Dokumen tersebut membahas tentang bilangan kompleks, yang merupakan gabungan bilangan riil dan imajiner. Bilangan kompleks dapat ditulis dalam bentuk z = x + iy, dimana x adalah bagian riil dan y adalah bagian imajiner. Bilangan kompleks juga dapat ditulis dalam bentuk polar dan eksponensial.

1. BILANGAN KOMPLEKS
PERTEMUAN 1
Dosen
Gaung Pradana, M.Pd.

2. PENDAHULUAN
 Bilangan Kompleks adalah gabungan dari bilangan
nyata (Riil) dengan bilangan imajiner
Apakah Bilangan Kompleks itu
?

3. PENDAHULUAN

4. PENDAHULUAN
Apakah Bilangan Imajiner itu ?
 Bilangan yang merupakan akar kuadrat dari suatu bilangan
negatif
 Contoh :
 Definisi 1 : dan
 Jadi dapat ditulis
13
,
7
,
5 


1


i
5
 5
5
*
1 i


1
2


i

5. LATIHAN 1
Tentukan akar – akar dari persamaan kuadrat berikut :
0
5
2
2


 x
x
0
1
2
3 2


 x
x
0
8
4
2


 x
x
0
7
2


 x
x
0
3
2
2


 x
x

6. Bilangan Kompleks
Definisi.
Sebuah bilangan kompleks z dinotasikan sebagai pasangan
bilangan riil (x,y) dan kita bisa tulis sebagai z = (x,y)
Nilai x adalah bagian riil dari z
y adalah bagian imajiner dari z
dan dinotasikan x = Re(z) dan y = Im(z)
Bentuk Lain Bilangan Kompleks
1. Bentuk, z = x + iy
Selain dituliskan dalam bentuk pasangan bilangan, bilangan kompleks z
juga dituliskan dalam bentuk z = x + i y,
dimana x, y real dan i2 = -1.
x = Re(z) dan y = Im(z)

7. BILANGAN KOMPLEKS
 Penulisan bilangan kompleks z =
a+bj sering disingkat sebagai
pasangan terurut (a,b), oleh
karena itu bilangan kompleks
dapat dinyatakan dalam suatu
bidang datar seperti halnya
koordinat titik dalam sistem
koordinat kartesius
 Bidang yang digunakan untuk
menggambarkan bilangan
kompleks disebut bidang
kompleks atau bidang argand

8. Interpretasi geometri bilangan kompleks
Secara geometri z = x + iy digambarkan sama dengan koordinat
kartesius dengan sumbu tegaknya yaitu x sebagai sumbu riil, dan sumbu
mendatar yaitu y sebagai sumbu imajiner.
Contoh:

9. BILANGAN KOMPLEKS
 Buatlah grafik bilangan kompleks berikut :
Z = 4 + 6j dimana :
4 merupakan bilangan real positif
6j merupakan bilangan imajiner positif

10. Contoh 1
 Buatlah grafik bilangan kompleks berikut :
Z = -4 + 3j dimana :
-4 merupakan bilangan real negatif
3j merupakan bilangan imajiner positif

11. Contoh 2
 berapa nilai bilangan kompleks dari grafis berikut:
jawab: Z = - 6 – j 2

12. Latihan 2
 Buatkan kedalam bentuk grafis bilangan kompleks berikut:
a. Z =4 – j 6
b. Z = -7
c. Z = - 6 – j 13
d. Z =j11

13. Bentuk-bentuk Bilangan Kompleks
 Ada beberapa bentuk penulisan bilangan kompleks
yaitu :
 Bentuk Polar
 Bentuk Rectangular
 Bentuk Exponensial

14. BENTUK REKTANGULAR
 Bentuk bilangan kompleks a + jb
disebut juga bilangan kompleks bentuk
rektangular
 Gambar grafik bilangan kompleks
bentuk rektangular :
 Dari gambar di atas titik A mempunyai
koordinat (a,jb). Artinya titik A
mempunyai absis a dan ordinat b.

15. BENTUK POLAR
 Bilangan kompleks bentuk rektangular
a+ jb dapat juga dinyatakan dalam
bentuk polar, dengan menggunakan
suatu jarak (r) terhadap suatu titik
polar 
 Jika OA = r, maka letak (kedudukan)
titik A dapat ditentukan terhadap r dan
 .
cos 𝜃° =
𝑎
𝑟
→ 𝑎 = 𝑟 cos 𝜃°
sin 𝜃° =
𝑏
𝑟
→ 𝑏 = 𝑟 sin 𝜃°
𝑎 + 𝑗𝑏 = 𝑟(cos 𝜃° + 𝑗 sin 𝜃°

16. BENTUK POLAR
Sehingga rumus yang didapatkan untuk mengubah suatu bilangan
kompleks dari bentuk rektangular ke bentuk polar adalah:
r adalah sisi miring, yang nilainya adalah :
Besar sudut kemiringan
dengan θ :

17. BENTUK EKSPONENSIAL
 Bentuk eksponensial diperoleh dari
bentuk polar.
 Harga r dalam kedua bentuk itu sama
dan sudut dalam kedua bentuk itu juga
sama, tetapi untuk bentuk
eksponensial harus dinyatakan dalam
radian.

18. KUADRAN
 Selain itu, perlu diketahui pula letak posisi sudut berada kuadran
berapa dari garis bilangan. Dimana :
Kuadran I berada pada sudut ke 0 - 90
Kuadran II berada pada sudut ke 90 - 180
Kuadran III berada pada sudut ke 180 – 270 atau (-90) – (-180)
Kuadran IV berada pada sudut ke 270 – 360 atau 0 – (-90)

19. CONTOH SOAL
Perhatian persamaan bilangan kompleks berikut z = 3 – j8
bentuk umum bilangan kompleks diatas dapat dirubah ke
dalam bentuk bentuk penulisan yang lain.
Sudut yang dibentuk adalah di kuadran IV
Bentuk Polar nya :
z = r(cos + j sin) = 8.54(cos(-69.44) + j sin(-69.44))
Bentuk Exponensialnya :
44
,
69
.
.
54
,
8
. j
j
e
e
r
z 

 

20. CONTOH SOAL
Dapatkan bentuk polar dan bentuk exponensial dari bilangan
kompleks z = -3 + 3i dan terletak di kuadran berapa sudut 
nya ?

21. JAWABAN
Persamaan bilangan kompleks z = -3 + j3
Dimana : Sin  =
Cos  = di kuadran II
Bentuk Polar nya :
z = r(cos + j sin) = 3 (cos(135) + j sin(135))
Bentuk Exponensialnya :
135
.
.
2
3
. j
j
e
e
r
z 

 
2
3
3
)
3
( 2
2




r
135
)
1
(
)
3
/
3
( 



 arctg
arctg

2
2
1
2
2
1

2

22. Latihan 3
 Ubahlah bilangan kompleks berikut ke bentuk polar:
a. Z = 1 + i
b. Z = 1 – i
c. Z = -1 – i
d. Z = -1 + i

23. PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN
 Operasinal matematika penjumlahan dan pengurangan
merupakan konsep yang umum dan sederhana. Namun
bagian ini merupakan bagian yang terpenting dan
mendasar.
 Prinsip penjumlahan dan pengurangan adalah sama,
memenuhi sifat-sifat aljabar penjumlahan dan pengurangan

24. CONTOH SOAL
Tentukan xt = x1 + x2 jika
x1 = 2- j3
x2 = 5+ j4
Jawab :
xt = (2-j3) + (5+j4)
= (2+5) +j(-3+4)
= 7+j

25. CONTOH SOAL
x1 = 2- j3
x2 = 5+ j4
Jawab :
x1 + x2= (2-j3) + (5+j4)
= (2+5) +j(-3+4)
= 7+j
x1-x2 = (2-j3) - (5+j4)
= (2-5) +j(-3-4)
= -3-j7

26. Latihan 4
 Jika z = 3 – 2i dan w = 6 – 7i, maka tentukanlah:
a. z + w
b. z - w
c. z w
d.
𝑧
𝑤

28. .
Contoh:

29. 2. Bentuk Polar (Trigonometri)

30. Contoh:

33. Latihan 5
 Jika diketahui z1 = 1 – i, z2 = -2 + 4i, z3 = 3 − 2𝑖, maka
hitunglah:
a. 𝑧1𝑧2 + 𝑧2𝑧1
b. 𝑧3 − 𝑧2
c. 𝑧1 + 𝑧2 + 𝑧3
 Ubahlah bentuk polar ke bentuk eksponensial:
a. Z = 6 cis 60˚
b. Z = 8 cis 135˚
c. Z = 6 cis 240˚
d. Z = 8 cis 330˚

34. Materi uas
• Eksponen
• Logaritma
• Suku Banyak (Polinomial)
• Bilangan Kompleks
• Deret
• Bunga majemuk dan tunggal