FPB dan KPK merupakan konsep penting dalam matematika. FPB adalah faktor persekutuan terbesar dari dua bilangan, sedangkan KPK adalah kelipatan persekutuan terkecil. Ada beberapa metode untuk menentukan FPB dan KPK, seperti pemfaktoran, algoritma Euclid, dan rumus matematika.

1. FPB dan KPK
By
Kiki Nofita Sari (1830206091)
Pendidikan Matematika 2018

2. Konsep Habis Dibagi
• Definisi:
Jika a suatu bilangan asli dan b suatu bilangan
bulat, maka a membagi habis b (dinyatakan
dengan a|b) jika dan hanya jika ada sebuah
bilangan bulat c demikian sehingga b = ac.
• Jika a membagi b, maka dapat dikatakan bahwa :
a pembagi b
a faktor b
b kelipatan a
b habis dibagi a

3. Pemfaktoran prima
• Bilangan komposit dapat ditulis sebagai hasil
kali semua pembaginya yang prima.
• Ada dua metode yang umum digunakan untuk
menemukan semua faktor prima bilangan
komposit.

4. Pemfaktoran prima (2)
• Metode pertama adalah dengan melakukan pembagian
berulang dimulai dengan bilangan prima terkecil 2, dan
diteruskan sampai semua faktor prima yang diperoleh
terakhir tersebut
• Contoh:
• Carilah faktor prima dari 180
180 = 2.90
90 = 2.45
45 = 3.15
15 = 3.5
180 = 2.2.3.3.5

5. Pemfaktoran prima (3)
• Metode kedua adalah melakukan pemfaktoran
bilangan ke dalam sebarang dua faktor yang
dikenal dan kemudian memfaktorkan faktor-
faktor tersebut:
• 180 = (15) (12) = (5.3)(4.3) = (5.3)(2.2.3)
= 2.2.3.3.5
Selain kedua metode tersebut, ada cara lain
yakni dengan menggunakan pohon faktor.

6. Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)
• Definisi:
Faktor persekutuan terbesar (disingkat FPB) dari
dua bilangan bulat positif, p dan q, adalah
bilangan bulat positip terbesar r demikian
sehingga r|p dan r|q.
• Dari definisi di atas, jelas bahwa FPB dari dua
bilangan bulat positif adalah bilangan bulat
terbesar yang membagi keduanya. Hal ini
dinotasikan sebagai berikut:
• r = FPB (p,q).

7. FPB (2)
• Cara Menentukan FPB
1. Pemfaktoran
2. Pemfaktoran Prima
3. Algoritma Euclid

8. FPB (3)
1. Pemfaktoran
• Contoh dengan metode pemfaktoran, menentukan FPB dari
84, 198, dan 210.
• Kita tentukan masing-masing faktornya :
• Factors of 84 : 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84
Faktor dari 198 : 1, 2, 3, 6, 9, 11, 18, 22, 33, 66, 99, 198
Factors of 210 : 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15, 21, 30, 35,
42, 70, 105, 210
• Dari ketiga bilangan yang memiliki faktor yang sama yaitu 6.
Sehingga FPB (84, 198, 210) = 6.
• FPB (84,198) = 6
• FPB (198,210) = 6
• FPB (84, 210) = 42

9. FPB (4)
2. Pemfaktoran Prima
• Tulis bilangan-bilangan tersebut sebagai perkalian bilangan
prima, dan hasil perkalian bilangan prima yang merupakan faktor
persekutuan kedua bilangan tersebut adalah FPB-nya.
• Faktorisasi prima dari,
270 = 2 x 33 x 5
504 = 23 x 32 x 7
• Dapat juga dinyatakan
270 = (2 x 32) x (3 x 5)
504 = (2 x 32) x (22 x 7)
• Sehingga (2 x 32) sebagai faktor persekutuan terbesar 270 dan
504.
• FPB (207, 504) = 18

10. FPB (5)
3. Algoritma Euclid
• Dengan cara seperti di atas tidak praktis jika bilangan yang akan
dicari FPB bilangan yang besar.
• Dalam hal demikian diperlukan metode yang lebih praktis untuk
menemukan FPB-nya. Metode ini mendasarkan pada Algoritma
Pembagian dengan berulang.

11. FPB (6)
• Menurut Algoritma Pembagian,
bilangan bulat positip a dan b, a ≥ b
selalu dapat ditulis sebagai :
a = bq + (r),
dengan q bulat positif, r bilangan cacah, dan 0 ≤ r < b.
• Metode menemukan pembagi persekutuan terbesar
dengan menggunakan Algoritma Pembagian tersebut
dikenal sebagai Algoritma Euclides.
• Jadi, menurut Algoritma Euclides, jika a dan b bilangan-
bilangan bulat positip dengan a ≥ b , dan r adalah sisa jika
a dibagi oleh b, maka
• FPB (a, b) = FPB (b, r).

12. FPB (7)
• Contoh Penggunaan Algoritma Euclid
• FPB (1071,1029) = 21
• FPB (589,494) = 19
a b r
1071 1029 42
1029 42 21
42 21 0
21 0
a b r
589 494 95
494 95 19
95 19 0
19 0

13. Relatif Prima
• Definisi:
Jika faktor persekutuan terbesar dua bilangan bulat
positif p dan q adalah 1, maka p dan q disebut relatif
prima.
• Contoh :
3 dan 5 adalah relatif prima karena FPB(3, 5) = 1
31 dan 120 adalah relatif prima karena FPB(31, 120) = 1.
9 dan 132 bukan relatif prima karena FPB(9, 132) = 3.
• Perhatikan bahwa semua bilangan bulat positif kurang
dari bilangan prima p adalah relatif prima terhadap p.
• Misalkan setiap bilangan 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 adalah relatif
prima terhadap bilangan prima 7.

14. Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)
• Definisi: Bilangan bulat positip m adalah kelipatan
persekutuan terkecil (disingkat KPK) dua bilangan bulat
positip p dan q jika dan hanya jika m adalah bilangan
bulat positip terkecil yang dapat dibagi oleh p dan q.
• Dari definisi di atas, jelas bahwa kelipatan persekutuan
terkecil dua bilangan bulat adalah bilangan bulat
positip yang habis dibagi kedua bilangan tersebut.
• Hal ini ditulis:
m = KPK (p,q)
Contoh :
KPK (5,4)= 20
KPK (7, 6) =42
KPK (15, 12) = 60.

15. KPK (2)
• Cara Menentukan KPK
1. Menemukan himpunan kelipatan
persekutuan dan kemudian memilih yang
terkecil
2. Pemfaktoran Prima
3. Rumus
[FPB (p,q)] x [KPK (p,q)] = p x q

16. KPK (3)
1. Menemukan himpunan kelipatan persekutuan dan
kemudian memilih yang terkecil
• contoh
Kelipatan Persekutuan Terkecil dari: 10, 12, dan 18
Kelipatan dari 10 : 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80,
90, 100, 110, 120, 130, 140, 150,
160, 170, 180,190
Kelipatan dari 12 : 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96,
108, 120, 132, 144, 156, 168, 180,
192, 204
Kelipatan dari 18 : 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126,
144, 162, 180, 198
Jadi KPK (10,12,18) = 180

17. KPK (4)
2. Pemfaktoran Prima
• KPK (3600, 1080, 672)
• Contoh menggunakan faktorisasi prima :
3600 = 24 x 32 x 52
1080 = 23 x 33 x 5
672 = 25 x 3 x 7
Bilangan yang merupakan faktor prima : 2,3,5, 7
Pangkat maksimum
2 adalah 5
3 adalah 3
5 adalah 2
7 adalah 1
Oleh karena itu,
KPK adalah 25 x 33 x 52 x 7 = 151.200

18. KPK (5)
3. Rumus: [FPB (p,q)] x [KPK (p,q)] = p x q
• KPK(146,124) = (146 x 124) ÷ FPB (146, 124
= 18104 ÷ 2
= 9052

19. KPK (6)
• KPK tiga atau lebih bilangan bulat positip dapat
ditemukan dengan terlebih dahulu mencari KPK dari
bilangan-bilangan itu; sepasang demi sepasang.
• Misalkan akan dicari KPK dari p, q, r, s,
maka dicari dulu KPK bilangan p dan q misalkan
terdapat m1, kemudian dicari KPK bilangan r dan s
misalkan terdapat m2.
• Maka KPK (p,q,r,s) = KPK (m1, m2 ).
• Contoh :
Carilah KPK dari 42, 96, 104. 18.
Jawab:
KPK (42. 96) = 672 dan KPK (104, 18) = 936
KPK (42, 96, 104, 18) = KPK (672, 936) = 26208