Your SlideShare is downloading. ×
Sistem persamaan linear
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×

Saving this for later?

Get the SlideShare app to save on your phone or tablet. Read anywhere, anytime - even offline.

Text the download link to your phone

Standard text messaging rates apply

Sistem persamaan linear

4,867
views

Published on


0 Comments
2 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total Views
4,867
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
Downloads
146
Comments
0
Likes
2
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide

Transcript

  • 1. SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL)Salah satu masalah yang paling penting dalam matematika adalah menyelesaikan sistempersamaan linear. Lebih dari 75% dari semua masalah matematika yang dijumpai dalamaplikasi ilmiah maupun industri melibatkan penyelesaian sistem linear hingga tahaptertentu. Dengan menggunakan metode- metode matematika modern, sering kali kita dapatmereduksi suatu masalah yang rumit menjadi suatu sistem persamaan linear. Sistem-sistemlinear muncul dalam penerapan bidang-bidang seperti perdagangan, ekonomi, sosiologi,ekologi, demografi, genetika, elektronika, teknik, kimia, dan fisika.1. SPL dan Variabel SPL sudah diajarkan sejak pendidikan menengah, biasanya SPL sederhana yang dapat diselesaikan dengan metode dasar. Berikut akan diberikan contoh masalah sederhana yang dapat diselesaikan dengan SPL. Contoh 1 : Dua buah toko elektronik, toko I dan II, sama-sama membeli dari satu agen yang sama, dua merk notebook dengan tipe yang sama, sebut saja notebook A dan B. Toko I membeli 2 unit A dan 5 unit B seharga Rp 30.000.000,00. Toko II membeli 3 unit A dan 2 unit B seharga Rp 23.000.000,00. Berapa harga masing- masing notebook tersebut ? ∎ Untuk memudahkan perhitungan, nilai-nilai yang belum diketahui biasanya dimisalkan oleh huruf- huruf. Huruf- huruf inilah yang dalam matematika disebut sebagai variabel (peubah/pengganti). Misalnya, pada contoh di atas variabel yang digunakan adalah : harga notebook A = x harga notebook B = y Sehingga, permasalahan di atas dapat dibentuk dalam suatu model matematika yang disebut persamaan. 2 unit 𝐴 + 5 unit 𝐵 = 30 juta ⇔ 2𝑥 + 5𝑦 = 30 3 unit 𝐴 + 2 unit 𝐵 = 23 juta ⇔ 3𝑥 + 2𝑦 = 23 Karena kedua persamaan tersebut saling berkaitan membentuk suatu sistem, maka keseluruhannya dinamakan sistem persaman linear (SPL). Linear menunjukkan bahwa pangkat tertinggi variabelnya adalah 1. Sistem Persamaan Linear/rHn_copyright | 17
  • 2. 2𝑥 + 5𝑦 = 30 𝑆𝑃𝐿 3𝑥 + 2𝑦 = 23 x dan y disebut variabel; 3, 2, dan 5 disebut koefisien dari x dan y, 30 dan 23 disebut konstanta. SPL di atas secara khusus disebut SPL 2 × 2 karena terdiri dari 2 persamaan dan 2 variabel.2. Penyelesaian SPL dan Metode Dasar Penyelesaian SPL Penyelesaian atau solusi SPL adalah pasangan nilai- nilai dari variabel- variabel yang memenuhi semua persamaan dalam sistem. Perhatikan SPL pada contoh 1, x = 5 dan y = 4 memenuhi kedua persamaan. Jadi, (5, 4) adalah penyelesaian SPL tersebut. Selain (5, 4) bukanlah penyelesaian SPL, seperti : (10, 2) : penyelesaian untuk persamaan pertama saja (3, 7) : penyelesaian untuk persamaan ke dua saja Untuk mendapatkan (5, 4), metode paling dasar yang biasanya digunakan adalah metode eliminasi, substitusi, atau campuran. Dengan metode yang sama, SPL dengan persamaan dan variabel yang lebih banyak masih dapat dicari penyelesaiannya, namun memerlukan perhitungan yang jauh lebih panjang. SPL yang masih bisa dikerjakan dengan metode dasar tersebut biasanya SPL 3 × 3. Contoh 2 : 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 9 2𝑥 + 4𝑦 − 3𝑧 = 1 3𝑥 + 6𝑦 − 5𝑧 = 0 Penyelesaian SPL di atas adalah x = 1, y = 2, dan z = 3, atau (1, 2, 3). ∎ Tidak semua SPL mempunyai penyelesaian. SPL yang mempunyai penyelesaian hanya memiliki dua kemungkinan, yaitu memiliki penyelesaian tungga l, atau tak hingga banyaknya penyelesaian. Pembahasan tentang ada tidaknya penyelesaian serta banyaknya penyelesaian SPL akan dibahas pada bagian akhir. Contoh 1 dan 2 merupakan SPL dengan penyelesaian tunggal.3. Bentuk Umum SPL 𝑚 × 𝑛 SPL yang terdiri dari m buah persamaan dan n bilangan yang tidak diketahui (variabel), atau disebut SPL 𝑚 × 𝑛, dapat dituliskan sebagai Sistem Persamaan Linear/rHn_copyright | 18
  • 3. 𝑎11 𝑥 1 + 𝑎12 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏1 𝑎21 𝑥 1 + 𝑎22 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑎 𝑚1 𝑥 1 + 𝑎 𝑚2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎 𝑚𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏 𝑚 di mana 𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 adalah bilangan-bilangan yang tidak diketahui (variabel) dan a dan b yang berindeks bawah menyatakan konstanta-konstanta. Karena dalam penulisan SPL, variabel- variabel harus dituliskan dalam urutan (orde) yang sama dalam setiap persamaan, maka suatu SPL dapat diubah menjadi persamaan matriks sebagai berikut : 𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛 𝑥1 𝑏1 𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛 𝑥2 𝑏2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ = ⋮ 𝑎 𝑚1 𝑎 𝑚2 … 𝑎 𝑚𝑛 𝑥𝑛 𝑏𝑚 atau dapat ditulis sebagai 𝐴 𝑚 ×𝑛 𝑋 𝑛 = 𝐵 𝑚 𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛 𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛 Di mana 𝐴 𝑚 ×𝑛 = disebut matriks koefisien, dengan banyak ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑎 𝑚1 𝑎 𝑚2 … 𝑎 𝑚𝑛 persamaan sebagai baris (m) dan banyak variabel sebagai kolom (n). Contoh 3 : SPL dengan banyak persamaan = variabel (m = n) 𝑥 1 − 2𝑥 2 = 3 2𝑥 1 − 𝑥 2 = 9 Contoh 4 : SPL dengan banyak persamaan > variabel (m > n) 𝑥 1 − 2𝑥 2 = 3 2𝑥 1 + 𝑥 2 = 1 −5𝑥 1 + 8𝑥 2 = 4 Contoh 5 : SPL dengan banyak persamaan < variabel (m < n) 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 8 2𝑥 2 + 3𝑥 3 = 5 ∎4. SPL 𝑛 × 𝑛 SPL 𝑛 × 𝑛 adalah SPL yang terdiri atas n buah persamaan dan n buah variabel. 𝑎11 𝑥 1 + 𝑎12 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏1 𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛 𝑥1 𝑏1 𝑎21 𝑥 1 + 𝑎22 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏2 𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛 𝑥2 𝑏2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ atau ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ = ⋮ 𝑎 𝑛1 𝑥 1 + 𝑎 𝑛2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎 𝑛𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏𝑛 𝑎 𝑛1 𝑎 𝑛2 … 𝑎 𝑛𝑛 𝑥𝑛 𝑏𝑛 Sistem Persamaan Linear/rHn_copyright | 19
  • 4. SPL 𝑛 × 𝑛 dapat pula dituliskan ke dalam sebuah matriks gabungan antara matriks A dan B, yang disebut matriks yang diperbesar (augmented matrix) 𝐴|𝐵 , yaitu : 𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛 𝑏1 𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛 𝑏2 𝐴|𝐵 = ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑎 𝑛1 𝑎 𝑛2 … 𝑎 𝑛𝑛 𝑏𝑛 Perhatikan kembali bentuk : 𝐴𝑋 = 𝐵 . Pada SPL 𝑛 × 𝑛, matriks koefisien A adalah sebuah matriks persegi-n. Sifat sebuah matriks persegi hanya ada dua kemungkinan, yaitu dapat dibalik/mempunyai invers dan tidak dapat dibalik/tidak mempunyai invers. Jika matriks A mempunyai invers 𝐴−1 , maka : 𝐴−1 (𝐴 𝑋) = 𝐴−1 𝐵 ⇔ (𝐴−1 𝐴) 𝑋 = 𝐴−1 𝐵 𝐼𝑋 = 𝐴−1 𝐵 ⇔ 𝑋 = 𝐴−1 𝐵 Dengan demikian, SPL 𝑛 × 𝑛 akan mempunyai penyelesaian jika A dapat dibalik (mempunyai invers), dan tidak mempunyai penyelesaian jika A tidak dapat dibalik. Jadi, penyelesaian SPL 𝑛 × 𝑛 dapat diperoleh dengan mengalikan invers matriks koefisien A dengan matriks konstanta B dari kiri. Sedangkan untuk mencari 𝐴−1 dapat digunakan metode OBE (eliminasi Gauss-Jordan) atau matriks adjoin yang sudah dipelajari pada pembahasan aljabar matriks dan determinan. Metode penyelesaian SPL 𝑛 × 𝑛 dengan invers matriks koefisien ini akan cukup berbelit-belit jika digunakan pada matriks berukuran besar, khususnya penggunaan matriks adjoin dari A. Sedangkan metode OBE pada A memang jauh lebih efisien, namun kita masih harus mengalikan hasilnya dengan matriks B. Untuk itu akan dibahas suatu metode penyelesaian SPL yang jauh lebih efisien dan tidak terbatas hanya untuk SPL 𝑛 × 𝑛 saja, tapi juga dapat digunakan untuk menyelesaikan SPL 𝑚 × 𝑛.5. Menyelesaikan SPL dengan Eliminasi Gauss Metode ini dilakukan dengan menerapkan OBE pada 𝐴|𝐵 agar A menjadi bentuk segitiga atas (eselon baris). Selain itu, OBE dapat terus dilanjutkan hingga A tereduksi menjadi I (eliminasi Gauss-Jordan). Jika A tereduksi menjadi bentuk segitiga atas, maka harus dilakukan substitusi balik untuk mendapatkan penyelesaian akhir. Jika A tereduksi menjadi I, maka matriks B yang juga berubah setelah diterapkan OBE yang sama, merupakan penyelesaian dari SPL tersebut. Sistem Persamaan Linear/rHn_copyright | 20
  • 5. Pada bagian ini hanya akan dibahas penyelesaian SPL 𝑛 × 𝑛 dengan eliminasi Gauss.Contoh 6 :Misalkan suatu matriks diperbesar dari SPL 3 × 3 telah direduksi menjadi bentuksegitiga atas, yang kemudian diubah kembali menjadi bentuk SPL : 3 2 1 1 3𝑥 1 + 2𝑥 2 + 𝑥 3 = 1 0 1 −1 2 ⇔ 𝑥2 − 𝑥 3 = 2 0 0 2 4 2𝑥 3 = 4Untuk menyelesaikan SPL tereduksi ini dapat digunakan substitusi balik (back-substitution) mulai dari baris terbawah. 2𝑥 3 = 4 ⇔ 𝑥 3 = 2 𝑥2 − 2 = 2 ⇔ 𝑥2 = 4 3𝑥 1 + 2.4 + 2 = 1 ⇔ 𝑥 1 = −3Jadi penyelesaian SPL di atas adalah (-3, 4, 2). ∎Contoh 7 :Selesaikan sistem berikut 2𝑥 1 − 𝑥 2 + 3𝑥 3 − 2𝑥 4 = 1 𝑥2 − 2𝑥 3 + 3𝑥 4 = 2 4𝑥 3 + 3𝑥 4 = 3 4𝑥4 = 4Dengan substitusi balik diperoleh penyelesaian (1, -1, 0, 1). ∎Contoh 8 :Selesaikan sistem berikut 𝑥1 + 2𝑥 2 + 𝑥 3 = 3 3𝑥1 − 𝑥 2 − 3𝑥 3 = −1 2𝑥1 + 3𝑥 2 + 𝑥3 = 4Buatlah matriks diperbesar 𝐴|𝐵 kemudian lakukan OBE untuk mereduksinya. 1 2 1 3 −3𝑏 1+𝑏 1 1 2 −2𝑏 1+𝑏 3 1 3 𝑏 2−7𝑏 3 1 2 1 3 3 −1 −3 −1 0 −7 −6 −10 0 −7 −6 −10 2 3 1 4 0 −1 −1 −2 0 0 1 4Operasi baris di atas sudah menghasilkan bentuk segitiga atas, yang dapat dilanjutkandengan substitusi balik, atau meneruskan OBE hingga A tereduksi menjadi I, sepertiberikut ini : 6𝑏 3+𝑏 2 1 2 1 3 −𝑏 3+𝑏 1 1 2 0 −1 −1 7 𝑏 2 0 -7 -6 -10 0 -7 0 14 0 0 1 4 0 0 1 4 Sistem Persamaan Linear/rHn_copyright | 21
  • 6. 1 2 0 −1 −2𝑏 2 +𝑏 1 1 0 0 3 𝑥1 = 3 0 1 0 −2 0 1 0 −2 ⇒ 𝑥 2 = −2 0 0 1 4 0 0 1 4 𝑥3 = 4 Jadi, penyelesaian SPL di atas adalah (3, -2, 4). ∎6. Konsistensi SPL SPL yang mempunyai penyelesaian dinamakan SPL konsisten (consistent), sedangkan SPL yang tidak mempunyai penyelesaian dinamakan SPL tak-konsisten (inconsistent). SPL konsisten memiliki dua kemungkinan banyak penyelesaian, yaitu penyelesaian tunggal (satu penyelesaian) atau tak hingga banyaknya penyelesaian. SPL SPL Konsisten SPL Tak-Konsisten Satu Tak Hingga Penyelesaian Penyelesaian SPL tak-konsisten umumnya dapat diketahui dari bentuk eselon baris matriks yang diperbesar [𝐴|𝐵]. Jika bentuk eselon barisnya mengandung baris berbentuk 0 0 0 … 0 𝑎 dengan 𝑎 ≠ 0 maka sistem yang bersangkutan tak-konsisten. Sedangkan, jika bentuk eselon barisnya mengandung 0 0 0 … 0 0 maka SPL tersebut konsisten dengan tak-hingga banyaknya penyelesaian. Selain bentuk tersebut, ciri lain suatu SPL memiliki tak hingga penyelesaian adalah sistem tersebut kekurangan persamaan, sehingga kelebihan variabel (SPL 𝑚× 𝑛 dengan m < n). Banyak variabel melebihi persamaan dapat menyebabkan munculnya variabel bebas. Variabel bebas adalah variabel yang nilainya dapat dipenuhi oleh semua bilangan. Sedangkan variabel yang hanya dipenuhi oleh satu nilai disebut variabel utama. Variabel utama ditandai oleh 1 utama pada matriks tereduksinya. Konsistensi SPL biasanya tergantung pada banyak persamaan dan banyak variabel. Akan tetapi, hal ini harus tetap diselidiki dengan melihat bentuk eselon barisnya. Sistem Persamaan Linear/rHn_copyright | 22
  • 7. a. SPL 𝑛 × 𝑛 1. Jika bentuk eselon baris dari A pada 𝐴 𝐵 berbentuk segitiga atas, maka SPL mempunyai penyelesaian tunggal. Contoh 9 : Perhatikan kembali contoh, dengan substitusi balik diperoleh 3 2 1 1 𝑥1 = −3 0 1 −1 2 ⇔ 𝑥2 = 4 0 0 2 4 𝑥3 = 2 Jelaslah bahwa SPL mempunyai penyelesaian tunggal, yaitu (-3, 4, 2). ∎ 2. Jika bentuk eselon baris dari 𝐴 𝐵 mengandung 0 0 0 … 0 𝑎 dengan 𝑎 ≠ 0 maka SPL tidak mempunyai penyelesaian. Contoh 10 : 1 1 0 3 𝑥1 + 𝑥2 =3 0 1 0 2 ⇔ 𝑥2 =2 0 0 0 1 0. 𝑥 3 = 1 Jelaslah bahwa tidak ada x 3 yang memenuhi, sehingga SPL tersebut tidak mempunyai penyelesaian. ∎ 3. Jika bentuk eselon baris dari 𝐴 𝐵 mengandung 0 0 0 … 0 0 Maka SPL tersebut mempunyai tak-hingga penyelesaian. Contoh 11 : 1 1 0 3 𝑥1 + 𝑥2 =3 0 1 0 2 ⇔ 𝑥2 =2 0 0 0 0 0. 𝑥 3 = 0 Karena 0. 𝑥 3 = 0 ⇔ 𝑥 3 = semua bilangan. Untuk itu x 3 dimisalkan oleh suatu parameter yang menunjukkan bahwa nilainya tidak terbatas di himpunan bilangan real, misalnya 𝑥 3 = 𝑡. Jadi, SPL tersebut mempunyai banyak penyelesaian yaitu 1, 2, 𝑡 dengan t adalah semua bilangan Real. ∎b. Sistem Kekurangan Persamaan ( Underdetermined Systems) Sistem linear ini adalah SPL 𝑚 × 𝑛 dengan 𝑚 < 𝑛 (lebih banyak variabel daripada persamaan). SPL ini mempunyai dua kemungkinan, tak-konsisten, atau konsisten dengan tak terhingga banyaknya penyelesaian. Sistem Persamaan Linear/rHn_copyright | 23
  • 8. 1. Jika bentuk eselon baris dari 𝐴 𝐵 mengandung 0 0 0 … 0 𝑎 dengan 𝑎 ≠ 0 maka SPL tidak mempunyai penyelesaian. Contoh 12 : 1 2 1 1 1 2 1 1 𝑥 + 2𝑥 2 + 𝑥 3 = 1 → ⇒ 1 2 4 2 3 0 0 0 1 0𝑥 3 = 1 Jelaslah bahwa tidak ada x 3 yang memenuhi, jadi SPL tersebut tidak mempunyai penyelesaian (tak-konsisten). ∎ 2. Jika tiap baris dari 𝐴 𝐵 tereduksi mempuyai 1 utama, maka pasti sistem memiliki sejumlah variabel bebas. Karena sistem hanya mempunyai m baris, maka matriks tereduksinya hanya mempunyai m buah 1 utama atau kurang dari itu. Ini berarti, hanya ada m buah (atau kurang) variabel utama, sisanya adalah variabel bebas. Sehingga penyelesaiannya menjadi tak terhingga. Contoh 13 : 1 1 1 0 0 1 𝑥 1 + 𝑥 2 + 𝑥 3 = 1 ⇔ 𝑥 1 = −𝑥 2 − 𝑥 3 + 1 0 0 0 1 0 2 ⇒ 𝑥4 = 2 0 0 0 0 1 −1 𝑥 5 = −1 Karena hanya ada 3 persamaan, maka hanya ada 3 variabel utama yaitu x 1 , x3 , dan x 5 . Sedangkan x 2 dan x 3 adalah variabel bebas (nilainya bebas / dapat dipenuhi oleh semua bilangan real). Jadi, SPL tersebut mempunyai tak hingga penyelesaian. Dengan memisalkan : x 2 = s dan x 3 = t, maka penyelesaiannya adalah : ([−𝑠 − 𝑡 + 1] , 2, −1) dengan 𝑠, 𝑡 ∈ 𝑅𝑒𝑎𝑙. ∎c. Sistem Kelebihan Persamaan ( Overdetermined Systems) Sistem Linear ini adalah SPL 𝑚 × 𝑛 dengan 𝑚 > 𝑛 (lebih banyak persamaan daripada variabel). Bentuk eselon baris dari [𝐴|𝐵] akan selalu menghasilkan baris nol pada matriks tereduksi A. 1. Jika bentuk eselon baris dari 𝐴 𝐵 mengandung 0 0 0 … 0 𝑎 dengan 𝑎 ≠ 0 maka SPL tidak mempunyai penyelesaian. Contoh 14 : 1 1 1 1 1 1 1 −1 3 → 0 1 −1 −1 2 −2 0 0 1 Baris terakhir menunjukkan bahwa sistem di atas adalah tak-konsisten. ∎ Sistem Persamaan Linear/rHn_copyright | 24
  • 9. 2. Jika banyak baris bukan nol sama dengan banyak persamaan (baris-baris bukan nol dari matriks tereduksi A membentuk sistem segitiga), maka SPL tersebut mempunyai penyelesaian tunggal. Contoh 15 : 1 2 1 1 𝑥1 = −3 0 1 2 0 ⇔ 𝑥2 = 2 0 0 1 -1 𝑥 3 = −1 0 0 0 0 Baris terakhir tidak mempengaruhi penyelesaian, dan baris-baris lainnya membentuk sistem segitiga. Sehingga SPL di atas mempunyai penyelesaian tunggal, yaitu (-3, 2, -1). ∎ 3. Jika banyak baris bukan nol kurang dari persamaan, maka SPL tersebut mempunyai tak terhingga banyaknya penyelesaian. Contoh 16: 1 2 1 1 1 2 1 1 2 −1 1 2 → 0 1 1/5 0 𝑥 + 2𝑥 2 + 𝑥 3 = 1 ⇒ 1 4 3 3 4 0 0 0 0 𝑥 2 + 0,2𝑥 3 = 0 3 1 2 3 0 0 0 0 Karena hanya ada dua buah 1 utama, maka hanya ada dua variabel utama yaitu x 1 dan x 2 , sedangkan x 3 adalah variabel bebas. Dengan memisalkan x 3 = t kemudian melakukan substitusi balik diperoleh : 𝑥 2 = −0,2𝑥 3 = −0,2𝑡 𝑥 1 = 1 − 2𝑥 2 − 𝑥 3 = 1 − 0,6𝑡 Sehingga penyelesaiannya adalah 1 − 0,6𝑡 , −0,2𝑡 , 𝑡 dengan 𝑡 ∈ 𝑅𝑒𝑎𝑙. ∎7. Metode Cramer Salah satu metode penyelesaian SPL 𝑛 × 𝑛 , khususnya jika telah diketahui SPL tersebut konsisten, adalah metode/aturan Cramer. Konsistensi SPL ini dapat diketahui dengan menghitung determinan matriks koefisiennya. Teorema : Aturan Cramer Jika AX = B adalah sistem yang terdiri atas n persamaan linear dan n buah variabel (SPL 𝑛 × 𝑛) sehingga det(𝐴) ≠ 0, maka SPL tersebut mempunyai penyelesaian tunggal, yaitu : det(𝐴1 ) det(𝐴2 ) det(𝐴 𝑛 ) 𝑥1 = , 𝑥2 = , …… , 𝑥 𝑛 = 𝐴 𝐴 𝐴 Sistem Persamaan Linear/rHn_copyright | 25
  • 10. Di mana 𝐴 𝑗 adalah matriks yang didapat dengan menggantikan entri-entri dalam kolom ke-j dari A dengan entri-entri dalam matriks B. Contoh 17 : Gunakanlah aturan Cramer untuk menyelesaikan 𝑥1 + 2𝑥 3 = 6 −3𝑥 1 + 4𝑥 2 + 6𝑥 3 = 30 − 𝑥1 − 2𝑥 2 + 3𝑥 3 = 8 Penyelesaian : 1 0 2 6 0 2 𝐴 = −3 4 6 𝐴1 = 30 4 6 −1 −2 3 8 −2 3 1 6 2 1 0 6 𝐴2 = −3 30 6 𝐴3 = −3 4 30 −1 8 3 −1 −2 8 Maka, det(𝐴1 ) −40 10 det(𝐴2 ) 152 18 det(𝐴3 ) 72 38 𝑥1 = = =− ; 𝑥2 = = = ; 𝑥3 = = = ∎ 𝐴 44 11 𝐴 44 11 𝐴 44 11Latihan 31. Carilah matriks yang diperbesar untuk setiap SPL berikut 𝑥1 + 𝑥2 = 4 𝑥 1 − 2𝑥 2 = 0 a. 𝑥1 − 𝑥2 = 2 e. 3𝑥1 + 4 𝑥2 = −1 𝑥1 + 2𝑥 2 = 4 2𝑥 1 − 𝑥 2 = 3 b. −2𝑥1 − 4𝑥 2 = 4 𝑥1 + 𝑥3 = 1 f. 2𝑥 1 − 𝑥 2 = 3 −𝑥 1 + 2𝑥 2 − 𝑥 3 = 3 c. −4𝑥 1 + 2𝑥 2 = −6 𝑥1 + 𝑥 3 = 1 𝑥1 = 1 g. 2𝑥 2 − 𝑥 3 + 𝑥 5 = 2 d. 𝑥2 = 2 2𝑥 3 + 𝑥 4 = 32. Carilah sebuah SPL yang bersesuaian dengan setiap matriks diperbesar berikut. 3 2 8 5 −2 1 3 a. e. 1 5 7 2 3 −4 0 1 −3 2 1 0 0 b. 0 2 6 f. 0 1 0 2 1 4 −1 1 −1 1 c. 4 −2 3 4 1 2 3 4 5 g. 5 2 6 −1 5 4 3 2 1 1 0 −1 2 1 0 0 0 1 d. 2 1 1 3 0 1 0 0 2 h. 0 −1 2 4 0 0 1 0 3 0 0 0 1 4 Sistem Persamaan Linear/rHn_copyright | 26
  • 11. 3. Gunakan substitusi balik untuk menyelesaikan masing- masing SPL berikut. 𝑥 1 − 3𝑥 2 = 2 a. 2𝑥2 = 6 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 8 b. 2𝑥2 + 𝑥 3 = 5 3𝑥 3 = 9 𝑥 1 + 2𝑥 2 + 2𝑥 3 + 𝑥 4 = 5 3𝑥 2 + 𝑥 3 − 2𝑥 4 = 1 c. −𝑥3 + 2𝑥 4 = -1 4𝑥4 = 4 𝑥1 + 𝑥 2 + 𝑥 3 + 𝑥 4 + 𝑥 5 = 5 2𝑥2 + 𝑥 3 − 2𝑥 4 + 𝑥 5 = 1 d. 4𝑥3 + 𝑥 4 − 2𝑥 5 = 1 𝑥 4 − 3𝑥 5 = 0 2𝑥5 = 24. Misalkanlah bahwa matriks yang diperbesar untuk suatu SPL telah direduksi menjadi bentuk eselon baris tereduksi yang diberikan. Selesaikanlah sistem berikut. 1 0 0 4 1 −3 0 2 a. 0 1 0 3 e. 0 0 1 −2 0 0 1 2 0 0 0 0 1 0 0 −2 0 1 0 2 b. 0 1 0 5 f. 0 0 1 −1 0 0 1 3 0 0 0 0 1 4 0 2 1 2 0 1 5 g. c. 0 0 1 3 0 0 0 3 4 0 0 0 1 1 0 0 3 2 1 2 0 0 h. 0 1 0 −1 4 d. 0 0 1 0 0 0 1 1 2 0 0 0 15. Misalkanlah bahwa matriks yang diperbesar untuk suatu SPL telah direduksi menjadi bentuk eselon baris yang diberikan. Selesaikanlah sistem berikut. 1 2 4 1 2 −4 2 a. 0 1 3 d. 0 1 −2 −1 0 0 1 0 0 1 2 1 3 1 1 3 2 −2 b. 0 1 −1 e. 0 0 1 4 0 0 0 0 0 0 1 1 −2 2 2 1 2 2 2 c. 0 1 −1 3 f. 0 1 3 3 0 0 1 2 0 0 0 1 Sistem Persamaan Linear/rHn_copyright | 27
  • 12. 1 −2 2 2 1 1 0 g. 0 1 −1 3 i. 0 1 0 0 0 1 2 0 0 0 1 −1 3 8 1 −2 4 1 h. 0 1 2 7 j. 0 0 1 3 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 06. Selesaikan setiap sistem persamaan linear berikut. 𝑥 1 − 2𝑥 2 = 5 2𝑥 1 + 𝑥 2 + 3𝑥 3 = 1 a. 3𝑥 1 + 𝑥 2 = 1 e. 4𝑥1 + 3𝑥 2 + 5𝑥 3 = 1 2𝑥 1 + 𝑥 2 = 8 6𝑥1 + 5𝑥 2 + 5𝑥 3 = −3 b. 4𝑥 1 − 3𝑥 2 = 6 3𝑥 1 + 2𝑥 2 + 𝑥 3 = 0 4𝑥 1 + 3𝑥 2 = 4 f. −2𝑥 1 + 𝑥 2 − 𝑥 3 = 2 c. 2 2𝑥1 − 2𝑥 2 + 2𝑥 3 = −1 𝑥 1 + 4𝑥 2 = 3 3 𝑥 1 + 2𝑥 2 − 𝑥 3 = 1 d. 2𝑥 1 − 𝑥 2 + 𝑥 3 = 3 𝑥 1 + 2𝑥 2 + 3𝑥 3 = 77. Untuk setiap SPL berikut, carilah penyelesaiannya (jika konsisten). Gunakanlah eliminasi Gauss dan substitusi balik, atau gunakan eliminasi Gauss-Jordan. 𝑥 1 − 2𝑥 2 = 3 a. 2𝑥 1 − 𝑥 2 = 9 2𝑥 1 − 3𝑥 2 = 5 b. −4𝑥 1 + 6𝑥 2 = 8 𝑥 1 − 2𝑥 2 = 3 c. 2𝑥 1 + 𝑥 2 = 1 −5𝑥1 + 8𝑥 2 = 4 2𝑥1 − 3𝑥 2 = −2 d. 2𝑥 1 + 𝑥 2 = 1 3𝑥 1 + 2𝑥 2 = 1 4𝑥 1 − 8𝑥 2 = 12 e. 3𝑥 1 − 6𝑥 2 = 9 −2𝑥1 + 4𝑥 2 = −6 𝑥 1 + 2𝑥 2 − 3𝑥 3 + 𝑥 4 = 1 f. −𝑥 1 − 𝑥 2 + 4𝑥 3 − 𝑥 4 = 6 −2𝑥1 − 4𝑥 2 + 7𝑥 3 − 𝑥 4 = 1 𝑥1 + 3𝑥 2 + 𝑥 3 + 𝑥 4 = 3 g. 2𝑥1 − 2𝑥 2 + 𝑥 3 + 2𝑥 4 = 8 𝑥1 − 5𝑥 2 + 𝑥4 = 5 Sistem Persamaan Linear/rHn_copyright | 28