sistem bilangan kompleks dan geometri

1. Analisa Kompleks
Materi I : Sistem Bilangan Kompleks & Geometri Bilangan
Kompleks
Kelompok 5
(1202030129)Syuhada Sitompul
(1202030167)Hariyadi Putraga
(1202030173)Nuraida
(1202030178)Milda Lestari
(1202030186)SriWulan
KELAS VI-C PAGI
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENGETAHUAN
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH SUMATERA UTARA
T.A. 2014/2015
2015

2. Kelompok 5
Universitas Muhammadiyah Sumatera Utara
Analisis Kompleks
2
Materi I
SISTEM BILANGAN KOMPLEKS &
GEOMETRI BILANGAN KOMPLEKS
1. Sistem Bilangan Kompleks
Definisi 1: Bilangan Kompleks adalah suatu pasangan terurut dari dua
bilangan Real x dan y yang dinyatakan oleh (x,y) atau x + iy. Pernyataan
ini merupakan definisi formal dari bilangan kompleks. Lambang bilangan
kompleks kita gunakan huruf z yang berarti   iyxyxz  ,
 zx Re = bagian riil z,
 zy Im = bagian imajiner z,
i = satuan imajiner dan 12
i .
Ada beberapa hal yang perlu diperhatikan dalam bilangan kompleks yaitu
1. C = himpunan bilangan kompleks
=  1&,, 2
 iyxiyxzz .
2. Jika   0Re z dan   0Im z maka z dinamakan bilangan imajiner
murni.
3. Jika   0Re z dan   0Im z maka z merupakan bilangan riil.
4. Kesamaan bilangan kompleks.
Misalkan 111 iyxz  dan 222 iyxz  .
21 zz  jika dan hanya jika 21 xx  dan 21 yy 

3. Kelompok 5
Universitas Muhammadiyah Sumatera Utara
Analisis Kompleks
3
Definisi 2: Dua bilangan kompleks z1 = x1 + iy1 dan z2 = x2 + iy2
dikatakan sama, ditulis z1 = z2 jika x1 = x2 dan y1 = y2.
Khususnya z = x + iy = 0 jika dan hanya jika x=0 dan y=0.
Dalam operasi bilangan kompleks, terdapat operasi aljabarnya. Misalkan
111 iyxz  dan 222 iyxz  .
a. Penjumlahan :    212121 yyixxzz 
b.Pengurangan :    212121 yyixxzz 
c. Perkalian :
  
   
   12212121
1221
2
2121
221121
yxyxiyyxx
iyxiyxiyyxx
iyxiyxzz



d.Pembagian :
0,
.
22
2
2
2
2112
2
2
2
2
2121
22
22
22
11
22
111
21
2
1






















 
z
yx
yxyx
i
yx
yyxx
iyx
iyx
iyx
iyx
iyx
iyx
zz
z
z
Perlu diperhatikan :
1. z ( negatif z ).
Jika iyxz  maka iyxz  .
2.
z
z
11

( kebalikan z )
Jika iyxz  maka 2222
1
yx
y
i
yx
x
z




.

4. Kelompok 5
Universitas Muhammadiyah Sumatera Utara
Analisis Kompleks
4
Teorema 1.1
Himpunan bilangan kompleks C memenuhi sifat-sifat lapangan, yakni :
1) z1 + z2  C dan z1 z2  C,  z1, z2  C
2) z1 + z2 = z2 + z1 dan z1 z2 = z2 z1,  z1, z2  C (komutatif)
3) (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) dan (z1 z2) z3 = z1 (z2 z3),
 z1, z2, z3  C (Asosiatif)
4) z1 (z2 + z3) = z1 z2 + z1 z3,  z1, z2, z3  C (Distributif)
5) Ada 0  C, sehingga z + 0 = 0 + z = z,  z C (identitas +)
6) Ada 1 C, sehingga z . 1 = 1.z = z,  z  C (identitas x)
7)  z = (x,y)  C,  -z = (-x, -y)  C,  z + (-z) = 0 (invers +)
8)  z = (x,y)  C,  z-1 = ( 22
yx
x

, 22
yx
y


)  C,  z z-1 = 1(invers x)
Bukti Teorema 1.1 dapat dilakukan sendiri dengan berpedoman pada
definisi 1dan 2
Contoh 1 :
Jika z = x + iy dan 2 = 2 + i0, tentukan 2z dan zz-1!
Jwb: 2z = z x 2 = (x + iy)(2 + i0) = 2x + 2yi = z
Jika z = x + iy dan z-1 = ( 22
yx
x

, 22
yx
y


), maka
zz-1 = (x + iy) ( 22
yx
x

, 22
yx
y


i)
= 22
22
yx
yx


+ 22
yx
xyyx


i = 1 + 0i = 1

5. Kelompok 5
Universitas Muhammadiyah Sumatera Utara
Analisis Kompleks
5
Contoh 2
Diberikan z1 = 5 – 3i dan z2 = -3 + i, tentukan bilangan kompleks :
(a) z1 + z2, (b) z1 - z2, (c) z1 z2, dan (d)
2
1
z
z
Jawab :
(a) z1 + z2 = (5 – 3i) + (-3 + i) = (5 – 3) + (-3 + 1)i = -2 – 2i
(b)z1 - z2 = (5 – 3i) - (-3 + i) = (5 + 3) + (-3 - 1)i = 8 – 4i
(c)z1 z2 = (5 – 3i) (-3 + i) = – 15 + 5i + 9i –3i2
= – 15 +3 + 14i
= – 12 + 14i
(d)
2
1
z
z
=
i
i


3
35
= (
i
i


3
35
)(
i
i


3
3
) = 2
2
9
39515
i
iii


=
10
1418 i
=
5
9
+
5
7
i
Aspek Geometri Bilangan Kompleks
Secara aljabar bilangan kompleks z = x+yi dapat dibayangkan sebagai
pasangan terurut dua bilangan real (x, y) yang terletak di bidang Euclides
atau bidang Argan R2, sehingga secara geometri himpunan bilangan
kompleks C dapat pula dinyatakan sebagai suatu bidang, yang disebut
bidang kompleks atau bidang-z. Pada bidang kompleks, sumbu x disebut
sumbu real sedangkan sumbu y disebut sumbu imajiner. Dengan demikian,
suatu bilangan kompleks z = a + bi dapat dinyatakan sebagai titik di bidang
kompleks dengan koordinat (a,b) dan C  R2.

6. Kelompok 5
Universitas Muhammadiyah Sumatera Utara
Analisis Kompleks
6
Selain itu, suatu bilangan kompleks z = a + bi dapat dinyatakan pula sebagai
vektor di bidang kompleks dengan titik pangkal (0,0) dan titik ujung (a, b).
Jika pada R2 kita dapat menyatakan suatu titik dalam koordinat kutub (polar)
maka demikian pula pada C, dengan mendefenisikan modulus dan argumen
dari z. Pada R2, modulus kita kenal sebagai panjang atau norm vektor (x, y),
sedangkan argumen kita kenal sebagai arah vektor (x, y).
Modulus dari z = a+bi, dinotasikan sebagai │𝑧│ didefenisikan sebagai
│z│ = √ 𝑎2 + 𝑏2
Penyajian SecaraGeometris
Setiap bilangan kompleks dapat dipasangkan dengan tepat satu titik di dalam
bidang datar, sebaliknya setiap titik di dalam bidang datar berpasangan den-
gan tepat satu bilangan kompleks. Sebagai contoh, bilangan 2 + 3i dapat dis-
ajikan dengan titik (2, 3). Jadi, terdapat korespondensi 1-1 antara sistem
bilangankompleks C dengan bidang datar. Oleh karena itu, sebarang
bilangan kompleks z = x + iy dapat atau sering disajikan sebagai titik (x, y)
atau sebagai vektor posisi dari titik asal ke titik (x, y). Karena sebarang
bilangan kompleks z = x + iy secara geometris dapat dinyatakan sebagai titik
(x, y), maka bidang datar xy seringkali disebut sebagai bidang kompleks
atau bidang-z. Sumbu-x dan sumbu-y masing-masing disebut sebagai sumbu
real dan sumbu imajiner. Diberikan dua bilangan kompleks sebarang z1 = x1
+ iy1 dan z2 = x2 + iy2. Terkait dengan defenisi penjumlahan dua bilangan
kompleks, maka z1 +z2 dapat disajikan dengan titik (x1 + x2, y1 + y2) atau

7. Kelompok 5
Universitas Muhammadiyah Sumatera Utara
Analisis Kompleks
7
dapat pula disajikan dengan vektor posisi OA, dengan A(x1 + x2, y1 + y2).
Dengan demikian z1 + z2 dapat diperoleh dengan cara menjumlahkan vektor
z1 dan vektor z2. Demikian pula, vektor z1-z2dapat diperoleh dengan cara
menjumlahkan vektor z1 dengan vektor -z2.
Andaikan terdapat bilangan komplek z= (3 + 2j), maka jumlahkan vektor 3
dengan Vektor 2ĵ
2j
+3
-3 -2 -1 0 1 2
Untuk lebih memperjelasnya , akan diberikan contoh
pengimplementasiannya dari keempat kuadran. Sebagai berikut :
Gambaran bilangan kompleks : (i) z1 = 2 + 3ĵ
(ii) z2 = -3 + 2j
(iii) z3 = 4 – 4j
(iv) z4 = -4 – 4j
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Z4 = -4 - 4j
Z3 = 4 - 4j
Z1 = 2 + 3j
Z2 = -3 + 2j
3 + 2j

8. Kelompok 5
Universitas Muhammadiyah Sumatera Utara
Analisis Kompleks
8
Penjumlahan bilangan kompleks
Andaikan terdapat bilangan kompleks Z1 dan Z2, maka penggambaran
operasinya sama dengan operasi penjumlahan pada vektor.
Contoh:
Gambarkan penjumlahan bilangan kompleks, sebagai berikut :
penjumlahan bilangan kompleks : (i) z1 = 2 + 3ĵ (ii) z2 = 3 + 2j
menghasilkan (iii) z3 = 5 + 5j
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Z1 = 2 + 3j
Z2 = 3 + 2j
Z3 = 5 + 5j
1
4
3
2
5

9. Kelompok 5
Universitas Muhammadiyah Sumatera Utara
Analisis Kompleks
9
Teorema 1.2
1. Bilangan kompleks sekawan dari iyxz  didefinisikan sebagai bilangan
kompleks iyxz  .Jika z bilangan kompleks, maka :
(a) z = z
(b) z + z = 2 Re(z)
(c) z – z = 2i Im(z)
(d) zz = (Re(z))2 + (Im(z))2
2. Jika z1 dan z2 bilangan kompleks, maka :
(a) 21 zz  = 1z + 2z
(b) 21 zz  = 1z – 2z
(c) 21zz = 1z 2z
(d) )(
2
1
z
z
=
2
1
z
z
, 2z 0
Bukti
Misalkan z1 = x1 + iy1 dan z2 = x2 + y2, maka
(a). 21 zz  = )()( 2211 iyxiyx  = iyyxx )()( 2121 
= (x1 + x2) – i(y1 + y2)
= (x1 - iy1) + (x2 - iy2)
= 1z + 2z
(b). 21 zz  = )()( 2211 iyxiyx  = iyyxx )()( 2121 
= (x1 - x2) + i(y1 - y2)
= (x1 + iy1) - (x2 + iy2)
= 1z - 2z

10. Kelompok 5
Universitas Muhammadiyah Sumatera Utara
Analisis Kompleks
2
DAFTAR PUSTAKA
http://cc.ee.ntu.edu.tw/~jfkiang/complex%20analysis/complex_analysis.pdf
http://directory.ung.ac.id/bei/Kompetisi%20Bahan%20Ajar/Pendaftaran/We
b/FMIPA%20-%20Nurwan/HANDOU~1.DOC
http://elisa.ugm.ac.id/user/archive/download/64481/2aaa16d43f5e7bbd2675
89be80a8e01e Pg. 8-10
http://math.sfsu.edu/beck/papers/complex.pdf Pg.11
http://wmuharini.lecture.ub.ac.id/files/2014/10/ModulFungsiKompleks.pdf
www.academia.edu/9212057/SISTEM_BILANGAN_KOMPLEKS Pg. 10