תוחלת תכונות של תוחלת לינאריות של תוחלת

1. Igor Kleiner (M.Sc.) igkleiner@gmail.com
2016

2. 
‫מ‬"‫מ‬
‫תזכורת‬
),(: X
X 2 3 4 …. 10 11 12
P(X=x) 1/36 2/36 3/36 3/36 2/36 1/36

3. 
‫סיכום‬

4. 
‫תוחלת‬(expectation)-‫בהסתברות‬ ‫החשובים‬ ‫מהמושגים‬ ‫אחד‬
‫דוגמאות‬ ‫בכמה‬ ‫נסתכל‬ ‫לתוחלת‬ ‫מתמטית‬ ‫הגדרה‬ ‫שניתן‬ ‫לפני‬
‫מ‬ ‫של‬ ‫תוחלת‬"‫מ‬

5. 
‫של‬ ‫ציונים‬ ‫של‬ ‫רשימת‬ ‫בעזרת‬ ‫לאפיין‬ ‫אפשר‬ ‫בלימודים‬ ‫סטודנט‬ ‫של‬ ‫הישגים‬
‫סטודנט‬.‫למשל‬:
100‫של‬ ‫קורס‬4‫נקודות‬
88‫של‬ ‫קורס‬2‫נקודות‬
90‫של‬ ‫קורס‬5‫נקודות‬
94‫של‬ ‫קורס‬2‫נקודות‬
‫אינטויציה‬ ‫תוחלת‬

6. 
‫של‬ ‫ציונים‬ ‫של‬ ‫רשימת‬ ‫בעזרת‬ ‫לאפיין‬ ‫אפשר‬ ‫בלימודים‬ ‫סטודנט‬ ‫של‬ ‫הישגים‬
‫סטודנט‬.‫למשל‬:
100‫של‬ ‫קורס‬4‫נקודות‬
88‫של‬ ‫קורס‬2‫נקודות‬
90‫של‬ ‫קורס‬5‫נקודות‬
94‫של‬ ‫קורס‬2‫נקודות‬
‫אחד‬ ‫מספר‬ ‫בעזרת‬ ‫סטודנט‬ ‫של‬ ‫השגים‬ ‫לאפיין‬ ‫רוצים‬ ‫אנו‬ ‫נניח‬.‫נעשה‬ ‫מה‬?
‫מקסימלי‬ ‫ציון‬?‫מינימלי‬ ‫ציון‬?‫ממוצע‬ ‫ציון‬?
‫אינטויציה‬ ‫תוחלת‬

7. 
‫של‬ ‫ציונים‬ ‫של‬ ‫רשימת‬ ‫בעזרת‬ ‫לאפיין‬ ‫אפשר‬ ‫בלימודים‬ ‫סטודנט‬ ‫של‬ ‫הישגים‬
‫סטודנט‬.‫למשל‬:
100‫של‬ ‫קורס‬4‫נקודות‬
88‫של‬ ‫קורס‬2‫נקודות‬
90‫של‬ ‫קורס‬5‫נקודות‬
94‫של‬ ‫קורס‬2‫נקודות‬
‫אחד‬ ‫מספר‬ ‫בעזרת‬ ‫סטודנט‬ ‫של‬ ‫השגים‬ ‫לאפיין‬ ‫רוצים‬ ‫אנו‬ ‫נניח‬.‫נעשה‬ ‫מה‬?
‫מקסימלי‬ ‫ציון‬?‫מינימלי‬ ‫ציון‬?‫ממוצע‬ ‫ציון‬?
[(100*4)+88*2+90*5+94*2]/(4+2+5+2)
‫אינטויציה‬ ‫תוחלת‬

8. 
‫ההגרלות‬ ‫משתי‬ ‫באחד‬ ‫להשתתף‬ ‫שאפשר‬ ‫נניח‬
‫הגרלה‬1:
‫הגרלה‬2:
‫נשחק‬ ‫הגרלה‬ ‫באיזו‬?
‫אינטויציה‬ ‫תוחלת‬2
Y 10 20 30
P(Y=y) 0.2 0.3 0.5
X 10 20 40
P(X=x) 0.2 0.3 0.4

9. 
‫ההגרלות‬ ‫משתי‬ ‫באחד‬ ‫להשתתף‬ ‫שאפשר‬ ‫נניח‬
‫הגרלה‬1:
‫הגרלה‬2:
‫נשחק‬ ‫הגרלה‬ ‫באיזו‬?‫רווח‬ ‫נמצא‬"‫ממוצע‬"‫מההגרלות‬ ‫אחד‬ ‫בכל‬:
‫אינטויציה‬ ‫תוחלת‬2
Y 10 20 30
P(Y=y) 0.2 0.3 0.5
X 10 20 40
P(X=x) 0.3 0.3 0.4
254.0*403.0*203.0*10235.0*303.0*202.0*10  EXEY

10. 
‫ההגרלות‬ ‫משתי‬ ‫באחד‬ ‫להשתתף‬ ‫שאפשר‬ ‫נניח‬
‫הגרלה‬1:
‫הגרלה‬2:
‫נשחק‬ ‫הגרלה‬ ‫באיזו‬?‫רווח‬ ‫נמצא‬"‫ממוצע‬"‫מההגרלות‬ ‫אחד‬ ‫בכל‬:
‫אינטויציה‬ ‫תוחלת‬2
Y 10 20 30
P(Y=y) 0.2 0.3 0.5
X 10 20 40
P(X=x) 0.3 0.3 0.4
254.0*403.0*203.0*10235.0*303.0*202.0*10  EXEY

11. 
‫יהי‬X‫מ‬"‫ערכים‬ ‫שמקבל‬ ‫בדיד‬ ‫מ‬‫נגדיר‬‫תוחלת‬‫מ‬ ‫של‬"‫מ‬X
‫הבא‬ ‫באופן‬:
‫הגדרה‬ ‫תוחלת‬
,....,, 210 xxx
)(
0
i
i
i xXPxEX  



12. 

13. 
‫שאלה‬:
‫חשב‬:EX
‫פתרון‬:
‫דוגמא‬ ‫תוחלת‬
)2.0(~ BerX

14. 
‫שאלה‬:
‫חשב‬:EX
‫פתרון‬:
‫דוגמא‬ ‫תוחלת‬
pppEX  *1)1(*0
X 0 1
P(X=x) 1-p p
)2.0(~ BerX

15. 
‫שאלה‬:
‫חשב‬:EX
‫פתרון‬:
‫דוגמא‬ ‫תוחלת‬
]6,1[~ UnifX

16. 
‫שאלה‬:
‫חשב‬:EX
‫פתרון‬:
‫דוגמא‬ ‫תוחלת‬
  5.36...21
6
1
6
1
*6
6
1
*5
6
1
*4
6
1
*3
6
1
*2
6
1
*1 EX
]6,1[~ UnifX
X 1 2 3 4 5 6 Σ
P(X=x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1

17. 

18. 
‫שאלה‬:‫פעמיים‬ ‫הוגנת‬ ‫קובייה‬ ‫מטילים‬.‫התוצאות‬ ‫סכום‬ ‫של‬ ‫תוחלת‬ ‫מהי‬
‫פתרון‬:
‫יהי‬X‫מ‬"‫אזי‬ ‫התוצאות‬ ‫לסכום‬ ‫ששווה‬ ‫מ‬:
‫דוגמא‬ ‫תוחלת‬

19. 
‫שאלה‬:‫פעמיים‬ ‫הוגנת‬ ‫קובייה‬ ‫מטילים‬.‫התוצאות‬ ‫סכום‬ ‫של‬ ‫תוחלת‬ ‫מהי‬
‫פתרון‬:
‫יהי‬X‫מ‬"‫אזי‬ ‫התוצאות‬ ‫לסכום‬ ‫ששווה‬ ‫מ‬:
‫דוגמא‬ ‫תוחלת‬
X 1 2 … 10 11 12
P(X=x) 1/36 2/36 3/36 2/36 1/36
7
36
1
*12...
36
1
*3
36
1
*2)(*
36
2
 i
iXPiEX

20. 
‫שאלה‬:‫פעמיים‬ ‫הוגנת‬ ‫קובייה‬ ‫מטילים‬.‫התוצאות‬ ‫סכום‬ ‫של‬ ‫תוחלת‬ ‫מהי‬
‫פתרון‬:
‫יהי‬X‫מ‬"‫אזי‬ ‫התוצאות‬ ‫לסכום‬ ‫ששווה‬ ‫מ‬:
EX=3.5+3.5=7
‫דוגמא‬ ‫תוחלת‬
X 1 2 … 10 11 12
P(X=x) 1/36 2/36 3/36 2/36 1/36
7
36
1
*12...
36
1
*3
36
1
*2)(*
36
2
 i
iXPiEX

21. 
‫שאלה‬:
‫חשב‬:EX
‫פתרון‬:
‫דוגמא‬ ‫תוחלת‬
 
?
?
)( kXkPEX
),(~ pnBinX

22. 
‫שאלה‬:
‫חשב‬:EX
‫פתרון‬:
‫דוגמא‬ ‫תוחלת‬
 





 
n
knk
n
qp
k
n
kkXkPEX
00
)(
),(~ pnBinX

23. 
‫שאלה‬:
‫חשב‬:EX
‫פתרון‬:
‫דוגמא‬ ‫תוחלת‬
1*
)!()!1(
)!1(
)!()!1(
!
)!(!
!
)(
0
1
0
000
np
qp
knk
n
npqp
knk
n
qp
knk
n
kqp
k
n
kkXkPEX
n
knk
n
knk
n
knk
n
knk
n




















),(~ pnBinX

24. 
‫שאלה‬:
‫חשב‬:EX
‫פתרון‬:
‫דוגמא‬ ‫תוחלת‬
 
?
?
)( kXkPEX
),(~ pnPoissX

25. 
‫שאלה‬:
‫חשב‬:EX
‫פתרון‬:
‫דוגמא‬ ‫תוחלת‬















 










ee
k
e
k
e
k
ke
k
ke
k
kekXkPEX
kk
kkk
1
1
1
1100
)!1()!1(
!!!
)(
),(~ pnPoissX

26. 
‫תוחלת‬(expectation)-‫בהסתברות‬ ‫החשובים‬ ‫מהמושגים‬ ‫אחד‬
‫סיכום‬