Mathematic

1. ✿Distribusi
Normal
NAMA ANGGOTA :
Dinda Hati Suci (10)
Febriyanti Oktavia (16)
Hanum Sekar Sari (19)
Muslimah Nursinta (23)
Naufal Styabagas A. (25)
Roosyidah Ariibah A. (30)

2. pengertian
Distribusi normal disebut juga distribusi
Gauss, Nama tersebut diambil dari nama
belakang seorang matematikawan dari
Jerman yaitu Johann Carl Friedrich Gauss
(1777-1855). Banyak permasalahan sehari-
hari yang dapat diselesaikan menggunakan
distribusi normal.

3. Distribusi Peluang
Variabel Acak Kontinu
“ “
Variabel acak kontinu memiliki nilai berupa bilangan real sehingga nilai-nilai variabel
acak kontinu 𝑋 dinyatakan dalam bentuk interval α < 𝑋 < 𝑏 atau batas-batas lain.
Fungsi peluang variabel acak kontinu disebut fungsi kepadatan peluang. Fungsi
kepadatan peluang 𝑓 𝑥 memiliki sifat-sifat berikut.
a) 0 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 1 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑡𝑖𝑎𝑝 𝑥.
b) 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝑑𝑎𝑒𝑟𝑎ℎ 𝑑𝑖 𝑏𝑎𝑤𝑎ℎ 𝑘𝑢𝑟𝑣𝑎 𝑓 𝑥 𝑠𝑎𝑚𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 1.
c) 𝑃𝑒𝑙𝑢𝑎𝑛𝑔 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑒𝑙 𝑎𝑐𝑎𝑘 𝑋 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙 α ≤ 𝑋 ≤ 𝑏
𝑠𝑎𝑚𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑙𝑢𝑎𝑠 𝑑𝑎𝑒𝑟𝑎ℎ 𝑑𝑖 𝑏𝑎𝑤𝑎ℎ 𝑘𝑢𝑟𝑣𝑎 𝑓 𝑥 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑖𝑏𝑎𝑡𝑎𝑠𝑖 𝑜𝑙𝑒ℎ 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑥 = 𝑎 𝑑𝑎𝑛 𝑥 =
𝑃𝑒𝑙𝑢𝑎𝑛𝑔 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑒𝑙 𝑎𝑐𝑎𝑘 𝑋 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙 𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏 𝑑𝑖𝑛𝑦𝑎𝑡𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛
𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) =
𝑎
𝑏
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥.
𝑏.
Catatan:
Pada fungsi peluang variabel acak kontinu,
nilai 𝑃 𝑋 ≤ 𝑎 = 𝑃 𝑋 < 𝑎 , 𝑃 𝑋 ≥ 𝑏 = 𝑃 𝑋 > 𝑏 , 𝑑𝑎𝑛
𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 < 𝑏) = 𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝑏) = 𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝑏).

4. “Fungsi Distribusi Kumulatif
Variabel Acak Kontinu
Misalkan 𝑋 adalah variabel acak kontinu dan 𝑓(𝑥) yang terdefinisi pada interval 𝑎 ≤ 𝑥 ≤
𝑏 merupakan fungsi peluang variabel acak 𝑋, maka fungsi distribusi kumulatif dari
variabel acak 𝑋 didefinisikan sebagai:
𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) =
𝑎
𝑥
𝑓(𝑘) 𝑑𝑘
a. 𝑁𝑖𝑙𝑎𝑖 𝐹(𝑎) = 0 𝑑𝑎𝑛 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝐹(𝑏) = 1.
b. Untuk 𝑎 ≤ 𝑥1 < 𝑥₂ ≤ 𝑏 diperoleh:
1) 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝐹(𝑥1) < 𝐹(𝑥2);
2) 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑃(𝑥1 ≤ 𝑋 ≤ 𝑥2) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥₂) − 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥₁) = 𝐹(𝑥2) − 𝐹(𝑥1).
c. 0 ≤ 𝐹(𝑥) ≤ 1 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑡𝑖𝑎𝑝 𝑥.
d.
𝑑
𝑑𝑥
𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑥).
Fungsi distribusi kumulatif variabel acak 𝑋 pada interval 𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏 memiliki sifat-sifat berikut:

5. Fungsi Distribusi PeluangVariabel Acak
Berdistribusi Normal
𝑓(𝑥)
𝑥
𝑥 = 𝜇
0
Variabel acak 𝑋 yang memiliki peluang berdistribusi normal
dilambangkan dengan 𝑋~𝑁(𝜇, 𝜎), dibaca 𝑋 berdistribusi
normal dengan rata-rata 𝜇 dan simpangan baku 𝜎. Distribusi
peluang variabel acak 𝑋~𝑁(𝜇, 𝜎) seperti diatas. Luas daerah di
bawah kurva normal sama dengan 1. Fungsi distribusi peluang
variabel acak 𝑋~𝑁(µ, 𝜎) didefinisikan sebagai berikut.
𝐹 𝑥 = 𝑃 𝑋 = 𝑥 =
1
𝜎 2𝜋
𝑒
1
2
𝑥−𝜇
𝜎
2
𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 − ∞ < 𝑥 < ∞
Peluang variabel acak 𝑋~𝑁(µ, 𝜎) pada interval 𝑎 < 𝑋 > 𝑏 dinyatakan dengan:
𝑃 𝑎 < 𝑋 < 𝑏 =
1
𝜎 2𝜋
𝑎
𝑏
𝑒
−
1
2
𝑥−𝜇
𝜎
2
𝑑𝑥

6. Fungsi Distribusi KumulatifVariabelAcak
Berdistribusi Normal
“
”
Fungsi distribusi kumulatif variabel acak 𝑋~𝑁(µ, 𝜎) didefinisikan sebagai
Peluang variabel acak 𝑋 ~ 𝑁(𝜇, 𝜎) pada interval 𝑎 < 𝑋 < 𝑏 dinyatakan dengan:
𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝑏) = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎).
𝐹 𝑥 = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 =
−∞
𝑥
𝐹 𝑥 𝑑𝑥 =
1
𝜎 2𝜋
−∞
𝑥
𝑒
1
2
𝑥−𝜇
𝜎
2
𝑑𝑥

7. Fungsi Distribusi PeluangVariabelAcak
Berdistribusi Normal Baku
“
”
𝑓(𝑧)
𝑧
𝑧 = 0
1
2𝜋
Jika 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝜇 = 0 𝑑𝑎𝑛 𝜎 = 1, diperoleh distribusi normal
baku (standar). Variabel acak 𝑍 berdistribusi normal
baku dilambangkan dengan 𝑍~𝑁(0,1). Fungsi distribusi
peluang variabel acak 𝑍~𝑁(0,1) didefinisikan sebagai:
Distribusi peluang variabel acak 𝑍~ 𝑁(0, 1) seperti
Gambar diatas. Fungsi distribusi kumulatif variabel
acak 𝑍~𝑁(0, 1) didefinisikan sebagai:
𝐹 𝑧 = 𝑃 𝑍 = 𝑧 =
1
𝜎 2𝜋
𝑒−
1
2
𝑧2
𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 − ∞ < 𝑧 < ∞
𝐹 𝑧 = 𝑃 𝑍 ≤ 𝑧 =
−∞
𝑧
𝐹 𝑧 𝑑𝑧 =
1
𝜎 2𝜋
−∞
𝑧
𝑒 −
1
2
𝑧2
𝑑𝑧

8. PeluangVariabelAcak
𝑍 − 𝑁 (0,1)
“
”
Peluang variabel acak 𝑍~ 𝑁(0, 1) sama dengan luas daerah di bawah kurva normal baku. Kurva
normal baku 𝑁(0, 1) simetris terhadap garis 𝑧 = 0 dan luas daerah di bawah kurva sama dengan
1 sehingga luas daerah di kiri dan kanan garis 𝑧 = 0 adalah sama yaitu sama dengan 0,5.
Peluang variabel acak 𝑍 − 𝑁(0, 1) pada interval 𝑎 < 𝑍 < 𝑏 dinyatakan dengan:
𝑃 𝑎 < 𝑍 < 𝑏 =
1
𝜎 2𝜋
𝑎
𝑏
𝑒 −
1
2𝑧2
𝑑𝑧
Dalam menentukan peluang variabel acak 𝑍~ 𝑁(0, 1),
kita tidak perlu menghitungnya dengan rumus integral
seperti di atas. Peluang variabel acak 𝑍~ 𝑁(0, 1) dapat
kita tentukan menggunakan bantuan tabel distribusi 𝑍
(tabel distribusi normal baku).Dalam buku ini tabel
distribusi 𝑍 yang disajikan mewakili luas daerah di bawah
kurva dari interval −∞ 𝑘𝑒 𝑧1𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑃(𝑍 < 𝑧1). Cara
menentukan peluang variabel acak 𝑍~ 𝑁(0, 1) sebagai
berikut. Misalkan akan di cari nilai 𝑃(𝑍 < 1,13). Daerah
yang diarsir berikut menggambarkan luas daerah di
samping kurva normal baku pada interval 𝑍 < 1,13.
𝑓(𝑧)
𝑧
0 𝑧 = 1,13

9. 𝒛 0,01 0,02 0,03 0,04
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0,6915 0,6985 0.7019 0,7054
0,6915 0,7324 0,7357 0.7389
0,7580 0,7642 0.7673 0,7704
0,7910 0,7939 0,7967 0,7995
0,8186 0,8212 0,8238 0,8264
0,8438 0,8461 0,8485 0,8508
1,1 0,8438 0,8686 0,8708 0,8729
1,2
1,3
0,8869 0,8888 0,8907 0,8925
0,9049 0,9066 0,9082 0,9099
Luas daerah yang diarsir pada Gambar 3.8
dicari dengan cara berikut. Batas kiri
interval adalah 𝑧₁ = −∞ dan batas
kanannya 𝑧₂ = 1,13 = 1,1 + 0,03.
a. 𝐵𝑎𝑡𝑎𝑠 𝑘𝑖𝑟𝑖 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑧1 = −∞
𝑑𝑎𝑛 𝑏𝑎𝑡𝑎𝑠 𝑘𝑎𝑛𝑎𝑛𝑛𝑦𝑎 𝑧2 = 1,13 = 1,1 + 0,03
b. 𝑃𝑒𝑟ℎ𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑠𝑖 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑏𝑎𝑘𝑢.
𝑃𝑖𝑙𝑖ℎ𝑙𝑎ℎ 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 1,1 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑘𝑜𝑙𝑜𝑚 𝑝𝑎𝑙𝑖𝑛𝑔 𝑘𝑖𝑟𝑖
𝑑𝑎𝑛 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 0,03 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑝𝑎𝑙𝑖𝑛𝑔 𝑎𝑡𝑎𝑠.
𝑃𝑒𝑟𝑡𝑒𝑚𝑢𝑎𝑛 𝑎𝑛𝑡𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠 1,1 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑘𝑜𝑙𝑜𝑚 0,03
𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑙𝑢𝑎𝑠 𝑑𝑎𝑒𝑟𝑎ℎ 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑖𝑎𝑟𝑠𝑖𝑟.
Dari Tabel di samping diperoleh luas daerah yang
diarsir pada 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙 2 < 1,13
𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 0,8708. 𝐽𝑎𝑑𝑖, 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑃(𝑍 < 1,13) = 0,8708.
Jadi, nilai 𝑃 𝑎 < 𝑍 < 1,13 = 0,8708

10. “Fungsi Peluang Variabel Acak
𝑋~𝑁(µ, 𝜎)
Peluang variabel acak 𝑋~𝑁 µ, 𝜎 sama dengan luas daerah di bawah kurva normal 𝑁 µ, 𝜎 . Luas
daerah di bawah kurva normal 𝑁(µ, 𝜎) dapat ditentukan dengan cara mentransformasikan
variabel acak 𝑋~𝑁 µ, 𝜎 menjadi variabel acak 𝑍 ~𝑁 µ, 𝜎 menggunakan rumus 𝑧 =
𝑥−𝜇
𝜎
.
Jika variabel acak 𝑋~𝑁(µ, 𝜎)maka:
𝑃(𝑋 < 𝑥) = 𝑃(𝑍 <
𝑥−𝜇
𝜎
𝑑𝑎𝑛 𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝑏) = 𝑃
𝑎−𝜇
𝜎
< 𝑍 <
𝑏−𝜇
𝜎

11. 1. Diketahui fungsi distribusi kumulatif suatu variabel
acak kontinu berikut
𝑓 𝑥
0, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 ≤ 2
𝑥2 − 4𝑥 + 4
16
𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 2 < 𝑥 ≤ 6
1, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 ≥ 6
Fungsi distribusi peluang variabel acak 𝑋 adalah....
𝑓 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
𝐹 𝑥 → 2 < 𝑥 ≤ 6
𝑓 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑥2
− 4𝑥 + 4
16
= 2 ∙
1
16
𝑥 −
4
16
=
1
8
𝑥 −
2
8
=
𝑥 − 2
8
(𝐵)
Contoh soal!
Penyelesaian :
Maka :
a. 𝑓 𝑥 =
0, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑙𝑎𝑖𝑛
𝑥−4
8
, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 2 < 𝑥 ≤ 6
b. 𝑓 𝑥 =
0, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑙𝑎𝑖𝑛
𝑥−2
8
, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 2 < 𝑥 ≤ 6
c. 𝑓 𝑥 =
0, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑙𝑎𝑖𝑛
2−𝑥
8
, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 2 < 𝑥 ≤ 6
d. 𝑓 𝑥 =
0, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑙𝑎𝑖𝑛
2−𝑥
16
, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 2 < 𝑥 ≤ 6
e. 𝑓 𝑥 =
0, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑙𝑎𝑖𝑛
4−𝑥
16
, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 2 < 𝑥 ≤ 6

12. “ “
Contoh soal!
2. Jika variabel acak 𝑧~𝑁 0,1 , 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑃(𝑍 ≥ 1,12) adalah....
𝒛 0 0,01 0,02 0,03
1,0 0,8413 0,8438 0,8462 0,8485
1,1 0,8643 0,8555 0,5686 0,8708
1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907
1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082
𝑧 ∼ 𝑁 0,1
𝑃(𝑧 ≥ 1,12)
Penyelesaian :
Diket :
1. Mencari 1,1 pada tabel
2. Mencari 0,02 pada tabel
3. 𝑃 𝑧 ≥ 1,12 + 𝑃 𝑧 ≥ 1,12 = 1
4. 𝑃 𝑧 ≥ 1,12 = 1 − 𝑃(𝑧 ≥ 1,12)
= 1 − 0,8686
= 0,1314

13. Contoh soal!
3. Sebuah mesin pengisi air minum diatur sedemikian hingga dapat mengisi gelas rata rata 200ml. Air yang
diisikan mesin ke gelas berdistribusi normal dengan simpangan baku 10ml. Gelas yang berisi air minum
lebih dari 201ml sebesar...
Penyelesaian :
Diket : 𝜇 = 200
𝜎 = 10
Ditanya 𝑃(𝑥 > 201)?
Dijwb :
𝑃 𝑥 ≤ 201 = 𝑃 𝑧 <
201 − 200
10
= 𝑃 𝑧 < 0,1
𝒛 0 0,01 0,02
0,0 0,5000 0,5040 0,5080
0,1 0,5398 0,5438 0,5478
0,2 0,5793 0,5832 0,5871
0,3 0,6179 0,6217 0,6255
Substitusi :
𝑃 𝑥 > 201 = 1 − 𝑃 𝑥 < 201
= 1 − 0,5398
= 0,4602 × 100%
= 46,02%
Pada tabel menunjukkan 0,5398

14. THANK YOU
Any Question?