Matdaskalkukus

1. Matematika Dasar
KARINA WAHYU N, S.SI.,MT.

2. 1
2
3
4
5
Aritmatika
Dasar
• Pecahan
• Desimal
• Rasio-Proporsi
• Perpangkatan
Sistem
Bilangan
FUNGSI
&
GRAFIK
Matematika DASAR
WEEK
1
WEEK
1
WEEK
1

3. 6
7
8
9
10
LIMIT
Diferensial
INTEGRAL
LOGIKA
MATRIKS
Matematika DASAR
WEEK
2
WEEK
2
WEEK
2
WEEK
3
WEEK
3

4. Bilangan Berpangkat

5. Bilangan Kompleks ℂ: Bilangan Real ∪ Bilangan Imajiner
{3+2i, 4+9j}
Bilangan Riil ℝ:
Bilangan Rasional ∪ Bilangan Irrasional
{ −∞, … . . , −𝟏𝟎𝟎, … , −𝟐, … , −𝟎. 𝟖𝟗, … , 𝟎, 𝟎. 𝟏𝟏𝟏, … , 𝟏𝟎𝟎𝟎, … , +∞}
Bilangan Rasional ℚ :
𝒂
𝒃
, 𝒂, 𝒃 ∈ ℤ
Himpunan
Bilangan
NOTASI himpunan: { }
ℕ : Natural/asli
ℤ : Integer/bulat
ℚ : Rasional
ℝ : Real
I : Imajiner
ℂ : Complex
Bilangan Bulat ℤ :
{…, -2,-1,0,1,2,…}
Bilangan Asli ℕ:
{ 1,2,…}
Bilangan
Irrasional :
{𝝅, 𝟑, 𝒆}
Bilangan
Imajiner
I:
{3i, -5j}

6. Bilangan berpangkat
Digunakan untuk memudahkan penulisan bilangan yang sangat besar atau sangat kecil.
Contoh:
1. bilangan Avogadro sebesar
602.000.000.000.000.000.000.000 atau dapat ditulis menjadi 6,02 x 1023
2. massa elektron sebesar
0,000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.911 atau atau dapat ditulis menjadi
9,11 x 10-31

7. Pangkat Bulat Positif
Definisi:
a → bilangan pokok (a ≠ 0)
n → pangkat atau eksponen (n > 0)
Jika n = 1 → an = a1 = a
n = 0 → an = a0 = 1
a = 0, n = 0
→ an = 00 = tidak terdefinisi
a
a
a
a
an




 ....

8. Pangkat Bulat Negatif
Definisi:
atau
a
a
a
a
a
a n
n







....
1
1
n
n
a
a 

1

9. Aturan Bilangan Berpangkat
y
x
y
x
a
a
a 


.
1
y
x
y
x
a
a
a 

.
2
  y
x
y
x
a
a .
.
3 
  n
n
n
b
a
b
a 


.
4
n
n
n
b
a
b
a







.
5

10. Contoh
625
5
5
5
5
5
.
1 4





27
1
3
3
3
1
3
1
3
.
2 3
3






32
2
2
2
2
.
3 5
2
3
2
3



 
16
4
4
4
4
.
4 2
4
6
4
6


 
81
2
81
1
2
3
1
2
3
2
.
5 4
4





 
4
4
3
3
.
6 p
p


  729
3
3
3
.
7 6
3
.
2
3
2




11. Bentuk Akar
Bentuk akar adalah akar dari bilangan rasional yang menghasilkan bilangan irrasional.
Tanda pada bilangan tidak selalu menjamin bahwa bilangan tersebut merupakan bentuk akar
jika nilai yang dihasilkan adalah bilangan rasional.
Contoh:
akar
bentuk
4142135624
,
1
2 

akar
bentuk
9129311828
,
1
7
3


akar
bentuk
bukan
9
81 

akar
bentuk
bukan
2
32
5



12. Pangkat Pecahan
Definisi : akar pangkat bilangan
Dibaca akar n dari a
Contoh:
n
n
a
a
b
1


  3
3
3
9
9 1
2
1
2
2
1




  5
5
5
625
625 1
4
1
4
4
1
4





13. SISTEM BILANGAN

14. Himpunan Bilangan Riil merupakan
gabungan dari himpunan bilangan rasional
dan himpunan bilangan irrasional.
Sistem Bilangan Riil
0

15. 1. Komutatif
◦ Penjumlahan  a + b = b + a
◦ Perkalian  a . b = b . a
2. Assosiatif
◦ Penjumlahan  (a + b) + c = a + (b + c)
◦ Perkalian  ( a . b ) . c = a . ( b . c )
3. Distributif  (a + b) . c = ac + bc
4. Tertutup  a + (b x c)
Sifat-sifat Bilangan Riil

16. Persamaan
Linier
Bentuk umum:
ax + b = 0
Syarat:
a ≠ 0 ; a,b ∈ R
dimana
a : koefisien
b : konstanta
x : variabel
12
8
5 

x
4
5
20
20
5
8
12
5
12
8
5







x
x
x
x
x
Contoh : Selesaikan persamaan
Jawab :

17. Selesaikan persamaan berikut :
a. d.
b. e.
c. f.
8
2
2 

x
y
4
24
8 

3
5 
 q
3
2
5
5 

 x
x
10
2
6 
 p
2
2
10 
 p
Latihan

18. Penyelesaian Persamaan Kuadrat :
1. Dengan Memfaktorkan
2.Dengan Rumus , yakni dengan menentukan nilai Diskriminan (D)
yaitu, D = b2 – 4 ac
Bentuk umum:
ax2 +bx + c = 0
Syarat:
a ≠ 0 , a,b,c ∈ R
Persamaan
Kuadrat
Dengan ketentuan diskriminan sebagai berikut:
a. Jika D > 0, maka persamaan kuadrat memiliki dua jawaban
yang berlainan, yakni dicari dengan rumus:
b. Jika D = 0, maka persamaan memiliki satu jawaban yakni:
c. Jika D < 0, maka persamaan memiliki jawaban bilangan
kompleks.
a
b
x
2


a
D
b
x
2
2
,
1



i
a
D
b
x
2
2
,
1





19. Selesaikan persamaan
Jawab: .........
Contoh
0
16
6
2


 x
x

20. Selesaikan persamaan kuadrat berikut:
a.
b.
c.
0
5
3
2 2


 x
x
0
15
8
2



 x
x
Latihan
0
16
8
2


 x
x

21. Bentuk umun:
Contoh:
Maka nilai mutlak adalah nilai yang selalu positif.
Persamaan Nilai Mutlak
, jika 0
, jika 0
x x x
x x x
 
  
  0
2
-
karena
2
2
2
-
0
2
karena
2
2








22. Sifat-sifat Nilai Mutlak
1. 𝑎 ≥ 0
2. −𝑎 = 𝑎
3. 𝑎 + 𝑏 = 𝑎 + 𝑏
4. 𝑎 − 𝑏 = 𝑎 − 𝑏
5. 𝑎. 𝑏 = 𝑎 . 𝑏
6.
𝑎
𝑏
=
𝑎
𝑏
7. 𝑎2 = 𝑎
8. 𝑎 = 𝑏 ⇔ 𝑎 2 = 𝑏 2

23. Contoh:
selesaikan persamaan berikut:
a.
b.
c.
Jawab : ........
7
3 
 x
5
3
4 


x
3
4
1
2 

 x
x

24. Bentuk umum pertaksamaan adalah :
dengan A (x), B (x), C (x), dan D (x) : suku banyak.
(tanda < dapat diganti oleh >, ≥, ≤)
Himpunan Penyelesaian (Hp) untuk pertidaksamaan dapat berupa
selang/interval.
Berikut beberapa notasi penulisan HP dalam selang dan grafik:
Pertidaksamaan
 
 
 
 
A x C x
B x D x


25. no Himpunan Selang Grafik Jenis
1 {x/a ≤ x ≤ b} [a,b] Interval Tertutup
2 {x/a < x < b} (a,b) Interval Terbuka
3 {x/a ≤ x < b} [a,b) Interval Setengah
Terbuka
4 {x/a < x ≤ b} (a,b] Interval Setengah
Terbuka
5 {x/x ≥ a} [a,∞) Interval Tak Hingga
6 {x/x > a} (a,∞) Interval Tak Hingga
7 {x/x ≤ a} (-∞,a] Interval Tak Hingga
8 {x/x < a} (-∞,a) Interval Tak Hingga
a
a
a
a
a
a
a
a
b
b
b

26. Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Sifat yang berlaku adalah:
1 ,
maka
2. ,
maka
b
x  0

b
b
x
b 


b
x  0

b
b
x
b
x 

 atau

27. Contoh:
Selesaikan pertidaksamaan berikut:
a. d.
b. e.
c. f.
Jawab: ...........
2 7 4 2
x x
  
2
3 2 0
x x
  
5
3
2 

x
6
6
2
4 

 x
12
6
3 

x
16
8
4 

x

28. Tugas 2
A. Tentukan penyelesaian untuk persamaan berikut:
1.
2.
3.
0
25
10
2


 x
x
0
6
5
2


 x
x
0
7
2
3 2



 x
x
A. Tentukan penyelesaian untuk persamaan berikut:
4.
5.
14
4
5 

x
2
3
2 

 x
x

29. B. Carilah himpunan penyelesaian dari ketaksamaan berikut:
1.
2.
3.
4.
5.
25
16
2 

 x
x
1
3
2
6 



 x
0
14
5
2


 x
x
4
3
x 

5
2
3x 


30. Fungsi & grafik

31. Definisi
Fungsi adalah suatu aturan yang memadankan satu anggota di x dengan satu anggota di y.
x y=f(x)
Dimana :
x = domain / daerah asal
y = range / daerah hasil

32. contoh
Tentukan daerah hasil dari f(x)=x2 + 4x – 5 jika domain x= {x/-2 ≤ x ≤ 2}
Jawab: x= {-2, -1, 0, 1, 2}
x → f(x)=x2 + 4x – 5
-2 → f(-2)=(-2)2 + 4(-2) – 5 = -9
-1 → f(-1)=(-1)2 + 4(-1) – 5 = -8
0 → f(0)=(0)2 + 4(0) – 5 = -5
1 → f(1)=(1)2 + 4(1) – 5 = 0
2 → f(2)=(2)2 + 4(2) – 5 = 7
daerah hasil/range = y = f(x) = {-9, -8, -5, 0, 7}
-2
-1
0
1
2
-9
-8
-5
0
7
x y=f(x)

33. Menggambar grafik fungsi linier
Bentuk umum : y = ax +b
Cara:
1. Menentukan titik potong sumbu y, yakni dengan memisalkan x=0, maka
diperoleh titik koordinat (0,y).
2. Menentukan titik potong sumbu x, yakni dengan memisalkan y=0, maka
diperoleh titik koordinat (x,0).
3. Hubungkan kedua titik koordinat yang diperoleh.

34. contoh
Gambarkan grafik fungsi y = 2x + 4
Jawab : ....

35. latihan
Gambarkan grafik fungsi berikut:
1. y = 3x – 12
2. 2x + 3y = 6
3. y = -9 – 3x

36. Menggambar grafik fungsi kuadrat
Bentuk umum : y = ax2 + bx + c
Cara :
1. Menentukan titik potong sumbu y, yakni dengan memisalkan x=0, maka
diperoleh titik koordinat (0,y).
2. Menentukan titik potong sumbu x, yakni dengan memisalkan y=0, untuk
menentukan nilai x ditentukan dari nilai Diskriminan
D = b2 – 4 ac
dengan ketentuan sebagai berikut:

37. a. Jika D > 0, maka grafik akan memotong sumbu x di 2 titik yakni:
sehingga diperoleh titik koordinat (x1,0) dan (x2,0)
b. Jika D = 0, maka grafik akan menyinggung sumbu x di 1 titik yakni:
sehingga diperoleh titik koordinat (x,0)
c. Jika D < 0, maka grafik tidak melewati sumbu x, tidak ada nilai x yang
didapat.
a
b
x
2


a
D
b
x
2
2
,
1



Menggambar grafik fungsi kuadrat

38. Menggambar grafik fungsi kuadrat
3. Menentukan titik puncak, yakni titik yang akan mengembalikan grafik ke
arah semula.
4. Hubungkan semua titik koordinat yang didapat.





 


a
D
a
b
p
4
,
2

39. contoh
Gambarkan grafik fungsi dari y = x2 + 4x – 5
Jawab: .....

40. latihan
Gambarkan grafik fungsi berikut:
1. y = -x2 + 8x – 16
2. y = x2 – 6x + 8
3. y = 3x2 – 2x + 5

41. Operasi fungsi
Misalkan f(x) dan g(x) adalah 2 fungsi sembarang yang berbeda, maka berlaku:
      
x
g
x
f
x
g
f 


.
1
      
x
g
x
f
x
g
f .
.
.
2 
   
 
  0
dimana
,
.
3 









x
g
x
g
x
f
x
g
f
   
 2
2
.
4 x
f
x
f 

42. latihan
Diketahui :
Tentukan :
  1
2

 x
x
f  
4
2


x
x
g
  
2
.
1 g
f 
  
4
.
2 g
f 
  
0
.
.
4 g
f
 
6
.
3 







g
f
 
2
.
5 2

f
 
1
.
6 2
g

43. Contoh :
Diketahui :
Tentukan :
Jawaban : ....
FUNGSI KOMPOSISI
   
 
x
g
f
x
fog 
.
1
   
 
x
f
g
x
gof 
.
2
  1
2

 x
x
f  
4
2


x
x
g
 
1
.
1 fog
 
3
.
2 gof

44. Tugas 3
A. Gambarkan grafik berikut :
1. 4x – 3y = -12
2. y = 6x – 3
3. y = 3x2 + 12x + 12
4. y = x2 + 5x + 10
5. y = -2x2 + 12x – 16

45. Tugas 3
B. Diketahui :
Tentukan :
  
2
.
1 f
g 
  
8
.
2 g
f 
  
1
.
.
4 f
g
 
1
.
3 








g
f
 
2
.
5 2

f
 
 2
7
.
6 g
 
x
x
x
f
2
4 
   2
2

 x
x
g
 
4
.
7 
fog
 
4
.
8 gof

46. 1.JohnBird.HigherEngineeringMathematics.Seventh
Edition.Routledge.2014
2.DaleVarberg,EdwinJ.Purcell,SteveE.Rigdon.Calculus
withDifferentialEquations(9thEdition).Pearson.2006.
REFERENSI