Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Bahan ajar matematika dasar universitas

77,937 views

Published on

  • Dating for everyone is here: ❶❶❶ http://bit.ly/2F4cEJi ❶❶❶
       Reply 
    Are you sure you want to  Yes  No
    Your message goes here
  • Dating direct: ❶❶❶ http://bit.ly/2F4cEJi ❶❶❶
       Reply 
    Are you sure you want to  Yes  No
    Your message goes here
  • Dating for everyone is here: ♥♥♥ http://bit.ly/33tKWiU ♥♥♥
       Reply 
    Are you sure you want to  Yes  No
    Your message goes here
  • Follow the link, new dating source: ❶❶❶ http://bit.ly/33tKWiU ❶❶❶
       Reply 
    Are you sure you want to  Yes  No
    Your message goes here

Bahan ajar matematika dasar universitas

  1. 1. 1 EDISI REVISI BAHAN AJAR Matematika Dasar Disusun oleh Tim Dosen FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG 2012
  2. 2. 2 BAB I PENDAHULUAN A. Deskripsi Mata kuliah ini membahas tentang sistem bilangan real, ketaksamaan, nilai mutlak, akar kuadrat dan kuadrat, koordinat kartesius dan kutub, grafik, sistem persamaan linear, fungsi dan limit, turunan, aplikasi turunan, integral, serta penerapan integral. B. Prasyarat - C. Petunjuk Belajar Dalam perkuliahan ini, beberapa metode akan digunakan yaitu ceramah, tanya jawab, dan diskusi. Metode ceramah dan tanya jawab akan digunakan dalam penyajian materi. Sedangkan untuk meningkatkan pemahaman materi mahasiswa dibentuk kelompok. Mahasiswa diberikan soal-soal latihan untuk diselesaikan dan ada soal yang dikerjakan secara individu dan ada pula soal yang dikerjakan dengan berdiskusi bersama teman dalam kelompoknya. D. Kompetensi Dasar dan Indikator D.1 Kompetensi Memahami matematika pada materi sistem bilangan real, ketaksamaan, nilai mutlak, akar kuadrat dan kuadrat, koordinat kartesius dan kutub, grafik, sistem persamaan linear, fungsi dan limit, turunan, aplikasi turunan, integral, serta penerapan integral dan dapat mengerjakan soal atau permasalahan yang relevan. D.2 Indikator a. Mahasiswa memahami materi sistem bilangan real b. Mahasiswa memahami materi ketaksamaan c. Mahasiswa memahami materi nilai mutlak d. Mahasiswa memahami materi akar kuadrat dan kuadrat e. Mahasiswa memahami materi koordinat kartesius f. Mahasiswa memahami materi koordinat kutub g. Mahasiswa memahami materi sistem persamaan linear h. Mahasiswa memahami materi fungsi
  3. 3. 3 i. Mahasiswa memahami materi limit dan kekontinuan fungsi j. Mahasiswa memahami materi turunan k. Mahasiswa memahami materi aplikasi turunan l. Mahasiswa memahami materi integral m. Mahasiswa memahami materi penggunaan integral D.3 Tujuan Penulisan Bahan Ajar Dengan ditulisnya bahan ajar mata kuliah Matematika Dasar Untuk Fisika ini diharapkan dapat membantu mahasiswa di dalam mempelajari materi sistem bilangan real, ketaksamaan, nilai mutlak, akar kuadrat dan kuadrat, koordinat kartesius dan kutub, grafik, sistem persamaan linear, fungsi dan limit, turunan, aplikasi turunan, integral, serta penerapan integral.
  4. 4. 4 BAB II SISTEM BILANGAN REAL A. Kompetensi dan Indikator A.1 Standar Kompetensi Menggunakan konsep bilangan real dalam soal dan permasalahan yang relevan. A.2 Kompetensi Dasar Memahami matematika pada materi sistem bilangan real, ketaksamaan, nilai mutlak, akar kuadrat dan kuadrat, koordinat kartesius dan kutub, grafik, serta sistem persamaan linear A.3 Indikator Pembelajaran Mahasiswa mampu mengerjakan soal-soal B. Uraian Materi BILANGAN REAL Himpunan bilangan real adalah himpunan bilangan yang merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irrasional Bilangan Rasional Adalah suatu bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk di mana p, q Z, dengan q 0. Notasinya: Q = {x|x = dengan p, q Z, dengan q 0} contoh : Himpunan-himpunan berikut ada di dalam himpunan bilangan rasional : Himpunan bilangan asli, N = {1,2,3,….} Himpunan bilangan bulat, Z = {…-2,-1,0,1,2,……} Bilangan Irrasional (Tak Rasional) Adalah suatu bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk . Notasinya: iR = {x|x tidak dapat dinyatakan dalam bentuk } contoh : , e, log 5. 1 4 57 , , 3 9 1 p q p q p qp q
  5. 5. 5 Jika Bilangan Real dinyatakan dalam suatu diagram dapat berbentuk sebagai berikut: Desimal Berulang dan Tak Berulang Desimal bilangan rasional adalah berakhir atau berulang dengan pola yang sama. contohnya : 3/8 = 0.375, atau 0.3750000000…. 13/11 =1.1818181818… Setiap bilangan rasional dapat ditulis sebagai desimal berulang dan sebaliknya contoh : x = 0.136136136…. y = 0.271271271….. Buktikan x dan y merepresentasikan bilangan rasional ! Desimal bilangan irrasional tidak berulang dan sebaliknya, contoh : 0.101001000100001…. Garis Bilangan Setiap bilangan real berkorespondensi dengan satu dan hanya satu titik pada sebuah garis bilangan, yang disebut garis bilangan real. SISTEM BILANGAN REAL Himpunan bilangan real yang dilengkapi dengan sifat-sifat bilangan disebut sistem bilangan real. Sifat-sifat bilangan real dibagi menjadi : * Sifat-sifat aljabar; * Sifat-sifat urutan; dan * Sifat-sifat kelengkapan 0-1 1 2-4 2 5 2 3 5 N Z Q R
  6. 6. 6 Sifat-sifat Aljabar Bilangan Real Sifat – sifat aljabar menyatakan bahwa 2 bilangan real dapat ditambahkan, dikurangkan, dikalikan, dibagi (kecuali dengan 0) untuk memperoleh bilangan real yang baru. contoh: 2 + 5⅛ = 7⅛ 5-0,4 = 4,6 4 x ¾= 3 3 : 4 = ¾ Sifat-sifat Lapangan (field) : Hukum Komutatif : x+y = y+x ; xy=yx Hukum Assosiatif : x+(y+z) = (x+y)+z, x(yz)=(xy)z Hukum Distributif : x(y+z) = xy+xz Elemen-elemen identitas : x + 0 = x ; x ·1 = x Balikan (Invers) : x+(-x) = 0 ; x·x-1 = 1 Sifat-sifat Urutan Bilangan Real Bilangan real a disebut bilangan positif, jika a nilainya lebih dari 0, ditulis a > 0. Contoh : 5 adalah bilangan positif, karena 5 > 0 Bilangan real a kurang dari b, ditulis a < b, jika b – a positif Contoh : 2 < 5 karena 5 – 2 = 3 > 0 Untuk setiap bilangan real a, b, c berlaku sifat-sifat sebagai berikut Trikotomi : x < y atau x = y atau x > y Ketransitifan : Jika x < y dan y < z maka x < z Penambahan : x < y jika dan hanya jika x + z < y + z Perkalian : Bila z positif, x < y jhj xz < yz Bila z negatif, x < y jhj xz > yz
  7. 7. 7 Sifat-sifat Kelengkapan Bilangan Real Sifat kelengkapan dari himpunan bilangan real secara garis besar menyatakan bahwa terdapat cukup banyak bilangan – bilangan real untuk mengisi garis bilangan real secara lengkap sehingga tidak ada setitikpun celah diantaranya Contoh : Nyatakanlah apakah masing-masing yang berikut benar atau salah! a. -2 < -5 b. INTERVAL BILANGAN REAL Interval adalah suatu himpunan bagian dari garis bilangan real yang mengandung paling sedikit 2 bilangan real yang berbeda dari semua bilangan real yang terletak diantara keduanya. Untuk setiap x, a, b R, 1. [a, b] = {x | a ≤ x ≤ b} disebut interval tutup 2. [a, b) = {x | a ≤ x < b} disebut interval setengah tertutup atau terbuka 3. (a, b] = {x | a < x ≤ b} disebut interval setengah terbuka atau tertutup 4. (a, b) = {x | a < x < b} disebut interval terbuka Selain interval-interval di atas juga terdapat interval-interval tak hingga 1. (–∞, b] = {x | x ≤ b} 2. (–∞, b) = {x | x < b} 3. [a, ∞) = {x | x ≥ a} 4. (a, ∞) = {x | x > a} 5. (–∞, ∞) = {x | x R} PERTIDAKSAMAAN Menyelesaikan pertidaksamaan dalam x berarti mencari interval atau interval-interval dari bilangan yang memenuhi pertidaksamaan tersebut. Cara menyelesaikan pertidaksamaan: 1. tambahkan kedua sisi dengan bilangan yang sama 2. kalikan kedua sisi dengan bilangan positif 3. kalikan kedua sisi dengan bilangan negatif, tapi tanda ketidaksaman berubah 6 34 7 39
  8. 8. 8 Contoh: Selesaikan pertidaksamaan berikut dan gambarkanlah kumpulan solusinya pada garis bilangan real! a. 5x – 3 ≤ 7 - 3x b. x x 2 4 2 c. (x – 1)2 ≤ 4 NILAI MUTLAK Definisi nilai mutlak : Jadi |x|≥ 0 untuk setiap bilangan real x dan |x| = 0 jika dan hanya jika x = 0. |x| dapat juga didefinisikan sebagai: Secara Geometri: |x| menyatakan jarak dari x ke titik asal. |x – y| = jarak diantara x dan y Sifat-sifat Nilai Mutlak |-a| = |a| |ab| = |a||b| |a + b| ≤ |a| + |b| |x|2 = x2 |x| < a jika dan hanya jika - a < x < a |x| > a jika dan hanya jika x > a atau x < -a |x| < |y| jika dan hanya jika x2 < y2 Contoh: 1. |x+5| < 6 0, 0, xx xx x 2 x x
  9. 9. 9 SISTEM KOORDINAT CARTESIUS (PERSEGI PANJANG) Sistem koordinat adalah suatu metode untuk menentukan letak suatu titik dalam grafik. Ada beberapa macam sistem koordinat yaitu: Sistem Koordinat Cartesius; Sistem Koordinat Kutub; Sistem Koordinat Tabung, dan Sistem Koordinat Bola. Sistem Koordinat Cartesius Koordinat ini terdiri dari 2 garis saling tegak lurus, yaitu satu mendatar (horizontal) dan yang lain tegak (vertikal). Garis mendatar ini disebut sumbu-x sedangkan garis yang tegak disebut sumbu-y. Perpotongan kedua sumbu tersebut dinamakan titik asal (origin) dan diberi tanda O. Seperti biasanya, titik-titik di sebelah kanan O nilainya adalah positif (bilangan-bilangan real positif) sedangkan titik-titik di sebelah kiri O dengan bilangan-bilangan real negatif. Demikian pula dengan titik-titik di sebelah atas O dan di sebelah bawah O masing-masing dikaitkan dengan bilangan-bilangan real positif dan negatif. Oleh ke dua sumbu, bidang datar (bidang koordinat) terbagi menjadi 4 daerah (kwadran), yaitu kwadran I, kwadran II, kwadran III, dan kwadran IV Gambar Koordinat Cartesius dan kwadrannya 1 . 5 2 6x x 2 . 2 1 1 1x x 3. Berapakah nilai a dan t yang memenuhi persamaan ?t a a t
  10. 10. 10 Letak sembarang titik pada bidang dinyatakan dengan pasangan variable berurutan (x,y). Titik P(x,y) berarti bahwa jarak titik P ke sumbu-x dan sumbu-y masing-masing adalah |y| dan |x|. Apabila x < 0 (atau y < 0) maka titik P berada di sebelah kiri (atau sebelah bawah) titik asal O dan apabila x > 0 (atau y > 0) maka titik P terletak di sebelah kanan (atau sebelah atas) titik asal O. Dalam hal ini, x disebut absis titik P sedangkan y disebut ordinat titik P. Persamaan Lingkaran dengan Pusat (0,0) Definisi Y Perhatikan di samping. A(x,y) Gambar di samping adalah sebuah lingkaran pada bidang Cartesius yang X berpusat di O(0,0) dan barjari-jari r satuan. Titik A(x,y) adalah sebarang titik yang terletak pada lingkaran. r O Lingkaran adalah tempat titik-titik pada bidang datar yang berjarak sama terhadap titik tetap. Titik tetap itu disebut titik pusat lingkaran, dan jarak titik-pada lingkaran ke pusat adalah jari- jari lingkaran. r O(0,0)
  11. 11. 11 Berdasarkan Definisi 1, titik A(x,y) berjarak r satuan dari titik O(0,0). Jarak A(x,y) ke O(0,0) adalah |AO| = r 22 )0()0( yx = r 22 yx = r 22 yx = r 2 . Contoh 1: Tulislah persamaan lingkaran yang berjari-jari 5 satuan dan pusatnya O(0,0). Jawab: Persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan berjarijari 5 adalah 22 yx = 5 2 atau 22 yx = 25. Contoh 2. Tulislah pusat dan jari-jari lingkaran yang persamaannya 22 yx = 27. Jawab: Pusat lingkaran 22 yx = 27 adalah O(0,0), jari-jarinya adalah r = 27 = 3 3 satuan. Contoh 3 Y Tulislah persamaan lingkaran yang A(12,5) berpusat di titik O(0,0) dan melalui titik A(12,5) O X Persamaan 22 yx = r 2 adalah persamaan lingkaran yang berpusat di titik O(0,0) dan berjari-jari r.
  12. 12. 12 Jawab: Jarak AO sama dengan jari-jari lingkaran, sebut r. r = 22 )05()012( = 22 512 = 25144 = 169 = 13 satuan. Jadi persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jari-jari 13 satuan adalah 22 yx = 13 2 atau 22 yx = 169. Persamaan Lingkaran dengan Pusat P(a,b) Y Perhatikan Gambar di samping. A(x,y) Sebuah lingkaran pada bidang Cartesius dengan pusat P(a,b) dan berjari-jari r. Titik A(x,y) adalah sebarang titik yang terletak pada lingkaran. O X Berdasarkan Definisi 1, pada Gambar 4, sebarang titik A(x,y) pada lingkaran berjarak r satuan dari titik tetap P(a,b). Jarak A(x,y) ke P(a,b) adalah r = 22 )()( ybxa = 22 )()( byax r 2 = 22 )()( byax . r P(a,b) Persamaan 22 )()( byax = r 2 adalah persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(a,b) dan berjari-jari r.
  13. 13. 13 Catatan: Untuk a = 0 dan b = 0, titik P(a,b) adalah titik P(0,0). Persamaan lingkarannya menjadi 2 x + 2 y = r 2 , yakni persamaan lingkaran yang berpusat di titik O(0,0) dan berjari-jari r. Contoh: Tulislah persamaan lingkaran yang berjari-jari 5 satuan dan berpusat di titik (2,4). Jawab: Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (2,4) dan berjari-jari 5 adalah 22 )4()2( yx = 5 2 atau 22 )4()2( yx = 25. Persamaan Lingkaran 2 x + 2 y + A x + B y + C = 0. Perhatikan persamaan 2 x + 2 y + A x + B y + C = 0 2 x + A x + 2 y + B y = - C 2 x + A x + 4 1 A 2 + 2 y + B y + 4 1 B 2 = 4 1 A 2 + 4 1 B 2 - C 2 2 12 2 1 )()( ByAx = 4 1 A 2 + 4 1 B 2 - C. Ini adalah persamaan lingkaran dengan Pusat : P(- 2 1 A, - 2 1 B) Jari-jari : r = CBA 2 4 12 4 1 satuan. Contoh: Carilah pusat dan jari-jari lingkaran yang persamaannya 2 x + 2 y - 6 x + 4 y - 12 = 0. Jawab: Pada persamaan 2 x + 2 y - 6 x + 4 y - 12 = 0, nilai A = -6, B = 4 dan C = -12. Misalkan pusat lingkarannya P dan jari-jarinya r. Pusat lingkaran : P(- 2 1 A, - 2 1 B) atau P(3,-2) Jari-jari : r = CBA 2 4 12 4 1 = 1216.36. 4 1 4 1 = 25 = 5 satuan.
  14. 14. 14 Latihan 1. Lingkaran L1 = x2 + y2 + 2x -4y – 4, lingkaran L2 mempunyai pusat di (3,5) serta menyinggung lingkaran L1. Tentukan persamaan lingkaran L2. 2. Tentukan persamaan lingkaran di kuadran I yang menyinggung garis y = 3 x dan sumbu X di titik (4,0). 3. Hitung jarak terdekat antara titik P(-7,2) ke lingkaran x2 + y2 -10x – 14y -151 = 0. 4. Diketahui titik P(5,-2) dan lingkaran x2 + y2 -3x +y – 4 = 0. Melalui P dibuat garis sehingga menyinggung lingkaran di T, hitung panjang PT. 5. Diketahui titik P(1,7) dan lingkaran (x+3)2 + (y-4)2 = 16. Hitung jarak terdekat P ke lingkaran. Garis Lurus Persamaan umum garis lurus pada bidang adalah Ax + By + C = 0,dengan A, B tak keduanya nol. Jika B ≠ 0, persamaan tadi dapat dinyatakan sebagai y = mx + c, dengan m menyatakan gradien atau kemiringan garis tersebut. Persamaan garis lurus yang melalui P(x0,y0) dengan gradien m adalah y – yo = m(x – xo). KOORDINAT KUTUB Dalam beberapa hal, lebih mudah mencari lokasi/posisi suatu titik dengan menggunakan koordinat kutub. Koordinat kutub menunjukkan posisi relatif terhadap titik kutub O dan sumbu polar (ray) yang diberikan dan berpangkal pada O. Titik P dengan koordinat kutub (r, ) berarti berada diposisi: - derajat dari sumbu-x (sb. polar) ( diukur berlawanan arah jarum-jam) - berjarak sejauh r dari titik asal kutub O. O (the pole) ray (polar axis)
  15. 15. 15 Perhatian: jika r < 0, maka P berada di posisi yang berlawanan arah. r: koordinat radial : koordinat sudut Setiap titik mempunyai lebih dari satu representasi dalam koordinat kutub (r, ) = (- r, + n ), untuk n bil. bulat ganjil = ( r, + n ) , untuk n bil. bulat genap Example: the following polar coordinates represent the same point (2, /3), (-2, 4 /3), (2, 7 /3), (-2, -2 /3). Konversi koordinat kutub kedalam koordinat kartesius. Gunakan relasi: x = r cos , y = r sin Maka r2 = x2 + y2 , tan = y/x, jika x 0 Catt. menentukan Jika x > 0, maka x berada di kuadran 1 atau 4 jadi - /2 < < /2 = arctan(y/x). Jika x < 0, x berada di kuadran 2 atau 3, = + arctan(y/x). Pers. polar dari lingkaran berjari-jari a: r = a Untuk lingkaran berjari a, - berpusat di (0,a): r = 2a sin - berpusat di (a,0): r = 2a cos
  16. 16. 16 Konversikan persamaan kutub r = 2 sin kedalam sistem koordinat kartesius: Kalikan kedua sisi dengan r: r2 = 2r sin x2 + y2 = 2y x2 + y2 - 2y = 0 Jadi persamaan tsb. dalam koordinat kartesius adalah x2 + (y -1)2 = 1 Cari titik potong antara 2 persamaan kutub berikut: r = 1 + sin and r2 = 4 sin . Solusi: (1 + sin )2 = 4 sin 1 + 2 sin + sin2 - 4 sin = 0 sin2 - 2 sin + 1 = 0 (sin - 1)2 = 0 sin = 1 Jadi sudut = /2 + 2n , dimana n = 0,1,… Jadi salah satu titik potong: (2, /2) Grafik Persamaan Kutub Cardioid: Contoh : r = sin θ + 1 Limaçon: r = a + b cos , r = a + b sin contoh : r = 3 – 5 sin θ )cos1()sin1( ardanar
  17. 17. 17 Mawar (Rose) Persamaan berbentuk r = cos (n ) atau r = sin(n ) mempunyai grafik berbentuk mawar (rose); dengan jumlah kelopak = n jika n ganjil, 2n jika n genap Contoh : r = cos θ Lemniscate: Contoh: untuk )2sin(atau)2cos( 22 arar )2sin(42 r
  18. 18. 18 Spiral: Persamaan berbentuk r = n Contoh : r = Grafik dari “butterfly curve” r( ) = exp(cos( ))- 2*cos(4* ) + sin( /4)^3
  19. 19. 19
  20. 20. 20 SISTEM PERSAMAAN LINEAR Bentuk umum: dimana x1, x2, . . . , xn variabel tak diketahui, aij , bi, i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n bil. diketahui. Ini adalah SPL dengan m persamaan dan n variabel. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Masing-masing pers berupa garis lurus. Penyelesaiannya adalah titik potong kedua garis ini. Penyajian SPL dalam Bentuk Grafik SPL BENTUK MATRIKS Strategi Menyelesaikan SPL Mengganti SPL lama menjadi SPL baru yang mempunyai penyelesaian sama (ekuivalen) tetapi bentuk yang lebih sederhana. kedua garis sejajar kedua garis berpotongan kedua garis berhimpitan
  21. 21. 21 Tiga Operasi Yang Mempertahankan Penyelesaian SPL SPL 1. Mengalikan suatu persamaan dengan konstanta tak nol. 2. Menukar posisi dua persamaan sebarang. 3. Menambahkan kelipatan suatu persamaan ke persamaan lainnya. MATRIKS 1. Mengalikan suatu baris dengan konstanta tak nol. 2. Menukar posisi dua baris sebarang. 3. Menambahkan kelipatan suatu baris ke baris lainnya. Ketiga operasi ini disebut OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE) SPL atau bentuk matriksnya diolah menjadi bentuk sederhana sehingga tercapai 1 elemen tak nol pada suatu baris. Contoh: DIKETAHUI …………(i) …………(ii) …………(iii)
  22. 22. 22 Diperoleh penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3. Terdapat kaitan menarik antara bentuk SPL dan representasi matriksnya. Metoda ini berikutnya disebut dengan METODA ELIMINASI GAUSS. Bentuk Echelon-Baris Misalkan SPL disajikan dalam bentuk matriks berikut: DIKETAHUI …………(i) …………(ii) …………(iii)
  23. 23. 23 maka SPL ini mempunyai penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3. Matriks ini disebut bentuk echelon-baris tereduksi. Untuk dapat mencapai bentuk ini maka syaratnya adalah sbb: 1. Jika suatu brs matriks tidak nol semua maka elemen tak nol pertama adalah 1. Brs ini disebut mempunyai leading 1. 2. Semua brs yg terdiri dari nol semua dikumpulkan di bagian bawah. 3. Leading 1 pada baris lebih atas posisinya lebih kiri daripada leading 1 baris berikut. 4. Setiap kolom yang memuat leading 1, elemen lain semuanya 0. Bentuk echelon-baris dan echelon-baris tereduksi Matriks yang memenuhi kondisi (1), (2), (3) disebut bentuk echelon-baris. CONTOH bentuk echelon-baris tereduksi: CONTOH bentuk echelon-baris: Bentuk Umum Echelon-Baris
  24. 24. 24 Bentuk Umum Echelon-Baris Tereduksi dimana lambang ∗ dapat diisi bilananga real sebarang. Latihan: Misal diberikan bentuk matriks SPL sbb: Tentukan penyelesaian masing-masing SPL di atas! Metoda Gauss-Jordan Ide pada metoda eliminasi Gauss adalah mengubah matriks ke dalam bentuk echelon-baris tereduksi. CONTOH: Diberikan SPL berikut. Bentuk matriks SPL ini adalah:
  25. 25. 25 Akhirnya diperoleh: Akhirnya, dengan mengambil x2:= r, x4:= s dan x5:= t maka diperoleh penyelesaian: Di mana r, s dan t bilangan real sebarang. Jadi SPL ini mempunyai tak berhingga banyak penyelesaian. Metode Substitusi Mundur Misalkan kita mempunyai SPL dalam matriks berikut: 61808400 0000000 1-3-02-1-00 00202-31 ⇄ -3B3+B2 B2 2B2+B1 B1
  26. 26. 26 Bentuk ini ekuivalen dengan: LANGKAH 1: selesaikan variabel leading, yaitu x6. Diperoleh: LANGKAH 2: mulai dari baris paling bawah subtitusi ke atas, diperoleh LANGKAH 3: subtitusi baris 2 ke dalam baris 1, diperoleh: LANGKAH 4: Karena semua persamaan sudah tersubstitusi maka peker-jaan substitusi selesai. Akhirnya dengan mengikuti langkah pada metoda Gauss-Jordan sebelumnya diperoleh: Eliminasi Gaussian Mengubah menjadi bentuk echelon-baris (tidak perlu direduksi), kemudian menggunakan substitusi mundur. CONTOH: Selesaikan dengan metoda eliminasi Gaussian
  27. 27. 27 PENYELESAIAN: Diperhatikan bentuk matriks SPL berikut:
  28. 28. 28 BAB III FUNGSI DAN LIMIT A. Kompetensi dan Indikator A.1 Standar Kompetensi Menggunakan konsep Fungsi dan Limit dalam soal dan permasalahan yang relevan. A.2 Kompetensi Dasar Memahami matematika pada materi fungsi dan limit A.3 Indikator Pembelajaran Mahasiswa mampu mengerjakan soal-soal B. Uraian Materi FUNGSI DAN OPERASI PADA FUNGSI Dalam matematika, yang dimaksud dengan fungsi adalah aturan yang memetakan setiap objek x di suatuhimpunan D (daerah asal) ke sebuah objek tunggal y di himpunan E (daerah hasil). Fungsi biasanya dilambangkan dengan huruf kecil seperti f atau g. Lambang f : D → E berarti f adalah fungsi dari D ke E. Fungsi yang akan dibahas di sini adalah fungsi dengan daerah asal D R dan daerah hasil E R, yang sering dinyatakan dalam bentuk persamaan seperti y = x2 atau f(x) = x2 , x є R. Contoh 1. Fungsi f(x) = x2 memetakan setiap bilangan real x ke kuadratnya, yakni x2 . Daerah asalnya adalah R dan daerah hasilnya adalah [0,∞). Contoh 2. Fungsi g(x) = 1/x memetakan setiap bilangan real x ≠ 0 ke kebalikannya, yakni 1/x. Daerah asalnya sama dengan daerah hasilnya, yaitu {x є R | x ≠ 0 }.
  29. 29. 29 Operasi pada Fungsi Seperti halnya pada bilangan, kita definisikan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian pada fungsi, sebagai berikut: (f + g)(x) = f(x) + g(x) (f – g)(x) = f(x) – g(x) (f.g)(x) = f(x).g(x) (f/g)(x) = f(x)/g(x) asalkan bentuk di ruas kanan terdefinisi. Daerah asal f + g adalah irisan dari daerah asal f dan daerah asal g, yakni {x є R | x ≠ 0 }. Contoh jika f(x) = x2 dan g(x) = 1/x, maka f + g adalah fungsi yang memetakan x ke x2 + 1/x, yakni (f + g)(x) = x2 + 1/x. Selain keempat operasi tadi, kita dapat pula mendefinisikan pangkat p dari fungsi f, yakni f p (x) = [f(x)]p , asalkan bentuk di ruas kanan terdefinisi. KOMPOSISI FUNGSI Aturan fungsi komposisi Fungsi g : A B dan h : B C dua fungsi dengan Dh = Rf. Pada gambar berikut mengilustrasikan fungsi g bekerja lebih dulu baru dilanjutkan fungsi h. Fungsi g memetakan x ke y dan h memetakan y ke z. Fungsi f memetakan x langsung ke z. Fungsi f : A C adalah komposisi dari fungsi g dan h, yakni f = h g. A B C g h f Perhatikan ilustrasi di atas, y = g(x) dan z = h(y). Fungsi f : A C ditentukan oleh rumus f(x) = h(g(x)) untuk semua x anggota A. x y z
  30. 30. 30 adalah fungsi komposisi g dan h, dan dinotasikan dengan f = h g. f(x) = (h g)(x) = h(g(x)) untuk semua x anggota A. Perhatikan bahwa h g g h. (h g)(x) = h(g(x)) g(h(x)) (g h)(x). h g merupakan fungsi komposisi dengan g bekerja lebih dulu baru kemudian h, tetapi g h merupakan fungsi komposisi dengan h bekerja lebih dulu baru g. Contoh : Misalkan dua fungsi g : R R dan h : R R, keduanya berturut-turut ditentukan oleh rumus: g(x) = 2x + 1 dan h(x) = x 2 a. Carilah (i) (h g)(3); (ii) (h g)(-5); dan (iii) daerah hasil f = h g. b. Carilah x R, sehingga f(x) = 100, jika f = h g. Jawab: a. (i) (h g)(3) = h(g(3)) = h(2.3 + 1) = h(7) = 7 2 = 49. (ii) (h g)(-5) = h(g(-5)) = h(2(-5) + 1) = h(-9) = (-9) 2 = 81. (iii) Misalkan f = h g. f(x) = (h g)(x) = h(g(x)) = h(2x + 1) = (2x + 1) 2 untuk semua x R. Jadi Rf = {x R/ x 1}. b. f(x) = 100, jika f = h g. Berarti f(x) = (h g)(x) = 100. Berdarkan a(iii); (2x + 1) 2 = 100 2x + 1 = 10 atau 2x + 1 = -10 x = 4 2 1 atau x = - 5 2 1 . FUNGSI TRIGONOMETRI Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut 1. Menentukan Rumus untuk cos (α ± β) Titik A dan B pada lingkaran. OA = OB = 1 satuan. OA dengan sumbu x positif membentuk sudut α . OB dengan sumbu x positif membentuk sudut β. AOC = α dan BOC = β.
  31. 31. 31 Dengan demikian koordiant titik A (cos α , sin α) dan B (cos β, sin β). Dengan rumus jarak antara dua titik, maka jarak AB adalah: AB2 = (xA – xB )2 + (yA – yB )2 = (cos α – cos β )2 + (sin α – sin β)2 = cos2 α – 2cosα cos β + cos 2 β + sin2 α – 2sinα sinβ + sin2 β = cos2 α + sin2 α + cos2 β + sin2 β – 2cos α cos β – 2sin α sin β = 1 + 1 – 2 (cos α cos β + sin α sin β ) = 2 – 2 (cos α cos β + sin α sin β )........................( 1 ) Perhatikan AOB, AOB = α – β dengan aturan cosinus, diperoleh AB2 = OA2 + OB2 – 2.OA.OB cos AOB = 1 + 1 – 2.1.1.cos (α – β) = 2 – 2 cos (α – β)............................................................( 2 ) Dari ( 1 ) dan ( 2 ) diperoleh: 2 – 2 cos (α – β) = 2 – 2 (cos α cos β + sin α sin β ) -2 cos (α – β) = – 2 (cos α cos β + sin α sin β ) cos (α – β) = (cos α cos β + sin α sin β ) Dengan mengubah α + β menjadi α – (– β) diperoleh : cos (α + β) = cos (α – (– β)) = cos α cos (-β) + sin α sin (-β) = cos α cos β – sin α sin β Ingat ! sin (- O A B C X Y
  32. 32. 32 Contoh: Tuliskan rumus cosinus sudut jumlah atau selisih berikut ini! a. cos (2a – b) b. cos (2p + 3q) Jawab: a. cos (2a – b) = cos 2a cos b + sin 2a sin b b. cos (2p + 3q) = cos 2p cos 3q - sin 2p sin 3q Buktikan bahwa: a. cos( 2 - A) = sin A b. cos 8 5 cos 8 1 - sin 8 5 sin 8 1 = 2 2 1 c. cos p 2 cos p 6 + sin p 2 sin p 6 = 2 1 d. cos A cos A - sin A sin A = cos 2 Bukti: a. cos( 2 - A) = cos 2 . cos A + sin 2 . sin A = 0. cos A + 1 . sin A = sin A (terbukti) b. cos 8 5 cos 8 1 - sin 8 5 sin 8 1 = cos 8 1 8 5 = cos 4 3 = 2 2 1 (terbukti) c. cos p 2 cos p 6 + sin p 2 sin p 6 = cos pp 62 = cos 3 = 2 1 (terbukti) d. cos A cos A - sin A sin A = cos { A + A } = cos 2 (terbukti)
  33. 33. 33 2. Menentukan rumus sin Rumus sinus jumlah dua sudut dapat ditentukan sebagai berikut ini. sin = cos 0 90 = cos 0 90 = cos 0 90 cos + sin 0 90 sin = sin cos + cos sin Setelah kita memperoleh sinus jumlah, yaitu sin kita dapat menentukan rumus selisih dua sudut sebagi berikut: sin = sin = sin cos + cos sin = sin cos + cos sin = sin cos - cos sin 3. Menentukan rumus untuk tan Dari rumus sinus dan cosinus jumlah dua sudut dapat digunakan untuk menentukan rumus tan (α+β) sebagai berikut : tan (α+β) = )cos( )sin( =>ingat! tan α = cos sin = sinsincoscos cossincossin = coscos sinsin coscos coscos coscos sincos coscos cossin Ingat !! sin 0 90 = cos cos 0 90 = sin α β
  34. 34. 34 = cos sin . cos sin 1 cos sin cos sin = tantan1 tantan Rumus Trigonometri Sudut Rangkap 1. Menentukan Sudut Rangkap a. Menentukan rumus sin 2α Dengan rumus sin (α +β) = sinα cosβ + cosα sinβ dan dengan mengubah 2α = α + α didapat sin 2α = sin(α + α) = sinα cosα + cosα sinα = 2 sinα cosα b. Menentukan rumus cos 2α Dengan rumus cos (α +β) = cosα cosβ – sinα sinβ dan dengan mengubah 2α = α + α didapat cos 2α = cos(α + α) = cosα cosα – sinα sinα = cos2 α – sin2 α Rumus cos 2α = cos2 α – sin2 α dapat dinyatakan dalam bentuk lain cos 2α = cos2 α – sin2 α = cos2 α – (1 – cos2 α) = cos2 α – 1 + cos2 α = 2 cos2 α – 1 Jadi: tan (α+β) = tantan1 tantan Jadi: sin 2α = 2 sinα cosα Jadi: cos 2α = cos2 α – sin2 α Ingat !! cos2 α + sin2 α = 1 sin2 α = 1 – cos2 α cos2 α = 1 – sin2 α
  35. 35. 35 cos 2α = cos2 α – sin2 α = (1 – sin2 α )– sin2 α = 1 – sin2 α - sin2 α = 1 – 2 sin2 α 2. Identitas Trigonometri Rumus – rumus penjumlahan dan pengurangan sinus dan cosinus bersama-sama dengan rumus- rumus yang terdahulu dapat digunakan untuk menunjukkan kebenaran dari suatu identitas trigonometri Contoh: Buktikan identitas berikut! a. (sin α + cos α)2 = 1 + sin 2α b. sin 3α = 3 sinα – 4 sin3 α c. 4 4 44 cos tan1 sincos Bukti: a. (sin α + cos α)2 = sin2 α + 2 sin α cos α + cos2 α = sin2 α + cos2 α + 2sin αcos α = 1 + sin2 α (terbukti) b. 3 α dapat dinyatakan 2 α + α, sehingga : sin 3 α = sin (2 α + α) = sin 2 α cos α + cos 2 α sin α = (2 sin α cos α)cos α + (1 – 2 sin2 α)sin α = 2 sin α cos2 α + sin α – 2 sin3 α = 2 sin α (1 – sin2 α) + sin α – 2 sin3 α = 2sin α – 2 sin3 α + sin α – 2sin3 α = 3 sin α – 4 sin3 α (terbukti) Jadi: cos 2α = 2cos2 α – 1 Jadi: cos 2α = 1 – 2 sin2 α
  36. 36. 36 c. 4 44 tan1 sincos = )tan1)(tan1( )sin)(cossin(cos 22 2222 = ) cos sincos ( cos 1 )sin.(cos1 2 22 2 22 = ) cos sincos ( cos 1 sincos 2 22 2 22 = )sin(cos cos 1 sincos 22 4 22 = 4 cos 1 1 = cos4 α (terbukti) Latihan a. Jika sin x cos x = a untuk 0 x 4 , tentukan tan 2x. b. Nilai maksimum dari 25cos8sin15 xx m adalah 25. Tentukan nilai m c. , , dan adalah sudut-sudut sebuah segitiga. Tentukan nilai tan .tan jika tan .+ tan =2 tan d. Dalam segitiga lancip ABC, sin C = 13 2 , tan A tan B = 13, tentukan tan A + tan B. e. Jika sudut lancip yang memenuhi 2 cos2 = 1 + 2 sin 2 , tentukan nilai tan .
  37. 37. 37 LIMIT FUNGSI Konsep Limit Misalkan I = (a,b) suatu interval buka di R dan c I. Fungsi f(x) dikatakan terdefinisi di I kecuali mungkin di c, artinya f(x) terdefinisi di semua titik pada I/{c} dan di c boleh terdefinisi boleh juga tidak Limit fungsi di satu titik Jika nilai x cukup dekat dengan nilai tetap a, menghasilkan nilai f(x) cukup dekat ke nilai tetap L, dan juga jika nilai f(x) dapat dibuat sekecil mungkin dekat dengan L dengan cara memilih nilai x yang cukup dekat dengan a, dan ini benar untuk semua nilai x dalam daerah asal fungsi f kecuali mungkin untuk x = a, maka kita katakan bahwa limit fungsi f(x) untuk x mendekati a sama dengan L, ditulis ax lim f(x) = L. Dengan ungkapan lain: ax lim f(x) = L jika dan hanya jika > 0, > 0, 0 < |x – a| < maka | f(x) - L| < . Nilai bergantung pada pada sebarang x sehingga f(x) terdefinisi. Namun pada nilai x = a tidak dipersoalkan. Misalnya pada fungsi f(x) = 3x – 4, = 0,1 untuk = 0,3; dan = 0,001 untuk = 0,003. Karena |(3x – 4) – 5| = |3x – 9| = 3|x – 3|, maka relasi antara dan pada kasus ini adalah = 3 untuk nilai fungsi di sekitar x = 3. Jika tidak ada nilai L yang memenuhi definisi limit, maka kita katakan ax lim f(x) = L tidak ada.
  38. 38. 38
  39. 39. 39 LIMIT SEPIHAK Dari gambar di atas dapat terlihat bahwa fungsi f(x) mengalami loncatan pada x = 1 Sekarang coba lengkapi implikasi berikut:
  40. 40. 40 Hasil terakhir menunjukkan bahwa limit kiri dari f(x) untuk x menuju 1 dari kiri bukan 1,5 Definisi Limit Kanan Misalkan f(x) terdefinisi pada I = (a,b), kecuali mungkin di c I. Limit dari f(x) untuk x mendekati c dari kanan disebut L, dinotasikan εLxfδcx0δ0,εLxlimf cx Definisi Limit Kiri Misalkan f(x) terdefinisi pada I = (a,b), kecuali mungkin di c I. Limit dari f(x) untuk x mendekati c dari kiridisebut L, dinotasikan εLxfδx-c0δ0,εLxlimf cx
  41. 41. 41 KEKONTINUAN FUNGSI Kekontinuan Sepihak Fungsi f dikatakan kontinu kiri di x = c bila Fungsi f dikatakan kontinu kanan di x = c bila Kekontinuan Pada Interval Fungsi f dikatakan kontinu pada interval buka (a,b) jika f kontinu pada setiap titik di (a,b) Fungsi f dikatakan kontinu pada selang tutp [a,b] jika f kontinu pada (a,b) kontinu kanan di a dan kontinu kiri di b
  42. 42. 42 2. Periksa kekontinuan fungsi f yang diberikan oleh 3. Misalkan fungsi f diberikan oleh Tunjukkan 4. Hitunglah 0x 0x , 1 x xsin xf 12xxxf 16xflim0,xflim 5x1x xtan2x xsinx lim0x
  43. 43. 43 BAB IV TURUNAN A. Kompetensi dan Indikator A.1 Standar Kompetensi Menggunakan konsep turunan fungsi dalam pemecahan masalah A.2 Kompetensi Dasar a. Menggunakan konsep dan aturan turunan dalam perhitungan turunan fungsi b. Menggunakan turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsi dan memecahkan masalah c. Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi d. Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi dan penafsirannya A.3 Indikator Pembelajaran Mahasiswa mampu mengerjakan soal-soal B. Uraian Materi Laju Perubahan Nilai Fungsi; Ide Turunan pada x = a. Jika sebuah benda bergerak maka benda itu memiliki kecepatan. Pada bagian B, telah diuraikan makna kecepatan rata-rata gerak benda. Yaitu: kecepatan rata-rata = diperlukanyangwaktu ditempuhyangjarak = waktuperubahan jarakperubahan . Jika benda tersebut bergerak sepanjang lintasan y = f(x), maka perbandingan di atas menunjukkan perubahan nilai rata-rata: perubahan nilai rata-rata = xiabelperubahan fungsinilaiperubahan var .
  44. 44. 44 Misalkan fungsi f : R R ditentukan oleh rumus f: x f(x). Y y = f(x) Gambar di samping adalah f(a+h) B sketsa suatu kurva y = f(x). Titik A(a,f(a)) dan B(a+h,f(a+h)) f(a) A adalah dua titik yang terletak pada kurva. Apa yang terjadi jika h mendekati O a a+h X nilai nol? Perhatikan perubahan dari A ke B. Untuk daerah asal dalam interval a x a + h, nilai fungsi berubah dari f(a) pada x = a sampai f(a + h) pada x = a + h. Perbandingan selisih nilai fungsi dan selisih nilai variabel merupakan perubahan rata- rata nilai fungsi dalam interval a x a + h untuk h 0, yakni: Perubahan rata-rata = iabelnilaiperubahan fungsinilaiperubahan var = aha afhaf )( )()( = h afhaf )()( . Untuk nilai h mendekati nol, perubahan rata-rata nilai fungsi itu di sebut laju perubahan nilai fungsi pada x = a. Laju perubahan nilai fungsi (pada x = a) = 0 lim h h afhaf )()( . Lambang turunan fungsi yang rumusnya f(x) di titik x = a, adalah f (a) (dibaca: f aksen a). f (a) = 0 lim h h afhaf )()( . Jika 0 lim h h afhaf )()( ada, maka dikatakan f terturunkan (terdiferensialkan) di a. f (a) adalah turunan fungsi f di x = a. Contoh : Misalkan f(x) = 18x 2 + 19. Carilah turunan fungsi f di x = 4. Jawab: Turunan fungsi f(x) = 18x 2 + 19x di x = 4 adalah f (4).
  45. 45. 45 f (4) = 0 lim h h fhf )4()4( = 0 lim h h hh )4.194.18())4(19)4(18( 22 = 0 lim h h hhh )4.194.18()194.19184.2.184.18( 222 = 0 lim h h hh 2 18163 = 0 lim h (163 + 18h) = 163. Turunan dari fungsi f Misalkan f : A R dengan A R suatu fungsi dan untuk setiap anggota A fungsi f memiliki turunan. Misalnya untuk a, b, … A, f (a) = 0 lim h h afhaf )()( , f (b) = 0 lim h h bfhbf )()( , … ada nilainya; maka dikatakan f terturunkan (diferensiable) pada A. Perhatikan untuk setiap anggota A kita memperoleh nilai baru di bawah f . Jadi kita memperoleh fungsi baru yang diturunkan dari f, yaitu. f : A R dengan A R. Fungsi f ini disebut turunan f pada A, dan ditentukan oleh rumus: f (x) = 0 lim h h xfhxf )()( . Contoh: Carilah turunan fungsi f yang ditentukan oleh rumus f(x) = 3x3 . Jawab: Turunan fungsi f yang ditentukan oleh rumus f(x) = 3x3 adalah f (x) = 0 lim h h xfhxf )()( = 0 lim h h xhx 33 3)(3 = 0 lim h h xhxhhxx 33223 3)33(3
  46. 46. 46 = 0 lim h h xhxhhxx 33223 33993 = 0 lim h h hxhhx 322 399 = 0 lim h (9x 2 + 9xh + 3h 2 ) = 9x 2 . Turunan Beberapa Fungsi Khusus (1) Turunan fungsi konstan, yaitu f(x) = a, a konstanta. f (x) = 0 lim h h xfhxf )()( = 0 lim h h aa = 0. (Lihat latihan 7 nomor 1) Jika f(x) = a, a konstanta; maka f (x) = 0. (2) Turunan fungsi pangkat positif dari x, yaitu f(x) = x n . Contoh pada Latihan 7, nomor 2 sampai 6. Hasilnya masukkan tabel: f(x) x x 2 x3 x 4 … x n f (x) 1 2x 3x 2 4x3 … …… Perhatikan baik-baik tabel di atas, apakah kamu menemukan pola sehingga kamu dapat mengisi …… di bawah x n ? Jika f(x) = x n , maka f (x) = nx 1n . (3) Turunan f(x) = ax n dengan a konstanta; n bilangan positif atau rasional. Dengan cara serupa dengan (2); ternyata berlaku: Jika f(x) = ax n , maka f (x) = anx 1n
  47. 47. 47 (4) Turunan pangkat negatif dari x, yaitu f(x) = n x 1 Jika kita lihat kembali Latihan 7, nomor 7 dan dimasukkan ke table, akan terlihat polanya turunannya, yaitu: Jika f(x) = n x 1 , maka f (x) = - 1n x n . Karena n x 1 = x n , maka pernyataan di atas setara dengan: Jika f(x) = x n , maka f (x) = -nx )1(n . Turunan f(x) yaitu f (x) dalam proses pencariannya menggunakan konsep limit, yakni f (x) = 0 lim h h xfhxf )()( . Sifat-sifat turunan berikut penting dalam mencari turunan: 1. Jika fungsi f dan g keduanya fungsi yang terdefinisi pada selang I, maka turunan (jika ada) dari f dan g juga merupakan fungsi yang terdefinisi pada selang I. Demikian juga fungsi-fungsi f + g, f - g, cf, f g, dan f/g (khusus untuk f/g perlu tambahan syarat g 0) adalah juga fungsi-fungsi juga memiliki turunan yang terdefinisi di I. 2. Rumus turunan f + g, f - g, cf, f g, dan f/g berturut-turut adalah: a. (f + g) (x) = f (x) + g (x). b. (f - g) (x) = f (x) - g (x). c. (cf) (x) = cf (x), c konstanta. d. (f g) (x) = f(x)g (x) + g(x) f (x) e. (f/g) (x) = 2 )]([ )(')()(')( xg xgxfxfxg , g(x) 0. Notasi yang juga sering digunakan adalah: a. Jika y = u + v, maka y = u + v . b. Jika y = u - v, maka y = u - v . c. Jika y = cu, maka y = c u , c konstanta. d. Jika y = uv, maka y = uv + vu .
  48. 48. 48 Latihan 1. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal kurva x3 – y3 =2xy di titik (-1,1) 2. Akan dibuat persegi panjang ABCD dengan titik sudut A(0,0), B di sumbu X, D di sumbu Y dan C pada kurva y = a2 – x2 . Tentukan ukuran-ukuran persegi panjang tersebut agar luasnya maksimum 3. Tentukan titik-titik ekstrim dari fungsi f(x) = -2x3 + 3x2 pada [- 2 1 ,2] 4. Kawat sepanjang 16 cm dipotong menjadi 2 bagian. Salah satu potongan dibentuk jadi bujur sangkar dan potongan lainnya dibuat jadi lingkaran. Berapa ukuran potongan tersebut agar : - jumlah seluruh luasnya minimum - jumlah seluruh luasnya maksimum 5. Carilah dua buah bilangan tak negatif yang jumlahnya 10 dan hasil kalinya maksimum
  49. 49. 49 BAB V INTEGRAL 1. Konsep Anti Turunan Fungsi a. Pengertian Anti Turunan Teorema 1.1 Dipunyai fungsi f mempunyai turunan pada selang buka I. Jika 0)(' xf pada selang I, maka f(x) = k untuk suatu konstanta k. Teorema 1.2 Dipunyai fungsi f dan g mempunyai turunan pada selang buka I. Jika )(')(' xgxf pada selang I, maka f(x) = g(x) + k untuk suatu konstanta k. Definisi 1.1 Dipunyai fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I. Fungsi F yang memenuhi F’(x) = f(x) pada selang I disebut anti turunan b. Integral Tak Tentu Pada bagian ini diawali dengan pengertian anti deferensial suatu fungsi yang merupakan bentuk paling umum dari suatu anti turunan. Definisi 1.2 Anti diferensial adalah bentuk paling umum dari suatu anti turunan atau primitif fungsi. Jika F’(x) = f(x) pada selang buka I, maka anti diferensial dari fungsi f pada selang I adalah CxFy )( untuk sembarang konstanta C. Selanjutnya pengertian tentang integral tak tentu didefinisikan sebagai berikut. Definisi 1.3 Dipunyai fungsi f terdefinisi pada selang buka I dan F adalah suatu anti turunan f pada selang I. Proses menentukan anti diferensial dari fungsi f dinamakan integral tak tentu f pada I, ditulis dengan lambang CxFdxxf )()( dengan C sembarang konstanta dan dibaca integral tak tentu dari f terhadap variabel x. Contoh 1.1 Dipunyai xxf 2sin)( , xxF 2cos)( 2 1 1 , xxF 2 2 sin)( , dan xxF 2 3 cos)( . Periksa apakah )(1 xF , )(2 xF , dan )(3 xF semuanya merupakan suatu anti turunan dari f(x). Pemeriksaan: )(2sin2)2sin( 2 1)2( )2( )2(cos 2 1]2cos[)]([ 2 1 1 xfxx dx xd xd xd dx xd dx xFd
  50. 50. 50 )(2sincossin2 )(sin )(sin )(sin][sin)]([ 22 2 xfxxx dx xd xd xd dx xd dx xFd , dan )(2sin)sin(cos.2 )(cos )(cos )(cos]cos[)]([ 22 3 xfxxx dx xd xd xd dx xd dx xFd Jadi )(1 xF , )(2 xF , dan )(3 xF semuanya merupakan suatu anti turunan dari f(x). Contoh 1.2 Tentukan dxx2 . Penyelesaian: Tulis xxf 2)( dan 2 )( xxF . Jelas )(2 )()]([ )(' 2 xfx dx xd dx xFd xF . Jadi )(xF adalah suatu anti turunan f(x). Jadi Cxdxx 2 2 . c. Rangkuman 1. Fungsi F yang memenuhi F’(x) = f(x) pada selang terbuka I disebut anti turunan. 2. Anti diferensial adalah bentuk paling umum dari suatu anti turunan atau primitif fungsi. 3. Proses menentukan anti diferensial dari fungsi f dinamakan integral tak tentu f pada selang buka I, ditulis dengan lambang CxFdxxf )()( , dengan C konstanta. d. Latihan Periksa kebenaran pernyataan berikut. 1. 2 0 )( xxF adalah anti turunan dari xxf 2)( . 2. xxF 1)( merupakan anti turunan dari x xf 12 1 )( 3. xxxF 2cos)( merupakan anti turunan dari xxxxf 2sin22cos)( 4. xxxF )( merupakan anti turunan dari xxxf )( . 2. Teorema Kelinearan, Teorema Penggantian, Integral Parsial, dan Beberapa Rumus Teknis Integral a. Teorema Kelinearan, Teorema Penggantian, dan Integral Parsial Teorema 2.1 (Kelinearan) (a) dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([ dan (b) dxxfKdxxfK )()( , dengan K suatu konstanta.
  51. 51. 51 Teorema 2.2 (Penggantian) Dipunyai )(xgy mempunyai turunan pada Dg dan Rg I dengan I adalah suatu selang. Jika )(xfy terdefinisi pada selang I sehingga F’(x) = f(x), maka CxgFdxxgxgf )]([)(')]([ Teorema 2.3 (Integral Parsial) Jika )(xuu dan )(xvv adalah fungsi-fungsi yang mempunyai turunan pada selang buka I, maka duvuvdvu . b. Beberapa Rumus Teknis Integral Berikut ini disajikan beberapa rumus teknis integral. 1. Cxdx 2. C x dxx 2 2 3. 1, 1 1 nC n x dxx n n 4. Cxdxx cossin 5. Cxdxx sincos 6. Cxdxx tansec2 7. dxxdxx cotcsc2 8. Cxdxxx sectansec 9. Cxdxxx csccotcsc 10. CxCx x dx 11 2 cossin 1 11. CxCx x dx 11 2 cottan 1 12. CxCx xx dx 11 2 cscsec 1 13. C a u C a u ua du 11 22 cossin 14. C a u a C a u aua du 11 22 cot 1 tan 1 . 15. C a u a C a u aauu du 11 22 csc 1 sec 1
  52. 52. 52 Contoh 2.1 Tentukan (a) dxxx )cos2( (b) dxxxx )23()62( 263 (c) dxxx sin2 Penyelesaian: (a) dxxdxxdxxx cos2)cos2( = )(sin)( 21 2 CxCx = )(sin 21 2 CCxx = Cxx sin2 . (b) )62()62()23()62( 363263 xxdxxdxxxx = C xx 7 )62(( 73 . (c) dxxx sin2 = dxxx sin2 = )](coscos[ 22 xdxxx = dxxxxx cos2cos2 = )(sin2cos2 xdxxx = )sinsin(2cos2 dxxxxxx = Cxxxxx cos2sin2cos2 . Contoh 2.2 Tentukan (a) 522 xx dx (b) 2 4 xx dx Penyelesaian: (a) 522 xx dx = 22 2)1(x dx = C x 2 1 tan 2 1 1 . (b) 2 4 xx dx = 22 )2(2 x dx = C x 2 2 sin 1 .
  53. 53. 53 c. Rangkuman Teorema kelinearan, teorema penggantian, dan teorema integral parsial merupakan teorema integral yang mendasar dan harus dikuasai. Banyak soal integral yang bisa dibawa ke dalam bentuk integral seperti yang tercantum dalam beberapa rumus teknis integral. d. Latihan Tentukan integral berikut. 1. dxxx 4 2. dxxx sin1cos 3. dx x x 1 2 4. 942 xx dx 5. dxxx cos2 3. INTEGRAL TENTU DAN PENGINTEGRALAN Notasi Sigma Perhatikan jumlah 10 bilangan asli pertama: 1 + 2 + 3 + …+ 10. Bentuk ini dapat ditulis dengan 10 1 10321 i i yang dibaca “sigma i, i dari 1 sampai 10”. Dengan cara serupa, dapat dinyatakan: (a) 40 1 22222 40321 s s (b) n j jn 1 12 1 12 1 152 1 142 1 132 1 Teorema (a) ncc n i 1 untuk sembarang konstanta c, (b) n i i n i i acac 11 , dan (c) n i i n i ii n i i bdacbdac 111 )(
  54. 54. 54 Induksi Matematika Induksi matematika merupakan pembuktian kebenaran suatu pernyataan P(n) benar untuk setiap bilangan asli atau bilangan cacah n. Dua langkah baku dalam induksi matematika, yaitu: (i) pertama P(1) benar dan (ii) kedua P(k+1) benar apabila P(k) benar. Dengan demikian dapat dinyatakan: benarP(k)apabilabenar)1( benar)1( benar)( kP P nP Jumlah Riemann Pada bagian ini akan disajikan pengertian jumlah Riemann suatu fungsi yang merupakan dasar pendefinisian integral tentu. Definisi Dipunyai [a,b] suatu selang tutup. Suatu partisi Pn untuk selang [a,b] adalah sembarang himpunan yang terdiri (n+1) bilangan },,,{ 21,0 nxxxx dengan bxxxxa n210 . Catatan: Panjang subselang ke-i, dinyatakan dengan xi , yaitu 1iii xxx , i = 1, 2, 3, …, n Panjang subselang terbesar dari partisi Pn dinyatakan dengan nP dibaca dengan “norm Pn”. Definisi Dipunyai ],[: baf suatu fungsi, Pn suatu partisi untuk selang [a,b], dan titik sampel ],[ 1 iii xxt . Bangun n i iin xtfR 1 )( . Bangun Rn disebut Jumlah Riemann untuk f pada selang [a,b]. Integral Tertentu Pada bagian ini didefinisikan pengertian integral tertentu sebagai limit jumlah Riemann. Definisi Dipunyai fungsi ],[: baf . Jika n i ii oP xtf 1 )(lim ada, maka dikatakan fungsi f terintegralkan secara Riemann pada selang [a,b]. Selanjutnya ditulis b a n i ii oP dxxfxtf )()(lim 1 disebut integral tertentu (integral Riemann) fungsi f dari a ke b.
  55. 55. 55 Catatan: 1) Definisi formal integral tertentu diberikan dengan - . 2) Dalam kasus selang [a,b] dibagi menjadi n bagian sama panjang, maka nP 0 . 3) Pada bentuk b a dxxf )( , f disebut integran, a disebut batas bawah, dan b disebut batas atas. 4) Dalam kasus fungsi f kontinu pada selang [a,b] dan 0)(xf pada [a,b], b a dxxf )( menyatakan luas daerah yang dibatasi oleh grafik f, garis x = a, garis x = b, dan sumbu X. 5) Integral tertentu adalah suatu bilangan riil yang dapat bernilai positif, nol, dan negatif. Teorema-teorema Integral Tertentu Definisi integral tertentu dari fungsi f pada selang [a,b] dapat diperluas untuk kasus b = a atau b < a yang didefinisikan sebagai berikut. Definisi (a) Jika f(a) terdefinisi maka 0)( b a dxxf . (b) Jika a > b dan b a dxxf )( terdefinisi, maka a b b a dxxfdxxf )()( . Teorema Jika fungsi f kontinu pada selang [a,b], maka f terintegral secara Riemann pada selang [a,b]. Teorema (a) abxdx n i i P b a 1 0 lim . (b) )(lim 1 0 abKxKdxK n i i P b a . Teorema Jika fungsi-fungsi f dan g terintegral pada selang [a,b], maka fungsi-fungsi (f+g) dan Kf dengan K konstanta teintegralkan, yaitu: (1) b a b a b a dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([ dan (2) b a b a dxxfKdxxfK )()( .
  56. 56. 56 Teorema Jika D adalah daerah tertutup yang dibatasi grafik fungsi f, garis x = a, x = b, dan sumbu X, maka dxxfL b a )( . Teorema Jika fungsi f kontinu pada suatu selang yang memuat a, b, dan c, maka b a c a b c dxxfdxxfdxxf )()()( tanpa memperhatikan urutan a, b, dan c. Teorema Jika f terintegral pada selang [a,b] dan 0)(xf pada [a,b], maka 0)( b a dxxf . Teorema Jika f dan g terintegral pada selang [a,b] dan )()( xgxf pada [a,b], maka b a b a dxxgdxxf )()( . Teorema Jika f kontinu pada selang [a,b], )(min xfm bxa , dan )(xfmaksM bxa , maka )()()( abMdxxfabm b a . 4. APLIKASI INTEGRAL TERTENTU Luas Daerah Pada bagian ini dibicarakan tentang penggunaan integral tertentu untuk menghitung luas daerah pada bidang datar. Definisi Dipunyai D adalah daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi f dengan 0)(xf untuk semua x [a,b], x = a, x = b, dan sumbu X. Jika A adalah luas daerah D, maka b a dxxfA )( . Definisi Dipunyai D adalah daerah yang dibatasi dua grafik fungsi f dan g dengan )()( xgxf untuk semua x [a,b], x = a, dan x = b. Jika A adalah luas daerah D, maka b a dxxgxfA )]()([ .
  57. 57. 57 Teorema Dipunyai D adalah daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi f yang kontinu pada [a,b] dan 0)(xf untuk semua x [a,b], sumbu X, x = a, dan x = b. Jika A adalah luas daerah D, maka b a dxxfA )( . Volum Benda Putar Suatu daerah D pada bidang datar apabila diputar dengan suatu poros tertentu akan menghasilkan suatu benda putar. Volum benda putar tersebut dapat dihitung dengan menggunakan integral tertentu. 1) Metode Cakram Dipunyai fungsi f kontinu pada selang [a,b]. Misalkan daerah D dibatasi oleh grafik f, sumbu X, x = a, dan x = b diputar dengan poros sumbu X akan membangun suatu benda putar. Volum benda putar tersebut akan dicari dengan menggunakan metode cakram sebagai berikut. Gambar?? Buat partisi untuk selang [a,b]. Pilih titik sampel ],[ 1 iii xxt . Volum cakram ke-i adalah xtfV iii 2 )( Jadi dxxfxtfV n i b a ii P 1 22 0 )()(lim . 2) Metode Cincin Misalkan daerah D dibatasi oleh grafik fungsi g dan h dengan )()( xhxg pada [a,b], x = a, dan x = b. Akan ditentukan volum benda yang terjadi jika daerah D diputar terhadap sumbu X. Gambar?? Buat partisi untuk selang [a,b] pada sumbu X. Pilih titik sampel ],[ 1 iii xxt . Tulis Vi : volum cincin ke-i Jelas xthxtgV iiiii 22 )()( = xthtg iii 22 )()( Jadi n i iii P xthtgV 1 22 0 )()(lim = b a dxxhxg 22 )()( 3) Metode Sel Silinder (Kulit Tabung) Dipunyai daerah D yang dibatasi oleh grafik fungsi kontinu f dengan 0)(xf pada selang [a,b], garis x = a, garis x = b, dan sumbu X. Akan ditentukan volum benda yang terjadi jika daerah D diputar terhadap sumbu Y.
  58. 58. 58 Bangun partisi untuk selang [a,b]. Pilih titik sampel ],[ 1 iii xxt dengan ti berada tepat di tengah sub selang ],[ 1 ii xx . Jadi 2 1ii i xx t atau 12 iii xxt . Tulis Vi : volum silinder ke-i. Jelas )()( 2 1 2 iiiii tfxtfxV = ))(( 2 1 2 iii xxtf = ))()(( 11 iiiii xxxxtf = xtft ii )(2 Jadi n i ii P xtftV 1 0 )(lim2 = b a dxxfx )(2 5. TEKNIK PENGINTEGRALAN Pada bab ini disajikan beberapa teknik pengintegralan yang penting. Strategi yang ditekankan di sini adalah dalam setiap menyelesaikan masalah integral perlu keterampilan dalam menentukan teorema yang akan dipakai. Teorema-teorema Integral yang Diperoleh Langsung dari Turunan No Teorema 1 Cxdx 2 CxKdxK , dengan K suatu konstanta 3 dxxfKdxxfK )()( 4 dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([ 5 1, 1 1 nC n x dxx n n 6 xCCx x dx lnln 7 Cedxe xx 8 C a a dxa x x ln dengan a>0, dan a 1 9 Cxdxx cossin 10 Cxdxx sincos 11 Cxdxx tansec2 12 Cxdxx cotcsc2 13 Cxdxxx sectansec
  59. 59. 59 14 Cxdxxx csccotcsc 15 CxCxdxx seclncoslntan 16 Cxdxx sinlncot 17 Cxxdxx tanseclnsec 18 Cxxdxx cotcsclncsc
  60. 60. 60 DAFTAR PUSTAKA 1. Purcell, dkk. 2004. Kalkulus. Jakarta: Penerbit Erlangga 2. Howard Anton, 1994, Elementary Linear Algebra 7th edition, New York: John Wiley & Sons, Inc. 3. Yusuf Yahya, D. Suryadi H.S., Agus Sumin, Matematika Dasar untuk Perguruan Tinggi, Ghalia Indonesia, 1994. 4. Moch. Chotim. 2007. Kalkulus I. Semarang: Jurusan Matematika UNNES. 5. Moch. Chotim. 2005. Kalkulus 2. Semarang: Jurusan Matematika UNNES. 6. GCE A Level. 2002. Mathematics (Yearly). 1991/2002. Redspot Publising. Singapore 7. M. Asikin H, Nuriana RDN. 2009. Telaah Kurikulum Matematika 3. Bahan Ajar Perkuliahan. Semarang: Jurusan Matematika FMIPA UNNES 8. Michael Evans dkk. 1999. Essential Mathematics Methods. Cambridge University Press 9. Scottish Mathematics Group. 1992. Modern Mathematics fos Schools. Nelson Blackie Ltd London

×