1. Ring faktor adalah ring yang terbentuk dari ideal suatu ring R, ditandai R/S. Operasinya mempertahankan struktur ring asli. 2. Homomorfisma ring adalah pemetaan yang melestarikan operasi penjumlahan dan perkalian ring. Contohnya pemetaan identitas antara bilangan bulat dan riil.

1. Ring faktor dan homomorfisma
Kelompok 9
Nama: 1.Etika lestari
2.pitri mei suciati

2. RING FAKTOR
definisi
Misalkan R adalah suatu Ring dan S
adalah suatu Ideal dari R.
R/S ={S + a | a ∈R} adalah Ring
dengan (S + a) + (S + b) = S + (a +b)
dan (S + a) . (S + b) = S + (a . b).
Ring semacam ini disebut Ring
Faktor atau Ring Koisen.

3. Adapun syarat-syarat suatu struktur aljabar yang mempunyai dua
operasi biner membentuk suatu Ring adalah sebagai
berikut :
1. Tertutup terhadap penjumlahan (+) di R/S
Misalkan a, b ∈R dan a + b ∈R
2. Assosiatif terhadap penjumlahan (+) di R/S
Misalkan a, b, c ∈R
maka (a + b) + c = a + (b + c
3. Adanya unsur satuan atau identitas terhadap
penjumlahan (+) di R/S .Misalkan a ∈R maka a +
e = e + a = a

4. 4. Adanya unsur balikan atau invers terhadap penjumlahan (+) di
R/S
Misalkan a ∈R .maka a + (-a) = (-a) + a = e = 0
5. Komutatif terhadap penjumlahan (+) di R/S .Misalkan a,b ∈R
maka a + b = b + a
6. Tertutup terhadap perkalian (.) di R/S ,Misalkan a, b ∈R dan a
. b ∈R
7. Assosiatif terhadap perkalian (.) di R/S .Misalkan a, b, c ∈R
maka (a . b) . c = a . (b . c)
8. Adanya unsur satuan atau identitas terhadap perkalian (.) di
R/S .Misalkan a ∈R .maka a . e = e . a = a
9. Distributif perkalian (.) terhadap penjumlahan (+) di R/S
Misalkan a, b, c ∈R .maka a . (b + c) = (a . b) + (a . c) dan (a +
b) . c = (a . c) + (b . c)

5. HOMOMORFISMA
Homomorfisma merupakan pemetaan dari
Ring R ke Ring R’ yang mengawetkan kedua
operasi yang ada dalam Ring .
Definisi:
Suatu pemetaan f dari Ring R ke Ring
R’disebut suatu Homomorfisma Ring bila
∀a, b ∈R berlaku :
1. f(a + b) = f(a) + f(b)
2. f(a . b) = f(a) . f(b)

6. ADA BEBERAPA DEFINISI KHUSUS MENGENAI
HOMOMORFISMA RING ADALAH SEBAGAI
BERIKUT :
a. Suatu Homomorfisma Ring yang bersifat injektif (1 –1)
disebut dengan Monomorfisma Ring.
b. Suatu Homomorfisma Ring yang bersifat surjektif (pada)
disebut dengan Epimorfisma Ring.
c. Suatu Homomorfisma Ring yang bersifat bijektif, yaitu
bersifat injektif (1 – 1) dan surjektif (pada), disebut
dengan Isomorfisma Ring.

7. CONTOH
Tunjukan apakah f : Z R dengan f(a) = a adalah suatu Homomorfisma
Ring.
Akan kita buktikan bahwa ∀a, b ∈R berlaku :
1. f(a + b) = f(a) + f(b)
2. f(a . b) = f(a) . f(b)
Sehingga :
1. f(a + b) = f(a) + f(b), ∀a, b ∈R
(a + b) = (a) + (b)
a + a = a + b
2. f(a . b) = f(a) . f(b), ∀a, b ∈R
(a . b) = (a) . (b)
a . b = a . b
Dikarenakan untuk f(a + b) = f(a) + f(b) dan f(a . b) = f(a) . f(b) maka
f : Z => R untuk f(a) = a adalah merupakan suatu Homomorfisma
Ring.