Downloaded 1,414 times
![ii
Kata Pengantar
Assalamualaikum Warahmatullahi Wabarakatuh.
Alhamdulillah, segala puji dan syukur kehadirat Allah SWT, karena atas
rahmat-Nya, mahasiswa PPs Unsri Jurusan Magister Pendidikan Matematika
angkatan 2013, dapat menyelesaikan tugas mata kuliah geometri pembuktian
teorema Pythagoras ini tepat waktu dan diberikan kemudahan dalam
menyelesaikannya.
Tugas ini berisi 23 pembuktian teorema Pythagoras yang diberikan oleh
dosen pengasuh mata kuliah Geometri, Dr. Somakim, M.Pd dan Dr. Nila
Kusumawati, M.Pd sebagai evaluasi terhadap sub materi Teorema Pythagoras
yang telah dipelajari dan didapat oleh mahasiswa program pascasarjana
pendidikan matematika angkatan 2013.
Dalam penyelesaian tugas ini editor sadari masih banyak kekurangan, baik
dari segi penulisan dan penyuntingan naskah yang dikerjakan oleh teman-teman
sekalian. Oleh karena itu, bimbingan dari Bapak dan Ibu dosen mata kuliah
geometri sangat kami harapkan.
Semoga tugas ini dapat memberikan manfaat bagi kami, dan civitas
akademia pada umumnya,
Wassalamualaikum Warahmatullahi Wabarakatuh.
Palembang, 12 Desember 2013
RSU [Editor]](https://image.slidesharecdn.com/23carapembuktianteoremapythagoras-140314005010-phpapp01/85/23-Cara-Pembuktian-Teorema-Pythagoras-2-320.jpg)
![3
4. Luas segitiga daerah 1
Luas ∆ B B’C’ =
5. Lihat gambar segitiga (2) dan (3)
Luas ∆ A’B’C’ =
Luas ∆ [ (1) + (2) ] atau ∆ ABB’
a
a
B
a
1
B’ a C
b
b
b
b](https://image.slidesharecdn.com/23carapembuktianteoremapythagoras-140314005010-phpapp01/85/23-Cara-Pembuktian-Teorema-Pythagoras-7-320.jpg)
![4
Luas ∆ [ (1) + (2) ] atau ∆ ABB’ =
6. Luas ∆ (3)
Luas ∆ (3) atau ∆ ABB’ =
___________________________________ +
y
c](https://image.slidesharecdn.com/23carapembuktianteoremapythagoras-140314005010-phpapp01/85/23-Cara-Pembuktian-Teorema-Pythagoras-8-320.jpg)
![6
3. Buat masing-masing rumus untuk setengah lingkaran yang telah dibuat tadi.
lalu kita selesaikan
Pembuktian :
L ½ O diameter a + L ½ O diameter b = L ½ O diameter c
½𝜋𝑟𝑎
2
+ ½𝜋𝑟 𝑏
2
= ½𝜋𝑟𝑐
2
½𝜋(𝑎/2)2
+ ½𝜋(𝑏/2)2
= ½𝜋(𝑐/2)2
½𝜋 [ (𝑎/2)2
+ (𝑏/2)2
] = ½𝜋(𝑐/2)2
( x
1
½𝜋
)
a2/4 + b2/4 =c2/4
(x 4)
a2 + b2 = c2
Terbukti bahwa dengan menggunakan setengah lingkaran kita bisa
membuktikan teorema phytagoras.](https://image.slidesharecdn.com/23carapembuktianteoremapythagoras-140314005010-phpapp01/85/23-Cara-Pembuktian-Teorema-Pythagoras-10-320.jpg)
Uploaded byRahma Siska Utari
23 Cara Pembuktian Teorema Pythagoras
Dokumen ini merupakan tugas pembuktian teorema Pythagoras oleh mahasiswa magister pendidikan matematika Universitas Sriwijaya. Terdapat 23 metode pembuktian yang berbeda, termasuk pembuktian menggunakan transformasi, setengah lingkaran, dan metode klasik dari pakar seperti Bhaskara dan Leonardo da Vinci. Tugas ini bertujuan untuk mengevaluasi pemahaman mahasiswa terhadap sub materi teorema Pythagoras yang telah dipelajari.
More Related Content
Similar to 23 Cara Pembuktian Teorema Pythagoras
23 Cara Pembuktian Teorema Pythagoras
- 1. i Pembuktian Teorema Pythagoras Sebagai TugasMata Kuliah Geometri Oleh Mahasiswa Pascasarjana Universitas Sriwijaya Program Studi MagisterPendidikan Matematika Angkatan 2013 Padasebuah segitiga siku-siku, kuadrat sisi miring (sisi di depan sudut siku-siku) samadenganjumlah kuadrat sisi-sisi yang lain
- 2. ii Kata Pengantar Assalamualaikum WarahmatullahiWabarakatuh. Alhamdulillah, segala puji dan syukur kehadirat Allah SWT, karena atas rahmat-Nya, mahasiswa PPs Unsri Jurusan Magister Pendidikan Matematika angkatan 2013, dapat menyelesaikan tugas mata kuliah geometri pembuktian teorema Pythagoras ini tepat waktu dan diberikan kemudahan dalam menyelesaikannya. Tugas ini berisi 23 pembuktian teorema Pythagoras yang diberikan oleh dosen pengasuh mata kuliah Geometri, Dr. Somakim, M.Pd dan Dr. Nila Kusumawati, M.Pd sebagai evaluasi terhadap sub materi Teorema Pythagoras yang telah dipelajari dan didapat oleh mahasiswa program pascasarjana pendidikan matematika angkatan 2013. Dalam penyelesaian tugas ini editor sadari masih banyak kekurangan, baik dari segi penulisan dan penyuntingan naskah yang dikerjakan oleh teman-teman sekalian. Oleh karena itu, bimbingan dari Bapak dan Ibu dosen mata kuliah geometri sangat kami harapkan. Semoga tugas ini dapat memberikan manfaat bagi kami, dan civitas akademia pada umumnya, Wassalamualaikum Warahmatullahi Wabarakatuh. Palembang, 12 Desember 2013 RSU [Editor]
- 3. iii Daftar Isi Halaman Judul................................................................................................i Kata Pengantar................................................................................................ ii Daftar Isi......................................................................................................... iii Pendahuluan.................................................................................................... 1 1 Pembuktian Teorema Pythagoras Menggunakan Transformasi oleh Ruslan Ridwan....................................................................................... 2 2 Pembuktian Teorema Pythagoras Menggunakan Setengah Lingkaran oleh Rahmawati...................................................................................... 5 3 Pembuktian Teorema Pythagoras dari Bhaskara oleh Lusinda Hutauruk................................................................................................. 7 4 Pembuktian Teorema Pythagoras dari Leonardo Da Vinci oleh Risnina Wafiqoh..................................................................................... 8 5 Pembuktian Teorema Pythagoras dengan Putaran Berdasarkan Geometri oleh Marina Zahara................................................................ 9 6 Pembuktian Teorema Pythagoras Menggunakan Segitiga Sembarang dari Thabit Ibn Qurra oleh Henry kurniawan......................................... 12 7 Pembuktian Teorema Pythagoras dengan Persamaan Diferensial oleh Rahma Siska Utari.................................................................................. 14 8 Pembuktian Teorema Pythagoras dengan Persegi oleh Riya Apriyani.................................................................................................. 18 9 Pembuktian Teorema Pythagoras dari Thabib Ibn Qurra oleh Lukluk Khuriyati................................................................................................ 22 10 Pembuktian Teorema Pythagoras dari Euclid oleh Dinal Ulya............. 24 11 Pembuktian Teorema Pythagoras Menggunakan Luas Segitiga Siku- siku dan Luas Persegi oleh Tarsudin...................................................... 29 12 Pembuktian Teorema Pythagoras Menggunakan Bayangan atau Menggunakan Prinsip Kesamaan Luas Bangun oleh Liana Septy......... 30
- 4. iv 13 Pembuktian TeoremaPythagoras dari David Houston oleh Hardiyanti Indriani................................................................................................... 32 14 Pembuktian Teorema Pythagoras sang Presiden James Garfield oleh Sri Handayani........................................................................................ 34 15 Pembuktian Teorema Pythagoras dengan Garis Tinggi dan Sifat Segitiga Sebangun oleh Khairun Nisak.................................................. 36 16 Pembuktian Teorema Pythagoras dengan Identitas Trigonometri oleh Ririn Suparti KN.................................................................................... 37 17 Pembuktian Teorema Pythagoras “Bukti Tanpa Kata II” oleh Mewa Zabeta..................................................................................................... 38 18 Pembuktian Teorema Pythagoras dengan Dasar Perbandingan Lagi oleh Al-Nindu Bunga Sabrina................................................................ 40 19 Pembuktian Teorema Pythagoras dengan Tiga Trapesium oleh Melly Arthalia................................................................................................... 41 20 Pembuktian Teorema Pythagoras dengan Segitiga Sama Sisi oleh Ninik Charmila....................................................................................... 43 21 Pembuktian Teorema Pythagoras dengan Cara Tambah lalu Geser oleh Reny Wahyuni................................................................................ 46 22 Pembuktian Teorema Pythagoras dari Pappus oleh Tri Wahyudi......... 48 23. Pembuktian Teorema Pythagoras dengan Bukti dari Sekolah Pythagoras oleh Yudi Yunika Putra....................................................... 52 Daftar Pustaka................................................................................................. 54
- 5. 1 PEMBUKTIAN TEOREMA PYTHAGORAS PENDAHULUAN TeoremaPythagoras merupakan salah satu teorema yang telah dikenal manusia sejak peradaban kuno. Nama teorema ini diambil dari nama seorang matematikawan Yunani yang bernama Pythagoras. Pythagoras lahir di pulau Samos, Yunani, sekitar tahun 570 SM. Sesuai dengan nasehat gurunya Thales, Pythagoras muda mengunjungi Mesir sekitar tahun 547 SM dan tinggal di sana. Bangsa Mesir kuno telah mengetahui bahwa segitiga dengan panjang sisi 3, 4 dan 5 akan membentuk sebuah sudut siku-siku. Mereka menggunakan tali yang diberi simpul pada beberapa tempat dan menggunakannya untuk membentuk sudut siku-siku pada bangunan- bangunan mereka termasuk piramid. Seperti gambar 1 di bawah Gambar 1. Segitiga Siku-Siku yang Dibentuk dari Seutas Tali Diyakini bahwa mereka hanya mengetahui tentang segitiga dengan sisi 3, 4 dan 5 yang membentuk segitiga siku-siku, sedangkan teorema yang berlaku secara umum untuk segitiga siku-siku belum mereka ketahui. Di Cina, Tschou-Gun yang hidup sekitar 1100 SM juga mengetahui teorema ini. Demikian juga di Babylonia, teorema ini telah dikenal pada masa lebih dari 1000 tahun sebelum Pythagoras. Sebuah keping tanah liat dari Babilonia pernah ditemukan dan memuat naskah yang kira-kira berbunyi sebagai berikut: “4 is length and 5 the diagonal. What is the breadth?” Pythagoras-lah yang telah membuat generalisasi dan membuat teorema ini menjadi populer..Secara singkat teorema Pythagoras berbunyi: Pada sebuah segitiga siku-siku, kuadrat sisi miring (sisi di depan sudut siku-siku) sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi yang lain
- 6. 2 1. Pembuktian TeoremaPythagoras Menggunakan Transformasi Oleh Ruslan Ridwan, NIM 06022681318006 Adapun langkah-langkah pembuktian teorema pythagoras menggunakan transformasi, sebagai berikut: 1. Gambar segitiga ABC siku-sikunya di C 2. Putarlah segitiga ABC sebesar 900 berlawanan arah dengan putaran jarum jam dengan pusat rotasi titik C. 3. Dari gambar di atas kita bagi menjadi tiga buah daerah segitiga dimana segitiga baru A’B’C’ berimpit dengan segitiga ABC. B C A
- 7. 3 4. Luas segitigadaerah 1 Luas ∆ B B’C’ = 5. Lihat gambar segitiga (2) dan (3) Luas ∆ A’B’C’ = Luas ∆ [ (1) + (2) ] atau ∆ ABB’ a a B a 1 B’ a C b b b b
- 8. 4 Luas ∆ [(1) + (2) ] atau ∆ ABB’ = 6. Luas ∆ (3) Luas ∆ (3) atau ∆ ABB’ = ___________________________________ + y c
- 9. 5 2. Pembuktian TeoremaPythagoras Menggunakan Setengah Lingkaran Oleh Rahmawati, NIM 06022681318016 Adapun langkah-langkah pembuktian teorema pythagoras menggunakan setengah lingkaran, sebagai berikut: 1. Pertama kita gambar segitiga siku-siku ABC. Seperti gambar 2.1 Segitiga Siku- siku ABC di bawah. Gambar 2.1 Segitiga Siku-siku ABC 2. Dari segitiga siku-siku ABC di atas, buat masing-masing sisi menjadi setengah lingkaran dengan diameter sepanjang sisi-sisinya. Pada gambar 2.2 di bawah terlihat segitiga siku-siku ABC, dengan masing-masing sisinya sebagai diameter setengah lingkaran. c Gambar 2.2 Setengah Lingkaran dengan Diameter Sisi-sisi Segitiga Siku-siku ABC C A B a c b C A B a c b
- 10. 6 3. Buat masing-masingrumus untuk setengah lingkaran yang telah dibuat tadi. lalu kita selesaikan Pembuktian : L ½ O diameter a + L ½ O diameter b = L ½ O diameter c ½𝜋𝑟𝑎 2 + ½𝜋𝑟 𝑏 2 = ½𝜋𝑟𝑐 2 ½𝜋(𝑎/2)2 + ½𝜋(𝑏/2)2 = ½𝜋(𝑐/2)2 ½𝜋 [ (𝑎/2)2 + (𝑏/2)2 ] = ½𝜋(𝑐/2)2 ( x 1 ½𝜋 ) a2/4 + b2/4 =c2/4 (x 4) a2 + b2 = c2 Terbukti bahwa dengan menggunakan setengah lingkaran kita bisa membuktikan teorema phytagoras.
- 11. 7 3. Pembuktian TeoremaPhytagoras dari Bhaskara Oleh Lusinda Hutahuruk, NIM 06022681318018 Pembuktian teorema pythagoras ini merupakan hasil karya ilmuwan India yaitu Bhaskara. Adapun penjelesan Bhaskara sebagai berikut: Pada gambar 3.1 bujur sangkar ABCD di bawah. Bangun ABCD berupa bujur sangkar dengan sisi c, yang di dalamnya terdapat empat buah segitiga siku-siku dengan panjang sisi a dan b. Gambar 3.1 Bujur Sangkar ABCD Dengan kontruksi bangun tersebut, maka didapatkan: Luas PQRS + 4 x luas ABQ = luas ABCD ( b – a )2 + 4 x 1 2 𝑎𝑏 = 𝑐2 𝑏2 − 2𝑎𝑏 + 𝑎2 + 2𝑎𝑏 = 𝑐2 𝑏2 + 𝑎2 = 𝑐2 Dari penjelasan di atas maka terbukti bahwa karya dari Bhaskara merupakan salah satu cara dari pembuktian teorema Pythagoras.
- 12. 8 4. Bukti TeoremaPhytagoras dari Leonardo Da Vinci Oleh Risnina Wafiqoh, NIM 06022681318022 Diberikan segitiga siku-siku ABC dan segitiga JHI yang kongruen dengan segitiga ABC. Dan dihubungkan garis-garis pada segitiga tersebut sehingga didapatkan seperti gambar 4.1 Segitiga Siku-siku ABC dan Segitiga Siku-siku JHI berikut: Gambar 4.1 Segitiga Siku-siku ABC dan Segitiga Siku-siku JHI Dari gambar di atas, dapat dilihat bahwa segiempat ABHI, JHBC, ADGC, dan EDGF adalah konruen (S,S,S). maka: Luas (ADGC)+luas (EDGF) = luas (ABHI) + luas (JHBC) Luas (ADEFGC) = luas (ABCJHI) Karena, bangun ADEFGC dan bangun ABCJHI memuat 2 segitiga yang kongruen dengan sigitiga ABC, maka: Luas (ADGC)+luas (EDGF) = luas (ABHI) + luas (JHBC) Luas (ADEFGC)-2.luas(ABC) = luas (ABCJHI)-2.luas(ABC) Luas (ABED)+luas (BCGF) = luas (ACHI) 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2
- 13. 9 5. Pembuktian TeoremaPythagoras dengan Putaran Berdasarkan Geometri Oleh Marina Zahara, NIM 06022681318023 Adapun langkah-langkah pembuktian dengan putaran berdasarkan geometri, sebagai berikut: 1. Buat 2 buah persegi dengan panjang sisi masing-masing berturut-turut a dan b 2. Kemudian gambar kembali 2 buah segitiga dengan menggunakan kedua panjang sisi dari 2 persegi (pada no 1) dan panjang sisi miringnya adalah c 3. Terbentuklah bangun darat segienam tak beraturan, seperti gambar 5.1 gambar segienam tak beraturan dari dua persegi di bawah. Gambar 5.1 Segienam Tak Beraturan dari Dua Persegi 4. Ambil setengah bagian dari kedua persegi dan salah satu daerah segitiga. 5. Buat titik Q dan P dari sudut persegi a dan b. 6. Sehingga terbentuklah daerah baru yang merupakan setengah bagian dari bangun datar. Seperti gambar 5.2 Setengah Bagian Segienam Tak Beraturan di bawah. Gambar 5.2 Setengah Bagian Segienam Tak Beraturan
- 14. 10 7. Dengan menggunakanpanjang persegi dan segitiga maka kita susun dan putar bangun tersebut. Pisahkan menjadi 2 bagian yang sama, sehingga di dapatkan 2 daerah yang sama yaitu daerah biru dan daerah kuning seperti gamabr 5.3 di bawah. Gambar 5.3 Daerah Biru dan Daerah Kuning 8. Ambil 2 segitiga pada gambar sebelumnya. Kemudian buat Persegi dengan panjang sisi c. Gabungkan semua bangun tersebut sehingga membentuk bangun datar yang utuh. Seperti gambar 5.4 di bawah. Gambar 5.4 Bangun Datar dari Persegi dan Segitiga Siku-siku 9. Secara keseluruhan perputaran gambar dapat dilihat pada gambar 5.5 di bawah.
- 15. 11 Gambar 5.5 ProsesPerputaran Dua Persegi yang Membentuk Segienam Berdasarkan penjelasan dari langkah-langkah di atas, maka didapatkan: Luas daerah gambar awal = 𝑎2 + 𝑏2 + 2. 1 2 . 𝑎𝑏 Luas daerah gambar akhir = 𝑐2 + 2. 1 2 . 𝑎𝑏 Oleh karena tidak mengubah ukuran transformasi di atas, maka luas daerah tersebut sama. Sehingga dengan mengurangi masing-masing oleh ab atau mengambil kedua bangun segitiga siku-siku akan diperoleh: 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2
- 16. 12 6. Pembuktian TeoremaPythagoras Menggunakan Segitiga Sembarang dari Thabit Ibn Qurra Oleh Hendry Kurniawan, NIM 06022681319024 Teorema Pythagoras juga dapat dibuktikan dengan menggunakan segitiga sembarang. Pertama gambat segitiga siku-siku dengan panjang sisi a,b,dan c. Seperti gambar di bawah ini. Buat titik D dan C memotong AB, sehingga AD=AE=b. Kemudian buat lingkaran dengan titik pusat A, jari-jari B, dan lingkaran menyinggung titik C. Seperti gambar di bawah.
- 17. 13 Karena diameter lingkaranadalah DE (sisi miring segitiga siku-siku) dan sudut siku-siku menyinggung lingkaran maka Segitiga DBC dan BEC memiliki sudut yang sama di <CEB sebelumnya juga diketahui bahwa <BCD=<ACE sehingga segitiga DBC dan BEC adalah sebangun.
- 18. 14 7. Pembuktian TeoremaPythagoras dengan Persamaan Diferensial Oleh Rahma Siska Utari, NIM 06022681318028 Cara pertama Pembuktian teorema pythagoras dengan persamaan diferensial dibuktikan oleh John Molokach. Adapun langkah-langkah pembuktian yang dikemukakan oleh Molokach (Cut The Knot, 2010) sebagai berikut: 1. Gambar segitiga siku-siku pada kuadran satu, dengan panjang sisi-sisi penyiku x dan y serta hipotenusa c. Sepert gambar 7.1 di bawah. Gambar 7.1 Gambar segitiga siku-siku pada kuadran satu pada bidang koordinat 2. Berdasarkan gambar 7.1 di atas, dapat kita ketahui bahwa gradien (kemiringan garis) c adalah m = y/x 3. Dapat dianggap bahwa himpunan dari semua titik-titik (x,y) adalah c 4. Semua kemungkinan titik (x,y) akan terletak pada kurva penyelesaian dy/dx= -x/y. 5. Untuk menemukan penyelesaian umum persamaan diferensial yakni: dy/dx =-x/y , kita mempunyai: y dy = -x dx ∫ydy = -∫xdx y²/2 = -x²/2 + D x² + y² = E; E = 2D. Dengan menggunakan kondisi (x, y) = (c, 0) kita mempunyai: x c y . (x,y)
- 19. 15 x² + y²= E 0² + c² = E c² = E Sehingga dengan penyelesaian umum x² + y² = c² . Ambil nilai untuk (x,y) pada kurva pada kuadran pertama, misal (a.b) maka akan di dapatkan persamaan a² + b² = c². Cara Kedua Adapun cara kedua, pembuktian teorema Pythagoras yang dituliskan oleh Hendry (2009) dalam blognya sebagai berikut: 1. Gambar segitiga siku-siku ABC seperti gambar 7.2 di bawah. Gambar 7.2 Segitiga Siku-siku ABC 2. Selanjutnya, berdasarkan konsep bahwa: "Penambahan suatu variabel x akan menyebabkan penambahan variabel y, karena y terikat dengan x". 3. Maka, dengan membuat nilai a tetap, kita tambahkan b dengan db (diferensial b). Akibatnya, c juga harus ditambahkan dengan dc (diferensial c). Perlu diketahui bahwa nilai db dan dc ini sesungguhnya mendekati nol (berada dalam konsep limit). Namun, agar terlihat secara jelas secara visual maka kita menggambarkannya agak renggang, seperti gambar 7.3 di bawah.
- 20. 16 Gambar 7.3 PenambahanRuas Garis pada Segitiga Siku-siku ABC Perhatikan bahwa sesungguhnya . Akibatnya, dan keduanya Karena , maka . Karena , ini juga berakibat . Kedua syarat di atas mengakibatkan (sebangun). Karena sebangun, maka berlaku: Kali silang menjadi Integralkan kedua ruas. 4. Tahap terakhir, yaitu tinggal mencari konstantanya. Perhatikan dari gambar apabila b = 0, maka c harus berhimpit terhadap a. Artinya, c = a. Maka: 5. Kita sudah dapatkan nilai konstanta. Maka, masukkan konstanta ini ke persamaan sebelumnya, maka kita dapatkan teorema phytagoras.
- 21. 17 TERBUKTI. Catatan: Adapun kesalahan yangsering timbul selama pembuktian dengan cara ini adalah orang menganggap bahwa , sehingga mereka langsung menuliskannya: Pernyataan di atas salah, karena namun . Artinya, peningkatan tersebut tidak sebanding, dan tidak dapat digunakan. Justru, dengan membaliknya, maka kita mendapatkan persamaan yang benar:
- 22. 18 8. Pembuktian TeoremaPythagoras dengan Persegi Oleh Riya Apriani, NIM 06022681318029 Sebelum menemukan teorema Pythagoras ada baiknya kita mengingat kembali mengenai rumus luas segitiga siku-siku dan luas persegi. Luas persegi dan luas segitiga siku-siku sangat bermanfaat dalam menemukan teorema Pythagoras. Luas Persegi Perhatikan gambar 8.1 Persegi ABCD berikut : Gambar 8.1 Persegi ABCD Persegi ABCD di atas memiliki panjang sisi s satuan panjang. Luas persegi ABCD dapat dicari dengan menggunakan rumuas berikut: L ABCD = Sisi x sisi = s x s = s2 Luas Segitiga Perhatikan gambar 8.2 persegi panjang PQRS berikut. Gambar 8.2 Persegi Panjang PQRS
- 23. 19 Pada gambar tersebuttampak sebuah persegi panjang PQRS yang panjangnya p dan lebarnya l satuan. Diagonal QS membagi persegi panjang PQRS menjadi dua buah segitiga siku-siku, yaitu D PQS dan D QRS. Luas persegi panjang PQRS sama dengan jumlah luas D PQS dan D QRS. Adapun luas D PQS sama dengan luas D QRS, sehingga diperoleh : 𝐿∆𝑃𝑄𝑆 = 𝐿∆𝑄𝑅𝑆 = 1 2 𝑥 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝑃𝑒𝑟𝑠𝑒𝑔𝑖 𝑃𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑃𝑄𝑅𝑆 Karena persegi panjang PQRS berukuran panjang p dan lebar l, luas 𝐿 ∆𝑃𝑄𝑆 = 1 2 𝑥𝑝𝑥𝑙 Atau, dapat disimpulkan bahwa 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝑆𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 = 1 2 𝑥 𝑎𝑙𝑎𝑠 𝑥 𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖 Selanjutnya, untuk menemukan teoremat Pythagoras maka perhatikan kembali gambar 8.3 Persegi ABCD berikut Gambar 8.3 Persegi ABCD Dari gambar di atas, tampak bahwa luas persegi ABCD sama dengan luas persegi (warna hijau) ditambah luas empat segitiga siku-siku (warna biru), dimana persegi ABCD memiliki panjang sisi (a + b) satuan, persegi PQRS memiliki panjang sisi c satuan dan keempat segitiga siku-siku memiliki panjang alas yang sama yaitu b satuan serta tinggi yang sama yaitu a satuan, sehingga keempat segitiga tersebut dapat dikatakan kongruen. Dari hal tersebut diperoleh :
- 24. 20 Luas persegi ABCD= 4×Luas Segitiga + Luas persegi PQRS Dimana, Luas Persegi ABCD = s2 = ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 = a2 + b2 + 2ab Luas Segitiga = 1 2 𝑥 𝑎𝑙𝑎𝑠 𝑥 𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖 = 1 2 𝑥 𝑏 𝑥 𝑎 = 1 2 𝑎𝑏 Jadi Luas Persegi PQRS = s2 = c2 Sehingga dapat ditulis Luas Persegi ABCD = 4 x Luas Segitiga + Luas Persegi PQRS 4 x Luas Segitiga + Luas Persegi PQRS = (Luas Persegi ABCD)2 4 𝑥 1 2 𝑎𝑏 + 𝑐2 = a2 + b2 + 2ab 2ab +c2 = a2 + b2 + 2ab c2 = a2 + b2 + 2ab – 2ab c2 = a2 + b2 Bentuk terakhir yaitu,c2 = a2 + b2 Selanjutnya dikenal sebagai teorema Pythagoras. Jika kita perhatikan lagi salah satu segitiga siku-siku pada gambar sebelumnya yaitu gambar 8.3, maka akan didapatkan gambar 8.4 Segitiga Siku-siku ABC seperti di bawah. Gambar 8.4 Segitiga Siku-siku ABC
- 25. 21 Maka, a danb disebut sisi apit atau sisi siku-siku, yaitu sisi yang mengapit sudut siku-siku c disebut sisi miring atau hipotenusa, yaitu sisi di hadapan sudut siku- siku. Dengan demikian Teorema Pythagoras tersebut selanjutnya dapat dirumuskan seperti berikut. “Untuk setiap segitiga siku-siku, berlaku kuadrat panjang sisi miring sama dengan jumlah kuadrat panjang sisi siku-sikunya” Bentuk c2 = a2 + b2 di atas jika diubah ke bentuk pengurangan menjadi a2 = c2 – b2 b2 = c2 – a2
- 26. 22 9. Pembuktian TeoremaPythagoras dari Thabit Ibn Qurra Oleh Lukluk Khuriyati, NIM 06022681318031 Adapun langkah-langkah yang digunakan oleh Thabit Ibn Qurra dalam pembuktian teorema pythagoras adalah sebagai berikut: 1. Buat persegi dengan panjang a dan b, kemudian disusun berdampingan seperti gambar 9.1 berikut. Gambar 9.1 Dua Persegi dengan Panjang Sisi a dan b Luas bangun di atas adalah persegi besar dan persegi kecil yaitu 𝑎2 + 𝑏2 2. Persegi di atas kita gabungkan,kemudian buat garis sedemikian rupa sehingga akan tampak seperti gambar 9.2 di bawah, di mana sisi c menjadi sisi miring. Gambar 9.2 Penambahan sisi c pada Persegi 3. Selanjutnya segitiga kita potong dan tempatkan di bagian lain yatu samping kanan dan bagian atas sehingga akan tampak seperti gambar 9.3 di bawah ini
- 27. 23 Gambar 9.3 Penggabungandua Persegi Luas persegi di atas adalah 𝑐2 Karena luas persegi dengan sisi c di atas sama dengan luas persegi dengan sisi a dan sisi b sehingga 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 terbukti
- 28. 24 10. Pembuktian TeoremaPythagoras dari Euclid Oleh Dinal ‘Ulya, NIM 06022681318034 Pandang segitiga siku-siku ABC, dengan C sudut siku-siku. Tarik garis dari titik C sejajar AP atau BQ sehingga memotong AB di D dan PQ di E, maka jika BC = a dan AC = b dapat ditunjukkan bahwa: Luas BDEQ = a2 dan Luas ADEP = b2 Apa yang menarik dari pembuktian Pyhagoras di atas? Ternyata kita dapat menentukan dua “partisi” persegi berbentuk persegipanjang pada hipotenusa, yang masing-masing luasnya sama dengan luas persegi pada sisi-sisi penyiku dari segitiga siku-siku yang diberikan. Jika kita dapat membuktikan bahwa luas BDEQ = a2 dan luas ADEP = b2 maka diperoleh : a2 + b2 = luas BDEQ + luas ADEP = luas ABQP = c2 Sekarang, bagaimana membuktikan bahwa luas BDEQ = 𝑎2 dan luas ADEP = 𝑏2 ? Ada banyak cara untuk membuktikannya, beberapa di antaranya diberikan di bawah ini (1) Bukti I Perhatikan gambar di bawah ini. A B C D E Q P T UM N L S K R
- 29. 25 Berdasarkan kesebangunan segitigamaka diperoleh : 𝑥 𝑏 = 𝑏 𝑐 Sehingga diperoleh : 𝑥 = 𝑏2 𝑐 Dengan demikian luas (i) = 𝑥𝑐 = 𝑏2 𝑐 𝑐 = 𝑏2 Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan luas (ii) = 𝑎2 Sehingga luas = luas (i) + Luas (ii) = 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 (2) Bukti II Mudah ditunjukkan jika BC = 𝑎 dan 𝑎𝑐 = 𝑏 maka diperoleh Luas DBQE = luas NKBD = luas MKBC= luas SRBC = 𝑎2 A C B (i) (ii) x a b c A B C D E Q P T UM N L S K R
- 30. 26 𝐿uas ADEP =luas LNDA = luas LMCA = luas UTCA = 𝑏2 Padahal, 𝑐2 = luas ADEP + luas DBQE = 𝑏2 + 𝑎2 Jadi, 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 Selain secara aljabar di atas, bukti serupa di atas dapat dilakukan menggunakan prinsip kesamaan luas bangun, sehingga tampak seperti pergeseran bayangan (transformasi bangun datar), seperti gambar di bawah ini. Bukti bayangan di atas, menggunaakan perubahan bentuk bangun datar karena strain (peregangan) dan translasi yang keduanya tidak mengubah luas bangun datar. Berturut-turut perubahan yang terjadi adalah strain-translasi-strain. (3) Bukti III Gbr. 1 Gbr. 2 Gbr. 3 Gbr. 4 Bukti pada gambar di atas, mirip dengan bukti sebelumnya, namun tanpa bantuan gambar tambahan selain ke-3 persegi dan segitiga siku-sikunya. Selain itu, transformasi yang terjadi berturut-turut strain-strain-translasi/refleksi. Perhatikan bahwa jajargenjang pada gambar ke-2 sama luasnya dengan persegipanjang yang bersesuaian pada gambar ke-1. Lalu, persegi pada gambar Strain Strain Translasi/ Refleksi
- 31. 27 ke-3 sama luasnyadengan jajargenjang yang bersesuaian pada gambar ke-2. Terakhir persegi pada gambar ke-4 sama luasnya dengan persegi yang bersesuaian pada gambar ke-3. Ini dikarenakan transformasi strain, translasi, dan refleksi tidak mengubah luas bangun datar. Pembuktian yang lebih sederhana dapat pula dengan menunjukkan luas yang sama lewat rumus luas bangun datar persegipanjang, jajargenjang, dan persegi. Misalnya, alas a pada jajargenjang sama dengan panjang p pada persegipanjang, serta tinggi t pada jajargenjang sama dengan lebar l pada persegipanjang, sehingga luas kedua bangun sama. (4) Bukti IV Perhatikan gambar di bawah ini. Karena alas dan tingginya sama, maka : Luas segitiga BCQ = 1 2 × Luas persegipanjang BDEQ. Dengan teorema S-Sd-S, dapat ditunjukkan bahwa segitiga BCQ kongruen dengan segitiga BRA, sehingga Luas segitiga BRA = luas segitiga BCQ Selanjutnya dengan alas dan tinggi yang sama, maka Luas segitiga BRA = 1 2 × Persegi SCBR Jadi, 1 2 × Luas persegipanjang BDEQ = 1 2 × Persegi SCBR , atau Luas persegipanjang BDEQ = Luas persegi SCBR .... (i) A B C D E Q P T U R
- 32. 28 Dengan cara yangsama, dapat ditunjukkan bahwa: Luas persegipanjang DAPE = Luas persegi ACTU .... (ii) Dari (i) dan (ii), diperoleh : Luas persegi SCBR + luas persegi ACTU = Luas BDEQ + luas DAPE 𝑎2 + 𝑏2 = luas persegi BAPQ 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2
- 33. 29 11. Pembuktian TeoremaPythagoras Menggunakan Luas Segitiga Siku-siku dan Luas Persegi oleh Pythagoras Oleh Tarsudin, NIM 06022681318036 Berikut ini pembuktian paling sederhana tentang kebenaran teorema Pythagoras dengan menggunakan luas segitiga dan luas persegi. Jika kita punya segitiga siku-siku, cobalah menyusunnya membentuk persegi seperti di bawah ini. Penyusunannya bisa dimulai dari mana saja, misalnya kita susun dari kiri atas, kemudian kanan atas, lalu kanan bawah, dan terakhir kiri bawah. Maka akan terbentuk persegi besar dan persegi putih seperti pada gambar dibawah ini. Luas Persegi Besar = Luas Persegi putih + Luas 4 Segitiga ( 𝑎 + 𝑏)2 = 𝑐2 + 4 ( 1 2 𝑎𝑏) 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = 𝑐2 + 2𝑎𝑏 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = 𝑐2 + 2𝑎𝑏 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 Jadi, Terbukti
- 34. 30 12. Pembuktian TeoremaPythagoras Menggunakan Bayangan atau Menggunakan Prinsip Kesamaan Luas Bangun Oleh Liana Septy, NIM 06022691318038 Pembuktian yang dilakukan menggunakan bayangan adalah pembuktian yang menggunakan prinsip kesamaan luas bangun, sehingga akan tampak pergeseran bayangan (transformasi bangun datar). Penjelasan pembuktian teorema Pythagoras dapat dilihat berdasarkan gambar di bawah ini. Pada gambar di samping diketahui sebuah segitiga siku-siku dimana setiap sisinya dibentuk dari tiga sisi persegi dengan ukuran yang berbeda. Selanjutnya geserkan segitiga siku-siku pada sisi persegi abu-abu seperti terlihat pada gambar di samping sehingga dapat dilihat bahwa luas daerah abu-abu sama dengan luas persegi abu-abu. Geserkan daerah abu-abu terhadap sisi miring segitiga siku-siku. Kemudian tarik garis melalui dua sudut siku-siku pada daerah abu-abu sehingga daerah terbagi menjadi dua bangun jajargenjang.
- 35. 31 Panjang sisi alaskedua jajargenjang tersebut sama panjang dengan sisi alas dan sisi tegak segitiga siku-siku. Kembali pada pengertian persegi yaitu jajargenjang yang salah satu sudutnya adalah sudut siku-siku sehingga dengan sepasang sisi yang sama pada jajargenjang dan persegi dapat dikatakan bahwa luas daerah persegi dan jajargenjang adalah sama. Hal tersebut dapat dilihat pada gambar selanjutnya. Gambar di samping membuktikan bahwa perubahan bentuk bangun datar jajargenjang menjadi persegi dikarenakan strain (peregangan) dan translasi yang keduanya tidak mengubah luas bangun datar. Dari proses-proses di atas dapat disimpulkan bahwa luas daerah persegi pada sisi miring sama dengan jumlah luas daerah persegi pada sisi-sisi pembentuk sudut 90o pada segitiga siku-siku. jika dimisalkan seperti gambar disamping, berdasarkan langkah-langkah di atas maka diperoleh bahwa: c2 = a2 + b2 c a b
- 36. 32 13. Pembuktian TeoremaPythagoras dari David Houston Oleh Hardiyanti Indriani, NIM 06022681318039 Sebuah bukti berdasarkan diagram di bawah ini telah diterbitkan dalam sebuah surat kepada Guru Matematika (ay. 87, n. 1 Januari 1994) oleh J. Grossman. Buktinya telah ditemukan oleh David Houston. Asumsikan dua salinan dari segitiga siku-siku dengan kaki a dan b dan sisi miring c ditempatkan kembali ke belakang seperti yang ditunjukkan dalam diagram kiri. segitiga sama kaki memiliki luas S = c ² sin ( θ ) / 2 . Dalam diagram yang tepat, dua salinan dari segitiga sama kaki bergabung di sudut yang tepat dan dimasukkan ke dalam persegi panjang dengan satu sisi yang sama c. Setiap segitiga memiliki luas sama dengan setengah luas setengah persegi panjang. menyiratkan bahwa daerah dari segitiga sama kaki yang tersisa juga menambahkan hingga setengah luas persegi panjang, yaitu daerah segitiga sama kaki dalam diagram kiri. Jumlah bidang dua segitiga sama kaki yang lebih kecil sama dengan S = a² sin(π - θ) / 2 + b² sin(θ) / 2 = (a² + b²) sin(θ) / 2, untuk sin ( π - θ ) = sin ( θ ) . Karena dua daerah adalah sama dan Sin ( θ ) ≠ 0 , untuk segitiga, a ² + b ² = c ² .
- 37. 33 Apakah ini buktitrigonometri ? Luc Gheysens dari Flanders ( Belgia ) datang dengan modifikasi didasarkan pada diagram berikut Bukti oleh Luc Gheysens Bukti dari Teorema Pythagoras dibahas rumus Sin untuk luas segitiga dan dengan demikian tampaknya menggunakan trigonometri dalam cara yang penting . Menggabungkan dua salinan dari segitiga siku-siku sama kaki dengan dua cara seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah : Ketika bergabung di sisi miring, segitiga membentuk layang-layang yang dapat dilihat sebagai kesatuan dari dua segitiga sama kaki , dengan luas b²sin (2α) /2 + a²sin(180° - 2α)/2 = (a² + b²)·sin(2α)/2. Ketika bergabung di salah satu kaki (b dalam diagram kanan) , segitiga membentuk segitiga sama kaki dengan dasar 2a dan sisi sama dengan c . Menerapkan rumus daerah yang sama dengan segitiga kita memperoleh c²sin(2α)/2 = (a² + b²)·sin(2α)/2 Luas layang-layang ab dan persegi a ² b ² .Segitiga sama kaki dalam diagram yang tepat memiliki semiperimeter sama dengan c. Rumus Heron diterapkan pada segitiga yang mengarah ke a²b² = (c + a)(c - a) a² = (c² - a²)bc², yang berarti teorema Pythagoras .
- 38. 34 14. Pembuktian TeoremaPythagoras Sang Presiden James Garfield Oleh Sri Handayani, NIM 06022681318040 Pertama kita buat dua segitiga yang identik yaitu ΔPQR dan ΔSTQ. Panjang sisi PR = SQ = a, PQ = ST = b dan QR = TQ = c. QR = TQ = c sebagai sisi miring. Kemudian sisi PQ = b disusun dan bertemu dengan sisi QS = a sehingga membentuk satu garis PS seperti gambar berikut :
- 39. 35 Kemudian tarik garisTR sehingga membentuk sebuah trapesium PSTR seperti gambar berikut: Trapesium PSTR terbentuk dari 3 segitiga siku-siku yaitu ΔPQR, ΔSTQ dan ΔQTR sehingga luas daerah trapesium PSTR sama dengan luas daerah ketiga segitiga siku-siku sebagai penyusunnya yang dijelaskan sebagai berikut. Luas daerah trapesium PSTR = luas daerah ΔPQR + luas daerah ΔSTQ + luas daerah ΔQTR 1 2 ( 𝑎 + 𝑏)( 𝑎 + 𝑏) = ( 1 2 𝑎𝑏) + ( 1 2 𝑎𝑏) + ( 1 2 𝑐2 ) 1 2 (𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 ) = ( 1 2 𝑎𝑏) + ( 1 2 𝑎𝑏) + ( 1 2 𝑐2 ) dikalikan 2 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 + 𝑐2 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = 2𝑎𝑏 + 𝑐2 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 Terbukti Diketahui bahwa ∠RPQ = ∠QST = 900. Dimisalkan ∠QRP = α dan ∠PQR = β Karena ΔPQR kongruen dengan ΔQST maka ∠TQS = α dan ∠STQ = β. Jumlah sudut di dalam segitiga adalah 1800 = π ∠RPT + ∠QRP + ∠PQR = 900 + (α + β) = 1800 (α + β) = 900 sudut yang dibentuk oleh garis PS adalah 1800, ∠PQR + ∠QST + ∠RQT = (β + α) + ∠RQT = 1800 (900) + ∠RQT = 1800 ∠RQT = 900
- 40. 36 15. Pembuktian TeoremaPythagoras Menggunakan Garis Tinggi dan Sifat Segitiga Sebangun Oleh Khairun Nisak, NIM 06022681318045 Perhatikan gambar segitiga siku-siku ABC pada gambar 15.1 di bawah ini: Gambar 15.1 Segitiga Siku-siku ABC Berdasarkan gambar di atas, dibuat garis tinggi yaitu CD. Sehingga diperoleh ABC ~ ACD sehingga b c c b 1 atau b2 = c.c1 …(1) ABC ~ CBD sehingga a c c a 1 atau a2 = c.c2 …(2) Dari (1) dan (2): a2 + b2 = c.c1 + c.c2 a2 + b2 = c. (c1 + c2) a2 + b2 = c.c a2 + b2 = c2
- 41. 37 16. Pembuktian TeoremaPythagoras dengan Identitas Trigonometri Oleh Ririn Suparti KN, NPM 06022681318046 R c a P θ Q b Diketahui : Sin θ = c a dan Cos θ = c b Sehingga, Teorema Pythagoras dapat dibuktikan dengan menggunakan Identitas Trigonometri Sin2 θ + Cos2 θ = 1. 222 2 2 22 2 22 2 2 2 2 22 22 1 1 1 1 1 cba cdikalic ba c ba c b c a c b c a CosSin Jadi, Terbukti.
- 42. 38 17. Pembuktian TeoremaPythagoras “ Bukti Tanpa Kata II ” Oleh Mewa Zabeta, NIM 06022681318048 Bukti ini saya temukan di 's sekuel R. Nelsen Bukti Tanpa Kata II . (Itu karena-sung Park Poo dan pada awalnya diterbitkan di Matematika Magazine, Desember 1999 ). Dimulai dengan salah satu sisi segitiga siku-siku, membangun 4 kanan segitiga sama kaki kongruen dengan hypotenuses dari dua berikutnya tegak lurus dan Apeks jauh dari segitiga yang diberikan. Sisi miring dari segitiga pertama ini (merah dalam diagram) harus bertepatan dengan salah satu sisi . Para aspek dari segitiga sama kaki membentuk persegi dengan sisi sama dengan sisi miring segitiga yang diberikan. Para hypotenuses dari segitiga memotong sisi persegi di titik-titik tengah mereka. Sehingga tampaknya ada 4 pasang segitiga sama (salah satu dari pasangan dalam hijau). Salah satu segitiga dalam pasangan berada di dalam alun-alun, yang lain di luar. Biarkan sisi segitiga asli menjadi a, b, c (miring). Jika segitiga sama kaki pertama dibangun pada sisi b, maka masing-masing memiliki luas b ² / 4. Kami mendapatkan a ² + 4b ² / 4 = c ² Ada yang dinamis, ilustrasi dan masih banyak lagi yang lain diagram yang menunjukkan bagaimana untuk membedah dua kotak kecil dan mengatur ulang mereka ke dalam yang besar.
- 43. 39 Diagram ini jugamemiliki varian yang dinamis .
- 44. 40 18. Pembuktian TeoremaPythagoras dengan Dasar Perbandingan lagi Oleh Al Nindu Bunga Sabrina, NIM 06022681318049 Diberikan segitga ABC yang siku-siku di C. Kalikan setiap sisi dengan c. lalu bentuk dua segitiga sebangun dengan ABC dengan perbandingan sisi pada segitiga-segitiga sebangun diperoleh panjang sisi-sisi yang lain Dari konstruksi tersebut terlihat bahwa
- 45. 41 19. Pembuktian TeoremaPythagoras dengan Tiga Trapesium Oleh Melly Arthalia, NIM 06022681318052 Berikut ini adalah salah satu kontribusinya terhadap pembuktian Teorema Pythagoras : Diketahui segitiga siku-siku ABC, dengan titik pusat A, segitiga ABC diputar sejauh 90 derajat berlawanan arah jarum jam sehingga di peroleh segitiga A’B'C’ seperti pada gambar berikut,
- 46. 42 selanjutnya translasikan segitigaA’B'C’ sejauh C’A+AB ke kanan, dan tarik garis dari titik C ke B”, sehingga diperoleh trapesium siku-siku langkah pembuktian secara aljabar: Luas trapesium siku-siku (pada ruas kiri) sama dengan ‘luas segitiga dengan alas a dan tinggi b’ tambah ‘luas segitiga dengan alas c dan tinggi c’ tambah ‘luas segitiga dengan alas b dan tinggi a’ (pada ruas kanan) Jadi terbukti teorema phytagoras dapat dibuktikan dengan 3 trapesium.
- 47. 43 20. Pembuktian TeoremaPythagoras dengan Segitiga Sama Sisi Oleh Ninik Charmila, NIM 06022681318053 Salah satu cara membuktikan teorema Pythagoras adalah dengan menggunakan luas segitiga sama sisi yang dibentuk dari masing-masing sisi segitiga siku-siku yang akan dibuktikan. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut. Pada gambar di atas terlihat bahwa banyaknya segitiga sama sisi satuan pada sisi miring sama dengan jumlah dari segitiga sama sisi satuan pada sisi-sisi lainnya. Sehingga luas segitiga sama sisi pada sisi miring sama dengan jumlah dari luas segitiga sama sisi pada sisi-sisi lainnya. Misalkan panjang sisi siku-siku segitiga siku-siku tersebut adalah 𝑎 dan 𝑏, serta panjang sisi miring (hipotenusa) adalah 𝑐 . Maka luas masing-masing segitiga sama sisi dapat ditentukan sebagai berikut: 1. Luas segitiga sama sisi dengan panjang sisi 𝒂 𝐿 𝑎 = √ 𝑠 𝑎(𝑠 𝑎 − 𝑎)(𝑠 𝑎 − 𝑎)(𝑠 𝑎 − 𝑎) dengan 𝑠 𝑎 = 1 2 ( 𝑎 + 𝑎 + 𝑎) = 3 2 𝑎 = √ 3 2 𝑎( 3 2 𝑎 − 𝑎)( 3 2 𝑎 − 𝑎)( 3 2 𝑎 − 𝑎)
- 48. 44 = √ 3 2 𝑎( 1 2 𝑎)( 1 2 𝑎)( 1 2 𝑎) = √ 3 16 𝑎4 𝐿𝑎 = 𝑎2 4 √3 2. Luas segitiga sama sisi dengan panjang sisi b 𝐿 𝑏 = √ 𝑠 𝑏(𝑠 𝑏 − 𝑏)(𝑠 𝑏 − 𝑏)(𝑠 𝑏 − 𝑏) dengan 𝑠 𝑏 = 1 2 ( 𝑏 + 𝑏 + 𝑏) = 3 2 𝑏 = √ 3 2 𝑏( 3 2 𝑏 − 𝑏)( 3 2 𝑏 − 𝑏)( 3 2 𝑏 − 𝑏) = √ 3 2 𝑏( 1 2 𝑏)( 1 2 𝑏)( 1 2 𝑏) = √ 3 16 𝑏4 𝐿 𝑏 = 𝑏2 4 √3 3. Luas segitiga sama sisi dengan panjang sisi 𝒄 𝐿 𝑐 = √ 𝑠𝑐(𝑠𝑐 − 𝑐)(𝑠 𝑐 − 𝑐)(𝑠𝑐 − 𝑐) dengan 𝑠𝑐 = 1 2 ( 𝑐 + 𝑐 + 𝑐) = 3 2 𝑐 = √ 3 2 𝑐( 3 2 𝑐 − 𝑐)( 3 2 𝑐 − 𝑐)( 3 2 𝑐 − 𝑐) = √ 3 2 𝑐( 1 2 𝑐)( 1 2 𝑐)( 1 2 𝑐) = √ 3 16 𝑐4 𝐿 𝑐 = 𝑐2 4 √3 Luas segitiga pada sisi c sama dengan jumlah luas segitiga a dan b, maka 𝐿 𝑐 = 𝐿 𝑎 + 𝐿 𝑏 𝑐2 4 √3 = 𝑎2 4 √3 + 𝑏2 4 √3 (kedua ruas dikali dengan 4 √3 ) ( 4 √3 )( 𝑐2 4 √3) = ( 4 √3 ) ( 𝑎2 4 √3 + 𝑏2 4 √3) 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2
- 49. 45 Diperoleh bahwa 𝑐2 =𝑎2 + 𝑏2 . Dengan kata lain, kuadrat panjang sisi miring sama dengan jumlah dari kuadrat panjang sisi-sisi lainnya. Terbukti.
- 50. 46 21. Pembuktian TeoremaPythagoras dengan Cara Tambah lalu Geser Oleh Reny Wahyuni, NIM 06022681318054 Ada empat buah segitiga siku-siku yang kongruen dengan segitiga ABC, seperti di bawah: Susun keempat segitiga tersebut seperti gambar dibawah ini Pada bangun di atas ditambah dengan sebuah persegi. Maka akan membentuk seperti bangun di bawah ini : 1 2 5 3 4 K S L M N R Q P O N K S L M R Q O 1 4 3 2 c C A B a b S L RK R L O N L L M N c C A B a b c C A B a b c C A B a b c C A B a b c C A B a b c C A B a b c C A B a b c C A B a b c C A B a b c C A B a b c C A B a b c C A B a b
- 51. 47 Dari bangundi atas, maka diperoleh : Luas KMNPQR = Luas KSQR+ Luas SMNP = 𝑎2 + b2 Pindahkan segitiga (1) dan (4) sehingga membentuk persegi seperti gambar di bawah ini : Dari gambar di atas, dapat dilihat bahwa bangun persegi tersebut mempunyai panjang sisi c. Sehingga dapat disimpulkan bahwa : 1 54 3 2 𝑐2 = a2 + b2
- 52. 48 22. Pembuktian TeoremaPythagoras dari Pappus Oleh Tri Wahyudi, NIM 06022681318067 Bukti berikut berasal dari Pappus (sekitar 300 M) dan merupakan suatu generalisasi. Langkah-langkahnya adalah: 1. Buat sebarang segitiga ABC. 2. Lalu buat sebarang jajargenjang CADE (di sisi CA) dan sebarang jajargenjang CBFG (di sisi BC). 3. Kemudian perpanjang DE dan FG hingga bertemu, katakan di H.
- 53. 49 4. Kemudian lukisAL dan BM sejajar dan sama panjang dengan HC. 5. Diperoleh: Luas (CADE) = Luas (CAUH) = Luas (SLAR) , juga Luas (CBFG) = Luas (CBVH) = Luas (SMBR) Jadi, Luas (CADE) + Luas (CBFG) = Luas (ABML) Apabila segitiga ABC adalah segitiga siku-siku (dengan sudut siku-siku di C) serta jajargenjang di sisi CA dan BC merupakan bujursangkar, maka dengan langkah yang sama kita akan mendapatkan bukti Teorema Pythagoras. Perhatikan Langkah-langkah berikut. 1. Buat sebarang segitiga siku-siku ABC (siku-siku di C). 2. Lalu buat persegi CADE (di sisi CA dengan panjang sisi CA) dan persegi CBFG (di sisi BC dengan panjang sisi BC).
- 54. 50 3. Kemudian perpanjangDE dan FG hingga bertemu, katakan di H. 4. Kemudian lukis AL dan BM sejajar dan sama panjang dengan HC.
- 55. 51 5. Diperoleh: Luas (CADE)= Luas (CAUH) = Luas (SLAR) , juga Luas (CBFG) = Luas (CBVH) = Luas (SMBR) Jadi, Luas (CADE) + Luas (CBFG) = Luas (ABML) Jika dimisalkan panjang sisi persegi CBFG adalah a dan panjang sisi persegi CADE adalah b, serta panjang sisi persegi ABML adalah c, maka dapat dirumuskan: Luas (CBFG) + Luas (CADE) = Luas (ABML) a2 + b2 = c2 Jadi, teorema pythagoras terpenuhi.
- 56. 52 23. Pembuktian TeoremaPythagoras dengan Bukti dari Sekolah Pythagoras Oleh Yudi Yunika Putra, NIM 06022681318068 Langkah 1 Kita buat dua buah persegi yang sama Langkah 2 Dari kedua persegi tersebut kita tarik garis seperti bangun di bawah Dari gambar 1 terlihat bahwa terdapat 2 buah persegi dan 2 buah persegi panjang, dan gambar 2 terdapat 1 buah persegi dan 4 buah segitiga. Gambar 1 Gambar 2 b b a a b b Gambar 1 Gambar 2 a a c
- 57. 53 Langkah 3 selanjutnyadari bangun 1 dan bangun 2 yang berbentuk persegi kita arsir dan kita dapat mengetahui luasnya seperti bangun di bawah. Langkah 4 dari gambar 1 yang berbentuk persegi panjang kita tarik garis maka akan berbentuk segitiga seperti bangun di bawah Jadi, luas gambar 1 : 𝑎2 + 𝑏2 + 4( 1 2 𝑎𝑏) Luas gambar 2 : 𝑐2 + 4( 1 2 𝑎𝑏) Karena kedua gambar adalah sama maka jelas bahwa 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 𝑐 𝑎2 b b a a b b Gambar 1 Gambar 2 a a c 𝑏2 𝑐2 𝑎2 b b a a b b Gambar 1 Gambar 2 a a c 𝑏2 𝑐2 𝑎2 1 2 𝑎𝑏 1 2 𝑎𝑏
- 58. 54 Daftar Pustaka Bogomolny, A.2013. “Pythagorean Theorem and its many proofs : from Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles”. http://www.cut- theknot.org/pythagoras/index.shtml diakses 10 Oktober 2013 Head, Angel. 2013. “Pythagorean Theorem”. Tersedia pada http://jwilson.coe.uga.edu/EMT668/emt668.student.folders/HeadAngela/essay1 /Pythagorean.html diakses 11 Oktober 2013 Hendry.2009. “Bukti Teorema Pythagoras dengan Persamaan Diferensial”. http://hendrydext.blogspot.com/2009/07/bukti-teorema-phytagoras-dg- pers.html. Diakses tanggal 2 Desember 2013. Kristanto, Y. 2013. “Pembuktian Teorema Pythagoras dengan menggunakan Luas Segitiga Sama Sisi”. Tersedia pada http://yos3prens.wordpress.com/2013/02/04/membuktikan-teorema-pythagoras- dengan-menggunakan-luas-segitiga-sama-sisi/ diakses 11 Oktober 2013 Molokach, J. 2010 “Calculus Proof of the Pythagorean Theorem”. http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/CalculusProof.shtml. Diakses tanggal 2 Desember 2013. Sigit.2010. “Persamaan Diferensial Orde 3”. Tersedia pada http://sigitkus.lecture.ub.ac.id/files/2012/10/bab-III_-PD-linier_3.pdf. Diakses tanggal 2 Desember 2013. Waluya, B. 2011. “Persamaan Differensial dan Orde-orde pada Persamaan Differensial”. http://uuniquee.files.wordpress.com/2010/09/persamaan_differensial_-_dr-_st- _budi_waluya.pdf. Diakses tanggal 2 Desember 2013. Wikipedia. 2013. “Pythagorean Theorem”. Tersedia pada http://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_theorem diakses 10 Oktober 2013