1. Makalah Aljabar
Polinomial (Suku Banyak)
Disusun Oleh :
Kelompok 2
1. Qonitha Amalia (06081281419030)
2. Desty Rupalestari ( 0608128419031)
3. Sholihatun Nisaβ (06081281419033)
Fakultas Keguruan dan Ilmu pendidikan
Program Studi Pendidikan Matematika
Universitas Sriwijaya
2. Polinomial ( Suku Banyak )
1. Pengertian dan Nilai Suku Banyak
A. Pengertian Suku Banyak
Suku banyak adalah suatu bentuk yang memuat variabel berpangkat. Suku banyak
dalam x berderajat n dinyatakan dengan:
π π π₯ π
+ π πβ1 π₯ πβ1
+ π πβ2 π₯ πβ2
+ .... + π1 π₯ + π0
Dengan syarat n β bilangan cacah π π , π πβ1, β¦ π0 disebut koefesien-koefesien suku
banyak, π0 disebut suku tetap dan π π β 0.
Contoh :
1) 6π₯3
β 3π₯2
+ 4x β 8 adalah suku banyak berderajat 3, dengan koefisien π₯3
adalah 6,
koefisien π₯2
adalah β3, koefisien x adalah 4, dan suku tetapnya β8.
2) 2π₯2
β 5x + 4 β
7
π₯
adalah bukan suku banyak karena memuat pangkat negatif yaitu
7
π₯
atau
7π₯β1
dengan pangkat β1 bukan anggota bilangan cacah.
B. Nilai Suku Banyak
Suku banyak dengan derajat n dapat dinyatakan sebagai suatu fungsi f(x) berikut ini.
π(π₯) = π π π₯ π
+ π πβ1 π₯ πβ1
+ π πβ2 π₯ πβ2
+ .. . . + π1 π₯ + π0
di mana n β bilangan cacah dan π π β 0. Nilai f(x) tersebut merupakan nilai suku
banyak. Untuk menentukan nilai suku banyak dapat dilakukan dengan dua cara berikut.
1) Cara substitusi
Misalkan suku banyak π(π₯) = ππ₯3
+ ππ₯2
+ ππ₯ + π. Jika nilai x diganti k, maka
nilai suku banyak f(x) untuk x = k adalah π(π) = ππ3
+ ππ2
+ ππ + π. Agar lebih
memahami tentang cara substitusi, pelajarilah contoh soal berikut ini.
Contoh soal
Hitunglah nilai suku banyak berikut ini untuk nilai x yang diberikan.
3. 1. π(π₯) = 2π₯3
+ 4π₯2
β 18 untuk x = 3
2. π(π₯) = π₯4
+ 3π₯3
β π₯2
+ 7π₯ + 25 untuk x = β4
Penyelesaian :
1. π(π₯) = 2π₯3
+ 4π₯2
β 18
π(3) = 2. 33
+ 4. 32
β 18
π(3) = 2.27 + 4.9 β 18
π(3) = 54 + 36 β 18
π(3) = 72
Jadi, nilai suku banyak f(x) untuk x = 3 adalah 72.
2. π( π₯) = π₯4 + 3π₯3β π₯2 + 7π₯ + 25
π(β 4) = (β4)4 + 3(β4)3 β (β4)2 + 7 (β 4) + 25
π(β4) = 256 β 192 β 16 β 28 + 25
π(β 4) = 45
Jadi, nilai suku banyak f(x) untuk x = β4 adalah 45.
2) Cara Horner/bangun/skema/sintetik
Misalkan suku banyak π(π₯) = ππ₯3
+ ππ₯2
+ ππ₯ + π . Jika akan ditentukan nilai
suku banyak π₯ = π, maka:
π(π₯) = ππ₯3
+ ππ₯2
+ ππ₯ + π
π(π₯) = (ππ₯2
+ ππ₯ + π)π₯ + π
π(π₯) = ((ππ₯ + π)π₯ + π)π₯ + π
Sehingga π(π) = ((ππ + π)π + π)π + π.
Bentuk tersebut dapat disajikan dalam bentuk skema berikut:
bisa digunakan untuk pembagi berderajat 1 atau pembagi yang dapat difaktorkan
menjadi pembagi-pembagi berderajat
4. 1. Tulis koefisiennya saja β harus runtut dari koefisien xn, xn β 1, β¦ hingga
konstanta (jika ada variabel yang tidak ada, maka koefisiennya ditulis 0)
Contoh: untuk 4π₯3
β 1, koefisien-koefisiennya adalah 4, 0, 0, dan -1 (untuk π₯3
, π₯2
, x,
dan konstanta)
2. Jika koefisien derajat tertinggi P(x) β 1, maka hasil baginya harus dibagi dengan koefisien
derajat tertinggi P(x) Jika pembagi dapat difaktorkan, maka:
Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P1 dan P2, maka S(x) = P1.S2 + S1
Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P1, P2, P3, maka S(x) = P1.P2.S3 + P1.S2 + S1
Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P1, P2, P3, P4, maka S(x) = P1.P2.P3.S4 + P1.P2.S3
+ P1.S2 + S1 dan seterusnya.
Contoh soal
Hitunglah nilai suku banyak untuk nilai x yang diberikan berikut ini.
1. π(π₯) = π₯3
+ 2π₯2
+ 3π₯ β 4 untuk π₯ = 5
2. π(π₯) = 2π₯3
β 3π₯2
+ 9π₯ + 12 untuk x =
1
2
Penyelesaian :
Jadi nilai suku banyak f(x) untuk x = 5 adalah 186.
2.
Jadi, nilai suku banyak f(x) untuk x =
1
2
adalah 16.
3) Cara koefisientak tentu
F(x) = P(x).H(x) + S(x)
contoh soal
1. 2π₯3
β 3π₯2
+ π₯ + 5 dibagi 2π₯2
-x-1 menggunakan cara koefesien tak tentu
5. karena F(x) berderajat 3 dan P(x) berderajat 2, maka
H(x) berderajat 3 β 2 = 1
S(x) berderajat 2 β 1 = 1
Jadi, misalkan H(x) = ax + b dan S(x) = cx + d
Maka:
2π₯3
β 3π₯2
+ x + 5 = (2π₯2
β x β 1).(ax + b) + (cx + d)
Ruas kanan:
= 2ππ₯3
+ 2ππ₯2
β aπ₯2
β bx β ax β b + cx + d
= 2ππ₯3
+ (2b β a)π₯2
+ (βb β a + c)x + (βb + d)
Samakan koefisien ruas kiri dan ruas kanan:
π₯3
β 2 = 2a β a = 2/2 = 1
π₯2
β β3 = 2b β a β 2b = β3 + a = β3 + 1 = β2 β b = β2/2 = β1
x β 1 = βb β a + c β c = 1 + b + a = 1 β 1 + 1 β c = 1
Konstanta β 5 = βb + d β d = 5 + b = 5 β 1 β d = 4
Jadi:
H(x) = ax + b = 1.x β 1 = x β 1
S(x) = cx + d = 1.x + 4 = x + 4
C. Operasi Antar Suku Banyak
1. Penjumlahan, Pengurangan, dan Pembagian
Penjumlahan atau pengurangan suku banyak f(x) dengan suku banyak g(x) dapat
ditentukan dengan cara menjumlahkan atau mengurangkan suku-suku sejenis dari kedua suku
banyak itu. Sedangkan perkalian suku banyak f(x) dengan suku banyak g(x) dapat ditentukan
dengan cara mengalikan suku-suku dari kedua suku banyak itu.Dalam mengalikan suku-suku
dari kedua suku banyak itu digunakan sifat distributif perkalian, baik distributif perkalian
terhadap penjumlahan maupun distributif perkalian terhadap pengurangan.
Contoh:
Diketahui dua buah suku banyak f(x) dan g(x) dinyatakan dengan aturan
πΉ(π₯) = π₯3
+ π₯2
β 4 dan π(π₯) = π₯3
β 2π₯2
+ π₯ + 2
a) Tentukan f(x) + g(x) serta derajatnya
b) Tentukan f(x) - g(x) serta derajatnya
c) Tentukan f(x). g(x) serta derajatnya
6. Penyelesaian:
a) πΉ(π₯) + π(π₯) = (π₯3
+ π₯2
β 4) + ( π₯3
β 2π₯2
+ π₯ + 2)
= (π₯3
+ π₯3
) + ( π₯2
β 2π₯2)+ π₯ + (β4 + 2)
= 2π₯3
β π₯2
+ π₯ β 2
Jadi, π(π₯) + π(π₯) = 2π₯3
β π₯2
+ π₯ β 2 dan π(π₯) + π(π₯) berderajat 3
b) πΉ(π₯) β π(π₯) = (π₯3
+ π₯2
β 4) β ( π₯3
β 2π₯2
+ π₯ + 2)
=(π₯3
β π₯3
) + ( π₯2
β (β2π₯2)β π₯ + (β4 β 2)
=3π₯2
β π₯ β 6
Jadi, π(π₯) β π(π₯) = 3π₯2
β π₯ β 6 dan π(π₯) β π(π₯) berderajat 2
c) πΉ(π₯). π(π₯) = (π₯3
+ π₯2
β 4 )(π₯3
β 2π₯2
+ π₯ + 2)
= π₯3( π₯3
β 2π₯2
+ π₯ + 2) + π₯2( π₯3
β 2π₯2
+ π₯ + 2) β 4 (π₯3
β 2π₯2
+ π₯ + 2
= π₯6
β 2π₯5
+ π₯4
+ 2π₯3
+ π₯5
β 2π₯4
+ π₯3
+ 2π₯2
β 4π₯3
+ 8π₯2
β 4π₯ β 8
= π₯6
+ (β2π₯5
+ π₯5) + ( π₯4
β 2π₯4)+ ( 2π₯3
+ π₯3
β 4π₯3) ( 2π₯2
+ 8π₯2
β
4π₯ β 8)
= π₯6
β π₯5
β π₯4
β π₯3
+ 10π₯2
β 4π₯ β 8
Jadi, π(π₯). π(π₯ = π₯6
β π₯5
β π₯4
β π₯3
+ 10π₯2
β 4π₯ β 8 dan f(x).g(x) berderajat 6
2. Kesamaan suku banyak
Suku banyak f(x) memiliki kesamaan dengan suku banyak g(x) , jika kedua suku banyak
itu mempunyai nilai yan sama untuk semua variabel x bilangan real. Kesamaan dua suku
banyak f(x) dan g(x) itu ditulis sebagai
π(π) β‘ π(π)
Dengan lambang β‘ dibaca "kesamaan"
Misalkan diketahui dua buah suku banyak f(x) dan g(x) yan dinyatakan dalam bentuk
umum.
f(x) = π π π₯ π
+ π πβ1 π₯ πβ1
+ π πβ2 π₯ πβ2
+ .... + π1 π₯ + π0
g(x) =π π π₯ π
+ π πβ1 π₯ πβ1
+ π πβ2 π₯ πβ2
+ .... + π1 π₯ + π0
Jika f(x) mempunyai kesamaan dengan g(x), ditulis f(x) β‘ g(x), maka berlaku hubungan
π π = π π , π πβ1 = π πβ1,β¦ , π2 = π2, π1 = π1, dan π0 = π0
7. Contoh
Tentukan nilai a pada kesamaan π₯2
β 3π₯ + 14 = (π₯ β 1)(π₯ β 2) + 3π
Penyelesaian: Jabarkan bagian ruas kanan kesamaan
π₯2
β 3π₯ + 14 β‘ π₯2
β 3π₯ + 2 + 3π
π₯2
β 3π₯ + 14 = π₯2
β 3π₯ + (2 + 3π )
Dengan menggunakan sifat kesamaan suku banyak, diperoleh :
14 = 2 + 3π
π = 4
Jadi, nilai a pada kesamaan π₯2
β 3π₯ + 14 β‘ π₯2
β 3π₯ + 2 + 3π πππππβ π = 4
3. Pembagian suku banyak
A. Hubungan antara yang dibagi, pembagi, hasil bagi, dan sisa pembagian
Sebagai ilustrasi, misalkan bilangan 4369 dibagi dengan 14 dapa diselesaikan dengan
metode bersusun pendek seperti diperlihatkan pada bagan dibawah. Dari bagan ini terlihat
bahwa 4369 dibagi dengan 14 memberikan hasil 312 denan sisa pembagian 1.
π. πππ = ππ π πππ + π
yang dibagi Pembagi hasil bagi sisa pembagian
Dengan demikian dapat dirumuskan secara umum sebagai berikut.
ππππ π πππππ = πππππππ π πππππ ππππ + ππππ πππππππππ
Ternyata pembagian bilangan bersusun pendek dapa diaplikasikan pada pembagian
suku banyak. Sebagai ilustrasi, misalnya suku banyak π₯3
β 7π₯2
+ 4π₯ + 50 dibagi dengan
π₯ β 3 akan diselesaikan dengan metode bersusun pendek.
8. hasil bagi
yang dibagi
pembagi
Contoh : sisa pembagian
Dengan menggunakan metode bersusun pendek, carilah hasil bagi dan sisa pada pembagian
suku banyak π(π₯) = 2π₯3
+ 4π₯2
β 18 oleh π₯ β 3
Penyelesaian
Hasil bagi
Yang dibagi
Pembagi
Sisa pembagian
Dari bagan diatas,diperoleh hasil baginya 2x2
+ 10x + 30 dengan sisa pembagian 72.
9. Pembagian Suku Banyak oleh Bentuk Linear (ππ + π)
Pembagian suku banyak dengan pembagi (π₯ β π) yang telah kamu pelajari, dapat
dijadikan dasar perhitungan pembagian suku banyak dengan pembagi (ππ₯ + π).
Untuk lebih jelasnya, perhatikanlah uraian berikut ini.
Suku banyak π(π₯) dibagi (π₯ β π) menghasilkan h(x) sebagai hasil bagi dan f(k)
sebagai sisa pembagian, sedemikian sehingga π(π₯) = (π₯ β π) β(π₯) + π(π). Pembagian
suku banyak f(x) dibagi (ax + b), dapat diubah menjadi bentuk π(π₯) dibagi
π₯ β (
βπ
π
) Berarti, nilai π =
π
π
, sehingga pada pembagian suku banyak π(π₯) tersebut
dapat dilakukan perhitungan sebagai berikut.
π(π₯) = π₯(
βπ
π
)β(π₯) π(β
βπ
π
)
π(π₯) = (π₯ +
π
π
).β(π₯) + π(
βπ
π
)
π(π₯) =
1
π
(ππ₯ + π) .β(π₯) + π
βπ
π
)
π(π₯) = (ππ₯ + π.)
β(π₯)
π
+ π(
βπ
π
)
Suku banyak π(π₯) dibagi (ππ₯ + π) menghasilkan
β(π₯)
π
sebagai hasil bagi dan πΉ(
βπ
π
)
sebagai sisa pembagian, sehingga π(π₯) = (ππ₯ + π).
β(π₯)
π
+ π(
βπ
π
) . Untuk lebih jelasnya,
perhatikanlah contoh soal berikut ini.
Contoh
Tentukanlah hasil bagi dan sisanya jika memakai cara horner.
1. π(π₯) = 2π₯3 + π₯2 + 5π₯ β 1 ππππππ (2π₯ β 1)
2. π(π₯) = 2π₯3 + π₯2 + π₯ + 10 ππππππ (2π₯ + 3)
Penyelesaian
1. π(π₯) = 2π₯3 + π₯2 + 5π₯ β 1 dibagi (2π₯ β 1) dengan cara horner sebagai berikut.
π( π₯) = (π₯ β
1
2
) (2π₯2 + 2π₯ + 6) + 2
= (
2π₯β1
2
)(2π₯2 + 2π₯ + 6) + 2
= (2π₯ β 1)(π₯2 + π₯ + 3) + 2
10. 2. π(π₯) = 2π₯3 + π₯2 + π₯ + 10 dibagi (2π₯ + 3) dengan cara horner sebagai berikut.
Pembagian Suku Banyak oleh Bentuk Kuadrat (aπ π
+ bx + c)
Pembagian suku banyak dengan ππ₯2
+ ππ₯ + π, di mana π β 0 dapat dilakukan
dengan cara biasa apabila ππ₯2
+ ππ₯ + π tidak dapat difaktorkan, sedangkan jika aπ₯2
+ bx +
c dapat difaktorkan dapat dilakukan dengan cara Horner. Misalkan, suatu suku banyak π(π₯)
dibagi aπ₯2
+ ππ₯ + π dengan π β 0 dan dapat difaktorkan menjadi (ππ₯ β π1)(π₯ β π2).
Maka, pembagian tersebut dapat dilakukan dengan mengikuti langkah-langkah berikut ini.
Contoh soal :
1. Tentukanlah hasil bagi dan sisa pembagian jika π₯4
+ π₯2
β 16 dibagi oleh π₯2
+ 3π₯ + 2
Karena π₯2
+ 3π₯ + 2 dapat difaktorkan , maka ada 2 cara penyelesaiannya :
1. cara susun biasa
2. cara horner
π₯2
+ 3π₯ + 2 βπ₯4 + π₯2 β 16 = π₯2
β 6π₯ + 17 cara susun
π₯4
+ 6π₯3
+ 2π₯2
β6π₯3
β π₯2
β 16
β6π₯3
β 18π₯2
β 12π₯
17π₯2
β 12π₯ β 16
17π₯2
+ 51π₯ + 34
β63xβ 50
Jadi hasil dari pembagian π₯4
+ π₯2
β 16 oleh π₯2
+ 3π₯ + 2 ialah
π₯2
β 6π₯ + 7 dan sisanya β63π₯ β 50
2. Pembagian (π₯3
β π₯2
+ 4x β 4) oleh (π₯2
β 1) dapat dituliskan sebagai berikut:
P(x) = (xπ₯2
β 1 ) H(x) + sisa
= (x + 1) (x β 1) H(x) + (A1x + A0)
11. untuk x = 1 diperoleh P(1) = 0 . H(x) + (A0 + A1(1) ) = A1 + A0
untuk x = β1 diperoleh, P(β1) = 0 . H(x) + (A0 + A1(β1)) = β A1 + A0
Dari pembagian Horner ini diperoleh :
Dengan demikian, sisa pembagian adalah A0 + A1x, yaitu β5 + 5x.
3. Tentukan cara Horner 2π₯3
β 3π₯2
+ π₯ + 5 dibagi 2π₯2
-x-1
P(x) = 2π₯2
β x β 1 = (2x + 1)(x β 1)
P1: 2x + 1 = 0 β x = βΒ½
P2: x β 1 = 0 β x = 1
Cara Hornernya:
H(x) = 1.x β 1 = x β 1
S(x) = P1.S2 + S1 = (2x + 1).1/2 + 7/2 = x + Β½ + 7/2 = x + 4
Teorema Faktor
Suatu suku banyak F(x) mempunyai faktor (x β k) jika F(k) = 0 (sisanya jika dibagi
dengan (x β k) adalah 0)
12. Catatan: jika (x β k) adalah faktor dari F(x) maka k dikatakan sebagai akar dari F(x)
Tips:
Untuk mencari akar suatu suku banyak dengan cara Horner, dapat dilakukan dengan
mencoba-coba dengan angka dari faktor-faktor konstantanya ang akan memberikan sisa =
0
Jika jumlah koefisien suku banyak = 0, maka pasti salah satu akarnya adalah x = 1
Jika jumlah koefisien suku di posisi genap = jumlah koefisien suku di posisi ganjil, maka
pasti salah satu akarnya adalah x = β1
Contoh:
1. Tentukan penyelesaian dari π₯3
β 2π₯2
β x + 2 = 0
Faktor-faktor dari konstantanya, yaitu 2, adalah Β±1 dan Β±2
Karena jumlah seluruh koefisien + konstantanya = 0 (1 β 2 β 1 + 2 = 0), maka, pasti x = 1
adalah salah satu faktornya, jadi:
Jadi π₯3
β 2π₯2
β x + 2 = (x β 1)(π₯2
β x β 2)
= (x β 1)(x β 2)(x + 1)
x = 1 x = 2 x = β1
Jadi himpunan penyelesaiannya: {β1, 1, 2}
Menguraikan Dalam Faktor
Ia. ab + ac β ad = a (b+c-d)
Ib. ac+ ad+bc+bd = a (c+d) + b(c+d)
= (a+b) (c+d)
II. π΄2
β π΅2
= (A+B) (A-B)
III.π΄2
Β± 2π΄π΅ + π΅2
= (π΄ Β± π΅)2
IVa. π΄3
+ 3π΄2
π΅ + 3π΄π΅2
+ π΅3
= (π΄ + π΅)3
IVb. π΄3
- 3π΄2
π΅ + 3π΄π΅2
β π΅3
= (π΄ β π΅)3
Va. π΄3
- π΅3
= (A-B) (π΄2
+ π΄π΅ + π΅2
)
Vb. π΄3
+ π΅3
= (A+B) (π΄2
β π΄π΅ + π΅2
)
VIa. π΄ π
βπ΅ π
= (A-B) ( π΄ πβ1
+ π΄ πβ2
+ β―+ π΅ πβ1
)
VIb. π΄2π
β π΅2π
= ( π΄ + π΅)( π΄2πβ1
β π΄2πβ2
+ β―β π΅2πβ1 )
13. VIc. π΄2π+1
+ π΅2π+1
= ( π΄ + π΅)(π΄2π
β π΄2π β1
π΅ + β―+ π΅2π
)
VII. π΄2
+ ( π + π) π΄ + ππ = ( π΄ + π)(π΄ + π)
Sifat Akar-Akar Suku Banyak
1. Pada persamaan berderajat 3 :
ππ₯3
+ ππ₯2
+ cx + d = 0 akan mempunyai akar-akar x1, x2, x3
dengan sifat-sifat:
Jumlah 1 akar: x1 + x2 + x3 = β
π
π
Jumlah 2 akar: x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 =
π
π
Hasil kali 3 akar: x1.x2.x3 = β
π
π
2. Pada persamaan berderajat 4:
ππ₯4
+ ππ₯3
+ ππ₯2
+ dx + e = 0 akan mempunyai akar-akar x1, x2, x3, x4
dengan sifat-sifat:
Jumlah 1 akar: x1 + x2 + x3 + x4 = β
π
π
Jumlah 2 akar: x1.x2 + x1.x3 + x1.x4 + x2.x3 + x2.x4 + x3.x4 =
π
π
Jumlah 3 akar: x1.x2.x3 + x1.x2.x4 + x2.x3.x4 = β
π
π
Hasil kali 4 akar: x1.x2.x3.x4 =
π
π
Dari kedua persamaan tersebut, kita dapat menurunkan rumus yang sama untuk
persamaan berderajat 5 dan seterusnya
(amati pola: βb/a, c/a, βd/a , e/a, β¦)
Pembagian Istimewa :
14. Latihan Soal :
1. Hitunglah!
a. (π β π + π)10
β (βπ + π β π)10
;
b. (π β 2π β 3π)7
β (βπ + 2π + 3π)7
.
2. Buktikanlah bahwa (β1) π(π+1)
= 1.
3. ( π₯4
β 3π₯3
+ 4π₯2
+ 7π₯ β 9): ( π₯ β 5). πΎπππππππ π πππππ π»πππππ!
4. Tetapkan harga k dan l agar, π₯5
β 4π₯4
+ 7π₯3
β 9π₯2
+ ππ₯ + π dapat dibagi oleh
(π₯ β 2)2
.
5. Tentukan harga A dan B, agar berlaku :
A(2x-3)+ B(x+2)= 5x-11
6. Buktikan bahwa π3
+ π3
+ π3
β 3πππ dapat dibagi dengan π + π + π, tanpa
melakukan pembagian tersebut.
7. Hitunglah sisa pembagian π₯6
β 1 oleh ( π₯ + 1)(π₯ β 2)
Djabarkanlah bentuk-bentuk berikut ini :
8. 3ππ3
β π2(2π2
+ 3π) + 2π2(2π + π2
β 3) β 3π3
(π β 1)
9. (π₯2
β 2π₯π¦ + π¦2
)(π₯2
β 3π₯2
π¦ + 3π₯π¦2
β π¦3
)
Tetapkanlah hasil bagi-hasil bagi yang berikut :
10. ( π3
β 5π2
β 4π β 40):(π + 4)
16. DAFTAR PUSTAKA
Usodo,budi dan Sutrima.2009.Wahana MATEMATIKA Untuk Sekolah Menengan
Atas/Madrasah Aliyah Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam.Jakarta: CV.HaKa MJ.
Widjenes,P.1968.Aljadbar Rendah. Djakarta: PradnjaPramita
Wirodikromo,sartono.2007.Matematika untuk Sma Kelas XI.Jakarta: Erlangga.
.