mengetahui sistem bilangan yang ada

1. SISTEM BILANGAN

2. Pembagian jenis bilangan
BIlangan
nyata
irrasional rasional
bulat pecahan
khayal

3.  Bilangan nyata dapat berupa bilangan positif maupun negatif
Contoh: 2 ; -3; 1,1 ; -1,2
 Bilangan khayal; bilangan yang berupa akar pangkat genap dari
suatu bilangan negatif
Contoh : √(-4) =± 2
 Beda: bilangan nyata tegas sifatnya : positif atau negatif
 Bilangan khayal: mengandung kedua sifat positif dan negatif
sekaligus disebut juga bilangan kompleks

4.  Bilangan rasional: hasil bagi antara dua bilangan, yang berupa bilangan
bulat, atau berupa pecahan dengan desimal terbatas, atau desimal
berulang.
Contoh: 0,14925 ; 0,14926262626
 Bilangan irrasional: hasil bagi antara dua bilangan berupa pecahan dengan
desimal tak terbatas dan tak berulang .
Contoh: 0,147639860.....
 Bilangan bulat; hasil bagi antara dua bilangan yang hasilnya bulat ,
termasuk 0.
 Bilangan pecahan: hasil bagi antara dua bilangan yang hasilnya pecahan
dengan desimal terbatas atau berulang. (pecahan termasuk bilangan
rasional)

5.  Beda antara bilangan rasional dan irrasional: faktor
:keterbatasan” dan “keberulangan” desimalnya,
 Semua bil. Bulat adalah bil. Rasional, tapi tidak semua bil rasional
berupa bilangan bulat.
 Semua bil, pecahan adalah bil, rasional tapi tidak semua bil. Rasional
berupa bilangan pecahan
 Semua bil. Irrasional adalah bilangan berdesimal, tapi tidak semua
bilangan berdesimal adalah bilangan irrasional

6.  Bilangan asli: semua bilangan bulat positif, tidak termasuk nol
 A = { 1,2,3,4,5,....dst}
 Bilangan cacah: semua bilangan bulat positif termasuk nol,
 A = {0,1,2,3,4,5,....dst}
 Bilangan prima: bilangan asli yang besarnya tidak sama dengan
satu dan hanya habis (bilangan bulat) dibagi oleh dirinya sendiri.
 P = {2,3,5,7,11, ...dst}

7. Hubunan perbandingan antar bilangan
 Bilangan nyata saling berhubungan satu dengan yang lain secara
relatif.
 Tanda < , melambangkan “lebih kecil”
 Tanda > , melambangkan “lebih besar”
 Tanda ≤ , melambangkan “lebih kecil dari atau sama dengan”
 Tanda ≥ , melambangkan “lebih besar dari atau sama dengan”

8. Sifat hubungan perbandingan bilangan
nyata
 Jika a ≤ b, maka –a ≥ -b, sedangkan jika a≥ b maka –a ≤ -b
 Jika a ≤ b dan x ≥ 0, maka x.a ≤ x.b, sedangkan jika a ≥ b dan x ≥ 0,
maka x.a≥x.b
 Jika a ≤ b dan x ≤ 0, maka x.a ≥ x.b, sedangkan jika a ≥ b dan x ≤ 0,
maka x.a≤x.b
 Jika a ≤ b dan c ≤ d, maka a + c ≤ b + d, sedangkan Jika a ≥ b dan c
≥ d, maka a + c ≥ b + d

9. CONTOH :
 Jika a = 4 dan b = 6, a < b, sebab 4 < 6 dan –a ≥ -b, sebab -4 > -6
 Jika a=4 dan b = 6 serta x= 3 maka x.a ≤ x.b, sebab 12 <18
 Jika a = 4 dan b = 6 serta x = -3, maka x.a ≥ x.b, sebab -12 > - 18
 Jika a = 4, b = 6 serta c= 5 dan d = 7 maka a + c ≤ b + d, sebab 9 < 13

10. OPERASI BILANGAN
 Kaidah komutatif
 Dalam menjumlahkan dua bilangan a dan b, perubahan
urutan antara keduanya tidak akan mengubah hasil
penjumlahan
 A + b = b + a
 Contoh : 4 + 6 = 6 + 4
 Hasil yang sama juga berlaku untuk perkalian;
 A x b = b x a
 Contoh : 4 x 6 = 6 x 4

11.  Kaidah asosiatif
 Dalam menjumlahkan tiga bilangan a, b dan c (atau lebih)
perubahan cara pengelompokan bilangan-bilangan tersebut
tidak akan mengubah hasil penjumlahan
 (a + b) + c = a + ( b + c)
 Contoh: (4+6)+5=4+(6+5)
 Begitu pula dalam hal perkalian
 ( a x b) x c = a x ( b x c)
 Contoh: (4x5)x6 = 4x(5x6)

12.  Kaidah pembatalan
 Jika jumlah a dan c sama dengan jumlah b dan c, maka a
sama dengan b;
 Jika a + c = b + c,
 Maka a = b
 Jika hasilkali a dan c sama dengan hasil kali b dan c, dimana
adalah bilangan nyata bukan nol, maka a sama dengan b:
 Jika a.c = b.c (c≠0)
 Maka a=b

13.  Kaidah distributif
 Dalam pengalian bilangan a terhadap jumlah (b+c), hasil
kalinya adalah sama dengan jumlah hasil kali ab dan hasil
ac, dengan kata lain, hasil kali sebuah bilangan terhadap
suatu penjumlahan adalah sama dengan jumlah hasilkali-
hasilkalinya.
 a(b+c) = a.b + a.c
 4(6+5) = (4x6)+(4x5)

14.  Unsur penyama
 Unsur penyama dalam senjumlahan /pengurangan adlaah
bilangan nol, sebab jumlah/selisih antara suatu bilagan
tertentu dengan nol adalah bilangan itu sendiri.
 a ± 0 = a
 Unsur penyama dalam perkalian atau pembagian adalah
bilangan satu, sebab hasil kali atau hasil bagi antara suatu
bilangan tertentu dengan 1 adalah bilangan itu sendiri
 a x 1 = a a : 1 = a

15.  Kebalikan
 Setiap bilangan nyata mempunyai sebuah balikan penambahan (additive
invers) ; jumlah atara bilangan tertentu dan balikan penambahannya adalah
sama dengan nol
 a + (-a) = 0
 4 + (-4) = 0
 Bilangan -4 disebut balikan penambah dari 4 atau negatif dari 4.
 Setiap bilangan nyata bukan nol mempunyai sebuah balikan pengali
(multiplicative invers) ; hasil kali bilangan tertentu terhadap balika
pengalinya adalah sama dengan satu
 a x (1/a) = 1
 4 x (1/4) = 1 ; ¼ disebut balikan pengali dari 4

16. OPERASI TANDA
Operasi penjumlahan
 Jumlah dari bilangan positif (+a) dan (+b) adalah sebuah
bilangan positif baru (+c) yang nilainya lebih besar
 (+a)+(+b) = (+c)
 (+4)+(+6)=(+10)
 Jumlah dari dua bilangan negatif (-a) dan (-b) adalah
sebuah bilangan negatif baru(-c) yang nilainya lebih kecil
 (-a)+(-b)=(-c)
 (-4)+(-6)=(-10)

17.  Jumlah dari bilangan positif (+a) dan bilangan negatif (-b)
adalah bilangan positif (+c) jika harga mutlak a lebih besar
dari harga mutlak b, atau bilangan negatif (-d) jika harga
mutlak a lebih kecil dari harga mutlak b.
 (+a)+(-b) = (+c) jika │a │ > │b │
 Contoh: (+9)+(-6) =(+3)
 (+a)+(-b) = (-d) jika │a │ < │b │
 Contoh: (+4)+(-6)=(-2)

18.  Jumlah bilangan negatif (-a) dan bilangan positif (+b) adalah
bilangan positif (+c) jika harga mutlak a lebih kecil dari harga
mutlak b, atau bilangan negatif (-d) jika harga mutlak a lebih
besar dari harga mutlak b
 (-a)+(+b) = (+c) jika │a │ < │b │
 Contoh: (-4)+(+6) =(+2)
 (-a)+(+b) = (-d) jika │a │ > │b │
 Contoh: (-9)+(+6)=(-3)

19. Operasi pengurangan
 Selisih antara dua bilangan positif a dan b adalah bilangan
positif, jika harga mutlak a lebih besar dari harga mutlak b,
dan sebaliknya
 (-a) – (+b) = (+c) jika │a │ > │b │
 (+9) – (+6) = (+3)
 (+a) – (+b) = (-d) jika │a │ < │b │
 (+4) – (+6) = (-2)

20. Selisih antara bilangan positif (+a) dan bilangan negatif (-b)
adalah sebuah bilangan positif (+c); hal ini identik dengan
penjumlahan
 (-a) – (-b) = (+c)
 (+4) – (-6) = (+10)
Selisih antara bilangan negatif (-a) dan bilangan positif (+b)
adalah sebuah bilangan negatif baru (-c); hal ini identik
dengan penjumlahan dua bilangan negatif.
 (-a) –(+b) = (-c)
 (-4) –(+6) = (-10)

21. Operasi perkalian
 Hasil kali antara dua bilangan positif serta antara dua
bilangan negatif adalah sebuah bilangan positif
 (+a)x(+b) = (+c) ; (-a)x(-b) = (+c)
 (+4)x(+6) =(+24) ; (-4)x(-6) = (+24)
 Hasil kali antara dua bilangan yang berlainan tanda adalah
sebuah bilangan negatif
 (+a)x(-b) = (-c)
 (+4)x(-6) = (-24)

22. Operasi pembagian
 Hasil bagi antara dua bilangan positif serta dua bilangan
negatif adalah bilangan positif
 (+a) : (+b) = (+c) ; (-a) : (-b) = (+c)
 (+8) : (+4) = (+2) ; (-8) : (-4) = (+2)
 Hasil bagi antara dua bilangan yang berlainan tanda adalah
sebuah bilangan negatif
 (+a) : (-b) = (-c)
 (+8) : (-4) = (-2)

23. PANGKAT
 Pangkat dari sebuah bilangan ialah suatu indeks yang menunjukkan
banyaknya perkalian bilangan yang sama secara beruntun.
 Notasi: xa, artinya x harus dikalikan dengan x itu sendiri secara berturut-
turut sebanyak a kali.
 Contoh: 7x7x7x7x7 diringkas menjadi 75
 Notasi perpangkatan juga digunakan untuk meringkas bilangan kelipatan
perkalian per sepuluh,
 Contoh: 10.000 = 104
,
 5.000 = 5 x 103
0,000.000.001 = 10-9
0,000.000.034 = 34 x 10-9

24.  Kaidah pemangkatan bilangan
 Bilangan bukan nol berpangkat nol adalah satu, x0 = 1 (x≠0) , contoh 30 = 1
 Bilangan berpangkat satu adalah bilangan itu sendiri, x1 = x, contoh 31 =3
 Nol berpangkat sebuah bilangan adalah nol,
 0x = 0, contoh 03 = 0
 Bilangan berpangkat negatif adalah balikkan pengali dari bilangan itu
sendiri,
 X-a = 1/(xa), contoh 3-2 = 1/(32) = 1/9
 Bilangan pecahan berpangkat adalah hasil bagi suku-suku berpangkatnya,
 (x/y)a = (xa)/(ya), contoh (3/5)2 = (32)/(52)= 9/25

25.  Bilangan berpangkat dipangkatkan lagi adalah bilangan
berpangkat hasil kali pangkat-pangkatnya,
 (xa)b = xab, contoh (32)4= 32x4 = 6561

26. Ayo........
KAMU
PASTI BISA
!!!