Dokumen tersebut membahas potensial tanggul dan resonansi transmisi partikel melalui tanggul. Secara khusus dijelaskan bahwa koefisien transmisi memiliki nilai maksimum 1 pada kondisi resonansi, di mana partikel dapat dengan mudah tertransmit melalui tanggul. Koefisien transmisi minimum juga dijelaskan. Dianalisis pula dampak lebar tanggul terhadap koefisien transmisi.

1. POTENSIAL TANGGUL
Disusun oleh kelompok 4
1. Dewi Ayu Setiyani (4201416012)
2. Nurul Faela Shufa (4201416073)
3. Ditya Septiana (4201416075)
4. Syifaudin (4201416099)

2. POTENSIAL TANGGUL
𝑉 𝑥 =
0, 𝑥 < 0 (𝑑𝑎𝑒𝑟𝑎ℎ 𝐼
𝑉0, 0 < 𝑥 < 𝑎 (𝑑𝑎𝑒𝑟𝑎ℎ 𝐼𝐼
0, 𝑥 > 𝑎 (𝑑𝑎𝑒𝑟𝑎ℎ 𝐼𝐼𝐼

3. POTENSIAL TANGGUL
Energi Total Lebih dari V0 : Resonansi Transmisi
Untuk 𝐸 > 𝑉0 persamaan Shrödinger bebas waktu di daerah I, II, dan
III sama bentuknya, yaitu seperti Persamaan :
𝑑2 𝜓(𝑥
𝑑𝑥2
+ 𝑘2 𝜓 𝑥 = 0

4. POTENSIAL TANGGUL
Energi total lebih dari V0 : resonansi transmisi
dengan
𝑘1 =
2𝑚𝐸
ℎ2
𝑑𝑎𝑛 𝑘2 =
2𝑚(𝐸 − 𝑉0
ℎ2
ψ1 𝑥 = 𝐴1 𝑒 𝑖𝑘1 𝑥 + 𝐴2 𝑒−𝑖𝑘1 𝑥 ; 𝑥 < 0
ψ𝐼𝐼 𝑥 = 𝐵1 𝑒 𝑖𝑘2 𝑥
+ 𝐵2 𝑒−𝑖𝑘2 𝑥
; 0 < 𝑥 < 𝑎
ψ𝐼𝐼𝐼 𝑥 = 𝐶1 𝑒 𝑖𝑘1 𝑥
+ 𝐶2 𝑒−𝑖𝑘1 𝑥
; 𝑥 > a

5. POTENSIAL TANGGUL
Energi total lebih dari V0 : resonansi transmisi
dengan menerapkan syarat kontinuitas ψ 𝑥 dan dψ 𝑥 /d𝑥 di 𝑥 = 0 diperoleh
dan di x = a diperoleh
𝐴1 + 𝐴2= 𝐵1 + 𝐵2
𝑘1 𝐴1 − 𝐴2 = 𝑘2(𝐵1 − 𝐵2
𝐵1 𝑒 𝑖𝑘2 𝑎
+ 𝐵2 𝑒−𝑖𝑘2 𝑎
= 𝐶1 𝑒 𝑖𝑘1 𝑎
𝑘2 𝐵1 𝑒 𝑖𝑘2 𝑎
− 𝐵2 𝑒−𝑖𝑘2 𝑎
= 𝑘1 𝐶1 𝑒 𝑖𝑘1 𝑎

6. POTENSIAL TANGGUL
Energi total lebih dari V0 : resonansi transmisi
𝐴1 = 𝐶1 𝑐𝑜𝑠 𝑘2 𝑎 − 𝑖
𝑘1
2
+ 𝑘2
2
2𝑘1 𝑘2
𝑠𝑖𝑛 𝑘2 𝑎
𝐴2 = 𝐶1 𝑖
𝑘2
2
+ 𝑘1
2
2𝑘1 𝑘2
𝑠𝑖𝑛 𝑘2 𝑎
𝐵1 = 𝐶1
𝑘2 + 𝑘1
2𝑘2
𝑒 𝑖(𝑘1 − 𝑘2
𝐵2 = 𝐶1 1 −
𝑘2− 𝑘1
2𝑘2
𝑒 𝑖𝑘1 𝑎 𝑒 𝑖(𝑘1 − 𝑘2

7. POTENSIAL TANGGUL
Energi total lebih dari V0 : resonansi transmisi
penyelesaian umum berubah menjadi penyelesaian khusus
𝐶1
𝐴1
𝐶1
𝑒 𝑖𝑘1 𝑥 +
𝐴2
𝐶1
𝑒−𝑖𝑘1 𝑥 ; 𝑥 ≤ 0
ψ 𝑥 = 𝐶1
𝐵1
𝐶1
𝑒 𝑖𝑘2 𝑥 +
𝐵2
𝐶1
𝑒−𝑖𝑘2 𝑥 ; 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎
𝐶1 𝑒 𝑖𝑘1 𝑥 ; 𝑥 ≥ 𝑎

8. POTENSIAL TANGGUL
Energi total lebih dari V0 : resonansi transmisi

9. Dari Persamaan (6.24a) dan (6.24b) diperoleh koefisien refleksi sebesar
dan koefisien transmisi sebesar

10. • Dengan mengisikan nilai 𝑘1 dan 𝑘2 sebagaimana didefinisikan pada Persamaan (6.21) diperoleh
𝑇 =
4
2𝑚𝐸
ћ2
2𝑚(𝐸 − 𝑉0
ћ2
4
2𝑚𝐸
ћ2
2𝑚(𝐸 − 𝑉0
ћ2 +
2𝑚𝐸
ћ2 −
2𝑚 𝐸 − 𝑉0
ћ2
2
𝑠𝑖𝑛2 2𝑚(𝐸 − 𝑉0
ћ2 𝑎
𝑇 =
4
4𝑚2 𝐸(𝐸 − 𝑉0
ћ4
4
4𝑚2 𝐸(𝐸 − 𝑉0
ћ4 +
4𝑚2 𝐸2
ћ4 − 2
4𝑚2 𝐸 𝐸 − 𝑉0
ћ4 +
4𝑚2 𝐸 − 𝑉0
2
ћ4 𝑠𝑖𝑛2 𝑎
ћ
2𝑚(𝐸 − 𝑉0
𝑇 =
4
4𝑚2 𝐸(𝐸 − 𝑉0
ћ4
4
4𝑚2 𝐸(𝐸 − 𝑉0
ћ4 +
4𝑚2
ћ4 𝐸2 − 2𝐸2 + 2𝐸𝑉0 + 𝐸2 − 2𝐸𝑉0 + 𝑉0
2
𝑠𝑖𝑛2 𝑎
ћ
2𝑚(𝐸 − 𝑉0
𝑇 =
4𝐸(𝐸 − 𝑉0
4𝐸 𝐸 − 𝑉0 + 𝑉0
2
𝑠𝑖𝑛2 𝑎
ћ
2𝑚(𝐸 − 𝑉0

11. • Nilai maksimum koefisien transmisi adalah 1. Dikatakan bahwa pada kondisi ini
terjadi resonansi dalam arti bahwa partikel yang datang mengenai tanggul dengan
mudah (pasti) diteruskan.
• Nilai minimum koefisien transmisi sebesar
𝑇 =
4𝐸(𝐸 − 𝑉0
4𝐸 𝐸 − 𝑉0 + 𝑉0
2
yang menunjukkan bahwa selalu ada peluang bagi partikel untuk diteruskan.
• Ketika tidak terjadi resonansi transmisi, gelombang yang merambat ke kanan
(yang diteruskan dari x = 0) dan gelombang yang merambat ke kiri (yang
dipantulkan di titik x = a) saling melemahkan. Akibatnya amplitudo gelombang
yang sampai di daerah III menjadi berkurang.

12. Gambar 6.8. Bagaimana koefisien transmisi T berubah terhadap lebar tanggul a.

13. ENERGI TOTALKURANG DARI 𝑉0 : EFEK PENERPWONGAN

14. Penyelesaian umum persamaan Schroodinger bebas waktu di:
• Daerah I (x<0)

ћ2
2𝑚
𝑑2 𝛹1
𝑑𝑥2 + 𝐸 − 𝑉 𝛹1 = 0

ћ2
2𝑚
𝑑2 𝛹1
𝑑𝑥2 + 𝐸𝛹1 = 0

ћ2
2𝑚
𝑑2 𝛹1
𝑑𝑥2 = −𝐸𝛹1

𝑑2 𝛹1
𝑑𝑥2 = −𝐸𝛹1
2𝑚
ћ2

𝑑2 𝛹1
𝑑𝑥2 +
2𝑚
ћ2 𝐸𝛹1 = 0

𝑑2 𝛹1
𝑑𝑥2 + 𝑘1 𝛹1 = 0
solusi ∶ 𝛹𝐼 𝑥 = 𝐴1 𝑒 𝑖𝑘1 𝑥 + 𝐴2 𝑒−𝑖𝑘1 𝑥
dengan 𝑘1 =
2𝑚𝐸
ћ2

15. • Daerah II (0<x<a)

𝑑2 𝛹2
𝑑𝑥2 +
2𝑚
ћ2 (𝑉0 − 𝐸 𝛹2 = 0

𝑑2 𝛹2
𝑑𝑥2 + 𝛼2 𝛹2 = 0
solusi ∶ 𝛹𝐼𝐼 𝑥 = 𝐵1 𝑒 𝛼𝑥 + 𝐵2 𝑒−𝛼𝑥
dengan 𝛼 =
2𝑚(𝑉0−𝐸
ћ2

16. • Daerah III (x>a)

𝑑2 𝛹3
𝑑𝑥2 +
2𝑚
ћ2 𝐸𝛹3 = 0

𝑑2 𝛹3
𝑑𝑥2 + 𝑘1 𝛹3 = 0
solusi ∶ 𝛹𝐼𝐼𝐼 𝑥 = 𝐶1 𝑒 𝑖𝑘1 𝑥
+ 𝐶2 𝑒−𝑖𝑘1 𝑥
karena tidak terjadi gelombang pantul maka 𝐶2 𝑒−𝑖𝑘1 𝑥
= 0
sehingga 𝛹𝐼𝐼𝐼 𝑥 = 𝐶1 𝑒 𝑖𝑘1 𝑥

17. Selanjutnya dengan menerapkan syarat kontinuitas 𝛹(𝑥 dan 𝑑𝛹(𝑥 /𝑑𝑥 di x=0 diperoleh:
𝛹1 𝑥 = 𝛹2(𝑥
𝐴1 𝑒 𝑖𝑘1 𝑥 + 𝐴2 𝑒−𝑖𝑘1 𝑥 = 𝐵1 𝑒 𝛼𝑥 + 𝐵2 𝑒−𝛼𝑥
𝐴1 𝑒 𝑖𝑘1(0
+ 𝐴2 𝑒−𝑖𝑘1(0
= 𝐵1 𝑒 𝛼(0
+ 𝐵2 𝑒−𝛼(0
𝐴1 + 𝐴2 = 𝐵1 + 𝐵2
𝑑𝛹1 𝑥
𝑑𝑥
=
𝑑𝛹2 𝑥
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝐴1 𝑒 𝑖𝑘1 𝑥 + 𝐴2 𝑒−𝑖𝑘1 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
𝐵1 𝑒 𝛼𝑥 + 𝐵2 𝑒−𝛼𝑥
𝑖𝑘1 𝐴1 𝑒 𝑖𝑘1 𝑥
− 𝑖𝑘1 𝐴2 𝑒 𝑖𝑘1 𝑥
= 𝛼𝐵1 𝑒 𝛼𝑥
− 𝛼𝐵2 𝑒−𝛼𝑥
𝑖𝑘1 𝐴1 𝑒 𝑖𝑘1(0
− 𝑖𝑘1 𝐴2 𝑒 𝑖𝑘1(0
= 𝛼𝐵1 𝑒 𝛼(0
− 𝛼𝐵2 𝑒−𝛼(0
𝑖𝑘1 𝐴1 − 𝐴2 = 𝛼(𝐵1 − 𝐵2

18. 𝐵1 𝑒 𝛼𝑎 + 𝐵2 𝑒−𝛼𝑎 = 𝐶1 𝑒 𝑖𝑘1 𝑎
α (𝐵1 𝑒 𝛼𝑎 + 𝐵2 𝑒−𝛼𝑎 = 𝑖𝑘₁𝐶1 𝑒 𝑖𝑘1 𝑎
(6.32 a)
(6.32 b)
Dari persamaan (6.31a) sampai (6.32b) di atas diperoleh hubungan
Dan di x = a diperoleh
𝐵1 𝑒 𝛼𝑎
+ 𝐵2 𝑒−𝛼𝑎
= 𝐶1 𝑒 𝑖𝑘1 𝑎
(6.32 a)
α (𝐵1 𝑒 𝛼𝑎 + 𝐵2 𝑒−𝛼𝑎 = 𝑖𝑘₁𝐶1 𝑒 𝑖𝑘1 𝑎 (6.32 b)
(6.33 a)
(6.33 b)
(6.33 c)
(6.33 d)

19. Persamaan (6.33) memberikan batasan untuk nilai A sampai C. Pada persamaan itu
telah ditunjukkan bahwa semua tetapan telah dinyatakan dalam C1.
Dengan menggunakan persamaan (6.24), penyelesaian umum (6.29) menjadi
penyelesaian khusus sebagai berikut

20. (6.34)
Dengan A₁/C₁, A₂/C₁, B₁/C₁ dan B₂/C₁ berturut-turut mengikuti persamaan 6.33a, 6.33b, 6.33c, dan 6.33d.
Gambar 6.9 berikut menyajikan plot komponen real fungsi eigen, persamaan (6.34), tersebut
Gambar 6.9 Plot komponen real fungsi igen bagi partikel di bawah pengaruh potensial tanggul kotak,
energi total partikel kurang dari tinggi tanggul (E<V₀)

21. Besar koefisien refleksi dan transmisi partikel dapat diperoleh dari persamaan (6.33a) dan
(6.33b).
Koefisien refleksi :
Koefisien transmisi :
(6.35)
(6.36)

22. Persamaan ini menunjukkan adanya peluang bagi partikel untuk sampai di
daerah III melalui daerah II, suatu daerah yang secara klasik tidak mungkin dilewati
partikel. Gejala suksesnya partikel menembus daerah yang secara klasik terlarang ini
disebut efek penerowongan (tunneling effect).

23. Seperti pada kasus E > V0, berdasarkan Persamaan (6.36) tersebut kita
juga mendapati bahwa besarnya koefisien transmisi juga bergantung
pada lebar tanggul