Kalkulus I membahas pertaksamaan dan nilai mutlak. Pertaksamaan dinyatakan dalam bentuk umum xP < xQ dan diselesaikan dengan mengubah bentuk menjadi xP - xQ < 0 lalu menentukan himpunan jawab. Nilai mutlak suatu bilangan x didefinisikan sebagai |x| dan memenuhi sifat-sifat tertentu seperti |x| ≥ 0 dan |xy| = |x|·|y|.

1. Kalkulus I
Oleh :
Dina Rahmi Darman

2. PERTAKSAMAAN

3. Selang
 Suatu himpunan bagian dari himpunan bilangan real.
Penulisan Himpunan Selang Grafik
{x| a < x < b} (a,b)
{x| a ≤ x < b } [a, b)
{x | a < x ≤ b } (a, b]
{x| a ≤ x ≤ b } [a, b]
{x | x ≤ b } (-∞, b]
{x | x < b } (-∞, b)
{x | a ≤ x } [a, +∞)
{x | a < x } (a, +∞)
a b
a b
a b
a b
b
b
a
a

4. Pertaksamaan
 Bentuk Umum
Pertaksamaan :
banyaksukuDCBA
xD
xC
xB
xA
,,,;
)(
)(
)(
)(

 Himpunan semua bilangan real x yang
memenuhi pertaksamaan (yaitu bila digantikan
ke pertaksamaan menghasilkan pernyataan
yang benar)

5. Prosedure Baku menyelesaikan
pertaksamaan adalah :
1. Ubahlah bentuk menjadi :
dengan P dan Q adalah suku banyak
2. Uraikan P dan Q atas faktor linear dan/atau kuadrat
definit positif
3. Tentukkan tanda pertaksamaan pada garis bilangan
4. Tentukan himpunan jawabnya dan tampilkan dalam
bentuk selang
0
)(
)(

xQ
xP

6. Operasi-Operasi pada
Ketaksaman
 Menambahkan bilangan yang sama pada
kedua ruas ketaksamaan
 Mengalikan kedua ruas suatu
ketaksamaan dengan suatu bilangan
positif
 Mengalikan kedua ruas dengan suatu
bilangan negatif dengan syarat tanda
pertaksamaan diubah

7. Contoh Soal
3422.2  x
3472.1  xx
209.3 2
 xx

8. Nilai Mutlak
 Nilai mutlak dari bilangan real x, ditulis |x|,
didefinisikan sebagai berikut :
 ;||
0,
0,


xbilax
xbilaxx

9. Sifat-sifat Nilai Mutlak
1. Untuk setiap bilangan real x berlaku
a) |x|  0
b) |x| = |- x|
c) - |x| ≤ x ≤ |x|
d) |x|2 = |x2| = x2
2. Untuk setiap bilangan real x dan y
berlaku :
a) |x| = |y| ↔ x = ± y ↔ x2 = y2
b) |x – y | = |y – x |
c) |x| < |y| ↔ x2 < y2

10. Sifat-sifat Nilai Mutlak
3. Jika a  0, maka
a) |x| < a ↔ -a < x < a
b) |x| > a ↔ x < -a > atau x > a
c) |x| ≤ a ↔ -a ≤ x ≤ a ↔ x2 ≤ a2
d) |x|  a ↔ x  a atau x ≤ - a ↔ x2  a2

11. Sifat – sifat nilai mutlak
4. Ketaksamaan segitiga. Untuk setiap
bilangan real x dan y berlaku
5. Untuk setiap bilangan real x dan y
berlaku:
a) |xy| = |x| |y|
b) |x/y| = |x| / |y|; y ≠ 0
a) |x + y| ≤ |x| + |y|
b) |x – y| ≤ |x| + |y|
c) |x| - |y| ≤ |x – y |
d) | |x| - |y| | ≤ |x – y |