
positif  (-) : (-) = (+)
 Hasil bagi dua bilangan bulat yang berbeda adalah
bilangan negatif  (+) : (-) = (-) atau (-) : (+) = (-)
 Hasil bagi bilangan bulat dengan 0 (nol) adalah tidak
terdefinisi  a : 0  (~) atau 0 : a 0 (nol)
 Tidak berlaku sifat komutatif dan asosiatif
a : b ≠ b : a atau (a:b):c ≠ a : (b:c)
 Bersifat tidak tertutup

16. Contoh :
3
4 = 4 x 4 x 4 = 64
5
3 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243

17.  Akar kuadrat (akar pangkat dua)

20.  Notasi dari himpunan bilangan riil adalah 
  dinyatakan sebagai garis lurus x є  dibaca x
(sembarang bilangan) anggota dari  Jika x є 
dinyatakan sebagai suatu titik di garis
x
 Bilangan x terletak antara -a dan a dengan titik
pusatnya 0
0-a a
xx

21. Misalkan: x < y dibaca x berada di sebelah kiri y
atau x lebih kecil dari y
x > y dibaca x berada di sebelah kanan y
atau y lebih kecil dari x

x y
y x
x<y
x>y
•  dibaca “ jika dan hanya jika”
• x < y  y-x positif

22.  Sifat-sifat urutan :
Trikotomi
Jika x dan y adalah suatu bilangan, maka pasti berlaku
salah satu dari x < y atau x > y atau x = y
Ketransitifan
Jika x < y dan y < z maka x < z
Perkalian
Misalkan z bilangan positif dan x < y maka xz < yz,
sedangkan bila z bilangan negatif, maka xz > yz

23.  Penambahan  x<y  x+z <y+z
 Relasi urutan  dibaca “kurang dari atau sama dengan”
 dibaca “lebih dari atau sama dengan”
x  y  y - x positif atau nol