1. Dokumen ini membahas tentang analisis varians yang digunakan untuk menguji hipotesis mengenai parameter populasi berdasarkan data sampel. 2. Ada dua jenis varians yaitu varians sistematik dan varians galat. Varians sistematik terjadi karena pengaruh antar kelompok sedangkan varians galat terjadi di dalam kelompok. 3. Analisis varians satu arah digunakan untuk menguji kesamaan rata-rata beberapa populasi dengan menggunakan stat

1. Analisis Varians
1
PENDAHULUAN
Kita tahu bahwa kumpulan hasil pengamatan mengenai sesuatu hal, skor hasil
belajar para siswa, berat bayi yang baru lahir, gaji pegawai di suatu perusahaan
misalnya, nilai datanya bervariasi dari yang satu dengan yang lain. Karena adanya
variasi atau ragam ini untuk sekumpulan data, telah dihitung alat ukurnya, utamanya
varians. Kita lihat juga bahwa varians bersama-sama rata-rata telah banyak digunakan
untuk membuat kesimpulan mengenai populasi , baik secara deskriptif maupun secara
induktif melalui penaksiran dan pengujian hipotesis mengenai parameter.
Dalam bab ini, varians akan dibahas lebih lanjut dengan terlebih dahulu melihat
berbagai jenis varians kemudian menggunakannya untuk pengujian hipotesis melalui
teknik analisis varians, disingkat ANAVA (ANA dari analisis dan VA dari varians).
2. JENIS VARIANS
Secara umum varians dapat digolongkan kedalam varians sistematik dan varians
galat. Varians sistimatik adalah variasi pengukuran karena adanya pengaruh yang
menyebabkan skor atau nilai data lebih condong ke satu arah tertentu dibandingkan
kea rah lain. Setiap pengaruh alami atau buatan manusia yang menyebabkan
terjadinya peristiwa dapat diduga atau diramalkan dalam arah tertentu, merupakan
pengaruh sistematik sehingga menyebabkan terjadinya varians sistematik. Cara
mengajar yang dilakukan seorang ahli secara sistematik mempengaruhi kemajuan
anak didik lebih baik bila dibandingkan dengan kemajuan anak yang diajar
sembarangan, hasil skor ujiannya menggambarkan adanya varians sistematik.
Salah satu jenis varians sistematik dalam kumpulan data hasil penelitian adalah
varians antar kelompok atau kadang-kadang disebut pula varians eksperimental.
Varians ini menggambarkan adanya perbedaan atau variasi sistematik antara
kelompok-kelompok hasil pengukuran. Dengan demikian varians ini terjadi karena
adanya perbedaan antara kelompok-kelompok individu.
Contoh : Misalkan ada empat kelas siswa, tiap kelas banyak muridnya sama, sedang
belajar Inggris, masing-masing kelas diajar oleh seorang guru dan tiap guru
menggunakan metoda mengajar yang berbeda, sebut A, B, C dan D. Nilai
hasil ujian akhir proses belajar untuk tiap metoda, rata-rata seperti berikut :
Metoda
A
B
C
D
Rata-rata
67,3
76,5
56,9
63,7
RAHMA SISKA UTARI
1

2. aggap rata-rata ini sebagai data biasa lalu hitung variansnya; diperoleh
varians antar kelompok A, B, C, dan D. Besarnya dihitung sebagai berikut.
Karena tiap kelas banyak muridnya sama, maka :
Rata –rata untuk keempat rata-rata itu :
1
67,3  76,5  56,9  63,7 = 66,1
4
Jumlah kuadrat-kuadrat (JK) dikoreksi, yaitu setiap data dikurangi rataratanya lalu dikuadratkan, dan kemudian dijumlahkan, adalah :
(67,3 – 66,1) 2 + (76,5 – 66,1) 2 + (56,9 – 66,1) 2 + (63,7 + 66,1) 2 = 200.
Bagi oleh derajat kebebasannya, ialah banyak kelompok dikurangi satu, jadi
4 – 1 = 3, diperoleh varians antar kelompok A, B, dan D sebesar 66,67.
Contoh : Misalkan dua jenis makanan ayam, (sebut A dan B) dicobakan ; A terhadap
5 ekor ayam dan B terhadap 4 ekor ayam. Segala karakteristik ke-9 ekor
ayam itu (misalnya besarnya, jenisnya, umurnya dan lain-lain) sama. Setelah
20 hari percobaan pertambahan berat dagingnya (dalam ons) ditimbang dan
dicatat. Hasilnya seperti berikut :
Makanan A
3,2
3,7
3,9
3,6
3,5
Makanan B
2,2
2,9
2,5
2,4
-
Pertambahan berat daging karena kedua jenis makanan itu, rata-ratanya
masing-masing x A = 3,58 dan x B = 2,50. Rata-rata ini berbeda, bervariasi
sehingga kita katakan ada varians antar kelompok.
Kita hitung dulu varians ini sebagai berikut.
Karena ukuran sample berbeda, maka rata-rata untuk kedua rata-rata di atas
53,58  4(2,50)
adalah :
= 3,1
9
RAHMA SISKA UTARI
2

3. Jumlah kuadrat (JK) dikoreksi untuk makanan A adalah 5(3,58 – 3,1) 2 =
1,152 dan JK dikoreksi untuk makanan B adalah 4(2,50 – 3,1) 2 = 1,44. JK
dikoreksi untuk kedua rata-rata antar kelompok ini adalah 1,152 + 1,44 =
2,592. Jika JK dikoreksi ini dibagi oleh derajat kebebasan kedua rata-rata,
ialah (2-1) = 1, diperoleh varians antar kelompok 2,592.
Sekarang gabungkan ke-9 buah data itu lalu hitung variansnya. Dengan
jalan ini kita peroleh varians lain yang dinamakan varians total. Untuk
menghitung varians total, seperti biasa digunakan rumus yang untuk itu
diperlukan rata-rata ke-9 data, setelah dihitung besarnya 3,1. JK koreksi
total untuk ke-9 data itu adalah
(3,2 - 3,1) 2 + (3,7 – 3,1) 2 + . . . + (2,4 – 3,1) 2 = 31,2. Setelah dibagi oleh
derajat kebebasannya, ialah (9 – 1) = 8 diperoleh varians total sebesar 0,39.
Varians total ini berisikan semua sumber variasi dalam skor yang sudah
diketahui satu diantaranya adalah varians antar kelompok.
Mari kita cari jenis varians lainnya.
Untuk ini kita hitung varians makanan A dan varians makanan B lalu dicari
rata-ratanya. Yang diperoleh adalah varians lain yang dinamakan varians
dalam kelompok atau kadang-kadang disebut juga varians galat.
Perhitungannya adalah sebagai berikut :
JK dikoreksi untuk data makanan A adalah :
(3,2 – 3,58)2 + . . . + (3,5 – 3,58)2 = 0,268 sedangkan
JK dikoreksi untuk data makanan B adalah :
(2,2 – 2,50) 2 + . . . + (2,4 – 2,50) 2 = 0,26.
Kedua JK ini jumlahnya = 0,528. Bagi oleh derajat kebebasannya, ialah
7 (=9 – 2) menghasilkan varians dalam kelompok 0,0754.
Dari contoh di atas diperoleh kenyataan berikut :
JK koreksi antar kelompok = 2,592 dan
JK koreksi dalam kelompok = 0,528 yang jika dijumlahkan menghasilkan 3,12.
Jumlah ini sama dengan JK koreksi total. Memang demikian bahwa untuk jumlah
koreksi ini berlaku aturan :
JK total = JK antar kelompok + JK dalam kelompok.........................XIV(1)
RAHMA SISKA UTARI
3

4. A. ANALISIS VARIANS SATU ARAH
Dalam bagian ini akan dibahas perluasan, yaitu menguji kesamaan k, (k > 2),
buah rata-rata populasi. Tepatnya, misalkan kita mempunyai k, (k > 2), buah populasi
yang masing-masing berdistribusi independent dan normal dengan rata-rata 1 ,
2 , . . . , k dan simpangan baku berturut-turut  1 ,  2 , . . . ,  k . Akan diuji
hipotesis nol H 0 dengan tandingan H 1 :

H0 :1 2 ...K
H1:palingsedikit satu tandasama dengan tid berlaku
ak
Selain daripada asumsi kenormalan tentang populasi, untuk pengujian ini juga
2
akan dimisalkan bahwa populasi bersifat homogen ialah bahwa 12   2  ...   k2 .
Dari tiap populasi secara independent kita ambil sebuah sample acak, berukuran
n 1 dari populasi kesatu, n 2 dari populasi ke dua dan seterusnya berukuran n k dari
populasi ke k.
Data sample akan dinyatakan dengan Y ij yang berarti data ke-j dalam sample
yang diambil dari populasi ke-i. Untuk memudahkan, sebaiknya data sample disusun
seperti dalam Daftar XIV (1).
DAFTAR XIV(1)
DATA SAMPEL DARI k BUAH POPULASI BERDISTRIBUSI NORMAL
DARI POPULASI KE
1
Pengamatan
.
.
.
.
k
Y 21
Y 31
.
.
.
.
Y k1
Y 12
Y 22
Y 32
.
.
.
.
Y k2
Y 13
Hasil
3
Y 11
Data
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
RAHMA SISKA UTARI
4

5. Y 1n1
Y 2n2
Y 3n3
Jumlah
J1
J2
J3
Rata-rata
Y1
Y2
Y3
.
.
.
.
Y knk
.
.
.
.
Jk
.
.
.
.
Yk
Untuk menguji H 0 melawan H 1 yang kita bicarakan, varians-varians inilah
yang akan digunakan, tepatnya varians antar kelompok dan varians dalam kelompok.
Dengan persyaratan tentang populasi seperti tersebut di atas, ternyata bahwa rasio
varians antar kelompok terhadap varians dalam kelompok membentuk statistic F,
tepatnya
F=
varians antar kelompok
…………………………………XIV(2)
varians dalam kelompok
Statistik inilah yang digunakan untuk menguji H 0 .
Jika kedua varians dalam statistic F di atas dituliskan menggunakan jumlah
kuadrat, maka rumus XIV(2) untuk menguji H 0 berubah menjadi
n Y  Y  /K  1
k
F=
i 1
n1
2
1
i
  Y
k
i 1
i 1
ij
 Yi  /  n1  1
2
k
…………..…………………XIV(3)
i 1
Dengan
Y ij = data ke-j dalam sample ke-i
i = 1, 2, 3, . . , k dan j = 1, 2, . . . , n i
RAHMA SISKA UTARI
5

6. (n i = ukuran sample dari populasi ke-i).
ni
YI =
Y
IJ
j 1
/ ni  rata - rata untuk sample ke - i
k
ni
i 1
j 1
 
Y=
k
Yij  n1  rata - rata untuk semua data
i 1
Ternyata bahwa statisitik di atas berdistribusi F dengan dk pembilang
v 1 = (k - 1) dan dk penyebut v 2 = (n 1 + . . . + n k - k). Kriteria pengujian adalah :
tolak H 0 jika F  F (1 )(V1 .V2 ) , di mana F (1 )(V1 .V2 ) dapat dilihat dari daftar distribusi F
dengan peluang 1    dan dk = v1.v2  . Di sini  = taraf nyata untuk pengujian.
Untuk memudahkan perhitungan, rumus XIV(3) diubah seperlunya dan akan
digunakan simbul-simbul berikut :
R y = J 2 /  ni dengan J = J 1 + J 2 + . . . + J k
Ay =

( J
2
i
/ ni )  Ry
Y 2 = jumlah kuadrat-kuadrat (JK) dari semua nilai pengamatan
Dy =

Y2 - R y - A y
R y , A y , D y , dan  Y 2 merupakan jumlah kuadrat-kuadrat (JK) yang berturutturut berdasarkan sumber-sumber variasi rata-rata, antar kelompok, dalam kelompok,
dan total. Setiap JK sumber variasi didampingi oleh derajat kebebasan (dk). Untuk
rata-rata dk = 1 , untuk antar kelompok dk = (k - 1), untuk dalam kelompok dk =
 (n i - 1) dan untuk total dk =  ni .
Jika tiap JK dibagi derajat kebebasannya masing-masing, diperoleh varians
untuk masing-masing sumber variasi yang di sini akan disebut kuadrat tengah (KT).
Dengan jalan membagi KT antar kelompok oleh KT dalam kelompok, maka
diperoleh harga :
F=
Ay / k  1
Dy /  ni  1
………………………………………….XIV(4)
RAHMA SISKA UTARI
6

7. yang dapat digunakan untuk menguji hipotesis kesamaan beberapa rata-rata populasi.
Jika harga F ini lebih besar dari F daftar dengan dk pembilang (k – 1) dan dk
penyebut  (n i - 1) untuk  yang dipilih, maka hipotesis nol H 0 kita tolak.
Analisis untuk menguji kesamaan k buah rata-rata populasi yang dibicarakan di
sini dikenal dengan analisis varians satu arah. Dinamakan demikian karena
analisisnya menggunakan varians dan data hasil pengamatan merupakan pengaruh
satu factor.
Untuk memudahkan analisis, satuan-satuan JK ialah : R y , A y , D y , dan  Y 2 ,
sebaiknya disusun dalam daftar analisis varians, daftar ANAVA, seperti dapat dilihat
dalam Daftar XIV(2).
DAFTAR XIV(2)
DAFTAR ANALISIS VARIANS UNTUK MENGUJI
H 0 : 1 = 2 = . . . = k
(POPULASI NORMAL HOMOGEN)
Sumber Variasi
Antar Kelompok
Dlam Kelompok
JK
KT
Ry
R=Ry/1
Ay
A = A y / (k – 1)
n 1
Dy
D=Dy/
n
Rata-rata
dk
Y
1
k-1
i
Total
i
2
---
F
A/D
n 1
i
---
Contoh : Empat macam campuran makanan diberikan kepada kambing dalam rangka
percobaan untuk meningkatkan pertambahan berat dagingnya.
Setelah percobaan selesai, pertambahan berat dagingnya dicatat dan
hasilnya sebagai berikut.
RAHMA SISKA UTARI
7

8. DAFTAR XIV(3)
PERTAMBAHAN BERAT DAGING KAMBING (DALAM KG)
SETELAH PERCOBAAN SELESAI
PERTAMBAHAN BERAT KARENA MAKANAN KE
1
2
3
4
12
14
6
9
Data
20
15
16
14
Hasil
23
10
16
18
Pengamatan
10
19
20
19
17
22
Jumlah
82
80
58
60
Rata-rata
16,4
16,0
14,5
15,0
Kita misalkan , bahwa pertambahan berat berdistribusi normal dan dalam
bagian Bagian
16, Bab XII, dalam contoh untuk data yang sama tidak diuji
2
2
bahwa populasinya mempunyai varians yang homogen, yaitu :  12 =  2 =  32 =  4 .
Untuk memperoleh daftar analisis varians, diperlukan harga-harga berikut.
Ry =
82  80  58  602 78400
5544
18
 4.355,56
Ay =
822 802 582 602



4.355,56 = 10,24
5
5
4
4
Y
= 12 2 + 20 2 + . . . + 18 2 + 19 2 = 4.738
2
RAHMA SISKA UTARI
8

9. D y = 4.738 – 4.355,56 – 10,24 = 372,20
Dengan k = 4,  ni = 18 dan  ni 1 = 14 maka daftar analisis varians atau
ANAVA untuk soal di atas nampak seperti dalam Daftar XIV(4) berikut.
DAFTAR XIV(4)
DAFTAR ANALISIS VARIANS PERTAMBAHAN BERAT DAGING
KAMBING KARENA 4 MACAM MAKANAN
Sumber Variasi
dk
JK
KT
1
4355,56
4355,56
3
10,24
3,41
14
372,20
26,59
18
4738
-
F
Rata-rata
Antar Kelompok
0,128
Dalam Kelompok
Total
-
Dengan Rumus XIV(4) didapat harga F = 0,128.
Dari daftar distribusi F dengan dk pembilang 3 dan dk penyebut 14 dan peluang
0,95 (jadi  = 0,05) didapat F = 3,34. Ternyata bahwa F = 0,128 lebih kecil dari
3,34 ; jadi hipotesis H 0 : 1 = 2 = 3 = 4 diterima dalam taraf nyata 0,05.
Keempat macam campuran makanan itu menyebabkan pertambahan berat badan
kambing yang tidak berbeda secara nyata. Dengan kata lain, keempat macam
makanan itu sama efektifnya sehingga campuran mana saja yang digunakan akan
memberikan hasil yang secara nyata tidak berbeda.
RAHMA SISKA UTARI
9

10. Daftar Pustaka
Sudjana.2002.Metoda Statistika.Tarsito : Bandung.
RAHMA SISKA UTARI
10