Dokumen tersebut membahas tentang pendahuluan kalkulus yang mencakup sistem bilangan real, pertaksamaan dan nilai mutlak, fungsi dan grafik fungsi, serta operasi pada fungsi seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan komposisi fungsi.
MODUL PENDIDIKAN PANCASILA KELAS 6 KURIKULUM MERDEKA.pdf
1. PENDAHULUAN.pdf
1. KALKULUS I
Pendahuluan
Mia Siti Khumaeroh, M.Si
Jurusan Matematika
Fakultas Sains dan Teknologi
UIN Sunan Gunung Djati Bandung
1 / 26
2. OUTLINE
• Pendahuluan
1. Sistem Bilangan Real
2. Pertaksamaan dan Nilai Mutlak
3. Fungsi dan Grafik Fungsi
4. Operasi Pada fungsi
• Referensi
Edwin J. Purcell, Dale Varberg Steven E. Rigdon, Calculus, Ninth Edition
2 / 26
4. 1. Sistem Bilangan Real
• Bilangan Asli
N : {1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .}
• Bilangan Bulat
Z : {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 . . .}
• Bilangan Rasional
Bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk rasio a/b, dengan
b 6= 0
Q :
na
b
| a, b ∈ Z, b 6= 0
o
• Bilangan Irasional
Bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk rasio a/b.
Contoh :
√
2,
√
5, 3
√
7, π, e, dll
• Bilangan Real R
memuat semua bilangan rasional dan Irrasional. N ⊂ I ⊂ Q ⊂ R
4 / 26
5. 1. Sistem Bilangan Real
• Garis Bilangan Real
Setiap bilangan real mempunyai posisi disepanjang garis horizontal
Gambar: Garis bilangan real
• Selang/ interval
Merupakakan himpunan bagian dari garis bilangan real
5 / 26
6. 1. Sistem Bilangan Real
• Jenis-jenis Selang/Interval
Misalkan a, b, ∈ R
∗
Selang buka, ∗∗
selang tutup
6 / 26
8. 2. Pertaksamaan dan Nilai Mutlak
• Bentuk umum pertaksamaan
A(x)
B(x)
<
C(x)
D(x)
dengan A(x), B(x), C(x), D(x) merupakan polinom (suku banyak) dan B(x) 6= 0, D(x) 6= 0
Bentuk umum polinom Pn(x) = a1x + a2x2
+ a3x3
+ ... + anxn
• Menyelesaikan suatu pertidaksamaan artinya mencari semua himpunan bilangan real yang
membuat pertaksamaan tersebut berlaku. Himpunan bilangan ini disebut himpunan penyelesaian
atau HP
Contoh:
1. 2x − 15 < 5 2. x2 + x ≥ 6
2x < 5 + 15 x2 + x − 6 ≥ 0
x < 20/2 (x − 2)(x + 3) ≥ 0
x < 10 titik pemisah x = 2 dan x = −3
HP : − ∞, 10
HP : (−∞, −3] ∪ [2, ∞)
8 / 26
9. 2. Pertaksamaan dan Nilai Mutlak
• Nilai Mutlak Nilai mutlak dari suatu bilangan real x dinyatakan |x|,
|x| =
(
x, x ≥ 0
−x, x 0.
Sifat sifat bilangan mutlak
1. |xy| = |x||y|
2. |x/y| = |x|/|y|
3. |x + y| ≤ |x| + |y|
4. |x − y| ≥ |x| − |y|
5. |x| ≤ a ↔ −a ≤ x ≤ a
6. |x| ≥ a ↔ x ≤ −a atau x ≥ a
7. |x| =
√
x2
8. |x| ≤ |y| ↔ x2
≤ y2
9 / 26
12. 3. Fungsi dan Grafik Fungsi
A. Fungsi
Definisi
Fungsi merupakan aturan yang memetakan setiap objek x pada suatu himpunan A (daerah asal) ke
sebuah objek tunggal y pada himpunan B (daerah hasil).
Gambar: Ilustrasi Fungsi
Notasi suatu fungsi sering dinyatakan dalam bentuk y = f(x), dengan x ∈ R menyatakan daerah asal
dan y ∈ R menyatakan daerah hasil.
12 / 26
14. 3. Fungsi dan Grafik Fungsi
Domain dan Range
• Misalkan f(x) = x2
+ 1 mempunyai domain {−1, 0, 1, 2, 3} maka fungsi f mempunyai range
{1, 2, 5, 10}
• Domain Natural/Darerah asal alami : Himpunan bilangan rill terbesar sehingga fungsi
terdefinisi
14 / 26
15. 3. Fungsi dan Grafik Fungsi
Contoh
• Tentukan domain dari fungsi
a. f(x) =
1
x − 3
b. g(t) =
p
9 − t2 c. h(w) =
1
√
9 − w2
15 / 26
16. 3. Fungsi dan Grafik Fungsi
Contoh
• Tentukan domain dari fungsi
a. f(x) =
1
x − 3
b. g(t) =
p
9 − t2 c. h(w) =
1
√
9 − w2
• Jawab
a. Df = {x|x 6= 3} atau Df : (−∞, 3) ∪ (3, ∞)
b. 9 − t2
≥ 0 ↔ t2
≤ 9 ↔ |t| ≤ 3
Sehingga diperoleh daerah asal
Dg = {t| − 3 ≤ x ≤ 3} atau Dg : [−3, 3]
c. Dh = {t| − 3 x 3} atau Dg : (−3, 3)
16 / 26
17. 3. Fungsi dan Grafik Fungsi
Grafik Fungsi
• Grafik persamaan dalam x dan y memuat titik-titik pada bidang dimana koordinat (x, y)
memenuhi persamaan
• Contoh
Gambarkan grafik dari persamaan y = x2
− 3
17 / 26
19. 3. Fungsi dan Grafik Fungsi
Contoh
Sketsa grafik dari fungsi
(a). f(x) = x2
− 2 (b). g(x) =
2
(x − 1)
19 / 26
20. 3. Fungsi dan Grafik Fungsi
Fungsi ganjil dan genap
• Fungsi genap (simetri terhadap sumbu-x) jika f(−x) = f(x) untuk setiap x ∈ R
Contoh : f(x) = x2
− 3
• Fungsi ganjil (simetri terhadap titik asal/origin (0,0)) jika f(−x) = −f(x) untuk setiap x ∈ R
Contoh : f(x) = x3
− 2x
20 / 26
22. 4. Operasi Pada Fungsi
Penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan pangkat
• Misalkan diberikan dua fungsi f dan g berikut
(x) =
x − 3
2
, g(x) =
√
x
berikut domain dan operasi pada fungsi
22 / 26
23. 4. Operasi Pada Fungsi
Fungsi Komposisi
Komposisi dari fungsi f dan g (notasi f ◦ g) :
Contoh
Tentukan fungsi komposisi dari fungsi
(x) =
x − 3
2
, g(x) =
√
x
Jawab
23 / 26
24. 4. Operasi Pada Fungsi
Translasi
Contoh. Bagaimana mentukan grafik dari fungsi
y = f(x), y = f(x − 3), y = f(x) + 2, y = f(x − 3) + 2
misal f(x) = |x|
Translasi pada fungsi f(x) = x3
+ x2
24 / 26
25. 4. Operasi Pada Fungsi
Beberapa jenis fungsi
• Fungsi Konstan. Contoh f(x) = k, dengan k suatu konstanta anggota bilangan real
• Fungsi Identitas. f(x) = x
• Fungsi Polinomial
f(x) = anxn
+ an−1xn−1
+ . . . + a1x + a0
Fungsi linier : f(x) = ax + b
Fungsi kuadratik : f(x) = ax2
+ bx + c
• Fungsi Rasional
f(x) =
anxn
+ an−1xn−1
+ . . . + a1x + a0
bmxm + bm−1xm−1 + . . . + b1x + b0
• Fungsi Aljabar
• Fungsi Trigonometri, dll
25 / 26
