מתוך אתר של יוסי דהן: https://sites.google.com/site/matematikabomez/omez32

1. ‫לנסות‬ ‫חדלת‬ ‫לא‬ ‫עוד‬ ‫כל‬ ‫נכשלת‬ ‫לא‬0‫תשע"ג‬ ‫לשנת‬ ‫מעודכן‬
‫חלק‬4-‫דיפרנציאלי‬ ‫חשבון‬-‫קיצון‬ ‫ערך‬ ‫בעיות‬0.‫דהן‬ ‫יוסי‬ :‫וערך‬ ‫כתב‬
: ‫שלישית‬ ‫יחידה‬30803
‫חלק‬1'‫א‬‫חקירת‬:‫פונקציה‬
‫שורש‬ , ‫איקס‬ ‫חלקי‬ ‫אחד‬ , ‫פולינום‬ ‫מסוג‬ ‫פונקציה‬
‫חלק‬1‫א‬'‫משיק‬ ‫משוואת‬
‫שורש‬ , ‫איקס‬ ‫חלקי‬ ‫אחד‬ , ‫פולינום‬ ‫מסוג‬ ‫פונקציה‬
‫חלק‬2‫שטח‬ ‫ומציאת‬ ‫קדומה‬ ‫פונקציה‬ : ‫אינטגרל‬
‫בלבד‬ ‫פולינום‬ ‫של‬ ‫פונקציה‬
‫חלק‬0‫א‬'‫גיא‬:‫אנליטית‬ ‫ומטריה‬‫מקביל‬ ‫מאונך‬
‫חלק‬0‫ב‬':‫אנליטית‬ ‫גיאומטריה‬‫מעגל‬
‫חלק‬4: ‫קיצון‬ ‫בעיות‬-‫פתרונות‬
‫שורש‬ , ‫איקס‬ ‫חלקי‬ ‫אחד‬ , ‫פולינום‬ ‫מסוג‬ ‫פונקציה‬
‫חלק‬3:‫מילוליות‬ ‫בעיות‬
,‫ומכירה‬ ‫קנייה‬ ,‫תנועה‬
‫דהן‬ ‫יוסי‬ :‫וערך‬ ‫כתב‬

2. ‫לנסות‬ ‫חדלת‬ ‫לא‬ ‫עוד‬ ‫כל‬ ‫נכשלת‬ ‫לא‬1‫תשע"ג‬ ‫לשנת‬ ‫מעודכן‬
‫חלק‬4-‫דיפרנציאלי‬ ‫חשבון‬-‫קיצון‬ ‫ערך‬ ‫בעיות‬1.‫דהן‬ ‫יוסי‬ :‫וערך‬ ‫כתב‬
1:‫ומספרים‬ ‫משוואות‬ .
‫מס‬ ‫שאלה‬‫פר‬1:‫בגרות‬ ‫מבחן‬03330‫תש"ע‬ ‫קיץ‬ '‫ב‬ ‫מועד‬
‫מספרים‬ ‫שני‬ ‫כל‬ ‫מבין‬x‫ו‬–y‫(ה‬‫מאפס‬ ‫גדולים‬)‫המקיימים‬24 yx
)‫(א‬?‫מקסימלית‬ ‫תהיה‬ ‫האחר‬ ‫של‬ ‫בריבוע‬ ‫מהם‬ ‫אחד‬ ‫שמכפלת‬ ‫כדי‬ , ‫המספרים‬ ‫שני‬ ‫להיות‬ ‫צריכים‬ ‫מה‬
)‫(ב‬‫המספ‬ ‫אחד‬ ‫(של‬ ‫המקסימלית‬ ‫המכפלה‬ ‫מהי‬? )‫האחר‬ ‫של‬ ‫בריבוע‬ ‫רים‬
:‫פתרון‬
‫נ‬‫סמן‬‫אחד‬ ‫מספר‬-x‫שני‬ ‫ומספר‬-y
‫נתוני‬‫ם‬
‫הוא‬ ‫מספרים‬ ‫שני‬ ‫של‬ ‫הסכום‬44
‫המטרה‬ ‫פונקציית‬
‫מקסימלית‬ ‫תהיה‬ ‫האחר‬ ‫של‬ ‫בריבוע‬ ‫מהם‬ ‫אחד‬ ‫מכפלת‬
:‫הראשון‬ ‫המספר‬16x: ‫השני‬ ‫המספר‬
‫סופית‬ ‫תשובה‬:
‫מספר‬ )‫(א‬‫אחד‬:8‫מספר‬‫שני‬:16)‫(ב‬max048,2p
xyx
yx


24,
24
‫הפונקציה‬
2048
)16()16(24
16
24
32
32




p
p
x
xxp
22
2
2
24
)24(
max
xxp
xxp
yxp



‫ראשונה‬ ‫נגזרת‬
160
)348(0
3480
0'
348'
21
2
2





xx
xx
xx
p
xxp
‫שנייה‬ ‫נגזרת‬
max48)16(648)16("
min48)0(648)0("
648"



xp
xp
xp
8
)16(24
16
24




y
y
x
xy
‫התשובה‬ ‫סיכום‬
2048
8
max16



p
y
x

3. ‫לנסות‬ ‫חדלת‬ ‫לא‬ ‫עוד‬ ‫כל‬ ‫נכשלת‬ ‫לא‬4‫תשע"ג‬ ‫לשנת‬ ‫מעודכן‬
‫חלק‬4-‫דיפרנציאלי‬ ‫חשבון‬-‫קיצון‬ ‫ערך‬ ‫בעיות‬4.‫דהן‬ ‫יוסי‬ :‫וערך‬ ‫כתב‬
‫מספר‬ ‫שאלה‬2‫בגרות‬ ‫מבחן‬ :03830‫תשס"ט‬ ‫קיץ‬ '‫ב‬ ‫מועד‬
‫מספרים‬ ‫שני‬ ‫כל‬ ‫מבין‬x‫ו‬–y‫(ה‬‫מאפס‬ ‫גדולים‬)‫המקיימים‬10 yx
)‫(א‬.‫מינימלי‬ ‫יהיה‬ ‫שלהם‬ ‫הריבועים‬ ‫שסכום‬ ‫כדי‬ , ‫המספרים‬ ‫שני‬ ‫להיות‬ ‫צריכים‬ ‫מה‬ ‫מצא‬
)‫(ב‬‫המספ‬ ‫שני‬ ‫של‬ ‫המינימלי‬ ‫הריבועים‬ ‫סכום‬ ‫את‬ ‫מצא‬.‫רים‬
:‫פתרון‬
‫נ‬‫סמן‬‫אחד‬ ‫מספר‬-x‫שני‬ ‫ומספר‬-y
‫נתונים‬
‫הוא‬ ‫מספרים‬ ‫שני‬ ‫של‬ ‫הסכום‬10
‫המטרה‬ ‫פונקציית‬
‫מינימלי‬ ‫יהיה‬ ‫שלהם‬ ‫הריבועים‬ ‫סכום‬
‫המספ‬:‫הראשון‬ ‫ר‬5x: ‫השני‬ ‫המספר‬
‫סופית‬ ‫תשובה‬:
()‫א‬.‫מספר‬‫אחד‬:5‫מספר‬‫שני‬5)‫(ב‬min50p
xyx
yx


10,
10
‫הפונקציה‬
50
100)5(20)5(2
5
100202
2
2




p
p
x
xxp
100202
20100
)10(
max
2
22
22
22




xxp
xxxp
xxp
yxp
‫ראשונה‬ ‫נגזרת‬
5
204
2040
0'
204'





x
x
x
p
xp
‫שנייה‬ ‫נגזרת‬
min4" p
5
)5(10
10
10




y
y
x
xy

4. ‫לנסות‬ ‫חדלת‬ ‫לא‬ ‫עוד‬ ‫כל‬ ‫נכשלת‬ ‫לא‬3‫תשע"ג‬ ‫לשנת‬ ‫מעודכן‬
‫חלק‬4-‫דיפרנציאלי‬ ‫חשבון‬-‫קיצון‬ ‫ערך‬ ‫בעיות‬3.‫דהן‬ ‫יוסי‬ :‫וערך‬ ‫כתב‬
‫מספר‬ ‫שאלה‬0:‫בגרות‬ ‫מבחן‬03330‫תשס"ח‬ ‫קיץ‬ '‫ב‬ ‫מועד‬
‫מספרים‬ ‫שני‬ ‫כל‬ ‫מבין‬x‫ו‬–y‫המקיימים‬502  yx
)‫(א‬‫מינימלי‬ ‫ריבועיהם‬ ‫שסכום‬ ‫המספרים‬ ‫שני‬ ‫את‬ ‫מצא‬
(‫ב‬)‫מה‬‫ו‬.‫מינימלי‬ ‫ריבועיהם‬ ‫סכום‬
:‫פתרון‬
‫נ‬‫סמן‬‫אחד‬ ‫מספר‬-x‫שני‬ ‫ומספר‬-y
‫נתונים‬
‫מקיימים‬502  yx.
‫המטרה‬ ‫פונקציית‬
‫מינימלי‬ ‫ריבועיהם‬ ‫סכום‬.
:‫הראשון‬ ‫המספר‬20x: ‫השני‬ ‫המספר‬
‫תשובה‬‫סופית‬:
)‫(א‬10y20x (‫ב‬)min500p
xyx
yx
250,
502


‫הפונקציה‬
500
2500)20(200)20(5
20
25002005
2
2




p
p
x
xxp
25002005
42002500
)250(
min
2
22
22
22




xxp
xxxp
xxp
yxp
‫ראשונה‬ ‫נגזרת‬
20
20010
200100
0'
20010'





x
x
x
p
xp
10
)20(250
20
250




y
y
x
xy
‫שנייה‬ ‫נגזרת‬
Max/min
min10)('' xP

5. ‫לנסות‬ ‫חדלת‬ ‫לא‬ ‫עוד‬ ‫כל‬ ‫נכשלת‬ ‫לא‬4‫תשע"ג‬ ‫לשנת‬ ‫מעודכן‬
‫חלק‬4-‫דיפרנציאלי‬ ‫חשבון‬-‫קיצון‬ ‫ערך‬ ‫בעיות‬4.‫דהן‬ ‫יוסי‬ :‫וערך‬ ‫כתב‬
‫מספר‬ ‫שאלה‬4:‫בגרות‬ ‫מבחן‬03330‫מועד‬‫נובמבר‬2338‫תשס"ח‬
‫המספרים‬ ‫כל‬ ‫מבין‬x‫ו‬-y‫המקיימים‬202  yx,
)‫(א‬‫המספרים‬ ‫שני‬ ‫את‬ ‫מצא‬‫ריבועיהם‬ ‫שסכום‬‫הוא‬.‫מינימלי‬
(‫ב‬)‫מה‬‫ו‬.‫מינימלי‬ ‫ריבועיהם‬ ‫סכום‬
:‫פתרון‬
‫נ‬‫סמן‬‫אחד‬ ‫מספר‬-x‫שני‬ ‫ומספר‬-y
‫נתונים‬
‫מקיימים‬202  yx.
‫המטרה‬ ‫פונקציית‬
‫מינימלי‬ ‫ריבועיהם‬ ‫סכום‬.
:‫הראשון‬ ‫המספר‬8x‫השני‬ ‫המספר‬:
‫תשובה‬‫סופית‬:
)‫(א‬48  yx(‫ב‬)min80p
xyx
yx
220,
202


‫הפונקציה‬
80
400)8(80)8(5
8
400805
2
2




p
p
x
xxp
400805
480400
)220(
min
2
22
22
22




xxp
xxxp
xxp
yxp
‫ראשונה‬ ‫נגזרת‬
8
8010
80100
0'
8010'





x
x
x
P
xP
4
)8(220
8
220




y
y
x
xy
‫שנייה‬ ‫נגזרת‬
Max/min
min10'' P

6. ‫לנסות‬ ‫חדלת‬ ‫לא‬ ‫עוד‬ ‫כל‬ ‫נכשלת‬ ‫לא‬5‫תשע"ג‬ ‫לשנת‬ ‫מעודכן‬
‫חלק‬4-‫דיפרנציאלי‬ ‫חשבון‬-‫קיצון‬ ‫ערך‬ ‫בעיות‬5.‫דהן‬ ‫יוסי‬ :‫וערך‬ ‫כתב‬
‫מספר‬ ‫שאלה‬3:‫בגרות‬ ‫מבחן‬03830‫קיץ‬ ‫גנוז‬ ‫מועד‬2311.
.)‫(א‬‫החיוביים‬ ‫המספרים‬ ‫כל‬ ‫מבין‬x‫ו‬–y‫המקיימים‬75 yx
‫הסכום‬ ‫שעבורם‬ ‫המספרים‬ ‫שני‬ ‫את‬ ‫מצא‬yx 3.‫מינימלי‬ ‫הוא‬
.)‫(ב‬. ‫זה‬ ‫סכום‬ ‫של‬ ‫המינימלי‬ ‫הערך‬ ‫את‬ ‫מצא‬
:‫פתרון‬
‫נ‬‫סמן‬‫אחד‬ ‫מספר‬-x‫שני‬ ‫ומספר‬-y
‫נתונים‬
‫המקיימים‬ ‫המספרים‬75 yx
‫המטרה‬ ‫פונקציית‬
‫סכום‬yx 3‫מינימלי‬ ‫הוא‬
:‫הראשון‬ ‫המספר‬5x: ‫השני‬ ‫המספר‬
‫סופית‬ ‫תשובה‬:
.)‫(א‬155  yx.)‫(ב‬min30p
x
yx
yx
75
,
75


‫הפונקציה‬
30
5
75
)5(3
5
75
3




p
p
x
x
xp
x
xp
yxp
75
3
min3


‫ראשונה‬ ‫נגזרת‬
55
2525
753
7530
753
0
0'
753
'
75
3'
21
2
2
2
2
2
2
2
2










xx
xx
x
x
x
x
P
x
x
P
x
P
15
5
75
5
75




y
y
x
x
y
‫שנייה‬ ‫נגזרת‬
Max/min
)‫המונה‬ ‫את‬ ‫לגזור‬ ‫מספיק‬ ‫סימן‬ ‫לקבוע‬ ‫(כדי‬
max30)5(6)5(''
min30)5(6)5(''
6)(''



P
P
xxP

7. ‫לנסות‬ ‫חדלת‬ ‫לא‬ ‫עוד‬ ‫כל‬ ‫נכשלת‬ ‫לא‬6‫תשע"ג‬ ‫לשנת‬ ‫מעודכן‬
‫חלק‬4-‫דיפרנציאלי‬ ‫חשבון‬-‫קיצון‬ ‫ערך‬ ‫בעיות‬6.‫דהן‬ ‫יוסי‬ :‫וערך‬ ‫כתב‬
‫מספר‬ ‫שאלה‬6.‫בגרות‬ ‫מבחן‬03830‫תשע"ג‬ ‫חורף‬ ‫מועד‬2310.
‫המספרים‬ ‫זוגות‬ ‫כל‬ ‫מבין‬ .)‫(א‬‫החיוביים‬x‫ו‬-z‫המקיימים‬48 zx,
‫הסכום‬ ‫שעבורם‬ ‫המספרים‬ ‫זוג‬ ‫את‬ ‫מצא‬zx 3.‫מינימלי‬ ‫הוא‬
‫המינימלי‬ ‫הסכום‬ ‫מהו‬ .)‫(ב‬?
:‫פתרון‬
‫נ‬‫סמן‬‫אחד‬ ‫מספר‬-x‫שני‬ ‫ומספר‬-z
‫נתונים‬
‫המספרים‬‫המקיימים‬48 zx,
‫המטרה‬ ‫פונקציית‬
‫סכום‬zx 3‫מינימלי‬ ‫הוא‬.
:‫הראשון‬ ‫המספר‬12x: ‫השני‬ ‫המספר‬
:‫סופית‬ ‫תשובה‬
)‫(א‬412  zx)‫(ב‬min24p
x
zx
zx
48
,
50


‫הפונקציה‬
24
12
144
)12(1
12
144
1




p
p
x
x
xp
x
xp
x
xp
zxp
144
48
3
min3



‫ראשונה‬ ‫נגזרת‬
1212
144144
14410
1441
0
0'
1441
'
144
1'
21
2
2
2
2
2
2
2









xx
xx
x
x
x
p
x
x
p
x
p
4
12
48
12
48




z
z
x
x
z
‫שנייה‬ ‫נגזרת‬
Max/min
)‫המונה‬ ‫את‬ ‫לגזור‬ ‫מספיק‬ ‫סימן‬ ‫לקבוע‬ ‫(כדי‬
max24)12(2)12(''
min24)12(2)12(''
2)(''



P
P
xxP

8. ‫לנסות‬ ‫חדלת‬ ‫לא‬ ‫עוד‬ ‫כל‬ ‫נכשלת‬ ‫לא‬7‫תשע"ג‬ ‫לשנת‬ ‫מעודכן‬
‫חלק‬4-‫דיפרנציאלי‬ ‫חשבון‬-‫קיצון‬ ‫ערך‬ ‫בעיות‬7.‫דהן‬ ‫יוסי‬ :‫וערך‬ ‫כתב‬
‫מספר‬ ‫שאלה‬7.‫בגרות‬ ‫מבחן‬03830‫מועד‬'‫א‬‫קיץ‬‫תשע"ג‬0231.
‫החיוביים‬ ‫המספרים‬ ‫כל‬ ‫מבין‬x‫ו‬–y‫המקיימים‬42
 yx,
‫הסכום‬ ‫שעבורם‬ ‫המספרים‬ ‫שני‬ ‫את‬ ‫מצא‬yx .‫מינימלי‬ ‫הוא‬
:‫פתרון‬
‫נ‬‫סמן‬‫אחד‬ ‫מספר‬-x‫שני‬ ‫ומספר‬-y
‫נתונים‬
‫המקיימים‬ ‫המספרים‬42
 yx
‫המטרה‬ ‫פונקציית‬
‫הסכום‬ ‫שעבורם‬yx .‫מינימלי‬ ‫הוא‬
:‫הראשון‬ ‫המספר‬2x: ‫השני‬ ‫המספר‬
:‫סופית‬ ‫תשובה‬
12  yx
2
2
4
,
4
x
yx
yx


‫הפונק‬‫ציה‬
3
)2(
4
)2(
2
4
2
2




p
p
x
x
xp
2
4
min
x
xp
yxp


‫ראשונה‬ ‫נגזרת‬
280
)8(0
80
81
0
0'
81
'
8
1'
)(
24
1'
2
3
1
3
4
4
4
4
4
4
22
xxx
xx
xx
x
xx
p
x
xx
p
x
x
p
x
x
p











1
)2(
4
2
4
2
2




y
y
x
x
y
‫שנייה‬ ‫נגזרת‬
Max/min
)‫המונה‬ ‫את‬ ‫לגזור‬ ‫מספיק‬ ‫סימן‬ ‫לקבוע‬ ‫(כדי‬
max88)0(4)0(''
min248)2(4)2(''
84)(''
3
3



f
f
xxf

9. ‫לנסות‬ ‫חדלת‬ ‫לא‬ ‫עוד‬ ‫כל‬ ‫נכשלת‬ ‫לא‬8‫תשע"ג‬ ‫לשנת‬ ‫מעודכן‬
‫חלק‬4-‫דיפרנציאלי‬ ‫חשבון‬-‫קיצון‬ ‫ערך‬ ‫בעיות‬8.‫דהן‬ ‫יוסי‬ :‫וערך‬ ‫כתב‬
‫מספר‬ ‫שאלה‬8.
‫הוא‬ ‫חיוביים‬ ‫מספרים‬ ‫שלושה‬ ‫של‬ ‫הסכום‬74.
‫המספר‬‫גדול‬ ‫השני‬‫פי‬4.‫הראשון‬ ‫מהמספר‬
)‫(א‬‫ב‬ ‫סמן‬–x.‫השלישי‬ ‫המספר‬ ‫את‬ ‫באמצעותו‬ ‫והבע‬ , ‫הראשון‬ ‫המספר‬ ‫את‬
‫של‬ ‫הערך‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )‫(ב‬x.‫מקסימלית‬ ‫תהיה‬ ‫המספרים‬ ‫שלושת‬ ‫מכפלת‬ ‫שעבורו‬
)‫(ג‬‫מ‬ ‫תהיה‬ ‫שמכפלתם‬ ‫כדי‬ ‫המספרים‬ ‫שלושת‬ ‫להיות‬ ‫צריכים‬ ‫מה‬‫ק‬?‫סימלית‬
:‫פתרון‬
‫נ‬‫סמן‬‫אחד‬ ‫מספר‬-x‫שני‬ ‫ומספר‬-2x‫שלישי‬ ‫מספר‬-y
‫נתונים‬
‫שלושה‬ ‫של‬ ‫הסכום‬‫חיוביים‬ ‫מספרים‬74
‫המטרה‬ ‫פונקציית‬
‫מכפלתם‬‫של‬‫מ‬ ‫שתהיה‬ ‫המספרים‬ ‫שלושת‬‫ק‬‫סימלית‬
:‫הראשון‬ ‫המספר‬161 x
‫השני‬ ‫המספר‬:321622 x
‫השליש‬ ‫המספר‬‫י‬:
:‫סופית‬ ‫תשובה‬
)‫(א‬x372)‫(ב‬16x(‫ג‬)24,32,16
)372(),2(),(
722
xyxx
yxx


‫הפונקציה‬
288,12
)16(6)16(144
16
6144
32
32




p
p
x
xxp
32
2
6144
)372(2
max)372()2()(
xxp
xxp
xxxp



‫ראשונה‬ ‫נגזרת‬
160
)18288(0
182880
0'
18288'
21
2
2





xx
xx
xx
P
xxP
24)16(3723 x
‫שנייה‬ ‫נגזרת‬
Max/min
min288)0(36288)0(''
max288)16(36288)16(''
36288)(''



P
P
xxP

10. ‫לנסות‬ ‫חדלת‬ ‫לא‬ ‫עוד‬ ‫כל‬ ‫נכשלת‬ ‫לא‬9‫תשע"ג‬ ‫לשנת‬ ‫מעודכן‬
‫חלק‬4-‫דיפרנציאלי‬ ‫חשבון‬-‫קיצון‬ ‫ערך‬ ‫בעיות‬9.‫דהן‬ ‫יוסי‬ :‫וערך‬ ‫כתב‬
‫מספר‬ ‫שאלה‬9:‫מבחן‬‫בגרות‬30803‫מועד‬‫תשע"ב‬ ‫קיץ‬2312.
‫הוא‬ ‫חיוביים‬ ‫מספרים‬ ‫שלושה‬ ‫של‬ ‫הסכום‬18.
‫המספר‬‫פי‬ ‫גדול‬ ‫השני‬4.‫הראשון‬ ‫מהמספר‬
)‫(א‬‫ב‬ ‫סמן‬–x.‫השלישי‬ ‫המספר‬ ‫את‬ ‫באמצעותו‬ ‫והבע‬ , ‫הראשון‬ ‫המספר‬ ‫את‬
‫של‬ ‫הערך‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )‫(ב‬x.‫מקסימלית‬ ‫תהיה‬ ‫המספרים‬ ‫שלושת‬ ‫מכפלת‬ ‫שעבורו‬
)‫(ג‬‫צרי‬ ‫מה‬‫מ‬ ‫תהיה‬ ‫שמכפלתם‬ ‫כדי‬ ‫המספרים‬ ‫שלושת‬ ‫להיות‬ ‫כים‬‫ק‬?‫סימלית‬
:‫פתרון‬
‫נ‬‫סמן‬‫אחד‬ ‫מספר‬-x‫שני‬ ‫ומספר‬-2x‫שלישי‬ ‫מספר‬-y
‫נתונים‬
‫שלושה‬ ‫של‬ ‫הסכום‬‫חיוביים‬ ‫מספרים‬18
‫המטרה‬ ‫פונקציית‬
‫מכפלתם‬‫של‬‫מכסימלית‬ ‫שתהיה‬ ‫המספרים‬ ‫שלושת‬
:‫הראשון‬ ‫המספר‬41 x
‫השני‬ ‫המספר‬:8422 x
‫השליש‬ ‫המספר‬‫י‬:
:‫סופית‬ ‫תשובה‬
)‫(א‬x318 )‫(ב‬4x(‫ג‬)6,8,4
)318(),2(),(
182
xyxx
yxx


‫הפונקציה‬
192
)4(6)4(36
4
636
32
32




p
p
x
xxp
32
2
636
)318(2
max)318()2()(
xxp
xxp
xxxp



‫ראשונה‬ ‫נגזרת‬
40
)1872(0
18720
0'
1872'
21
2
2





xx
xx
xx
P
xxP
6)4(3183 x
‫שנייה‬ ‫נגזרת‬
Max/min
min72)0(3672)0(''
max72)4(3672)4(''
3672)(''



P
P
xxP

11. ‫לנסות‬ ‫חדלת‬ ‫לא‬ ‫עוד‬ ‫כל‬ ‫נכשלת‬ ‫לא‬10‫תשע"ג‬ ‫לשנת‬ ‫מעודכן‬
‫חלק‬4-‫דיפרנציאלי‬ ‫חשבון‬-‫קיצון‬ ‫ערך‬ ‫בעיות‬10.‫דהן‬ ‫יוסי‬ :‫וערך‬ ‫כתב‬
‫מספר‬ ‫שאלה‬13:
‫שאורכו‬ ‫ברזל‬ ‫ממוט‬18‫מטר‬‫מתקן‬ ‫בונים‬‫מוטות‬ ‫משני‬ ‫המורכב‬
.‫מאונכים‬ ‫מוטות‬ ‫ושלושה‬ ‫מאוזנים‬
‫מצא‬‫הסורג‬ ‫מידות‬ ‫להיות‬ ‫צריך‬ ‫מה‬
)‫ורוחב‬ ‫(אורך‬? ‫מקסימלי‬ ‫יהיה‬ ‫ששטחו‬ ‫כדי‬
:‫פתרון‬
‫נתוני‬:‫ם‬
‫המטרה‬ ‫פונקציית‬
‫מצא‬‫הסורג‬ ‫מידות‬ ‫להיות‬ ‫צריך‬ ‫מה‬)‫ורוחב‬ ‫(אורך‬
‫מקסימלי‬ ‫יהיה‬ ‫ששטחו‬ ‫כדי‬
‫תשובה‬‫סופית‬:3.‫מטר‬4.5‫מטר‬
‫הסורג‬ ‫שטח‬
2
3
2
6
)
3
2
6(
xxp
xxp
baS



‫הפונקציה‬
2
3
2
6 xxp 
‫ראשונה‬ ‫נגזרת‬
5.4
6
3
4
3
4
60
0'
3
4
6'





x
x
x
p
xp
‫שנייה‬ ‫נגזרת‬
Max/min
max
4
3
)('' xp
‫הסורג‬ ‫צלעות‬
‫מאוזנים‬ ‫מוטות‬:x2
:‫מאונכים‬ ‫מוטות‬y3
:‫המוט‬ ‫אורך‬18‫מטר‬
xy
x
y
xy
yx
3
2
6
3
2
3
18
2183
1832




y yy
x
x
‫הסורג‬ ‫צלעות‬
‫מוט‬‫מוזן‬:5.4x
‫מוט‬‫מאונך‬:
3
)5.4(
3
2
6
3
2
6



y
y
xy
x

12. ‫לנסות‬ ‫חדלת‬ ‫לא‬ ‫עוד‬ ‫כל‬ ‫נכשלת‬ ‫לא‬11‫תשע"ג‬ ‫לשנת‬ ‫מעודכן‬
‫חלק‬4-‫דיפרנציאלי‬ ‫חשבון‬-‫קיצון‬ ‫ערך‬ ‫בעיות‬11.‫דהן‬ ‫יוסי‬ :‫וערך‬ ‫כתב‬
‫מספר‬ ‫שאלה‬11.
‫שאורכו‬ ‫ברזל‬ ‫ממוט‬400‫ס"מ‬‫מלבני‬ ‫סורג‬ ‫בונים‬‫מוטות‬ ‫משני‬ ‫המורכב‬
‫מא‬ ‫מוטות‬ ‫וחמישה‬ ‫מאונכים‬.‫וזנים‬
‫הסורג‬ ‫מידות‬ ‫להיות‬ ‫צריך‬ ‫מה‬ ‫מצא‬
)‫ורוחב‬ ‫(אורך‬? ‫מקסימלי‬ ‫יהיה‬ ‫ששטחו‬ ‫כדי‬
:‫פתרון‬
:‫נתונים‬
‫המטרה‬ ‫פונקציית‬
‫מצא‬‫הסורג‬ ‫מידות‬ ‫להיות‬ ‫צריך‬ ‫מה‬)‫ורוחב‬ ‫(אורך‬
‫מקסימלי‬ ‫יהיה‬ ‫ששטחו‬ ‫כדי‬
‫תשובה‬‫סופית‬:
40, ‫ס"מ‬50.‫ס"מ‬
‫הסורג‬ ‫שטח‬
2
5.2100
)5.2100(
xxp
xxp
baS



‫הפונקציה‬
1000
)20(5.2)20(100
5.2100
2
2



p
p
xxp
‫ראשונה‬ ‫נגזרת‬
20
1005
51000
0'
5100'





x
x
x
p
xp
‫שנייה‬ ‫נגזרת‬
Max/min
max5)('' xp
‫הסורג‬ ‫צלעות‬
‫מאוזנים‬ ‫מוטות‬:x5
‫מוטות‬‫מאוזנים‬:y2
:‫המוט‬ ‫אורך‬200‫ס"מ‬
xy
x
y
xy
yx
5.2100
2
5
2
200
52002
20025




‫הסורג‬ ‫צלעות‬
‫מוט‬‫מ‬‫מאוזן‬:20x
‫מא‬ ‫מוט‬‫ונך‬:
50
)20(5.2100
5.2100



y
y
xy
y
x
x

13. ‫לנסות‬ ‫חדלת‬ ‫לא‬ ‫עוד‬ ‫כל‬ ‫נכשלת‬ ‫לא‬14‫תשע"ג‬ ‫לשנת‬ ‫מעודכן‬
‫חלק‬4-‫דיפרנציאלי‬ ‫חשבון‬-‫קיצון‬ ‫ערך‬ ‫בעיות‬14.‫דהן‬ ‫יוסי‬ :‫וערך‬ ‫כתב‬
‫מספ‬ ‫שאלה‬‫ר‬12.
‫שאורכו‬ ‫ברזל‬ ‫מחוט‬48‫רשת‬ ‫בונים‬ ‫ס"מ‬‫מ‬ ‫המורכבת‬6-‫אנכיים‬ ‫מוטות‬
‫ו‬-4)‫ציור‬ ‫ראה‬ ( ‫מאוזנים‬ ‫מוטות‬
‫מ‬ ‫להיות‬ ‫צריכים‬ ‫מה‬‫י‬‫ד‬‫ות‬‫המלבן‬
)‫ורוחב‬ ‫(אורך‬? ‫מקסימלי‬ ‫יהיה‬ ‫ששיטחו‬ ‫כדי‬
:‫פתרון‬
:‫נתונים‬
‫המטרה‬ ‫פונקציית‬
‫מצא‬‫הסורג‬ ‫מידות‬ ‫להיות‬ ‫צריך‬ ‫מה‬‫ורו‬ ‫(אורך‬)‫חב‬
‫מקסימלי‬ ‫יהיה‬ ‫ששטחו‬ ‫כדי‬
‫תשובה‬‫סופית‬:
4, ‫ס"מ‬6‫ס"מ‬
‫הסורג‬ ‫שטח‬
2
5.112
)5.112(
xxp
xxp
baS



‫הפונקציה‬
96
)8(5.1)8(12
5.112
2
2



p
p
xxp
‫ראשונה‬ ‫נגזרת‬
4
123
3120
0'
312'





x
x
x
p
xp
‫שנייה‬ ‫נגזרת‬
Max/min
max3)('' xp
‫הסורג‬ ‫צלעות‬
‫מאוזני‬ ‫מוטות‬‫ם‬:y4
‫מוטות‬‫מאוזנים‬:x6
:‫המוט‬ ‫אורך‬48‫ס"מ‬
xy
x
y
xy
xy
5.112
4
6
4
48
6484
4864




‫הסורג‬ ‫צלעות‬
‫מוט‬‫מאונך‬:4x
‫מאוז‬ ‫מוט‬:‫ן‬
6
)4(5.112
5.112



y
y
xy
x
y
x

14. ‫לנסות‬ ‫חדלת‬ ‫לא‬ ‫עוד‬ ‫כל‬ ‫נכשלת‬ ‫לא‬13‫תשע"ג‬ ‫לשנת‬ ‫מעודכן‬
‫חלק‬4-‫דיפרנציאלי‬ ‫חשבון‬-‫קיצון‬ ‫ערך‬ ‫בעיות‬13.‫דהן‬ ‫יוסי‬ :‫וערך‬ ‫כתב‬
‫מספר‬ ‫שאלה‬10.
.‫עץ‬ ‫מוטות‬ ‫עשוי‬ ‫נוער‬ ‫מיטת‬ ‫של‬ ‫שלדה‬
‫מלבן‬ ‫צורת‬ ‫השלד‬ ‫של‬ ‫החיצונית‬ ‫למסגרת‬ABCD‫ששטחו‬ ,3.‫מ"ר‬
‫מ‬ ‫מורכב‬ ‫השלד‬-4‫באורך‬ ‫מוטות‬AB‫באורך‬ ‫מוטות‬ ‫ושלושה‬BC
‫ציו‬ ‫(ראה‬.)‫ר‬
‫המלבן‬ ‫ממדי‬ ‫להיות‬ ‫צריכים‬ ‫מה‬ABCD,
?‫מינימלי‬ ‫יהיה‬ ‫השלד‬ ‫עשוי‬ ‫שמהם‬ ‫העץ‬ ‫מוטות‬ ‫אורכי‬ ‫שסכום‬ ‫כדי‬
:‫פתרון‬
‫נתונים‬
‫המטרה‬ ‫פונקציית‬
‫ש‬‫סכום‬‫ה‬‫אורכי‬‫של‬ ‫ם‬‫מוטות‬‫יהיה‬ ‫הברזל‬‫מינימלי‬
5.1
2
3
2
3



y
x
x
y
‫תשובה‬‫סופית‬:
4,‫מטר‬1.5‫מטר‬
‫השטח‬ ‫נתון‬
x
y
yx
yxS
3
3



‫המוטות‬ ‫סכום‬
x
xP
x
xP
DCADp
12
3
3
43
43



‫הפונקציה‬
12
)2(
12
)2(3
5
12
3




S
P
x
x
xP
‫ראשונה‬ ‫נגזרת‬
22
44
123
1230
123
0
0'
123
'
12
3'
21
2,1
2
2
2
2
2
2
2
2










xx
xx
x
x
x
x
P
x
x
P
x
P
y
X
‫שנייה‬ ‫נגזרת‬
Max/min
()‫המונה‬ ‫את‬ ‫לגזור‬ ‫מספיק‬ ‫סימן‬ ‫לקבוע‬ ‫כדי‬
max12)2(6)5(''
min12)2(6)5(''
6)(''



p
p
xxp
x

15. ‫לנסות‬ ‫חדלת‬ ‫לא‬ ‫עוד‬ ‫כל‬ ‫נכשלת‬ ‫לא‬14‫תשע"ג‬ ‫לשנת‬ ‫מעודכן‬
‫חלק‬4-‫דיפרנציאלי‬ ‫חשבון‬-‫קיצון‬ ‫ערך‬ ‫בעיות‬14.‫דהן‬ ‫יוסי‬ :‫וערך‬ ‫כתב‬
‫מספר‬ ‫שאלה‬14:‫בגרות‬ ‫מבחן‬03830‫מועד‬‫חצב/ברק‬2312‫תשע"ב‬
‫מ‬ ‫בית‬‫ברזל‬ ‫ממוטות‬ ‫סורגים‬ ‫מייצר‬ ‫לאכה‬‫מ‬ ‫מורכב‬ ‫הסורג‬-5‫מוטות‬
‫זה‬ ‫שאורכם‬ ‫מאונכים‬‫ה‬,‫ומ‬-3)‫ציור‬ ‫ראה‬ ( ‫זהה‬ ‫שאורכם‬ ‫אופקיים‬ ‫מוטות‬
‫צורת‬ ‫יש‬ ‫הסורג‬ ‫של‬ ‫החיצונית‬ ‫למסגרת‬‫מלבן‬ABCD‫ששטחו‬ ,15‫מ"ר‬.
)‫(א‬‫ב‬ ‫סמן‬x=AB‫הבע‬‫באמצעות‬x: ‫את‬
(1‫המוט‬ ‫אורך‬ )BC.
(4.‫הסורג‬ ‫לייצור‬ ‫הדרושים‬ ‫הברזל‬ ‫מוטות‬ ‫כל‬ ‫של‬ ‫האורכים‬ ‫סכום‬ )
‫מינימלי‬ ‫יהיה‬ ‫עשויה‬ ‫הרשת‬ ‫שמהם‬ ‫המוטות‬
)‫(ב‬‫של‬ ‫הערך‬ ‫להיות‬ ‫צריך‬ ‫מה‬ ‫מצא‬x‫של‬ ‫האורכים‬ ‫שסכום‬ ‫כדי‬‫מינימלי‬ ‫יהיה‬ ‫הברזל‬ ‫מוטות‬
:‫פתרון‬
‫נתונים‬
‫המטרה‬ ‫פונקציית‬
‫ש‬‫סכום‬‫ה‬‫אורכי‬‫של‬ ‫ם‬‫מוטות‬‫יהיה‬ ‫הברזל‬‫מינימלי‬
‫תשובה‬:‫סופית‬
‫(א‬1)
x
BCxAB
15
‫(א‬2)min
75
3 
x
xp)‫(ב‬min5 x
‫המוטות‬ ‫סכום‬
x
xP
x
xP
BCABPT
75
3
15
53
53



‫הפונקציה‬
30
)5(
75
)5(3
5
75
3




P
P
x
x
xP
‫ראשונה‬ ‫נגזרת‬
55
2525
753
7530
753
0
0'
753
'
75
3'
21
2,1
2
2
2
2
2
2
2
2










xx
xx
x
x
x
x
P
x
x
P
x
P
y
X
‫שנייה‬ ‫נגזרת‬
Max/min
)‫המונה‬ ‫את‬ ‫לגזור‬ ‫מספיק‬ ‫סימן‬ ‫לקבוע‬ ‫(כדי‬
max30)5(6)5(''
min30)5(6)5(''
6)(''



p
p
xxp
x
‫השטח‬ ‫נתון‬
x
y
yx
yxS
15
15




16. ‫לנסות‬ ‫חדלת‬ ‫לא‬ ‫עוד‬ ‫כל‬ ‫נכשלת‬ ‫לא‬15‫תשע"ג‬ ‫לשנת‬ ‫מעודכן‬
‫חלק‬4-‫דיפרנציאלי‬ ‫חשבון‬-‫קיצון‬ ‫ערך‬ ‫בעיות‬15.‫דהן‬ ‫יוסי‬ :‫וערך‬ ‫כתב‬
‫מספר‬ ‫שאלה‬13:‫בגרות‬ ‫מבחן‬03330‫מועד‬‫נובמבר‬ ‫מיוחד‬2312.
.‫ברזל‬ ‫ממוטות‬ ‫סורגים‬ ‫מייצר‬ ‫מלאכה‬ ‫בית‬
‫מלבן‬ ‫צורת‬ ‫יש‬ ‫הסורג‬ ‫של‬ ‫החיצונית‬ ‫למסגרת‬
‫ששטחו‬34.‫מ"ר‬
‫מ‬ ‫בנוי‬ ‫הסורג‬–4‫באורך‬ ‫אופקיים‬ ‫מוטות‬x‫מטר‬
‫ו‬‫מ‬–8‫אנכיים‬ ‫מוטות‬)‫ציור‬ ‫(ראה‬
(‫א‬)( .1‫באמצעות‬ ‫מצא‬ )x.‫אנכי‬ ‫מוט‬ ‫של‬ ‫האורך‬ ‫את‬
(4‫ר‬ )‫באמצעות‬ ‫שום‬x.‫שבסורג‬ ‫הברזל‬ ‫מוטות‬ ‫כל‬ ‫אורכי‬ ‫של‬ ‫לסיכום‬ ‫ביטוי‬
‫(ב‬‫המלבן‬ ‫ממדי‬ ‫להיות‬ ‫צריכים‬ ‫מה‬ )? ‫מינימלי‬ ‫יהיה‬ ‫הסורג‬ ‫עשוי‬ ‫שמהם‬ ‫הברזל‬ ‫מוטות‬ ‫אורכי‬ ‫שסכום‬ ‫כדי‬
:‫פתרון‬
‫נתונים‬
‫המטרה‬ ‫פונקציית‬
‫ש‬‫סכום‬‫ה‬‫אורכי‬‫של‬ ‫ם‬‫מוטות‬‫יהיה‬ ‫הברזל‬‫מינימלי‬
4
8
32
8
32



y
x
x
y
‫תשובה‬‫סופית‬:
‫(א‬1)
x
32
‫(א‬2.)
x
xp
256
4 .)‫(ב‬4,8
‫השטח‬ ‫נתון‬
x
y
yx
yxS
32
32



‫הפונקציה‬
64
)8(
256
)8(4
8
256
4




P
P
x
x
xP
‫ראשונה‬ ‫נגזרת‬
88
6464
2564
25640
2564
0
0'
2564
'
256
4'
21
2,1
2
2
2
2
2
2
2
2










xx
xx
x
x
x
x
P
x
x
P
x
P
y
‫שנייה‬ ‫נגזרת‬
Max/min
)‫המונה‬ ‫את‬ ‫לגזור‬ ‫מספיק‬ ‫סימן‬ ‫לקבוע‬ ‫(כדי‬
max64)8(8)8(''
min64)8(8)8(''
8)(''



p
p
xxp
‫המוטות‬ ‫סכום‬
x
xP
x
xP
BCABPT
256
4
32
84
84




17. ‫לנסות‬ ‫חדלת‬ ‫לא‬ ‫עוד‬ ‫כל‬ ‫נכשלת‬ ‫לא‬16‫תשע"ג‬ ‫לשנת‬ ‫מעודכן‬
‫חלק‬4-‫דיפרנציאלי‬ ‫חשבון‬-‫קיצון‬ ‫ערך‬ ‫בעיות‬16.‫דהן‬ ‫יוסי‬ :‫וערך‬ ‫כתב‬
2.‫קטע‬ ‫אורך‬‫ה‬ ‫לציר‬ ‫מקביל‬–y.BAAB yyd 
‫מספר‬ ‫שאלה‬1:‫בגרות‬ ‫מבחן‬03830‫ת‬ ‫קיץ‬ '‫א‬ ‫מועד‬. ‫ש"ע‬
‫הגרפים‬ ‫נתונים‬ ‫בציור‬‫ו‬-‫הפונקציות‬ ‫של‬
4
2
)(


x
xf2
4
1
)( 2
 xxg
)‫(א‬‫הגרפים‬ ‫מבין‬ ‫איזה‬ .‫ו‬-‫הפונקציה‬ ‫של‬ ‫הוא‬)(xf,
‫הפונקציה‬ ‫של‬ ‫הוא‬ ‫גרף‬ ‫ואיזה‬)(xg.‫נמק‬ ?
)‫(ב‬.A‫גרף‬ ‫על‬ ‫נקודה‬ ‫היא‬‫ו‬B‫גרף‬ ‫על‬ ‫נקודה‬ ‫היא‬
‫שהקטע‬ ‫כך‬AB‫ה‬ ‫לציר‬ ‫מקביל‬–y.)‫ציור‬ ‫(ראה‬
‫ה‬ ‫שיעור‬ ‫את‬ ‫מצא‬-x‫ה‬ ‫של‬‫נקודות‬A‫ו‬–B,
‫הקטע‬ ‫אורך‬ ‫שעבורו‬AB.‫מינימלי‬ ‫הוא‬
)‫(ג‬‫הקטע‬ ‫של‬ ‫המינימלי‬ ‫האורך‬ ‫את‬ ‫מצא‬AB.
‫פתרון‬:
(‫א‬)‫מבין‬ ‫איזה‬‫הגרפים‬‫ו‬-‫הוא‬‫הפונקציה‬ ‫של‬)(xf‫הפונקציה‬ ‫של‬ ‫הוא‬ ‫גרף‬ ‫ואיזה‬)(xg?
.‫נמק‬
‫הפונקציה‬)(xf‫הישר‬ ‫גרף‬‫ב‬‫הפונקציה‬ ')(xg‫גרף‬‫א‬'
:‫נתונים‬
‫ה‬ ‫לציר‬ ‫מקביל‬ ‫בקו‬ ‫הקטע‬ ‫אורך‬y‫משמעות‬ByAy
‫המטרה‬ ‫פונקציית‬
‫הקטע‬ ‫אורך‬‫בין‬‫נקודות‬A‫ו‬–B‫מינימלי‬ ‫הוא‬.
:‫סופית‬ ‫תשובה‬
(‫א‬)‫גרף‬=)(xf‫גרף‬=)(xg(‫ב‬)min5.0ABx)‫(ג‬16
7
2AB
2
1
2
4
1
4
1
4
2
4
2
4
1
4
2
4
2
4
1
4
2
2
4
1
min
2
2
2
2




















 








xxp
x
xp
x
xp
x
xp
yyp BA
‫הפונקציה‬
16
7
2
1
4
12
4
1
2
1
4
12
4
1
2
2)5.0()5.0(
5.0
2




p
p
x
xxp
‫ראשונה‬ ‫נגזרת‬
5.0
5.025.0
25.05.00
0'
25.05.0'





x
x
x
p
xp
‫שנייה‬ ‫נגזרת‬
Max/min
min5.0)('' xp

18. ‫לנסות‬ ‫חדלת‬ ‫לא‬ ‫עוד‬ ‫כל‬ ‫נכשלת‬ ‫לא‬17‫תשע"ג‬ ‫לשנת‬ ‫מעודכן‬
‫חלק‬4-‫דיפרנציאלי‬ ‫חשבון‬-‫קיצון‬ ‫ערך‬ ‫בעיות‬17.‫דהן‬ ‫יוסי‬ :‫וערך‬ ‫כתב‬
‫מספר‬ ‫שאלה‬2:‫בגרות‬ ‫מבחן‬03330‫תשס"ז‬ ‫נובמבר‬ ‫מועד‬
‫שתי‬ ‫של‬ ‫הגרפים‬ ‫נתונים‬:‫הפרבולות‬
7
2
1
,3
4
1 22
 xyxxy
‫הנקודה‬P‫והנקודה‬ ‫אחת‬ ‫פרבולה‬ ‫על‬ ‫נמצאת‬Q.‫האחרת‬ ‫הפרבולה‬ ‫על‬ ‫נמצאת‬
‫הקטע‬PQ‫ה‬ ‫לציר‬ ‫מקביל‬-y)‫ציור‬ ‫(ראה‬
‫הנקודה‬ ‫שיעורי‬ ‫להיות‬ ‫צריכים‬ ‫מה‬ .‫א‬P‫הקטע‬ ‫שאורך‬ ‫כדי‬PQ.‫מינימלי‬ ‫יהיה‬
‫הקטע‬ ‫של‬ ‫המינימלי‬ ‫האורך‬ ‫את‬ ‫מצא‬ .‫ב‬PQ.
:‫פתרון‬
:‫נתונים‬
‫ה‬ ‫לציר‬ ‫מקביל‬ ‫בקו‬ ‫הקטע‬ ‫אורך‬y‫משמעות‬QP yy 
‫המטרה‬ ‫פונקציית‬
‫הקטע‬ ‫שאורך‬PQ.‫מינימלי‬ ‫יהיה‬
‫תשובה‬‫סופית‬:
)‫(א‬min)9,2(P)‫(ב‬min4PQ
   
7375.0
325.075.0
325.075.0
min
2
22
22




xxp
xxxp
xxxp
yyp qp
‫הפונקציה‬
4
7)2(3)2(75.0
2
7375.0
2
2




p
p
x
xxp
‫ראשונה‬ ‫נגזרת‬
2
35.1
35.10
0'
35.1'





x
x
x
p
xp
‫שנייה‬ ‫נגזרת‬
Max/min
min5.1)('' xp
‫נקודה‬p
)9,2(
9
7)2(5.0
2
75.0
2
2
p
y
y
x
xy





19. ‫לנסות‬ ‫חדלת‬ ‫לא‬ ‫עוד‬ ‫כל‬ ‫נכשלת‬ ‫לא‬18‫תשע"ג‬ ‫לשנת‬ ‫מעודכן‬
‫חלק‬4-‫דיפרנציאלי‬ ‫חשבון‬-‫קיצון‬ ‫ערך‬ ‫בעיות‬18.‫דהן‬ ‫יוסי‬ :‫וערך‬ ‫כתב‬
‫מספר‬ ‫שאלה‬0;‫בגרות‬ ‫מבחן‬03330‫תש"ע‬ ‫קיץ‬ '‫א‬ ‫מועד‬
‫הגרפים‬ ‫נתונים‬ ‫בציור‬‫ו‬–‫הפונקציות‬ ‫של‬
4
2
)(


x
xf,
x
xg
4
)( ‫בתחום‬0x
‫א‬‫הגרפים‬ ‫מבין‬ ‫איזה‬ .‫ו‬–‫הפונקציה‬ ‫של‬ ‫הוא‬)(xf
‫הפונקציה‬ ‫של‬ ‫הוא‬ ‫גרף‬ ‫ואיזה‬)(xg.‫נמק‬ ?
‫ב‬.A‫גרף‬ ‫על‬ ‫נקודה‬ ‫היא‬‫ו‬–B‫נקוד‬ ‫היא‬‫גרף‬ ‫על‬ ‫ה‬
‫שהקטע‬ ‫כך‬AB‫ה‬ ‫לציר‬ ‫מקביל‬–y.)‫ציור‬ ‫(ראה‬
‫ה‬ ‫שיעור‬ ‫את‬ ‫מצא‬–x‫הנקודות‬ ‫של‬A‫ו‬–B
‫הקטע‬ ‫אורך‬ ‫שעבורו‬AB.‫מינימלי‬ ‫הוא‬
‫פתרון‬:
(‫א‬)‫הגרפים‬ ‫מבין‬ ‫איזה‬‫ו‬-‫הפונקציה‬ ‫של‬ ‫הוא‬)(xf‫ואיז‬‫הפונקציה‬ ‫של‬ ‫הוא‬ ‫גרף‬ ‫ה‬)(xg?
.‫נמק‬
‫הפונקציה‬)(xf‫הישר‬ ‫גרף‬‫הפונקציה‬)(xg‫גרף‬0x 
(‫ב‬)A‫גרף‬ ‫על‬ ‫נקודה‬ ‫היא‬‫ו‬B‫גרף‬ ‫על‬ ‫נקודה‬ ‫היא‬‫שהקטע‬ ‫כך‬AB‫ה‬ ‫לציר‬ ‫מקביל‬–y.
‫ה‬ ‫שיעור‬ ‫את‬ ‫מצא‬-x‫הנקודות‬ ‫של‬A‫ו‬–B.‫מינימלי‬ ‫הוא‬ ‫הקטע‬ ‫אורך‬ ‫שעבורו‬
‫ה‬ ‫לציר‬ ‫מקביל‬ ‫בקו‬ ‫הקטע‬ ‫אורך‬y‫משמעות‬ByAy
4
2
)(


x
xf
‫המטרה‬ ‫פונקציית‬
‫הקטע‬ ‫אורך‬‫בין‬‫נקודות‬A‫ו‬–B‫מינ‬ ‫הוא‬.‫ימלי‬
:‫סופית‬ ‫תשובה‬
(‫א‬).‫גרף‬=)(xf‫גרף‬=)(xg)‫(ב‬min4ABx
x
x
p
x
x
p
yyp BA
4
4
2
4
4
4
)2(
min












 


‫הפונקציה‬
2
1
2
)4(
4
4
2
4
)4(
4
4
4
2
4




p
p
x
x
x
p
‫ראשונה‬ ‫נגזרת‬
44
1616
160
4
16
0
0'
4
161
'
4
441
14
4
1
'
21
2,1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2












xx
xx
x
x
x
p
x
x
p
x
x
p
x
p
‫שנייה‬ ‫נגזרת‬
Max/min
)‫המונה‬ ‫את‬ ‫לגזור‬ ‫מספיק‬ ‫סימן‬ ‫לקבוע‬ ‫(כדי‬
max8)4(2)4(''
min8)4(2)4(''
2)(''



p
p
xxp

20. ‫לנסות‬ ‫חדלת‬ ‫לא‬ ‫עוד‬ ‫כל‬ ‫נכשלת‬ ‫לא‬19‫תשע"ג‬ ‫לשנת‬ ‫מעודכן‬
‫חלק‬4-‫דיפרנציאלי‬ ‫חשבון‬-‫קיצון‬ ‫ערך‬ ‫בעיות‬19.‫דהן‬ ‫יוסי‬ :‫וערך‬ ‫כתב‬
‫מספר‬ ‫שאלה‬4‫בגרו‬ ‫מבחן‬‫ת‬03330‫פברואר‬ ‫מועד‬2311‫תשע"א‬
‫הפונקציות‬10)(  xxf‫ו‬-
x
xg
9
)( ‫בנקודות‬ ‫נחתכות‬A‫ו‬–B.
)‫(א‬‫הנקודות‬ ‫שיעורי‬ ‫את‬ ‫מצא‬A‫ו‬–B.
)‫(ב‬‫נקודה‬ ‫דרך‬D‫הקטע‬ ‫על‬ ‫הנמצאת‬ .AB,
‫ה‬ ‫לציר‬ ‫המקביל‬ ‫ישר‬ ‫העבירו‬–y‫חותך‬ ‫הישר‬ .
‫הפונקציה‬ ‫גרף‬ ‫את‬)(xg‫בנקודה‬C)‫ציור‬ ‫(ראה‬
‫מצא‬‫הנקודות‬ ‫שיעורי‬ ‫את‬C‫ו‬D‫המרחק‬ ‫שעבורן‬CD.‫מקסימלי‬ ‫הוא‬
)‫(ג‬‫הנקודות‬ ‫בין‬ ‫המקסימלי‬ ‫המרחק‬ ‫את‬ ‫מצא‬C‫ו‬D.
:‫פתרון‬
)‫(א‬‫הנקודות‬ ‫שיעורי‬ ‫את‬ ‫מצא‬A‫ו‬–B.
‫המטרה‬ ‫פונקציית‬
‫המרחק‬CD.‫מקסימלי‬ ‫הוא‬
‫תשובה‬‫סופית‬:
(‫א‬))9,1()1,9(  BA(‫ב‬))3,3()7,3(  CD
(‫ג‬)max4DC
‫נקודות‬A,B
0910
910
/
9
10
0()(
2
2




xx
xx
x
x
x
xgxf
91
2
810
)1(2
)9)(1(4100)10(
21
2,1
2,1





xx
x
x
‫נקודות‬A,B
10,9(
1109
)9,1(
9101
10)(





B
y
A
y
xxf
 
x
xp
x
xp
yyp CD
9
10
9
10
min









‫הפונקציה‬
4
)3(
9
10)3(
3
9
10





p
p
x
x
xp
‫ראשונה‬ ‫נגזרת‬
33
99
90
9
0
0'
91
/
19
1'
21
2,1
2
2
2
2
2
2
1
2
2










xx
xx
x
x
x
p
x
x
p
x
x
p
‫שנייה‬ ‫נגזרת‬
Max/min
)‫המונה‬ ‫את‬ ‫לגזור‬ ‫מספיק‬ ‫סימן‬ ‫לקבוע‬ ‫(כדי‬
max6)3(2)3(''
min6)3(2)3(''
2)(''



p
p
xxp

21. ‫לנסות‬ ‫חדלת‬ ‫לא‬ ‫עוד‬ ‫כל‬ ‫נכשלת‬ ‫לא‬40‫תשע"ג‬ ‫לשנת‬ ‫מעודכן‬
‫חלק‬4-‫דיפרנציאלי‬ ‫חשבון‬-‫קיצון‬ ‫ערך‬ ‫בעיות‬40.‫דהן‬ ‫יוסי‬ :‫וערך‬ ‫כתב‬
‫מספר‬ ‫שאלה‬3:‫בגרות‬ ‫מבחן‬03830.‫תשע"א‬ ‫ברק‬ /‫חצב‬ ‫מועד‬
‫הפונקציה‬ ‫גרף‬ ‫מתוארים‬ ‫שלפניך‬ ‫בציור‬xxf 2)( ‫והישר‬xy 2
‫בנקודות‬ ‫נחתכים‬ ‫והישר‬ ‫הפונקציה‬ ‫גרף‬O‫ו‬–C(O‫הצירים‬ ‫ראשית‬).
‫ה‬ ‫לציר‬ ‫המקביל‬ ‫ישר‬-y‫הישר‬ ‫ואת‬ ‫הפונקציה‬ ‫גרף‬ ‫את‬ ‫חותך‬
‫הנקודות‬ ‫(בין‬O‫ו‬-C,)‫ש‬ ‫כך‬-A‫עם‬ ‫החיתוך‬ ‫נקודת‬ ‫היא‬)(xf
‫ו‬–B.)‫ציור‬ ‫(ראה‬ ‫הישר‬ ‫עם‬ ‫החיתוך‬ ‫נקודת‬ ‫היא‬
.)‫(א‬‫ב‬ ‫סמן‬–x‫ה‬ ‫שיעור‬ ‫את‬–x‫הנקודה‬ ‫של‬B‫הקטע‬ ‫אורך‬ ‫את‬ ‫באמצעותו‬ ‫ובטא‬ .AB.
)‫(ב‬(1)‫ה‬ ‫שיעור‬ ‫את‬ ‫מצא‬–x‫הנקודה‬ ‫של‬B‫הק‬ ‫אורך‬ ‫.שעבורה‬‫טע‬AB.‫מקסימלי‬ ‫הוא‬
(2)‫הקטע‬ ‫של‬ ‫המקסימלי‬ ‫האורך‬ ‫מהו‬AB.
‫פתרון‬
.)‫(א‬‫ב‬ ‫סמן‬–x‫ה‬ ‫שיעור‬ ‫את‬–x‫הנקודה‬ ‫של‬B‫הקטע‬ ‫אורך‬ ‫את‬ ‫באמצעותו‬ ‫ובטא‬ .AB.
‫המטרה‬ ‫פונקציית‬
‫הקטע‬ ‫של‬ ‫המקסימלי‬ ‫אורך‬AB.
(‫ב‬1)‫ה‬ ‫שיעור‬ ‫את‬ ‫מצא‬–x‫הנקודה‬ ‫של‬B‫הקטע‬ ‫אורך‬ ‫.שעבורה‬AB‫מקסימל‬ ‫הוא‬.‫י‬
‫תשוב‬‫סופית‬ ‫ה‬:
)‫(א‬xxpAB 22 ‫(ב‬1)max25.0 Bx‫(ב‬2)max5.0 p
   
xxp
xxp
yyp
AB
AB
BAAB
22
22



‫הפונקציה‬
5.0
)25.0(2)25.0(2
25.0
22




p
p
x
xxp
‫ראשונה‬ ‫נגזרת‬
25.0
14
410
)2()1()0(
)/(210
21
0
0'
21
/2
1
'
2
2
12
'
222
2
1














x
x
x
x
x
x
x
p
x
x
p
x
x
p
x
p
‫שנייה‬ ‫נגזרת‬
Max/min
‫ל‬ ‫(כדי‬)‫המונה‬ ‫את‬ ‫לגזור‬ ‫מספיק‬ ‫סימן‬ ‫קבוע‬
max2
25.02
2
)25.0(''
2
12
)(''



p
x
xp

22. ‫לנסות‬ ‫חדלת‬ ‫לא‬ ‫עוד‬ ‫כל‬ ‫נכשלת‬ ‫לא‬41‫תשע"ג‬ ‫לשנת‬ ‫מעודכן‬
‫חלק‬4-‫דיפרנציאלי‬ ‫חשבון‬-‫קיצון‬ ‫ערך‬ ‫בעיות‬41.‫דהן‬ ‫יוסי‬ :‫וערך‬ ‫כתב‬
0.‫והיקף‬ ‫שטח‬ ‫עם‬ ‫פונקציות‬
‫מספר‬ ‫שאלה‬1:‫בגרות‬ ‫מבחן‬03830‫קיץ‬ ‫א‬ ‫מועד‬2311.‫תשע"א‬
‫הפונקציה‬ ‫גרף‬ ‫נתון‬272
 xy‫ב‬.‫הראשון‬ ‫רביע‬
‫ה‬ ‫לציר‬ ‫המקביל‬ ‫ישר‬–x‫הפונקציה‬ ‫גרף‬ ‫את‬ ‫חותך‬
‫בנקודה‬A,‫הראשון‬ ‫ברביע‬ ‫שנמצאת‬
‫ה‬ ‫ציר‬ ‫ואת‬–y‫בנקודה‬B.
‫הנקודה‬ ‫את‬ ‫מחברים‬A‫הצירים‬ ‫ראשית‬ ‫עם‬O)‫ציור‬ ‫.(ראה‬
(‫א‬)‫הקטע‬ ‫אורך‬ ‫להיות‬ ‫צריך‬ ‫מה‬AB
‫המשולש‬ ‫ששטח‬ ‫כדי‬AOB?‫מקסימלי‬ ‫יהיה‬
(‫ב‬)‫המקסימ‬ ‫השטח‬ ‫מהו‬‫משולש‬ ‫של‬ ‫לי‬AOB?
:‫פתרון‬
‫נתונים‬
‫המטרה‬ ‫פונקציית‬
‫המשולש‬ ‫ששטח‬AOB‫מקסימלי‬ ‫יהיה‬
‫תשוב‬‫סופית‬ ‫ה‬:
)‫(א‬max3AB.)‫(ב‬max27S
)27,( 2
xx
‫המשולש‬ ‫צלעות‬
270 2


xB
xAB
‫המשולש‬ ‫שטח‬
2
27
22
27
2
)27()(
22
33
2
xxxx
p
xx
p
yxha
S a











‫הפונקציה‬
27
)3(5.13)3(5.0
3
5.135.0
3
3




P
P
x
xxP
‫ראשונה‬ ‫נגזרת‬
33
99
5.135.1
5.135.10
0'
5.135.1'
21
2,1
2
2
2
2






xx
xx
x
x
P
xP
‫שנייה‬ ‫נגזרת‬
Max/min
min9)3(3)3(''
max9)3(3)3(''
3)(''



P
P
xxP

23. ‫לנסות‬ ‫חדלת‬ ‫לא‬ ‫עוד‬ ‫כל‬ ‫נכשלת‬ ‫לא‬44‫תשע"ג‬ ‫לשנת‬ ‫מעודכן‬
‫חלק‬4-‫דיפרנציאלי‬ ‫חשבון‬-‫קיצון‬ ‫ערך‬ ‫בעיות‬44.‫דהן‬ ‫יוסי‬ :‫וערך‬ ‫כתב‬
‫מספר‬ ‫שאלה‬2:‫בגרות‬ ‫מבחן‬03330‫תשס"ח‬ ‫ברק‬ ‫חצב‬ ‫מועד‬
‫הפרבולה‬ ‫נתונה‬122
 xy.
‫ה‬ ‫לציר‬ ‫המקביל‬ ‫ישר‬-x‫הפרבולה‬ ‫את‬ ‫חותך‬
‫בנקודות‬A‫ה‬ ‫ציר‬ ‫ואת‬–y‫הנקודה‬-B.)‫ציור‬ ‫(ראה‬
‫ב‬ ‫הצירים‬ ‫ראשית‬ ‫את‬ ‫נסמן‬-O.
.‫א‬‫הקטע‬ ‫אורך‬ ‫להיות‬ ‫צריך‬ ‫מה‬AB,
‫המשולש‬ ‫ששטח‬ ‫כדי‬AOB?‫מקסימלי‬ ‫יהיה‬
.‫ב‬‫המקסימל‬ ‫השטח‬ ‫מהו‬‫משולש‬ ‫של‬ ‫י‬AOB?
:‫פתרון‬
:‫נתונים‬
‫המטרה‬ ‫פונקציית‬
‫המשולש‬ ‫ששטח‬AOB‫מקסימלי‬ ‫יהיה‬
‫תשובה‬‫סופית‬:
)‫(א‬max2AB)‫(ב‬max8S
)12,( 2
xx
‫המשולש‬ ‫צלעות‬
120 2


xyB
xAB
‫המשולש‬ ‫שטח‬
xxp
xxxx
p
xx
p
yxha
S a
65.0
2
12
22
12
2
)12()(
22
3
33
2












‫הפונקציה‬
8
)2(6)2(5.0
2
65.0
3
3




P
P
x
xxP
‫ראשונה‬ ‫נגזרת‬
22
44
65.1
65.10
0'
65.1'
21
2,1
2
2
2
2






xx
xx
x
x
P
xP
‫שנייה‬ ‫נגזרת‬
Max/min
min6)2(3)2(''
max6)2(3)2(''
3)(''



P
P
xxP

24. ‫לנסות‬ ‫חדלת‬ ‫לא‬ ‫עוד‬ ‫כל‬ ‫נכשלת‬ ‫לא‬43‫תשע"ג‬ ‫לשנת‬ ‫מעודכן‬
‫חלק‬4-‫דיפרנציאלי‬ ‫חשבון‬-‫קיצון‬ ‫ערך‬ ‫בעיות‬43.‫דהן‬ ‫יוסי‬ :‫וערך‬ ‫כתב‬
‫מספר‬ ‫שאלה‬0:‫בגרות‬ ‫מבחן‬03330‫תשס"ז‬ ‫קיץ‬ '‫ב‬ ‫מועד‬
‫מנקודה‬A,‫הפונקציה‬ ‫גרף‬ ‫על‬ ‫הנמצאת‬xxy 62
,
,‫לצירים‬ ‫אנכים‬ ‫מהנקודה‬ ‫מורידים‬ , ‫הראשון‬ ‫ברביע‬
‫ו‬‫מלבן‬ ‫נוצר‬ABOC.) ‫ציור‬ ‫ראה‬ (
.‫א‬‫ה‬ ‫שיעור‬ ‫להיות‬ ‫צריך‬ ‫מה‬-x‫הנקודה‬ ‫של‬A
?‫מכסימלי‬ ‫יהיה‬ ‫המלבן‬ ‫שהיקף‬ ‫כדי‬
.‫ב‬‫המלבן‬ ‫של‬ ‫המקסימלי‬ ‫היקף‬ ‫את‬ ‫חשב‬.
:‫פתרון‬
‫נתונים‬
‫המטרה‬ ‫פונקציית‬
‫המלבן‬ ‫של‬ ‫המקסימלי‬ ‫היקף‬
‫תשוב‬‫סופית‬ ‫ה‬:
)‫(א‬max5.3Ax.)‫(ב‬max5.24P
‫המלבן‬ ‫צלעות‬
xxyB
xCB
60 2


‫המלבן‬ ‫היקף‬
xxp
xxxp
xxxP
yxbap
142
1222
)6(2)(2
2222
2
2
2




‫הפונקציה‬
5.24
)5.3(14)5.3(2
5.3
142
2
2




p
p
x
xxp
‫ראשונה‬ ‫נגזרת‬
5.3
144
1440
0'
144'





x
x
x
p
xp
‫שנייה‬ ‫נגזרת‬
Max/min
max4)('' xp
)6,( 2
xxyx 

25. ‫לנסות‬ ‫חדלת‬ ‫לא‬ ‫עוד‬ ‫כל‬ ‫נכשלת‬ ‫לא‬44‫תשע"ג‬ ‫לשנת‬ ‫מעודכן‬
‫חלק‬4-‫דיפרנציאלי‬ ‫חשבון‬-‫קיצון‬ ‫ערך‬ ‫בעיות‬44.‫דהן‬ ‫יוסי‬ :‫וערך‬ ‫כתב‬
‫מספר‬ ‫שאלה‬4:‫בגרות‬ ‫מבחן‬03330‫תש"ע‬ ‫חורף‬ ‫מועד‬
‫נקודה‬A,‫הראשון‬ ‫שברביע‬
‫נמצאת‬‫גרף‬ ‫על‬‫הפונקציה‬xxy 52
,
‫מנקודה‬A,‫לצירים‬ ‫אנכים‬ ‫מורידים‬
‫מלבן‬ ‫ונוצר‬ABOC.
O–‫הצירים‬ ‫ראשית‬‫(ראה‬)‫ציור‬
(‫א‬)‫הנקודה‬ ‫שיעור‬ ‫להיות‬ ‫צריך‬ ‫מה‬A
?‫מכסימלי‬ ‫יהיה‬ ‫המלבן‬ ‫שהיקף‬ ‫כדי‬
(‫ב‬)?‫המלבן‬ ‫של‬ ‫המקסימלי‬ ‫היקף‬ ‫את‬ ‫מצא‬
:‫פתרון‬
:‫נתונים‬
‫המטר‬ ‫פונקציית‬‫ה‬
‫המלבן‬ ‫של‬ ‫המקסימלי‬ ‫היקף‬
‫תשובה‬‫סופית‬:
)‫(א‬)6,3(A)‫(ב‬max18P
‫המלבן‬ ‫צלעות‬
xxyB
xCB
50 2


‫המלבן‬ ‫היקף‬
xxp
xxxp
xxxP
yxbap
122
1022
)5(2)(2
2222
2
2
2




‫הפונקציה‬
18
)3(12)3(2
3
122
2
2




p
p
x
xxp
‫ראשונה‬ ‫נגזרת‬
3
124
1240
0'
124'





x
x
x
p
xp
‫שנייה‬ ‫נגזרת‬
Max/min
max4)('' xP
‫נקודה‬A
)6,3(
6
)3(5)3(
3
5
2
2
A
y
y
x
xxy




)5,( 2
xxyx 

26. ‫לנסות‬ ‫חדלת‬ ‫לא‬ ‫עוד‬ ‫כל‬ ‫נכשלת‬ ‫לא‬45‫תשע"ג‬ ‫לשנת‬ ‫מעודכן‬
‫חלק‬4-‫דיפרנציאלי‬ ‫חשבון‬-‫קיצון‬ ‫ערך‬ ‫בעיות‬45.‫דהן‬ ‫יוסי‬ :‫וערך‬ ‫כתב‬
‫מספר‬ ‫שאלה‬3:‫בגרות‬ ‫מבחן‬03330‫נובמבר‬ ‫מועד‬2313‫תש‬"‫ע‬
‫נקודה‬A‫הפונקציה‬ ‫גרף‬ ‫על‬ ‫נמצאת‬
x
y
4
.‫הראשון‬ ‫ברביע‬
‫מהנקודה‬A‫מורידים‬‫לצירים‬ ‫אנכים‬‫המלבן‬ ‫שנוצר‬ ‫כך‬ABOC)‫ציור‬ ‫(ראה‬
)‫(א‬‫ה‬ ‫שיעורי‬ ‫את‬ ‫מצא‬–x‫הנקודה‬ ‫של‬A
.‫מינימלי‬ ‫היקף‬ ‫בעל‬ ‫מלבן‬ ‫מתקבל‬ ‫שעבורו‬
)‫(ב‬.‫המלבן‬ ‫של‬ ‫המינימלי‬ ‫ההיקף‬ ‫את‬ ‫מצא‬
‫פתרון‬:
:‫נתונים‬
‫המטרה‬ ‫פונקציית‬
.‫המלבן‬ ‫של‬ ‫המינימלי‬ ‫ההיקף‬
‫תשובה‬‫סופית‬:
(‫א‬)2x(‫ב‬)8p
‫הפונקציה‬
8
)2(
8
)2(2
2
8
2




p
p
x
x
xp
‫ראשונה‬ ‫נגזרת‬
22
4
482
820
0'
82
'
8
2'
21
2,1
22
2
2
2
2








xx
x
xx
x
p
x
x
p
x
p
‫שנייה‬ ‫נגזרת‬
Max/min
)‫המונה‬ ‫את‬ ‫לגזור‬ ‫מספיק‬ ‫סימן‬ ‫לקבוע‬ ‫(כדי‬
max8)2(4)2('
min8)2(4)2('
4)('



p
p
xxp
‫המלבן‬ ‫צלעות‬
x
yAB
xAC
4


‫המלבן‬ ‫היקף‬
x
xp
x
xP
yxbap
8
2
)
4
(2)(2
2222



)
4
,(
x
x

27. ‫לנסות‬ ‫חדלת‬ ‫לא‬ ‫עוד‬ ‫כל‬ ‫נכשלת‬ ‫לא‬46‫תשע"ג‬ ‫לשנת‬ ‫מעודכן‬
‫חלק‬4-‫דיפרנציאלי‬ ‫חשבון‬-‫קיצון‬ ‫ערך‬ ‫בעיות‬46.‫דהן‬ ‫יוסי‬ :‫וערך‬ ‫כתב‬
‫מספר‬ ‫שאלה‬6:‫בגרות‬ ‫מבחן‬03330‫ברק‬ / ‫חצב‬ ‫מועד‬‫תשס"ה‬
‫הפונקציה‬ ‫נתונה‬
x
xxf
2
1
)( ( ‫הראשון‬ ‫ברביע‬x0)
‫מנקודה‬p‫לצירים‬ ‫אנכים‬ ‫בהורידו‬ ‫הפונקציה‬ ‫גרף‬ ‫שעל‬
‫המלבן‬ ‫ונוצר‬APCO(O.) ‫הצירים‬ ‫ראשית‬
(‫א‬).‫ב‬ ‫נסמן‬–x‫ה‬ ‫שיעור‬ ‫את‬–x‫הנקודה‬ ‫של‬p.)‫ציור‬ ‫(ראה‬
‫באמצעות‬ ‫בטא‬x‫המלבן‬ ‫היקף‬ ‫את‬APCO.
(‫ב‬).‫המלבנים‬ ‫כל‬ ‫מבין‬APCO‫שתואר‬ ‫באופן‬ ‫הנוצרים‬
‫את‬ ‫מצא‬x.‫מינימלי‬ ‫הוא‬ ‫המלבן‬ ‫היקף‬ ‫שעבורו‬
‫פתרון‬:
:‫נתונים‬
‫המטרה‬ ‫פונקציית‬
‫היקף‬‫של‬ ‫מינימלי‬.‫המלבן‬
‫תשובה‬‫סופית‬:
)‫(א‬
x
xp
1
4 )‫(ב‬min5.0x
‫הפונקציה‬
4
)5.0(
1
)5.0(4
5.0
1
4




p
p
x
x
xp
‫ראשונה‬ ‫נגזרת‬
5.05.0
25.0
25.014
140
0'
14
'
1
4'
21
2,1
22
2
2
2
2








xx
x
xx
x
p
x
x
p
x
p
‫שנייה‬ ‫נגזרת‬
Max/min
)‫המונה‬ ‫את‬ ‫לגזור‬ ‫מספיק‬ ‫סימן‬ ‫לקבוע‬ ‫(כדי‬
max8)5.0(8)5.0(''
min8)5.0(8)5.0(''
8)(''



p
p
xxp
‫המלבן‬ ‫צלעות‬
x
xyPC
xAP
2
1


‫המלבן‬ ‫היקף‬
x
xp
x
xxp
x
xxP
yxbaP
1
4
21
22
)
2
1
(2)(2
2222






O C
x
A
)
2
1
,(
x
xxp 
y

28. ‫לנסות‬ ‫חדלת‬ ‫לא‬ ‫עוד‬ ‫כל‬ ‫נכשלת‬ ‫לא‬47‫תשע"ג‬ ‫לשנת‬ ‫מעודכן‬
‫חלק‬4-‫דיפרנציאלי‬ ‫חשבון‬-‫קיצון‬ ‫ערך‬ ‫בעיות‬47.‫דהן‬ ‫יוסי‬ :‫וערך‬ ‫כתב‬
‫מספר‬ ‫שאלה‬7:‫בגרות‬ ‫מבחן‬03830‫תשע"ב‬ ‫קיץ‬ ‫מועד‬2312.
.‫הפונקציה‬ ‫גרף‬ ‫נתון‬ ‫שלפניך‬ ‫בציור‬
2)(  xxf‫הראשון‬ ‫ברביע‬
‫מנקודה‬A‫שע‬‫הפוקציה‬ ‫גרף‬ ‫ל‬
‫המלבן‬ ‫שנוצר‬ ‫כך‬ ‫לצירים‬ ‫אנכים‬ ‫מעבירים‬ABOC
‫ה‬ ‫שיעור‬ ‫באמצעות‬ ‫המלבן‬ ‫היקף‬ ‫את‬ ‫הבע‬ .)‫(א‬–x‫הנקודה‬ ‫של‬A.
( .)‫(ב‬1‫של‬ ‫הערך‬ ‫להיות‬ ‫צריך‬ ‫מה‬ )x
‫שהמלבן‬ ‫כדי‬ABOC? ‫מינימלי‬ ‫יהיה‬
(4.‫המלבן‬ ‫של‬ ‫המינימלי‬ ‫ההיקף‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )
‫פתרון‬:
:‫נתונים‬
‫המטרה‬ ‫פונקציית‬
.‫המלבן‬ ‫של‬ ‫המינימלי‬ ‫ההיקף‬
‫סופית‬ ‫תשובה‬:
.)‫(א‬422  xx(1)‫ב‬
4
1
x(2)‫ב‬
2
1
3
‫הפונקצ‬‫יה‬
5.3
425.02)25.0(2
25.0
422




p
p
x
xxp
‫ראשונה‬ ‫נגזרת‬
25.0
416
4160
)2()4(0
)(240
0'
2
24
'
2
12
2'
2
2










x
x
x
x
x
p
x
x
p
x
p
‫שנייה‬ ‫נגזרת‬
Max/min
)‫המונה‬ ‫את‬ ‫לגזור‬ ‫מספיק‬ ‫סימן‬ ‫לקבוע‬ ‫(כדי‬
min1
25.02
4
)25.0(''
2
14
)(''



p
x
xp
‫המלבן‬ ‫צלעות‬
2

xAB
xAC
‫המלבן‬ ‫היקף‬
422
)2(2)(2
2222



xxp
xxP
yxbaP

29. ‫לנסות‬ ‫חדלת‬ ‫לא‬ ‫עוד‬ ‫כל‬ ‫נכשלת‬ ‫לא‬48‫תשע"ג‬ ‫לשנת‬ ‫מעודכן‬
‫חלק‬4-‫דיפרנציאלי‬ ‫חשבון‬-‫קיצון‬ ‫ערך‬ ‫בעיות‬48.‫דהן‬ ‫יוסי‬ :‫וערך‬ ‫כתב‬
‫מספר‬ ‫שאלה‬8:‫בגרות‬ ‫מבחן‬03830‫חורף‬ ‫מועד‬2312
‫נתונה‬ ‫שלפניך‬ ‫בציור‬‫הפונקציה‬332
 xxy
(‫א‬).C‫הפונקציה‬ ‫גרף‬ ‫על‬ ‫נקודה‬ ‫היא‬
‫ה‬ ‫שיעורי‬ ‫את‬ ‫מצא‬–x‫הנקודה‬ ‫של‬C.
‫של‬ ‫השיעורים‬ ‫סכום‬ ‫שעבורו‬C.‫מינימלי‬ ‫הוא‬
(‫ב‬).‫נקודה‬ ‫שיעורי‬ ‫של‬ ‫המינימלי‬ ‫הסכום‬ ‫את‬ ‫מצא‬C.
.)‫(ג‬‫הנקודה‬ ‫דרך‬C‫לצ‬ ‫אנך‬ ‫העבירו‬ ‫א‬ ‫בסעיף‬ ‫שמצאת‬‫ה‬ ‫יר‬–x
‫ה‬ ‫לציר‬ ‫ואנך‬-y.‫הצירים‬ ‫עם‬ ‫מרובע‬ ‫יוצרים‬ ‫האנכים‬ .
.‫המרובע‬ ‫שטח‬ ‫את‬ ‫מצא‬
:‫פתרון‬
:‫נתונים‬
‫המטרה‬ ‫פונקציית‬
‫של‬ ‫השיעורים‬ ‫סכום‬C.‫מינימלי‬ ‫הוא‬
.‫ב‬‫הנקודה‬ ‫דרך‬C‫ה‬ ‫לציר‬ ‫אנך‬ ‫העבירו‬ ‫א‬ ‫בסעיף‬ ‫שמצאת‬–x‫ה‬ ‫לציר‬ ‫ואנך‬-y.‫יוצרים‬ ‫האנכים‬
.‫הצירים‬ ‫עם‬ ‫מרובע‬.‫המרובע‬ ‫שטח‬ ‫את‬ ‫מצא‬
‫תשוב‬‫סופית‬ ‫ה‬:
)‫(א‬min)1,1(C(‫ב‬)2p(‫ג‬)111 S
‫הנקודה‬ ‫שיעורי‬
)33,( 2
 xxyxC
‫של‬ ‫השיעורים‬ ‫סכום‬C
32
)33()(
2
2



xxp
xxxp
yxp
‫הפונקציה‬
2
3)1(2)1(
1
32
2
2




p
p
x
xxp
‫ראשונה‬ ‫נגזרת‬
1
22
220
0'
22'





x
x
x
p
xp
‫שנייה‬ ‫נגזרת‬
Max/min
min2)(" xp
‫המרובע‬ ‫שטח‬
111 S

y
C
x

y
C
x
‫הנקודה‬ ‫שיעורי‬
)1,1(
1
3)1(3)1(
33
2
2
C
y
y
xxy




30. ‫לנסות‬ ‫חדלת‬ ‫לא‬ ‫עוד‬ ‫כל‬ ‫נכשלת‬ ‫לא‬49‫תשע"ג‬ ‫לשנת‬ ‫מעודכן‬
‫חלק‬4-‫דיפרנציאלי‬ ‫חשבון‬-‫קיצון‬ ‫ערך‬ ‫בעיות‬49.‫דהן‬ ‫יוסי‬ :‫וערך‬ ‫כתב‬
‫מספר‬ ‫שאלה‬9:‫בגרות‬ ‫מבחן‬03330‫חורף‬ ‫מועד‬2336‫תשס"ו‬
‫נתונ‬‫הפרבולה‬ ‫ה‬272
 xy.
‫ה‬ ‫לציר‬ ‫המקביל‬ ‫ישר‬ ‫מעבירים‬-x‫הפרבולה‬ ‫את‬ ‫חותך‬
‫בנקודות‬A‫ו‬–B.)‫ציור‬ ‫(ראה‬
.‫א‬‫ב‬ ‫סמן‬–x‫ה‬ ‫שיעור‬ ‫את‬–x‫הנקודה‬ ‫של‬B
,) ‫הראשון‬ ‫ברביע‬ ‫הנמצאת‬ (
‫באמצעות‬ ‫ובטא‬x‫הקטע‬ ‫אורך‬ ‫את‬AB
‫המשולש‬ ‫שטח‬ ‫ואת‬AOB( .O)‫הצירים‬ ‫ראשית‬ ‫היא‬
.‫ב‬‫ה‬ ‫שיעור‬ ‫להיות‬ ‫צריך‬ ‫מה‬–x‫נקודה‬ ‫של‬B,
‫משולש‬ ‫ששטח‬ ‫כדי‬AOB? ‫מקסימלי‬ ‫יהיה‬
:‫פתרון‬
:‫נתונים‬
‫המטרה‬ ‫פונקציית‬
‫המשולש‬ ‫ששטח‬AOB‫מקסימלי‬ ‫יהיה‬
‫תשוב‬‫סופית‬ ‫ה‬:
)‫(א‬xxSxAB 272 3
.)‫(ב‬max3xmax54AOBS
)27,( 2
xx
XX
‫המשולש‬ ‫צלעות‬
270
2
2


xyB
xxxAB
‫המשולש‬ ‫שטח‬
xxp
xxxx
p
xx
p
yxha
S a
27
2
54
2
2
2
542
2
)27()2(
2
2
2
3
33
2












‫הפונקציה‬
54
)3(27)3(
3
27
3
3




p
p
x
xxp
‫ראשונה‬ ‫נגזרת‬
33
99
273
2730
0'
273'
21
2,1
2
2
2
2






xx
xx
x
x
p
xp
‫שנייה‬ ‫נגזרת‬
Max/min
min18)3(6)3(''
max18)3(6)3(''
6)(''



p
p
xxp

31. ‫לנסות‬ ‫חדלת‬ ‫לא‬ ‫עוד‬ ‫כל‬ ‫נכשלת‬ ‫לא‬30‫תשע"ג‬ ‫לשנת‬ ‫מעודכן‬
‫חלק‬4-‫דיפרנציאלי‬ ‫חשבון‬-‫קיצון‬ ‫ערך‬ ‫בעיות‬30.‫דהן‬ ‫יוסי‬ :‫וערך‬ ‫כתב‬
‫מספר‬ ‫שאלה‬31
‫חוסמים‬‫בפרבולה‬2
27 xy ‫מלבן‬ABCD,
‫שהצלע‬ ‫כך‬AB‫ה‬ ‫ציר‬ ‫על‬ ‫מונחת‬-x.)‫ציור‬ ‫(ראה‬
(‫א‬)‫ב‬ ‫סמן‬–x‫ה‬ ‫שיעור‬ ‫את‬x‫הנקודה‬ ‫של‬C
‫באמצעות‬ ‫ובטא‬x‫הצלעות‬ ‫אורכי‬ ‫את‬CD‫ו‬BC.
.)‫(ב‬‫הצלע‬ ‫אורך‬ ‫את‬ ‫מצא‬CD‫המלבן‬ ‫שטח‬ ‫שעבורו‬ABCD?‫מקסימלי‬ ‫יהיה‬
)‫(ג‬‫ה‬ ‫את‬ ‫חשב‬‫שטח‬?‫המלבן‬ ‫של‬ ‫המקסימלי‬
:‫פתרון‬
: ‫נתונים‬
‫המטרה‬ ‫פונקציית‬
‫המלבן‬ ‫שטח‬ABCD‫מקסימלי‬ ‫יהיה‬
‫תשוב‬‫סופית‬ ‫ה‬:
(‫א‬)2
272 xBCxDC (‫ב‬)6322  xCD(‫ג‬)max108S
‫המ‬ ‫צלעות‬‫לבן‬
2
27
2
xyBC
xxxDC


‫ה‬ ‫שטח‬‫מלבן‬
3
2
254
)27()2(
2
xxp
xxp
yxbaS



‫הפונקציה‬
108
)3(2)3(54
3
254
3
3




p
p
x
xxp
‫ראשונה‬ ‫נגזרת‬
33
99
546
6540
0'
654'
21
2,1
2
2
2
2






xx
xx
x
x
p
xp
‫שנייה‬ ‫נגזרת‬
Max/min
min36)3(12)3(''
max36)3(12)3(''
12)(''



p
p
xxp

32. ‫לנסות‬ ‫חדלת‬ ‫לא‬ ‫עוד‬ ‫כל‬ ‫נכשלת‬ ‫לא‬31‫תשע"ג‬ ‫לשנת‬ ‫מעודכן‬
‫חלק‬4-‫דיפרנציאלי‬ ‫חשבון‬-‫קיצון‬ ‫ערך‬ ‫בעיות‬31.‫דהן‬ ‫יוסי‬ :‫וערך‬ ‫כתב‬
‫מספר‬ ‫שאלה‬11
‫טרפז‬ ‫נתון‬ABCD‫הפרבולה‬ ‫גרף‬ ‫בין‬ ‫החסום‬2
9 xy 
‫ה‬ ‫ציר‬ ‫לבין‬-x‫שנקודה‬ ‫כך‬A.)‫ציור‬ ‫(ראה‬ ‫הראשון‬ ‫ברביע‬ ‫נמצאת‬
(‫א‬)‫ב‬ ‫סמן‬–x‫ה‬ ‫שיעור‬ ‫את‬x‫הנקודה‬ ‫של‬A
‫באמצעו‬ ‫ובטא‬‫ת‬x‫את‬‫הצלע‬ ‫אורך‬AD
)‫(ב‬‫הנקודות‬ ‫את‬ ‫מצא‬C‫ו‬B‫הצלע‬ ‫אורך‬ ‫את‬ ‫וחשב‬BC.
)‫(ג‬‫הנקודה‬ ‫שיעורי‬ ‫את‬ ‫מצא‬A‫הטרפז‬ ‫ששטח‬ ‫כדי‬ABCD?‫מקסימלי‬ ‫יהיה‬
)‫(ד‬‫טרפז‬ ‫של‬ ‫המקסימלי‬ ‫השטח‬ ‫את‬ ‫חשב‬ABCD.
:‫פתרון‬
:‫נתונים‬
‫המטרה‬ ‫פונקציית‬
‫הטרפז‬ ‫שטח‬ABCD‫מקסימלי‬ ‫יהיה‬
‫תשוב‬‫סופית‬ ‫ה‬:
(‫א‬)xAD 2(‫ב‬)6BC)‫(ג‬)8,1(A(‫ד‬)max32S
‫הטרפז‬ ‫צלעות‬
633
9
2
2



CB
xyh
xxxAD
‫ה‬ ‫שטח‬‫טרפז‬
2793
9327
2
218654
2
)9)(26(
2
)(
23
32
32
2








xxxp
xxxp
xxx
p
xx
p
hba
S
‫הפונקציה‬
32
27)1(9)1(3)1(1
1
2793
23
23




p
p
x
xxxp
‫ראשונה‬ ‫נגזרת‬
13
93
6
126
)3(2
)9)(3(436)6(
9630
0'
963'
21
2,1
2
2,1
2,1
2
2











xx
xx
x
x
xx
p
xxp
‫שנייה‬ ‫נגזרת‬
Max/min
min126)3(6)3(''
max126)1(6)1(''
66)(''



p
p
xxp
‫נקודות‬CB
6
33
9
90
0
9
21
2
2
2






BCd
xx
x
x
y
xy
‫נקודה‬A
)8,1(
8
)1(9
1
9
2
2
A
y
y
x
xy





33. ‫לנסות‬ ‫חדלת‬ ‫לא‬ ‫עוד‬ ‫כל‬ ‫נכשלת‬ ‫לא‬34‫תשע"ג‬ ‫לשנת‬ ‫מעודכן‬
‫חלק‬4-‫דיפרנציאלי‬ ‫חשבון‬-‫קיצון‬ ‫ערך‬ ‫בעיות‬34.‫דהן‬ ‫יוסי‬ :‫וערך‬ ‫כתב‬
‫מספר‬ ‫שאלה‬12:‫בגרות‬ ‫מבחן‬03330‫מרץ‬ ‫מועד‬2336‫תשס"ו‬
‫הפונקציה‬ ‫נתונה‬32
 xy‫והנקודה‬ ‫הראשון‬ ‫ברביע‬)6,5(C
‫מנקודה‬A‫לנקודה‬ ‫משמאל‬ ‫הפונקציה‬ ‫גרף‬ ‫על‬ ‫המונחת‬ ,C.
‫ה‬ ‫ציר‬ ‫את‬ ‫החותך‬ ‫אנך‬ ‫מורידים‬–x‫בנקודה‬B)‫ציור‬ ‫(ראה‬
‫א‬.‫הנקודה‬ ‫שיעורי‬ ‫את‬ ‫חשב‬A
‫המשולש‬ ‫ששטח‬ ‫כך‬ABC.‫מקסימלי‬ ‫יהיה‬
‫ב‬.‫ה‬ ‫השטח‬ ‫מהו‬‫המשולש‬ ‫של‬ ‫מקסימלי‬ABC?.
:‫פתרון‬
:‫נתונים‬
‫המטרה‬ ‫פונקציית‬
‫המשולש‬ ‫שטח‬ABC.‫מקסימלי‬ ‫יהיה‬
‫תשוב‬‫סופית‬ ‫ה‬:
)‫(א‬)12,3(A(‫ב‬)max12S
‫המשולש‬ ‫צלעות‬
xh
xAB
a 

5
32
‫המשולש‬ ‫שטח‬
5.75.15.25.0
2
15
2
3
2
5
22
3155
2
)5()3(
2
23
2332
2








xxxP
xxxxxx
P
xx
P
ha
S a
‫הפונקציה‬
12
5.7)3(5.1)3(5.2)3(5.0
3
5.75.15.25.0
23
23




P
P
x
xxxP
‫ראשונה‬ ‫נגזרת‬
3
1
3
3
45
)5.1(2
)5.1)(5.1(4255
5.155.10
0'
5.155.1'
21
2,1
2,1
2
2










xx
x
x
xx
P
xxP
‫שנייה‬ ‫נגזרת‬
Max/min
min45)
3
1
(3)
3
1
(''
max45)3(3)3(''
53)(''



P
P
xxP
‫נקודה‬A
)12,3(
12
3)3(
3
3
2
2
A
y
y
x
xy





34. ‫לנסות‬ ‫חדלת‬ ‫לא‬ ‫עוד‬ ‫כל‬ ‫נכשלת‬ ‫לא‬33‫תשע"ג‬ ‫לשנת‬ ‫מעודכן‬
‫חלק‬4-‫דיפרנציאלי‬ ‫חשבון‬-‫קיצון‬ ‫ערך‬ ‫בעיות‬33.‫דהן‬ ‫יוסי‬ :‫וערך‬ ‫כתב‬
4.)‫פיתגורס‬ ‫(משפט‬ ‫המרחק‬ ‫ריבוע‬
‫מס‬ ‫שאלה‬‫פר‬1:‫בגרות‬ ‫מבחן‬03330‫תשס"ט‬ ‫חורף‬ ‫מועד‬
‫הישר‬ ‫נתון‬43  xy‫הנקודה‬ ‫ונתונה‬A(0,2)
M‫הישר‬ ‫על‬ ‫כלשהי‬ ‫נקודה‬ ‫היא‬‫(ראה‬)‫ציור‬
‫נקודה‬ ‫של‬ ‫השיעורים‬ ‫את‬ ‫הנתון‬ ‫הישר‬ ‫על‬ ‫מצא‬M
( ‫לנקודה‬ ‫ביותר‬ ‫הקרובה‬4,0)A
( ‫נקודה‬y,x)M) ‫ציור‬ ‫ראה‬ ( ‫הנתון‬ ‫הישר‬ ‫על‬ ‫נמצאת‬
(‫א‬)‫המרחק‬ ‫ריבוע‬ ‫את‬ ‫בטא‬AM‫כלומר‬ (2
AM)
‫ה‬ ‫שיעור‬ ‫באמצעות‬–x‫הנקודה‬ ‫של‬M.
(‫ב‬)‫ה‬ ‫שיעור‬ ‫להיות‬ ‫צריך‬ ‫מה‬–x‫הנקודה‬ ‫של‬M
‫כדי‬‫המרחק‬ ‫שריבוע‬AM? ‫מינימלי‬ ‫יהיה‬
‫פתרון‬:
()‫א‬‫המרחק‬ ‫ריבוע‬ ‫את‬ ‫בטא‬AM(‫כלומר‬2
AM)‫ה‬ ‫שיעור‬ ‫באמצעות‬–x‫הנקודה‬ ‫של‬M.
‫נתונים‬:
‫פונקציית‬‫המטרה‬
‫המרחק‬ ‫שריבוע‬AM‫מינימלי‬ ‫יהיה‬
‫תשובה‬‫סופית‬:
)‫(א‬363610 22
 xxAM)‫(ב‬)4.1,8.1(M
363610
36369
)63()0(
)243()0(
2
22
22
222




xxp
xxxp
xxp
xxAM
‫הפונקציה‬
6.3
36)8.1(36)8.1(10
8.1
363610
2
2




p
p
x
xxp
‫ראשונה‬ ‫נגזרת‬
8.1
3620
36200
0'
3620'





x
x
x
p
xp
‫שנייה‬ ‫נגזרת‬
Max/min
min20)('' xp
‫נקודה‬M
)4.1,8.1(
4.1
4)8.1(3
8.1
43
M
y
y
x
xy




)43,()2,0(
)()( 2
12
2
12
2


xxMA
yyxxd

35. ‫לנסות‬ ‫חדלת‬ ‫לא‬ ‫עוד‬ ‫כל‬ ‫נכשלת‬ ‫לא‬34‫תשע"ג‬ ‫לשנת‬ ‫מעודכן‬
‫חלק‬4-‫דיפרנציאלי‬ ‫חשבון‬-‫קיצון‬ ‫ערך‬ ‫בעיות‬34.‫דהן‬ ‫יוסי‬ :‫וערך‬ ‫כתב‬
‫מספר‬ ‫שאלה‬2:‫בגרות‬ ‫מבחן‬03330‫תשס"ז‬ ‫ברק‬ / ‫חצב‬ ‫מועד‬
‫הישר‬ ‫נתון‬43  xy‫הנקודה‬ ‫ונתונה‬A(0,1)
( ‫נקודה‬y,x)M) ‫ציור‬ ‫ראה‬ ( ‫הנתון‬ ‫הישר‬ ‫על‬ ‫נמצאת‬
(‫א‬)‫המרחק‬ ‫ריבוע‬ ‫את‬ ‫בטא‬AM‫כלומר‬ (2
AM)
‫ה‬ ‫שיעור‬ ‫באמצעות‬–x‫הנקודה‬ ‫של‬M.
(‫ב‬)‫ה‬ ‫שיעור‬ ‫להיות‬ ‫צריך‬ ‫מה‬–x‫הנקודה‬ ‫של‬M
‫כדי‬‫המרחק‬ ‫שריבוע‬AM? ‫מינימלי‬ ‫יהיה‬
‫פתרון‬:
()‫א‬‫המרחק‬ ‫ריבוע‬ ‫את‬ ‫בטא‬AM(‫כלומר‬2
AM)‫שיעו‬ ‫באמצעות‬‫ה‬ ‫ר‬–x‫הנקודה‬ ‫של‬M.
:‫נתונים‬
‫המטרה‬ ‫פונקציית‬
‫המרחק‬ ‫שריבוע‬AM‫מינימלי‬ ‫יהיה‬
‫תשובה‬‫סופית‬:
)‫(א‬253010 22
 xxAM)‫(ב‬)5.0,5.1(M
)43,()1,0(
)()( 2
12
2
12
2


xxMA
yyxxd
‫הפונקציה‬
7.7
30)5.1(30)5.1(10
5.1
253010
2
2




p
p
x
xxp
‫ראשונה‬ ‫נגזרת‬
5.1
3020
30200
0'
3020'





x
x
x
p
xp
‫שנייה‬ ‫נגזרת‬
Max/min
min20)(' xp
‫נקו‬‫דה‬M
)5.0,5.1(
5.0
4)5.1(3
5.1
43
M
y
y
x
xy




253010
25309
)53()0(
)143()0(
2
22
22
222




xxp
xxxp
xxp
xxAM

36. ‫לנסות‬ ‫חדלת‬ ‫לא‬ ‫עוד‬ ‫כל‬ ‫נכשלת‬ ‫לא‬35‫תשע"ג‬ ‫לשנת‬ ‫מעודכן‬
‫חלק‬4-‫דיפרנציאלי‬ ‫חשבון‬-‫קיצון‬ ‫ערך‬ ‫בעיות‬35.‫דהן‬ ‫יוסי‬ :‫וערך‬ ‫כתב‬
‫מספר‬ ‫שאלה‬0:‫בגרות‬ ‫מבחן‬03330‫תשס"ז‬ ‫קיץ‬ '‫א‬ ‫מועד‬
‫הפונקציה‬ ‫נתונה‬xy 
‫ה‬ ‫ציר‬ ‫על‬-x‫הנקודה‬ ‫נתונה‬)0,8(A
M‫הפונקציה‬ ‫גרף‬ ‫על‬ ‫כלשהי‬ ‫נקודה‬ ‫היא‬‫ציור‬ ‫(ראה‬)
(‫א‬)‫המרחק‬ ‫ריבוע‬ ‫את‬ ‫בטא‬AM‫כלומר‬ (2
AM)
‫ה‬ ‫שיעור‬ ‫באמצעות‬–x‫הנקודה‬ ‫של‬M.
(‫ב‬)‫ה‬ ‫שיעור‬ ‫להיות‬ ‫צריך‬ ‫מה‬–x‫הנקודה‬ ‫של‬M
‫כדי‬‫המרחק‬ ‫שריבוע‬AM? ‫מינימלי‬ ‫יהיה‬
(‫ג‬)‫של‬ ‫המינימלי‬ ‫המרחק‬ ‫ריבוע‬ ‫את‬ ‫חשב‬MA
‫פתרון‬:
:‫נתונים‬
‫המטרה‬ ‫פונקציית‬
‫המרחק‬ ‫ריבוע‬AM‫מינימלי‬ ‫יהיה‬
‫תשובה‬‫סופית‬:
)‫(א‬64152
 xxp)‫(ב‬)73.2,5.7(M)‫(ג‬75.7p
),()0,8(
)()( 2
12
2
12
2
xxMA
yyxxd 
‫הפונקציה‬
75.7
64)5.7(15)5.7(
5.7
6415
2
2




p
p
x
xxp
‫ראשונה‬ ‫נגזרת‬
5.7
152
1520
0'
152'





x
x
x
p
xp
‫שנייה‬ ‫נגזרת‬
Max/min
min2)('' xp
6415
6416
)0()8(
2
2
222



xxp
xxxP
xxAM

37. ‫לנסות‬ ‫חדלת‬ ‫לא‬ ‫עוד‬ ‫כל‬ ‫נכשלת‬ ‫לא‬36‫תשע"ג‬ ‫לשנת‬ ‫מעודכן‬
‫חלק‬4-‫דיפרנציאלי‬ ‫חשבון‬-‫קיצון‬ ‫ערך‬ ‫בעיות‬36.‫דהן‬ ‫יוסי‬ :‫וערך‬ ‫כתב‬
‫מספר‬ ‫שאלה‬4:‫בגרות‬ ‫מבחן‬30303‫מועד‬‫מרץ‬2339‫תשס‬‫"ט‬
‫הפונקציה‬ ‫גרף‬ ‫נתון‬xxf )(
‫ה‬ ‫ציר‬ ‫על‬–x‫הנקודה‬ ‫נתונה‬)0,9( 2
1
A
B)‫ציור‬ ‫(ראה‬ ‫הפונקציה‬ ‫גרף‬ ‫על‬ ‫כלשהיא‬ ‫נקודה‬ ‫היא‬
)‫(א‬‫ה‬ ‫שיעור‬ ‫להיות‬ ‫צריך‬ ‫מה‬-x‫הנקודה‬ ‫של‬B.
‫המרחק‬ ‫שריבוע‬ ‫כדי‬AB.‫מינימלי‬ ‫יהיה‬
)‫(ב‬‫ריב‬ ‫את‬ ‫חשב‬‫של‬ ‫המינימלי‬ ‫המרחק‬ ‫וע‬AB.
‫פתרון‬:
()‫א‬‫ה‬ ‫שיעור‬ ‫להיות‬ ‫צריך‬ ‫מה‬–x‫הנקודה‬ ‫של‬M‫שהמרחק‬ ‫כדי‬MA? ‫מינימלי‬ ‫יהיה‬
:‫נתונים‬
‫המטרה‬ ‫פונקציית‬
‫של‬ ‫המינימלי‬ ‫המרחק‬ ‫ריבוע‬AB.
‫תשובה‬‫סופית‬:
)‫(א‬9Bx)‫(ב‬min25.92
AB
25.9018
25.9019
)0()5.9(
2
2
222



xxp
xxxP
xxAB
‫הפונקציה‬
25.9
25.90)9(18)9(
9
25.9018
2
2




p
p
x
xxp
‫ראשונה‬ ‫נגזרת‬
9
182
1820
0'
182'





x
x
x
p
xp
‫שנייה‬ ‫נגזרת‬
Max/min
min2)(' xf
x
y
)0,9( 2
1
A
),( xxB
),()0,5.9(
)()( 2
12
2
12
2
xxBA
yyxxd 

38. ‫לנסות‬ ‫חדלת‬ ‫לא‬ ‫עוד‬ ‫כל‬ ‫נכשלת‬ ‫לא‬37‫תשע"ג‬ ‫לשנת‬ ‫מעודכן‬
‫חלק‬4-‫דיפרנציאלי‬ ‫חשבון‬-‫קיצון‬ ‫ערך‬ ‫בעיות‬37.‫דהן‬ ‫יוסי‬ :‫וערך‬ ‫כתב‬
‫מספר‬ ‫שאלה‬3‫בגרות‬ ‫מבחן‬03330‫פברואר‬ ‫מועד‬2313‫תש"ע‬
‫שלפניך‬ ‫בציור‬AB‫שאורכו‬ ‫קטע‬ ‫הוא‬10.‫ס"מ‬
‫נתון‬ABDAABCB 
E‫הקטע‬ ‫על‬ ‫נקודה‬ ‫היא‬AB‫שמתקיים‬ ‫כך‬
DAAECBEB 
‫ב‬ ‫נסמן‬–x‫הקטע‬ ‫אורך‬ ‫את‬AE.
(‫א‬)(1)‫באמצעות‬ ‫בטא‬x‫של‬ ‫האורך‬ ‫את‬DA‫של‬ ‫האורך‬ ‫ואת‬CB.
(2)‫באמצעות‬ ‫בטא‬x‫את‬2
CE‫ואת‬2
DE.
(‫ב‬).‫של‬ ‫הערך‬ ‫להיות‬ ‫צריך‬ ‫מה‬x‫שהסכום‬ ‫כדי‬22
CEDE ? ‫מינימלי‬ ‫יהיה‬
(‫ג‬)‫הסכום‬ ‫של‬ ‫המינימלי‬ ‫הערך‬ ‫את‬ ‫מצא‬22
CEDE 
:‫פתרון‬
:‫נתונים‬
‫המטרה‬ ‫פונקציית‬
‫סכום‬22
CEDE ‫מינימלי‬ ‫יהיה‬
‫תשובה‬‫סופית‬:
(‫א‬1)xCBxDA  10,(‫א‬2)200402,2 2222
 xxCExDE
(‫ב‬)5x)‫(ג‬10022
CEDE
‫הקטעים‬ ‫אורך‬
xCB
xDA


10
2
DE
22
222
2xDE
xxDE


‫הפונקציה‬
100
200)5(40)5(4
5
200404
2
2




S
S
x
xxp
‫ראשונה‬ ‫נגזרת‬
5
408
4080
0'
408'





x
x
x
P
xP
‫שנייה‬ ‫נגזרת‬
Max/min
min8)('' xp
2
CE
200402
2010020100
)10()10(
22
222
222



xxCE
xxxxCE
xxCE
‫סכום‬22
CEDE 
200404
2004022
2
2222


xxp
xxxCEDE

39. ‫לנסות‬ ‫חדלת‬ ‫לא‬ ‫עוד‬ ‫כל‬ ‫נכשלת‬ ‫לא‬38‫תשע"ג‬ ‫לשנת‬ ‫מעודכן‬
‫חלק‬4-‫דיפרנציאלי‬ ‫חשבון‬-‫קיצון‬ ‫ערך‬ ‫בעיות‬38.‫דהן‬ ‫יוסי‬ :‫וערך‬ ‫כתב‬
‫מספר‬ ‫שאלה‬6:‫בגרות‬ ‫מבחן‬03830‫קיץ‬ ‫ב‬ ‫מועד‬2311.‫תשע"א‬
‫הקטע‬BC‫ב‬ ‫המסומן‬ (–x‫משותפת‬ ‫צלע‬ ‫הוא‬ )
‫הריבוע‬ ‫של‬ABCD‫המלבן‬ ‫ושל‬BEFC)‫ציור‬ ‫(ראה‬
‫כי‬ ‫נתון‬‫הקטע‬ ‫אורך‬AE‫הוא‬10.‫ס"מ‬
(‫א‬)(1)‫באמצעות‬ ‫הבע‬x‫הקטע‬ ‫אורך‬ ‫את‬BE.
(2)‫באמצעות‬ ‫הבע‬x‫את‬2
CE)‫המלבן‬ ‫האלכסון‬ ‫(ריבוע‬
(‫ב‬)‫את‬ ‫מצא‬‫הקטע‬ ‫אורך‬BC‫הסכום‬ ‫שעבורו‬22
CEAC ‫מינימלי‬ ‫הוא‬
(‫ג‬)‫הסכום‬ ‫של‬ ‫המינימלי‬ ‫הערך‬ ‫את‬ ‫מצא‬22
CEAC 
:‫פתרון‬
:‫נתונים‬
‫ה‬ ‫פונקציית‬‫מטרה‬
‫סכום‬22
CEDE ‫מינימלי‬ ‫יהיה‬
‫תשוב‬‫סופית‬ ‫ה‬
‫(א‬1)xBE 10‫(א‬2)100202 22
 xxCE()‫ב‬5.2BC(‫ג‬)7522
CEAC
‫הקטעים‬ ‫אורך‬
22
222
22
222
222
2
100202
20100
)10(
10
xAC
xxAC
xxCE
xxxCE
xxCE
xBE






‫הפונקציה‬
75
100)5.2(20)5.2(4
5.2
100204
2
2




p
p
x
xxp
‫ראשונה‬ ‫נגזרת‬
5.2
208
2080
0'
208'





x
x
x
p
xp
‫שנייה‬ ‫נגזרת‬
Max/min
min8)('' xp
2
+CE2
AC
100204
1002022
2
22


xxp
xxxP
x
x
x10
x
x x10

40. ‫לנסות‬ ‫חדלת‬ ‫לא‬ ‫עוד‬ ‫כל‬ ‫נכשלת‬ ‫לא‬39‫תשע"ג‬ ‫לשנת‬ ‫מעודכן‬
‫חלק‬4-‫דיפרנציאלי‬ ‫חשבון‬-‫קיצון‬ ‫ערך‬ ‫בעיות‬39.‫דהן‬ ‫יוסי‬ :‫וערך‬ ‫כתב‬
‫מספר‬ ‫שאלה‬7:‫בגרות‬ ‫מבחן‬03330‫תשס"ד‬ ‫קיץ‬ '‫ב‬ ‫מועד‬
‫זווית‬ ‫ישר‬ ‫במשולש‬ABC‫זווית‬C=0
90
: ‫הם‬ ‫הניצבים‬ ‫אורכי‬6=AC,a=BC.
D‫הניצב‬ ‫על‬ ‫כלשהי‬ ‫נקודה‬ ‫היא‬AC‫ציור‬ ‫(ראה‬)
‫ב‬ ‫נסמן‬–x‫הנקודה‬ ‫מרחק‬ ‫את‬D‫מקדקוד‬C.
‫א‬‫באמצעות‬ ‫הבע‬ .x‫ו‬–a‫המרחקים‬ ‫ריבועי‬ ‫סכום‬ ‫את‬
‫נקודה‬ ‫של‬D‫הקדקודים‬ ‫משלושת‬A,B‫ו‬ ,–C.
‫ב‬‫אי‬ ‫עבור‬ ‫מצא‬ .‫של‬ ‫ערך‬ ‫זה‬x.‫מינימלי‬ ‫הוא‬ ‫א‬ ‫בסעיף‬ ‫שהבעת‬ ‫הסכום‬ ,
:‫פתרון‬
:‫נתונים‬
‫המטרה‬ ‫פונקציית‬
‫מינימלי‬ ‫הוא‬ ‫המרחקים‬ ‫ריבועי‬ ‫סכום‬
‫תשוב‬‫סופית‬ ‫ה‬:
)‫(א‬22
36123 axxp (‫ב‬)min2x
‫המרחק‬ ‫ריבוע‬CD
22
xCD 
‫המרחקים‬ ‫ריבועי‬ ‫סכום‬
22
222
2222
222
36123
12362
)()()6()(
axxP
axxxP
axxxP
DBADCDP




‫הפונקציה‬
2
22
22
24
36)2(12)2(3
2
36123
aP
aP
x
axxP




‫ראשונה‬ ‫נגזרת‬
2
126
1260
0'
126'





x
x
x
P
xP
‫שנייה‬ ‫נגזרת‬
Max/min
min6)('' xP
a
A
BC
x
D
6
‫המרחק‬ ‫ריבוע‬AD
22
)6( xAD 
‫המרחק‬ ‫ריבוע‬DB
222
)()( axDB 
a
A
B
D 
D
C
x

41. ‫לנסות‬ ‫חדלת‬ ‫לא‬ ‫עוד‬ ‫כל‬ ‫נכשלת‬ ‫לא‬40‫תשע"ג‬ ‫לשנת‬ ‫מעודכן‬
‫חלק‬4-‫דיפרנציאלי‬ ‫חשבון‬-‫קיצון‬ ‫ערך‬ ‫בעיות‬40.‫דהן‬ ‫יוסי‬ :‫וערך‬ ‫כתב‬
3.‫הנדסיות‬ ‫צורות‬
‫מ‬ ‫שאלה‬‫ספר‬1:‫בגרות‬ ‫מבחן‬03330‫תשס"ה‬ ‫קיץ‬ '‫ב‬ ‫מועד‬
‫ריבועים‬ ‫משני‬ ‫מורכבת‬ ‫בציור‬ ‫המוצגת‬ ‫הצורה‬
‫הוא‬ ‫הצורה‬ ‫גובה‬ .‫זה‬ ‫על‬ ‫זה‬ ‫המונחים‬10) ‫ציור‬ ‫ראה‬ ( ‫ס"מ‬
)‫(א‬‫ב‬ ‫סמן‬-x‫את‬‫התחתון‬ ‫הריבוע‬ ‫צלע‬‫באמצעות‬ ‫והבע‬x‫את‬
.‫התחתון‬ ‫הריבוע‬ ‫שטח‬ ‫ואת‬ ‫העליון‬ ‫הריבוע‬ ‫שטח‬
)‫(ב‬‫צ‬ ‫מה‬‫ששטח‬ ‫כדי‬ ‫התחתון‬ ‫הריבוע‬ ‫של‬ ‫הצלע‬ ‫אורך‬ ‫להיות‬ ‫ריך‬
? ‫מינימלי‬ ‫יהיה‬ ‫הצורה‬
:‫פתרון‬
:‫נתונים‬
‫המטרה‬ ‫פונקציית‬
‫שטח‬‫מינימלי‬ ‫יהיה‬ ‫הצורה‬
‫תשובה‬‫סופית‬:
)‫(א‬2
xS 2
)10( xS )‫(ב‬min5x
‫העליון‬ ‫הריבוע‬ ‫שטח‬
2
)10( xS 
‫ה‬ ‫שטח‬‫צורה‬
100202
20100
)10(
2
22
22



xxP
xxxP
xxS
‫הפונקציה‬
50
100)5(20)5(2
5
100202
2
2




P
P
x
xxP
‫ראשונה‬ ‫נגזרת‬
5
204
5.12040
0'
204'





x
x
xx
P
xP
‫שנייה‬ ‫נגזרת‬
Max/min
min4'' P
‫התחתון‬ ‫הריבוע‬ ‫שטח‬
2
)(xS 
10
x
x10
x

42. ‫לנסות‬ ‫חדלת‬ ‫לא‬ ‫עוד‬ ‫כל‬ ‫נכשלת‬ ‫לא‬41‫תשע"ג‬ ‫לשנת‬ ‫מעודכן‬
‫חלק‬4-‫דיפרנציאלי‬ ‫חשבון‬-‫קיצון‬ ‫ערך‬ ‫בעיות‬41.‫דהן‬ ‫יוסי‬ :‫וערך‬ ‫כתב‬
‫מספר‬ ‫שאלה‬2:‫בגרות‬ ‫מבחן‬03330‫אוקטובר‬ ‫מועד‬2339‫תשס"ט‬
‫מלבנים‬ ‫שני‬ ‫שלפניך‬ ‫בציור‬
‫מלבן‬ABCD‫ומלבן‬KLMN.
‫ב‬ ‫נסמן‬-x‫הצלע‬ ‫אורך‬ ‫את‬KL.
‫נתון‬KLAB  2,
‫המלבן‬ ‫היקף‬KLMN‫הוא‬10.
‫המלבן‬ ‫היקף‬ABCD‫פי‬ ‫גדול‬4‫המלבן‬ ‫מהיקף‬KLMN.
(‫א‬).‫באמצעו‬ ‫בטא‬‫ת‬x.‫המלבנים‬ ‫שני‬ ‫של‬ ‫הצלעות‬ ‫אורכי‬ ‫את‬
(‫ב‬)‫של‬ ‫הערך‬ ‫להיות‬ ‫צריך‬ ‫מה‬ .x.‫מקסימלי‬ ‫יהיה‬ ‫המלבנים‬ ‫שני‬ ‫של‬ ‫השטחים‬ ‫שסכום‬ ‫כדי‬
(‫ג‬)‫את‬ ‫חשב‬‫המקסימלי‬ ‫השטח‬
:‫פתרון‬
:‫נתונים‬
‫המטרה‬ ‫פונקציית‬
‫מקסימלי‬ ‫יהיה‬ ‫המלבנים‬ ‫שני‬ ‫של‬ ‫השטחים‬ ‫שסכום‬
‫תשובה‬‫סופית‬:
‫(א‬1))210(,2 xx (‫א‬2))5(, xx )‫(ב‬max5.2x(‫ג‬)max25.31S
A
D C
B
K
N M
Lx
‫מלבן‬KLMN
xb
xb
bx
xa
bap
15
2102
2210
22





‫השטחים‬ ‫סכום‬
2
22
525
4205
)210()2()5()(
xxP
xxxxP
xxxxP
baS




‫הפונקציה‬
25.31
)5.2(5)5.2(25
5.2
525
2
2




P
P
x
xxP
‫ראשונה‬ ‫נגזרת‬
5.2
2510
10250
0'
1025'





x
x
x
P
xP
‫מלבן‬ABCD
xb
xb
bx
xa
bap
210
4202
22220
2
22





‫שנייה‬ ‫נגזרת‬
Max/min
max10)('' xP
x5
N
K
M
Lx
A
D C
Bx2
x210 

43. ‫לנסות‬ ‫חדלת‬ ‫לא‬ ‫עוד‬ ‫כל‬ ‫נכשלת‬ ‫לא‬44‫תשע"ג‬ ‫לשנת‬ ‫מעודכן‬
‫חלק‬4-‫דיפרנציאלי‬ ‫חשבון‬-‫קיצון‬ ‫ערך‬ ‫בעיות‬44.‫דהן‬ ‫יוסי‬ :‫וערך‬ ‫כתב‬
‫מספר‬ ‫שאלה‬0:‫בגרות‬ ‫מבחן‬03830‫תשס"ט‬ ‫קיץ‬ '‫א‬ ‫מועד‬
‫שצלעו‬ ‫ריבוע‬ ‫מוצגים‬ ‫שלפניך‬ ‫בציורים‬x
‫שצלעו‬ ‫צלעות‬ ‫שווה‬ ‫ומשולש‬y
‫מכפלת‬‫היא‬ ‫המשולש‬ ‫בצלע‬ ‫הריבוע‬ ‫צלע‬14
(‫א‬)(1.)‫את‬ ‫בטא‬y‫באמצעות‬x.
(2.)‫באמצעות‬ ‫בטא‬x.‫המשולש‬ ‫והיקף‬ ‫הריבוע‬ ‫היקף‬ ‫של‬ ‫הסכום‬ ‫את‬
(‫ב‬)‫של‬ ‫ערך‬ ‫איזה‬ ‫עבור‬ ‫מצא‬x‫הריבוע‬ ‫היקף‬ ‫של‬ ‫הסכום‬
( ‫א‬ ‫סעיף‬ ‫בתת‬ ‫שהבעת‬ ( ‫המשולש‬ ‫והיקף‬4.‫מינימלי‬ ‫הוא‬ )
(‫ג‬)‫את‬ ‫חשב‬‫ההיקף‬‫ה‬‫מ‬‫ינימלי‬
:‫פתרון‬
‫נתונים‬
‫המטרה‬ ‫פונקציית‬
.‫מינימלי‬ ‫הוא‬ ‫המשולש‬ ‫והיקף‬ ‫הריבוע‬ ‫היקף‬ ‫של‬ ‫סכום‬
‫תשובה‬‫סופית‬:
‫(א‬1)
x
y
12
(‫א‬2)x
x
P 4
36
)‫(ב‬min3x(‫ג‬)min24P
‫את‬ ‫בטא‬y‫באמצעות‬x.
x
y
yx
12
12


‫ההיקפים‬ ‫סכום‬
x
xp
x
xp
bap
36
4
)
12
(3)(4
34



‫הפונקציה‬
24
)3(
36
)3(4
3
36
4




p
p
x
x
xp
‫ראשונה‬ ‫נגזרת‬
33
99
364
3640
0'
364
'
36
4'
21
2,1
2
2
2
2
2
2








xx
xx
x
x
p
x
x
p
x
p
x
x
y y
y
‫שנייה‬ ‫נגזרת‬
Max/min
)‫המונה‬ ‫את‬ ‫לגזור‬ ‫מספיק‬ ‫סימן‬ ‫לקבוע‬ ‫(כדי‬
max24)3(8)3(''
min24)3(8)3(''
)(8)(''



p
p
xxp

44. ‫לנסות‬ ‫חדלת‬ ‫לא‬ ‫עוד‬ ‫כל‬ ‫נכשלת‬ ‫לא‬43‫תשע"ג‬ ‫לשנת‬ ‫מעודכן‬
‫חלק‬4-‫דיפרנציאלי‬ ‫חשבון‬-‫קיצון‬ ‫ערך‬ ‫בעיות‬43.‫דהן‬ ‫יוסי‬ :‫וערך‬ ‫כתב‬
‫מספר‬ ‫שאלה‬4.‫בגרות‬ ‫מבחן‬03830‫תשע"ג‬ ‫פברואר‬ ‫מועד‬2310.
‫משולש‬ ‫נתון‬ ‫שלפניך‬ ‫בציור‬ABC.
AD‫לצלע‬ ‫הגובה‬ ‫הוא‬BC.
‫כי‬ ‫נתון‬14= ‫ס"מ‬BC+AD.
( )‫(א‬1‫ב‬ ‫נסמן‬ )x‫אורך‬ ‫את‬AD.
‫באמצעות‬ ‫הבע‬x‫הצלע‬ ‫אורך‬ ‫את‬BC.
(4‫ערכ‬ ‫להיות‬ ‫צריך‬ ‫מה‬ )‫של‬ ‫ו‬x‫ששטח‬ ‫כדי‬
‫המשולש‬ABC? ‫מקסימלי‬ ‫יהיה‬
‫משולש‬ ‫של‬ ‫המקסימלי‬ ‫שטחו‬ ‫מהו‬ )‫(ב‬ABC?
:‫פתרון‬
‫נתונים‬
‫המטרה‬ ‫פונקציית‬
‫משולש‬ ‫של‬ ‫המקסימלי‬ ‫שטחו‬ABC
:‫סופית‬ ‫תשובה‬
(‫א‬1)xBC 14‫(ב‬1)max7x‫(ב‬2)max5.24S
‫את‬ ‫בטא‬y‫באמצעות‬x.
xBC
BCx
xAD
BCAD




14
14
14
‫שטח‬‫מק‬‫סימלי‬
2
22
5.07
22
14
2
14
2
)14(
2
xxp
xxxx
p
xx
p
ba
S








‫הפונקציה‬
5.24
)7(5.0)7(7
7
5.07
2
2




p
p
x
xxp
‫ראשונה‬ ‫נגזרת‬
7
70
0'
7'




x
x
p
xp
‫שנייה‬ ‫נגזרת‬
Max/min
max1)('' xp

45. ‫לנסות‬ ‫חדלת‬ ‫לא‬ ‫עוד‬ ‫כל‬ ‫נכשלת‬ ‫לא‬44‫תשע"ג‬ ‫לשנת‬ ‫מעודכן‬
‫חלק‬4-‫דיפרנציאלי‬ ‫חשבון‬-‫קיצון‬ ‫ערך‬ ‫בעיות‬44.‫דהן‬ ‫יוסי‬ :‫וערך‬ ‫כתב‬
‫מספר‬ ‫שאלה‬3:‫בגרו‬ ‫מבחן‬‫ת‬03330‫תשס"ט‬ ‫קיץ‬ '‫א‬ ‫מועד‬
‫מלבן‬ ‫בצורת‬ ‫אדמה‬ ‫חלקת‬ ‫ישראלי‬ ‫למר‬
‫שאורכו‬400‫מטר‬‫ורוחבו‬300. ‫מטר‬
‫החלקה‬ ‫של‬ ‫האורך‬ ‫את‬ ‫לקצר‬ ‫רוצה‬ ‫ישראלי‬ ‫מר‬
‫ב‬–x‫ב‬ ‫רוחבה‬ ‫את‬ ‫ולהאריך‬ , ‫מטר‬–x‫מטר‬
) ‫בציור‬ ‫המקווקו‬ ‫השטח‬ ( ‫חדשה‬ ‫חלקה‬ ‫שתתקבל‬ ‫כך‬
)‫(א‬‫באמצעות‬ ‫הביע‬x‫החדש‬ ‫השטח‬ ‫את‬
‫(ב‬)‫של‬ ‫הערך‬ ‫את‬ ‫מצא‬x.‫מקסימלי‬ ‫יהיה‬ ‫החדשה‬ ‫החלקה‬ ‫שטח‬ ‫שעבורו‬
(‫ג‬)‫את‬ ‫חשב‬‫החדשה‬ ‫החלקה‬ ‫שטח‬‫ה‬‫מקסימלי‬
:‫פתרון‬
:‫נתונים‬
‫המטרה‬ ‫פונקציית‬
‫החדשה‬ ‫החלקה‬ ‫שטח‬‫ה‬‫מקסימלי‬
‫תשובה‬‫סופית‬:
)‫(א‬1200001002
 xxST
)‫(ב‬max50x(‫ג‬)max500,122S
‫החדש‬ ‫אורך‬
x400
‫החדש‬ ‫השטח‬‫מקסימלי‬
2
2
100000,120
300400000,120
)300()400(
xxP
xxxP
xxP
baS




‫הפונקציה‬
500,122
)50()50(100000,120
50
100000,120
2
2




P
P
x
xxP
‫ראשונה‬ ‫נגזרת‬
50
1002
21000
0'
2100'





x
x
x
P
xP
‫חדש‬ ‫רוחב‬
x300
‫שנייה‬ ‫נגזרת‬
Max/min
max2)(' xP
044
‫מטר‬
044
‫מטר‬
x
x

46. ‫לנסות‬ ‫חדלת‬ ‫לא‬ ‫עוד‬ ‫כל‬ ‫נכשלת‬ ‫לא‬45‫תשע"ג‬ ‫לשנת‬ ‫מעודכן‬
‫חלק‬4-‫דיפרנציאלי‬ ‫חשבון‬-‫קיצון‬ ‫ערך‬ ‫בעיות‬45.‫דהן‬ ‫יוסי‬ :‫וערך‬ ‫כתב‬
‫מספר‬ ‫שאלה‬6:‫בגרות‬ ‫מבחן‬03330‫מועד‬‫פברואר‬2312‫תשע"ב‬
‫מלבן‬ ‫נתון‬ABCD‫שבו‬50= ‫ס"מ‬BC,40= ‫ס"מ‬DC.
‫הצלע‬ ‫את‬ ‫מאריכים‬DC‫ב‬–x‫הצלע‬ ‫את‬ ‫ומקצרים‬ , ‫ס"מ‬BC‫ב‬–2x.‫ס"מ‬
‫מלבן‬ ‫שנוצר‬ ‫כך‬FCEG.) ‫בציור‬ ‫(כמתואר‬
.‫א‬‫בט‬‫באמצעות‬ ‫א‬x‫הצלעות‬ ‫אורכי‬ ‫את‬EC‫ו‬–FC‫המלבן‬ ‫של‬FCEG.
.‫ב‬‫באמצעות‬ ‫בטא‬x‫המלבן‬ ‫שטח‬ ‫את‬FCEG.
( .‫ג‬1)‫את‬ ‫מצא‬‫של‬ ‫הערך‬x‫המלבן‬ ‫שטח‬ ‫שעבורו‬FCEG. ‫מקסימלי‬ ‫הוא‬
(2)‫המלבן‬ ‫שטח‬ ‫את‬ ‫מצא‬FCEG. ‫מקסימלי‬ ‫ששטחו‬
:‫פתרון‬
:‫נתונים‬
‫המטרה‬ ‫פונקציית‬
‫המלב‬ ‫שטח‬‫ן‬FCEG‫מקסימלי‬ ‫הוא‬
‫סופית‬ ‫תשובה‬:
)‫(א‬xFCxEC  20250)‫(ב‬1000102 2
 xxSFCEG
‫(ג‬1)5.2x‫(ג‬4)5.1012S
‫או‬‫רך‬FC
x20
‫החדש‬ ‫השטח‬
2
2
210000,1
24050000,1
)20()250(
xxP
xxxP
xxP
baS




‫הפונקציה‬
5.102,1
)5.2(2)5.2(10000,1
5.2
210000,1
2
2




P
P
x
xxP
‫ראשונה‬ ‫נגזרת‬
5.2
104
4100
0'
410'





x
x
x
P
xP
‫אורך‬EC
x250 
‫שנייה‬ ‫נגזרת‬
Max/min
max4)('' xP
044
‫מטר‬
A
D
B
C
E
G
F
20
x2
x
50

47. ‫לנסות‬ ‫חדלת‬ ‫לא‬ ‫עוד‬ ‫כל‬ ‫נכשלת‬ ‫לא‬46‫תשע"ג‬ ‫לשנת‬ ‫מעודכן‬
‫חלק‬4-‫דיפרנציאלי‬ ‫חשבון‬-‫קיצון‬ ‫ערך‬ ‫בעיות‬46.‫דהן‬ ‫יוסי‬ :‫וערך‬ ‫כתב‬
‫מספר‬ ‫שאלה‬7:‫בגרות‬ ‫מבחן‬03330‫תשס"ד‬ ‫קיץ‬ '‫א‬ ‫מועד‬
‫שהיקפ‬ ‫חיצוני‬ ‫מלבן‬ ‫בתוך‬‫ו‬74‫פנימי‬ ‫מלבן‬ ‫נמצא‬ ‫ס"מ‬
‫מקבילות‬ ‫שצלעותיו‬.‫החיצוני‬ ‫המלבן‬ ‫לצלעות‬‫השוליים‬ ‫רוחב‬
‫הצרים‬4‫השוליים‬ ‫ורוחב‬ ,‫צד‬ ‫מכל‬ ‫ס"מ‬
‫הוא‬ ‫הרחבים‬3.‫ציור‬ ‫ראה‬ ‫צד‬ ‫מכל‬ ‫ס"מ‬
‫א‬.‫ב‬ ‫נסמן‬x‫בציור‬ ‫כמסומן‬ ( ‫החיצוני‬ ‫המלבן‬ ‫רוחב‬ ‫את‬).
‫באמצעות‬ ‫הבע‬x‫ה‬ ‫שטח‬ ‫ואת‬ ‫החיצוני‬ ‫המלבן‬ ‫אורך‬ ‫את‬.‫הפנימי‬ ‫מלבן‬
‫ב‬.‫את‬ ‫מצא‬x.‫המקסימלי‬ ‫הוא‬ ‫הפנימי‬ ‫המלבן‬ ‫שטח‬ ‫שעבורו‬
:‫פתרון‬
:‫נתונים‬
‫המטרה‬ ‫פונקציית‬
‫המקסימלי‬ ‫הוא‬ ‫הפנימי‬ ‫המלבן‬ ‫שטח‬
‫תשובה‬‫סופית‬:
)‫(א‬xy  36120342
 xxS)‫(ב‬max17x
‫המלב‬ ‫אורך‬‫החיצוני‬ ‫ן‬
xb
x
b
bx
xa
bap






36
2
272
2272
22
‫הפנימי‬ ‫המלבן‬ ‫שטח‬
12034
412030
)30()4(
2
2



xxP
xxxP
xxP
‫הפונקציה‬
169
120)17(34)17(
17
12034
2
2




p
p
x
xxp
‫ראשונה‬ ‫נגזרת‬
17
342
3420
0'
342'





x
x
x
p
xp
‫שנייה‬ ‫נגזרת‬
Max/min
max2'' p
‫הפנימי‬ ‫מלבן‬ ‫שטח‬
)30()4( xxS
baS


2
2
0 0x
x36

48. ‫לנסות‬ ‫חדלת‬ ‫לא‬ ‫עוד‬ ‫כל‬ ‫נכשלת‬ ‫לא‬47‫תשע"ג‬ ‫לשנת‬ ‫מעודכן‬
‫חלק‬4-‫דיפרנציאלי‬ ‫חשבון‬-‫קיצון‬ ‫ערך‬ ‫בעיות‬47.‫דהן‬ ‫יוסי‬ :‫וערך‬ ‫כתב‬
‫מספר‬ ‫שאלה‬8:‫בגרות‬ ‫מבחן‬03330‫תשס"ז‬ ‫אוקטובר‬ ‫מועד‬
‫היקפו‬‫הוא‬ ‫מלבן‬ ‫שצורתו‬ ‫משחקים‬ ‫מגרש‬ ‫של‬140.‫מטר‬
‫החול‬ ‫לארגז‬ ‫ומסביב‬ ‫מלבן‬ ‫בצורת‬ ‫חול‬ ‫ארגז‬ ‫בנו‬ ‫במרכזו‬
.‫בסרטוט‬ ‫כמתואר‬ ‫שנותר‬ ‫המגרש‬ ‫שטח‬ ‫בכל‬ ‫דשא‬ ‫שתלו‬
(‫א‬)‫ב‬ ‫נסמן‬x‫ה‬ ‫רוחב‬ ‫את‬‫מגרש‬‫(כמסומן‬ ‫החיצוני‬‫בציו‬‫ר‬).
‫באמצעות‬ ‫הבע‬x‫ה‬ ‫אורך‬ ‫את‬‫מגרש‬‫החיצוני‬
‫שטח‬ ‫ואת‬.‫החול‬ ‫ארגז‬
(‫א‬)‫המשחקים‬ ‫מגרש‬ ‫של‬ ‫והרוחב‬ ‫האורך‬ ‫להיות‬ ‫צריכים‬ ‫מה‬
? ‫מקסימלי‬ ‫יהיה‬ ‫החול‬ ‫ארגז‬ ‫ששטח‬ ‫כדי‬
(‫ב‬)? ‫החול‬ ‫ארגז‬ ‫של‬ ‫המקסימלי‬ ‫השטח‬ ‫מהו‬
:‫פתרון‬
‫נתונים‬
‫פונ‬‫המטרה‬ ‫קציית‬
‫המקסימלי‬ ‫הוא‬ ‫הפנימי‬ ‫המלבן‬ ‫שטח‬
‫תשובה‬‫סופית‬:
)‫(א‬04, ‫מטר‬06‫מטר‬)‫(ב‬784‫מ"ר‬
‫החיצוני‬ ‫המלבן‬ ‫אורך‬
xb
x
b
bx
xa
bap






70
2
2140
22140
22
‫שטח‬‫החול‬ ‫ארגז‬
51272
851264
)64()8(
2
2



xxp
xxxp
xxp
‫הפונקציה‬
784
512)36(72)36(
36
51272
2
2




p
p
x
xxp
‫ראשונה‬ ‫נגזרת‬
36
722
7220
0'
722'





x
x
x
p
xp
‫שנייה‬ ‫נגזרת‬
Max/min
max2'' p
‫החול‬ ‫ארגז‬ ‫שטח‬
)64()8( xxS
baS


0
0
0 0x
x70
0
0
00
‫חול‬ ‫ארגז‬x