Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
3
212/10/2012                 2
112/10/2012                 3
12/10/2012             4
Video Monitor    Arial Font
CREW :             Tangguh Yudho (021)               Fanny Nur S (022)               Diah Hapsari (026)             Prasti...
A. Inverse Fungsi Trigonometri1. Relasi Siklometri       Fungsi y = f(x) = sin x, x R, merupakan salahsatu fungsi Trigonom...
sehingga diperoleh penyelesaian     1                     5x=     + k. 2   atau x =       + k. 2   ,k   B     6           ...
Definisi :Relasi Siklometri1. Jika f menyatakan fungsi trigonometri yang    terdefinisi pada x R dan dinyatakan    sebagai...
a. y = sin x   -------->   x = arc sin yb. y = cos x   -------->   x = arc cos yc. y = tan x   -------->   x = arc tan xd....
2. Grafik Dan Domain Relasi Siklometri        Pandang relasi siklometri y = arc sin x, merupakaninvers dari fungsi x = sin...
1. Grafik y = sin x dan y = arc sin x
2. Grafik y = cos x dan y = arc cos x
3. Grafik y = tan x dan y = arc tan x
4. Grafik y = ctg x dan y = arc ctg x
5. Grafik y = sec x dan y = arc sec x
6. Garfik y = csc x dan y = arc csc x
C. Nilai Relasi SiklometriUntuk menentukan nilai relasi siklometridigunakan fungsi trigonometri awal.Beberapa contoh akan ...
12. Jika m = arc cos -          , tentukan nilai m!                           2                       53. Jika y = arc tan...
1                      B. BILANGAN KOMPLEKS          1. Bilangan Imaginair                  Adakalanya dalam suatu perhitu...
Bilangan-bilangan pada contoh diatas disebut        bilangan imaginair sejati, yang dapat dinyatakan        dalam bentuk b...
2. Bilangan Kompleks      Himpunan bilangan kompleks K = {(a + bi)| a, b R}, bi      disebut bagian imaginair sejati.     ...
3. Operasi Pada Bilangan Kompleksa. Operasi PenjumlahanJumlahan dua bilangan kompleks (a + bi) dan (c + di)didefinisikan s...
c. Operasi Perkalian        Perkalian dua bilangan kompleks a + bidengan c + di, didefinisikan sebagai berikut:(a + bi).(c...
d. Operasi Pembagian                         a bi c di   (a + bi) : (c + di) =      .                     c di     c di   ...
4. Grafik Bilangan Kompleks Pada Bidang                     Koordinat     Setiap bilangan kompleks a + bi berkorespondensi...
Kesimpulan yang diperoleh :a. Titik O menyatakan 0 + 0i = 0b. Setiap titik pada sumbu x menyatakan a   + 0i = a , a Rc. Se...
5. Grafik Penjumlahan Dan Pengurangan Bilangan Kompleks      Andaikan      diketahui   2   bilangan   kompleks      sebara...
Operasi Penjumlahan           Operasi Pengurangan                                        y             y                  ...
6. Bentuk Polar (Kutub) Bilangan-Bilangan Kompleks•   Jika sebarang bilangan kompleks x + yi digambarkan dalam    vektor O...
• XOP = ,       disebut amplitudo bilangan komplek tersebut dan                                                           ...
Contoh :1. Nyatakan z = 2 – i 3 dalam bentuk polar.  Penyelesaian:  Modulus dari z = OP = 2 ( 3) = 7 =r                   ...
Model             Pembuktian                         Kesimpulan Jika diketahui        z1 = r1 ( cos       1   + i sin    ...
Model             Pembuktian                                    Kesimpulan        z1 = r1 (cos       1   + i sin       1) ...
Model         Pembuktian        KesimpulanJika diketahui z1 = z2 , maka :1. Modulus   z1 . z2 adalah perkalian modulus z1d...
Model                   Pembuktian                  Kesimpulan Jika diketahui  z1 = r1 (cos       1   + i sin    1)   dan...
Model                Pembuktian                         Kesimpulan z1    r1 (cos θ1 i sin θ1 ) z2   r2 (cos θ 2 i sin θ 2 ...
Model        Pembuktian           KesimpulanJika diketahui z1 dan z2 maka :1. Modulus z1 : z2 adalah hasil bagi   modulus...
z1z2     Contoh:     Jika z = 3 - i , tentukan z10 !     Penyelesaian :               z = r (cos   + i sin      )         ...
12/10/2012             41
Trigonometri ppt bab6
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Trigonometri ppt bab6

6,282 views

Published on

  • Be the first to comment

Trigonometri ppt bab6

  1. 1. 3
  2. 2. 212/10/2012 2
  3. 3. 112/10/2012 3
  4. 4. 12/10/2012 4
  5. 5. Video Monitor Arial Font
  6. 6. CREW : Tangguh Yudho (021) Fanny Nur S (022) Diah Hapsari (026) Prastiwi Angger (029) Randha Ayu (032) Mu’ahid N (034) Isti Handayani (045)12/10/2012 BAB VI TRIGONOMETRI
  7. 7. A. Inverse Fungsi Trigonometri1. Relasi Siklometri Fungsi y = f(x) = sin x, x R, merupakan salahsatu fungsi Trigonometri seperti telah dibicarakan dimuka. Untuk setiap x pasti dapat ditemukan nilai ytunggal.Bagaimanakah sebaliknya?Andaikan, y = 1 , sehingga diperoleh y = f (x) = sin x = 1 1 2 atau sin x = sin ( + k. 2 ) atau 2 6 5 sin x = sin ( + k. 2 ), k B 6
  8. 8. sehingga diperoleh penyelesaian 1 5x= + k. 2 atau x = + k. 2 ,k B 6 6Ternyata untuk nilai y tunggal terdapat banyaknilai x yang berpasangan dengan nilai y.Kesimpulan y = sin x bukan fungsi 1 – 1, sehinggainverse fungsi tersebut bukan merupakan fungsi.
  9. 9. Definisi :Relasi Siklometri1. Jika f menyatakan fungsi trigonometri yang terdefinisi pada x R dan dinyatakan sebagai y = f (x) maka kebalikan fungsi f dinyatakan sebagai f-1 atau x = f-1(y) disebut Relasi Siklometri2. Oleh karena ada 6 fungsi trigonometri, maka terdapat 6 relasi siklometri, yaitu:
  10. 10. a. y = sin x --------> x = arc sin yb. y = cos x --------> x = arc cos yc. y = tan x --------> x = arc tan xd. y = ctg x --------> x = arc ctg ye. y = sec x --------> x = arc sec yf. y = csc x --------> x = arc csc yCatatan :Daerah asal Relasi Siklometri tergantungdaerah hasil fungsi Trigonometri
  11. 11. 2. Grafik Dan Domain Relasi Siklometri Pandang relasi siklometri y = arc sin x, merupakaninvers dari fungsi x = sin y , y R…………………………………………...…. (1) Bandingkan dengan fungsi y = sin x, x R……………………. (2) Antara (1) dan (2) terdapat penggantian variabel xdengan y dan seba-liknya, sehingga grafik relasi siklometridapat diperoleh dari grafik fungsi trigonometri awal, denganmencerminkan terhadap garis y = x. Grafik keenam relasisiklometri dan grafik fungsi trigonometri asal dapat dilihatsebagai berikut.
  12. 12. 1. Grafik y = sin x dan y = arc sin x
  13. 13. 2. Grafik y = cos x dan y = arc cos x
  14. 14. 3. Grafik y = tan x dan y = arc tan x
  15. 15. 4. Grafik y = ctg x dan y = arc ctg x
  16. 16. 5. Grafik y = sec x dan y = arc sec x
  17. 17. 6. Garfik y = csc x dan y = arc csc x
  18. 18. C. Nilai Relasi SiklometriUntuk menentukan nilai relasi siklometridigunakan fungsi trigonometri awal.Beberapa contoh akan disajikan berupacontoh soal dan penyelesaiannya. 11. Tentukan nilai arc sin 3 ! 2
  19. 19. 12. Jika m = arc cos - , tentukan nilai m! 2 53. Jika y = arc tan 12 , tentukan nilai cos y!4. Jika sin arc ctg – 1 = x. Tentukan nilai x!5. Jika y = cos arc sec x. Nyatakan y sebagai formula dalam x!6. Buktikan arc sin x + arc cos x = 2
  20. 20. 1 B. BILANGAN KOMPLEKS 1. Bilangan Imaginair Adakalanya dalam suatu perhitungan kita menjumpai bentuk , -1, -3, -9 dan sebagainya. Untuk semesta pembicaraan himpunan bilangan riel, bentuk-bentuk seperti tersebut di atas bukan merupakan penyelesaian sebab bukan anggota semesta. Bilangan-bilangan pada contoh di atas disebut bilangan imaginair atau bilangan khayal. 12/10/2012 20
  21. 21. Bilangan-bilangan pada contoh diatas disebut bilangan imaginair sejati, yang dapat dinyatakan dalam bentuk baku (memuat symbol i), yaitu : -1 = i -3 = i 3 -9 = i 9 = 3i Definisi : -1 = i , i2 = - 1 Catatan : Penggunaan simbol bilangan imaginair dalam bentuk baku dimaksudkan untuk memudahkan perhitungan.12/10/2012 21
  22. 22. 2. Bilangan Kompleks Himpunan bilangan kompleks K = {(a + bi)| a, b R}, bi disebut bagian imaginair sejati. 1. Kesamaan dua bilangan kompleks a + bi = c + di, apabila : a = c dan b = d 2. Dua bilangan kompleks disebut pasangan bilangan kompleks konjugate , apabila komponen riilnya sama dan bagian imaginair sejati berlawanan tanda. Contoh : 2 + 3i dan 2 – 3i -5 + i dan -5 – i Secara umum a + bi dan a – bi adalah pasangan dua bilangan kompleks konjugate.12/10/2012 22
  23. 23. 3. Operasi Pada Bilangan Kompleksa. Operasi PenjumlahanJumlahan dua bilangan kompleks (a + bi) dan (c + di)didefinisikan sebagai : (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)iContoh : (4 + 5i) + (7 – 3i) = 11 + 2ib. Operasi Pengurangan Pengurangan bilangan kompleks a + bi oleh c + dididefinisikan sebagai: (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i Contoh : (17 – 4i) – (–2 – 3i) = 19 – i
  24. 24. c. Operasi Perkalian Perkalian dua bilangan kompleks a + bidengan c + di, didefinisikan sebagai berikut:(a + bi).(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)iContoh : (4 + 5i) . (2 - 3i) = (8 + 15) + (-12 + 10) I = 23 – 2iCatatan : Seperti pada operasi perkalian pada bilangan-bilangan yang lain tanda titik"." boleh tidak ditulis.
  25. 25. d. Operasi Pembagian a bi c di (a + bi) : (c + di) = . c di c di = ( ac + bd) + (bc – ad) i c2 + d2 2 3i 4 5iContoh : ( 2 + 3i) : (4 - 5i) = . 4 5i 4 5i (8 15) (12 10)i = 16 25 7 22i 7 22 = = + i 44 44 44
  26. 26. 4. Grafik Bilangan Kompleks Pada Bidang Koordinat Setiap bilangan kompleks a + bi berkorespondensi 1–1dengan setiap titik P (x,y) pada bidang koordinat, dengan syarat a = x dan b = yContoh: Titik P (3,2) menyatakan bilangan kompleks 3 + 2i Sumbu x adalah sumbu riel Sumbu y adalah sumbu imajinair
  27. 27. Kesimpulan yang diperoleh :a. Titik O menyatakan 0 + 0i = 0b. Setiap titik pada sumbu x menyatakan a + 0i = a , a Rc. Setiap titik pada sumbu y menyatakan 0 + bi = bi , b R
  28. 28. 5. Grafik Penjumlahan Dan Pengurangan Bilangan Kompleks Andaikan diketahui 2 bilangan kompleks sebarang z1 dan z2, dengan z1 = x1 + y1 i dan z2 = x2 + y2 i Grafik penjumlahan dan pengurangan z1 dan z2 dalam bidang koordinat dapat disajikan sebagai grafik penjumlahan dan pengurangan 2 vektor (lihat gambar pada slide berikutnya).12/10/2012 28
  29. 29. Operasi Penjumlahan Operasi Pengurangan y y z1 z z z1 0 -z2 x z2 x 0 - z = z 1 + z2 z = z1 + (-z2) = z 1 – z212/10/2012 29
  30. 30. 6. Bentuk Polar (Kutub) Bilangan-Bilangan Kompleks• Jika sebarang bilangan kompleks x + yi digambarkan dalam vektor OP, maka :• OP disebut modulus atau nilai mutlak dari bilangan komplek tersebut dan dinyatakan sebagai: y r= x2 y2 P(x,y) 0 x
  31. 31. • XOP = , disebut amplitudo bilangan komplek tersebut dan y biasanya dipilih sudut positif terkecil yang memenuhi tan = x• Hubungan antara z, x , y, r dan sebagai berikut: x r cos z = x + yi y r sin z = r cos + i r sin z = r (cos + i sin ) z = r (cos + i sin ) disebut bentuk polar atau bentuk trigonometri. z = x + yi disebut bentuk rectangular dari z.
  32. 32. Contoh :1. Nyatakan z = 2 – i 3 dalam bentuk polar. Penyelesaian: Modulus dari z = OP = 2 ( 3) = 7 =r 2 2 y y 3 2 tan = = = - 0,8660 x 2 0 x 1 = 138024’ 3 P 2= 318 24’ 0 2Dalam hal ini 1 tidak digunakan, berikan alasan anda.Jadi amplitudo z adalah = 3180241 , dan bentuk polar z : z = r (cos + i sin ) z = 7 ( cos 3180241 + i sin 3180241)Mengingat koordinat P juga menyatakan sudut + 2k. , maka bentuk polar dari z dapat juga dinyatakan sebagai: z = 7 [ cos ( 3180241 + k.3600 )+ i sin (3180241 + 2 k.3600)]
  33. 33. Model Pembuktian Kesimpulan Jika diketahui z1 = r1 ( cos 1 + i sin 1) dan z2 = r2 ( cos 2 + i sin 2 ) , maka z1 z2 = r1 r2 [cos ( 1+ 2 ) + i sin ( 1 + 2)]
  34. 34. Model Pembuktian Kesimpulan z1 = r1 (cos 1 + i sin 1) dan z2 = r2 (cos 2 + i sin 2 )Menurut definisi :z1 . z2 = r1 r2 (cos 1 cos 2 - sin 1 sin 2 ) + i r1 r2 (sin 1 cos 2 + cos 1 sin 2)z1 . z2 = r1 r2 [cos ( 1+ 2 ) + i sin ( 1 + 2 )] …..… (terbukti)
  35. 35. Model Pembuktian KesimpulanJika diketahui z1 = z2 , maka :1. Modulus z1 . z2 adalah perkalian modulus z1dengan modulus z2.2. Amplitudo z1 . z2 adalah jumlah amplitudo z1dengan amplitudo z2.
  36. 36. Model Pembuktian Kesimpulan Jika diketahui z1 = r1 (cos 1 + i sin 1) dan z2 = r2 (cos 2 + i sin 2) maka :z1 : z2 = z1 / z2 = r1/r2 [cos ( 1- 2) + i sin ( 1 - 2)]
  37. 37. Model Pembuktian Kesimpulan z1 r1 (cos θ1 i sin θ1 ) z2 r2 (cos θ 2 i sin θ 2 ) r1 (cos θ1 i sin θ1 ) r2 (cos θ 2 i sin θ 2 ) . r2 (cos θ 2 i sin θ 2 ) r2 (cos θ 2 i sin θ 2 ) r1r2 {cos θ1 cos θ 2 sin θ1 sin θ 2 i (sin θ1 cos θ 2 cos θ1 sin θ 2 )} r22 (cos 2 θ 2 sin 2 θ 2 )z1 : z2 = z1 / z2 = r1/r2 [cos ( 1- 2) + i sin ( 1 - 2)]
  38. 38. Model Pembuktian KesimpulanJika diketahui z1 dan z2 maka :1. Modulus z1 : z2 adalah hasil bagi modulus z1 , oleh modulus z2 .2. Amplitudo z1 : z2 adalah hasil pengurangan amplitudo z1 , oleh amplitudo z2.
  39. 39. z1z2 Contoh: Jika z = 3 - i , tentukan z10 ! Penyelesaian : z = r (cos + i sin ) 1 r = 2 dan tan = ; = 3300 + k. 3600 3 z10 = 210 [ cos 10 (3300 + k. 3600) + i sin 10 (3300 + k. 3600) = 1024 (cos 600 + i sin 600) 1 1 = 1024 ( + 1 . 3) 2 2 = 512 + 512 i 3
  40. 40. 12/10/2012 41

×