SPL merupakan masalah penting dalam matematika dan aplikasi ilmiah. SPL dapat diselesaikan dengan beberapa metode seperti eliminasi, substitusi, atau invers matriks. Metode eliminasi Gauss adalah metode yang efisien untuk menyelesaikan SPL.

1. SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL)
Salah satu masalah yang paling penting dalam matematika adalah menyelesaikan sistem
persamaan linear. Lebih dari 75% dari semua masalah matematika yang dijumpai dalam
aplikasi ilmiah maupun industri melibatkan penyelesaian sistem linear hingga tahap
tertentu. Dengan menggunakan metode- metode matematika modern, sering kali kita dapat
mereduksi suatu masalah yang rumit menjadi suatu sistem persamaan linear. Sistem-sistem
linear muncul dalam penerapan bidang-bidang seperti perdagangan, ekonomi, sosiologi,
ekologi, demografi, genetika, elektronika, teknik, kimia, dan fisika.
1. SPL dan Variabel
SPL sudah diajarkan sejak pendidikan menengah, biasanya SPL sederhana yang dapat
diselesaikan dengan metode dasar. Berikut akan diberikan contoh masalah sederhana
yang dapat diselesaikan dengan SPL.
Contoh 1 :
Dua buah toko elektronik, toko I dan II, sama-sama membeli dari satu agen yang sama,
dua merk notebook dengan tipe yang sama, sebut saja notebook A dan B. Toko I
membeli 2 unit A dan 5 unit B seharga Rp 30.000.000,00. Toko II membeli 3 unit A
dan 2 unit B seharga Rp 23.000.000,00. Berapa harga masing- masing notebook
tersebut ? ∎
Untuk memudahkan perhitungan, nilai-nilai yang belum diketahui biasanya dimisalkan
oleh huruf- huruf. Huruf- huruf inilah yang dalam matematika disebut sebagai variabel
(peubah/pengganti). Misalnya, pada contoh di atas variabel yang digunakan adalah :
harga notebook A = x
harga notebook B = y
Sehingga, permasalahan di atas dapat dibentuk dalam suatu model matematika yang
disebut persamaan.
2 unit 𝐴 + 5 unit 𝐵 = 30 juta ⇔ 2𝑥 + 5𝑦 = 30
3 unit 𝐴 + 2 unit 𝐵 = 23 juta ⇔ 3𝑥 + 2𝑦 = 23
Karena kedua persamaan tersebut saling berkaitan membentuk suatu sistem, maka
keseluruhannya dinamakan sistem persaman linear (SPL). Linear menunjukkan
bahwa pangkat tertinggi variabelnya adalah 1.
Sistem Persamaan Linear/rHn_copyright | 17

2. 2𝑥 + 5𝑦 = 30
𝑆𝑃𝐿
3𝑥 + 2𝑦 = 23
x dan y disebut variabel; 3, 2, dan 5 disebut koefisien dari x dan y, 30 dan 23 disebut
konstanta.
SPL di atas secara khusus disebut SPL 2 × 2 karena terdiri dari 2 persamaan dan 2
variabel.
2. Penyelesaian SPL dan Metode Dasar Penyelesaian SPL
Penyelesaian atau solusi SPL adalah pasangan nilai- nilai dari variabel- variabel yang
memenuhi semua persamaan dalam sistem.
Perhatikan SPL pada contoh 1, x = 5 dan y = 4 memenuhi kedua persamaan. Jadi, (5, 4)
adalah penyelesaian SPL tersebut. Selain (5, 4) bukanlah penyelesaian SPL, seperti :
(10, 2) : penyelesaian untuk persamaan pertama saja
(3, 7) : penyelesaian untuk persamaan ke dua saja
Untuk mendapatkan (5, 4), metode paling dasar yang biasanya digunakan adalah
metode eliminasi, substitusi, atau campuran.
Dengan metode yang sama, SPL dengan persamaan dan variabel yang lebih banyak
masih dapat dicari penyelesaiannya, namun memerlukan perhitungan yang jauh lebih
panjang. SPL yang masih bisa dikerjakan dengan metode dasar tersebut biasanya SPL
3 × 3.
Contoh 2 :
𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 9
2𝑥 + 4𝑦 − 3𝑧 = 1
3𝑥 + 6𝑦 − 5𝑧 = 0
Penyelesaian SPL di atas adalah x = 1, y = 2, dan z = 3, atau (1, 2, 3). ∎
Tidak semua SPL mempunyai penyelesaian. SPL yang mempunyai penyelesaian hanya
memiliki dua kemungkinan, yaitu memiliki penyelesaian tungga l, atau tak hingga
banyaknya penyelesaian. Pembahasan tentang ada tidaknya penyelesaian serta
banyaknya penyelesaian SPL akan dibahas pada bagian akhir.
Contoh 1 dan 2 merupakan SPL dengan penyelesaian tunggal.
3. Bentuk Umum SPL 𝑚 × 𝑛
SPL yang terdiri dari m buah persamaan dan n bilangan yang tidak diketahui (variabel),
atau disebut SPL 𝑚 × 𝑛, dapat dituliskan sebagai
Sistem Persamaan Linear/rHn_copyright | 18

3. 𝑎11 𝑥 1 + 𝑎12 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏1
𝑎21 𝑥 1 + 𝑎22 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏2
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑎 𝑚1 𝑥 1 + 𝑎 𝑚2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎 𝑚𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏 𝑚
di mana 𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 adalah bilangan-bilangan yang tidak diketahui (variabel) dan a
dan b yang berindeks bawah menyatakan konstanta-konstanta.
Karena dalam penulisan SPL, variabel- variabel harus dituliskan dalam urutan (orde)
yang sama dalam setiap persamaan, maka suatu SPL dapat diubah menjadi persamaan
matriks sebagai berikut :
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛 𝑥1 𝑏1
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛 𝑥2 𝑏2
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ = ⋮
𝑎 𝑚1 𝑎 𝑚2 … 𝑎 𝑚𝑛 𝑥𝑛 𝑏𝑚
atau dapat ditulis sebagai
𝐴 𝑚 ×𝑛 𝑋 𝑛 = 𝐵 𝑚
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛
Di mana 𝐴 𝑚 ×𝑛 = disebut matriks koefisien, dengan banyak
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑎 𝑚1 𝑎 𝑚2 … 𝑎 𝑚𝑛
persamaan sebagai baris (m) dan banyak variabel sebagai kolom (n).
Contoh 3 : SPL dengan banyak persamaan = variabel (m = n)
𝑥 1 − 2𝑥 2 = 3
2𝑥 1 − 𝑥 2 = 9
Contoh 4 : SPL dengan banyak persamaan > variabel (m > n)
𝑥 1 − 2𝑥 2 = 3
2𝑥 1 + 𝑥 2 = 1
−5𝑥 1 + 8𝑥 2 = 4
Contoh 5 : SPL dengan banyak persamaan < variabel (m < n)
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 8
2𝑥 2 + 3𝑥 3 = 5
∎
4. SPL 𝑛 × 𝑛
SPL 𝑛 × 𝑛 adalah SPL yang terdiri atas n buah persamaan dan n buah variabel.
𝑎11 𝑥 1 + 𝑎12 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏1 𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛 𝑥1 𝑏1
𝑎21 𝑥 1 + 𝑎22 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏2 𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛 𝑥2 𝑏2
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
atau
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ = ⋮
𝑎 𝑛1 𝑥 1 + 𝑎 𝑛2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎 𝑛𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏𝑛 𝑎 𝑛1 𝑎 𝑛2 … 𝑎 𝑛𝑛 𝑥𝑛 𝑏𝑛
Sistem Persamaan Linear/rHn_copyright | 19

4. SPL 𝑛 × 𝑛 dapat pula dituliskan ke dalam sebuah matriks gabungan antara matriks A
dan B, yang disebut matriks yang diperbesar (augmented matrix) 𝐴|𝐵 , yaitu :
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛 𝑏1
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛 𝑏2
𝐴|𝐵 =
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑎 𝑛1 𝑎 𝑛2 … 𝑎 𝑛𝑛 𝑏𝑛
Perhatikan kembali bentuk : 𝐴𝑋 = 𝐵 . Pada SPL 𝑛 × 𝑛, matriks koefisien A adalah
sebuah matriks persegi-n. Sifat sebuah matriks persegi hanya ada dua kemungkinan,
yaitu dapat dibalik/mempunyai invers dan tidak dapat dibalik/tidak mempunyai invers.
Jika matriks A mempunyai invers 𝐴−1 , maka :
𝐴−1 (𝐴 𝑋) = 𝐴−1 𝐵 ⇔ (𝐴−1 𝐴) 𝑋 = 𝐴−1 𝐵
𝐼𝑋 = 𝐴−1 𝐵 ⇔ 𝑋 = 𝐴−1 𝐵
Dengan demikian, SPL 𝑛 × 𝑛 akan mempunyai penyelesaian jika A dapat dibalik
(mempunyai invers), dan tidak mempunyai penyelesaian jika A tidak dapat dibalik. Jadi,
penyelesaian SPL 𝑛 × 𝑛 dapat diperoleh dengan mengalikan invers matriks koefisien A
dengan matriks konstanta B dari kiri.
Sedangkan untuk mencari 𝐴−1 dapat digunakan metode OBE (eliminasi Gauss-Jordan)
atau matriks adjoin yang sudah dipelajari pada pembahasan aljabar matriks dan
determinan.
Metode penyelesaian SPL 𝑛 × 𝑛 dengan invers matriks koefisien ini akan cukup
berbelit-belit jika digunakan pada matriks berukuran besar, khususnya penggunaan
matriks adjoin dari A. Sedangkan metode OBE pada A memang jauh lebih efisien,
namun kita masih harus mengalikan hasilnya dengan matriks B. Untuk itu akan dibahas
suatu metode penyelesaian SPL yang jauh lebih efisien dan tidak terbatas hanya untuk
SPL 𝑛 × 𝑛 saja, tapi juga dapat digunakan untuk menyelesaikan SPL 𝑚 × 𝑛.
5. Menyelesaikan SPL dengan Eliminasi Gauss
Metode ini dilakukan dengan menerapkan OBE pada 𝐴|𝐵 agar A menjadi bentuk
segitiga atas (eselon baris). Selain itu, OBE dapat terus dilanjutkan hingga A tereduksi
menjadi I (eliminasi Gauss-Jordan).
Jika A tereduksi menjadi bentuk segitiga atas, maka harus dilakukan substitusi balik
untuk mendapatkan penyelesaian akhir. Jika A tereduksi menjadi I, maka matriks B
yang juga berubah setelah diterapkan OBE yang sama, merupakan penyelesaian dari
SPL tersebut.
Sistem Persamaan Linear/rHn_copyright | 20

5. Pada bagian ini hanya akan dibahas penyelesaian SPL 𝑛 × 𝑛 dengan eliminasi Gauss.
Contoh 6 :
Misalkan suatu matriks diperbesar dari SPL 3 × 3 telah direduksi menjadi bentuk
segitiga atas, yang kemudian diubah kembali menjadi bentuk SPL :
3 2 1 1 3𝑥 1 + 2𝑥 2 + 𝑥 3 = 1
0 1 −1 2 ⇔ 𝑥2 − 𝑥 3 = 2
0 0 2 4 2𝑥 3 = 4
Untuk menyelesaikan SPL tereduksi ini dapat digunakan substitusi balik (back-
substitution) mulai dari baris terbawah.
2𝑥 3 = 4 ⇔ 𝑥 3 = 2
𝑥2 − 2 = 2 ⇔ 𝑥2 = 4
3𝑥 1 + 2.4 + 2 = 1 ⇔ 𝑥 1 = −3
Jadi penyelesaian SPL di atas adalah (-3, 4, 2). ∎
Contoh 7 :
Selesaikan sistem berikut
2𝑥 1 − 𝑥 2 + 3𝑥 3 − 2𝑥 4 = 1
𝑥2 − 2𝑥 3 + 3𝑥 4 = 2
4𝑥 3 + 3𝑥 4 = 3
4𝑥4 = 4
Dengan substitusi balik diperoleh penyelesaian (1, -1, 0, 1). ∎
Contoh 8 :
Selesaikan sistem berikut
𝑥1 + 2𝑥 2 + 𝑥 3 = 3
3𝑥1 − 𝑥 2 − 3𝑥 3 = −1
2𝑥1 + 3𝑥 2 + 𝑥3 = 4
Buatlah matriks diperbesar 𝐴|𝐵 kemudian lakukan OBE untuk mereduksinya.
1 2 1 3 −3𝑏 1+𝑏 1 1 2
−2𝑏 1+𝑏 3
1 3 𝑏 2−7𝑏 3 1 2 1 3
3 −1 −3 −1 0 −7 −6 −10 0 −7 −6 −10
2 3 1 4 0 −1 −1 −2 0 0 1 4
Operasi baris di atas sudah menghasilkan bentuk segitiga atas, yang dapat dilanjutkan
dengan substitusi balik, atau meneruskan OBE hingga A tereduksi menjadi I, seperti
berikut ini :
6𝑏 3+𝑏 2
1 2 1 3 −𝑏 3+𝑏 1
1 2 0 −1 −1 7 𝑏 2
0 -7 -6 -10 0 -7 0 14
0 0 1 4 0 0 1 4
Sistem Persamaan Linear/rHn_copyright | 21

6. 1 2 0 −1 −2𝑏 2 +𝑏 1 1 0 0 3 𝑥1 = 3
0 1 0 −2 0 1 0 −2 ⇒ 𝑥 2 = −2
0 0 1 4 0 0 1 4 𝑥3 = 4
Jadi, penyelesaian SPL di atas adalah (3, -2, 4). ∎
6. Konsistensi SPL
SPL yang mempunyai penyelesaian dinamakan SPL konsisten (consistent), sedangkan
SPL yang tidak mempunyai penyelesaian dinamakan SPL tak-konsisten (inconsistent).
SPL konsisten memiliki dua kemungkinan banyak penyelesaian, yaitu penyelesaian
tunggal (satu penyelesaian) atau tak hingga banyaknya penyelesaian.
SPL
SPL Konsisten SPL Tak-Konsisten
Satu Tak Hingga
Penyelesaian Penyelesaian
SPL tak-konsisten umumnya dapat diketahui dari bentuk eselon baris matriks yang
diperbesar [𝐴|𝐵]. Jika bentuk eselon barisnya mengandung baris berbentuk
0 0 0 … 0 𝑎 dengan 𝑎 ≠ 0
maka sistem yang bersangkutan tak-konsisten.
Sedangkan, jika bentuk eselon barisnya mengandung
0 0 0 … 0 0
maka SPL tersebut konsisten dengan tak-hingga banyaknya penyelesaian.
Selain bentuk tersebut, ciri lain suatu SPL memiliki tak hingga penyelesaian adalah
sistem tersebut kekurangan persamaan, sehingga kelebihan variabel (SPL 𝑚× 𝑛
dengan m < n). Banyak variabel melebihi persamaan dapat menyebabkan munculnya
variabel bebas. Variabel bebas adalah variabel yang nilainya dapat dipenuhi oleh
semua bilangan. Sedangkan variabel yang hanya dipenuhi oleh satu nilai disebut
variabel utama. Variabel utama ditandai oleh 1 utama pada matriks tereduksinya.
Konsistensi SPL biasanya tergantung pada banyak persamaan dan banyak variabel.
Akan tetapi, hal ini harus tetap diselidiki dengan melihat bentuk eselon barisnya.
Sistem Persamaan Linear/rHn_copyright | 22

7. a. SPL 𝑛 × 𝑛
1. Jika bentuk eselon baris dari A pada 𝐴 𝐵 berbentuk segitiga atas, maka SPL
mempunyai penyelesaian tunggal.
Contoh 9 :
Perhatikan kembali contoh, dengan substitusi balik diperoleh
3 2 1 1 𝑥1 = −3
0 1 −1 2 ⇔ 𝑥2 = 4
0 0 2 4 𝑥3 = 2
Jelaslah bahwa SPL mempunyai penyelesaian tunggal, yaitu (-3, 4, 2). ∎
2. Jika bentuk eselon baris dari 𝐴 𝐵 mengandung
0 0 0 … 0 𝑎 dengan 𝑎 ≠ 0
maka SPL tidak mempunyai penyelesaian.
Contoh 10 :
1 1 0 3 𝑥1 + 𝑥2 =3
0 1 0 2 ⇔ 𝑥2 =2
0 0 0 1 0. 𝑥 3 = 1
Jelaslah bahwa tidak ada x 3 yang memenuhi, sehingga SPL tersebut tidak
mempunyai penyelesaian. ∎
3. Jika bentuk eselon baris dari 𝐴 𝐵 mengandung
0 0 0 … 0 0
Maka SPL tersebut mempunyai tak-hingga penyelesaian.
Contoh 11 :
1 1 0 3 𝑥1 + 𝑥2 =3
0 1 0 2 ⇔ 𝑥2 =2
0 0 0 0 0. 𝑥 3 = 0
Karena 0. 𝑥 3 = 0 ⇔ 𝑥 3 = semua bilangan. Untuk itu x 3 dimisalkan oleh suatu
parameter yang menunjukkan bahwa nilainya tidak terbatas di himpunan bilangan
real, misalnya 𝑥 3 = 𝑡. Jadi, SPL tersebut mempunyai banyak penyelesaian yaitu
1, 2, 𝑡 dengan t adalah semua bilangan Real. ∎
b. Sistem Kekurangan Persamaan ( Underdetermined Systems)
Sistem linear ini adalah SPL 𝑚 × 𝑛 dengan 𝑚 < 𝑛 (lebih banyak variabel daripada
persamaan). SPL ini mempunyai dua kemungkinan, tak-konsisten, atau konsisten
dengan tak terhingga banyaknya penyelesaian.
Sistem Persamaan Linear/rHn_copyright | 23

8. 1. Jika bentuk eselon baris dari 𝐴 𝐵 mengandung
0 0 0 … 0 𝑎 dengan 𝑎 ≠ 0
maka SPL tidak mempunyai penyelesaian.
Contoh 12 :
1 2 1 1 1 2 1 1 𝑥 + 2𝑥 2 + 𝑥 3 = 1
→ ⇒ 1
2 4 2 3 0 0 0 1 0𝑥 3 = 1
Jelaslah bahwa tidak ada x 3 yang memenuhi, jadi SPL tersebut tidak mempunyai
penyelesaian (tak-konsisten). ∎
2. Jika tiap baris dari 𝐴 𝐵 tereduksi mempuyai 1 utama, maka pasti sistem
memiliki sejumlah variabel bebas. Karena sistem hanya mempunyai m baris,
maka matriks tereduksinya hanya mempunyai m buah 1 utama atau kurang dari
itu. Ini berarti, hanya ada m buah (atau kurang) variabel utama, sisanya adalah
variabel bebas. Sehingga penyelesaiannya menjadi tak terhingga.
Contoh 13 :
1 1 1 0 0 1 𝑥 1 + 𝑥 2 + 𝑥 3 = 1 ⇔ 𝑥 1 = −𝑥 2 − 𝑥 3 + 1
0 0 0 1 0 2 ⇒ 𝑥4 = 2
0 0 0 0 1 −1 𝑥 5 = −1
Karena hanya ada 3 persamaan, maka hanya ada 3 variabel utama yaitu x 1 , x3 ,
dan x 5 . Sedangkan x 2 dan x 3 adalah variabel bebas (nilainya bebas / dapat
dipenuhi oleh semua bilangan real). Jadi, SPL tersebut mempunyai tak hingga
penyelesaian. Dengan memisalkan : x 2 = s dan x 3 = t, maka penyelesaiannya
adalah : ([−𝑠 − 𝑡 + 1] , 2, −1) dengan 𝑠, 𝑡 ∈ 𝑅𝑒𝑎𝑙. ∎
c. Sistem Kelebihan Persamaan ( Overdetermined Systems)
Sistem Linear ini adalah SPL 𝑚 × 𝑛 dengan 𝑚 > 𝑛 (lebih banyak persamaan
daripada variabel). Bentuk eselon baris dari [𝐴|𝐵] akan selalu menghasilkan baris
nol pada matriks tereduksi A.
1. Jika bentuk eselon baris dari 𝐴 𝐵 mengandung
0 0 0 … 0 𝑎 dengan 𝑎 ≠ 0
maka SPL tidak mempunyai penyelesaian.
Contoh 14 :
1 1 1 1 1 1
1 −1 3 → 0 1 −1
−1 2 −2 0 0 1
Baris terakhir menunjukkan bahwa sistem di atas adalah tak-konsisten. ∎
Sistem Persamaan Linear/rHn_copyright | 24

9. 2. Jika banyak baris bukan nol sama dengan banyak persamaan (baris-baris bukan
nol dari matriks tereduksi A membentuk sistem segitiga), maka SPL tersebut
mempunyai penyelesaian tunggal.
Contoh 15 :
1 2 1 1 𝑥1 = −3
0 1 2 0 ⇔ 𝑥2 = 2
0 0 1 -1
𝑥 3 = −1
0 0 0 0
Baris terakhir tidak mempengaruhi penyelesaian, dan baris-baris lainnya
membentuk sistem segitiga. Sehingga SPL di atas mempunyai penyelesaian
tunggal, yaitu (-3, 2, -1). ∎
3. Jika banyak baris bukan nol kurang dari persamaan, maka SPL tersebut
mempunyai tak terhingga banyaknya penyelesaian.
Contoh 16:
1 2 1 1 1 2 1 1
2 −1 1 2 → 0 1 1/5 0 𝑥 + 2𝑥 2 + 𝑥 3 = 1
⇒ 1
4 3 3 4 0 0 0 0 𝑥 2 + 0,2𝑥 3 = 0
3 1 2 3 0 0 0 0
Karena hanya ada dua buah 1 utama, maka hanya ada dua variabel utama yaitu x 1
dan x 2 , sedangkan x 3 adalah variabel bebas. Dengan memisalkan x 3 = t kemudian
melakukan substitusi balik diperoleh :
𝑥 2 = −0,2𝑥 3 = −0,2𝑡
𝑥 1 = 1 − 2𝑥 2 − 𝑥 3 = 1 − 0,6𝑡
Sehingga penyelesaiannya adalah 1 − 0,6𝑡 , −0,2𝑡 , 𝑡 dengan 𝑡 ∈ 𝑅𝑒𝑎𝑙. ∎
7. Metode Cramer
Salah satu metode penyelesaian SPL 𝑛 × 𝑛 , khususnya jika telah diketahui SPL
tersebut konsisten, adalah metode/aturan Cramer. Konsistensi SPL ini dapat diketahui
dengan menghitung determinan matriks koefisiennya.
Teorema : Aturan Cramer
Jika AX = B adalah sistem yang terdiri atas n persamaan linear dan n buah variabel (SPL
𝑛 × 𝑛) sehingga det(𝐴) ≠ 0, maka SPL tersebut mempunyai penyelesaian tunggal,
yaitu :
det(𝐴1 ) det(𝐴2 ) det(𝐴 𝑛 )
𝑥1 = , 𝑥2 = , …… , 𝑥 𝑛 =
𝐴 𝐴 𝐴
Sistem Persamaan Linear/rHn_copyright | 25

10. Di mana 𝐴 𝑗 adalah matriks yang didapat dengan menggantikan entri-entri dalam kolom
ke-j dari A dengan entri-entri dalam matriks B.
Contoh 17 :
Gunakanlah aturan Cramer untuk menyelesaikan
𝑥1 + 2𝑥 3 = 6
−3𝑥 1 + 4𝑥 2 + 6𝑥 3 = 30
− 𝑥1 − 2𝑥 2 + 3𝑥 3 = 8
Penyelesaian :
1 0 2 6 0 2
𝐴 = −3 4 6 𝐴1 = 30 4 6
−1 −2 3 8 −2 3
1 6 2 1 0 6
𝐴2 = −3 30 6 𝐴3 = −3 4 30
−1 8 3 −1 −2 8
Maka,
det(𝐴1 ) −40 10 det(𝐴2 ) 152 18 det(𝐴3 ) 72 38
𝑥1 = = =− ; 𝑥2 = = = ; 𝑥3 = = = ∎
𝐴 44 11 𝐴 44 11 𝐴 44 11
Latihan 3
1. Carilah matriks yang diperbesar untuk setiap SPL berikut
𝑥1 + 𝑥2 = 4 𝑥 1 − 2𝑥 2 = 0
a.
𝑥1 − 𝑥2 = 2 e. 3𝑥1 + 4 𝑥2 = −1
𝑥1 + 2𝑥 2 = 4 2𝑥 1 − 𝑥 2 = 3
b.
−2𝑥1 − 4𝑥 2 = 4 𝑥1 + 𝑥3 = 1
f.
2𝑥 1 − 𝑥 2 = 3 −𝑥 1 + 2𝑥 2 − 𝑥 3 = 3
c.
−4𝑥 1 + 2𝑥 2 = −6 𝑥1 + 𝑥 3 = 1
𝑥1 = 1 g. 2𝑥 2 − 𝑥 3 + 𝑥 5 = 2
d.
𝑥2 = 2 2𝑥 3 + 𝑥 4 = 3
2. Carilah sebuah SPL yang bersesuaian dengan setiap matriks diperbesar berikut.
3 2 8 5 −2 1 3
a. e.
1 5 7 2 3 −4 0
1 −3 2 1 0 0
b.
0 2 6 f. 0 1 0
2 1 4 −1 1 −1 1
c. 4 −2 3 4 1 2 3 4 5
g.
5 2 6 −1 5 4 3 2 1
1 0 −1 2 1 0 0 0 1
d. 2 1 1 3 0 1 0 0 2
h.
0 −1 2 4 0 0 1 0 3
0 0 0 1 4
Sistem Persamaan Linear/rHn_copyright | 26

11. 3. Gunakan substitusi balik untuk menyelesaikan masing- masing SPL berikut.
𝑥 1 − 3𝑥 2 = 2
a.
2𝑥2 = 6
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 8
b. 2𝑥2 + 𝑥 3 = 5
3𝑥 3 = 9
𝑥 1 + 2𝑥 2 + 2𝑥 3 + 𝑥 4 = 5
3𝑥 2 + 𝑥 3 − 2𝑥 4 = 1
c.
−𝑥3 + 2𝑥 4 = -1
4𝑥4 = 4
𝑥1 + 𝑥 2 + 𝑥 3 + 𝑥 4 + 𝑥 5 = 5
2𝑥2 + 𝑥 3 − 2𝑥 4 + 𝑥 5 = 1
d. 4𝑥3 + 𝑥 4 − 2𝑥 5 = 1
𝑥 4 − 3𝑥 5 = 0
2𝑥5 = 2
4. Misalkanlah bahwa matriks yang diperbesar untuk suatu SPL telah direduksi menjadi
bentuk eselon baris tereduksi yang diberikan. Selesaikanlah sistem berikut.
1 0 0 4 1 −3 0 2
a. 0 1 0 3 e. 0 0 1 −2
0 0 1 2 0 0 0 0
1 0 0 −2 0 1 0 2
b. 0 1 0 5 f. 0 0 1 −1
0 0 1 3 0 0 0 0
1 4 0 2 1 2 0 1 5
g.
c. 0 0 1 3 0 0 0 3 4
0 0 0 1 1 0 0 3 2
1 2 0 0 h. 0 1 0 −1 4
d. 0 0 1 0 0 0 1 1 2
0 0 0 1
5. Misalkanlah bahwa matriks yang diperbesar untuk suatu SPL telah direduksi menjadi
bentuk eselon baris yang diberikan. Selesaikanlah sistem berikut.
1 2 4 1 2 −4 2
a. 0 1 3 d. 0 1 −2 −1
0 0 1 0 0 1 2
1 3 1 1 3 2 −2
b. 0 1 −1 e. 0 0 1 4
0 0 0 0 0 0 1
1 −2 2 2 1 2 2 2
c. 0 1 −1 3 f. 0 1 3 3
0 0 1 2 0 0 0 1
Sistem Persamaan Linear/rHn_copyright | 27

12. 1 −2 2 2 1 1 0
g. 0 1 −1 3 i. 0 1 0
0 0 1 2 0 0 0
1 −1 3 8 1 −2 4 1
h. 0 1 2 7 j. 0 0 1 3
0 0 1 2 0 0 0 0
0 0 0 0
6. Selesaikan setiap sistem persamaan linear berikut.
𝑥 1 − 2𝑥 2 = 5 2𝑥 1 + 𝑥 2 + 3𝑥 3 = 1
a.
3𝑥 1 + 𝑥 2 = 1 e. 4𝑥1 + 3𝑥 2 + 5𝑥 3 = 1
2𝑥 1 + 𝑥 2 = 8 6𝑥1 + 5𝑥 2 + 5𝑥 3 = −3
b.
4𝑥 1 − 3𝑥 2 = 6 3𝑥 1 + 2𝑥 2 + 𝑥 3 = 0
4𝑥 1 + 3𝑥 2 = 4 f. −2𝑥 1 + 𝑥 2 − 𝑥 3 = 2
c. 2 2𝑥1 − 2𝑥 2 + 2𝑥 3 = −1
𝑥 1 + 4𝑥 2 = 3
3
𝑥 1 + 2𝑥 2 − 𝑥 3 = 1
d. 2𝑥 1 − 𝑥 2 + 𝑥 3 = 3
𝑥 1 + 2𝑥 2 + 3𝑥 3 = 7
7. Untuk setiap SPL berikut, carilah penyelesaiannya (jika konsisten). Gunakanlah
eliminasi Gauss dan substitusi balik, atau gunakan eliminasi Gauss-Jordan.
𝑥 1 − 2𝑥 2 = 3
a.
2𝑥 1 − 𝑥 2 = 9
2𝑥 1 − 3𝑥 2 = 5
b.
−4𝑥 1 + 6𝑥 2 = 8
𝑥 1 − 2𝑥 2 = 3
c. 2𝑥 1 + 𝑥 2 = 1
−5𝑥1 + 8𝑥 2 = 4
2𝑥1 − 3𝑥 2 = −2
d. 2𝑥 1 + 𝑥 2 = 1
3𝑥 1 + 2𝑥 2 = 1
4𝑥 1 − 8𝑥 2 = 12
e. 3𝑥 1 − 6𝑥 2 = 9
−2𝑥1 + 4𝑥 2 = −6
𝑥 1 + 2𝑥 2 − 3𝑥 3 + 𝑥 4 = 1
f. −𝑥 1 − 𝑥 2 + 4𝑥 3 − 𝑥 4 = 6
−2𝑥1 − 4𝑥 2 + 7𝑥 3 − 𝑥 4 = 1
𝑥1 + 3𝑥 2 + 𝑥 3 + 𝑥 4 = 3
g. 2𝑥1 − 2𝑥 2 + 𝑥 3 + 2𝑥 4 = 8
𝑥1 − 5𝑥 2 + 𝑥4 = 5
Sistem Persamaan Linear/rHn_copyright | 28